Ova izjava je znak djeljivosti brojevima, koji se može prikazati kao umnožak dvaju međusobno prostih brojeva.

Na primjer, kako je 6 = 2 ∙ 3 ​​​​i D (2, 3) = 1, dobivamo znak djeljivosti sa 6. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 6, potrebno je i dovoljno da bude djeljiv i sa 2 i sa 3.

Imajte na umu da se ova značajka može koristiti više puta.

c) Privatni, dobiven dijeljenjem dva zadana broja i
njihov najveći zajednički djelitelj su prosti
brojevima.

Ovo se svojstvo može koristiti pri provjeri točnosti pronađenog najvećeg zajedničkog djelitelja zadanih brojeva. Na primjer, provjerimo je li broj 12 najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 36. Da bismo to učinili, prema posljednjoj tvrdnji, 24 i 36 podijelimo s 12. Dobivamo brojeve 2, odnosno 3, koji su prosti. Posljedično,

D(24, 36) = 12.

Vježbe

1. Zadani su brojevi 36 i 45.

a) Pronađite sve zajedničke djelitelje tih brojeva.

b) Možete li navesti sve njihove zajedničke višekratnike?

c) Odredi tri troznamenkasta broja koji su zajednički višekratnici zadanih brojeva.

d) Što su D(36, 45) i K(36, 45)? Kako provjeriti točnost dobivenih odgovora?

2. Jesu li unosi točni:

a) D(32, 8) = 8 i K(32,8) = 32;

b) D(17,35)=1 i K(17,35)=595;

c) D(255,306) = 17 i K(255,306),= 78030,

3. Nađite K(a, b) ako je poznato da je:

a) a = 47,b=105 i D(47,105)= 1;

b) a = 315, b = 385 i D (315.385) = 35.

4. Formulirajte znakove djeljivosti s 12,15,18,36,45,75.

5. Iz skupa brojeva 1032, 2964,5604,8910, 7008 ispiši one koji su djeljivi s 12.

6. Jesu li 548 i 942 djeljivi s 18?

7. Broju 15 pribrojite lijevo i desno; jednu znamenku tako da dobiveni broj bude djeljiv s 15.

8. Nađi brojeve a i 6 broja 72, ako se zna da je taj broj djeljiv s 45.

9 Bez množenja i dijeljenja kutom odredi koji su od sljedećih umnožaka djeljivi s 30:

a) 105∙20; 6)47∙12∙5; c) 85∙33∙7.

10. Bez zbrajanja ili oduzimanja odredite koji su izrazi djeljivi s 36.

a) 72 + 180 + 252; c) 180 + 252 + 100;

b) 612-432; d) 180 + 250 + 200.

91. Prosti brojevi

Prosti brojevi igraju veliku ulogu u matematici - u biti, oni su "cigle" od kojih se grade složeni počeci. To je navedeno u teoremu koji se naziva temeljni teorem aritmetike prirodnih brojeva, a koji je dan bez dokaza:

Teorem: Svaki složeni broj može se jedinstveno prikazati kao umnožak prostih faktora.

Na primjer, zapis 110 = 2∙5∙11 je prikaz broja 110 kao produkta prostih faktora ili njegovog rastavljanja na proste faktore.

Dva rastavljanja broja na proste faktore smatraju se istima ako se međusobno razlikuju samo po redoslijedu faktora. Stoga je prikaz broja 110 kao umnožak 2∙5∙11 ili umnožak 5∙2∙11, u biti, isto rastavljanje broja 110 na proste faktore.

Pri rastavljanju brojeva na proste faktore koriste se znakovima djeljivosti s 2, 3, 5 itd. Prisjetite se jednog od načina zapisivanja rastavljanja brojeva na proste faktore. Rastavimo, na primjer, broj 90. Broj 90 je djeljiv s 2. Dakle, 2 je jedan od primarnih faktora u rastavljanju broja 90. Podijelimo 90 s 2. Broj 2 napišemo desno od znak jednakosti, a količnik 45 ispod broja 90. Broj 45 podijelimo s prostim brojem 3, dobijemo 15. 15 podijelimo s 3, dobijemo 5. Broj 5 je prost, kada ga podijelimo s 5 dobivamo 1. Faktorizacija je završena.

90 = 2∙3∙3∙5

Pri rastavljanju broja na proste faktore umnožak istih faktora predstavlja se kao potencija: 90 = 2∙3 2∙5; 60 = 2 2 ∙3∙5; 72 = 2 3 ∙ 3 2 . Takvo rastavljanje broja na proste faktore zove se kanonsko.

U vezi s mogućnošću predstavljanja bilo kojeg složenog broja kao umnoška prostih faktora, postaje nužno odrediti je li dati broj prost ili složen. Starogrčki matematičari, koji su poznavali mnoga svojstva prostih brojeva, već su mogli riješiti ovaj problem. Tako je Eratosten (III. stoljeće prije Krista) izumio metodu za dobivanje prostih brojeva koji ne prelaze prirodni broj a. Iskoristimo ga da pronađemo sve proste brojeve do 50.

Zapisujemo sve prirodne brojeve od 1 do 50 i precrtavamo broj 1 - nije prost. Broj 2 je prost, zaokružite ga. Nakon toga svaki drugi broj iza 2 precrtavamo, tj. brojevi 4,6,8,...

Prvi neprecrtani broj 3 je prost, zaokružite ga. I precrtajte svaki treći broj iza 3, tj. brojevi 9, 15, ... (brojevi 6,12 itd. su ranije precrtani).

Prvi neprecrtani broj 5 je prost, također ćemo ga zaokružiti. Precrtajte svaki peti broj iza 5 itd.

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Oni brojevi koji ostanu nakon četiri brisanja (isključujući brojeve 2,3,5 i 7) nisu djeljivi ni s 2, ni s 3, ni s 5, ni sa 7. U aritmetici se dokazuje da ako je prirodni broj a veći od jedan , nije djeljiv ni s jednim od prostih brojeva čiji kvadrat ne prelazi o, tada a broj je prost. Budući da je 7 2 = 49 i 49< 50, то все оставшиеся числа - простые.

Dakle, prosti brojevi koji ne prelaze 50 su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Opisana metoda dobivanja prostih brojeva naziva se Eratostenovo sito, jer vam omogućuje da procijedite složene brojeve jedan po jedan.

Koristeći metodu koju je predložio Eratosten, mogu se pronaći svi prosti brojevi koji ne prelaze zadani broj a. Ali on ne odgovara na pitanje je li skup prostih brojeva konačan ili ne, jer bi se moglo ispostaviti da su svi brojevi, počevši od nekog broja, složeni i da je skup prostih brojeva konačan. Drugi grčki matematičar, Euklid, bavio se ovim problemom. Dokazao je da je skup prostih brojeva beskonačan.

Doista, pretpostavimo da je skup prostih brojeva konačan i iscrpljen brojevima 2, 3, 5, 7, 7 - najvećim prostim brojem. Sve proste brojeve množimo i njihov umnožak označavamo s a. Ovom broju dodajmo 1. Koliki ćemo broj dobiti

i + 1 - jednostavno ili složeno?

glavni broj a+1 ne može biti, jer je veći od najvećeg prostog broja, a po pretpostavci takvi brojevi ne postoje. Ali ne može biti ni složeno: ako a+ 1 .složenica, onda mora imati barem jedan prosti djelitelj q. Budući da broj

a = 2∙3∙5∙...∙ R također djeljiv s ovim prostim brojem q, tada je razlika ( a + 1) - a, tj. broj 1 je djeljiv sa q, što je nemoguće.

Dakle, broj a nije ni prost ni složen, ali to ne može biti ni jedno ni drugo - svaki broj osim 1 je ili prost ili složen. Stoga je naša tvrdnja da je skup prostih brojeva konačan i da je najveći prosti broj netočna, pa je stoga skup prostih brojeva beskonačan.

Vježbe

1. Iz skupa brojeva 13, 27, 29, 51, 67 ispiši jednostavne
brojeve i faktorizirati kompozite na proste faktore.

2. Dokažite da broj 819 nije prost broj.

3. Rastavite brojeve 124.588.2700.3780 na proste faktore.

4. Koji broj ima dekompoziciju:

a) 2 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; b) 2 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5 3 ?

Jedan od najkarizmatičnijih i najistaknutijih umjetnika ruske kinematografije u posljednje vrijeme kao da je nestao iz javnosti. O Aleksandru Domogarovu se toliko malo čuje da bi njegovi brojni obožavatelji mogli zaključiti da se glumac zatvorio od svijeta. No, na sebe redovito podsjeća na društvenim mrežama, gdje je prije nekoliko sati osvanula alarmantna objava.

Podsjetimo, 53-god Nacionalni umjetnik Rusija, osim što snima film, sa zadovoljstvom i ponosom igra u kazalištu. Od 1995. Domogarov služi u glavnom gradu kazališta Mossovet, gdje je igrao uloge u mnogim predstavama, od kojih su tri na trenutnom repertoaru. Glumac se smatra zvijezdom ovog kazališta, fotografije s Domogarovom na pozornici krase ulaz, mnogi obožavatelji idu na predstave s njegovim sudjelovanjem.

No, u svojoj objavi u Alexander Yuryevich rekao je da je "uklonjen s nastupa" i "ovo je vrlo ozbiljno."

Uklonjen s nastupa! Pa izdrži! Mirniji sam nego ući i pozdraviti "kolege" koje pljuju u leđa! - piše umjetnik. - Neću više dopustiti, zbog neke želje, smjenjivati ​​i postavljati, smjenjivati ​​i vraćati, davati na turneju ili ne davati. ... Ali čim su me maknuli sa svih nastupa, na radost mojih "kolega", napisano je priopćenje. Napisano 9. siječnja. Još uvijek nije potpisan. Ali, drage kolege, bit će potpisan, čak i čisto pravno. Svi naši dogovori s kazalištem bit će ispunjeni s moje strane, tako da ćete me ponekad "kolege" morati trpjeti kad trebam pokupiti stvari u garderobi, a ubuduće će kazalište zaboraviti, kao što ste i vi zaboravili predstave koje su trajale 10-12 godina skupljale dvorane i zaboravit ćete kako ste ih uništavali. Živi, Bog ti je sudac. Doviđenja kolege.

Dobili smo Alexandera Domogarova sa zahtjevom da komentira situaciju.

Ne čitate moje postove, jer u njima ima istine i to samo djelić. Ali u principu, to odgovara stvarnosti, - odgovorio je Aleksandar Domogarov i spustio slušalicu.

Podsjetimo da je Alexander Domogarov bio službeno oženjen tri puta. Prva supruga Natalija Sagojan rodila mu je sina Dmitrija. Prije 10 godina prvorođeni glumac poginuo je u nesreći. Od svoje druge supruge, Irine Gunenkove, glumac ima sina Aleksandra Domogarova, također je postao glumac. Treća supruga, glumica Natalija Gromuškina, bila je u braku s njim 4 godine. Glumac je prije tri godine izjavio: “Sin mi je poginuo u prometnoj nesreći, nisam našao kraj, ali nisam se naljutio na zemlju! U cijelom svijetu tako - postoje jaki i postoje neranjivi. Ali ja ću sam riješiti i riješiti svoj problem. I ja ću to riješiti, ali neću kukati na vlast i vlastodršce. Ja ću odlučiti i odlučiti. I zemlja mi daje tu priliku.”

Opcija br. 4557112

Prilikom rješavanja zadataka s kratkim odgovorom u polje za odgovor upisuje se broj koji odgovara broju točnog odgovora ili broj, riječ, niz slova (riječi) ili brojeva. Odgovor treba napisati bez razmaka ili dodatnih znakova. Odvojite razlomak od cijele decimalne točke. Mjerne jedinice nisu potrebne.

Ukoliko nastavnik postavi opciju, odgovore na zadatke s detaljnim odgovorom možete unijeti ili učitati u sustav. Učitelj će vidjeti rezultate zadataka s kratkim odgovorima i moći će ocijeniti učitane odgovore zadacima s dugim odgovorima. Bodovi koje je dao učitelj bit će prikazani u vašoj statistici.

Verzija za ispis i kopiranje u MS Wordu

Brojevi se zapisuju u nizu: , , ..., , Između njih se nasumično stavljaju znakovi “+” i “-” i dobiva se dobiveni zbroj.

Može li ovaj iznos biti jednak:

a) −4 ako je ?

b) 0 ako ?

c) 0 ako ?

d) −3 ako je ?

Duljine stranica pravokutnika su prirodni brojevi, a njegov opseg je 200. Poznato je da je duljina jedne stranice pravokutnika n n je također prirodan broj.

n>100.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zamišljeno je nekoliko (ne nužno različitih) prirodnih brojeva. Ovi brojevi i svi njihovi mogući zbrojevi (po 2, po 3 itd.) ispisani su na ploči neopadajućim redoslijedom. Ako neki broj n napisano na ploči ponavlja se nekoliko puta, zatim se jedan takav broj ostavlja na ploči n, a ostali brojevi su n, brišu se. Na primjer, ako su zamišljeni brojevi 1, 3, 3, 4, tada će skup 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 biti ispisan na ploči.

a) Navedite primjer zamišljenih brojeva za koje će skup 2, 4, 6, 8, 10 biti ispisan na ploči.

b) Postoji li primjer ovako zamišljenih brojeva za koje će skup 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22 biti napisan na odbor?

c) Navedite sve primjere predviđenih brojeva za koje će skup 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41 biti ispisan na ploči.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Duljine stranica pravokutnika su prirodni brojevi, a njegov opseg je 4000. Poznato je da je duljina jedne stranice pravokutnika n% duljine druge strane, gdje je n je također prirodan broj.

što najveća vrijednost može uzeti površinu pravokutnika?

b) Što najmanja vrijednost može uzeti površinu pravokutnika?

c) Nađite sve moguće vrijednosti koje može poprimiti površina pravokutnika, ako je dodatno poznato da n

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Ima 8 karata. Na njima su jedan po jedan napisani brojevi 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Karte se okreću i miješaju. Na njihovim čistim stranama svaki od brojeva 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 prepisuje se jedan po jedan. Nakon toga se brojevi na svakoj kartici zbrajaju, a dobiveni osam zbrojeva se množi.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zamišljeno je nekoliko cijelih brojeva. Skup ovih brojeva i svi njihovi mogući zbrojevi (po 2, po 3 itd.) ispisani su na ploči neopadajućim redom. Na primjer, ako su zamišljeni brojevi 2, 3, 5, tada će skup 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 biti napisan na ploči.

a) Na ploči je napisan skup -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Koji su brojevi zamišljeni?

b) Za neke različite zamišljene brojeve u skupu ispisanom na ploči broj 0 pojavljuje se točno 4 puta. Koji je najmanji broj brojeva koji se može zamisliti?

c) Za neke zamišljene brojeve na ploči je napisan skup. Je li uvijek moguće jednoznačno odrediti željene brojeve iz tog skupa?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Ispred svakog od brojeva 14, 15, . . ., 20 i 4, 5, . . ., 8 proizvoljno stavlja znak plus ili minus, nakon čega se svaki od formiranih brojeva drugog skupa oduzima od svakog od formiranih brojeva prvog skupa, a zatim se zbrajaju svih 35 rezultata. Koji je najmanji modul, a koji najveći iznos koji se može dobiti kao rezultat?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Ima 8 karata. Svaki od brojeva je napisan na njima jedan po jedan:

Karte se okreću i miješaju. Na svoje čiste strane ponovno napišu jedan od brojeva:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Nakon toga se zbrajaju brojevi na svakoj kartici, a dobivenih osam iznosa se množi.

a) Može li rezultat biti 0?

b) Može li rezultat biti 117?

c) Koji je najmanji nenegativan cijeli broj koji može rezultirati?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Broj je takav da se za bilo koju reprezentaciju kao zbroj pozitivnih članova, od kojih svaki ne prelazi ove članove, može podijeliti u dvije skupine tako da svaki član spada u samo jednu skupinu, a zbroj članova u svakoj skupini ne premašiti

a) Može li broj biti jednak?

b) Može li broj biti veći?

c) Pronađite najveću moguću vrijednost

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zadana je aritmetička progresija (s razlikom različitom od nule) sastavljena od prirodnih brojeva čiji decimalni zapis ne sadrži znamenku 9.

(a) Može li postojati deset članova u takvoj progresiji?

b) Dokažite da je broj njegovih članova manji od 100.

c) Dokažite da je broj članova bilo koje takve progresije najviše 72.

d) Navedite primjer takve progresije sa 72 člana

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Svaki od brojeva 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 napisan je jedan po jedan na 8 kartica. Karte se okreću i miješaju. Na njihovim čistim stranama ponovno se ispisuje jedan po jedan svaki od brojeva 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Nakon toga se brojevi na svakoj kartici zbrajaju i dobivenih osam zbrojeva se množi.

a) Može li rezultat biti 0?

b) Može li rezultat biti 1?

c) Koji je najmanji nenegativan cijeli broj koji može rezultirati

uspjeti?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Na ploči je napisan broj 7. Jednom u minuti Vasja na ploču zapisuje jedan broj: ili dvostruko veći od jednog od brojeva na ploči, ili jednak zbroju neka dva broja napisana na ploči (dakle, za jednu minutu pojavit će se drugi broj na broju ploče, nakon dvije - treći, itd.).

a) Može li se u nekom trenutku na ploči pojaviti broj 2012?

b) Može li zbroj svih brojeva na ploči u nekom trenutku biti 63?

c) Koliko je najkraće vrijeme potrebno da se broj 784 pojavi na ploči?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Pronađite sve proste brojeve b, za svaki od njih postoji cijeli broj a za koji se razlomak može smanjiti b.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Prirodni brojevi od 1 do 20 podijeljeni su u četiri skupine od kojih svaka sadrži najmanje dva broja. Za svaku skupinu pronađite zbroj brojeva u ovoj skupini. Za svaki par skupina nalazi se modul razlike između pronađenih zbrojeva i zbraja se dobivenih 6 brojeva.

a) Može li rezultat biti 0?

b) Može li rezultat biti 1?

c) Koja je najmanja moguća vrijednost dobivenog rezultata?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Ispred svakog od brojeva 3, 4, 5, . . . 11 i 14, 15, . . . 18 proizvoljno stavlja znak plus ili minus, nakon čega se svaki od formiranih brojeva drugog skupa pribraja svakom od formiranih brojeva prvog skupa, a zatim se zbraja svih 45 rezultata. Koji je najmanji modulo zbroj, a koji najveći zbroj koji se može dobiti kao rezultat?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Brojevi od 10 do 21 upisani su jednom u krug određenim redoslijedom.Za svaki od dvanaest parova susjednih brojeva nađen je njihov najveći zajednički djelitelj.

a) Mogu li biti da su svi najveći zajednički djelitelji jednaki 1?

b) Je li moguće da su svi najveći zajednički djelitelji po parovima različiti?

c) Koji je najveći broj upareno različitih najvećih zajedničkih djelitelja koji se može dobiti?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Svaki od brojeva 5, 6, . . ., 9 se množi sa svakim od brojeva 12, 13, . . ., 17 i ispred svake proizvoljne slike staviti znak plus ili minus, nakon čega se zbraja svih 30 rezultata. Koji je najmanji modulo zbroj, a koji najveći zbroj koji se može dobiti kao rezultat?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Na kružnicu su na neki način postavljeni prirodni brojevi od 1 do 21 (svaki broj je postavljen jednom). Zatim smo za svaki par susjednih brojeva pronašli razliku između većeg i manjeg broja.

a) Mogu li sve dobivene razlike biti najmanje 11?

b) Mogu li sve rezultirajuće razlike biti najmanje 10?

c) Osim dobivenih razlika, za svaki par brojeva koji je stajao kroz jedan, pronašli su razliku između većeg i manjeg. Što je najveći cijeli broj k možete rasporediti brojeve na takav način da sve razlike nisu manje od k?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zamišljeno je nekoliko cijelih brojeva. Skup ovih brojeva i svi njihovi mogući zbrojevi (po 2, po 3 itd.) ispisani su na ploči neopadajućim redom. Na primjer, ako su zamišljeni brojevi 2, 3, 5, tada će skup 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 biti napisan na ploči.

a) Na ploči je napisan skup -6, -2, 1, 4, 5, 7, 11. Koji su brojevi zamišljeni?

b) Za neke različite zamišljene brojeve u skupu ispisanom na ploči, broj 0 pojavljuje se točno 7 puta. Koji je najmanji broj brojeva koji se može zamisliti?

c) Za neke zamišljene brojeve na ploči je napisan skup. Je li uvijek moguće jednoznačno odrediti željene brojeve iz tog skupa?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

n n n

a) Navedite primjer zamišljenih brojeva za koje će skup 2, 4, 6, 8 biti ispisan na ploči.

b) Postoji li primjer ovako koncipiranih brojeva za koje će skup 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22 biti napisan na odbor?

c) Navedite sve primjere predviđenih brojeva za koje će na ploči biti ispisan skup 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Pronađite nesvodivi razlomak takav da

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

a) Na koji način se broj 1292 može napisati u obliku gdje su brojevi cijeli brojevi,

b) Postoji li 10 različitih brojeva tako da se mogu predstaviti kao da su brojevi cijeli brojevi na točno 130 načina?

c) Koliko ima brojeva N takvih da se mogu prikazati u obliku u kojem su brojevi cijeli brojevi na točno 130 načina?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zamišljeno je nekoliko (ne nužno različitih) prirodnih brojeva. Ovi brojevi i svi njihovi mogući zbrojevi (po 2, po 3 itd.) ispisani su na ploči neopadajućim redoslijedom. Ako neki broj n napisano na ploči ponavlja se nekoliko puta, zatim se jedan takav broj ostavlja na ploči n, a ostali brojevi su n, brišu se. Na primjer, ako su zamišljeni brojevi 1, 3, 3, 4, tada će skup 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 biti ispisan na ploči.

a) Navedite primjer zamišljenih brojeva za koje će skup 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 biti ispisan na ploči.

b) Postoji li primjer ovako zamišljenih brojeva za koje će skup 1,3,4,6,7,8,10,11,12,13,15,16,17,19,20,22 biti napisan na odbor?

c) Navedite sve primjere zamišljenih brojeva za koje će na ploči biti ispisan skup 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Kolja je pomnožio neki prirodni broj sa susjednim prirodnim brojem i dobio umnožak jednak m. Vova je pomnožio neki paran prirodni broj sa susjednim parnim prirodnim brojem i dobio umnožak jednak n.

m i n jednako 6?

m i n jednako 13?

m i n?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Među običnim razlomcima s pozitivnim nazivnicima koji se nalaze između brojeva i pronađite onaj čiji je nazivnik minimalan.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Svaki iz skupine učenika išao je u kino ili kazalište, a moguće je da je netko od njih išao i u kino i u kazalište. Poznato je da u kazalištu nije bilo više dječaka od ukupnog broja učenika u grupi koji su posjetili kazalište, a u kinu nije bilo više dječaka od ukupnog broja učenika u grupi koji su posjetili kino.

a) Može li u grupi biti 9 dječaka ako se dodatno zna da je u grupi bilo ukupno 20 učenika?

b) Koji bi najveći broj dječaka MOGAO biti u grupi ako se dodatno zna da je u grupi bilo 20 učenika?

c) Koliki je bio najmanji udio djevojčica u ukupnom broju učenika u skupini bez dodatnog uvjeta točaka a i b?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zadan je troznamenkasti prirodni broj (broj ne može počinjati od nule) koji nije višekratnik broja 100.

a) Može li kvocijent tog broja i zbroja njegovih znamenki biti jednak 82?

b) Može li kvocijent tog broja i zbroja njegovih znamenki biti jednak 83?

c) Koja je najveća prirodna vrijednost zadanog broja i zbroja njegovih znamenki?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Država Delphinia ima sljedeći sustav poreza na dohodak ( novčana jedinica Delfini - zlatni):

a) Dva brata su zaradila ukupno 1000 zlata. Kako im je najisplativije taj novac podijeliti među sobom, da obitelj ima što više više novca nakon poreza? Pri podjeli svatko dobiva cijeli broj zlatnika.

b) Koji je najbolji način raspodjele istih 1000 zlatnika među tri brata, pod uvjetom da svaki dobije i cijeli broj zlatnika?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Petya je pomnožio neki prirodni broj sa susjednim prirodnim brojem i dobio umnožak jednak a. Vasja je pomnožio neki paran prirodni broj sa susjednim parnim prirodnim brojem i dobio umnožak jednak b.

a) Može li modul razlike brojeva a i b jednako 8?

b) Može li modul razlike brojeva a i b jednako 11?

c) Koje vrijednosti modula razlike brojeva može poprimiti a i b?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Nađite sve takve parove prirodnih brojeva i takve da ako se decimalnom zapisu broja doda decimalni zapis broja s desne strane, dobije se broj koji je veći od umnoška brojeva i za

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Na ploči je napisano više od 40, ali manje od 48 cijelih brojeva. Aritmetička sredina tih brojeva je −3, aritmetička sredina svih pozitivnih je 4, a aritmetička sredina svih negativnih je −8.

a) Koliko je brojeva napisano na ploči?

b) Kojih je brojeva više napisano: pozitivnih ili negativnih?

c) Koji je najveći broj pozitivnih brojeva među njima?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Postoje kameni blokovi: 50 komada od 800 kg, 60 komada od 1000 kg i 60 komada od 1500 kg (ne možete cijepati blokove).

a) Je li moguće sve te blokove odvesti u isto vrijeme na 60 kamiona, svaki nosivosti 5 tona, pod pretpostavkom da će odabrani blokovi stati u kamion?

b) Je li moguće sve te blokove istovremeno odvesti na 38 kamiona nosivosti 5 tona svaki, pod pretpostavkom da odabrani blokovi stanu u kamion?

c) Koji će najmanji broj kamiona, nosivosti od po 5 tona, biti potreban da se izvade svi ti blokovi u isto vrijeme, pod pretpostavkom da odabrani blokovi stanu u kamion?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Zadan je troznamenkasti prirodni broj (broj ne može počinjati od nule) koji nije višekratnik broja 100.

a) Može li kvocijent tog broja i zbroja njegovih znamenki biti jednak 90?

b) Može li kvocijent tog broja i zbroja njegovih znamenki biti jednak 88?

c) Koja je najveća prirodna vrijednost zadanog broja i zbroja njegovih znamenki?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Na ploči je napisano više od 40, ali manje od 48 cijelih brojeva. Aritmetička sredina tih brojeva je −3, aritmetička sredina svih pozitivnih je 4, a aritmetička sredina svih negativnih je −8.

a) Koliko je brojeva napisano na ploči?

b) Kojih je brojeva više napisano: pozitivnih ili negativnih?

c) Koji je najveći broj pozitivnih brojeva među njima?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

daju se n različiti prirodni brojevi koji čine aritmetičku progresiju

a) Može li zbroj svih zadanih brojeva biti jednak 14?

b) Koja je najveća vrijednost n ako je zbroj svih zadanih brojeva manji od 900?

c) Pronađite sve moguće vrijednosti n ako je zbroj svih zadanih brojeva 123.

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Može li se navesti primjer pet različitih prirodnih brojeva čiji je umnožak jednak 1512 i

b) četiri;

tvore li geometrijsku progresiju?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Nađi sve proste brojeve za svaki od kojih postoji cijeli broj za koji se razlomak može smanjiti

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Za dan niz prirodnih brojeva, svaki sljedeći član razlikuje se od prethodnog 10 ili 6 puta. Zbroj svih članova u nizu je 257.

a) Koji najmanji broj članova može biti u ovom nizu?

b) Koji najveći broj članova može biti u ovom nizu?

Rješenja zadataka s detaljnim odgovorom ne provjeravaju se automatski.
Na sljedećoj stranici od vas će se tražiti da ih sami provjerite.

Ako dva broja a i b kod dijeljenja brojem m daju isti ostatak, tada kažemo da je a kongruentno s b po modulu m. Zapiši to ovako a ≡ b (mod m)

Ako a a > b, tada najveći zajednički djelitelj a i b jednak je najvećem zajedničkom djelitelju a-b i b.

Razmotrite ova svojstva prilikom rješavanja problema:

1. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 1000 koji nisu djeljivi ni s 5 ni sa 7?

Riješenje: Od 999 brojeva precrtavamo manje od 1000 brojeva koji su višekratnici broja 5: ima ih 199 (999/5 = 199). Zatim precrtavamo brojeve koji su višekratnici broja 7: ima ih 142 (999/7 = 142). Ali među brojevima koji su višekratnici broja 7, postoji 28 (999/35 = 28) brojeva koji su istovremeno višekratnici broja 5; bit će dvaput prekriženi. Ukupno bismo trebali prekrižiti 199 + 142 - 28 = 313 brojeva.

Ostaje 999 - 313 = 686. Odgovor: 686 brojeva.

2. Pronađite ostatak od 2009⋅2010⋅2011+2012 2 podijeljeno sa 7.

Rješenje problema

S obzirom da je 2009⋮7, onda će ostatak biti 2012 2 ≡ 3 2 ≡ 2(mod7)

3. Poznato je da je ostatak nakon dijeljenja broja aa s 19 7, a da je broj b s 19 jednak 11. Odredite ostatak nakon dijeljenja s 19 broja ab(a+b)(a−b).

Rješenje problema

Primijetimo da je ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) = −224 = −228+4 ≡ 4 (mod19)

4. Dokažite da zbroj kvadrata tri cijela broja ne može, kad se podijeli s 8, ostaviti ostatak 7.

Riješenje

Svaki cijeli broj, kada se podijeli s 8, ima ostatak jednog od sljedećih osam brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, tako da kvadrat cijelog broja ima ostatak kada se podijeli s 8, jedan od tri broja 0, 1, 4. Da bi zbroj kvadrata tri broja imao ostatak 7 kada se podijeli s 8, mora biti zadovoljen jedan od dva slučaja: ili jedan od kvadrata, ili sva tri, kada podijeljeno s 8, imaju neparne ostatke.

U prvom slučaju neparni ostatak je 1, a zbroj dvaju parnih ostatka je 0, 2, 4, odnosno zbroj svih ostataka je 1, 3, 5. U tom slučaju ostatak 7 ne može biti dobiveno. U drugom slučaju, tri neparna ostatka su tri 1, a ostatak cijelog zbroja je 3. Dakle, 7 ne može biti ostatak kada se zbroj kvadrata tri cijela broja podijeli s 8.

5. Postoje li prirodni brojevi nn takvi da je n 2 +n+1 je djeljivo s 2014?

Rješenje problema

Imajte na umu da je n 2 + n = n(n + 1) djeljiv s 2, budući da je umnožak dva uzastopna broja, što znači da je n 2 + n + 1 uvijek neparan (ovo se također može vidjeti korištenjem Fermatovog malog teorema : n 2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2).

Budući da je broj 2014 paran, ne postoji n takav da je broj n 2 +n+1 djeljiv s 2014 (da takav n postoji, to bi proturječilo činjenici da je n 2 +n+1 neparan).

6. C Postoji li deseteroznamenkasti broj djeljiv s 11 u kojem se svaka znamenka pojavljuje jednom?

ja put. Ispisujući troznamenkaste brojeve djeljive s 11, među njima možete pronaći tri broja u čijem zapisu sudjeluju svi brojevi od 0 do 9. Na primjer, 275, 396.418. Uz njihovu pomoć možete napraviti deseteroznamenkasti broj djeljiv s 11. Na primjer:

2753964180 = 275 107 + 396 107 + 418 10 = 11 (25 107 + 36 104 + 38 10).

II način. Za pronalaženje traženog broja koristimo se kriterijem djeljivosti s 11 prema kojem su brojevi n = a 1 a 2 a 3 ... a 10 (u ovaj slučaj i i nisu faktori, već znamenke u zapisu broja n) i S(n) = a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 istovremeno su djeljive s 11.

Neka je A zbroj znamenki uključenih u S(n) sa znakom "+", B je zbroj znamenki uključenih u S(n) sa znakom "–". Broj A-B, prema uvjetu zadatka, mora biti djeljiv s 11. Stavimo B - A = 11, uz to, očito, A + B = 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45. Rješavanje rezultirajući sustav B - A = 11 , A + B = 45, nalazimo, A = 17, B = 28. Odaberimo grupu od pet različitih brojeva sa zbrojem 17. Na primjer, 1 + 2 + 3 + 5 + 6 \u003d 17. Ove ćemo brojeve uzeti kao brojeve s neparnim brojevima. Kao znamenke s parnim brojevima uzimamo preostale - 4, 7, 8, 9, 0.

Vidimo da je uvjet zadatka zadovoljen npr. brojem 1427385960.

7. Pronađite najmanji prirodni broj koji daje isti ostatak kada se podijeli s 25 kao 1234.

Riješenje

Uzmite u obzir ostatak kod dijeljenja broja 1234 s 25. Svi brojevi manji od njega daju druge ostatke, budući da su sami sebi ostaci. Ostatak kada se 1234 podijeli sa 25 je 9, pošto je 1234=49⋅25+9, ovo je odgovor.

8. Dobivši dvojku iz geografije, Vasya je odlučio prekinuti geografska karta odvojeno. Svaki komadić koji mu padne u ruke cijepa na četiri dijela. Može li ikada dobiti točno 2012 komada? 2013 komada? 2014 komada? 2015 komada?

Rješenje problema

Imajte na umu da Vasya svaki put povećava broj komada za 3, budući da pretvara jedan dio u četiri. Stoga će dobiti brojeve poput 1+3N, gdje je N broj komada koje je raskomadao. Broj 2014 ima ovaj oblik, pa će dobiti 2014 komada, dok se drugi ne mogu prikazati u ovom obliku (imaju ostatke kada se dijele s 3 0 ili 2).

9. Odredi najmanji prirodni broj koji daje sljedeće ostatke: 1 - kada se dijeli s 2, 2 - kada se dijeli s 3, 3 - kada se dijeli s 4, 4 - kada se dijeli s 5, 5 - kada se dijeli sa 6.

Rješenje problema

Smatrajte željeni broj uvećanim za jedan. Djeljiv je sa 2,3,4,5,6, jer daje ostatke jedan manje od samih djelitelja. Moramo pronaći najmanji takav broj, dakle, traženi broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 2,3,4,5,6 minus 1. Najmanji zajednički višekratnik od 2,3,4,5,6 je 2 2 ⋅3⋅5=60 , jer u brojevima 2,3,4,5,6 samo su 3 prosta djelitelja, trojka i petica ulaze u maksimum u prvi stupanj, a dvojka u drugi (u broj 4). Dakle, željeni broj je 60−1 = 59.