Želite li znati koje su matematičke šanse da vaša oklada bude uspješna? Onda su tu dvije za vas. dobre vijesti. Prvo: da biste izračunali prohodnost, ne morate provoditi složene izračune i trošiti puno vremena. Dovoljno da se iskoristi jednostavne formule, što će trajati nekoliko minuta za rad. Drugo, nakon što pročitate ovaj članak, lako ćete moći izračunati vjerojatnost prolaska nekog od vaših obrta.
Da biste ispravno odredili prohodnost, morate poduzeti tri koraka:
- Izračunajte postotak vjerojatnosti ishoda događaja prema kladionici;
- Izračunajte sami vjerojatnost iz statističkih podataka;
- Saznajte vrijednost oklade s obzirom na obje vjerojatnosti.
Razmotrimo detaljno svaki od koraka, koristeći ne samo formule, već i primjere.
Brz prolaz
Izračun vjerojatnosti ugrađene u koeficijente klađenja
Prvi korak je saznati s kojom vjerojatnošću kladionica procjenjuje šanse za određeni ishod. Uostalom, jasno je da kladionice ne klade koeficijente tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:
PB=(1/K)*100%,
gdje je P B vjerojatnost ishoda prema kladionici;
K - kladioničarski koeficijent na ishod.
Recimo da je koeficijent za pobjedu londonskog Arsenala u dvoboju protiv Bayerna 4. To znači da se vjerojatnost njegove pobjede BC-a smatra (1/4) * 100% = 25%. Ili Đoković igra protiv Juga. Multiplikator za Novakovu pobjedu je 1,2, njegove šanse su jednake (1/1,2)*100%=83%.
Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i momčadi. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.
Izračun vjerojatnosti događaja od strane igrača
Druga točka našeg plana je naša vlastita procjena vjerojatnosti događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija, ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristiti samo statistiku prethodnih susreta. Za izračunavanje statističke vjerojatnosti ishoda koristimo formulu:
PI\u003d (UM / M) * 100%,
gdjePI- vjerojatnost događaja prema igraču;
UM - broj uspješnih utakmica u kojima se takav događaj održao;
M je ukupan broj utakmica.
Da bi bilo jasnije, navedimo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 utakmica. U 6 od njih zabilježeno je ukupno manje od 21 utakmice, u 8 - ukupno više. Potrebno je saznati vjerojatnost da će se sljedeći meč odigrati za ukupno više: (8/14)*100=57%. Valencia je na Mestalli protiv Atlética odigrala 74 utakmice u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Vjerojatnost pobjede Valencije: (29/74)*100%=39%.
A to svi znamo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, takva se vjerojatnost ne može izračunati za neku novu momčad ili igrača, pa je ova strategija klađenja prikladna samo za utakmice u kojima se protivnici ne susreću prvi put. Sada znamo kako odrediti klađenje i vlastite vjerojatnosti ishoda, a imamo i sva znanja da idemo na zadnji korak.
Određivanje vrijednosti oklade
Vrijednost (vrijednost) oklade i prolaznost izravno su povezani: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:
V=PI*K-100%,
gdje je V vrijednost;
P I - vjerojatnost ishoda prema boljem;
K - kladioničarski koeficijent na ishod.
Recimo da se želimo kladiti na pobjedu Milana u utakmici protiv Rome i izračunali smo da je vjerojatnost pobjede crveno-crnih 45%. Kladionica nam nudi koeficijent 2,5 za ovaj ishod. Bi li takva oklada bila vrijedna? Provodimo izračune: V = 45% * 2,5-100% = 12,5%. Super, imamo vrijednu okladu s dobrim izgledima za prolaz.
Uzmimo drugi slučaj. Maria Sharapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo se dogovoriti da Maria pobijedi, što prema našim izračunima ima 60% vjerojatnosti. Kladionice nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Odredite vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova oklada nema vrijednost i treba je suzdržati.
U njegovom blogu prijevod sljedećeg predavanja kolegija "Principles of Game Balance" dizajnera igara Jana Schreibera, koji je radio na projektima kao što su Marvel Trading Card Game i Playboy: The Mansion.
Prije danas gotovo sve o čemu smo razgovarali bilo je determinističko, a prošli smo tjedan pomno pogledali tranzitivnu mehaniku, razlažući je s onoliko detalja koliko mogu objasniti. Ali do sada nismo obraćali pažnju na druge aspekte mnogih igara, naime, nedeterminističke momente - drugim riječima, slučajnost.
Razumijevanje prirode slučajnosti vrlo je važno za dizajnere igara. Stvaramo sustave koji utječu na korisničko iskustvo u određenoj igri, pa moramo znati kako ti sustavi rade. Ako u sustavu postoji slučajnost, moramo razumjeti prirodu te slučajnosti i znati kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koji su nam potrebni.
Kocke
Počnimo s nečim jednostavnim – bacanjem kockica. Kada većina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kocku sa šest strana poznata kao d6. No većina igrača je vidjela mnoge druge kockice: četverostrane (d4), osmostrane (d8), dvanaestostrane (d12), dvadesetostrane (d20). Ako ste pravi štreber, možda negdje imate kockice od 30 ili 100 zrna.
Ako niste upoznati s ovom terminologijom, d označava kockicu, a broj iza nje je broj njezinih strana. Ako je broj ispred d, onda označava broj kockica prilikom bacanja. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.
Dakle u ovaj slučaj izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoji ogroman broj drugih generatora slučajnih brojeva koji ne izgledaju kao plastične figure, ali obavljaju istu funkciju - generiraju slučajni broj od 1 do n. Običan novčić također se može predstaviti kao diedral d2 kocka.
Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedan od njih je izgledao kao kocka, a drugi je više ličio na drvenu olovku sa sedam strana. Tetraedarski dreidel, također poznat kao titotum, analog je tetraedarske kosti. Ploča za igru sa strelicom koja se vrti u Chutes & Ladders, gdje rezultat može biti od 1 do 6, odgovara kockici sa šest strana.
Generator slučajnih brojeva u računalu može generirati bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner da takvu naredbu, iako računalo nema kocku s 19 strana (općenito ću više govoriti o vjerojatnosti dobivanja brojeva na računalo sljedeći tjedan). Sve ove stavke izgledaju drugačije, ali zapravo su ekvivalentne: imate jednake šanse za svaki od nekoliko mogućih ishoda.
Kockice imaju neka zanimljiva svojstva o kojima moramo znati. Prvo, vjerojatnost da će se bilo koje od lica pojaviti je ista (pretpostavljam da bacate kocku s točnim geometrijski oblik). Ako želite znati prosječnu vrijednost bacanja (za one koji vole teoriju vjerojatnosti, ona je poznata kao očekivana vrijednost), zbrojite vrijednosti na svim licima i podijelite ovaj broj s brojem lica.
Zbroj vrijednosti svih lica za standardnu šestostranu kocku je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podijelite 21 s brojem lica i dobijete prosječnu vrijednost bacanja: 21 / 6 = 3,5. to poseban slučaj, jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerojatni.
Što ako imate posebne kocke? Na primjer, vidio sam igru sa šesterostranom kockom s posebnim naljepnicama na licima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, pa se ponaša kao čudna trostrana kocka koja će vjerojatnije baciti broj 1 nego 2, i vjerojatnije je baciti 2 nego 3. Koja je prosječna vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, podijelite sa 6 - dobit ćete 5/3, odnosno oko 1,66. Dakle, ako imate posebnu kockicu i igrači bace tri kockice i zatim zbrajaju rezultate, znate da će njihov ukupni iznos biti oko 5, a možete uravnotežiti igru na temelju te pretpostavke.
Kocka i neovisnost
Kao što sam već rekao, polazimo od pretpostavke da je ispadanje svakog lica jednako vjerojatno. Nije važno koliko kockica ovdje bacite. Svako bacanje kocke je neovisno, što znači da prethodna bacanja ne utječu na rezultate sljedećih bacanja. Uz dovoljno pokušaja, sigurno ćete primijetiti niz brojeva – na primjer, bacanje uglavnom viših ili nižih vrijednosti – ili drugih značajki, ali to ne znači da su kockice "vruće" ili "hladne". O tome ćemo kasnije.
Ako bacite standardnu šesterostranu kockicu i broj 6 se pojavi dvaput zaredom, vjerojatnost da će rezultat sljedećeg bacanja biti 6 je također 1/6. Vjerojatnost se ne povećava jer se kockica "zagrijala" ". Istodobno, vjerojatnost se ne smanjuje: netočno je tvrditi da je broj 6 već ispao dvaput zaredom, što znači da sada drugo lice mora ispasti.
Naravno, ako bacite kockicu dvadeset puta i svaki put se pojavi broj 6, šansa da se 6 pojavi dvadeset i prvi put je prilično velika: možda imate pogrešnu kockicu. Ali ako je kocka ispravna, vjerojatnost dobivanja svakog od lica je ista, bez obzira na rezultate ostalih bacanja. Također možete zamisliti da svaki put mijenjamo kockicu: ako se broj 6 baci dvaput zaredom, uklonite "vruću" kockicu iz igre i zamijenite je novom. Žao mi je ako je netko od vas već znao za ovo, ali morao sam to razjasniti prije nego što nastavim.
Kako napraviti manje-više nasumično bacanje kockica
Razgovarajmo o tome kako dobiti različite rezultate na različitim kockicama. Ako kockicu bacite samo jednom ili nekoliko puta, igra će se činiti nasumičnijom kada kockica ima više rubova. Što češće bacate kockice i što više kockica bacate, rezultati se više približavaju prosjeku.
Na primjer, u slučaju 1d6 + 4 (to jest, ako jednom bacite standardnu šesterostranu kocku i rezultatu dodate 4), prosjek će biti broj između 5 i 10. Ako bacite 5d2, prosjek također će biti broj između 5 i 10. Rezultat kotrljanja 5d2 bit će uglavnom brojevi 7 i 8, rjeđe druge vrijednosti. Ista serija, čak i ista prosječna vrijednost (7,5 u oba slučaja), ali je priroda slučajnosti drugačija.
Pričekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kockice "ne zagrijavaju" niti "hlade"? A sada kažem: ako bacite puno kockica, rezultati bacanja su bliži prosječnoj vrijednosti. Zašto?
Da objasnim. Ako bacite jednu kockicu, vjerojatnost da će se svako lice pojaviti je ista. To znači da ako bacite puno kockica tijekom vremena, svako će se lice pojaviti otprilike isti broj puta. Što više kockica bacite, to će se ukupni rezultat više približiti prosjeku.
To nije zato što ubačeni broj "uzrokuje" bacanje drugog broja koji još nije ubačen. Jer mali niz bacanja broja 6 (ili 20, ili nekog drugog broja) na kraju neće napraviti veliku razliku ako kockicu bacite još deset tisuća puta i to je uglavnom prosjek. Sada ćete imati nekoliko velikih brojeva, a kasnije nekoliko malih - i s vremenom će se približiti prosječnoj vrijednosti.
To nije zato što prijašnja bacanja utječu na kockice (ozbiljno, kocka je napravljena od plastike, nema mozga da misli, "Oh, prošlo je puno vremena otkako je došlo do 2"), već zato što se to obično dogodi s puno bacanja.igranje kockica.
Dakle, prilično je lako izračunati za jedno nasumično bacanje kocke - barem izračunajte prosječnu vrijednost bacanja. Postoje i načini da izračunate "koliko je nešto slučajno" i kažete da će rezultati bacanja 1d6 + 4 biti "nasumičniji" od 5d2. Za 5d2, valjani rezultati bit će raspoređeni ravnomjernije. Da biste to učinili, morate izračunati standardnu devijaciju: što je veća vrijednost, to će rezultati biti slučajniji. Ne bih volio davati tolike izračune danas, objasnit ću ovu temu kasnije.
Jedina stvar koju ću vas zamoliti da zapamtite je da, kao opće pravilo, što manje kockica bacite, to je više nasumično. A što više strana ima kocka, to je više slučajnosti, jer postoji više mogućih opcija za vrijednost.
Kako izračunati vjerojatnost pomoću brojanja
Možda se pitate: kako možemo izračunati točnu vjerojatnost da će se određeni rezultat pojaviti? Zapravo, ovo je vrlo važno za mnoge igre: ako na početku bacite kocku, vjerojatno će doći do nekog optimalnog ishoda. Odgovor je: trebamo izračunati dvije vrijednosti. Prvo, ukupan broj ishoda pri bacanju kocke, a drugo, broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobivate željenu vjerojatnost. Da biste dobili postotak, pomnožite rezultat sa 100.
Primjeri
Evo vrlo jednostavnog primjera. Želite baciti 4 ili više i jednom baciti šesterostranu kockicu. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da bismo izračunali vjerojatnost, podijelimo 3 sa 6 i dobijemo 0,5 ili 50%.
Evo primjera koji je malo kompliciraniji. Želite da bacanje 2d6 dobije paran broj. Maksimalan broj ishoda je 36 (6 opcija za svaku kockicu, jedna kocka ne utječe na drugu, tako da pomnožimo 6 sa 6 i dobijemo 36). Poteškoća s ovom vrstom pitanja je u tome što je lako dvaput prebrojati. Na primjer, pri bacanju 2d6, dva su moguća ishoda 3: 1+2 i 2+1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvoj kocki, a koji na drugoj.
Također možete zamisliti da su kockice različitih boja: tako, na primjer, u ovom slučaju, jedna kockica je crvena, druga je plava. Zatim prebrojite broj mogućih pojavljivanja parnog broja:
- 2 (1+1);
- 4 (1+3);
- 4 (2+2);
- 4 (3+1);
- 6 (1+5);
- 6 (2+4);
- 6 (3+3);
- 6 (4+2);
- 6 (5+1);
- 8 (2+6);
- 8 (3+5);
- 8 (4+4);
- 8 (5+3);
- 8 (6+2);
- 10 (4+6);
- 10 (5+5);
- 10 (6+4);
- 12 (6+6).
Ispada da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36 - kao i u prethodnom slučaju, vjerojatnost je 0,5 ili 50%. Možda neočekivano, ali sasvim točno.
Monte Carlo simulacija
Što ako imate previše kockica za ovaj izračun? Na primjer, želite znati kolika je vjerojatnost da će se ukupno 15 ili više pojaviti na bacanju 8d6. Postoji ogroman broj različitih ishoda za osam kockica, a njihovo ručno brojanje trajalo bi jako dugo - čak i kada bismo mogli pronaći neko dobro rješenje za grupiranje različitih serija bacanja kockica.
U ovom slučaju, najlakši način je ne brojati ručno, već koristiti računalo. Postoje dva načina izračunavanja vjerojatnosti na računalu. Prvi način može dobiti točan odgovor, ali uključuje malo programiranja ili skriptiranja. Računalo će proći kroz svaku mogućnost, procijeniti i izbrojati ukupan broj iteracija i broj iteracija koje odgovaraju željenom rezultatu, a zatim dati odgovore. Vaš kod bi mogao izgledati otprilike ovako:
Ako niste programer i ne želite točan odgovor, već približan, ovu situaciju možete simulirati u Excelu, gdje nekoliko tisuća puta prevrnete 8d6 i dobijete odgovor. Za roll 1d6 u Excelu koristite formulu =POT(RAND()*6)+1.
Postoji naziv za situaciju kada ne znate odgovor i samo pokušavate više puta - Monte Carlo simulacija. Ovo je izvrsno rješenje na koje se možete vratiti kada je preteško izračunati vjerojatnost. Sjajna stvar je što u ovom slučaju ne moramo razumjeti kako matematika funkcionira, a znamo da će odgovor biti "prilično dobar", jer, kao što već znamo, što više bacanja, to se rezultat više približava Prosječna vrijednost.
Kako kombinirati nezavisna ispitivanja
Ako pitate o višestrukim ponovljenim, ali neovisnim pokusima, tada ishod jednog bacanja ne utječe na ishod drugih bacanja. Postoji još jedno jednostavnije objašnjenje za ovu situaciju.
Kako razlikovati nešto ovisno i neovisno? U principu, ako možete izolirati svako bacanje (ili niz bacanja) kocke kao zaseban događaj, onda je neovisno. Na primjer, bacamo 8d6 i želimo baciti ukupno 15. Ovaj događaj se ne može podijeliti na nekoliko neovisnih bacanja kockica. Da biste dobili rezultat, izračunate zbroj svih vrijednosti, tako da rezultat bačen na jednoj kocki utječe na rezultate koji bi se trebali baciti na druge.
Evo primjera neovisnog bacanja: igrate kocku i nekoliko puta bacate šesterostrane kocke. Prvo bacanje mora baciti 2 ili više da biste ostali u igri. Za drugu rolu - 3 ili više. Treća zahtijeva 4 ili više, četvrta 5 ili više, a peta 6. Ako je svih pet bacanja uspješnih, pobjeđujete. U ovom su slučaju sva bacanja neovisna. Da, ako jedno bacanje ne uspije, to će utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utječe na drugo. Na primjer, ako je vaše drugo bacanje kockice jako dobro, to ne znači da će i sljedeće bacanje biti jednako dobro. Stoga možemo razmotriti vjerojatnost svakog bacanja kocke zasebno.
Ako imate neovisne vjerojatnosti i želite znati koja je vjerojatnost da će se svi događaji dogoditi, odredite svaku pojedinačnu vjerojatnost i pomnožite je. Drugi način: ako koristite "i" za opisivanje nekoliko uvjeta (na primjer, kolika je vjerojatnost nekog slučajnog događaja i nekog drugog neovisnog slučajnog događaja?) - izračunajte pojedinačne vjerojatnosti i pomnožite ih.
Nije važno što mislite - nikada ne zbrajajte neovisne vjerojatnosti. Ovo je česta pogreška. Da biste razumjeli zašto je to pogrešno, zamislite situaciju u kojoj bacate novčić i želite znati kolika je vjerojatnost da ćete dvaput zaredom dobiti glavu. Vjerojatnost ispadanja sa svake strane je 50%. Ako zbrojite ove dvije vjerojatnosti, dobivate 100% šanse da dobijete glave, ali znamo da to nije točno, jer bi se mogla pojaviti dva uzastopna repa. Ako umjesto toga pomnožite te dvije vjerojatnosti, dobit ćete 50% * 50% = 25% - što je točan odgovor za izračun vjerojatnosti da ćete dvaput zaredom dobiti glavce.
Primjer
Vratimo se igri šesterostranih kockica, gdje prvo treba baciti broj veći od 2, zatim više od 3 - i tako dalje do 6. Kolike su šanse da u danoj seriji od pet bacanja sve hoće li ishodi biti povoljni?
Kao što je već spomenuto, radi se o neovisnim pokusima, pa izračunavamo vjerojatnost za svako pojedinačno bacanje, a zatim ih množimo. Vjerojatnost da će ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi - 4/6. Treći - 3/6. Četvrti - 2/6, peti - 1/6. Sve rezultate pomnožimo jedni s drugima i dobijemo oko 1,5%. Pobjede u ovoj igri su prilično rijetke, pa ako dodate ovaj element svojoj igri, trebat će vam prilično veliki jackpot.
Negacija
Evo još jednog korisnog savjeta: ponekad je teško izračunati vjerojatnost da će se događaj dogoditi, ali je lakše odrediti šanse da se događaj neće dogoditi. Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru: bacate 6d6 i dobivate ako bacite barem jednom 6. Kolika je vjerojatnost pobjede?
U ovom slučaju postoji mnogo opcija koje treba razmotriti. Moguće je da će jedan broj 6 ispasti, odnosno broj 6 pasti na jednu kocku, a brojevi od 1 do 5 na ostale, tada postoji 6 opcija koja će od kockica imati a 6. Možete dobiti broj 6 na dvije kocke, ili tri, ili čak više, i svaki put ćete morati napraviti zaseban izračun, tako da se ovdje lako možete zbuniti.
No, pogledajmo problem s druge strane. Gubite ako nijedna kocka ne baci 6. U ovom slučaju imamo 6 neovisnih pokušaja. Vjerojatnost da će svaka kocka baciti broj koji nije 6 je 5/6. Pomnožite ih - i dobijete oko 33%. Dakle, vjerojatnost gubitka je jedan prema tri. Stoga je vjerojatnost pobjede 67% (ili dva do tri).
Iz ovog primjera je očito da ako izračunavate vjerojatnost da se događaj neće dogoditi, trebate oduzeti rezultat od 100%. Ako je vjerojatnost pobjede 67%, tada je vjerojatnost gubitka 100% minus 67%, odnosno 33%, i obrnuto. Ako je teško izračunati jednu vjerojatnost, ali je lako izračunati suprotnu, izračunajte suprotnu, a zatim oduzmite ovaj broj od 100%.
Uvjeti povezivanja za jedno neovisno ispitivanje
Rekao sam malo ranije da nikada ne biste trebali zbrajati vjerojatnosti u neovisnim ispitivanjima. Postoje li slučajevi u kojima je moguće zbrojiti vjerojatnosti? Da, u jednoj konkretnoj situaciji.
Ako želite izračunati vjerojatnost više nepovezanih povoljnih ishoda u istom ispitivanju, zbrojite vjerojatnosti svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerojatnost bacanja 4, 5 ili 6 na 1d6 jednaka je zbroju vjerojatnosti bacanja 4, vjerojatnosti bacanja 5 i vjerojatnosti bacanja 6. Ova se situacija može predstaviti kao slijedi: vjerojatnost jednog ili drugog ishoda jednog slučajnog događaja?) - izračunajte pojedinačne vjerojatnosti i zbrojite ih.
Napomena: kada izračunate sve moguće ishode igre, zbroj vjerojatnosti njihovog nastupa mora biti jednak 100%, inače je vaš izračun pogrešno napravljen. to dobar način ponovno provjeri svoje izračune. Na primjer, analizirali ste vjerojatnost dobivanja svih kombinacija u pokeru. Ako zbrojite sve rezultate koje dobijete, trebali biste dobiti točno 100% (ili barem vrijednost prilično blizu 100%: ako koristite kalkulator, može doći do male pogreške zaokruživanja, ali ako zbrajate točne brojke rukom, sve treba zbrojiti. ). Ako se zbroj ne zbroji, onda najvjerojatnije niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogrešno izračunali vjerojatnosti nekih kombinacija, te je izračune potrebno ponovno provjeriti.
Nejednake vjerojatnosti
Do sada smo pretpostavljali da svako lice matrice ispada na istoj frekvenciji, jer matrica tako funkcionira. Ali ponekad se možete susresti sa situacijom u kojoj su mogući različiti ishodi i različite šanse za ispad.
Na primjer, u jednom od dodataka kartaškoj igri Nuclear War nalazi se polje za igru sa strelicom, koja određuje rezultat lansiranja rakete. Najčešće nanosi normalnu štetu, veću ili manju, ali ponekad se šteta udvostruči ili utrostruči, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i naudi vam, ili se dogodi neki drugi događaj. Za razliku od igralište sa strelicom u Chutes & Ladders ili A Game of Life, rezultati igrališta u Nuklearnom ratu su nejednaki. Neki dijelovi igrališta su veći i na njima se strijela puno češće zaustavlja, dok su drugi dijelovi vrlo mali i na njima se strijela rijetko zaustavlja.
Dakle, na prvi pogled kost izgleda otprilike ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - već smo pričali o tome, to je nešto poput ponderiranog 1d3. Stoga sve te dijelove trebamo podijeliti na jednake dijelove, pronaći najmanju mjernu jedinicu, djelitelj, kojoj je sve višekratnik, a zatim prikazati situaciju u obliku d522 (ili nekom drugom), gdje je skup kockica lica će predstavljati istu situaciju, ali s više ishoda. Ovo je jedan od načina rješavanja problema, i tehnički je izvediv, ali postoji lakša opcija.
Vratimo se na naše standardne šesterostrane kocke. Rekli smo da da biste izračunali prosječnu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti svih lica i podijeliti ih s brojem lica, ali kako se točno vrši izračun? Možete to izraziti drugačije. Za kocku sa šest strana, vjerojatnost da će se svako lice pojaviti je točno 1/6. Sada množimo ishod svakog aspekta s vjerojatnošću tog ishoda (u ovom slučaju 1/6 za svaki aspekt), a zatim zbrojimo rezultirajuće vrijednosti. Dakle, zbrajanje (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), dobivamo isti rezultat (3.5) kao u gornjem izračunu. Zapravo, svaki put to izračunamo: svaki ishod množimo s vjerojatnošću tog ishoda.
Možemo li napraviti isti izračun za strelicu na ploči za igru u Nuklearnom ratu? Naravno da možemo. A ako zbrojimo sve pronađene rezultate, dobivamo prosječnu vrijednost. Sve što trebamo učiniti je izračunati vjerojatnost svakog ishoda za strelicu na igralištu i pomnožiti s vrijednošću ishoda.
Još jedan primjer
Spomenuti način izračuna prosjeka također je prikladan ako su rezultati jednako vjerojatni, ali imaju različite prednosti - na primjer, ako bacite kocku i na nekim licima osvojite više od drugih. Na primjer, uzmimo igru koja se događa u kasinu: položite okladu i bacate 2d6. Ako dođu tri broja najmanju vrijednost(2, 3, 4) ili četiri broja visoke vrijednosti (9, 10, 11, 12) - dobit ćete iznos jednak vašem ulozi. Brojevi s najnižom i najvećom vrijednošću su posebni: ako se pojavi 2 ili 12, dobit ćete dvostruko više od svoje oklade. Ako se pojavi bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8), izgubit ćete okladu. Lijepo je jednostavna igra. Ali kolika je vjerojatnost pobjede?
Počnimo s brojanjem koliko puta možete pobijediti. Maksimalni broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliki je broj povoljnih ishoda?
- Postoji 1 opcija koja će baciti 2 i 1 opcija koja će baciti 12.
- Postoje 2 opcije za 3 i 2 opcije za 11.
- Postoje 3 opcije za 4 i 3 opcije za 10.
- Postoje 4 opcije koje će dobiti 9.
Zbrajajući sve opcije, dobivamo 16 povoljnih ishoda od 36. Dakle, u normalnim uvjetima, dobit ćete 16 puta od 36 mogućih - vjerojatnost pobjede je nešto manja od 50%.
Ali dva puta od tih šesnaest dobit ćete dvostruko više – to je kao da ste pobijedili dvaput. Ako ovu igru igrate 36 puta, kladeći se svaki put 1 $, a svaki od svih mogućih ishoda dođe jednom, osvojit ćete ukupno 18 $ (zapravo dobivate 16 puta, ali dva od njih se računaju kao dvije pobjede). ). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne znači li to da su vjerojatnosti jednake?
Uzmite si vremena. Ako prebrojite koliko puta možete izgubiti, dobit ćete 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, kladeći se svaki put od 1 USD, dobit ćete ukupno 18 USD kada se svi izgledi ispadnu. Ali izgubit ćete ukupno 20 dolara na svih 20 loših ishoda. Kao rezultat toga, malo ćete zaostati: gubite u prosjeku 2 USD neto na svakih 36 igara (možete reći i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada vidite kako je lako pogriješiti u ovom slučaju i pogrešno izračunati vjerojatnost.
permutacija
Do sada smo pretpostavljali da redoslijed bacanja brojeva nije bitan pri bacanju kocke. Rotanje 2 + 4 isto je kao i bacanje 4 + 2. U većini slučajeva ručno brojimo broj povoljnih ishoda, ali ponekad je ova metoda nepraktična i bolje je koristiti matematičku formulu.
Primjer ove situacije je iz igre s kockicama Farkle. Za svaki novi krug bacate 6d6. Ako imate sreće i ispadnu svi mogući ishodi 1-2-3-4-5-6 (ravno), dobit ćete veliki bonus. Kolika je vjerojatnost da će se to dogoditi? U ovom slučaju postoji mnogo opcija za gubitak ove kombinacije.
Rješenje je sljedeće: na jednoj od kockica (i samo na jednoj) trebao bi ispasti broj 1. Koliko opcija da broj 1 ispadne na jednoj kocki? Postoji 6 opcija, budući da ima 6 kockica, a broj 1 može pasti na bilo koju od njih. Prema tome, uzmite jednu kocku i ostavite je sa strane. Sada bi na jednu od preostalih kockica trebao pasti broj 2. Za to postoji 5 opcija. Uzmite drugu kocku i ostavite je sa strane. Tada 4 preostale kocke mogu pasti na 3, 3 preostale kockice mogu pasti na 4, a 2 preostale kocke mogu pasti na 5. Kao rezultat, ostaje vam jedna kocka na kojoj je broj 6 bi trebao pasti (u potonjem slučaju, kocka je samo jedna kost i nema izbora).
Kako bismo izbrojali broj povoljnih ishoda za ravnu kombinaciju, množimo sve različite neovisne opcije: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - čini se da postoji prilično velik broj opcija za da se pojavi ova kombinacija.
Da bismo izračunali vjerojatnost dobivanja ravne kombinacije, moramo podijeliti 720 s brojem svih mogućih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogućih ishoda? Svaka kocka može baciti 6 lica, tako da množimo 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (mnogo veći broj od prethodnog). Podijelimo 720 sa 46656 i dobijemo vjerojatnost jednaku oko 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi vam korisno da to znate kako biste mogli stvoriti odgovarajući sustav bodovanja. Sada razumijemo zašto u Farkleu dobivate tako veliki bonus ako pogodite ravnu kombinaciju: ova situacija je prilično rijetka.
Rezultat je zanimljiv i iz još jednog razloga. Primjer pokazuje kako rijetko u kratkom razdoblju ispadne rezultat koji odgovara vjerojatnosti. Naravno, ako bismo bacili nekoliko tisuća kockica, različite strane kockice bi se često pojavile. Ali kada bacimo samo šest kockica, gotovo se nikad ne dogodi da se svaka kockica pojavi. Postaje jasno da je glupo očekivati da će sada ispasti lice koje još nije bilo, jer "već dugo nismo izbacili broj 6". Gledaj, tvoj generator slučajnih brojeva je pokvaren.
To nas dovodi do uobičajene zablude da se svi ishodi pojavljuju istom brzinom u kratkom vremenskom razdoblju. Bacimo li kocku nekoliko puta, učestalost svakog od lica neće biti ista.
Ako ste ikad prije radili na online igrici s nekakvim generatorom slučajnih brojeva, onda ste najvjerojatnije naišli na situaciju da igrač piše tehničkoj podršci uz pritužbu da generator slučajnih brojeva ne prikazuje slučajne brojeve. Do ovog je zaključka došao jer je ubio 4 čudovišta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a te bi nagrade trebale pasti samo 10% vremena, tako da se to očito gotovo nikada ne bi smjelo dogoditi.
Radiš matematiku. Vjerojatnost je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, odnosno 1 ishod od 10 tisuća je prilično rijedak slučaj. To vam igrač pokušava reći. Postoji li problem u ovom slučaju?
Sve ovisi o okolnostima. Koliko igrača je sada na vašem serveru? Pretpostavimo da imate prilično popularnu igru i svaki dan je igra 100.000 ljudi. Koliko će igrača ubiti četiri čudovišta zaredom? Možda sve, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da se pola njih samo razmjenjuje različite stavke na aukcijama, prepisuje na RP poslužiteljima ili izvodi druge radnje u igri - dakle, samo polovica njih lovi čudovišta. Kolika je vjerojatnost da će netko dobiti istu nagradu? U ovoj situaciji možete očekivati da će se to dogoditi barem nekoliko puta dnevno.
Usput, zbog toga se čini da svakih nekoliko tjedana netko dobije na lutriji, čak i ako to nikada niste bili vi ili netko koga poznajete. Ako dovoljno ljudi igra redovito, velike su šanse da će negdje biti barem jedan sretnik. Ali ako sami igrate lutriju, onda je malo vjerojatno da ćete dobiti, veća je vjerojatnost da ćete biti pozvani da radite u Infinity Wardu.
Karte i ovisnost
Razgovarali smo o neovisnim događajima, kao što je bacanje kocke, a sada znamo mnoge moćne alate za analizu slučajnosti u mnogim igrama. Izračun vjerojatnosti je malo kompliciraniji kada je u pitanju izvlačenje karata iz špila, jer svaka karta koju izvadimo utječe na one koje ostanu u špilu.
Ako imate standardni špil od 52 karte, iz njega izvlačite 10 srca i želite znati vjerojatnost da će sljedeća karta biti iste boje - vjerojatnost se promijenila u odnosu na izvornu jer ste već izvadili jednu srčanu kartu iz palube. Svaka kartica koju uklonite mijenja šanse za pojavljivanje sljedeća karta u palubi. U ovom slučaju prethodni događaj utječe na sljedeći, pa ga nazivamo ovisnim o vjerojatnosti.
Imajte na umu da kada kažem "karte" mislim na bilo koju mehaničku igru koja ima skup objekata i vi uklonite jedan od objekata bez da ga zamijenite. “Špil karata” je u ovom slučaju analogan vrećici žetona iz koje se vadi jedan žeton, ili urni iz koje se vade šarene kuglice (nikad nisam vidio igre s urnom iz koje bi se vadile šarene kuglice van, ali učitelji teorije vjerojatnosti o čemu je iz nekog razloga ovaj primjer poželjniji).
Svojstva ovisnosti
Želio bih pojasniti da kada pričamo o kartama, pretpostavljam da izvlačite karte, gledate ih i uklanjate ih iz špila. Svaka od ovih radnji je važno svojstvo. Da imam špil od, recimo, šest karata numeriranih od 1 do 6, promiješao bih ih i izvukao jednu kartu, a zatim ponovo promiješao svih šest karata - to bi bilo slično bacanju šesterostrane kocke, jer jedan rezultat nema ovdje utjecati na sljedeće. A ako izvučem karte i ne zamijenim ih, onda izvlačenjem 1 karte povećavam vjerojatnost da sljedeći put izvučem kartu s brojem 6. Vjerojatnost će se povećavati dok na kraju ne izvučem ovu kartu ili promiješam špil.
Važna je i činjenica da gledamo karte. Ako izvadim kartu iz špila i ne pogledam je, neću je imati dodatne informacije a zapravo se vjerojatnost neće promijeniti. Ovo može zvučati nelogično. Kako jednostavno okretanje karte magično može promijeniti izglede? Ali to je moguće jer možete izračunati vjerojatnost za nepoznate stavke samo na temelju onoga što znate.
Na primjer, ako promiješate standardni špil karata, otkrijete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, tada možete biti 100% sigurni da je preostala karta kraljica trefa. Ako promiješate standardni špil karata i izvučete 51 kartu ne gledajući ih, tada je vjerojatnost da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Kako otvarate svaku karticu, dobivate više informacija.
Izračunavanje vjerojatnosti za zavisne događaje slijedi iste principe kao i za nezavisne događaje, osim što je malo kompliciranije, jer se vjerojatnosti mijenjaju kada otkrijete karte. Dakle, trebate pomnožiti mnogo različitih vrijednosti, umjesto da množite istu vrijednost. Zapravo, to znači da trebamo spojiti sve izračune koje smo napravili u jednu kombinaciju.
Primjer
Promiješate standardni špil od 52 karte i izvučete dvije karte. Kolika je vjerojatnost da ćete izvaditi par? Postoji nekoliko načina za izračunavanje ove vjerojatnosti, no možda je najjednostavniji sljedeći: kolika je vjerojatnost da, nakon što ste izvukli jednu kartu, nećete moći izvući par? Ova vjerojatnost je nula, tako da zapravo nije važno koju prvu kartu izvučete, sve dok odgovara drugoj. Nije važno koju ćemo kartu prvu izvući, još uvijek imamo priliku izvući par. Stoga je vjerojatnost vađenja para nakon vađenja prve kartice 100%.
Kolika je vjerojatnost da će druga karta odgovarati prvoj? U špilu je ostala 51 karta, a 3 od njih odgovaraju prvoj karti (zapravo bi bile 4 od 52, ali ste već uklonili jednu od odgovarajućih karata kada ste izvukli prvu kartu), tako da je vjerojatnost 1/ 17. Dakle, sljedeći put kad tip preko puta vas za stolom igra Texas Hold'em, kaže: “Cool, još jedan par? Danas imam sreće“, znat ćete da s velikim stupnjem vjerojatnosti blefira.
Što ako zbrojimo dva džokera, pa imamo 54 karte u špilu, a želimo znati kolika je vjerojatnost da ćemo izvući par? Prva karta može biti džoker, a onda će u špilu biti samo jedna karta koja odgovara, a ne tri. Kako pronaći vjerojatnost u ovom slučaju? Dijelimo vjerojatnosti i množimo svaku mogućnost.
Naša prva karta može biti džoker ili neka druga karta. Vjerojatnost izvlačenja džokera je 2/54, vjerojatnost izvlačenja neke druge karte je 52/54. Ako je prva karta džoker (2/54), tada je vjerojatnost da će druga karta odgovarati prvoj iznosi 1/53. Pomnožimo vrijednosti (možemo ih pomnožiti jer su to zasebni događaji i želimo da se dogode oba događaja) i dobijemo 1/1431 - manje od jedne desetine postotka.
Ako prvo izvučete neku drugu kartu (52/54), vjerojatnost podudaranja druge karte je 3/53. Pomnožimo vrijednosti i dobijemo 78/1431 (nešto više od 5,5%). Što ćemo s ova dva rezultata? Oni se ne sijeku, a mi želimo znati vjerojatnost svakog od njih, pa zbrajamo vrijednosti. Dobivamo konačni rezultat 79/1431 (još uvijek oko 5,5%).
Ako bismo željeli biti sigurni u točnost odgovora, mogli bismo izračunati vjerojatnost svih ostalih mogućih ishoda: izvlačenje džokera i nepoklapanje druge karte ili izvlačenje neke druge karte i nepoklapanje druge karte. Zbrajajući te vjerojatnosti i vjerojatnost pobjede, dobili bismo točno 100%. Ovdje neću iznositi matematiku, ali možete pokušati s matematikom da provjerite.
Paradoks Monty Halla
To nas dovodi do prilično dobro poznatog paradoksa koji mnoge često zbunjuje, paradoksa Monty Halla. Paradoks je dobio ime po voditelju TV emisije Hajde da se dogovorimo. Za one koji ovu TV emisiju nikada nisu vidjeli, reći ću da je to bilo suprotno od The Price Is Right.
U The Price Is Right, voditelj (prije je vodio Bob Barker, a sada Drew Carey? Nema veze) je vaš prijatelj. On želi da osvojite novac ili cool nagrade. Pokušava vam pružiti svaku priliku za pobjedu, sve dok možete pogoditi koliko sponzorirani predmeti zapravo vrijede.
Monty Hall se ponašao drugačije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Cilj mu je bio učiniti da izgledaš kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u showu, on vam je bio protivnik, igrali ste protiv njega i izgledi su bili u njegovu korist. Možda sam pretjerano oštar, ali gledajući emisiju u koju ćete vjerojatnije ući ako nosite smiješan kostim, upravo na to dolazim.
Jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su troja vrata, vrata broj 1, vrata broj 2 i vrata broj 3. Jedna vrata možete izabrati besplatno. Iza jednog od njih je veličanstvena nagrada - na primjer, novi automobil. Iza druga dva vrata nema nagrada, obje nemaju nikakvu vrijednost. Oni bi vas trebali poniziti, pa iza njih nije ništa, već nešto glupo, na primjer, koza ili ogromna tuba paste za zube - sve samo ne novi auto.
Odabereš jedna od vrata, Monty će ih otvoriti kako bi ti rekao jesi li pobijedio ili ne... ali pričekaj. Prije nego saznamo, pogledajmo jedna od onih vrata koja niste odabrali. Monty zna iza kojih vrata je nagrada i uvijek može otvoriti vrata koja nemaju nagradu iza sebe. “Birate li vrata broj 3? Onda otvorimo vrata broj 1 da pokažemo da iza njih nema nagrade." A sada vam iz velikodušnosti nudi mogućnost da odabrana vrata broj 3 zamijenite za ono što se nalazi iza vrata broj 2.
U ovom trenutku postavlja se pitanje vjerojatnosti: povećava li ova prilika vašu vjerojatnost za pobjedu ili je smanjuje ili ostaje nepromijenjena? Što misliš?
Točan odgovor: mogućnost odabira drugih vrata povećava šansu za pobjedu s 1/3 na 2/3. Ovo je nelogično. Ako se do sada niste susreli s ovim paradoksom, onda najvjerojatnije razmišljate: čekajte, kako je: otvaranjem jednih vrata magično smo promijenili vjerojatnost? Kao što smo vidjeli na primjeru karata, upravo se to događa kada dobijemo više informacija. Očito, kada odaberete prvi put, vjerojatnost pobjede je 1/3. Kada se jedna vrata otvore, to uopće ne mijenja vjerojatnost pobjede za prvi izbor: vjerojatnost je i dalje 1/3. Ali vjerojatnost da su druga vrata ispravna je sada 2/3.
Pogledajmo ovaj primjer s druge strane. Vi birate vrata. Vjerojatnost pobjede je 1/3. Predlažem da promijenite druga dva vrata, što Monty Hall radi. Naravno, otvara jedna od vrata kako bi pokazao da iza toga nema nagrade, ali to uvijek može, tako da to zapravo ništa ne mijenja. Naravno, poželjet ćete odabrati drugačija vrata.
Ako ne razumijete pitanje i trebate uvjerljivije objašnjenje, kliknite na ovu poveznicu da biste otišli na sjajnu malu Flash aplikaciju koja će vam omogućiti da detaljnije istražite ovaj paradoks. Možete početi s oko 10 vrata, a zatim postupno prelaziti na igru s tri vrata. Tu je i simulator gdje možete igrati s bilo kojim brojem vrata od 3 do 50 ili pokrenuti nekoliko tisuća simulacija i vidjeti koliko biste puta pobijedili da ste igrali.
Odaberite jedno od tri vrata - vjerojatnost pobjede je 1/3. Sada imate dvije strategije: promijeniti izbor nakon otvaranja pogrešnih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, vjerojatnost će ostati 1/3, jer je izbor samo u prvoj fazi i morate odmah pogoditi. Ako se promijeniš, onda možeš pobijediti ako prvo odabereš pogrešna vrata (onda otvore još jedna pogrešna, ostaje ona prava - promijeniš odluku, samo je uzmeš). Vjerojatnost odabira pogrešnih vrata na početku je 2/3 – pa ispada da promjenom odluke udvostručujete vjerojatnost pobjede.
Remarque od nastavnika više matematike i specijalista u ravnoteža igre Maxim Soldatov - naravno, Schreiber je nije imao, ali bez nje je prilično teško razumjeti ovu čarobnu transformaciju
Ponovno razmatranje paradoksa Monty Halla
Što se samog showa tiče, čak i ako suparnici Montyja Halla nisu bili dobri u matematici, on je bio dobar u tome. Evo što je učinio da malo promijeni igru. Ako ste odabrali vrata iza kojih je bila nagrada, s vjerojatnošću od 1/3, on vam je uvijek nudio mogućnost odabira drugih vrata. Odabereš auto i onda ga zamijeniš za kozu i izgledaš prilično glupo - što je upravo ono što ti treba, jer je Hall nekako zao tip.
Ali ako odaberete vrata koja nemaju nagradu, on će vam ponuditi samo još jednu polovicu vremena, ili će vam samo pokazati vašu novu kozu i otići ćete s pozornice. Analizirajmo ovo Nova igra, u kojem Monty Hall može odlučiti hoće li vam ili ne ponuditi priliku da odaberete druga vrata.
Pretpostavimo da slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata s nagradom, on vam uvijek nudi priliku da odaberete druga vrata, u protivnom će vam jednako vjerojatno ponuditi da odaberete druga vrata ili vam daju kozu. Kolika je vjerojatnost tvoje pobjede?
U jednom od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a domaćin vas poziva da odaberete druga.
Od preostale dvije opcije od tri (u početku birate vrata bez nagrade), u polovici slučajeva domaćin će vam ponuditi da promijenite odluku, au drugoj polovici slučajeva neće.
Polovica od 2/3 je 1/3, odnosno u jednom slučaju od tri dobit ćete kozu, u jednom slučaju od tri ćete izabrati pogrešna vrata i domaćin će vam ponuditi da odaberete druga, a u jedan slučaj od tri ćete izabrati ispravna vrata, ali on opet nudi druga.
Ako voditelj ponudi da izabere druga vrata, već znamo da se jedan od tri slučaja kada nam da kozu i mi odemo nije dogodio. to korisna informacija: to znači da su se naše šanse za pobjedu promijenile. Dva od tri slučaja u kojima imamo izbor: u jednom slučaju to znači da smo točno pogodili, a u drugom slučaju da smo pogrešno pogodili, pa ako nam je uopće ponuđen izbor, onda je vjerojatnost da ćemo pobijediti 1 /2 , a matematički je svejedno hoćete li ostati pri svom izboru ili odabrati druga vrata.
Kao i poker, to je psihološka igra, a ne matematička. Zašto ti je Monty ponudio izbor? On misli da si ti prostakluk koji ne zna da je odabir drugih vrata “prava” odluka i tvrdoglavo će se držati svog izbora (uostalom, psihički situacija je složenija kada ste odabrali auto i onda ga izgubili)?
Ili vam on, odlučivši da ste pametni i odaberete druga vrata, nudi ovu priliku, jer zna da ste u početku točno pogodili i pali na udicu? Ili je možda neuobičajeno ljubazan i tjera vas da učinite nešto korisno za vas, jer već dugo nije donirao automobile, a proizvođači kažu da je publici dosadno, te bi bilo bolje da donirate uskoro velika nagrada da ocjene ne padnu?
Tako Monty ponekad uspijeva ponuditi izbor, dok ukupna vjerojatnost pobjede ostaje jednaka 1/3. Zapamtite da je vjerojatnost da ćete odmah izgubiti 1/3. Postoji 1/3 šansa da ćete odmah pogoditi, a 50% tih puta ćete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6).
Vjerojatnost da ćete u početku krivo pogoditi, ali onda imati priliku odabrati druga vrata je 1/3, a u polovici ovih slučajeva ćete pobijediti (također 1/6). Zbrojite dvije neovisne mogućnosti pobjede i dobit ćete vjerojatnost od 1/3, tako da nije važno hoćete li ostati na svom izboru ili odabrati druga vrata - ukupna vjerojatnost vaše pobjede tijekom igre je 1/3.
Vjerojatnost ne postaje veća nego u situaciji kada ste pogodili vrata, a domaćin vam jednostavno pokazao što je iza njih, a da vam nije ponudio da odaberete druga. Poanta prijedloga nije promijeniti vjerojatnost, već učiniti proces donošenja odluka zabavnijim za gledanje televizije.
Usput, ovo je jedan od razloga zašto poker može biti toliko zanimljiv: u većini formata između rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postupno otkrivaju, i ako na početku igre imate jednu priliku za pobjedu, onda se nakon svake runde klađenja, kada je više karata otvoreno, ta se vjerojatnost mijenja.
Paradoks dječaka i djevojčice
Ovo nas dovodi do još jednog dobro poznatog paradoksa koji svakoga zbunjuje, paradoksa dječaka i djevojčice. Jedina stvar o kojoj danas pišem nije izravno povezana s igrama (iako vas valjda samo moram natjerati da kreirate odgovarajuću mehaniku igre). Ovo je više zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je riješili, morate razumjeti uvjetnu vjerojatnost o kojoj smo gore govorili.
Zadatak: Imam prijatelja sa dvoje djece, barem jedno od njih je djevojčica. Kolika je vjerojatnost da je i drugo dijete djevojčica? Pretpostavimo da su u svakoj obitelji šanse za djevojčicu i dječaka 50/50, a to vrijedi za svako dijete.
Zapravo, neki muškarci imaju više sperme s X kromosomom ili Y kromosomom u sjemenu, tako da izgledi malo variraju. Ako znate da je jedno dijete djevojčica, šansa da dobijete drugu djevojčicu je nešto veća, a postoje i druga stanja, poput hermafroditizma. Ali da bismo riješili ovaj problem, nećemo to uzeti u obzir i pretpostaviti da je rođenje djeteta samostalan događaj te da su rođenje dječaka i djevojčice jednako vjerojatni.
Budući da govorimo o šansi 1/2, intuitivno očekujemo da će odgovor biti 1/2 ili 1/4, ili neki drugi višekratnik od dva u nazivniku. Ali odgovor je 1/3. Zašto?
Poteškoća u ovom slučaju je u tome što informacije kojima raspolažemo smanjuju broj mogućnosti. Pretpostavimo da su roditelji obožavatelji Ulice Sezam i bez obzira na spol djece nazvali su im A i B. U normalnim uvjetima, četiri su jednako vjerojatne mogućnosti: A i B su dva dječaka, A i B su dvije djevojčice, A je dječak i B je djevojčica, A je djevojčica i B je dječak. Budući da znamo da je barem jedno dijete djevojčica, možemo isključiti mogućnost da su A i B dva dječaka. Dakle, preostale su nam tri mogućnosti – i dalje jednako vjerojatne. Ako su sve mogućnosti jednako vjerojatne i postoje tri, tada je vjerojatnost svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije su obje djece djevojčice, pa je odgovor 1/3.
I opet o paradoksu dječaka i djevojčice
Rješenje problema postaje još nelogičnije. Zamislite da moja prijateljica ima dvoje djece i jedno od njih je djevojčica koja je rođena u utorak. Pretpostavimo da je u normalnim uvjetima jednako vjerojatno da će se dijete roditi svakog od sedam dana u tjednu. Kolika je vjerojatnost da je i drugo dijete djevojčica?
Možda mislite da bi odgovor i dalje bio 1/3: što znači utorak? Ali u ovom slučaju intuicija nas iznevjerava. Odgovor je 13/27, što ne samo da nije intuitivno, već je vrlo čudno. Što je u ovom slučaju?
Zapravo, utorak mijenja vjerojatnost jer ne znamo koja je beba rođena u utorak, ili su možda oboje rođene u utorak. U ovom slučaju koristimo se istom logikom: sve moguće kombinacije brojimo kada je barem jedno dijete djevojčica koja je rođena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B. Kombinacije izgledaju ovako:
- A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je dječak (u ovoj situaciji postoji 7 mogućnosti, po jedna za svaki dan u tjednu kada se dječak mogao roditi).
- B - djevojčica koja je rođena u utorak, A - dječak (također 7 mogućnosti).
- A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je djevojčica koja je rođena na drugi dan u tjednu (6 mogućnosti).
- B - djevojka koja je rođena u utorak, A - djevojčica koja nije rođena u utorak (također 6 vjerojatnosti).
- A i B su dvije djevojčice koje su rođene u utorak (1 mogućnost, na to morate obratiti pažnju da ne biste brojali dvaput).
Zbrajamo i dobivamo 27 različitih podjednako mogućih kombinacija rađanja djece i dana s barem jednom mogućnošću da se djevojčica rodi u utorak. Od toga je 13 mogućnosti kada se rode dvije djevojčice. To također izgleda potpuno nelogično – čini se da je ovaj zadatak izmišljen samo da izazove glavobolju. Ako ste još uvijek zbunjeni, web stranica teoretičara igara Jespera Juhla ima dobro objašnjenje za ovo.
Ako trenutno radite na igrici
Ako u igri koju dizajnirate postoji slučajnost, ovo je izvrsna prilika da je analizirate. Odaberite bilo koji element koji želite analizirati. Najprije se zapitajte što biste očekivali da će vjerojatnost zadanog elementa biti u kontekstu igre.
Na primjer, ako izrađujete RPG i razmišljate o tome kolika bi vjerojatnost trebala biti da igrač pobijedi čudovište u bitci, zapitajte se koji vam postotak pobjede odgovara. Obično, u slučaju RPG-ova za konzole, igrači se jako uzrujaju kada izgube, pa je bolje da gube rijetko - 10% vremena ili manje. Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerojatnost trebala biti.
Zatim se zapitajte jesu li vaše vjerojatnosti ovisne (kao kod karata) ili neovisne (kao kod kockica). Razgovarajte o svim mogućim ishodima i njihovim vjerojatnostima. Provjerite je li zbroj svih vjerojatnosti 100%. I, naravno, usporedite svoje rezultate sa svojim očekivanjima. Da li je moguće bacati kockice ili izvlačiti karte kako ste namjeravali ili je jasno da vrijednosti treba podesiti. I, naravno, ako pronađete nedostatke, pomoću istih izračuna možete odrediti koliko trebate promijeniti vrijednosti.
Domaća zadaća
Vaš " domaća zadaća» ovaj tjedan će vam pomoći da s vjerojatnošću usavršite svoje vještine. Ovdje su dvije igre s kockicama i kartaška igra koju morate analizirati korištenjem vjerojatnosti, kao i čudna mehanika igre koju sam jednom razvio - na njenom ćete primjeru testirati Monte Carlo metodu.
Igra #1 - Zmajeve kosti
Ovo je igra s kockicama koju smo moji kolege i ja jednom smislili (zahvaljujući Jebu Havensu i Jesseju Kingu) - namjerno razbija ljude svojim vjerojatnostima. Ovo je jednostavna kasino igra pod nazivom "Dragon Dice" i to je natjecanje kockarskih kockica između igrača i ustanove.
Dobivate običnu kocku od 1d6. Cilj igre je baciti broj veći od broja kuće. Tomu se daje nestandardni 1d6 - isti kao i vaš, ali na jednom od njegovih lica umjesto jednog - slika zmaja (dakle, kasino ima kockicu zmaja-2-3-4-5-6). Ako institucija dobije zmaja, automatski pobjeđuje, a vi gubite. Ako oboje dobiju isti broj, neriješeno je i ponovno bacate kocku. Pobjeđuje onaj koji baci najveći broj.
Naravno, nije sve u potpunosti u korist igrača, jer kasino ima prednost u vidu zmajevog lica. Ali je li to doista tako? To je ono što morate izračunati. Ali prvo provjerite svoju intuiciju.
Recimo da je pobjeda 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadržavate svoju okladu i dobivate dvostruki iznos. Na primjer, ako se kladite 1 dolar i pobijedite, zadržavate taj dolar i dobivate još 2 dolara na vrhu, za ukupno 3 dolara. Ako izgubite, gubite samo svoju okladu. Biste li igrali? Osjećate li intuitivno da je vjerojatnost veća od 2 prema 1 ili još uvijek mislite da je manja? Drugim riječima, u prosjeku u 3 utakmice, očekujete li pobjedu više od jednom, manje ili jednom?
Nakon što maknete intuiciju s puta, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogućih pozicija za obje kocke, tako da ih možete lako sve prebrojati. Ako niste sigurni u vezi ove ponude 2 prema 1, razmislite o sljedećem: Recimo da ste igrali igru 36 puta (kladite se svaki put od 1 USD). Za svaku pobjedu dobivate 2$, za svaki gubitak gubite 1$, a remi ništa ne mijenja. Izbrojite sve svoje vjerojatne pobjede i poraze i odlučite hoćete li izgubiti neki dolar ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko se vaša intuicija pokazala ispravnom. I onda shvati kakav sam negativac.
I, da, ako ste već razmišljali o ovom pitanju – namjerno vas zbunjujem iskrivljavajući stvarnu mehaniku igara s kockicama, ali sam siguran da ovu prepreku možete prevladati samo dobrim razmišljanjem. Pokušajte sami riješiti ovaj problem.
Igra #2 - Roll of Luck
to Kockanje u kockicu koja se zove Lucky Roll (također Birdcage, jer se ponekad kockice ne bacaju, već stavljaju u veliki žičani kavez, koji podsjeća na kavez iz Binga). Igra je jednostavna, u osnovi se svodi na ovo: kladite se, recimo, na 1 dolar na broj između 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi vaš broj, dobivate 1 dolar (i zadržavate svoju izvornu okladu). Ako vaš broj ne padne ni na jednu kockicu, kasino dobiva vaš dolar, a vi ništa. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na lice tri puta, dobit ćete 3 USD.
Intuitivno se čini da su u ovoj utakmici šanse izjednačene. Svaka kocka je pojedinačna šansa za pobjedu 1 prema 6, tako da je vaša šansa za pobjedu 3 prema 6 na tri bacanja. Međutim, imajte na umu, naravno, da slažete tri odvojene kocke i smijete dodati samo ako govorimo o pojedinim dobitne kombinacije ista kost. Nešto što ćete morati umnožiti.
Nakon što ste izračunali sve moguće ishode (vjerojatno je lakše napraviti u Excelu nego ručno, ima ih 216), igra na prvi pogled i dalje izgleda parno-neparno. Zapravo, kasino je još uvijek vjerojatnije da će dobiti - koliko više? Konkretno, koliko novca u prosjeku očekujete izgubiti po rundi igre?
Sve što trebate učiniti je zbrojiti pobjede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podijeliti sa 216, što bi trebalo biti prilično lako. Ali kao što možete vidjeti, postoji nekoliko zamki u koje možete upasti, zbog čega kažem da ste pogrešno razumjeli, ako mislite da postoji jednaka šansa za pobjedu u ovoj igri.
Igra #3 - Stud s 5 karata
Ako ste se već zagrijali za prethodne igre, provjerimo što znamo o uvjetnoj vjerojatnosti koristeći ovu kartašku igru kao primjer. Zamislimo poker sa špilom od 52 karte. Zamislimo i stud s 5 karata gdje svaki igrač dobiva samo 5 karata. Ne možete odbaciti kartu, ne možete izvući novu, nema uobičajenog špila - dobivate samo 5 karata.
Royal flush je 10-J-Q-K-A u jednoj ruci, ukupno četiri, tako da postoje četiri moguća načina da dobijete royal flush. Izračunajte vjerojatnost da ćete dobiti jednu od ovih kombinacija.
Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata možete izvući bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u početku možete izvući asa ili desetku, nije važno. Dakle, kada radite svoje izračune, imajte na umu da zapravo postoji više od četiri načina da dobijete royal flush, pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu.
Igra #4 - Lutrija MMF-a
Četvrti zadatak neće biti tako lako riješiti metodama o kojima smo danas govorili, ali možete jednostavno simulirati situaciju pomoću programiranja ili Excela. Upravo na primjeru ovog problema možete razraditi Monte Carlo metodu.
Ranije sam spomenuo igru Chron X na kojoj sam nekada radio, a bila je jedna vrlo zanimljiva karta- lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igrici. Nakon završetka runde, karte su preraspodijeljene, a postojala je 10% šansa da će karta biti izvan igre i da će nasumični igrač dobiti 5 jedinica svake vrste resursa koji je bio prisutan na toj kartici. Karta je stavljena u igru bez ijednog žetona, ali svaki put kada je ostala u igri na početku sljedeće runde, dobivala je jedan žeton.
Dakle, postojala je 10% šanse da ćete ga staviti u igru, runda bi završila, karta bi napustila igru i nitko ne bi dobio ništa. Ako ne bude (sa 90% šanse), postoji 10% šanse (zapravo 9%, budući da je to 10% od 90%) da će ona napustiti igru u sljedećem krugu i netko će dobiti 5 resursa. Ako karta napusti igru nakon jednog kruga (10% od 81% dostupnih, dakle vjerojatnost je 8,1%), netko će dobiti 10 jedinica, drugi krug - 15, još 20, i tako dalje. Pitanje: koja je očekivana vrijednost broja resursa koje ćete dobiti od ove kartice kada ona konačno napusti igru?
Obično bismo ovaj problem pokušali riješiti izračunavanjem vjerojatnosti svakog ishoda i množenjem s brojem svih ishoda. Postoji 10% šanse da ćete dobiti 0 (0,1 * 0 = 0). 9% da ćete dobiti 5 jedinica resursa (9% * 5 = 0,45 resursa). 8,1% onoga što dobijete je 10 (8,1% * 10 = 0,81 resursa - općenito, očekivana vrijednost). I tako dalje. A onda bismo sve zbrojili.
A sada vam je problem očit: uvijek postoji šansa da karta ne izađe iz igre, može ostati u igri zauvijek, beskonačan broj rundi, tako da ne postoji način izračunavanja bilo kakve vjerojatnosti. Metode koje smo danas naučili ne dopuštaju nam izračunavanje beskonačne rekurzije, pa ćemo je morati stvoriti umjetno.
Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napišite program koji će simulirati ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja dovodi varijablu na početnu poziciju nule, pokazuje slučajni broj i s 10% šanse da varijabla izađe iz petlje. Inače, varijabli se dodaje 5 i petlja se ponavlja. Kada konačno izađe iz petlje, povećajte ukupan broj probnih izvođenja za 1 i ukupan broj resursa (za koliko ovisi o tome gdje se varijabla zaustavila). Zatim resetirajte varijablu i počnite ispočetka.
Pokrenite program nekoliko tisuća puta. Na kraju podijelite ukupne resurse s ukupnim brojem trčanja - to će biti vaša očekivana vrijednost Monte Carlo metode. Pokrenite program nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti. Ako je širenje još uvijek veliko, povećajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne počnete dobivati šibice. Možete biti sigurni da će sve brojke koje završite biti približno točne.
Ako ste novi u programiranju (čak i ako jeste), evo male vježbe za testiranje vaših Excel vještina. Ako ste dizajner igara, ove vještine nikada neće biti suvišne.
Sada će vam funkcije if i rand biti vrlo korisne. Rand ne zahtijeva vrijednosti, on samo proizvodi nasumični decimalni broj između 0 i 1. Obično ga kombiniramo s podom i plusevima i minusima kako bismo simulirali bacanje kocke, što sam ranije spomenuo. Međutim, u ovom slučaju ostavljamo samo 10% šanse da će kartica napustiti igru, tako da možemo samo provjeriti je li rand manji od 0,1 i ne brinuti se više o tome.
Ako ima tri vrijednosti. Redom, uvjet koji je istinit ili ne, zatim vrijednost koja se vraća ako je uvjet istinit, i vrijednost koja se vraća ako je uvjet netočan. Dakle, sljedeća funkcija će vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena: =IF(RAND()<0.1,5,0) .
Postoji mnogo načina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio ovu formulu za ćeliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ćelija A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .
Ovdje koristim negativnu varijablu što znači "ova kartica nije napustila igru i još nije dala nikakve resurse". Dakle, ako je prva runda gotova i karta nije u igri, A1 je 0; inače je -1.
Za sljedeću ćeliju koja predstavlja drugi krug: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Dakle, ako je prva runda završila i karta je odmah napustila igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova će ćelija jednostavno kopirati tu vrijednost. Inače, A1 je -1 (karta još nije izašla iz igre), a ova se ćelija nastavlja nasumično kretati: 10% vremena vraća 5 jedinica resursa, ostatak vremena će njena vrijednost i dalje biti - 1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ćelije, dobit ćemo dodatne runde, a s kojom god stanicom završite, dobit ćete konačni rezultat (ili -1 ako karta nije izašla iz igre nakon svih odigranih rundi).
Uzmite ovaj red ćelija, koji je jedini krug s ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili tisuća) redaka. Možda nećemo moći napraviti beskonačan test za Excel (postoji ograničen broj ćelija u tablici), ali barem možemo pokriti većinu slučajeva. Zatim odaberite jednu ćeliju u koju ćete staviti prosjek rezultata svih rundi - Excel ljubazno pruža funkciju prosjek() za to.
U sustavu Windows barem možete pritisnuti F9 za ponovno izračunavanje svih nasumičnih brojeva. Kao i prije, učinite to nekoliko puta i pogledajte hoćete li dobiti iste vrijednosti. Ako je raspon prevelik, udvostručite broj vožnji i pokušajte ponovno.
Neriješeni problemi
Ako ste slučajno diplomirani iz teorije vjerojatnosti i navedeni problemi vam se čine prelaki – evo dva problema o kojima se godinama češkam po glavi, ali, nažalost, nisam toliko dobar u matematici da bih ih riješio.
Neriješen problem #1: lutrija MMF-a
Prvi neriješeni problem je prethodni domaći zadatak. Lako mogu koristiti Monte Carlo metodu (koristeći C++ ili Excel) i biti siguran u odgovor na pitanje "koliko resursa će igrač dobiti", ali ne znam točno kako dati točan matematički dokaziv odgovor (ovo je beskonačan niz).
Neriješeni problem #2: Nizovi oblika
Ovaj zadatak (on također daleko nadilazi zadatke koji se rješavaju na ovom blogu) mi je bacio poznati igrač prije više od deset godina. Dok je igrao blackjack u Vegasu, primijetio je jednu zanimljivost: izvlačeći karte iz cipela od 8 špilova, vidio je deset komada u nizu (komad ili lice karta je 10, Joker, King ili Queen, tako da ih ima ukupno 16 u standardni špil od 52 karte ili 128 u cipeli od 416 karata).
Kolika je vjerojatnost da ova cipela sadrži barem jedan niz od deset ili više komada? Pretpostavimo da su promiješani pošteno, slučajnim redoslijedom. Ili, ako želite, kolika je vjerojatnost da nigdje ne postoji niz od deset ili više oblika?
Možemo pojednostaviti zadatak. Ovdje je niz od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Postoji 128 jedinica i 288 nula nasumično razbacanih po nizu. Koliko postoji načina da se nasumično isprepliće 128 jedinica s 288 nula i koliko će puta na te načine postojati barem jedna grupa od deset ili više jedinica?
Kad god sam krenuo u rješavanje ovog problema, činilo mi se lako i očito, ali čim sam se upustio u detalje, odjednom se raspao i činio se jednostavno nemogućim.
Zato uzmite si vremena izgovarajući odgovor: sjednite, dobro razmislite, proučite uvjete, pokušajte uključiti stvarne brojeve, jer su svi ljudi s kojima sam razgovarao o ovom problemu (uključujući nekoliko diplomiranih studenata koji rade na ovom području) reagirali otprilike isto način: "Potpuno je očito... oh ne, čekaj, uopće nije očito." To je slučaj kada nemam metodu za izračun svih opcija. Naravno, mogao bih grubo forsirati problem putem računalnog algoritma, ali bilo bi puno zanimljivije saznati matematički način za njegovo rješavanje.
Znajući da se vjerojatnost može izmjeriti, pokušajmo je izraziti brojevima. Postoje tri moguća puta.
Riža. 1.1. Mjerenje vjerojatnosti
VJEROJATNOST ODREĐENA SIMETRIJOM
Postoje situacije u kojima su mogući ishodi jednako vjerojatni. Na primjer, pri jednom bacanju novčića, ako je novčić standardan, vjerojatnost dobivanja glave ili repa je ista, t.j. P(glave) = P(repovi). Budući da su moguća samo dva ishoda, onda je P(glave) + P(repovi) = 1, dakle P(glave) = P(repovi) = 0,5.
U eksperimentima u kojima ishodi imaju jednake šanse za nastup, vjerojatnost događaja E, P(E) je:
Primjer 1.1. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerojatnost dvije glave i jednog repa?
Za početak, pronađimo sve moguće ishode: Kako bismo bili sigurni da smo pronašli sve moguće opcije, koristit ćemo dijagram stabla (vidi Poglavlje 1. odjeljak 1.3.1).
Dakle, postoji 8 jednako vjerojatnih ishoda, pa je vjerojatnost za njih 1/8. Događaj E - dva "orla" i "repa" - bila su tri. Zato:
Primjer 1.2. Standardna kocka se baca dvaput. Kolika je vjerojatnost da je zbroj bodova 9 ili više?
Pronađimo sve moguće ishode.
Tablica 1.2. Ukupan broj bodova dobiven dvostrukim bacanjem kocke
Dakle, u 10 od 36 mogućih ishoda, zbroj bodova je 9, odnosno:
EMPIRIJSKI ODREĐENA VJEROJATNOST
Primjer s novčićem iz tablice. 1.1 jasno ilustrira mehanizam za određivanje vjerojatnosti.
Uz ukupan broj pokusa koji su uspješni, vjerojatnost željenog rezultata izračunava se na sljedeći način:
Omjer je relativna učestalost pojavljivanja određenog rezultata u dovoljno dugom eksperimentu. Vjerojatnost se izračunava ili na temelju podataka eksperimenta, na temelju prošlih podataka.
Primjer 1.3. Od petsto testiranih električnih svjetiljki, 415 je radilo više od 1000 sati. Na temelju podataka ovog eksperimenta može se zaključiti da je vjerojatnost normalnog rada svjetiljke ovog tipa više od 1000 sati:
Bilješka. Kontrola je destruktivna, tako da se sve svjetiljke ne mogu testirati. Kada bi se testirala samo jedna lampa, tada bi vjerojatnost bila 1 ili 0 (tj. hoće li moći raditi 1000 sati ili ne). Stoga je potrebno ponoviti eksperiment.
Primjer 1.4. U tablici. 1.3 prikazuje podatke o iskustvu muškaraca koji rade u tvrtki:
Tablica 1.3. Muško radno iskustvo
Kolika je vjerojatnost da će sljedeća osoba koju zaposli tvrtka raditi najmanje dvije godine?
Riješenje.
Tablica pokazuje da je 38 od 100 zaposlenika u tvrtki duže od dvije godine. Empirijska vjerojatnost da će sljedeći zaposlenik ostati u tvrtki dulje od dvije godine je:
Pritom pretpostavljamo da je novi zaposlenik “tipičan, a uvjeti rada nepromijenjeni.
SUBJEKTIVNA PROCJENA VJEROJATNOSTI
U poslovanju se često dešavaju situacije u kojima nema simetrije, a nema ni eksperimentalnih podataka. Stoga je određivanje vjerojatnosti povoljnog ishoda pod utjecajem stajališta i iskustva istraživača subjektivno.
Primjer 1.5.
1. Investicijski stručnjak smatra da je vjerojatnost ostvarivanja dobiti tijekom prve dvije godine 0,6.
2. Prognoza voditelja marketinga: vjerojatnost prodaje 1000 jedinica proizvoda u prvom mjesecu nakon njegovog izlaska na tržište je 0,4.
Formule za izračun vjerojatnosti događaja
1.3.1. Slijed neovisnih ispitivanja (Bernoullijeva shema)
Pretpostavimo da se neki pokus može ponoviti pod istim uvjetima. Neka se ovo iskustvo ostvari n puta, tj. slijed od n testovi.
Definicija. Slijed n testovi se zovu međusobno neovisni ako je bilo koji događaj povezan s danim testom neovisan o svim događajima povezanim s drugim testovima.
Recimo da neki događaj A vjerojatno da će se dogoditi str kao rezultat jednog testa ili se ne dogodi s vjerojatnošću q= 1- str.
Definicija . Slijed od n test formira Bernoullijevu shemu ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
podslijed n testovi su međusobno nezavisni,
2) vjerojatnost događaja A ne mijenja se od testa do testa i ne ovisi o rezultatu u drugim testovima.
Događaj A naziva se "uspjeh" testa, a suprotan događaj se naziva "neuspjeh". Razmislite o događaju
=( u n testovi su se dogodili točno m"uspjeh").
Za izračunavanje vjerojatnosti ovog događaja vrijedi Bernoullijeva formula
str(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
gdje 
- broj kombinacija n elemenata po m
:
=
=
.
Primjer 1.16. Bacite kocku tri puta. Pronaći:
a) vjerojatnost da će 6 bodova dvaput ispasti;
b) vjerojatnost da se broj šestica ne pojavi više od dva puta.
Riješenje . “Uspjeh” testa će se smatrati gubitkom lica na kockici sa slikom od 6 bodova.
a) Ukupan broj testova - n=3, broj “uspjeha” – m
= 2. Vjerojatnost “uspjeha” - str=
,
i vjerojatnost "neuspjeha" - q= 1 - =. Tada će, prema Bernoullijevoj formuli, vjerojatnost da strana sa šest bodova dvaput ispadne kao rezultat tri puta bacanja kocke biti jednaka
.
b) Označiti sa ALI događaj da će se lice s ocjenom 6 pojaviti najviše dva puta. Tada se događaj može predstaviti kao zbroji od tri nespojivi događaji A=
,
gdje NA 3 0 – događaj kada se lice interesa nikada ne pojavljuje,
NA 3 1 - događaj kada se lice interesa pojavi jednom,
NA 3 2 - događaj kada se lice interesa pojavljuje dvaput.
Bernoullijevom formulom (1.6) nalazimo
str(ALI)
= p(
)
=
str(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Uvjetna vjerojatnost događaja
Uvjetna vjerojatnost odražava utjecaj jednog događaja na vjerojatnost drugog. Utječe i promjena uvjeta pod kojima se eksperiment provodi
vjerojatnost nastanka događaja od interesa.
Definicija. Neka A i B- neki događaji i vjerojatnost str(B)> 0.
Uvjetna vjerojatnost razvoj događaja A pod uvjetom da „događaj Bveć dogodilo” je omjer vjerojatnosti nastanka ovih događaja i vjerojatnosti događaja koji se dogodio ranije od događaja čija se vjerojatnost treba pronaći. Uvjetna vjerojatnost se označava kao str(A B). Zatim po definiciji
str
(A
B)
=
.
(1.7)
Primjer 1.17. Baci dvije kocke. Prostor elementarnih događaja sastoji se od uređenih parova brojeva
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
U primjeru 1.16 utvrđeno je da događaj A=(broj bodova na prvoj kocki > 4) i događaj C=(zbroj bodova je 8) su ovisni. Napravimo odnos
.
Ovaj odnos se može protumačiti na sljedeći način. Pretpostavimo da je poznato da je rezultat prvog bacanja da je broj bodova na prvoj kocki > 4. Iz toga slijedi da bacanje druge kocke može dovesti do jednog od 12 ishoda koji čine događaj A:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
U isto vrijeme, događaj C samo dva od njih (5.3) (6.2) mogu se podudarati. U ovom slučaju, vjerojatnost događaja C
bit će jednaka 
. Dakle, informacije o nastanku događaja A utjecao na vjerojatnost nekog događaja C.
Vjerojatnost nastanka događaja
Teorem množenja
Vjerojatnost nastanka događajaA 1 A 2 A n određuje se formulom
str(A 1 A 2 A n)=str(A 1)str(A 2 A 1)) str(A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)
Za proizvod dva događaja slijedi da
str(AB)=str(A B)str{B)=str(B A)str{A). (1.9)
Primjer 1.18. U seriji od 25 artikala, 5 artikala je neispravno. 3 stavke se biraju nasumično. Odredite vjerojatnost da su svi odabrani proizvodi neispravni.
Riješenje. Označimo događaje:
A 1 = (prvi proizvod je neispravan),
A 2 = (drugi proizvod je neispravan),
A 3 = (treći proizvod je neispravan),
A = (svi proizvodi su neispravni).
Događaj ALI je proizvod triju događaja A = A 1 A 2 A 3 .
Iz teorema množenja (1.6) dobivamo
str(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = str(A 1) str(A 2 A 1))str(A 3 A 1 A 2).
Klasična definicija vjerojatnosti omogućuje nam pronalaženje str(A 1) je omjer broja neispravnih proizvoda i ukupnog broja proizvoda:
str(A 1)=
;
str(A 2) – ovo je omjer broja neispravnih proizvoda preostalih nakon povlačenja jednog, prema ukupnom broju preostalih proizvoda:
str(A 2
A 1))=
;
str(A 3) je omjer broja neispravnih proizvoda preostalih nakon povlačenja dvaju neispravnih proizvoda i ukupnog broja preostalih proizvoda:
str(A 3
A 1 A 2)=
.
Zatim vjerojatnost događaja A bit će jednaka
str(A)
=
=
.
Ovo je omjer broja onih opažanja u kojima se dotični događaj dogodio i ukupnog broja opažanja. Takvo tumačenje je dopušteno u slučaju dovoljno velikog broja opažanja ili eksperimenata. Na primjer, ako su otprilike polovica ljudi koje sretnete na ulici žene, tada možete reći da je vjerojatnost da je osoba koju sretnete na ulici žena 1/2. Drugim riječima, učestalost njegovog pojavljivanja u dugom nizu neovisnih ponavljanja slučajnog eksperimenta može poslužiti kao procjena vjerojatnosti događaja.
Vjerojatnost u matematici
U suvremenom matematičkom pristupu, klasičnu (to jest, ne kvantnu) vjerojatnost daje Kolmogorovljeva aksiomatika. Vjerojatnost je mjera P, koji je postavljen na setu x, nazvan prostor vjerojatnosti. Ova mjera mora imati sljedeća svojstva:
Iz ovih uvjeta proizlazi da je mjera vjerojatnosti P također ima imovinu aditivnost: ako se postavlja A 1 i A 2 ne sijeku, onda . Da biste to dokazali, morate staviti sve A 3 , A 4 , … jednako praznom skupu i primijeniti svojstvo prebrojive aditivnosti.
Mjera vjerojatnosti ne mora biti definirana za sve podskupove skupa x. Dovoljno ga je definirati na sigma-algebri koja se sastoji od nekih podskupova skupa x. U ovom slučaju, slučajni događaji se definiraju kao mjerljivi podskupovi prostora x, odnosno kao elementi sigma algebre.
Osjećaj vjerojatnosti
Kada ustanovimo da razlozi za stvarno pojavljivanje neke moguće činjenice nadmašuju suprotne razloge, razmatramo tu činjenicu vjerojatno, inače - nevjerojatan. Ova prevlast pozitivnih baza nad negativnim, i obrnuto, može predstavljati neodređeni skup stupnjeva, kao rezultat vjerojatnost(i nevjerojatnost) događa se više ili manje .
Komplicirane pojedinačne činjenice ne dopuštaju točan izračun njihovih stupnjeva vjerojatnosti, ali čak je i ovdje važno uspostaviti neke velike podjele. Tako, primjerice, u području prava, kada se na temelju iskaza svjedoka utvrdi osobna činjenica koja je predmet suđenja, ona uvijek ostaje, strogo govoreći, samo vjerojatna, a potrebno je znati kolika je ta vjerojatnost; u rimskom pravu ovdje je prihvaćena četverostruka podjela: probatio plena(gdje se vjerojatnost praktički pretvara u autentičnost), Nadalje - probatio minus plena, zatim - probatio semiplena major i konačno probatio semiplena minor .
Osim pitanja vjerojatnosti slučaja, može se postaviti, kako u području prava tako i u području morala (s određenog etičkog gledišta), pitanje kolika je vjerojatnost da će određena činjenica predstavlja povredu općeg zakona. Ovo pitanje, koje služi kao glavni motiv u vjerskoj jurisprudenciji Talmuda, također je potaknulo rimokatoličku moralnu teologiju (osobito od krajem XVI stoljeća) vrlo složene sustavne konstrukcije i ogromna literatura, dogmatski i polemički (vidi Vjerojatnost).
Koncept vjerojatnosti dopušta određeni brojčani izraz u svojoj primjeni samo na one činjenice koje su dio određenih homogenih nizova. Dakle (u najjednostavnijem primjeru), kada netko baci novčić sto puta zaredom, ovdje nalazimo jednu opću ili veliku seriju (zbroj svih padova novčića), koja se sastoji od dva privatna ili manja, u ovom padež brojčano jednak, serija (pada "orao" i padajući "repovi"); Vjerojatnost da u ovaj put novčić će pasti na repove, odnosno da će ovaj novi član općeg niza pripadati ovom od dva manja niza, jednak je razlomku koji izražava brojčani omjer između ove male serije i velike serije, odnosno 1/2, tj. , ista vjerojatnost pripada jednom ili drugom od dva privatna reda. U manje jednostavni primjeri zaključak se ne može izvući izravno iz podataka samog problema, već je potrebno prethodno uvođenje. Tako se, na primjer, pita: čemu služi vjerojatnost ovo novorođenče doživjeti 80 godina? Ovdje bi trebao napraviti opći, ili veliki, niz poznati broj ljudi rođeni u sličnim uvjetima i koji umiru u različitoj dobi (ovaj broj bi trebao biti dovoljno velik da eliminira slučajna odstupanja, a dovoljno mali da očuva homogenost serije, jer za osobu rođenu, na primjer, u Sankt Peterburgu u bogatoj kulturnoj sredini obitelj, cjelokupna milijunta populacija grada, čiji značajan dio čine ljudi raznih skupina koje mogu umrijeti prije vremena - vojnici, novinari, radnici opasne profesije, - predstavlja grupu previše heterogenu za današnju definiciju vjerojatnosti); neka se ovaj ukupan broj sastoji od deset tisuća ljudski životi; uključuje manje redove koji predstavljaju broj onih koji dožive ovu ili onu dob; jedan od tih manjih redova predstavlja broj onih koji žive do 80 godina. Ali nemoguće je odrediti veličinu ove manje serije (kao i svih ostalih). apriorno; to se radi na čisto induktivan način, putem statistike. Pretpostavimo da su statističke studije utvrdile da od 10 000 peterburšana srednje klase, samo 45 preživi do 80. godine života; tako je ovaj manji niz povezan s većim kao 45 do 10 000, a vjerojatnost za ova osoba pripadati ovoj manjoj seriji, odnosno doživjeti 80 godina, izražava se kao razlomak od 0,0045. Proučavanje vjerojatnosti s matematičke točke gledišta čini posebnu disciplinu, teoriju vjerojatnosti.
vidi također
Bilješke
Književnost
- Alfred Renyi. Slova o vjerojatnosti / prev. iz Hunga. D. Saas i A. Crumley, ur. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970. godine
- Gnedenko B.V. Tečaj vjerojatnosti. M., 2007. 42 str.
- Kupcov V.I. Determinizam i vjerojatnost. M., 1976. 256 str.
Zaklada Wikimedia. 2010 .
Sinonimi:Antonimi:
Pogledajte što je "vjerojatnost" u drugim rječnicima:
Opće znanstvene i filozofske. kategorija koja označava kvantitativni stupanj mogućnosti pojave masovnih slučajnih događaja u fiksnim uvjetima promatranja, karakterizirajući stabilnost njihovih relativnih frekvencija. U logici, semantički stupanj ... ... Filozofska enciklopedija
VJEROJATNOST, broj u rasponu od nula do jedan, koji predstavlja mogućnost ostvarenja ovaj događaj. Vjerojatnost događaja definira se kao omjer broja prilika da se događaj može dogoditi i ukupnog broja mogućih ... ... Znanstveno-tehnički enciklopedijski rječnik
Po svoj prilici .. Rječnik ruskih sinonima i izraza sličnih po značenju. pod, ispod. izd. N. Abramova, M.: Ruski rječnici, 1999. vjerojatnost, mogućnost, vjerojatnost, šansa, objektivna mogućnost, maza, dopuštenost, rizik. Mrav. nemogućnost..... Rječnik sinonima
vjerojatnost- Mjera da se događaj može dogoditi. Napomena Matematička definicija vjerojatnosti je "stvarni broj između 0 i 1 povezan sa slučajnim događajem." Broj može odražavati relativnu frekvenciju u nizu opažanja ... ... Priručnik tehničkog prevoditelja
Vjerojatnost- "matematička, numerička karakteristika stupnja mogućnosti nastanka bilo kojeg događaja u određenim specifičnim uvjetima koji se može ponoviti neograničen broj puta." Na temelju ovog klasika.... Ekonomsko-matematički rječnik
- (vjerojatnost) Mogućnost nastanka događaja ili određenog rezultata. Može se predstaviti kao ljestvica s podjelama od 0 do 1. Ako je vjerojatnost događaja nula, njegovo pojavljivanje je nemoguće. S vjerojatnošću jednakom 1, početak ... Pojmovnik poslovnih pojmova