Chcete vedieť, aké sú matematické šance na úspech vašej stávky? Potom sú tu pre vás dve. dobré správy. Po prvé: na výpočet priechodnosti nemusíte vykonávať zložité výpočty a tráviť veľa času. Dosť na využitie jednoduché vzorce, s ktorým bude práca trvať niekoľko minút. Po druhé, po prečítaní tohto článku budete ľahko schopní vypočítať pravdepodobnosť absolvovania ktoréhokoľvek z vašich obchodov.
Ak chcete správne určiť priechodnosť, musíte vykonať tri kroky:
- Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
- Vypočítajte pravdepodobnosť zo štatistických údajov sami;
- Zistite hodnotu stávky pri oboch pravdepodobnostiach.
Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.
Rýchly prechod
Výpočet pravdepodobnosti vložené do stávkových kurzov
Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou stávková kancelária vyhodnocuje šance na konkrétny výsledok. Je predsa jasné, že stávkové kancelárie nestavia kurzy len tak. Na to používame nasledujúci vzorec:
PB=(1/K)*100 %,
kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
K - kurz stávkovej kancelárie na výsledok.
Povedzme, že na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v dueli proti Bayernu je kurz 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva BC sa považuje za (1/4) * 100 % = 25 %. Alebo hrá Djokovič proti Juhu. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sa rovnajú (1/1,2)*100%=83%.
Takto sama stávková kancelária vyhodnocuje šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.
Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom
Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia, herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky predchádzajúcich stretnutí. Na výpočet štatistickej pravdepodobnosti výsledku používame vzorec:
PA\u003d (UM / M) * 100 %,
kdePA- pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;
UM - počet úspešných zápasov, v ktorých sa takáto udalosť uskutočnila;
M je celkový počet zápasov.
Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal odohrali 14 zápasov. V 6 z nich bolo zaznamenaných celkovo menej ako 21 zápasov, v 8 celkovo nad. Je potrebné zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá celkovo nad: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala na Mestalle proti Atléticu 74 zápasov, v ktorých si pripísala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.
A to všetci vieme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pri niektorých nových tímoch alebo hráčoch sa takáto pravdepodobnosť nedá vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi nestretnú prvýkrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovanie a vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti, aby sme mohli prejsť do posledného kroku.
Určenie hodnoty stávky
Hodnota (hodnota) stávky a priechodnosť spolu priamo súvisia: čím vyššie zhodnotenie, tým väčšia šanca na úspešnosť. Hodnota sa vypočíta nasledujúcim spôsobom:
V=PA*K-100%,
kde V je hodnota;
P I - pravdepodobnosť výsledku podľa lepšieho;
K - kurz stávkovej kancelárie na výsledok.
Povedzme, že chceme staviť na Miláno, že vyhrá zápas proti Rímu a vypočítali sme, že pravdepodobnosť výhry červeno-čiernych je 45%. Stávková kancelária nám za tento výsledok ponúka koeficient 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Skvelé, máme cennú stávku s dobrými šancami na prihrávku.
Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme uzavrieť dohodu, aby Mária vyhrala, čo má podľa našich výpočtov 60% pravdepodobnosť. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok multiplikátor 1,5. Určte hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a mali by ste sa jej zdržať.
Vo svojom blogu preklad ďalšej prednášky kurzu „Principles of Game Balance“ od herného dizajnéra Jana Schreibera, ktorý pracoval na projektoch ako Marvel Trading Card Game a Playboy: the Mansion.
Predtým dnes takmer všetko, o čom sme hovorili, bolo deterministické a minulý týždeň sme sa podrobne pozreli na tranzitívnu mechaniku a rozobrali sme ju do takých podrobností, ako viem vysvetliť. Ale doteraz sme nevenovali pozornosť iným aspektom mnohých hier, a to nedeterministickým momentom - inými slovami náhodnosti.
Pochopenie podstaty náhodnosti je pre herných dizajnérov veľmi dôležité. Vytvárame systémy, ktoré ovplyvňujú používateľskú skúsenosť v danej hre, preto musíme vedieť, ako tieto systémy fungujú. Ak je v systéme náhodnosť, musíme pochopiť podstatu tejto náhodnosti a vedieť, ako ju zmeniť, aby sme dosiahli výsledky, ktoré potrebujeme.
Kocky
Začnime niečím jednoduchým – hádzaním kociek. Keď väčšina ľudí myslí na kocky, predstaví si šesťstennú kocku známu ako d6. Väčšina hráčov však videla mnoho iných kociek: štvorstranné (d4), osemstenné (d8), dvanásťstenné (d12), dvadsaťstenné (d20). Ak ste skutočný geek, možno máte niekde 30- alebo 100-zrnové kocky.
Ak túto terminológiu nepoznáte, d znamená kocku a číslo za ňou je počet jej tvárí. Ak je číslo pred d, znamená to počet kociek pri hode. Napríklad v hre Monopoly hádžete 2k6.
Takže v tento prípad fráza "kocky" je konvenčné označenie. Existuje obrovské množstvo iných generátorov náhodných čísel, ktoré nevyzerajú ako plastové figúrky, ale plnia rovnakú funkciu – generujú náhodné číslo od 1 do n. Obyčajnú mincu možno znázorniť aj ako dvojstennú kocku d2.
Videl som dva návrhy sedemstennej kocky: jeden vyzeral ako kocka a druhý vyzeral skôr ako sedemstenná drevená ceruzka. Tetraedrický dreidel, tiež známy ako titotum, je analógom tetraedrickej kosti. Hracia doska s rotujúcou šípkou v Chutes & Ladders, kde výsledok môže byť od 1 do 6, zodpovedá šesťstennej kocke.
Generátor náhodných čísel v počítači môže vygenerovať ľubovoľné číslo od 1 do 19, ak návrhár zadá takýto príkaz, hoci počítač nemá 19-hrannú kocku (vo všeobecnosti budem hovoriť viac o pravdepodobnosti získania čísel na počítač budúci týždeň). Všetky tieto položky vyzerajú odlišne, ale v skutočnosti sú ekvivalentné: máte rovnakú šancu na každý z niekoľkých možných výsledkov.
Kocky majú niekoľko zaujímavých vlastností, o ktorých musíme vedieť. Po prvé, pravdepodobnosť, že sa objaví niektorá z tvárí, je rovnaká (predpokladám, že hodíte kockou správnym geometrický tvar). Ak chcete poznať priemernú hodnotu hodu (pre tých, ktorí majú radi teóriu pravdepodobnosti, je známa ako očakávaná hodnota), spočítajte hodnoty na všetkých tvárach a vydeľte toto číslo počtom tvárí.
Súčet hodnôt všetkých stien pre štandardnú šesťstennú kocku je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vydeľte 21 počtom stien a získajte priemernú hodnotu hodu: 21 / 6 = 3,5. to špeciálny prípad, pretože predpokladáme, že všetky výsledky sú rovnako pravdepodobné.
Čo ak máte špeciálne kocky? Videl som napríklad hru so šesťhrannou kockou so špeciálnymi nálepkami na tvárach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže sa správa ako zvláštna trojstranná kocka, ktorá skôr hodí číslo 1 ako 2 a je pravdepodobnejšie, že padne 2 ako 3. Aká je priemerná hodnota hodu pre túto kocku? Takže 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, vydeľte 6 - dostanete 5/3 alebo približne 1,66. Ak teda máte špeciálnu kocku a hráči hodia tromi kockami a potom sčítajú výsledky, viete, že ich súčet bude asi 5 a na základe tohto predpokladu môžete hru vyvážiť.
Kocky a nezávislosť
Ako som už povedal, vychádzame z predpokladu, že vypadnutie každej tváre je rovnako pravdepodobné. Nezáleží na tom, koľko kociek tu hodíte. Každý hod kockou je nezávislý, čo znamená, že predchádzajúce hody neovplyvňujú výsledky nasledujúcich hodov. S dostatočným počtom pokusov si určite všimnete sériu čísel – napríklad hádzanie väčšinou vyšších alebo nižších hodnôt – alebo iné vlastnosti, ale to neznamená, že sú kocky „horúce“ alebo „studené“. O tom si povieme neskôr.
Ak hodíte štandardnou šesťstennou kockou a číslo 6 padne dvakrát za sebou, pravdepodobnosť, že výsledkom ďalšieho hodu bude 6, je tiež 1/6. Pravdepodobnosť sa nezvyšuje, pretože kocka sa "zahriala" ". Pravdepodobnosť sa zároveň neznižuje: je nesprávne tvrdiť, že číslo 6 už vypadlo dvakrát za sebou, čo znamená, že teraz musí vypadnúť ďalšia tvár.
Samozrejme, ak hodíte kockou dvadsaťkrát a zakaždým padne číslo 6, šanca, že dvadsiaty prvý raz padne 6, je dosť vysoká: možno máte len nesprávnu kocku. Ak je však kocka správna, pravdepodobnosť získania každej z tvárí je rovnaká, bez ohľadu na výsledky ostatných hodov. Môžete si tiež predstaviť, že kocku meníme zakaždým: ak číslo 6 hodilo dvakrát za sebou, odstráňte „horúcu“ kocku z hry a nahraďte ju novou. Ospravedlňujem sa, ak o tom niekto z vás už vedel, ale potreboval som to objasniť, kým sa pohnem ďalej.
Ako urobiť hod kockou viac-menej náhodne
Poďme si povedať, ako dosiahnuť rôzne výsledky na rôznych kockách. Ak hodíte kockou len raz alebo niekoľkokrát, hra sa bude zdať náhodnejšia, keď bude mať kocka viac hrán. Čím častejšie hádžete kockou a čím viac kociek hádžete, tým viac sa výsledky približujú k priemeru.
Napríklad v prípade 1k6 + 4 (teda ak raz hodíte štandardnou šesťstennou kockou a k výsledku pripočítate 4), priemer bude číslo medzi 5 a 10. Ak hodíte 5k2, priemer bude aj číslo medzi 5 a 10. Výsledkom hodenia 5d2 budú väčšinou čísla 7 a 8, menej často iné hodnoty. Rovnaká séria, dokonca rovnaká priemerná hodnota (7,5 v oboch prípadoch), ale charakter náhodnosti je odlišný.
Počkaj minútu. Nepovedal som práve, že kocky sa „nezahrievajú“ ani „nechladia“? A teraz hovorím: ak hodíte veľa kociek, výsledky hodov sú bližšie k priemernej hodnote. prečo?
Nechaj ma vysvetliť. Ak hodíte jednou kockou, pravdepodobnosť, že sa objavia všetky tváre, je rovnaká. To znamená, že ak v priebehu času hodíte veľa kociek, každá tvár sa objaví približne rovnako. Čím viac kociek hodíte, tým viac sa bude celkový výsledok približovať k priemeru.
Nie je to preto, že by hodené číslo "spôsobilo" hodenie iného čísla, ktoré ešte nebolo hodené. Pretože malá séria hodu čísla 6 (alebo 20, alebo nejakého iného čísla) v konečnom dôsledku veľa nezmení, ak kockou hodíte ešte desaťtisíckrát a väčšinou ide o priemer. Teraz budete mať niekoľko veľkých čísel a neskôr niekoľko malých - a časom sa priblížia k priemernej hodnote.
Nie je to preto, že by predchádzajúce hody ovplyvnili kocky (vážne, kocka je vyrobená z plastu, nemá mozog na to, aby si pomyslela: „Ach, už je to dávno, čo prišla dvojka“), ale preto, že sa to zvyčajne stáva s množstvom hodov.hranie kociek.
Je teda celkom jednoduché vypočítať pre jeden náhodný hod kockou - aspoň vypočítajte priemernú hodnotu hodu. Existujú aj spôsoby, ako vypočítať „ako je niečo náhodné“ a povedať, že výsledky hodu 1k6 + 4 budú „náhodnejšie“ ako 5k2. Pre 5d2 budú hodené výsledky rozdelené rovnomernejšie. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať smerodajnú odchýlku: čím väčšia hodnota, tým náhodnejšie budú výsledky. Nerád by som dnes dával toľko výpočtov, túto tému vysvetlím neskôr.
Jediná vec, ktorú vás chcem požiadať, aby ste si zapamätali, je, že vo všeobecnosti platí, že čím menej kociek hodíte, tým viac náhodných. A čím viac strán má kocka, tým viac náhodnosti, pretože existuje viac možností pre hodnotu.
Ako vypočítať pravdepodobnosť pomocou počítania
Možno sa pýtate: ako môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť konkrétneho výsledku? V skutočnosti je to pre mnohé hry dosť dôležité: ak hodíte kockou na začiatku, je pravdepodobné, že bude nejaký optimálny výsledok. Odpoveď znie: musíme vypočítať dve hodnoty. Po prvé, celkový počet výsledkov pri hode kockou a po druhé, počet priaznivých výsledkov. Vydelením druhej hodnoty prvou získate požadovanú pravdepodobnosť. Ak chcete získať percento, vynásobte výsledok 100.
Príklady
Tu je veľmi jednoduchý príklad. Chcete hodiť 4 alebo vyššie a raz hodiť šesťstennou kockou. Maximálny počet výsledkov je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho 3 výsledky (4, 5, 6) sú priaznivé. Na výpočet pravdepodobnosti teda vydelíme 3 x 6 a dostaneme 0,5 alebo 50 %.
Tu je príklad, ktorý je trochu komplikovanejší. Chcete, aby hod 2k6 priniesol párne číslo. Maximálny počet výsledkov je 36 (6 možností pre každú kocku, jedna kocka neovplyvňuje druhú, takže vynásobíme 6 x 6 a dostaneme 36). Problém s týmto typom otázok je, že je ľahké počítať dvakrát. Napríklad pri hode 2k6 sú dva možné výsledky 3: 1+2 a 2+1. Vyzerajú rovnako, rozdiel je však v tom, ktoré číslo je zobrazené na prvej kocke a ktoré na druhej.
Môžete si tiež predstaviť, že kocky sú rôznych farieb: takže napríklad v tomto prípade je jedna kocka červená a druhá modrá. Potom spočítajte počet možných výskytov párneho čísla:
- 2 (1+1);
- 4 (1+3);
- 4 (2+2);
- 4 (3+1);
- 6 (1+5);
- 6 (2+4);
- 6 (3+3);
- 6 (4+2);
- 6 (5+1);
- 8 (2+6);
- 8 (3+5);
- 8 (4+4);
- 8 (5+3);
- 8 (6+2);
- 10 (4+6);
- 10 (5+5);
- 10 (6+4);
- 12 (6+6).
Ukazuje sa, že existuje 18 možností priaznivého výsledku z 36 - ako v predchádzajúcom prípade je pravdepodobnosť 0,5 alebo 50%. Možno nečakané, ale celkom presné.
Simulácia Monte Carlo
Čo ak máte na tento výpočet príliš veľa kociek? Napríklad, chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že pri hode 8k6 padne celkovo 15 alebo viac. Pre osem kociek existuje obrovské množstvo rôznych výsledkov a ich manuálne počítanie by trvalo veľmi dlho – aj keď by sme našli nejaké dobré riešenie na zoskupenie rôznych sérií hodov kockami.
V tomto prípade je najjednoduchšie nepočítať manuálne, ale použiť počítač. Existujú dva spôsoby, ako vypočítať pravdepodobnosť na počítači. Prvý spôsob môže získať presnú odpoveď, ale zahŕňa trochu programovania alebo skriptovania. Počítač prejde každú možnosť, vyhodnotí a spočíta celkový počet iterácií a počet iterácií, ktoré zodpovedajú požadovanému výsledku, a potom poskytne odpovede. Váš kód môže vyzerať asi takto:
Ak nie ste programátor a nechcete presnú odpoveď, ale približnú odpoveď, môžete si túto situáciu nasimulovať v Exceli, kde pár tisíckrát hodíte 8d6 a dostanete odpoveď. Na hodenie 1d6 v Exceli použite vzorec =FLOOR(RAND()*6)+1.
Situáciu, keď nepoznáte odpoveď a len to mnohokrát skúšate, má názov – simulácia Monte Carlo. Toto je skvelé riešenie, ku ktorému sa môžete vrátiť, keď je príliš ťažké vypočítať pravdepodobnosť. Skvelé je, že v tomto prípade nemusíme rozumieť tomu, ako matematika funguje, a vieme, že odpoveď bude „celkom dobrá“, pretože ako už vieme, čím viac hodov, tým viac sa výsledok približuje priemerná hodnota.
Ako skombinovať nezávislé pokusy
Ak sa pýtate na viacero opakovaných, ale nezávislých pokusov, potom výsledok jedného hodu neovplyvní výsledok ostatných hodov. Pre túto situáciu existuje ešte jedno jednoduchšie vysvetlenie.
Ako rozlíšiť medzi niečím závislým a nezávislým? V zásade, ak môžete izolovať každý hod (alebo sériu hodov) kockou ako samostatnú udalosť, potom je nezávislý. Napríklad hodíme 8k6 a chceme hodiť celkovo 15. Túto udalosť nemožno rozdeliť na niekoľko nezávislých hodov kockou. Ak chcete získať výsledok, vypočítate súčet všetkých hodnôt, takže výsledok hodený jednou kockou ovplyvní výsledky, ktoré by sa mali hodiť na ostatných.
Tu je príklad nezávislých hodov: hráte kockou a niekoľkokrát hádžete šesťstennou kockou. Prvý hod musí hodiť 2 alebo vyššie, aby ste zostali v hre. Pre druhú rolku - 3 alebo vyššie. Tretí vyžaduje 4 alebo viac, štvrtý vyžaduje 5 alebo viac a piaty vyžaduje 6. Ak je všetkých päť hodov úspešných, vyhrávate. V tomto prípade sú všetky hody nezávislé. Áno, ak jeden hod zlyhá, ovplyvní to výsledok celej hry, ale jeden hod neovplyvní druhý. Ak je napríklad váš druhý hod kockou veľmi dobrý, neznamená to, že ďalšie hody budú rovnako dobré. Preto môžeme zvážiť pravdepodobnosť každého hodu kockou samostatne.
Ak máte nezávislé pravdepodobnosti a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že nastanú všetky udalosti, určíte každú jednotlivú pravdepodobnosť a vynásobíte ju. Ďalší spôsob: ak pomocou „a“ popíšete niekoľko podmienok (napríklad aká je pravdepodobnosť nejakej náhodnej udalosti a inej nezávislej náhodnej udalosti?) – vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a vynásobte ich.
Nezáleží na tom, čo si myslíte – nikdy nesčítajte nezávislé pravdepodobnosti. Toto je častý omyl. Aby ste pochopili, prečo je to nesprávne, predstavte si situáciu, keď si hodíte mincou a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou. Pravdepodobnosť vypadnutia z každej strany je 50%. Ak spočítate tieto dve pravdepodobnosti, získate 100% šancu získať hlavy, ale vieme, že to nie je pravda, pretože môžu prísť dva po sebe idúce chvosty. Ak namiesto toho vynásobíte dve pravdepodobnosti, dostanete 50 % * 50 % = 25 % – čo je správna odpoveď na výpočet pravdepodobnosti, že dostanete hlavy dvakrát za sebou.
Príklad
Vráťme sa k hre šesťstenných kociek, kde treba najprv hodiť číslo väčšie ako 2, potom viac ako 3 – a tak ďalej až do 6. Aké sú šance, že v danej sérii piatich hodov budú všetky budú výsledky priaznivé?
Ako už bolo spomenuté vyššie, ide o nezávislé pokusy, preto vypočítame pravdepodobnosť pre každý jednotlivý hod a potom ich vynásobíme. Pravdepodobnosť, že výsledok prvého hodu bude priaznivý, je 5/6. Druhý - 4.6. Tretia - 3.6. Štvrtý - 2/6, piaty - 1/6. Všetky výsledky navzájom vynásobíme a dostaneme približne 1,5 %. Výhry v tejto hre sú pomerne zriedkavé, takže ak do svojej hry pridáte tento prvok, budete potrebovať dosť veľký jackpot.
Negácia
Tu je ďalší užitočný tip: niekedy je ťažké vypočítať pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde, ale je jednoduchšie určiť pravdepodobnosť, že k udalosti nedôjde. Predpokladajme napríklad, že máme inú hru: hodíte 6k6 a vyhráte, ak aspoň raz hodíte 6. Aká je pravdepodobnosť výhry?
V tomto prípade je potrebné zvážiť veľa možností. Je možné, že vypadne jedno číslo 6, teda na jednej z kociek padne číslo 6 a na ostatných čísla od 1 do 5, potom je 6 možností, ktorá z kociek bude mať a 6. Číslo 6 môžete získať na dvoch kockách, troch alebo aj viacerých a zakaždým budete musieť vykonať samostatný výpočet, takže sa tu ľahko zmiasť.
Pozrime sa však na problém z druhej strany. Prehráte, ak žiadna z kociek nepadne 6. V tomto prípade máme 6 nezávislých pokusov. Pravdepodobnosť, že každá z kociek hodí iné číslo ako 6, je 5/6. Vynásobte ich - a získajte približne 33%. Pravdepodobnosť prehry je teda jedna ku trom. Pravdepodobnosť výhry je teda 67 % (alebo dve až tri).
Z tohto príkladu je zrejmé, že ak počítate s pravdepodobnosťou, že k udalosti nedôjde, musíte výsledok odpočítať od 100 %. Ak je pravdepodobnosť výhry 67 %, potom je pravdepodobnosť prehry 100 % mínus 67 % alebo 33 % a naopak. Ak je ťažké vypočítať jednu pravdepodobnosť, ale je ľahké vypočítať opačnú, vypočítajte opak a potom odčítajte toto číslo od 100%.
Podmienky pripojenia pre jeden nezávislý test
O niečo skôr som povedal, že by ste nikdy nemali sčítať pravdepodobnosti v nezávislých skúškach. Existujú prípady, kedy je možné sčítať pravdepodobnosti? Áno, v jednej konkrétnej situácii.
Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť viacerých nesúvisiacich priaznivých výsledkov v tej istej štúdii, spočítajte pravdepodobnosti každého priaznivého výsledku. Napríklad pravdepodobnosť hodenia 4, 5 alebo 6 na 1k6 sa rovná súčtu pravdepodobnosti hodenia 4, pravdepodobnosti hodenia 5 a pravdepodobnosti hodenia 6. Túto situáciu možno znázorniť takto: ak použite spojku "alebo" v otázke o pravdepodobnosti (napríklad aká je pravdepodobnosť toho či onoho výsledku jednej náhodnej udalosti?) - vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a spočítajte ich.
Upozornenie: Keď vypočítate všetky možné výsledky hry, súčet pravdepodobnosti ich výskytu sa musí rovnať 100 %, inak bol váš výpočet vykonaný nesprávne. to dobrý spôsob prekontrolujte svoje výpočty. Napríklad ste analyzovali pravdepodobnosť získania všetkých kombinácií v pokri. Ak spočítate všetky výsledky, ktoré dostanete, mali by ste dostať presne 100 % (alebo aspoň hodnotu blízku 100 %: ak používate kalkulačku, môže sa vyskytnúť malá chyba zaokrúhľovania, ale ak pridávate presné čísla ručne, všetko by sa malo sčítať. ). Ak sa súčet nezhoduje, potom ste s najväčšou pravdepodobnosťou nebrali do úvahy niektoré kombinácie alebo nesprávne vypočítali pravdepodobnosti niektorých kombinácií a výpočty je potrebné prekontrolovať.
Nerovnaké pravdepodobnosti
Doteraz sme predpokladali, že každá strana kocky vypadáva s rovnakou frekvenciou, pretože takto kocka funguje. Ale niekedy sa môžete stretnúť so situáciou, keď sú možné rôzne výsledky a majú rôzne šance na vypadnutie.
Napríklad v jednom z doplnkov ku kartovej hre Nuclear War je hracie pole so šípkou, ktorá určuje výsledok odpálenia rakety. Najčastejšie spôsobí normálne poškodenie, väčšie alebo menšie, ale niekedy sa poškodenie zdvojnásobí alebo strojnásobí, alebo raketa vybuchne na odpaľovacej rampe a ublíži vám, alebo dôjde k inej udalosti. Na rozdiel od ihrisko so šípkou v Chutes & Ladders alebo A Game of Life sú výsledky hracieho poľa v Nuclear War nerovnaké. Niektoré úseky hracieho poľa sú väčšie a šíp sa na nich zastavuje oveľa častejšie, iné zase veľmi malé a šíp sa na nich zastaví len zriedka.
Na prvý pohľad teda kosť vyzerá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - už sme o tom hovorili, je to niečo ako vážený 1d3. Preto musíme všetky tieto časti rozdeliť na rovnaké časti, nájsť najmenšiu mernú jednotku, deliteľa, ktorému je všetko násobkom, a potom znázorniť situáciu v tvare d522 (alebo nejakom inom), kde množina kociek tváre budú predstavovať rovnakú situáciu, ale s viacerými výsledkami. Toto je jeden zo spôsobov, ako vyriešiť problém, a je to technicky možné, ale existuje jednoduchšia možnosť.
Vráťme sa k našej štandardnej šesťstennej kocke. Povedali sme, že na výpočet priemernej hodnoty hodu pre normálnu kocku je potrebné sčítať hodnoty všetkých tvárí a rozdeliť ich počtom tvárí, ale ako presne sa výpočet vykonáva? Môžete to vyjadriť rôzne. Pre šesťstennú kocku je pravdepodobnosť, že každá padne, presne 1/6. Teraz vynásobíme výsledok každého aspektu pravdepodobnosťou tohto výsledku (v tomto prípade 1/6 pre každý aspekt) a potom sčítame výsledné hodnoty. Takže sčítanie (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), dostaneme rovnaký výsledok (3.5) ako vo výpočte vyššie. V skutočnosti to počítame zakaždým: každý výsledok vynásobíme pravdepodobnosťou tohto výsledku.
Môžeme urobiť rovnaký výpočet pre šípku na hernom pláne v Nuclear War? Samozrejme, že môžeme. A ak zrátame všetky zistené výsledky, dostaneme priemernú hodnotu. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať pravdepodobnosť každého výsledku pre šípku na ihrisku a vynásobiť ju hodnotou výsledku.
Ďalší príklad
Uvedený spôsob výpočtu priemeru je vhodný aj vtedy, ak sú výsledky rovnako pravdepodobné, ale majú rôzne výhody – napríklad ak hodíte kockou a vyhráte na niektorých tvárach viac ako na iných. Vezmime si napríklad hru, ktorá sa odohráva v kasíne: podáte stávku a hodíte 2k6. Ak prídu tri čísla najmenšia hodnota(2, 3, 4) alebo štyri čísla s vysokou hodnotou (9, 10, 11, 12) – vyhráte sumu rovnajúcu sa vášmu vkladu. Čísla s najnižšou a najvyššou hodnotou sú špeciálne: ak padne 2 alebo 12, vyhráte dvojnásobok vašej stávky. Ak padne akékoľvek iné číslo (5, 6, 7, 8), svoju stávku prehráte. Je to pekné jednoduchá hra. Aká je však pravdepodobnosť výhry?
Začnime spočítaním, koľkokrát môžete vyhrať. Maximálny počet výsledkov pri hode 2k6 je 36. Aký je počet priaznivých výsledkov?
- Je tu 1 možnosť, ktorá hodí 2, a 1 možnosť, ktorá hodí 12.
- Existujú 2 možnosti pre 3 a 2 možnosti pre 11.
- Existujú 3 možnosti pre 4 a 3 možnosti pre 10.
- Existujú 4 možnosti, z ktorých bude 9.
Zhrnutím všetkých možností dostaneme 16 priaznivých výsledkov z 36. Za normálnych podmienok teda vyhráte 16-krát z 36 možných – pravdepodobnosť výhry je o niečo menšia ako 50 %.
Dvakrát z týchto šestnástich však vyhráte dvakrát toľko – je to ako vyhrať dvakrát. Ak hráte túto hru 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 dolár a každý z možných výsledkov príde raz, vyhráte spolu 18 $ (v skutočnosti vyhráte 16-krát, ale dve z nich sa počítajú ako dve výhry). ). Ak hráte 36-krát a vyhráte 18 dolárov, neznamená to, že pravdepodobnosti sú vyrovnané?
Neponáhľaj sa. Ak spočítate, koľkokrát môžete prehrať, dostanete 20, nie 18. Ak hráte 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 dolár, vyhráte spolu 18 dolárov, keď sa všetky kurzy hodia. Celkovo však stratíte 20 dolárov za všetkých 20 zlých výsledkov. V dôsledku toho budete mierne pozadu: za každých 36 hier prehráte v priemere 2 doláre netto (môžete tiež povedať, že prehráte v priemere 1/18 dolára za deň). Teraz vidíte, aké ľahké je v tomto prípade urobiť chybu a nesprávne vypočítať pravdepodobnosť.
Permutácia
Doteraz sme vychádzali z toho, že pri hode kockou nezáleží na poradí, v akom sú čísla hodené. Hod 2 + 4 je rovnaký ako hod 4 + 2. Vo väčšine prípadov počítame počet priaznivých výsledkov ručne, ale niekedy je táto metóda nepraktická a je lepšie použiť matematický vzorec.
Príklad takejto situácie je z hry s kockami Farkle. Za každé nové kolo hodíte 6k6. Ak budete mať šťastie a prídu všetky možné výsledky 1-2-3-4-5-6 (priamo), dostanete veľký bonus. Aká je pravdepodobnosť, že sa tak stane? V tomto prípade existuje veľa možností na stratu tejto kombinácie.
Riešenie je nasledovné: na jednej z kociek (a len na jednej) by malo vypadnúť číslo 1. Koľko možností, aby na jednej kocke padlo číslo 1? Existuje 6 možností, keďže kociek je 6 a na ktorúkoľvek z nich môže padnúť číslo 1. Podľa toho vezmite jednu kocku a odložte ju. Teraz by na jednej zo zostávajúcich kociek malo padnúť číslo 2. Na to je 5 možností. Vezmite ďalšiu kocku a odložte ju. Potom môžu 4 zo zostávajúcich kociek pristáť na 3, 3 zo zostávajúcich kociek môžu pristáť na 4 a 2 zo zostávajúcich kociek môžu pristáť na 5. Výsledkom je, že vám zostane jedna kocka, na ktorej je číslo 6 by mala padnúť (v druhom prípade je kocka len jedna kosť a nie je na výber).
Aby sme spočítali počet priaznivých výsledkov pre priamu kombináciu, vynásobíme všetky rôzne nezávislé možnosti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 – zdá sa, že existuje pomerne veľký počet možností pre táto kombinácia príde.
Aby sme vypočítali pravdepodobnosť získania rovnej kombinácie, musíme vydeliť 720 počtom všetkých možných výsledkov pre hod 6k6. Aký je počet všetkých možných výsledkov? Každá kocka môže hodiť 6 tvárí, takže vynásobíme 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (oveľa väčšie číslo ako predchádzajúce). Vydelíme 720 číslom 46656 a dostaneme pravdepodobnosť rovnajúcu sa asi 1,5 %. Ak by ste navrhovali túto hru, bolo by pre vás užitočné to vedieť, aby ste si mohli vytvoriť vhodný systém bodovania. Teraz už chápeme, prečo vo Farkle získate taký veľký bonus, ak trafíte priamu kombináciu: táto situácia je pomerne zriedkavá.
Výsledok je zaujímavý aj z iného dôvodu. Príklad ukazuje, ako zriedka v krátkom období vypadne výsledok zodpovedajúci pravdepodobnosti. Samozrejme, ak by sme hodili niekoľko tisíc kociek, rôzne strany kocky by sa objavovali pomerne často. Ale keď hodíme len šiestimi kockami, takmer nikdy sa nestane, že by padla každá jedna z kociek. Ukazuje sa, že je hlúpe očakávať, že teraz vypadne tvár, ktorá ešte nebola, pretože „číslo 6 sme už dlho nevypustili“. Pozrite, váš generátor náhodných čísel je pokazený.
To nás vedie k všeobecnej mylnej predstave, že všetky výsledky prichádzajú rovnakou rýchlosťou počas krátkeho časového obdobia. Ak hodíme kockou niekoľkokrát, frekvencia každej z tvárí nebude rovnaká.
Ak ste už niekedy pracovali na online hre s nejakým generátorom náhodných čísel, potom ste sa s najväčšou pravdepodobnosťou stretli so situáciou, keď hráč napíše na technickú podporu so sťažnosťou, že generátor náhodných čísel nezobrazuje náhodné čísla. Dospel k tomuto záveru, pretože zabil 4 príšery za sebou a dostal 4 úplne rovnaké odmeny a tieto odmeny by mali klesnúť iba v 10% prípadov, takže by sa to zrejme takmer nikdy nemalo stať.
Robíte matematiku. Pravdepodobnosť je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, to znamená, že 1 výsledok z 10 tisíc je pomerne zriedkavý prípad. To sa vám hráč snaží povedať. Je v tomto prípade problém?
Všetko závisí od okolností. Koľko hráčov je teraz na vašom serveri? Predpokladajme, že máte pomerne populárnu hru a každý deň ju hrá 100 000 ľudí. Koľko hráčov zabije štyri príšery za sebou? Možno všetko, niekoľkokrát za deň, ale predpokladajme, že polovica z nich sa práve vymieňa rôzne položky na aukciách, prepisujú na RP servery alebo vykonávajú iné herné akcie - teda len polovica z nich loví príšery. Aká je pravdepodobnosť, že niekto dostane rovnakú odmenu? V tejto situácii môžete očakávať, že sa to stane aspoň niekoľkokrát denne.
Mimochodom, preto sa zdá, že každých pár týždňov niekto vyhrá v lotérii, aj keď ten niekto nikdy nebol vy alebo niekto, koho poznáte. Ak bude pravidelne hrať dostatok ľudí, je pravdepodobné, že sa niekde nájde aspoň jeden šťastlivec. Ale ak hráte lotériu sami, je nepravdepodobné, že vyhráte, je pravdepodobnejšie, že budete pozvaní pracovať v Infinity Ward.
Mapy a závislosť
Diskutovali sme o nezávislých udalostiach, ako je hádzanie kockou, a teraz poznáme mnoho výkonných nástrojov na analýzu náhodnosti v mnohých hrách. Výpočet pravdepodobnosti je trochu komplikovanejší, pokiaľ ide o ťahanie kariet z balíčka, pretože každá karta, ktorú vytiahneme, ovplyvňuje tie, ktoré v balíčku ostanú.
Ak máte štandardný balíček 52 kariet, vytiahnete si z neho 10 sŕdc a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ďalšia karta bude rovnakej farby - pravdepodobnosť sa oproti pôvodnej zmenila, pretože ste už jednu srdcovú kartu z karty odstránili. paluba. Každá karta, ktorú odstránite, zmení šancu na zobrazenie ďalšia karta v palube. V tomto prípade predchádzajúca udalosť ovplyvňuje nasledujúcu, preto ju nazývame závislou na pravdepodobnosti.
Všimnite si, že keď hovorím „karty“, mám na mysli akúkoľvek hernú mechaniku, ktorá má sadu predmetov a jeden z nich odstránite bez toho, aby ste ho nahradili. „Balík kariet“ je v tomto prípade obdobou vrecúška žetónov, z ktorého vyberáte jeden žetón, alebo urny, z ktorej sa vyberajú farebné loptičky (nikdy som nevidel hry s urnou, z ktorej by sa vyberali farebné loptičky von, ale učitelia teórie pravdepodobnosti na to, čo z nejakého dôvodu, tento príklad je preferovaný).
Vlastnosti závislosti
Chcel by som objasniť, že kedy rozprávame sa o kartách, predpokladám, že si potiahnete karty, pozriete sa na ne a vyberiete ich z balíčka. Každá z týchto akcií je dôležitou vlastnosťou. Ak by som mal balíček, povedzme, šiestich kariet očíslovaných od 1 do 6, zamiešal by som ich a ťahal by som si jednu kartu, potom by som znova zamiešal všetkých šesť kariet – bolo by to podobné, ako keď hádžem šesťstennou kockou, pretože jeden výsledok nie je ovplyvniť tu pre ďalšie. A ak si potiahnem karty a nenahradím ich, tak ťahaním 1 karty zvyšujem pravdepodobnosť, že nabudúce si vytiahnem kartu s číslom 6. Pravdepodobnosť sa bude zvyšovať, až si nakoniec túto kartu potiahnem alebo zamiešam balíček.
Dôležitý je aj fakt, že sa pozeráme na karty. Ak vyberiem kartu z balíčka a nepozerám sa na ňu, nebudem mať Ďalšie informácie a v skutočnosti sa pravdepodobnosť nezmení. Môže to znieť nelogicky. Ako môže jednoduché otočenie karty magicky zmeniť šance? Ale je to možné, pretože pravdepodobnosť neznámych položiek môžete vypočítať len na základe toho, čo viete.
Ak napríklad zamiešate štandardný balíček kariet, odhalíte 51 kariet a žiadna z nich nie je klubová kráľovná, potom si môžete byť 100% istý, že zostávajúca karta je klubová kráľovná. Ak zamiešate štandardný balíček kariet a potiahnete 51 kariet bez toho, aby ste sa na ne pozreli, potom je pravdepodobnosť, že zostávajúca karta je kráľovnou palíc, stále 1/52. Po otvorení každej karty získate ďalšie informácie.
Výpočet pravdepodobnosti pre závislé udalosti sa riadi rovnakými princípmi ako pre nezávislé udalosti, až na to, že je to o niečo zložitejšie, keďže pri odkrytí kariet sa pravdepodobnosti menia. Preto musíte vynásobiť veľa rôznych hodnôt namiesto násobenia rovnakej hodnoty. V skutočnosti to znamená, že musíme spojiť všetky výpočty, ktoré sme urobili, do jednej kombinácie.
Príklad
Zamiešate štandardný balíček 52 kariet a potiahnete dve karty. Aká je pravdepodobnosť, že si vyberiete pár? Existuje niekoľko spôsobov, ako vypočítať túto pravdepodobnosť, ale asi najjednoduchší je nasledovný: aká je pravdepodobnosť, že po vytiahnutí jednej karty nebudete môcť vytiahnuť pár? Táto pravdepodobnosť je nulová, takže v podstate nezáleží na tom, ktorú prvú kartu si vytiahnete, pokiaľ sa zhoduje s druhou. Nezáleží na tom, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, stále máme šancu vytiahnuť pár. Preto je pravdepodobnosť vytiahnutia páru po vytiahnutí prvej karty 100%.
Aká je pravdepodobnosť, že sa druhá karta zhoduje s prvou? V balíčku zostáva 51 kariet a 3 z nich sa zhodujú s prvou kartou (v skutočnosti by to boli 4 z 52, ale jednu zo zodpovedajúcich kariet ste už odstránili, keď ste si vytiahli prvú kartu), takže pravdepodobnosť je 1/ 17. Takže nabudúce, keď chlapík oproti vám pri stole hrá Texas Hold'em, povie: „Super, ďalší pár? Dnes mám šťastie“, budete vedieť, že s vysokou mierou pravdepodobnosti blafuje.
Čo ak pridáme dvoch žolíkov, takže máme v balíčku 54 kariet a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť ťahania páru? Prvá karta môže byť žolík a potom bude v balíčku iba jedna zhodná karta, nie tri. Ako zistiť pravdepodobnosť v tomto prípade? Rozdelíme pravdepodobnosti a každú možnosť vynásobíme.
Naša prvá karta môže byť žolík alebo iná karta. Pravdepodobnosť vytiahnutia žolíka je 2/54, pravdepodobnosť vytiahnutia inej karty je 52/54. Ak je prvá karta žolík (2/54), potom pravdepodobnosť, že sa druhá karta bude zhodovať s prvou, je 1/53. Vynásobíme hodnoty (môžeme ich vynásobiť, pretože sú to samostatné udalosti a chceme, aby sa obe udalosti stali) a dostaneme 1/1431 - menej ako jednu desatinu percenta.
Ak najprv vytiahnete inú kartu (52/54), pravdepodobnosť, že sa zhoduje s druhou kartou, je 3/53. Vynásobíme hodnoty a dostaneme 78/1431 (o niečo viac ako 5,5%). Čo urobíme s týmito dvoma výsledkami? Nepretínajú sa a my chceme poznať pravdepodobnosť každého z nich, preto hodnoty spočítame. Dostaneme konečný výsledok 79/1431 (stále asi 5,5%).
Ak by sme si chceli byť istí presnosťou odpovede, mohli by sme vypočítať pravdepodobnosť všetkých ostatných možných výsledkov: ťahanie žolíka a nezodpovedanie druhej karty, alebo ťahanie inej karty a nezodpovedanie druhej karty. Zhrnutím týchto pravdepodobností a pravdepodobnosti výhry by sme dostali presne 100 %. Nebudem tu uvádzať matematiku, ale môžete skúsiť matematiku pre kontrolu.
Paradox Monty Hall
To nás privádza k pomerne známemu paradoxu, ktorý mnohých často mätie, paradoxu Montyho Halla. Paradox je pomenovaný po moderátorovi televíznej relácie Let's Make a Deal Pre tých, ktorí túto reláciu nikdy nevideli, poviem, že to bol opak The Price Is Right.
Vo filme The Price Is Right je hostiteľ (predtým hostil Bob Barker, teraz Drew Carey? Nevadí) váš priateľ. Chce, aby ste vyhrali peniaze alebo skvelé ceny. Snaží sa vám poskytnúť každú príležitosť na výhru, pokiaľ dokážete odhadnúť, akú skutočnú hodnotu majú sponzorované predmety.
Monty Hall sa zachoval inak. Bol ako zlé dvojča Boba Barkera. Jeho cieľom bolo, aby ste v národnej televízii vyzerali ako idiot. Ak ste boli na šou, bol to váš súper, hrali ste proti nemu a šance boli v jeho prospech. Možno som prehnane drsný, ale pri pohľade na predstavenie, do ktorého sa s väčšou pravdepodobnosťou dostanete, ak máte na sebe smiešny kostým, presne k tomu prichádzam.
Jeden z najznámejších mémov predstavenia bol tento: pred vami sú tri dvere, dvere číslo 1, dvere číslo 2 a dvere číslo 3. Jedny dvere si môžete vybrať zadarmo. Za jedným z nich je veľkolepá cena – napríklad nové auto. Za ďalšími dvoma dverami nie sú žiadne ceny, obe nemajú žiadnu hodnotu. Majú vás ponižovať, takže za nimi nie je len tak niečo, ale niečo hlúpe, napríklad koza alebo obrovská tuba zubnej pasty – čokoľvek, len nie nové auto.
Vyberiete si jedny z dverí, Monty sa ich chystá otvoriť, aby vám dal vedieť, či ste vyhrali alebo nie... ale počkajte. Skôr než sa dozvieme, poďme sa pozrieť na jedny z tých dverí, ktoré ste si nevybrali. Monty vie, za ktorými dverami je cena, a vždy môže otvoriť dvere, ktoré za sebou nemajú cenu. „Vyberáte si dvere číslo 3? Potom otvorme dvere číslo 1, aby sme ukázali, že za nimi nie je žiadna cena.“ A teraz vám zo štedrosti ponúka možnosť vymeniť vybrané dvere číslo 3 za to, čo je za dverami číslo 2.
V tomto bode vyvstáva otázka pravdepodobnosti: zvyšuje táto príležitosť vašu pravdepodobnosť výhry alebo ju znižuje, alebo zostáva nezmenená? Co si myslis?
Správna odpoveď: možnosť vybrať si iné dvere zvyšuje šancu na výhru z 1/3 na 2/3. To je nelogické. Ak ste sa s týmto paradoxom ešte nestretli, potom si s najväčšou pravdepodobnosťou hovoríte: počkajte, ako to je: otvorením jedných dverí sme magicky zmenili pravdepodobnosť? Ako sme videli na príklade máp, presne toto sa stane, keď získame viac informácií. Je zrejmé, že keď si vyberiete prvýkrát, pravdepodobnosť výhry je 1/3. Keď sa otvoria jedny dvere, vôbec to nemení pravdepodobnosť výhry pre prvú možnosť: pravdepodobnosť je stále 1/3. Ale pravdepodobnosť, že tie druhé dvere sú správne, je teraz 2/3.
Pozrime sa na tento príklad z druhej strany. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnosť výhry je 1/3. Navrhujem, aby ste vymenili ďalšie dve dvere, čo robí Monty Hall. Samozrejme, otvorí jedny z dverí, aby ukázal, že za tým nie je žiadna cena, ale toto môže urobiť vždy, takže to vlastne nič nemení. Samozrejme, budete chcieť zvoliť iné dvere.
Ak otázke celkom nerozumiete a potrebujete presvedčivejšie vysvetlenie, kliknite na tento odkaz a prejdite na skvelú malú Flash aplikáciu, ktorá vám umožní podrobnejšie preskúmať tento paradox. Môžete začať s približne 10 dverami a potom postupne prejsť na hru s tromi dverami. K dispozícii je tiež simulátor, kde môžete hrať s ľubovoľným počtom dverí od 3 do 50 alebo spustiť niekoľko tisíc simulácií a zistiť, koľkokrát by ste vyhrali, keby ste hrali.
Vyberte si jedny z troch dverí – pravdepodobnosť výhry je 1/3. Teraz máte dve stratégie: zmeniť výber po otvorení nesprávnych dverí alebo nie. Ak nezmeníte svoj výber, pravdepodobnosť zostane 1/3, pretože výber je len v prvej fáze a musíte hneď uhádnuť. Ak sa zmeníte, potom môžete vyhrať, ak si najprv vyberiete nesprávne dvere (potom otvoria ďalšie zlé, tie správne ostanú - zmena rozhodnutia, len to vezmete). Pravdepodobnosť výberu nesprávnych dverí na začiatku je 2/3 – ukazuje sa teda, že zmenou svojho rozhodnutia zdvojnásobíte pravdepodobnosť výhry.
Remarque od učiteľa vyššej matematiky a špecialistu v herná rovnováha Maxim Soldatov - samozrejme, Schreiber ju nemal, ale bez nej je dosť ťažké pochopiť túto magickú premenu
Opätovná návšteva paradoxu Monty Hall
Pokiaľ ide o samotnú šou, aj keď súperi Montyho Halla neboli dobrí v matematike, on v nej bol dobrý. Tu je to, čo urobil, aby trochu zmenil hru. Ak ste si vybrali dvere, za ktorými bola výhra, s pravdepodobnosťou 1/3 vám vždy ponúkol možnosť vybrať si iné dvere. Vyberiete si auto a potom ho vymeníte za kozu a vyzeráte dosť hlúpo – čo je presne to, čo potrebujete, pretože Hall je tak trochu zlý chlap.
Ale ak si vyberiete dvere, ktoré nemajú cenu, ponúkne vám ďalšie iba polovicu času, alebo vám len ukáže vašu novú kozu a vy odídete z javiska. Poďme to analyzovať Nová hra, v ktorom sa Monty Hall môže rozhodnúť, či vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere alebo nie.
Predpokladajme, že postupuje podľa tohto algoritmu: ak si vyberiete dvere s cenou, vždy vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere, inak je rovnako pravdepodobné, že vám ponúkne vybrať si iné dvere alebo vám dá kozu. Aká je pravdepodobnosť vašej výhry?
V jednom z tri možnosti okamžite si vyberiete dvere, za ktorými sa nachádza výhra, a hostiteľ vás vyzve, aby ste si vybrali ďalšie.
Zo zostávajúcich dvoch možností z troch (na začiatku si vyberiete dvere bez ceny) vám v polovici prípadov hostiteľ ponúkne zmenu vášho rozhodnutia a v druhej polovici prípadov nie.
Polovica z 2/3 je 1/3, to znamená, že v jednom prípade z troch dostanete kozu, v jednom prípade z troch vyberiete nesprávne dvere a hostiteľ vám ponúkne vybrať si iné a v r. jeden prípad z troch si vyberiete správne dvere, ale on opäť ponúkne iné.
Ak facilitátor ponúkne výber iných dverí, už vieme, že jeden z troch prípadov, keď nám dá kozu a my odchádzame, sa nestal. to užitočná informácia: znamená to, že naše šance na výhru sa zmenili. Dva z troch prípadov, keď máme na výber: v jednom prípade to znamená, že sme uhádli správne a v druhom prípade, že sme uhádli nesprávne, takže ak nám vôbec ponúkli na výber, pravdepodobnosť našej výhry je 1 /2 , a matematicky je jedno, či zostanete pri výbere alebo zvolíte iné dvere.
Rovnako ako poker je to psychologická hra, nie matematická. Prečo vám Monty ponúkol na výber? Myslí si, že ste hlupák, ktorý nevie, že výber iných dverí je „správne“ rozhodnutie a tvrdošijne sa bude svojho výberu držať (predsa len psychologicky situácia je zložitejšia keď ste si vybrali auto a potom ste ho stratili)?
Alebo vám túto šancu ponúkne, keď sa rozhodne, že ste šikovný a vyberiete si iné dvere, pretože vie, že ste spočiatku hádali správne a padli ste na hák? Alebo možno je netypicky láskavý a tlačí vás, aby ste urobili niečo prospešné pre vás, pretože už dlho nedaroval autá a producenti hovoria, že publikum sa nudí a bolo by lepšie darovať čoskoro veľká cena aby hodnotenia neklesali?
Montymu sa teda občas darí ponúknuť na výber, pričom celková pravdepodobnosť výhry zostáva rovná 1/3. Pamätajte, že pravdepodobnosť, že okamžite prehráte, je 1/3. Je tu 1/3 šanca, že uhádnete hneď a 50 % z nich vyhráte (1/3 x 1/2 = 1/6).
Pravdepodobnosť, že najskôr uhádnete zle, ale potom máte šancu vybrať si iné dvere, je 1/3 a v polovici z týchto prípadov vyhráte (tiež 1/6). Spočítajte dve nezávislé výherné možnosti a dostanete pravdepodobnosť 1/3, takže nezáleží na tom, či zostanete pri výbere alebo si vyberiete iné dvere - celková pravdepodobnosť vašej výhry počas celej hry je 1/3.
Pravdepodobnosť nie je väčšia ako v situácii, keď ste uhádli dvere a hostiteľ vám jednoducho ukázal, čo je za nimi, bez toho, aby vám ponúkol vybrať si iné. Cieľom návrhu nie je zmeniť pravdepodobnosť, ale urobiť rozhodovací proces zábavnejším pre sledovanie televízie.
Mimochodom, toto je jeden z dôvodov, prečo môže byť poker taký zaujímavý: vo väčšine formátov medzi kolami, keď sa uzatvárajú stávky (napríklad flop, turn a river v Texas Hold'em), sa karty postupne odkrývajú, a ak máte na začiatku hry jednu šancu na výhru, potom sa po každom kole stávok, keď je otvorených viac kariet, táto pravdepodobnosť zmení.
Paradox chlapca a dievčaťa
To nás privádza k ďalšiemu dobre známemu paradoxu, ktorý má tendenciu zmiasť každého, paradoxu chlapca a dievčaťa. Jediná vec, o ktorej dnes píšem, nesúvisí priamo s hrami (aj keď vás asi len musím postrčiť, aby ste vytvorili vhodné herné mechanizmy). Toto je skôr hádanka, ale zaujímavá, a aby ste ju vyriešili, musíte pochopiť podmienenú pravdepodobnosť, o ktorej sme hovorili vyššie.
Úloha: Mám kamarátku s dvoma deťmi, aspoň jedno z nich je dievča. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča? Predpokladajme, že v každej rodine je šanca mať dievča a chlapca 50/50, a to platí pre každé dieťa.
V skutočnosti niektorí muži majú v sperme viac spermií s chromozómom X alebo chromozómom Y, takže pravdepodobnosť sa mierne líši. Ak viete, že jedno dieťa je dievča, šanca na druhé dievča je o niečo vyššia a existujú aj ďalšie stavy, ako je hermafroditizmus. Ale na vyriešenie tohto problému to nebudeme brať do úvahy a predpokladáme, že narodenie dieťaťa je nezávislou udalosťou a narodenie chlapca a dievčaťa je rovnako pravdepodobné.
Keďže hovoríme o 1/2 šanci, intuitívne očakávame, že odpoveď bude 1/2 alebo 1/4, alebo nejaký iný násobok dvoch v menovateli. Ale odpoveď je 1/3. prečo?
Problémom v tomto prípade je, že informácie, ktoré máme, znižujú počet možností. Predpokladajme, že rodičia sú fanúšikmi Sesame Street a bez ohľadu na pohlavie detí ich pomenovali A a B. Za normálnych podmienok existujú štyri rovnako pravdepodobné možnosti: A a B sú dvaja chlapci, A a B sú dve dievčatá, A je chlapec a B je dievča, A je dievča a B je chlapec. Keďže vieme, že aspoň jedno dieťa je dievča, môžeme vylúčiť, že A a B sú dvaja chlapci. Ostali nám teda tri možnosti – stále rovnako pravdepodobné. Ak sú všetky možnosti rovnako pravdepodobné a sú tri, potom pravdepodobnosť každej z nich je 1/3. Len v jednej z týchto troch možností sú obe deti dievčatá, takže odpoveď je 1/3.
A opäť o paradoxe chlapca a dievčaťa
Riešenie problému sa stáva ešte nelogickejším. Predstavte si, že môj priateľ má dve deti a jedno z nich je dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Predpokladajme, že za normálnych podmienok je rovnako pravdepodobné, že sa dieťa narodí každý zo siedmich dní v týždni. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča?
Možno si myslíte, že odpoveď bude stále 1/3: čo znamená utorok? Ale v tomto prípade nás intuícia zlyháva. Odpoveď je 13/27, čo nie je len intuitívne, ale veľmi zvláštne. O čo v tomto prípade ide?
V skutočnosti utorok mení pravdepodobnosť, pretože nevieme, ktoré dieťa sa narodilo v utorok, alebo možno obe sa narodili v utorok. V tomto prípade používame rovnakú logiku: počítame všetky možné kombinácie, keď je aspoň jedno dieťa dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Ako v predchádzajúcom príklade, predpokladajme, že deti majú mená A a B. Kombinácie vyzerajú takto:
- A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je chlapec (v tejto situácii je 7 možností, jedna na každý deň v týždni, kedy sa mohol narodiť chlapec).
- B - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A - chlapec (tiež 7 možností).
- A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je dievča, ktoré sa narodilo v iný deň v týždni (6 možností).
- B - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A - dievča, ktoré sa nenarodilo v utorok (tiež 6 pravdepodobností).
- A a B sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v utorok (1 možnosť, treba si na to dať pozor, aby sa to nerátalo dvakrát).
Zrátame a dostaneme 27 rôznych rovnako možných kombinácií narodenia detí a dní s aspoň jednou možnosťou, že sa v utorok narodí dievčatko. Z toho 13 možností je, keď sa narodia dve dievčatá. Vyzerá to tiež úplne nelogicky - zdá sa, že táto úloha bola vynájdená len preto, aby spôsobila bolesť hlavy. Ak ste stále zmätení, stránka herného teoretika Jespera Juhla má na to dobré vysvetlenie.
Ak práve pracujete na hre
Ak je v hre, ktorú navrhujete, náhoda, je to skvelá príležitosť na jej analýzu. Vyberte ľubovoľný prvok, ktorý chcete analyzovať. Najprv si položte otázku, akú by ste očakávali pravdepodobnosť daného prvku v kontexte hry.
Ak napríklad tvoríte RPG a uvažujete o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť, že hráč v boji porazí monštrum, položte si otázku, aké percento výhry sa vám zdá správne. V prípade konzolových RPG sa hráči zvyčajne veľmi rozčúlia, keď prehrajú, takže je lepšie, ak prehrávajú zriedkavo – 10 % času alebo menej. Ak ste dizajnér RPG, pravdepodobne to viete lepšie ako ja, ale musíte mať základnú predstavu o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť.
Potom si položte otázku, či sú vaše pravdepodobnosti závislé (ako pri kartách) alebo nezávislé (ako pri kockách). Diskutujte o všetkých možných výsledkoch a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, že súčet všetkých pravdepodobností je 100 %. A, samozrejme, porovnajte svoje výsledky s vašimi očakávaniami. Je možné hádzať kockami alebo ťahať karty tak, ako ste zamýšľali, alebo je jasné, že hodnoty je potrebné upraviť. A samozrejme, ak nájdete nedostatky, môžete pomocou rovnakých výpočtov určiť, koľko potrebujete zmeniť hodnoty.
Domáca úloha
tvoje " domáca úloha» tento týždeň vám pomôže zdokonaliť vaše schopnosti s pravdepodobnosťou. Tu sú dve hry s kockami a kartová hra, ktoré musíte analyzovať pomocou pravdepodobnosti, ako aj zvláštny herný mechanizmus, ktorý som kedysi vyvinul – na jeho príklade si otestujete metódu Monte Carlo.
Hra #1 - Dračie kosti
Toto je hra s kockami, ktorú sme kedysi s kolegami vymysleli (vďaka Jebovi Havensovi a Jesse Kingovi) – zámerne fúka do povedomia ľudí svojimi pravdepodobnosťami. Toto je jednoduchá kasínová hra s názvom „Dragon Dice“ a ide o súťaž v hazardných hrách medzi hráčom a zariadením.
Dostanete obyčajnú kocku 1k6. Cieľom hry je hodiť o číslo vyššie ako je domček. Tom dostane neštandardné 1k6 - rovnaké ako vy, ale na jednej z jeho tvárí namiesto jednej - obrázok draka (takže kasíno má kocku draka-2-3-4-5-6). Ak inštitúcia získa draka, automaticky vyhráva a vy prehrávate. Ak obaja dostanú rovnaké číslo, je to remíza a znova hádžete kockou. Vyhráva ten, kto hodí najvyššie číslo.
Samozrejme, všetko nie je úplne v prospech hráča, pretože kasíno má výhodu v podobe dračí tváre. Ale je to naozaj tak? Toto si musíte vypočítať. Najprv však skontrolujte svoju intuíciu.
Povedzme, že výhra je 2 ku 1. Ak teda vyhráte, ponecháte si svoju stávku a získate dvojnásobok sumy. Ak napríklad vsadíte 1 dolár a vyhráte, ponecháte si tento dolár a získate ďalšie 2 doláre navrch, spolu teda 3 doláre. Ak prehráte, stratíte iba svoju stávku. Hrali by ste? Máte intuitívne pocit, že pravdepodobnosť je väčšia ako 2 ku 1, alebo si stále myslíte, že je menšia? Inými slovami, v priemere počas 3 hier očakávate, že vyhráte viac ako raz, alebo menej, alebo raz?
Akonáhle ste dostali svoju intuíciu z cesty, použite matematiku. Pre obe kocky je len 36 možných pozícií, takže ich všetky ľahko spočítate. Ak si nie ste istí touto ponukou 2:1, zvážte toto: Povedzme, že ste hru hrali 36-krát (vždy ste stavili 1 dolár). Za každú výhru dostanete 2 doláre, za každú stratu 1 dolár a remíza nič nemení. Spočítajte všetky svoje pravdepodobné výhry a prehry a rozhodnite sa, či nejaké doláre stratíte alebo získate. Potom sa opýtajte sami seba, ako správna sa ukázala vaša intuícia. A potom si uvedomiť, aký som darebák.
A áno, ak ste sa už nad touto otázkou zamysleli – zámerne vás mätiem skresľovaním skutočných mechanizmov kockových hier, ale som si istý, že túto prekážku dokážete prekonať len dobrou myšlienkou. Skúste tento problém vyriešiť sami.
Hra #2 - Roll of Luck
to hazardných hier v kocke zvanej Lucky Roll (tiež Birdcage, pretože niekedy sa kocky nehádžu, ale umiestnia sa do veľkej drôtenej klietky, ktorá pripomína klietku z Binga). Hra je jednoduchá, v podstate sa scvrkáva na toto: Stavte, povedzme, 1 dolár na číslo medzi 1 a 6. Potom hodíte 3k6. Za každú kocku, ktorá zasiahne vaše číslo, získate 1 dolár (a ponecháte si pôvodnú stávku). Ak vaše číslo nepadne na žiadnu z kociek, kasíno dostane váš dolár a vy nedostanete nič. Ak teda vsadíte na 1 a trikrát dostanete 1, získate 3 doláre.
Intuitívne sa zdá, že v tejto hre sú šance vyrovnané. Každá kocka je individuálna šanca na výhru 1 ku 6, takže vaša šanca na výhru je pri troch hodoch 3 až 6. Pamätajte však, samozrejme, že skladáte tri samostatné kocky a môžete pridávať iba vtedy, ak hovoríme o individuálne výherné kombinácie tá istá kosť. Niečo, čo budete musieť znásobiť.
Po spočítaní všetkých možných výsledkov (pravdepodobne jednoduchšie v Exceli ako ručne, je ich 216), hra na prvý pohľad stále vyzerá párne-nepárne. V skutočnosti je stále pravdepodobnejšie, že kasíno vyhrá – o koľko viac? Konkrétne, koľko peňazí očakávate, že priemerne stratíte za kolo hry?
Všetko, čo musíte urobiť, je sčítať výhry a prehry všetkých 216 výsledkov a potom ich vydeliť 216, čo by malo byť celkom jednoduché. Ale ako vidíte, existuje niekoľko úskalí, do ktorých môžete spadnúť, a preto hovorím, že ak si myslíte, že v tejto hre existuje rovnomerná šanca na výhru, nepochopili ste to.
Hra #3 - 5 Card Stud
Ak ste sa už zohriali pri predchádzajúcich hrách, pozrime sa, čo vieme o podmienenej pravdepodobnosti pomocou tejto kartovej hry ako príkladu. Predstavme si poker s balíčkom 52 kariet. Predstavme si tiež 5 card stud, kde každý hráč dostane len 5 kariet. Nemôžete zahodiť kartu, nemôžete si vziať novú, žiadny spoločný balíček – dostanete iba 5 kariet.
Royal flush je 10-J-Q-K-A v jednej ruke, celkovo štyri, takže existujú štyri možné spôsoby, ako získať kráľovskú farbu. Vypočítajte pravdepodobnosť, že dostanete jednu z týchto kombinácií.
Musím vás varovať pred jednou vecou: nezabudnite, že týchto päť kariet môžete ťahať v akomkoľvek poradí. To znamená, že najprv si môžete vytiahnuť eso alebo desiatku, na tom nezáleží. Takže pri výpočtoch majte na pamäti, že v skutočnosti existujú viac ako štyri spôsoby, ako získať kráľovskú farbu, za predpokladu, že karty boli rozdané v poradí.
Hra č. 4 - Lotéria IMF
Štvrtú úlohu nebude tak ľahké vyriešiť metódami, o ktorých sme dnes hovorili, ale situáciu môžete jednoducho nasimulovať pomocou programovania alebo Excelu. Na príklade tohto problému môžete vypracovať metódu Monte Carlo.
Už som spomenul hru Chron X, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tam jedna veľmi dobrá zaujímavá mapa- lotéria MMF. Fungovalo to takto: použili ste ho v hre. Po skončení kola boli karty prerozdelené a existovala 10% šanca, že karta bude mimo hry a náhodný hráč dostane 5 jednotiek z každého typu zdroja, ktorý sa nachádza na danej karte. Karta bola vložená do hry bez jediného žetónu, ale zakaždým, keď zostala v hre na začiatku ďalšieho kola, dostala jeden žetón.
Bola teda 10% šanca, že to dáte do hry, kolo sa skončí, karta opustí hru a nikto nič nezíska. Ak sa tak nestane (s 90% šancou), je 10% šanca (v skutočnosti 9%, keďže to je 10% z 90%), že opustí hru v ďalšom kole a niekto získa 5 surovín. Ak karta opustí hru po jednom kole (10% z 81% dostupných, takže pravdepodobnosť je 8,1%), niekto dostane 10 jednotiek, ďalšie kolo - 15, ďalší 20 atď. Otázka: Aká je očakávaná hodnota počtu zdrojov, ktoré získate z tejto karty, keď konečne opustí hru?
Normálne by sme sa pokúsili vyriešiť tento problém vypočítaním pravdepodobnosti každého výsledku a vynásobením počtom všetkých výsledkov. Existuje 10% šanca, že dostanete 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, že dostanete 5 jednotiek zdrojov (9% * 5 = 0,45 zdrojov). 8,1 % z toho, čo získate, je 10 (8,1 % * 10 = 0,81 zdrojov – vo všeobecnosti očakávaná hodnota). A tak ďalej. A potom by sme to všetko zhrnuli.
A teraz je vám problém zrejmý: vždy existuje šanca, že karta neopustí hru, môže zostať v hre navždy, na nekonečný počet kôl, takže neexistuje spôsob, ako vypočítať žiadnu pravdepodobnosť. Metódy, ktoré sme sa dnes naučili, nám neumožňujú vypočítať nekonečnú rekurziu, takže ju budeme musieť vytvoriť umelo.
Ak ste dostatočne dobrí v programovaní, napíšte program, ktorý bude túto kartu simulovať. Mali by ste mať časovú slučku, ktorá privedie premennú do počiatočnej polohy nula, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravdepodobnosťou premenná opustí slučku. V opačnom prípade pridá 5 do premennej a cyklus sa opakuje. Keď konečne opustí slučku, zvýšte celkový počet skúšobných spustení o 1 a celkový počet zdrojov (o koľko závisí od toho, kde sa premenná zastavila). Potom premennú resetujte a začnite odznova.
Spustite program niekoľko tisíckrát. Nakoniec vydeľte celkové zdroje celkovým počtom jázd – to bude vaša očakávaná hodnota metódy Monte Carlo. Spustite program niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú približne rovnaké. Ak je rozptyl stále veľký, zvyšujte počet opakovaní vo vonkajšej slučke, kým nezačnete dostávať zápalky. Môžete si byť istí, že akékoľvek čísla, s ktorými skončíte, budú približne správne.
Ak ste nováčikom v programovaní (aj keď ste), tu je malé cvičenie, ktoré otestuje vaše zručnosti v Exceli. Ak ste herný dizajnér, tieto zručnosti nebudú nikdy zbytočné.
Teraz budú pre vás veľmi užitočné funkcie if a rand. Rand nevyžaduje hodnoty, len vytvára náhodné desatinné číslo medzi 0 a 1. Zvyčajne ho kombinujeme s podlahou a plusmi a mínusmi, aby sme simulovali hod kockou, o ktorom som sa zmienil už skôr. V tomto prípade však nechávame len 10% šancu, že karta opustí hru, takže môžeme len skontrolovať, či je rand menší ako 0,1 a už sa o to nestarať.
Ak má tri hodnoty. V poradí podmienka, ktorá je buď pravdivá alebo nie, potom hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka pravdivá, a hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka nepravdivá. Takže nasledujúca funkcia vráti 5 % času a 0 ostatných 90 % času: =IF(RAND()<0.1,5,0) .
Existuje mnoho spôsobov, ako nastaviť tento príkaz, ale použil by som tento vzorec pre bunku, ktorá predstavuje prvé kolo, povedzme, že je to bunka A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .
Tu používam zápornú premennú, ktorá znamená „táto karta neopustila hru a zatiaľ neposkytla žiadne zdroje“. Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta je mimo hry, A1 je 0; inak je -1.
Pre nasledujúcu bunku predstavujúcu druhé kolo: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta okamžite opustila hru, A1 je 0 (počet zdrojov) a táto bunka túto hodnotu jednoducho skopíruje. V opačnom prípade je A1 -1 (karta ešte neopustila hru) a táto bunka sa naďalej náhodne pohybuje: 10% času vráti 5 jednotiek zdrojov, zvyšok času bude jej hodnota stále - 1. Ak použijeme tento vzorec na ďalšie bunky, získame ďalšie kolá a podľa toho, s ktorou bunkou skončíte, dostanete konečný výsledok (alebo -1, ak karta neopustila hru po všetkých odohraných kolách).
Vezmite tento rad buniek, čo je jediné kolo s touto kartou, a skopírujte a vložte niekoľko stoviek (alebo tisícov) riadkov. Síce sa nám nepodarí urobiť nekonečný test pre Excel (v tabuľke je obmedzený počet buniek), ale aspoň pokryjeme väčšinu prípadov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej vložíte priemer výsledkov všetkých kôl - Excel na to láskavo poskytuje funkciu average().
V systéme Windows môžete aspoň stlačením klávesu F9 prepočítať všetky náhodné čísla. Ako predtým, urobte to niekoľkokrát a uvidíte, či získate rovnaké hodnoty. Ak je rozptyl príliš veľký, zdvojnásobte počet cyklov a skúste to znova.
Nevyriešené problémy
Ak ste náhodou vyštudovali teóriu pravdepodobnosti a vyššie uvedené problémy sa vám zdajú príliš jednoduché – tu sú dva problémy, nad ktorými som si lámal hlavu už roky, ale bohužiaľ nie som taký dobrý v matematike, aby som ich vyriešil.
Nevyriešený problém č. 1: Lotéria MMF
Prvým nevyriešeným problémom je predchádzajúca domáca úloha. Môžem kľudne použiť metódu Monte Carlo (pomocou C++ alebo Excelu) a byť si istý odpoveďou na otázku „koľko zdrojov hráč dostane“, ale neviem presne matematicky poskytnúť presnú preukázateľnú odpoveď (to je nekonečný rad).
Nevyriešený problém č. 2: Tvarové sekvencie
Túto úlohu (tiež ďaleko presahuje úlohy, ktoré sú riešené v tomto blogu) mi dal známy hráč pred viac ako desiatimi rokmi. Pri hraní blackjacku vo Vegas si všimol jednu zaujímavú vlastnosť: ťahanie kariet z 8-balíčkovej topánky, videl desať figúrok za sebou (figúrka alebo lícová karta je 10, Joker, King alebo Queen, takže celkovo je v hre 16 štandardný balíček 52 kariet alebo 128 v 416-kartovej topánke).
Aká je pravdepodobnosť, že táto topánka obsahuje aspoň jednu sekvenciu desiatich alebo viacerých kusov? Predpokladajme, že boli zamiešané poctivo, v náhodnom poradí. Alebo, ak chcete, aká je pravdepodobnosť, že nikde nie je sekvencia desiatich alebo viacerých tvarov?
Úlohu si môžeme zjednodušiť. Tu je sekvencia 416 častí. Každá časť je 0 alebo 1. V sekvencii je náhodne roztrúsených 128 jednotiek a 288 núl. Koľko spôsobov je náhodne preložiť 128 jednotiek s 288 nulami a koľkokrát bude týmto spôsobom existovať aspoň jedna skupina desiatich alebo viacerých jednotiek?
Vždy, keď som sa pustil do riešenia tohto problému, zdalo sa mi to ľahké a samozrejmé, no akonáhle som sa zahĺbil do detailov, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa mi to jednoducho nemožné.
Takže si nájdite čas a vyslovte odpoveď: sadnite si, pozorne si premyslite, preštudujte si podmienky, skúste zapojiť skutočné čísla, pretože všetci ľudia, s ktorými som o tomto probléme hovoril (vrátane niekoľkých postgraduálnych študentov pracujúcich v tejto oblasti), reagovali takmer rovnako. spôsobom: "Je to úplne zrejmé... oh, nie, počkajte, vôbec to nie je zrejmé." To je prípad, keď nemám metódu na výpočet všetkých možností. Samozrejme, mohol by som problém brutálne vynútiť pomocou počítačového algoritmu, ale oveľa zaujímavejšie by bolo nájsť matematický spôsob, ako ho vyriešiť.
Keďže vieme, že pravdepodobnosť sa dá zmerať, skúsme ju vyjadriť číslami. Sú tri možné cesty.
Ryža. 1.1. Meranie pravdepodobnosti
PRAVDEPODOBNOSŤ URČENÁ SYMETRIOU
Sú situácie, v ktorých sú možné výsledky rovnako pravdepodobné. Napríklad pri jednorazovom hode mincou, ak je minca štandardná, je pravdepodobnosť získania hláv alebo chvostov rovnaká, t.j. P(hlavy) = P(konce). Keďže sú možné len dva výsledky, potom P(hlavy) + P(konce) = 1, teda P(hlavy) = P(hlavy) = 0,5.
V experimentoch, kde majú výsledky rovnaké šance, že nastanú, je pravdepodobnosť udalosti E, P(E):
Príklad 1.1. Minca sa hodí trikrát. Aká je pravdepodobnosť dvoch hláv a jedného chvosta?
Na začiatok nájdime všetky možné výsledky: Aby sme sa uistili, že sme našli všetky možné výsledky, použijeme stromový diagram (pozri kapitolu 1, časť 1.3.1).
Existuje teda 8 rovnako pravdepodobných výsledkov, teda ich pravdepodobnosť je 1/8. Udalosť E – dvaja „orli“ a „chvosty“ – boli tri. Preto:
Príklad 1.2. Štandardná kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že súčet bodov je 9 alebo viac?
Poďme nájsť všetky možné výsledky.
Tabuľka 1.2. Celkový počet bodov získaných dvojitým hodom kockou
Takže v 10 z 36 možných výsledkov je súčet bodov 9, teda:
EMPIRICKY STANOVENÁ PRAVDEPODOBNOSŤ
Príklad s mincou z Table. 1.1 jasne ilustruje mechanizmus určovania pravdepodobností.
S celkovým počtom úspešných experimentov sa pravdepodobnosť požadovaného výsledku vypočíta takto:
Pomer je relatívna frekvencia výskytu určitého výsledku v dostatočne dlhom experimente. Pravdepodobnosť sa vypočíta buď na základe údajov experimentu, na základe údajov z minulosti.
Príklad 1.3. Z päťsto testovaných elektrických lámp 415 pracovalo viac ako 1000 hodín. Na základe údajov tohto experimentu možno dospieť k záveru, že pravdepodobnosť normálnej prevádzky lampy tohto typu po dobu dlhšiu ako 1 000 hodín je:
Poznámka. Ovládanie je deštruktívne, takže nie všetky svietidlá sa dajú otestovať. Ak by sa testovala iba jedna lampa, pravdepodobnosť by bola 1 alebo 0 (t. j. bude schopná pracovať 1000 hodín alebo nie). Preto je potrebné experiment zopakovať.
Príklad 1.4. V tabuľke. 1.3 uvádza údaje o skúsenostiach mužov pracujúcich v spoločnosti:
Tabuľka 1.3. Mužské pracovné skúsenosti
Aká je pravdepodobnosť, že ďalší človek najatý firmou bude pracovať aspoň dva roky?
Riešenie.
Z tabuľky vyplýva, že 38 zo 100 zamestnancov je vo firme dlhšie ako dva roky. Empirická pravdepodobnosť, že ďalší zamestnanec zostane v spoločnosti dlhšie ako dva roky, je:
Zároveň predpokladáme, že nový zamestnanec je „typický a pracovné podmienky sú nezmenené.
SUBJEKTÍVNE HODNOTENIE PRAVDEPODOBNOSTI
V podnikaní sa často vyskytujú situácie, v ktorých neexistuje symetria a neexistujú ani experimentálne údaje. Stanovenie pravdepodobnosti priaznivého výsledku pod vplyvom názorov a skúseností výskumníka je preto subjektívne.
Príklad 1.5.
1. Investičný expert sa domnieva, že pravdepodobnosť dosiahnutia zisku počas prvých dvoch rokov je 0,6.
2. Prognóza marketingového manažéra: pravdepodobnosť predaja 1000 kusov produktu v prvom mesiaci po jeho uvedení na trh je 0,4.
Vzorce na výpočet pravdepodobnosti udalostí
1.3.1. Poradie nezávislých štúdií (Bernoulliho schéma)
Predpokladajme, že nejaký experiment možno vykonať opakovane za rovnakých podmienok. Nechajte túto skúsenosť urobiť nčasy, t.j n testy.
Definícia. Následná sekvencia n testy sa nazývajú vzájomne nezávislé ak je akákoľvek udalosť spojená s daným testom nezávislá od akýchkoľvek udalostí spojených s inými testami.
Povedzme, že nejaká udalosť A sa pravdepodobne stane p ako výsledok jedného testu alebo sa to s pravdepodobnosťou nestane q= 1- p.
Definícia . Postupnosť n test tvorí Bernoulliho schému, ak sú splnené tieto podmienky:
podsekvencia n testy sú navzájom nezávislé,
2) pravdepodobnosť udalosti A nemení od testu k testu a nezávisí od výsledku v iných testoch.
Udalosť A sa nazýva „úspech“ testu a opačná udalosť sa nazýva „neúspech“. Zvážte udalosť
=(in n testy prebehli presne m"úspech").
Na výpočet pravdepodobnosti tejto udalosti je platný Bernoulliho vzorec
p(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
kde 
- počet kombinácií n prvky podľa m
:
=
=
.
Príklad 1.16. Trikrát hádžte kockou. Nájsť:
a) pravdepodobnosť, že 6 bodov vypadne dvakrát;
b) pravdepodobnosť, že počet šestiek sa neobjaví viac ako dvakrát.
Riešenie . Za „úspech“ testu sa bude považovať strata tváre na kocke s obrázkom 6 bodov.
a) Celkový počet testov - n=3, počet „úspechov“ – m
= 2. Pravdepodobnosť „úspechu“ - p=
,
a pravdepodobnosť "neúspechu" - q= 1 - =. Potom, podľa Bernoulliho vzorca, pravdepodobnosť, že strana so šiestimi bodmi vypadne dvakrát v dôsledku trojitého hodu kockou, bude rovná
.
b) Označte podľa ALE udalosť, pri ktorej sa tvár so skóre 6 objaví najviac dvakrát. Potom môže byť udalosť reprezentovaná ako súčty troch nezlučiteľné diania A=
,
kde AT 3 0 – udalosť, keď sa tvár záujmu nikdy neobjaví,
AT 3 1 - udalosť, keď sa tvár záujmu objaví raz,
AT 3 2 - udalosť, keď sa tvár záujmu objaví dvakrát.
Podľa Bernoulliho vzorca (1.6) nájdeme
p(ALE)
= p(
)
=
p(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Podmienená pravdepodobnosť udalosti
Podmienená pravdepodobnosť odráža vplyv jednej udalosti na pravdepodobnosť inej. Ovplyvňuje to aj zmena podmienok, za ktorých sa experiment vykonáva
pravdepodobnosť výskytu udalosti záujmu.
Definícia. Nechaj A a B- niektoré udalosti a pravdepodobnosť p(B)> 0.
Podmienená pravdepodobnosť vývoj A za predpokladu, že „udalosť Buž stalo“ je pomer pravdepodobnosti vzniku týchto udalostí k pravdepodobnosti udalosti, ktorá nastala skôr ako udalosť, ktorej pravdepodobnosť sa má nájsť. Podmienená pravdepodobnosť je označená ako p(A B). Potom podľa definície
p
(A
B)
=
.
(1.7)
Príklad 1.17. Hoď dvoma kockami. Priestor elementárnych udalostí pozostáva z usporiadaných dvojíc čísel
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
V príklade 1.16 sa zistilo, že udalosť A=(počet bodov na prvej kocke > 4) a event C=(súčet bodov je 8) sú závislé. Urobme vzťah
.
Tento vzťah možno interpretovať nasledovne. Predpokladajme, že výsledok prvého hodu je známy tak, že počet bodov na prvej kocke je > 4. Z toho vyplýva, že hod druhou kockou môže viesť k jednému z 12 výsledkov, ktoré tvoria udalosť A:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
Zároveň sa udalosť C iba dvaja z nich (5.3) (6.2) sa môžu zhodovať. V tomto prípade pravdepodobnosť udalosti C
sa bude rovnať 
. Teda informácie o výskyte udalosti A ovplyvnila pravdepodobnosť udalosti C.
Pravdepodobnosť vzniku udalostí
Veta o násobení
Pravdepodobnosť vzniku udalostíA 1 A 2 A n sa určuje podľa vzorca
p(A 1 A 2 A n)=p(A 1)p(A 2 A 1)) p(A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)
Pre súčin dvoch udalostí z toho vyplýva, že
p(AB)=p(A B)p{B)=p(B A)p{A). (1.9)
Príklad 1.18. V dávke 25 kusov je 5 kusov chybných. 3 položky sú vybrané náhodne. Určte pravdepodobnosť, že všetky vybrané produkty sú chybné.
Riešenie. Označme udalosti:
A 1 = (prvý výrobok je chybný),
A 2 = (druhý výrobok je chybný),
A 3 = (tretí výrobok je chybný),
A = (všetky produkty sú chybné).
Udalosť ALE je výsledkom troch udalostí A = A 1 A 2 A 3 .
Z vety o násobení (1.6) dostaneme
p(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = p(A 1) p(A 2 A 1))p(A 3 A 1 A 2).
Klasická definícia pravdepodobnosti nám umožňuje nájsť p(A 1) je pomer počtu chybných výrobkov k celkovému počtu výrobkov:
p(A 1)=
;
p(A 2) – toto je pomer počtu chybných výrobkov, ktoré zostali po stiahnutí jedného z trhu, k celkovému počtu zostávajúcich výrobkov:
p(A 2
A 1))=
;
p(A 3) je pomer počtu zostávajúcich chybných výrobkov po stiahnutí dvoch chybných výrobkov k celkovému počtu zostávajúcich výrobkov:
p(A 3
A 1 A 2)=
.
Potom pravdepodobnosť udalosti A sa bude rovnať
p(A)
=
=
.
Ide o pomer počtu pozorovaní, pri ktorých došlo k danej udalosti, k celkovému počtu pozorovaní. Takáto interpretácia je prípustná v prípade dostatočne veľkého počtu pozorovaní alebo experimentov. Napríklad, ak je približne polovica ľudí, ktorých stretnete na ulici, ženy, potom môžete povedať, že pravdepodobnosť, že osoba, ktorú stretnete na ulici, je žena, je 1/2. Inými slovami, frekvencia jej výskytu v dlhej sérii nezávislých opakovaní náhodného experimentu môže slúžiť ako odhad pravdepodobnosti udalosti.
Pravdepodobnosť v matematike
V modernom matematickom prístupe je klasická (teda nie kvantová) pravdepodobnosť daná Kolmogorovovou axiomatikou. Pravdepodobnosť je miera P, ktorý je nastavený na súprave X, nazývaný priestor pravdepodobnosti. Toto opatrenie musí mať nasledujúce vlastnosti:
Z týchto podmienok vyplýva, že miera pravdepodobnosti P má tiež majetok aditívnosť: ak nastaví A 1 a A 2 sa nepretínajú, potom . Aby ste to dokázali, musíte dať všetko A 3 , A 4 , … sa rovná prázdnej množine a použije vlastnosť spočítateľnej aditivity.
Miera pravdepodobnosti nemusí byť definovaná pre všetky podmnožiny súboru X. Stačí ho definovať na sigma-algebre pozostávajúcej z niektorých podmnožín množiny X. V tomto prípade sú náhodné udalosti definované ako merateľné podmnožiny priestoru X, teda ako prvky sigma algebry.
Zmysel pravdepodobnosti
Keď zistíme, že dôvody na to, aby sa nejaká možná skutočnosť skutočne stala, prevažujú nad opačnými dôvodmi, zvážime túto skutočnosť pravdepodobné, inak - neuveriteľné. Táto prevaha pozitívnych báz nad negatívnymi a naopak môže predstavovať neurčitý súbor stupňov, v dôsledku čoho pravdepodobnosť(a nepravdepodobnosť) sa stane viac alebo menej .
Zložité jednotlivé fakty neumožňujú presný výpočet ich stupňov pravdepodobnosti, ale aj tu je dôležité stanoviť niekoľko veľkých pododdielov. Takže napríklad v oblasti práva, keď sa na základe svedeckej výpovede zistí osobná skutočnosť, ktorá je predmetom súdneho konania, zostáva vždy, prísne vzaté, len pravdepodobná a je potrebné vedieť, aká významná je táto pravdepodobnosť; v rímskom práve tu bolo prijaté štvornásobné delenie: probatio plena(kde sa pravdepodobnosť prakticky zmení na autentickosť), Ďalej - probatio mínus plena, potom - probatio semiplena major a nakoniec probatio semiplena minor .
Okrem otázky pravdepodobnosti prípadu môže vyvstať tak v oblasti práva, ako aj v oblasti morálky (s istým etickým uhlom pohľadu) otázka, nakoľko je pravdepodobné, že daná konkrétna skutočnosť predstavuje porušenie všeobecného zákona. Táto otázka, ktorá slúži ako hlavný motív v náboženskej judikatúre Talmudu, dala podnet aj rímskokatolíckej morálnej teológii (najmä od r. koncom XVI storočia) veľmi zložité systematické konštrukcie a obrovská literatúra, dogmatický a polemický (pozri Pravdepodobnosť).
Pojem pravdepodobnosti pripúšťa vo svojej aplikácii určité číselné vyjadrenie len na také skutočnosti, ktoré sú súčasťou určitého homogénneho radu. Takže (v najjednoduchšom príklade), keď niekto hodí mincou stokrát za sebou, nájdeme tu jednu všeobecnú alebo veľkú sériu (súčet všetkých pádov mince), ktorá je zložená z dvoch súkromných alebo menších, v tomto prípad číselne rovnaký, séria (padá „orol“ a padajúce „chvosty“); Pravdepodobnosť, že v tentokrát minca bude padať chvostom, to znamená, že tento nový člen všeobecnej série bude patriť do tejto z dvoch menších sérií, sa rovná zlomku vyjadrujúcim číselný pomer medzi touto malou sériou a veľkým, a to 1/2, to znamená, že rovnaká pravdepodobnosť patrí do jedného alebo druhého z dvoch súkromných riadkov. Za menej jednoduché príklady záver nemožno vyvodiť priamo z údajov samotného problému, ale vyžaduje si predbežnú indukciu. Tak sa napríklad pýtame: aká je pravdepodobnosť tento novorodenec dožiť sa 80 rokov? Tu by ste mali vytvoriť všeobecnú alebo veľkú sériu známe čísloľudia narodení v podobných podmienkach a umierajúci v rôznom veku (tento počet by mal byť dostatočne veľký na to, aby eliminoval náhodné odchýlky, a dostatočne malý na to, aby sa zachovala homogenita série, pretože pre človeka narodeného napr. v Petrohrade v bohatom kultúrnom rodina , celá miliónová populácia mesta, ktorej významnú časť tvoria osoby rôznych skupín, ktoré môžu zomrieť v predstihu - vojaci, novinári, robotníci nebezpečné povolania, - predstavuje skupinu príliš heterogénnu pre súčasnú definíciu pravdepodobnosti); nech tento celkový počet pozostáva z desaťtisíc ľudské životy; zahŕňa menšie riadky predstavujúce počet tých, ktorí sa dožívajú toho či onoho veku; jeden z týchto menších riadkov predstavuje počet osôb dožívajúcich sa 80 rokov. Ale určiť veľkosť tejto menšej série (ako aj všetkých ostatných) je nemožné. a priori; toto sa deje čisto induktívnym spôsobom, prostredníctvom štatistík. Predpokladajme, že štatistické štúdie preukázali, že z 10 000 Petrohradčanov strednej triedy len 45 prežije 80 rokov; teda tento menší rad súvisí s väčším ako 45 až 10 000 a pravdepodobnosť pre táto osoba patriť do tejto menšej série, teda dožiť sa 80 rokov, sa vyjadruje zlomkom 0,0045. Štúdium pravdepodobnosti z matematického hľadiska predstavuje špeciálnu disciplínu, teóriu pravdepodobnosti.
pozri tiež
Poznámky
Literatúra
- Alfréd Renyi. Letters on Probability / prekl. z Hung. D. Saas a A. Crumley, ed. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
- Gnedenko B.V. Kurz pravdepodobnosti. M., 2007. 42 s.
- Kupcov V.I. Determinizmus a pravdepodobnosť. M., 1976. 256 s.
Nadácia Wikimedia. 2010.
Synonymá:Antonymá:
Pozrite si, čo je „pravdepodobnosť“ v iných slovníkoch:
Všeobecné vedecké a filozofické. kategória označujúca kvantitatívny stupeň možnosti výskytu hromadných náhodných udalostí za pevne stanovených podmienok pozorovania, charakterizujúca stabilitu ich relatívnych frekvencií. V logike je sémantický stupeň ... ... Filozofická encyklopédia
PRAVDEPODOBNOSŤ, číslo v rozsahu od nuly do jednej vrátane, predstavujúce možnosť dosiahnutia táto udalosť. Pravdepodobnosť udalosti je definovaná ako pomer počtu šancí, že udalosť môže nastať, k celkovému počtu možných ... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník
S najväčšou pravdepodobnosťou .. Slovník ruských synoným a výrazov podobného významu. pod. vyd. N. Abramova, M.: Ruské slovníky, 1999. pravdepodobnosť, možnosť, pravdepodobnosť, náhoda, objektívna možnosť, maza, prípustnosť, riziko. Ant. nemožnosť...... Slovník synonym
pravdepodobnosť- Miera, že udalosť môže nastať. Poznámka: Matematická definícia pravdepodobnosti je "reálne číslo medzi 0 a 1 súvisiace s náhodnou udalosťou." Číslo môže odrážať relatívnu frekvenciu v sérii pozorovaní ... ... Technická príručka prekladateľa
Pravdepodobnosť- "matematická, numerická charakteristika stupňa možnosti výskytu akejkoľvek udalosti za určitých špecifických podmienok, ktorá sa môže opakovať neobmedzene veľakrát." Na základe tejto klasiky.... Ekonomický a matematický slovník
- (pravdepodobnosť) Možnosť výskytu udalosti alebo určitého výsledku. Dá sa znázorniť ako stupnica s dielikmi od 0 do 1. Ak je pravdepodobnosť udalosti nulová, jej výskyt je nemožný. S pravdepodobnosťou rovnou 1, začiatok ... Slovník obchodných podmienok