Toto tvrdenie je znakom deliteľnosti číslami, ktoré možno znázorniť ako súčin dvoch prvočísel.

Napríklad, keďže 6 = 2 ∙ 3 ​​​​a D (2, 3) = 1, dostaneme znamienko deliteľnosti 6. Aby bolo prirodzené číslo deliteľné 6, je potrebné a postačujúce, aby bolo deliteľné 2 aj 3 .

Upozorňujeme, že túto funkciu možno použiť viackrát.

c) Súkromné, získa sa delením dvoch daných čísel a
ich najväčším spoločným deliteľom je coprime
čísla.

Túto vlastnosť je možné využiť pri kontrole správnosti nájdeného najväčšieho spoločného deliteľa daných čísel. Skontrolujme napríklad, či číslo 12 je najväčším spoločným deliteľom čísel 24 a 36. Aby sme to urobili, podľa posledného tvrdenia vydelíme 24 a 36 číslom 12. Dostaneme čísla 2 a 3, ktoré sú coprime. v dôsledku toho

D(24,36) = 12.

Cvičenia

1. Uvádzajú sa čísla 36 a 45.

a) Nájdite všetkých spoločných deliteľov týchto čísel.

b) Viete vymenovať všetky ich spoločné násobky?

c) Nájdite tri trojciferné čísla, ktoré sú spoločnými násobkami daných čísel.

d) Čo sú D(36, 45) a K(36, 45)? Ako skontrolovať správnosť prijatých odpovedí?

2. Sú zadané údaje správne:

a) D(32,8) = 8 a K(32,8) = 32;

b) D(17,35)=1 a K(17,35)=595;

c) D(255,306) = 17 a K(255,306),= 78030,

3. Nájdite K(a, b), ak je známe, že:

a) a = 47, b = 105 a D(47,105) = 1;

b) a = 315, b = 385 a D (315,385) = 35.

4. Formulujte znaky deliteľnosti 12,15,18,36,45,75.

5. Z množiny čísel 1032, 2964,5604,8910, 7008 vypíš tie, ktoré sú deliteľné 12.

6. Sú čísla 548 a 942 deliteľné 18?

7. K číslu 15 pridajte vľavo a vpravo; jednu číslicu tak, aby výsledné číslo bolo deliteľné 15.

8. Nájdite čísla a a 6 čísla 72, ak je známe, že toto číslo je deliteľné 45.

9 Bez násobenia a delenia rohom určite, ktoré z nasledujúcich súčinov sú deliteľné 30:

a) 105 °C; 6)47∙12∙5; c) 85∙33∙7.

10. Bez vykonania sčítania alebo odčítania určite, ktoré výrazy sú deliteľné 36.

a) 72 + 180 + 252; c) 180 + 252 + 100;

b) 612-432; d) 180 + 250 + 200.

91. Prvočísla

Prvočísla hrajú v matematike veľkú úlohu – v podstate sú to „tehly“, z ktorých sa stavajú zložené začiatky. Toto je uvedené vo vete nazývanej základná veta aritmetiky prirodzených čísel, ktorá je uvedená bez dôkazu:

Veta: Akékoľvek zložené číslo môže byť jednoznačne reprezentované ako súčin prvočísel.

Napríklad zápis 110 = 2∙5∙11 je znázornením čísla 110 ako súčinu prvočiniteľov alebo jeho rozkladu na prvočísla.

Dva rozklady čísla na prvočísla sa považujú za rovnaké, ak sa navzájom líšia iba v poradí faktorov. Preto zobrazenie čísla 110 ako súčinu 2∙5∙11 alebo súčinu 5∙2∙11 je v podstate rovnakým rozkladom čísla 110 na prvočiniteľa.

Pri rozklade čísel na prvočísla používajú znamienka deliteľnosti 2, 3, 5 atď.. Pripomeňme si jeden zo spôsobov zápisu rozkladu čísel na prvočiniteľa. Rozložme na faktor napríklad číslo 90. Číslo 90 je deliteľné 2. Preto je 2 jedným z prvočiniteľov rozkladu čísla 90. Vydeľte 90 2. Číslo 2 píšeme napravo od rovnítko a pod číslom 90 kvocient 45. Číslo 45 vydelíme prvočíslom 3, dostaneme 15. 15 vydelíme 3, dostaneme 5. Číslo 5 je prvočíslo, keď ho vydelíme 5 dostaneme 1. Faktorizácia je dokončená.

90 = 2∙3∙3∙5

Pri rozklade čísla na prvočísla sa súčin rovnakých činiteľov vyjadruje ako mocnina: 90 = 2∙3 2∙5; 60 = 2 2 ∙3∙5; 72 = 2 3 ∙ 3 2 . Takýto rozklad čísla na prvočísla sa nazýva kanonický.

V súvislosti s možnosťou reprezentovať ľubovoľné zložené číslo ako súčin prvočiniteľov vzniká potreba určiť, či je dané číslo prvočíslo alebo zložené. Tento problém už dokázali vyriešiť starogrécki matematici, ktorí poznali mnohé vlastnosti prvočísel. Eratosthenes (III. storočie pred Kristom) teda vynašiel metódu na získanie prvočísel nepresahujúcich prirodzené číslo a. Pomocou neho nájdeme všetky prvočísla do 50.

Všetky prirodzené čísla od 1 do 50 zapíšeme a číslo 1 prečiarkneme – nie je prvočíslo. Číslo 2 je prvočíslo, zakrúžkujte ho. Potom prečiarkneme každé druhé číslo po 2, t.j. čísla 4,6,8,...

Prvé neprečiarknuté číslo 3 je prvočíslo, zakrúžkujte ho. A prečiarknite každé tretie číslo po 3, t.j. čísla 9, 15, ... (čísla 6,12 atď. sú skôr prečiarknuté).

Prvé neprečiarknuté číslo 5 je prvočíslo, aj to zakrúžkujeme. Prečiarknite každé piate číslo po 5 atď.

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Čísla, ktoré zostanú po štyroch vymazaniach (okrem čísel 2, 3, 5 a 7), nie sú deliteľné ani 2, ani 3, ani 5, ani 7. V aritmetike je dokázané, že ak je prirodzené číslo a väčšie ako jedna , nie je deliteľné žiadnym z prvočísel, ktorých druhá mocnina nepresahuje o ačíslo je prvočíslo. Keďže 7 2 = 49 a 49< 50, то все оставшиеся числа - простые.

Takže prvočísla nepresahujúce 50 sú 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Opísaný spôsob získavania prvočísel sa nazýva Eratosthenovo sito, pretože vám umožňuje preosiať zložené čísla jedno po druhom.

Pomocou metódy navrhnutej Eratosthenesom možno nájsť všetky prvočísla, ktoré nepresahujú dané číslo a. Neodpovedá však na otázku, či je množina prvočísel konečná alebo nie, pretože by sa mohlo ukázať, že všetky čísla počnúc od nejakého čísla sú zložené a množina prvočísel je konečná. Týmto problémom sa zaoberal ďalší grécky matematik Euclid. Dokázal, že množina prvočísel je nekonečná.

Predpokladajme, že množina prvočísel je konečná a vyčerpaná číslami 2, 3, 5, 7, 7 - najväčším prvočíslom. Všetky prvočísla vynásobíme a ich súčin označíme a. K tomuto číslu pripočítajme 1. Aké bude výsledné číslo

a + 1 - jednoduché alebo zložené?

prvočíslo a+1 nemôže byť, pretože je väčšie ako najväčšie prvočíslo a podľa predpokladu také čísla neexistujú. Ale nemôže byť ani zložené: ak a+ 1 .zložený, potom musí mať aspoň jedného prvočíselného deliteľa q. Od čísla

a = 2∙3∙5∙...∙ R je tiež deliteľné týmto prvočíslom q, potom rozdiel ( a + 1) - a, t.j. číslo 1 je deliteľné q, čo je nemožné.

Číslo a teda nie je ani prvočíslo, ani zložené, ale ani nemôže byť – akékoľvek iné číslo ako 1 je prvočíslo alebo zložené. Preto je náš výrok, že množina prvočísel je konečná a je najväčším prvočíslom, nepravdivý, a teda množina prvočísel je nekonečná.

Cvičenia

1. Z množiny čísel 13, 27, 29, 51, 67 vypíšte jednoduché
čísla a faktorizujte kompozity na prvočíselné faktory.

2. Dokážte, že číslo 819 nie je prvočíslo.

3. Rozložte čísla 124,588,2700,3780 na prvočísla.

4. Aké číslo má rozklad:

a) 2 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; b) 2 2 ∙ 3 ​​∙ 5 3 ?

Jeden z najcharizmatickejších a najprominentnejších umelcov ruskej kinematografie sa v poslednom čase akoby vytratil z očí verejnosti. O Alexandrovi Domogarovovi je počuť tak málo, že jeho mnohí fanúšikovia by mohli rozhodnúť, že sa herec uzavrel pred svetom. Pravidelne sa však pripomína na sociálnych sieťach, kde sa pred pár hodinami objavil poplašný príspevok.

Pripomeňme, že 53-ročný Národný umelec Rusko okrem natáčania filmu hrá s radosťou a hrdosťou v divadle. Od roku 1995 pôsobí Domogarov v Divadle mestskej rady v Moskve, kde hral úlohy v mnohých predstaveniach, z ktorých tri sú v súčasnom repertoári. Herec je považovaný za hviezdu tohto divadla, fotografie s Domogarovom na javisku zdobia vchod, mnohí fanúšikovia chodia na predstavenia s jeho účasťou.

Ale vo svojej publikácii v Alexander Yuryevich povedal, že bol "odstránený z predstavení" a "toto je veľmi vážne."

Odstránené z predstavení! Tak vydrž! Cítim sa pokojnejšie, ako keď prídem a pozdravím „kolegov“, ktorí pľujú do chrbta! - píše umelec. - Už z nejakého želania nedovolím prepustiť a vymenovať, odvolať a vrátiť sa, dať na turné alebo nedávať. ... Ale len čo ma zo všetkých vystúpení stiahli, na radosť „kolegov“ bolo spísané vyhlásenie. Napísané 9. januára. Zatiaľ to nebolo podpísané. Ale, milí kolegovia, bude to podpísané, dokonca čisto právne. Všetky naše dohody s divadlom budú z mojej strany splnené, takže niekedy budete musieť pretrpieť mňa "kolegovia", keď si budem musieť vyzdvihnúť veci v šatni a v budúcnosti divadlo zabudne, ako ste zabudli vy predstavenia, ktoré trvali 10-12 rokov, zbierali haly a zabudnete, ako ste ich zničili. Ži, Boh je tvojím sudcom. Dovidenia kolegovia.

Dostali sme sa k Alexandrovi Domogarovovi so žiadosťou o vyjadrenie k situácii.

Nečítaš moje príspevky, lebo je v nich kus pravdy a len zlomok. Ale v zásade to zodpovedá realite, - odpovedal Alexander Domogarov a zložil.

Pripomeňme, že Alexander Domogarov bol oficiálne ženatý trikrát. Prvá manželka Natalya Sagoyan porodila jeho syna Dmitrija. Pred 10 rokmi zomrel prvorodený herec pri nehode. Od svojej druhej manželky Iriny Gunenkovej má herec syna Alexandra Domogarova, stal sa tiež hercom. Tretia manželka, herečka Natalya Gromushkina, bola s ním vydatá 4 roky. Pred tromi rokmi herec povedal: „Môj syn sa zabil pri autonehode, nenašiel som konce, ale nenahneval som sa na krajinu! Na celom svete - sú silní a sú nezraniteľní. Ale svoj problém si vyriešim a vyriešim sám. A ja to vyriešim, ale nebudem kričať na moc a tých, čo sú pri moci. Rozhodnem sa a rozhodnem. A krajina mi dáva túto príležitosť."

Možnosť č. 4557112

Pri plnení úloh s krátkou odpoveďou zadajte do políčka odpovede číslo, ktoré zodpovedá číslu správnej odpovede, alebo číslo, slovo, postupnosť písmen (slov) alebo číslic. Odpoveď by mala byť napísaná bez medzier alebo akýchkoľvek ďalších znakov. Oddeľte zlomkovú časť od celej desatinnej čiarky. Jednotky merania sa nevyžadujú.

Ak je možnosť nastavená učiteľom, môžete do systému zadať alebo nahrať odpovede na úlohy s podrobnou odpoveďou. Učiteľ uvidí výsledky zadaní s krátkymi odpoveďami a bude môcť ohodnotiť nahrané odpovede na zadania s dlhými odpoveďami. Body udelené učiteľom sa zobrazia vo vašich štatistikách.

Verzia pre tlač a kopírovanie v MS Word

Čísla sa píšu za sebou: , , ..., , Medzi ne sa náhodne umiestnia znamienka „+“ a „-“ a nájde sa výsledný súčet.

Môže sa táto suma rovnať:

a) −4 ak ?

b) 0 ak ?

c) 0 ak ?

d) −3 ak ?

Dĺžky strán obdĺžnika sú prirodzené čísla a jeho obvod je 200. Je známe, že dĺžka jednej strany obdĺžnika je n n je tiež prirodzené číslo.

n>100.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Existuje niekoľko (nie nevyhnutne odlišných) prirodzených čísel. Tieto čísla a všetky ich možné súčty (po 2, po 3 atď.) sú vypísané na tabuľu v neklesajúcom poradí. Ak nejaké číslo n napísané na tabuli sa niekoľkokrát opakuje, potom sa jedno takéto číslo ponechá na tabuli n a ostatné čísla sú n, sú vymazané. Napríklad, ak sú vymyslené čísla 1, 3, 3, 4, potom sa na tabuľu zapíše množina 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

a) Uveďte príklad poňatých čísel, pre ktoré bude na tabuli napísaná množina 2, 4, 6, 8, 10.

b) Existuje príklad takto koncipovaných čísel, pre ktoré sa napíše množina 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22? doska?

c) Uveďte všetky príklady zamýšľaných čísel, pre ktoré bude na tabuli napísaná množina 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Dĺžky strán obdĺžnika sú prirodzené čísla a jeho obvod je 4000. Je známe, že dĺžka jednej strany obdĺžnika je n% dĺžky druhej strany, kde n je tiež prirodzené číslo.

čo najvyššia hodnota môže zabrať oblasť obdĺžnika?

b) Čo najmenšia hodnota môže zabrať oblasť obdĺžnika?

c) Nájdite všetky možné hodnoty, ktoré môže mať plocha obdĺžnika, ak je to navyše známe n

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Je tam 8 kariet. Po jednom sa na ne napíše každé z čísel 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Karty sa otočia a zamiešajú. Na ich čisté strany sa po jednom prepíše každé z čísel 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Potom sa čísla na každej karte sčítajú a výsledný osem súm sa násobí.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Existuje niekoľko celých čísel. Množina týchto čísel a všetky ich možné súčty (po 2, po 3 atď.) sú vypísané na tabuľu v neklesajúcom poradí. Napríklad, ak sú vymyslené čísla 2, 3, 5, potom sa na tabuľu napíše množina 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

a) Na tabuli je napísaná množina -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Aké čísla boli koncipované?

b) Pre niektoré rôzne koncipované čísla v množine napísanej na tabuli sa číslo 0 vyskytuje práve 4-krát. Aký je najmenší počet čísel, ktoré si možno predstaviť?

c) Pri niektorých koncipovaných číslach je na tabuli napísaná množina. Je možné z tejto množiny vždy jednoznačne určiť zamýšľané čísla?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Pred každým z čísel 14, 15, . . ., 20 a 4, 5,. . ., 8 ľubovoľne umiestnite znamienko plus alebo mínus, po ktorom sa každé z vytvorených čísel druhej množiny odčíta od každého z vytvorených čísel prvej množiny a potom sa pridá všetkých 35 výsledkov. Aké je najmenšie modulo a aké najväčšie množstvo je možné získať ako výsledok?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Je tam 8 kariet. Každé z čísel je na nich napísané jedno po druhom:

Karty sa otočia a zamiešajú. Na čisté strany opäť napíšu jedno z čísel:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Potom sa čísla na každej karte spočítajú a výsledných osem súm sa vynásobí.

a) Môže byť výsledok 0?

b) Môže byť výsledok 117?

c) Aké je najmenšie nezáporné celé číslo, ktoré môže vzniknúť?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Počet je taký, že pre akékoľvek znázornenie ako súčet kladných členov, z ktorých každý nepresahuje tieto členy, možno rozdeliť do dvoch skupín tak, že každý člen patrí len do jednej skupiny a súčet členov v každej skupine prekročiť

a) Môže sa číslo rovnať?

b) Môže byť číslo väčšie?

c) Nájdite maximálnu možnú hodnotu

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Uvádza sa aritmetický postup (s rozdielom odlišným od nuly), ktorý sa skladá z prirodzených čísel, ktorých desiatkový zápis neobsahuje číslicu 9.

a) Môže byť v takomto postupe desať termínov?

b) Preukázať, že počet jeho členov je nižší ako 100.

c) Dokážte, že počet členov každej takejto progresie je najviac 72.

d) Uveďte príklad takéhoto postupu so 72 členmi

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Každé z čísel 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 je napísané po jednom na 8 kartičkách. Karty sa otočia a zamiešajú. Na ich čisté strany sa opäť po jednom napíše každé z čísel 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Potom sa čísla na každej karte sčítajú a výsledných osem súm sa vynásobí.

a) Môže byť výsledok 0?

b) Môže byť výsledok 1?

c) Aké je najmenšie nezáporné celé číslo, ktoré môže mať za následok

uspieť?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Na tabuľu je napísané číslo 7. Raz za minútu napíše Vasya na tabuľu jedno číslo: buď dvakrát väčšie ako jedno z čísel na tabuli, alebo sa rovná súčtu nejakých dvoch čísel napísaných na tabuli (teda, za jednu minútu sa na tabuli objaví druhé číslo, po dvoch - tretie atď.).

a) Môže sa na tabuli niekedy objaviť číslo 2012?

b) Môže byť súčet všetkých čísel na tabuli v určitom okamihu 63?

c) Aký je najkratší čas, kým sa číslo 784 objaví na tabuli?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Nájdite všetky prvočísla b, pre každý z nich existuje celé číslo aže zlomok možno znížiť o b.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Prirodzené čísla od 1 do 20 sú rozdelené do štyroch skupín, z ktorých každá obsahuje aspoň dve čísla. Pre každú skupinu nájdite súčet čísel v tejto skupine. Pre každú dvojicu skupín sa zistí modul rozdielu medzi zistenými súčtami a sčíta sa výsledných 6 čísel.

a) Môže byť výsledok 0?

b) Môže byť výsledok 1?

c) Aká je najmenšia možná hodnota získaného výsledku?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Pred každým z čísel 3, 4, 5, . . . 11 a 14, 15. . . 18 ľubovoľne vložte znamienko plus alebo mínus, po ktorom sa každé z vytvorených čísel druhého súboru pripočíta ku každému z vytvorených čísel prvého súboru a potom sa spočíta všetkých 45 výsledkov. Aký je najmenší súčet modulov a aký najväčší súčet možno získať ako výsledok?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

V krúžku sa raz v určitom poradí zapíšu čísla od 10 do 21. Pre každú z dvanástich dvojíc susedných čísel sa našiel ich najväčší spoločný deliteľ.

a) Je možné, že všetci najväčší spoloční deliteľ sa rovnajú 1?

b) Je možné, že všetci najväčší spoloční delitelia sú v pároch odlišní?

c) Aký najväčší počet párovo odlišných najväčších spoločných deliteľov možno získať?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Každé z čísel 5, 6, . . ., 9 sa násobí každým z čísel 12, 13, . . ., 17 a pred každý ľubovoľný obrázok vložte znamienko plus alebo mínus, po ktorom sa pridá všetkých 30 výsledkov. Aký je najmenší súčet modulov a aký najväčší súčet možno získať ako výsledok?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Prirodzené čísla od 1 do 21 boli nejakým spôsobom umiestnené na kruhu (každé číslo bolo umiestnené raz). Potom sme pre každú dvojicu susedných čísel našli rozdiel medzi väčším a menším.

a) Môžu byť všetky výsledné rozdiely aspoň 11?

b) Môžu byť všetky výsledné rozdiely aspoň 10?

c) Okrem získaných rozdielov pre každú dvojicu čísel, ktorá obstála v jednom, našli rozdiel medzi väčším a menším. Pre aké je najväčšie celé číslo kčísla môžete usporiadať tak, aby všetky rozdiely neboli menšie ako k?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Existuje niekoľko celých čísel. Množina týchto čísel a všetky ich možné súčty (po 2, po 3 atď.) sú vypísané na tabuľu v neklesajúcom poradí. Napríklad, ak sú vymyslené čísla 2, 3, 5, potom sa na tabuľu napíše množina 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

a) Na tabuli je napísaná množina -6, -2, 1, 4, 5, 7, 11. Aké čísla vznikli?

b) Pre niektoré rôzne koncipované čísla v množine napísanej na tabuli sa číslo 0 vyskytuje práve 7-krát. Aký je najmenší počet čísel, ktoré si možno predstaviť?

c) Pri niektorých koncipovaných číslach je na tabuli napísaná množina. Je možné z tejto množiny vždy jednoznačne určiť zamýšľané čísla?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

n n n

a) Uveďte príklad koncipovaných čísel, pre ktoré bude na tabuli napísaná množina 2, 4, 6, 8.

b) Existuje príklad takto koncipovaných čísel, pre ktoré sa napíše množina 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22? doska?

c) Uveďte všetky príklady zamýšľaných čísel, pre ktoré bude na tabuli napísaná množina 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Nájdite neredukovateľný zlomok taký, že

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

a) Aký je počet spôsobov, ako zapísať číslo 1292 v tvare, kde čísla sú celé čísla,

b) Existuje 10 odlišných čísel, ktoré možno znázorniť ako celé čísla presne 130 spôsobmi?

c) Koľko čísel N je takých, že ich možno znázorniť v tvare, kde čísla sú celé čísla presne 130 spôsobmi?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Existuje niekoľko (nie nevyhnutne odlišných) prirodzených čísel. Tieto čísla a všetky ich možné súčty (po 2, po 3 atď.) sú vypísané na tabuľu v neklesajúcom poradí. Ak nejaké číslo n napísané na tabuli sa niekoľkokrát opakuje, potom sa jedno takéto číslo ponechá na tabuli n a ostatné čísla sú n, sú vymazané. Napríklad, ak sú vymyslené čísla 1, 3, 3, 4, potom sa na tabuľu zapíše množina 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

a) Uveďte príklad koncipovaných čísel, pre ktoré bude na tabuli napísaná množina 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

b) Existuje príklad takto koncipovaných čísel, pre ktoré sa napíše množina 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22? doska?

c) Uveďte všetky príklady poňatých čísel, pre ktoré bude na tabuli napísaná množina 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Kolja vynásobil nejaké prirodzené číslo susedným prirodzeným číslom a dostal súčin rovný m. Vova vynásobil nejaké párne prirodzené číslo susedným párnym prirodzeným číslom a dostal súčin rovný n.

m a n rovná 6?

m a n rovných 13?

m a n?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Medzi obyčajnými zlomkami s kladnými menovateľmi sa nachádza medzi číslami ten, ktorého menovateľ je minimálny.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Každý zo skupiny študentov chodil do kina alebo do divadla, pričom je možné, že jeden z nich mohol ísť aj do kina, aj do divadla. Je známe, že v divadle nebolo viac chlapcov, ako je celkový počet žiakov v skupine, ktorí navštívili divadlo, a v kine nebolo viac chlapcov, ako je celkový počet žiakov v skupine, ktorí navštívili kino.

a) Mohlo by byť v skupine 9 chlapcov, ak je navyše známe, že v skupine bolo celkovo 20 žiakov?

b) Aký najväčší počet chlapcov MOHOL byť v skupine, ak je navyše známe, že v skupine bolo 20 žiakov?

c) Aký bol najmenší podiel dievčat na celkovom počte žiakov v skupine bez dodatočnej podmienky bodov a a b?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Dané trojciferné prirodzené číslo (číslo nemôže začínať od nuly), ktoré nie je násobkom 100.

a) Môže sa podiel tohto čísla a súčet jeho číslic rovnať 82?

b) Môže sa podiel tohto čísla a súčet jeho číslic rovnať 83?

c) Aká je najväčšia prirodzená hodnota daného čísla a súčet jeho číslic?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Krajina Delphinia má nasledujúci systém dane z príjmu ( menová jednotka Delfíny - zlaté):

a) Dvaja bratia zarobili spolu 1000 zlatých. Ako sa im najviac oplatí tieto peniaze rozdeliť medzi seba, aby ich mala rodina čo najviac viac peňazí po zdanení? Pri delení dostane každý celočíselný počet zlatých.

b) Aký je najlepší spôsob, ako rozdeliť tých istých 1000 zlatých medzi troch bratov za predpokladu, že každý z nich dostane aj celý počet zlatých?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Peťa vynásobil nejaké prirodzené číslo susedným prirodzeným číslom a dostal súčin rovný a. Vasya vynásobil nejaké párne prirodzené číslo susedným párnym prirodzeným číslom a dostal súčin rovný b.

a) Môže modul rozdielu čísel a a b rovná 8?

b) Môže modul rozdielu čísel a a b rovná 11?

c) Aké hodnoty modulu rozdielu čísel môžu nadobudnúť a a b?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Nájdite všetky také dvojice prirodzených čísel a , takže ak sa k desatinnému zápisu čísla napravo pridá desiatkový zápis čísla, dostanete číslo, ktoré je väčšie ako súčin čísel a o

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Na tabuli je napísaných viac ako 40, ale menej ako 48 celých čísel. Aritmetický priemer týchto čísel je -3, aritmetický priemer všetkých kladných čísel je 4 a aritmetický priemer všetkých záporných čísel je -8.

a) Koľko čísel je napísaných na tabuli?

b) Aké čísla sa píšu viac: kladné alebo záporné?

c) Aký je medzi nimi najväčší počet kladných čísel?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

K dispozícii sú kamenné bloky: 50 kusov po 800 kg, 60 kusov po 1 000 kg a 60 kusov po 1 500 kg (bloky nemožno štiepiť).

a) Je možné všetky tieto bloky odviezť naraz na 60 kamiónoch, každý s nosnosťou 5 ton, za predpokladu, že sa vybrané bloky zmestia do auta?

b) Je možné všetky tieto bloky odviezť naraz na 38 kamiónoch s nosnosťou 5 ton za predpokladu, že sa vybrané bloky zmestia do auta?

c) Aký najmenší počet kamiónov s nosnosťou každého 5 ton bude potrebný na vynesenie všetkých týchto kociek naraz za predpokladu, že sa vybrané kocky zmestia do kamiónu?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Dané trojciferné prirodzené číslo (číslo nemôže začínať od nuly), ktoré nie je násobkom 100.

a) Môže sa podiel tohto čísla a súčet jeho číslic rovnať 90?

b) Môže sa podiel tohto čísla a súčet jeho číslic rovnať 88?

c) Aká je najväčšia prirodzená hodnota daného čísla a súčet jeho číslic?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Na tabuli je napísaných viac ako 40, ale menej ako 48 celých čísel. Aritmetický priemer týchto čísel je -3, aritmetický priemer všetkých kladných čísel je 4 a aritmetický priemer všetkých záporných čísel je -8.

a) Koľko čísel je napísaných na tabuli?

b) Aké čísla sa píšu viac: kladné alebo záporné?

c) Aký je medzi nimi najväčší počet kladných čísel?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Sú dané n rôzne prirodzené čísla, ktoré tvoria aritmetickú postupnosť

a) Môže sa súčet všetkých daných čísel rovnať 14?

b) Aká je najväčšia hodnota n ak je súčet všetkých daných čísel menší ako 900?

c) Nájdite všetky možné hodnoty n ak súčet všetkých daných čísel je 123.

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Je možné uviesť príklad piatich rôznych prirodzených čísel, ktorých súčin sa rovná 1512 a

b) štyri;

tvoria geometrickú postupnosť?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Nájdite všetky prvočísla, pre každé z nich existuje celé číslo, o ktoré možno zlomok zmenšiť

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Vzhľadom na postupnosť prirodzených čísel sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho buď 10 alebo 6-krát. Súčet všetkých členov v sekvencii je 257.

a) Aký najmenší počet členov môže byť v tejto postupnosti?

b) Aký je maximálny počet členov, ktorí môžu byť v tomto poradí?

Riešenia úloh s podrobnou odpoveďou sa nekontrolujú automaticky.
Na nasledujúcej stránke budete vyzvaní, aby ste ich sami skontrolovali.

Ak dve čísla a a b pri delení číslom m daj rovnaký zvyšok, potom povieme, že a je zhodné s b modulo m. Zapíšte si to takto a ≡ b (mod m)

Ak a > b, potom najväčší spoločný deliteľ a a b sa rovná najväčšiemu spoločnému deliteľovi a-b a b.

Pri riešení problémov zvážte tieto vlastnosti:

1. Koľko prirodzených čísel je menších ako 1000, ktoré nie sú deliteľné ani 5, ani 7?

Riešenie: Z 999 čísel vyškrtneme menej ako 1000 čísel, ktoré sú násobkami 5: je ich 199 (999/5 = 199). Ďalej prečiarkneme čísla, ktoré sú násobkami 7: je ich 142 (999/7 = 142). Ale medzi číslami, ktoré sú násobkami 7, je 28 (999/35 = 28) čísel, ktoré sú súčasne násobkami 5; budú dvakrát prečiarknuté. Celkovo by sme mali preškrtnúť 199 + 142 - 28 = 313 čísel.

Zostáva 999 - 313 = 686. Odpoveď: 686 čísel.

2. Nájdite zvyšok za rok 2009⋅2010⋅2011+2012 2 vydelený 7.

Riešenie problému

Vzhľadom na to, že rok 2009⋮7, zvyšok bude rok 2012 2 ≡ 3 2 ≡ 2 (mod7)

3. Je známe, že zvyšok po delení čísla aa číslom 19 je 7 a číslo b číslom 19 sa rovná 11. Nájdite zvyšok po delení čísla ab(a+b)(a−b) číslom 19.

Riešenie problému

Všimnite si, že ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) = −224 = −228+4 ≡ 4 (mod19)

4. Dokážte, že súčet druhých mocnín troch celých čísel nemôže pri delení číslom 8 ponechať zvyšok 7.

Riešenie

Akékoľvek celé číslo, keď je delené 8, má zvyšok jedného z nasledujúcich ôsmich čísel 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, takže druhá mocnina celého čísla má pri delení 8 zvyšok, jedno z tri čísla 0, 1, 4. Aby súčet druhých mocnín troch čísel mal pri delení 8 zvyšok 7, musí byť splnený jeden z dvoch prípadov: buď jeden zo štvorcov, alebo všetky tri, keď delené 8, majú nepárne zvyšky.

V prvom prípade je nepárny zvyšok 1 a súčet dvoch párnych zvyškov je 0, 2, 4, to znamená, že súčet všetkých zvyškov je 1, 3, 5. V tomto prípade nemôže byť zvyšok 7 získané. V druhom prípade sú tri nepárne zvyšky tri 1 a zvyšok celého súčtu je 3. Takže 7 nemôže byť zvyšok, keď súčet druhých mocnín troch celých čísel je delený 8.

5. Existujú prirodzené čísla nn také, že n 2 +n+1 je deliteľné 2014?

Riešenie problému

Všimnite si, že n 2 + n = n(n + 1) je deliteľné 2, pretože je súčinom dvoch po sebe idúcich čísel, čo znamená, že n 2 + n + 1 je vždy nepárne (možno to vidieť aj pomocou Fermatovej malej vety : n2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2).

Keďže číslo 2014 je párne, neexistuje n takých, aby číslo n 2 +n+1 bolo deliteľné rokom 2014 (ak by také n existovalo, odporovalo by to skutočnosti, že n 2 +n+1 je nepárne).

6. C Existuje desaťmiestne číslo deliteľné 11, v ktorom sa každá číslica vyskytuje raz?

I cesta. Pri zápise trojciferných čísel deliteľných 11 medzi nimi nájdete tri čísla, na ktorých zápise sa podieľajú všetky čísla od 0 do 9. Napríklad 275, 396,418. S ich pomocou môžete urobiť desaťmiestne číslo deliteľné 11. Napríklad:

2753964180 = 275 107 + 396 107 + 418 10 = 11 (25 107 + 36 104 + 38 10).

II spôsob. Na nájdenie požadovaného čísla používame kritérium deliteľnosti 11, podľa ktorého čísla n = a 1 a 2 a 3 ... a 10 (v tento prípad a i nie sú faktory, ale číslice v zápise čísla n) a S (n) \u003d a 1 - a 2 + a 3 - ... - a 10 sú súčasne deliteľné 11.

Nech A je súčet číslic zahrnutých v S(n) so znamienkom "+", B je súčet číslic zahrnutých v S(n) so znamienkom "-". Číslo A-B by podľa stavu problému malo byť deliteľné 11. Dajme B - A \u003d 11, okrem toho, samozrejme, A + B \u003d 1 + 2 + 3 + ... + 9 \u003d 45. Vyriešením výsledného systému B - A \u003d 11 , A + B \u003d 45 nájdeme, A \u003d 17, B \u003d 28. Vyberme skupinu piatich rôznych čísel so súčtom 17. Napríklad 1 + 2 + 3 + 5 + 6 \u003d 17. Tieto čísla budeme brať ako čísla s nepárnymi číslami . Ako číslice s párnymi číslami berieme zvyšné - 4, 7, 8, 9, 0.

Vidíme, že podmienku problému spĺňa napríklad číslo 1427385960.

7. Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré dáva rovnaký zvyšok pri delení 25 ako 1234.

Riešenie

Zvážte zvyšok pri delení čísla 1234 číslom 25. Všetky čísla menšie ako dávajú ostatné zvyšky, pretože sú to ich vlastné zvyšky. Zvyšok, keď je 1234 delené 25, je 9, pretože 1234=49⋅25+9, toto je odpoveď.

8. Po získaní dvojky v geografii sa Vasya rozhodla zlomiť geografická mapa od seba. Každý kúsok, ktorý mu padne do rúk, roztrhá na štyri časti. Dokáže niekedy získať presne 2012 kusov? kusy z roku 2013? kusy z roku 2014? 2015 kusov?

Riešenie problému

Všimnite si, že zakaždým, keď Vasya zvýši počet kusov o 3, pretože zmení jeden kus na štyri. Preto dostane čísla ako 1+3N, kde N je počet kusov, ktoré roztrhal. Číslo 2014 má tento tvar, teda dostane 2014 kusov, pričom ostatné nemôžu byť v tomto tvare zastúpené (majú zvyšky pri delení 3 sú 0 alebo 2).

9. Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré dáva tieto zvyšky: 1 - pri delení 2, 2 - pri delení 3, 3 - pri delení 4, 4 - pri delení 5, 5 - pri delení 6.

Riešenie problému

Zvážte požadované číslo zvýšené o jednu. Je deliteľné 2,3,4,5,6, pretože dáva zvyškov o jeden menej ako samotní delitelia. Potrebujeme nájsť minimum takéhoto čísla, preto požadované číslo je najmenší spoločný násobok čísel 2,3,4,5,6 mínus 1. Najmenší spoločný násobok 2,3,4,5,6 je 2 2 ⋅3⋅5=60 , pretože v číslach 2,3,4,5,6 sú len 3 prvočísla, trojka a päťka zadávajú maximum v prvom stupni a dva v druhom (v čísle 4). Takže požadované číslo je 60−1 = 59.