Drahí priatelia! Do skupiny úloh súvisiacich s deriváciou patria úlohy - v podmienke je uvedený graf funkcie, niekoľko bodov na tomto grafe a otázka znie:

V ktorom bode je hodnota derivátu najväčšia (najmenšia)?

Stručne zopakujme:

Derivácia v bode sa rovná sklonu prechádzajúcej dotyčnicetento bod na grafe.

oglobálny koeficient dotyčnice sa zasa rovná dotyčnici sklonu tejto dotyčnice.

*Týka sa uhla medzi dotyčnicou a osou x.

1. Na intervaloch rastúcej funkcie má derivácia kladnú hodnotu.

2. Na intervaloch svojho poklesu má derivácia zápornú hodnotu.

Zvážte nasledujúci náčrt:

V bodoch 1,2,4 má derivácia funkcie zápornú hodnotu, keďže tieto body patria do klesajúcich intervalov.

V bodoch 3,5,6 má derivácia funkcie kladnú hodnotu, keďže tieto body patria do intervalov nárastu.

Ako vidíte, s hodnotou derivácie je všetko jasné, to znamená, že nie je ťažké určiť, aké znamienko má (kladné alebo záporné) v určitom bode grafu.

Navyše, ak mentálne zostrojíme dotyčnice v týchto bodoch, uvidíme, že priamky prechádzajúce bodmi 3, 5 a 6 zvierajú uhly s osou x ležiacou v rozmedzí od 0 do 90° a priamky prechádzajúce bodmi 1, 2 a 4 tvoria s osou x, uhly v rozmedzí od 90° do 180°.

* Vzťah je jasný: dotyčnice prechádzajúce bodmi patriacimi do intervalov rastúcich funkcií zvierajú ostré uhly s osou oX, dotyčnice prechádzajúce bodmi patriacimi intervalom klesajúcich funkcií zvierajú s osou oX tupé uhly.

Teraz dôležitá otázka!

Ako sa mení hodnota derivátu? Veď dotyčnica v rôznych bodoch grafu spojitej funkcie zviera rôzne uhly podľa toho, ktorým bodom grafu prechádza.

*Alebo hovoriť jednoduchý jazyk, dotyčnica je umiestnená takpovediac „vodorovnejšie“ alebo „vertikálnejšie“. Pozri:

Priame čiary zvierajú s osou x uhly v rozmedzí od 0 do 90 o

Priame čiary zvierajú s osou oX uhly v rozmedzí od 90 o do 180 o

Takže ak máte nejaké otázky:

- v ktorom z daných bodov grafu má hodnota derivácie najmenšiu hodnotu?

- v ktorom z daných bodov grafu má hodnotu derivácie najvyššia hodnota?

potom pre odpoveď je potrebné pochopiť, ako sa mení hodnota dotyčnice uhla dotyčnice v rozsahu od 0 do 180 o.

*Ako už bolo spomenuté, hodnota derivácie funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice k osi x.

Hodnota dotyčnice sa mení takto:

Keď sa sklon priamky zmení z 0 o na 90 o, hodnota dotyčnice, a teda aj derivácie, sa zmení z 0 na +∞;

Keď sa sklon priamky zmení z 90 o na 180 o, hodnota dotyčnice, a teda aj derivácie, sa zodpovedajúcim spôsobom zmení –∞ na 0.

To možno jasne vidieť z grafu funkcie dotyčnice:

Zjednodušene povedané:

Keď je uhol sklonu dotyčnice od 0 o do 90 o

Čím bližšie je k 0 o, tým väčšia bude hodnota derivácie blízka nule (na kladnej strane).

Čím je uhol bližšie k 90°, tým viac sa bude hodnota derivácie zvyšovať smerom k +∞.

Keď je uhol sklonu dotyčnice od 90 o do 180 o

Čím bližšie je k 90 o, tým viac bude hodnota derivácie klesať smerom k –∞.

Čím je uhol bližšie k 180 o, tým väčšia bude hodnota derivácie blízka nule (na zápornej strane).

317543. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(X) a označené body–2, –1, 1, 2. V ktorom z týchto bodov je hodnota derivátu najväčšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Máme štyri body: dva z nich patria intervalom, na ktorých funkcia klesá (sú to body –1 a 1) a dva intervalom, na ktorých funkcia rastie (sú to body –2 a 2).

Okamžite môžeme konštatovať, že v bodoch -1 a 1 má derivát zápornú hodnotu, v bodoch -2 a 2 má kladnú hodnotu. Preto v tento prípad je potrebné rozobrať body -2 a 2 a určiť, ktorý z nich bude mať najväčšiu hodnotu. Zostrojme dotyčnice prechádzajúce vyznačenými bodmi:

Hodnota dotyčnice uhla medzi priamkou a a osou x bude väčšia ako hodnota dotyčnice uhla medzi priamkou b a touto osou. To znamená, že hodnota derivátu v bode -2 bude najväčšia.

Odpovieme ďalšia otázka: v ktorom bode -2, -1, 1 alebo 2 je hodnota derivátu najväčší zápor? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Derivácia bude mať zápornú hodnotu v bodoch patriacich do klesajúcich intervalov, preto zvážte body -2 a 1. Zostrojme dotyčnice, ktoré nimi prechádzajú:

Vidíme, že tupý uhol medzi priamkou b a osou oX je „bližší“ k 180 o , takže jeho dotyčnica bude väčšia ako dotyčnica uhla, ktorý zviera priamka a a os x.

Teda v bode x = 1 bude hodnota derivácie najväčší zápor.

317544. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(X) a označené body–2, –1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je hodnota derivácie najmenšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Máme štyri body: dva z nich patria intervalom, na ktorých funkcia klesá (sú to body –1 a 4) a dva intervalom, na ktorých funkcia rastie (sú to body –2 a 1).

Okamžite môžeme skonštatovať, že v bodoch -1 a 4 má derivát zápornú hodnotu, v bodoch -2 a 1 kladnú hodnotu. Preto je v tomto prípade potrebné analyzovať body –1 a 4 a určiť, ktorý z nich bude mať najmenšiu hodnotu. Zostrojme dotyčnice prechádzajúce vyznačenými bodmi:

Hodnota dotyčnice uhla medzi priamkou a a osou x bude väčšia ako hodnota dotyčnice uhla medzi priamkou b a touto osou. To znamená, že hodnota derivácie v bode x = 4 bude najmenšia.

odpoveď: 4

Dúfam, že som ťa "nepreťažil" množstvom písania. V skutočnosti je všetko veľmi jednoduché, stačí pochopiť vlastnosti derivácie, jej geometrický význam a ako sa mení hodnota tangens uhla od 0 do 180 o.

1. Najprv určte znamienka derivácie v týchto bodoch (+ alebo -) a vyberte potrebné body (v závislosti od položenej otázky).

2. Zostrojte dotyčnice v týchto bodoch.

3. Pomocou grafu tangezoidov schematicky označte rohy a zobrazteAlexander.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) na helikoptére s streľbou z diaľkového kanóna v určitých bodoch a výberom z tieto body sú veľmi špeciálne body pre kontrolné strely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určitých pravidiel. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.

Ak je funkcia r = f(X) súvislé na segmente [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej a najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej a najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom vyberte najmenší a najväčší z nich.

Nech je napríklad potrebné určiť maximálnu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Ak to chcete urobiť, nájdite všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

kritický bod sa nazýva bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát je buď nula, alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) a f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na intervale [a, b] .

Problém nájsť najmenšie hodnoty funkcie .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie. Prirovnajte deriváciu k nule () a získajte dva kritické body: a . Na nájdenie najmenších a najväčších hodnôt funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode , keďže bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú nasledovné: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), sa rovná 9, - v kritickom bode .

Ak je funkcia spojitá v určitom intervale a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusia byť najmenšie a najväčšie. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do intervalu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najväčšiu hodnotu rovná 1 v bode .

Pokračujeme v spoločnom hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcie

Sú učitelia, ktorí na tému hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú žiakom zložitejšie príklady ako tie, ktoré sú práve uvažované, teda také, v ktorých je funkciou polynóm alebo zlomok, čitateľ. a menovateľom ktorých sú polynómy. Neobmedzíme sa však na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú milovníci toho, aby študenti premýšľali v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmus a goniometrické funkcie.

Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najväčšiu hodnotu rovná e² , v bode .

Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najväčšiu hodnotu, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch sa hľadanie najmenších (najväčších) funkčných hodnôt spravidla redukuje na nájdenie minima (maxima). Väčší praktický záujem však nie sú samotné minimá alebo maximá, ale hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalší problém - zostavovanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 8 Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, aby bola pokrytá čo najmenším množstvom materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Preskúmajme túto funkciu pre extrém. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho v , derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v doméne definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže - jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného kritéria. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Pretože toto minimum - jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by sa mala rovnať 2 m a jej výška.

Príklad 9 Z odseku A, ktorý sa nachádza na železničnej trati, do bodu OD, vo vzdialenosti od neho l, tovar je potrebné prepraviť. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu M linky železnice diaľnica by mala byť postavená tak, aby preprava tovaru z ALE v OD bola najhospodárnejšia AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?

Niekedy sa v problémoch B14 vyskytujú "zlé" funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na túto skúšku. V tomto prípade fungujú iné triky, jedným z nich je monotónnosť. Definícia Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na úsečke, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tejto úsečky platí: x 1

Definícia. Funkcia f (x) sa na úsečke nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tejto úsečky platí: x 1 f (x 2). Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie f(x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím väčšie x, tým menšie f(x).

Príklady. Logaritmus rastie monotónne, ak základ a > 1 a klesá monotónne, ak 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 a monotónne klesá, ak 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 a monotónne klesá, ak 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 a monotónne klesá, ak 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Príklady Logaritmus je monotónne rastúce, ak základ a > 1 a monotónne klesajúce, ak 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Príklady. Logaritmus rastie monotónne, ak základ a > 1 a klesá monotónne, ak 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Príklady. Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pre a > 1 a klesá pre 0 0: 1 a klesajúci pri 0 0:"> 1 a klesajúci pri 0 0:"> 1 a klesajúci pri 0 0:" title="(!LANG:Príklady. Exponenciálna funkcia sa správa ako logaritmus: zvyšuje sa pre a > 1 a klesá o 0 0:"> title="Príklady. Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pre a > 1 a klesá pre 0 0:"> !}

0) alebo dole (a 0) alebo dole (a 9 Súradnice vrcholov paraboly Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza štvorcovou trojčlenkou v tvare Jej grafom je štandardná parabola, v ktorej nás zaujímajú vetvy: Vetvy paraboly môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a 0) resp. najväčší (a 0) alebo nadol (a 0) alebo nadol (a 0) alebo najväčší (a 0) alebo nadol (a 0) alebo nadol (a title="(!LANG: Parabola vertex súradnice Najčastejšie argument funkcie je nahradená štvorcovou trojčlenkou v tvare Jej graf je štandardná parabola, v ktorej nás zaujímajú vetvy: Vetvy paraboly môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a

V stave problému nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f(a) a f(b). Zostáva zvážiť iba extrémne body; Ale existuje len jeden taký bod - to je vrchol paraboly x 0, ktorej súradnice sú vypočítané doslova slovne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie úlohy je teda značne zjednodušené a zredukované len na dva kroky: Vypíšte rovnicu paraboly a nájdite jej vrchol pomocou vzorca: Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

0. Vrch paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!JAZYK: Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Pod odmocninou je kvadratická funkcia paraboly sa rozvetvuje, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrchol paraboly: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Pod koreňom je kvadratická funkcia. Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrchol paraboly: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Nájdi najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Pod koreňom je kvadratická funkcia. Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrchol paraboly: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Pod koreňom je kvadratická funkcia. Grafom tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrchol paraboly: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia. a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:Nájdi najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia. Graf paraboly s vetvami nahor, pretože a \u003d 1\u003e 0. Vrchol paraboly: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie: Riešenie Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia. a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie: Riešenie: Exponent obsahuje kvadratickú funkciu

Dôsledky z definičného oboru funkcie Niekedy na vyriešenie úlohy B14 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu a vôbec nie v extrémnom bode. Ak segment nie je v probléme vôbec špecifikovaný, pozrieme sa na oblasť prípustných hodnôt pôvodnej funkcie. menovite:

0 2. Aritmetika Odmocnina existuje iba z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula:" title="(!LANG:1. Argument logaritmu musí byť kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritmu musí byť kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula: 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule: "> 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku zlomok sa nesmie rovnať nule:"> 0 2. Aritmetika druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku nesmie byť nula:" title="(!LANG:1. Logaritmický argument musí byť kladné: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule:"> title="1. Argument logaritmu musí byť kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporných čísel: 3. Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula:"> !}

Riešenie Druhá odmocnina je opäť kvadratická funkcia. Jeho graf je parabola, ale vetvy sú nasmerované nadol, pretože a = 1 Teraz nájdite vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 (1)) = 2/(2) = 1 Bod x 0 = 1 patrí do segmentu ODZ a to je dobré. Teraz zvážime hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Takže máme čísla 2 a 0. nájsť najväčšie číslo 2. Odpoveď: 2

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Týmto sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú. Hľadáme vrchol paraboly: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Ale keďže nás konce segmentu nezaujímajú, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odpoveď: -2

Niekedy sa v problémoch B15 vyskytujú "zlé" funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na túto skúšku.

V tomto prípade fungujú iné triky, z ktorých jeden je - monotónna.

Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcia f (x) sa na úsečke nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tejto úsečky platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie je f(x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím viac x, tým menej f(x).

Napríklad logaritmus rastie monotónne, ak základ a > 1 a klesá monotónne, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetická druhá mocnina (nielen druhá odmocnina) rastie monotónne v celej oblasti definície:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: zvyšuje sa pre a > 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, exponenciálna funkcia definované pre všetky čísla, nielen x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Nakoniec stupne so záporným exponentom. Môžete ich napísať ako zlomok. Majú bod zlomu, kde je narušená monotónnosť.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú vo svojej čistej forme. Pridávajú sa k nim polynómy, zlomky a iné nezmysly, kvôli ktorým je ťažké vypočítať deriváciu. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.

Súradnice vrcholov paraboly

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza výrazom štvorcový trojčlen tvaru y = ax 2 + bx + c . Jeho graf je štandardná parabola, ktorá nás zaujíma:

1. Vetvy paraboly - môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrchol paraboly je extrémnym bodom kvadratickej funkcie, v ktorom táto funkcia nadobúda svoj najmenší (pre a > 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčším záujmom je vrchol paraboly, ktorého úsečka sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli extrémny bod kvadratickej funkcie. Ale ak je pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 bude pre ňu tiež extrémnym bodom. Preto formulujeme kľúčové pravidlo:

Extrémne body štvorcového trinomu a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete hľadať x 0 pre štvorcovú trojčlenku a zabudnúť na funkciu.

Z vyššie uvedeného uvažovania zostáva nejasné, aký druh bodu získame: maximum alebo minimum. Úlohy sú však špecificky navrhnuté tak, aby to nevadilo. Veď posúďte sami:

1. V stave problému nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f(a) a f(b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
2. Ale taký bod je len jeden – ide o vrchol paraboly x 0, ktorej súradnice sú vypočítané doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a zredukované len na dva kroky:

1. Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol pomocou vzorca: x 0 = −b /2a;
2. Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho opodstatnenie môže zdať komplikovaný. Zámerne neuverejňujem schému „holého“ riešenia, pretože bezmyšlienkovitá aplikácia takýchto pravidiel je plná chýb.

Zvážte skutočné úlohy zo skúšobnej skúšky z matematiky - tu je táto technika najbežnejšia. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom mnohé problémy B15 stali takmer verbálnymi.

Pod koreňom je kvadratická funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Pretože vetvy paraboly sú nasmerované nahor, v bode x 0 \u003d −3 nadobúda funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.

Koreň sa monotónne zvyšuje, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Takže v bode x 0 = −1 nadobudne kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, takže:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent je kvadratická funkcia y = 1 − 4x − x 2 . Prepíšme to do normálneho tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:

Pozorný čitateľ si určite všimne, že sme nezapísali oblasť prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. Nebolo to však potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy pozitívne.

Dôsledky z rozsahu funkcie

Niekedy na vyriešenie problému B15 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak úloha vôbec nešpecifikuje segment, pozrite sa na tolerančný rozsah pôvodná funkcia. menovite:

Venujte pozornosť znova: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateľovi zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetví sa nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypíšeme oblasť prípustných hodnôt (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Teraz nájdite vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz zvážime hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y(-3) = y(1) = 0

Dostali sme teda čísla 2 a 0. Žiadame, aby sme našli najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vo vnútri logaritmu je kvadratická funkcia y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôžu byť záporné čísla, takže vypíšeme ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Týmto sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú.

Hľadá sa vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrch paraboly zapadá pozdĺž ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale keďže nás konce segmentu nezaujímajú, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2