A máte závislosť na kalkulačke? Alebo si myslíte, že okrem kalkulačky alebo tabuľky štvorcov je veľmi ťažké vypočítať napr.

Stáva sa, že školáci sú viazaní na kalkulačku a dokonca vynásobia 0,7 x 0,5 stlačením drahých tlačidiel. Hovoria, dobre, stále viem, ako počítať, ale teraz ušetrím čas ... Bude skúška ... potom sa napnem ...

Faktom je, že „napätých chvíľ“ na skúške bude aj tak dosť... Ako sa hovorí, voda opotrebováva kameň. Takže na skúške vás môžu zraziť maličkosti, ak ich je veľa ...

Poďme minimalizovať počet možných problémov.

Odmocnina z veľkého čísla

Teraz budeme hovoriť len o prípade, keď výsledkom extrakcie druhej odmocniny je celé číslo.

Prípad 1

Takže musíme všetkými prostriedkami (napríklad pri výpočte diskriminantu) vypočítať druhú odmocninu z 86436.

Číslo 86436 rozložíme na prvočísla. Vydelíme 2, dostaneme 43218; opäť vydelíme 2,- dostaneme 21609. Číslo nie je deliteľné ešte 2. Ale keďže súčet číslic je deliteľný 3, potom aj samotné číslo je deliteľné 3 (všeobecne povedané, je vidieť, že je deliteľné aj 9). . Ešte raz vydelíme 3,- dostaneme 2401. 2401 nie je úplne deliteľné 3. Nedeliteľné piatimi (nekončí 0 alebo 5).

Máme podozrenie na deliteľnosť 7. V skutočnosti a ,

Takže úplná objednávka!

Prípad 2

Treba si vypočítať. Je nepohodlné konať rovnakým spôsobom, ako je opísané vyššie. Pokus o faktorizáciu...

Číslo 1849 nie je úplne deliteľné 2 (nie je párne) ...

Nie je úplne deliteľné 3 (súčet číslic nie je násobkom 3) ...

Nie je úplne deliteľné 5 (posledná číslica nie je 5 alebo 0) ...

Nie je to úplne deliteľné 7, nie je to deliteľné 11, nie je to deliteľné 13 ... Nuž, ako dlho nám bude trvať, kým sa takto prejdeme všetkými prvočíslami?

Poďme sa hádať trochu inak.

Rozumieme tomu

Zúžili sme vyhľadávanie. Teraz triedime čísla od 41 do 49. Okrem toho je jasné, že keďže posledná číslica čísla je 9, stojí za to zastaviť sa pri možnostiach 43 alebo 47 - iba tieto čísla po odmocnení dávajú poslednú číslicu 9.

No, tu už, samozrejme, zastavíme na 43. Skutočne,

P.S. Ako do pekla vynásobíme 0,7 x 0,5?

Mali by ste vynásobiť 5 x 7, ignorovať nuly a znamienka, a potom oddeliť sprava doľava dve desatinné miesta. Dostaneme 0,35.

V predslove k svojmu prvému vydaniu V ríši vynaliezavosti (1908) E. I. Ignatiev píše: Výsledky sú spoľahlivé len vtedy, keď je úvod do oblasti matematických vedomostí urobený jednoduchým a príjemným spôsobom, na predmetoch a príkladoch každodenných a každodenných situácií, vybraných s náležitým vtipom a pobavením.

V predslove k vydaniu z roku 1911 „Úloha pamäte v matematike“ E.I. Ignatiev píše: "...v matematike by sme si nemali pamätať vzorce, ale proces myslenia."

Na extrakciu druhej odmocniny existujú tabuľky druhých mocnín pre dvojciferné čísla, číslo môžete rozložiť na prvočísla a extrahovať druhú odmocninu zo súčinu. Tabuľka štvorcov nestačí, extrahovanie koreňa faktoringom je časovo náročná úloha, ktorá tiež nie vždy vedie k požadovanému výsledku. Skúste extrahovať druhú odmocninu čísla 209764? Rozklad na prvočísla dáva produkt 2 * 2 * 52441. Pokusom a omylom, výberom - to sa samozrejme dá urobiť, ak ste si istí, že ide o celé číslo. Spôsob, ktorý chcem navrhnúť, vám aj tak umožňuje vziať druhú odmocninu.

Raz v inštitúte (Permský štátny pedagogický ústav) sme boli oboznámení s touto metódou, o ktorej chcem teraz hovoriť. Nikdy som sa nezamýšľal nad tým, či má táto metóda dôkaz, takže teraz som si musel nejaké dôkazy odvodiť sám.

Základom tejto metódy je zloženie čísla =.

=&, t.j. &2=596334.

1. Rozdeľte číslo (5963364) do párov sprava doľava (5`96`33`64)

2. Extrahujeme druhú odmocninu prvej skupiny vľavo ( - číslo 2). Dostaneme teda prvú číslicu čísla &.

3. Nájdite druhú mocninu prvej číslice (2 2 \u003d 4).

4. Nájdite rozdiel medzi prvou skupinou a druhou mocninou prvej číslice (5-4=1).

5. Zbúrame ďalšie dve číslice (dostaneme číslo 196).

6. Prvú číslicu, ktorú sme našli, zdvojnásobíme, zapíšeme ju vľavo za čiaru (2*2=4).

7. Teraz musíte nájsť druhú číslicu čísla &: zdvojená prvá číslica, ktorú sme našli, sa stane číslicou desiatok čísla, po vynásobení počtom jednotiek musíte dostať číslo menšie ako 196 ( toto je číslo 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 je druhá číslica &.

8. Nájdite rozdiel (196-176=20).

9. Zničíme ďalšiu skupinu (dostaneme číslo 2033).

10. Zdvojnásobte číslo 24, dostaneme 48.

11,48 desiatok v čísle, po vynásobení počtom jednotiek by sme mali dostať číslo menšie ako 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Nami zistená číslica jednotiek (4) je tretia číslica čísla &.

Dôkaz som uviedol pre prípady:

1. Extrahovanie druhej odmocniny z trojciferného čísla;

2. Extrahovanie druhej odmocniny štvorciferného čísla.

Približné metódy na extrakciu druhej odmocniny (bez použitia kalkulačky).

1. Starovekí Babylončania používali nasledujúcu metódu na zistenie približnej hodnoty druhej odmocniny ich čísla x. Číslo x reprezentovali ako súčet a 2 + b, kde a 2 je najbližšie k x presnému štvorcu prirodzeného čísla a (a 2 ? x), a použili vzorec . (1)

Pomocou vzorca (1) extrahujeme druhú odmocninu, napríklad z čísla 28:

Výsledok extrakcie koreňa 28 pomocou MK 5.2915026.

Ako vidíte, babylonská metóda poskytuje dobrú aproximáciu presnej hodnoty koreňa.

2. Isaac Newton vyvinul metódu druhej odmocniny, ktorá sa datuje od Herona Alexandrijského (asi 100 n. l.). Táto metóda (známa ako Newtonova metóda) je nasledovná.

Nechaj 1- prvá aproximácia čísla (ako 1 môžete vziať hodnoty druhej odmocniny prirodzeného čísla - presnú druhú mocninu, ktorá nepresahuje X) .

Ďalšia, presnejšia aproximácia a 2čísla zistené podľa vzorca .

Prvá kapitola.

Extrakcia najväčšej odmocniny celého čísla z daného celého čísla.

170. Predbežné poznámky.

a) Keďže sa budeme baviť o extrakcii iba druhej odmocniny, pre stručnosť v tejto kapitole namiesto „druhej“ odmocniny povieme jednoducho „odmocnina“.

b) Ak odmocníme čísla prirodzeného radu: 1,2,3,4,5. . . , potom dostaneme nasledujúcu tabuľku štvorcov: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Je zrejmé, že existuje veľa celých čísel, ktoré nie sú v tejto tabuľke; z takýchto čísel je samozrejme nemožné vytiahnuť celý koreň. Preto, ak chcete vziať odmocninu nejakého celého čísla, napr. je potrebné nájsť √4082, potom sa dohodneme na pochopení tejto požiadavky takto: extrahujte celý koreň z 4082, ak je to možné; ak nie, musíme nájsť najväčšie celé číslo, ktorého štvorec je 4082 (takéto číslo je 63, pretože 63 2 \u003d 3969 a 64 2 \u003d 4090).

v) Ak je toto číslo menšie ako 100, potom jeho koreň je v tabuľke násobenia; takže √60 by bolo 7, pretože sem 7 sa rovná 49, čo je menej ako 60, a 8 sa rovná 64, čo je väčšie ako 60.

171. Extrahovanie odmocniny čísla menšieho ako 10 000, ale väčšieho ako 100. Nech je potrebné nájsť √4082 . Keďže toto číslo je menšie ako 10 000, potom jeho odmocnina je menšia ako √l0 000 = 100. Na druhej strane je toto číslo väčšie ako 100; takže odmocnina je väčšia ako (alebo sa rovná 10) . (Ak by bolo napríklad potrebné nájsť √ 120 , potom síce číslo 120 > 100, avšak √ 120 sa rovná 10, pretože 11 2 = 121.) Ale každé číslo, ktoré je väčšie ako 10, ale menšie ako 100, má 2 číslice; takže požadovaný koreň je súčet:

desiatky + jednotky,

a preto sa jeho druhá mocnina musí rovnať súčtu:

Táto suma by mala byť najväčšia štvorec, pozostávajúca z 4082.

Zoberme si najväčšiu z nich, 36, a predpokladajme, že druhá mocnina desiatok odmocniny sa bude rovnať tejto najväčšej štvorci. Potom počet desiatok v koreni musí byť 6. Skontrolujme teraz, že to tak musí byť vždy, t. j. počet desiatok v koreni sa vždy rovná najväčšej odmocnine celého čísla zo stoviek koreňového čísla.

V našom príklade nemôže byť počet desiatok koreňa väčší ako 6, pretože (7 dec.) 2 \u003d 49 stoviek, čo presahuje 4082. Ale nemôže byť menšie ako 6, pretože 5 dec. (s jednotkami) je menej ako 6 dess a medzitým (6 dec.) 2 = 36 stoviek, čo je menej ako 4082. A keďže hľadáme najväčšiu odmocninu celého čísla, nemali by sme za odmocninu brať 5 dess, keď 6 desiatok nie je veľa.

Našli sme teda počet desiatok odmocniny, konkrétne 6. Toto číslo napíšeme napravo od znamienka =, pričom si uvedomíme, že to znamená desiatky odmocniny. Keď to zdvihneme na námestie, dostaneme 36 stoviek. Odpočítame týchto 36 stoviek od 40 stoviek základného čísla a odstránime ďalšie dve číslice tohto čísla. Zvyšok 482 musí obsahovať 2 (6 dec.) (jednotky) + (jednotky) 2. Súčin (6 dec.) (jednotka) by mal byť desiatky; preto dvojitý súčin desiatok po jednotkách treba hľadať v desiatkach zvyšku, t.j. v 48 (ich počet získame oddelením jednej číslice sprava vo zvyšku 48 "2). ktoré ešte nie sú známe) , potom by sme mali dostať číslo obsiahnuté v 48. Preto 48 vydelíme 12.

Za týmto účelom nakreslíme zvislú čiaru naľavo od zvyšku a za ňu (odchádzajúcou od čiary o jedno miesto doľava pre cieľ, ktorý sa teraz nájde) napíšeme zdvojenú prvú číslicu odmocniny, t.j. 12, a vydelíme naň 48. V kvociente dostaneme 4.

Nedá sa však vopred zaručiť, že číslo 4 možno považovať za jednotky odmocniny, pretože sme teraz vydelili 12 celý počet desiatok zvyšku, pričom niektoré z nich nemusia patriť k dvojitému súčinu desiatok. jednotkami, ale sú súčasťou štvorca jednotiek. Preto môže byť číslo 4 veľké. Musíte ju otestovať. Je zrejmé, že je vhodné, ak sa ukáže, že súčet 2 (6 dec.) 4 + 4 2 nie je väčší ako zvyšok 482.

Výsledkom je, že okamžite dostaneme súčet oboch. Výsledný produkt bol 496, čo je viac ako zvyšok 482; Takže 4 je veľká. Potom rovnakým spôsobom otestujeme ďalšie menšie číslo 3.

Príklady.

V 4. príklade, keď delíme 47 desiatok zvyšku 4, dostaneme v kvociente 11. Ale keďže jednotková cifra odmocniny nemôže byť dvojciferné číslo 11 alebo 10, musíme priamo otestovať číslo 9.

V piatom príklade po odčítaní 8 od prvej strany štvorca je zvyšok 0 a ďalšia strana tiež pozostáva z núl. To ukazuje, že požadovaný koreň pozostáva iba z 8 desiatok, a preto je potrebné namiesto jednotiek umiestniť nulu.

172. Extrahovanie odmocniny čísla väčšieho ako 10000. Nech je potrebné nájsť √35782 . Keďže radikálové číslo je väčšie ako 10 000, potom je jeho odmocnina väčšia ako √10000 = 100, a preto pozostáva z 3 alebo viac číslic. Bez ohľadu na to, z koľkých číslic sa skladá, vždy ho môžeme považovať za súčet iba desiatok a jednotiek. Ak sa napríklad ukázalo, že odmocnina je 482, môžeme to považovať za súčet 48 dess. + 2 jednotky Potom bude druhá mocnina odmocniny pozostávať z 3 výrazov:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (un.) + (un.) 2 .

Teraz môžeme uvažovať presne rovnakým spôsobom ako pri hľadaní √4082 (v predchádzajúcom odseku). Jediný rozdiel bude v tom, že aby sme našli desiatky odmocniny z 4082, museli sme extrahovať odmocninu z 40, a to sa dalo urobiť pomocou násobiacej tabuľky; teraz, aby sme dostali desiatky√35782, budeme musieť vziať odmocninu z 357, čo sa nedá urobiť pomocou tabuľky násobenia. Ale môžeme nájsť √357 trikom opísaným v predchádzajúcom odseku, pretože číslo 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Ďalej postupujeme tak, ako pri hľadaní √4082, a to: naľavo od zvyšku 3382 nakreslíme zvislú čiaru a za ňu napíšeme (odchylne od čiary o jedno miesto) dvojnásobok nájdených odmocninových desiatok, t.j. 36 (dvakrát 18). Vo zvyšku oddelíme jednu číslicu sprava a počet desiatok zvyšku, teda 338, vydelíme 36. V kvociente dostaneme 9. Toto číslo otestujeme, za čo ho sprava priradíme 36 a vynásobte to tým. Ukázalo sa, že produkt je 3321, čo je menej ako zvyšok. Takže číslo 9 je dobré, píšeme ho v koreni.

Vo všeobecnosti, ak chcete získať druhú odmocninu akéhokoľvek celého čísla, musíte najprv vziať odmocninu zo stoviek; ak je toto číslo viac ako 100, potom budete musieť hľadať koreň z počtu stoviek týchto stoviek, to znamená z desiatok tisíc daného čísla; ak je toto číslo viac ako 100, budete musieť odmocniť z počtu stoviek desiatok tisíc, teda z miliónov z daného čísla atď.

Príklady.

V poslednom príklade, keď nájdeme prvú číslicu a odčítame jej druhú mocninu, dostaneme zvyšok 0. Ďalšie 2 číslice zbúrame 51. Oddelením desiatok dostaneme 5 dec, pričom dvakrát nájdená koreňová číslica je 6. Takže delenie 5 x 6 dostaneme 0 Na druhé miesto umiestnime 0 na koreň a ďalšie 2 číslice odstránime na zvyšok; dostaneme 5110. Potom pokračujeme ako obvykle.

V tomto príklade požadovaný koreň pozostáva iba z 9 stoviek, a preto je potrebné namiesto desiatok a jednotiek vložiť nuly.

Pravidlo. Ak chcete extrahovať druhú odmocninu daného celého čísla, rozdeľte ho z pravá ruka vľavo na okraji po 2 číslice, okrem poslednej, ktorá môže obsahovať jednu číslicu.
Ak chcete nájsť prvú číslicu odmocniny, zoberte druhú odmocninu prvej tváre.
Na nájdenie druhej číslice sa druhá mocnina prvej číslice odmocniny odčíta od prvej plochy, druhá plocha sa odbúra na zvyšok a počet desiatok výsledného čísla sa vydelí dvojnásobkom prvej číslice odmocniny. ; testuje sa výsledné celé číslo.
Tento test sa vykonáva takto: za zvislú čiaru (naľavo od zvyšku) napíšu dvojnásobok predtým nájdeného čísla koreňa a k nemu s pravá strana, priraďte skúšobný údaj, výsledné číslo, po tomto sčítaní sa číslo vynásobí skúšobným údajom. Ak sa po vynásobení získa číslo, ktoré je väčšie ako zvyšok, potom testovacie číslo nie je dobré a treba otestovať najbližšie menšie číslo.
Nasledujúce čísla koreňa sa nájdu rovnakým spôsobom.
Ak sa po zbúraní čela ukáže, že počet desiatok výsledného čísla je menší ako deliteľ, t.j. menší ako dvojnásobok nájdenej časti odmocniny, potom sa do koreňa vloží 0, zbúra sa ďalšia stena a akcia pokračuje ďalej.

173. Počet číslic koreňa. Z uvažovania o procese hľadania koreňa vyplýva, že v koreni je toľko číslic, koľko má 2 ciferných tvárí v koreni (na ľavej strane môže byť jedna číslica).

Kapitola druhá.

Extrahovanie približných druhých odmocnín z celých a zlomkových čísel .

Extrahovanie druhej odmocniny z polynómov pozri dodatky k 2. časti § 399 a nasl.

174. Znaky presnej odmocniny. Presná druhá odmocnina daného čísla je číslo, ktorého druhá mocnina sa presne rovná danému číslu. Uveďme niekoľko znakov, podľa ktorých je možné posúdiť, či je presný koreň extrahovaný z daného čísla alebo nie:

a) Ak z daného celého čísla nie je extrahovaný presný koreň celého čísla (získa sa pri extrakcii zvyšku), potom sa z takého čísla nedá nájsť zlomkový presný koreň, pretože každý zlomok, ktorý sa nerovná celému číslu, keď sa vynásobí sám , tiež dáva zlomok v súčine, nie celé číslo.

b) Keďže odmocnina zlomku sa rovná odmocnine čitateľa vydelenej odmocninou menovateľa, nemožno nájsť presný odmocninec nezredukovateľného zlomku, ak ho nemožno extrahovať z čitateľa alebo z menovateľa. Napríklad presný koreň nemožno extrahovať zo zlomkov 4/5, 8/9 a 11/15, pretože v prvom zlomku ho nemožno extrahovať z menovateľa, v druhom - z čitateľa a v treťom - ani z čitateľa ani od menovateľa.

Z takých čísel, z ktorých nie je možné získať presný koreň, možno získať iba približné korene.

175. Približná odmocnina do 1. Približná druhá odmocnina až do 1 daného čísla (celé číslo alebo zlomok – na tom nezáleží) je celé číslo, ktoré spĺňa nasledujúce dve požiadavky:

1) druhá mocnina tohto čísla nie je väčšia ako dané číslo; 2) ale druhá mocnina tohto čísla zväčšeného o 1 je väčšia ako dané číslo. Inými slovami, približná druhá odmocnina do 1 je najväčšia druhá odmocnina z daného čísla, teda odmocnina, ktorú sme sa naučili nájsť v predchádzajúcej kapitole. Tento odmocninec sa nazýva približný do 1, pretože na získanie presného odmocniny by bolo treba k tomuto približnému odmocneniu pridať zlomok menší ako 1, takže ak namiesto neznámeho presného odmocnina vezmeme tento približný, chyba menšia ako 1.

Pravidlo. Ak chcete extrahovať približnú druhú odmocninu s presnosťou 1, musíte extrahovať najväčšiu odmocninu z celej časti daného čísla.

Číslo nájdené podľa tohto pravidla je približný odmocnina s nevýhodou, pretože k presnému odmocneniu chýba zlomok (menej ako 1). Ak tento odmocninec zväčšíme o 1, dostaneme ďalšie číslo, v ktorom je nad presným odmocninou nejaký prebytok a tento prebytok je menší ako 1. Tento odmocninec zvýšený o 1 možno nazvať aj približným odmocninou do 1, ale s prebytok. (Názvy: „s nedostatkom“ alebo „s nadbytkom“ v niektorých matematických knihách sú nahradené inými ekvivalentmi: „nedostatkom“ alebo „nadbytkom“.)

176. Približná odmocnina s presnosťou 1/10. Nech je potrebné nájsť √2,35104 až do 1/10. To znamená, že takého musíme nájsť desiatkový, ktorý by pozostával z celých jednotiek a desatín a ktorý by spĺňal tieto dve požiadavky:

1) druhá mocnina tohto zlomku nepresiahne 2,35104, ale 2) ak ju zväčšíme o 1/10, potom druhá mocnina tohto zvýšeného zlomku presiahne 2,35104.

Aby sme našli takýto zlomok, najprv nájdeme približný koreň do 1, to znamená, že odmocninu vyberieme len z celého čísla 2. Dostaneme 1 (a zvyšok je 1). Číslo 1 napíšeme na koreň a za ním dáme čiarku. Teraz budeme hľadať počet desatín. Aby sme to urobili, odstránime číslice 35 do zvyšku 1 napravo od čiarky a pokračujeme v extrakcii, ako keby sme extrahovali koreň z celého čísla 235. Výsledné číslo 5 zapíšeme na miesto koreňa z desatiny. Nepotrebujeme zvyšné číslice koreňového čísla (104). To, že výsledné číslo 1,5 bude skutočne približný odmocnina s presnosťou 1/10, je zrejmé z nasledujúceho. Ak by sme našli najväčšiu odmocninu celého čísla 235 s presnosťou na 1, dostali by sme 15. Takže:

15 2 < 235, ale 162 >235.

Vydelením všetkých týchto čísel číslom 100 dostaneme:

To znamená, že číslo 1,5 je ten desatinný zlomok, ktorý sme nazvali približný koreň s presnosťou 1/10.

Touto metódou nájdeme aj nasledujúce približné korene s presnosťou 0,1:

177. Približná druhá odmocnina s presnosťou 1/100 až 1/1000 atď.

Nech je potrebné nájsť približné √248 s presnosťou 1/100. To znamená: nájsť taký desatinný zlomok, ktorý by pozostával z celých čísel, desatín a stotín a ktorý by spĺňal dve požiadavky:

1) jeho druhá mocnina nepresahuje 248, ale 2) ak tento zlomok zväčšíme o 1/100, potom druhá mocnina tohto zvýšeného zlomku presiahne 248.

Takýto zlomok nájdeme v nasledujúcom poradí: najprv nájdeme celé číslo, potom desatinnú číslicu a potom desatinnú číslicu. Druhá odmocnina z celého čísla bude 15 celých čísel. Na získanie počtu desatín, ako sme videli, je potrebné znížiť na zvyšok 23 2 ďalšie číslice napravo od desatinnej čiarky. V našom príklade tieto čísla vôbec neexistujú, na ich miesto sme dali nuly. Keď ich priradíme k zvyšku a pokračujeme v akcii, ako keby sme hľadali koreň celého čísla 24 800, nájdeme desatinnú číslicu 7. Zostáva nájsť desatinnú číslicu. Aby sme to urobili, k zvyšku 151 pridáme ďalšie 2 nuly a pokračujeme v extrakcii, ako keby sme našli koreň celého čísla 2 480 000. Dostaneme 15,74. To, že toto číslo je skutočne približnou odmocninou z 248 s presnosťou na 1/100, je zrejmé z nasledujúceho. Ak by sme našli najväčšiu druhú odmocninu celého čísla 2 480 000, dostali by sme 1574; znamená:

1574 2 < 2 480 000, ale 1 575 2 > 2 480 000.

Vydelením všetkých čísel číslom 10 000 (= 100 2) dostaneme:

Takže 15,74 je ten desatinný zlomok, ktorý sme nazvali približný koreň s presnosťou 1/100 z 248.

Aplikovaním tejto techniky na nájdenie približného koreňa s presnosťou 1/1000 až 1/10000 atď., zistíme nasledovné.

Pravidlo. Aby som z toho vyťažil celé číslo alebo z daného desatinného zlomku, približný koreň s presnosťou 1/10 až 1/100 až 1/100 atď., najprv nájdite približný odmocninec s presnosťou 1 extrahovaním koreňa z celého čísla (ak existuje žiadne, píšte o koreni 0 celých čísel).

Potom nájdite počet desatín. Na tento účel sa odstráni zvyšok, 2 číslice radikálového čísla napravo od čiarky (ak nie sú, zvyšku sa pripíšu dve nuly) a v extrakcii sa pokračuje rovnakým spôsobom ako pri extrakcii. koreň z celého čísla. Výsledný údaj je napísaný v koreni namiesto desatiny.

Potom nájdite počet stotín. K tomu sa opäť zbúrajú dve čísla do zvyšku, napravo od tých, ktoré boli práve zbúrané atď.

Preto pri extrakcii koreňa z celého čísla s desatinným zlomkom je potrebné deliť každé 2 číslicami, počnúc čiarkou, a to tak doľava (v celočíselnej časti čísla), ako aj doprava (v zlomku časť).

Príklady.

1) Nájdite až 1/100 koreňov: a) √2; b) √0,3;

V poslednom príklade sme previedli 3/7 na desatinné miesto tak, že sme vypočítali 8 desatinných miest, aby sme vytvorili 4 plochy potrebné na nájdenie 4 desatinných miest koreňa.

178. Opis tabuľky odmocnín. Na konci tejto knihy je tabuľka odmocniny vypočítaná so štyrmi číslicami. Pomocou tejto tabuľky môžete rýchlo nájsť druhú odmocninu celého čísla (alebo desatinného zlomku), ktorá je vyjadrená maximálne štyrmi číslicami. Pred vysvetlením, ako je táto tabuľka usporiadaná, si všimneme, že prvú platnú číslicu požadovaného koreňa môžeme vždy nájsť bez pomoci tabuliek jediným pohľadom na číslo koreňa; môžeme tiež ľahko určiť, ktoré desatinné miesto znamená prvú číslicu odmocniny, a teda kde v odmocni, keď nájdeme jeho číslice, treba dať čiarku. Tu je niekoľko príkladov:

1) √5"27,3 . Prvá číslica bude 2, pretože ľavá strana základného čísla je 5; a odmocnina z 5 je 2. Okrem toho, keďže v celočíselnej časti radikálového čísla všetkých stien sú iba 2, potom celá časť požadovaného odmocnina musí mať 2 číslice, a preto jej prvá číslica 2 musí znamenať desiatky.

2) √9,041. Je zrejmé, že v tomto koreni budú prvou číslicou 3 jednoduché jednotky.

3) √0,00"83"4. Prvá platná číslica je 9, pretože plocha, z ktorej by sa musel extrahovať koreň, aby sa získala prvá platná číslica, je 83 a odmocnina 83 je 9. Keďže v požadovanom čísle nebudú celé čísla ani desatiny, prvá číslica 9 musí znamenať stotiny.

4) √0,73 "85. Prvý platný údaj je 8 desatín.

5) √0,00 "00" 35 "7. Prvý platný údaj bude 5 tisícin.

Urobme ešte jednu poznámku. Predpokladajme, že z takého čísla je potrebné extrahovať koreň, ktorý po vyradení obsadeného čísla v ňom je znázornený radom takýchto čísel: 5681. Tento koreň môže byť jedným z nasledujúcich:

Ak vezmeme korene, ktoré sme podčiarkli jednou čiarou, potom budú všetky vyjadrené rovnakým radom čísel, presne tými číslami, ktoré získame extrakciou odmocniny z 5681 (budú to čísla 7, 5, 3, 7 ). Dôvodom je, že plochy, na ktoré treba rozdeliť radikálové číslo pri hľadaní číslic odmocniny, budú vo všetkých týchto príkladoch rovnaké, preto budú číslice pre každý odmocninec rovnaké (iba pozícia čiarky bude, samozrejme, iný). Rovnakým spôsobom vo všetkých nami podčiarknutých koreňoch dvoma čiarami by sa mali získať rovnaké čísla, presne tie, ktoré vyjadrujú √568,1 (tieto čísla budú 2, 3, 8, 3), a to z rovnakého dôvodu. Číslice koreňov z čísel zobrazených (odhodením čiarky) rovnakým radom číslic 5681 budú teda dvojakého (a iba dvojakého) druhu: buď ide o sériu 7, 5, 3, 7, alebo séria 2, 3, 8, 3. To isté, samozrejme, možno povedať o akejkoľvek inej sérii čísel. Preto, ako teraz uvidíme, v tabuľke každý riadok číslic radikálneho čísla zodpovedá 2 riadkom číslic pre korene.

Teraz môžeme vysvetliť štruktúru tabuľky a ako ju používať. Pre jasnosť vysvetlenia sme tu zobrazili začiatok prvej strany tabuľky.

Táto tabuľka má niekoľko strán. Na každom z nich sú v prvom stĺpci vľavo umiestnené čísla 10, 11, 12 ... (až 99). Tieto čísla vyjadrujú prvé 2 číslice čísla, z ktorého sa hľadá druhá odmocnina. V hornom vodorovnom riadku (rovnako ako v spodnej časti) sú čísla: 0, 1, 2, 3 ... 9, ktoré sú 3. číslicou tohto čísla, a ďalej vpravo sú čísla 1, 2 , 3. . . 9, ktorý predstavuje 4. číslicu tohto čísla. Vo všetkých ostatných vodorovných riadkoch sú umiestnené 2 štvorciferné čísla vyjadrujúce odmocniny príslušných čísel.

Nech je potrebné nájsť druhú odmocninu nejakého čísla, celého čísla alebo vyjadreného ako desatinný zlomok. V prvom rade nájdeme bez pomoci tabuliek prvú číslicu koreňa a jeho kategóriu. Potom čiarku v danom počte zahodíme, ak existuje. Predpokladajme najprv, že po zahodení čiarky zostanú napríklad len 3 číslice. 114. Nájdeme v tabuľkách v stĺpci úplne vľavo prvé 2 číslice, teda 11, a posúvame sa z nich doprava po vodorovnej čiare, až kým sa nedostaneme do zvislého stĺpca, v ktorom hore (a dole) je 3. číslica. čísla , teda 4. Na tomto mieste nájdeme dve štvorciferné čísla: 1068 a 3376. Ktoré z týchto dvoch čísel treba vziať a kam vložiť čiarku, to určuje prvá číslica odmocniny a jeho výboj, ktorý sme zistili skôr. Ak teda potrebujete nájsť √0,11 "4, potom prvá číslica odmocniny je 3 desatiny, a preto musíme za odmocninu vziať 0,3376. Ak by bolo potrebné nájsť √1,14, prvá číslica odmocniny by byť 1 a potom by sme brali 1,068.

Takto ľahko nájdeme:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 atď.

Predpokladajme teraz, že je potrebné nájsť koreň čísla vyjadreného (odhodením čiarky) 4 číslicami, napríklad √7 "45,6. Všimnime si, že prvá číslica odmocniny sú 2 desiatky, nájdeme pre číslo 745, ako už bolo vysvetlené, čísla 2729 (toto číslo si všimneme iba prstom, ale nezapisujeme si ho) Potom sa od tohto čísla posunieme ďalej doprava, až kým sa na pravej strane tabuľky (za posledný tučný riadok) sa stretneme so zvislým stĺpcom, ktorý je označený nad (a pod) 4. číslicou tohto čísla, teda číslom 6, a nájdeme tam číslo 1. Toto bude oprava, ktorú treba použiť (v mysli ) k predtým nájdenému číslu 2729 dostaneme 2730. Toto číslo napíšeme a dáme doň čiarku na správne miesto : 27.30.

Takýmto spôsobom nájdeme napr.

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04" 437 \u003d 0,2107 atď.

Ak je radikálne číslo vyjadrené iba jednou alebo dvoma číslicami, potom môžeme predpokladať, že za týmito číslicami sú jedna alebo dve nuly a potom postupovať tak, ako bolo vysvetlené pre trojciferné číslo. Napríklad √2,7 = √2,70 =1,643; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606 atď.

Nakoniec, ak je koreňové číslo vyjadrené viac ako 4 číslicami, potom vezmeme len prvé 4 z nich a ostatné zahodíme, a aby sme znížili chybu, ak je prvá z vyradených číslic 5 alebo viac ako 5, potom zvýšime štvrtú zo zachovaných číslic o l . Takže:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; atď.

Komentujte. Tabuľky označujú približnú druhú odmocninu, niekedy s nedostatkom, niekedy s prebytkom, konkrétne jeden z týchto približných odmocničiek, ktorý sa približuje k presnému odmocneniu.

179. Extrakcia odmocnin z obyčajných zlomkov. Presnú druhú odmocninu neredukovateľného zlomku je možné extrahovať iba vtedy, keď sú oba členy zlomku presné štvorce. V tomto prípade stačí extrahovať koreň z čitateľa a menovateľa oddelene, napríklad:

Približnú druhú odmocninu obyčajného zlomku s určitou desatinnou presnosťou možno najľahšie nájsť, ak obyčajný zlomok najskôr prevedieme na desatinné miesto, pričom v tomto zlomku vypočítame počet desatinných miest za desatinnou čiarkou, čo by bol dvojnásobok počtu desatinných miest. miesta v požadovanom koreni.

Môžete to však urobiť aj inak. Vysvetlime si to na nasledujúcom príklade:

Nájdite približné √ 5/24

Urobme menovateľa presným štvorcom. Na to by stačilo vynásobiť oba členy zlomku menovateľom 24; ale v tomto príklade to môžete urobiť inak. Rozložíme 24 na prvočiniteľa: 24 \u003d 2 2 2 3. Z tohto rozkladu je zrejmé, že ak sa 24 vynásobí 2 a ďalšie 3, potom sa v súčine každý prvočíslo zopakuje párny počet krát, a preto sa menovateľ stane štvorcom:

Zostáva s určitou presnosťou vypočítať √30 a výsledok vydeliť 12. V tomto prípade treba mať na pamäti, že od delenia 12 sa zníži aj zlomok ukazujúci stupeň presnosti. Ak teda nájdeme √30 s presnosťou 1/10 a výsledok vydelíme 12, dostaneme približnú odmocninu zlomku 5/24 s presnosťou 1/120 (konkrétne 54/120 a 55/120)

Kapitola tri.

Graf funkciíx = √ y .

180. Inverzná funkcia. Nech existuje rovnica, ktorá definuje pri ako funkcia X napríklad toto: y = x 2 . Dá sa povedať, že určuje nielen pri ako funkcia X , ale aj naopak určuje X ako funkcia pri , aj keď implicitným spôsobom. Aby bola táto funkcia explicitná, musíme vyriešiť túto rovnicu pre X , pričom pri pre známe číslo; Takže z rovnice, ktorú sme vzali, zistíme: y = x 2 .

Algebraický výraz získaný pre x po vyriešení rovnice, ktorá definuje y ako funkciu x, sa nazýva inverzná funkcia tej, ktorá definuje y.

Takže funkcia x = √ y funkcia inverzná y = x 2 . Ak je, ako je zvykom, nezávislá premenná označená X , a závislý pri , potom môžeme teraz získanú inverznú funkciu vyjadriť takto: y = √x . Na získanie funkcie inverznej k danej (priamej) je teda potrebné odvodiť z rovnice, ktorá túto danú funkciu definuje, X záležiac ​​na r a vo výslednom výraze nahradiť r na X , a X na r .

181. Graf funkcie y = √x . Táto funkcia nie je možná so zápornou hodnotou X , ale dá sa vypočítať (s akoukoľvek presnosťou) pre akúkoľvek kladnú hodnotu X a pre každú takúto hodnotu dostane funkcia dve rôzne hodnoty s rovnakou absolútnou hodnotou, ale s opačnými znamienkami. Ak je známy √ označujeme iba aritmetickú hodnotu druhej odmocniny, potom tieto dve hodnoty funkcie možno vyjadriť takto: y= ± √ x Ak chcete vykresliť túto funkciu, musíte najskôr vytvoriť tabuľku jej hodnôt. Najjednoduchší spôsob zostavenia tejto tabuľky je z tabuľky hodnôt priamych funkcií:

y = x 2 .

X

r

ak hodnoty pri brať ako hodnoty X , a naopak:

y= ± √ x

Uvedením všetkých týchto hodnôt na výkres dostaneme nasledujúci graf.

Na tom istom výkrese sme znázornili (prerušovaná čiara) a graf priamej funkcie y = x 2 . Porovnajme tieto dva grafy.

182. Korelácia medzi grafmi priamych a inverzných funkcií. Na zostavenie tabuľky hodnôt inverzná funkcia y= ± √ x vzali sme za X tie čísla, ktoré sú v tabuľke priamych funkcií y = x 2 slúžili ako hodnoty pre pri , a pre pri vzal tie čísla; ktoré v tejto tabuľke boli hodnoty pre X . Z toho vyplýva, že oba grafy sú rovnaké, len graf priamej funkcie je tak umiestnený vzhľadom na os pri - ako je graf inverznej funkcie umiestnený vzhľadom na os X - ov. V dôsledku toho, ak zložíme kresbu okolo priamky OA rozpoltený pravý uhol xOy , takže časť výkresu obsahujúca poloos OU , spadol na časť, ktorá obsahuje poloos Oh , potom OU kompatibilný s Oh , všetky divízie OU sa zhodujú s divíziami Oh a body paraboly y = x 2 sa zhodujú so zodpovedajúcimi bodmi na grafe y= ± √ x . Napríklad bodky M a N , ktorého ordinát 4 a úsečka 2 a - 2 , sa zhodujú s bodmi M" a N" , ktorého úsečka 4 , a súradnice 2 a - 2 . Ak sa tieto body zhodujú, znamená to, že čiary MM" a NN" kolmo na OA a túto priamku rozdeľte na polovicu. To isté možno povedať o všetkých ostatných relevantných bodoch na oboch grafoch.

Graf inverznej funkcie by teda mal byť rovnaký ako graf priamej funkcie, ale tieto grafy sú umiestnené inak, konkrétne symetricky navzájom vzhľadom na os uhla. ahoj . Môžeme povedať, že graf inverznej funkcie je odrazom (ako v zrkadle) grafu priamej funkcie vzhľadom na osi uhla ahoj .

Je čas rozobrať metódy extrakcie koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosti, ktorá platí pre každé nezáporné číslo b.

Nižšie sa budeme zaoberať hlavnými metódami extrakcie koreňov.

Začnime s najjednoduchším prípadom - extrahovanie koreňov z prirodzených čísel pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.

Ak sú tabuľky štvorcov, kociek atď. nie je po ruke, potom je logické použiť metódu extrakcie koreňa, ktorá zahŕňa rozklad čísla koreňa na jednoduché faktory.

Samostatne stojí za to prebývať, čo je možné pre korene s nepárnymi exponentmi.

Nakoniec zvážte metódu, ktorá vám umožní postupne nájsť číslice hodnoty koreňa.

Začnime.

Pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.

V najjednoduchších prípadoch umožňujú extrakciu koreňov tabuľky štvorcov, kociek atď. Čo sú to za tabuľky?

Tabuľka druhých mocnín celých čísel od 0 do 99 vrátane (zobrazená nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky je umiestnená na sivom pozadí, výberom určitého riadku a určitého stĺpca umožňuje vytvoriť číslo od 0 do 99. Vyberme napríklad riadok s 8 desiatkami a stĺpec s 3 jednotkami, čím sme opravili číslo 83. Druhá zóna zaberá zvyšok tabuľky. Každá z jeho buniek sa nachádza na priesečníku určitého riadku a určitého stĺpca a obsahuje druhú mocninu príslušného čísla od 0 do 99 . Na priesečníku nami zvoleného radu 8 desiatok a stĺpca 3 jednej je bunka s číslom 6889, čo je druhá mocnina čísla 83.

Tabuľky kociek, tabuľky štvrtých mocnín čísel od 0 do 99 a tak ďalej sú podobné tabuľke štvorcov, len v druhej zóne obsahujú kocky, štvrté mocniny atď. zodpovedajúce čísla.

Tabuľky štvorcov, kociek, štvrtej mocniny atď. umožňujú extrahovať odmocniny, kocky, štvrté odmocniny atď. z čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlime si princíp ich aplikácie pri extrakcii koreňov.

Povedzme, že potrebujeme extrahovať koreň n-tého stupňa z čísla a, pričom číslo a je obsiahnuté v tabuľke n-tých stupňov. Podľa tejto tabuľky nájdeme číslo b také, že a=b n . Potom , preto číslo b bude želaným koreňom n-tého stupňa.

Ako príklad si ukážeme, ako sa odmocnina z roku 19683 extrahuje pomocou tabuľky kociek. V tabuľke kociek nájdeme číslo 19 683, z nej zistíme, že toto číslo je kockou čísla 27, teda .

Je zrejmé, že tabuľky n-tých stupňov sú veľmi vhodné pri extrakcii koreňov. Často však nie sú po ruke a ich zostavenie si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakcie koreňov.

Rozklad koreňového čísla na prvočiniteľa

Pomerne pohodlný spôsob, ako extrahovať koreň z prirodzeného čísla (ak je, samozrejme, koreň extrahovaný), je rozložiť číslo koreňa na prvočísla. Jeho podstata je nasledovná: potom je celkom ľahké ho reprezentovať ako stupeň s požadovaným ukazovateľom, ktorý vám umožňuje získať hodnotu koreňa. Vysvetlime si tento bod.

Nech je koreň n-tého stupňa extrahovaný z prirodzeného čísla a a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade platí rovnosť a=b n. Číslo b ako akékoľvek prirodzené číslo môže byť reprezentované ako súčin všetkých jeho prvočiniteľov p 1 , p 2 , …, p m v tvare p 1 p 2 … p m , pričom koreňové číslo a je v tomto prípade reprezentované ako (p 1 p 2 ... p m) n . Keďže rozklad čísla na prvočísla je jedinečný, rozklad čísla odmocniny a na prvočísla bude vyzerať takto (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , čo umožňuje vypočítať hodnotu odmocniny ako .

Všimnite si, že ak rozklad koreňového čísla a nemožno znázorniť v tvare (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , potom koreň n-tého stupňa z takého čísla a nie je úplne extrahovaný.

Vyrovnajme sa s tým pri riešení príkladov.

Príklad.

Vezmite druhú odmocninu zo 144 .

Riešenie.

Ak sa pozrieme na tabuľku štvorcov uvedenú v predchádzajúcom odseku, je jasne vidieť, že 144=12 2 , z čoho je zrejmé, že druhá odmocnina zo 144 je 12.

Ale vo svetle tohto bodu nás zaujíma, ako sa koreň extrahuje rozkladom koreňa číslo 144 na prvočísla. Poďme sa pozrieť na toto riešenie.

Poďme sa rozložiť 144 k hlavným faktorom:

To znamená, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Na základe výsledného rozkladu je možné vykonať nasledujúce transformácie: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. v dôsledku toho .

Pomocou vlastností stupňa a vlastností koreňov by sa riešenie dalo formulovať trochu inak: .

odpoveď:

Na upevnenie materiálu zvážte riešenia dvoch ďalších príkladov.

Príklad.

Vypočítajte koreňovú hodnotu.

Riešenie.

Prvočíslo odmocniny 243 je 243=3 5 . Touto cestou, .

odpoveď:

Príklad.

Je hodnota koreňa celé číslo?

Riešenie.

Aby sme odpovedali na túto otázku, rozložme koreňové číslo na prvočísla a uvidíme, či ho možno reprezentovať ako kocku celého čísla.

Máme 285 768=2 3 3 6 7 2 . Výsledný rozklad nie je reprezentovaný ako kocka celého čísla, pretože stupeň prvočiniteľa 7 nie je násobkom troch. Preto sa odmocnina 285 768 neberie úplne.

odpoveď:

Nie

Extrahovanie koreňov z zlomkových čísel

Je čas zistiť, ako sa koreň extrahuje z zlomkového čísla. Nech je zlomkové číslo odmocniny napísané ako p/q . Podľa vlastnosti koreňa kvocientu platí nasledujúca rovnosť. Z tejto rovnosti vyplýva pravidlo zlomkového koreňa: Odmocnina zlomku sa rovná podielu delenia odmocniny čitateľa odmocninou menovateľa.

Pozrime sa na príklad extrakcie koreňa zo zlomku.

Príklad.

Aká je druhá odmocnina bežného zlomku 25/169.

Riešenie.

Podľa tabuľky štvorcov zistíme, že druhá odmocnina čitateľa pôvodného zlomku je 5 a druhá odmocnina menovateľa je 13. Potom . Tým sa dokončí extrakcia koreňa z obyčajnej frakcie 25/169.

odpoveď:

Odmocnina desatinného zlomku alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po nahradení koreňových čísel bežnými zlomkami.

Príklad.

Vezmite odmocninu desatinného čísla 474,552.

Riešenie.

Predstavme si pôvodné desatinné číslo ako bežný zlomok: 474,552=474552/1000 . Potom . Zostáva extrahovať kubické korene, ktoré sú v čitateli a menovateli výsledného zlomku. Pretože 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, potom a . Zostáva len dokončiť výpočty .

odpoveď:

.

Extrahovanie odmocniny záporného čísla

Samostatne stojí za to venovať sa extrakcii koreňov zo záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme si povedali, že keď je exponent odmocniny nepárne číslo, pod znamienkom odmocniny môže byť aj záporné číslo. Takýmto zápisom sme dali nasledujúci význam: pre záporné číslo −a a nepárny exponent od koreňa 2 n−1 máme . Táto rovnosť dáva pravidlo na extrakciu nepárnych koreňov zo záporných čísel: ak chcete extrahovať koreň záporného čísla, musíte extrahovať koreň opačného kladného čísla a pred výsledok vložiť znamienko mínus.

Uvažujme o príklade riešenia.

Príklad.

Nájdite koreňovú hodnotu.

Riešenie.

Transformujme pôvodný výraz tak, aby sa pod znamienkom koreňa objavilo kladné číslo: . Teraz nahradíme zmiešané číslo obyčajným zlomkom: . Aplikujeme pravidlo extrakcie koreňa z obyčajnej frakcie: . Zostáva vypočítať korene v čitateli a menovateli výsledného zlomku: .

Poďme priniesť krátka poznámka riešenia: .

odpoveď:

.

Bitové hľadanie koreňovej hodnoty

Vo všeobecnom prípade je pod odmocninou číslo, ktoré pomocou techník diskutovaných vyššie nemôže byť reprezentované ako n-tá mocnina žiadneho čísla. Ale zároveň je potrebné poznať hodnotu daného koreňa, aspoň do určitého znamienka. V tomto prípade na extrakciu koreňa môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní konzistentne získať dostatočný počet hodnôt číslic požadovaného čísla.

Prvým krokom tohto algoritmu je zistiť, ktorý je najvýznamnejší bit koreňovej hodnoty. Na tento účel sa čísla 0, 10, 100, ... postupne zvyšujú na mocninu n, kým sa nezíska číslo presahujúce odmocninu. Potom číslo, ktoré sme v predchádzajúcom kroku zvýšili na mocninu n, bude označovať zodpovedajúci vysoký rád.

Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri extrakcii druhej odmocniny z piatich. Zoberieme čísla 0, 10, 100, ... a odmocníme ich, kým nedostaneme číslo väčšie ako 5 . Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , čo znamená, že najvýznamnejšia číslica bude číslica jednotiek. Hodnota tohto bitu, ako aj nižších, sa zistí v ďalších krokoch algoritmu extrakcie koreňa.

Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú zamerané na postupné spresnenie hodnoty koreňa v dôsledku skutočnosti, že sa nájdu hodnoty ďalších číslic požadovanej hodnoty koreňa, počnúc od najvyššej po najnižšiu. . Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku je 2 , v druhom - 2,2 , v treťom - 2,23 , a tak ďalej 2,236067977 ... . Popíšme, ako sa nachádzajú hodnoty bitov.

Hľadanie bitov sa vykonáva spočítaním ich možných hodnôt 0, 1, 2, ..., 9 . V tomto prípade sa paralelne vypočítajú n-té mocniny zodpovedajúcich čísel a porovnajú sa s koreňovým číslom. Ak v určitom štádiu hodnota stupňa prekročí radikálne číslo, potom sa hodnota číslice zodpovedajúcej predchádzajúcej hodnote považuje za nájdenú a ak sa tak nestane, vykoná sa prechod na ďalší krok algoritmu extrakcie koreňov. potom hodnota tejto číslice je 9.

Vysvetlime všetky tieto body na rovnakom príklade extrakcie druhej odmocniny z piatich.

Najprv nájdite hodnotu číslice jednotiek. Budeme iterovať hodnoty 0, 1, 2, …, 9 , pričom budeme počítať 0 2 , 1 2 , …, 9 2, kým nedostaneme hodnotu väčšiu ako radikálne číslo 5 . Všetky tieto výpočty sú pohodlne prezentované vo forme tabuľky:

Takže hodnota číslice jednotky je 2 (pretože 2 2<5 , а 2 3 >5). Prejdime k hľadaniu hodnoty desiateho miesta. V tomto prípade odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, pričom získané hodnoty porovnáme s koreňovým číslom 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , potom je hodnota desiateho miesta 2 . Môžete pristúpiť k hľadaniu hodnoty stotinového miesta:

Tak nájdené ďalšia hodnota odmocnina z piatich sa rovná 2,23. A tak môžete pokračovať v hľadaní hodnôt ďalej: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Na konsolidáciu materiálu analyzujeme extrakciu koreňa s presnosťou na stotiny pomocou uvažovaného algoritmu.

Najprv definujeme staršiu číslicu. Aby sme to dosiahli, dáme kocku čísla 0, 10, 100 atď. kým nedostaneme číslo väčšie ako 2 151,186 . Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , takže najvýznamnejšou číslicou sú desiatky.

Definujme jeho hodnotu.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, potom je hodnota desiatky číslic 1. Prejdime k jednotkám.

Hodnota jedného miesta je teda 2 . Prejdime k desiatke.

Keďže aj 12,9 3 je menej ako radikálne číslo 2 151,186 , hodnota desiateho miesta je 9 . Zostáva vykonať posledný krok algoritmu, ten nám dá hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou.

V tomto štádiu sa hodnota koreňa nachádza až do stotín: .

Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako extrahovať korene. Ale pre väčšinu úloh postačujú tie, ktoré sme študovali vyššie.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Extrakcia koreňa je inverzná operácia umocňovania. To znamená, že extrahovaním odmocniny čísla X dostaneme číslo, ktoré po druhej mocnine poskytne rovnaké číslo X.

Extrakcia koreňa je pomerne jednoduchá operácia. Prácu pri extrakcii môže uľahčiť tabuľka štvorcov. Pretože je nemožné zapamätať si všetky druhé mocniny a odmocniny naspamäť a čísla môžu byť veľké.

Extrahovanie koreňa z čísla

Extrahovanie druhej odmocniny čísla je jednoduché. Okrem toho sa to nedá urobiť okamžite, ale postupne. Vezmime si napríklad výraz √256. Spočiatku je pre nevedomého človeka ťažké dať hneď odpoveď. Potom podnikneme kroky. Najprv vydelíme len číslom 4, z ktorého vyberieme vybraný štvorec ako odmocninu.

Žreb: √(64 4), potom to bude ekvivalentné 2√64. A ako viete, podľa tabuľky násobenia 64 = 8 8. Odpoveď bude 2*8=16.

Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálne počítanie, NIE mentálne aritmetika“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca aj odmocňovať. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy.

Komplexná extrakcia koreňov

Druhá odmocnina sa nedá vypočítať zo záporných čísel, pretože každé druhé číslo je kladné!

Komplexné číslo je číslo i, ktorého druhá mocnina je -1. To je i2=-1.

V matematike existuje číslo, ktoré sa získa odmocnením čísla -1.

To znamená, že je možné vypočítať odmocninu zo záporného čísla, ale to už platí pre vyššiu matematiku, nie školu.

Uvažujme príklad takejto extrakcie koreňov: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root kalkulačka online

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať extrakciu čísla z druhej odmocniny:

Konverzia výrazov obsahujúcich operáciu extrakcie koreňa

Podstatou transformácie radikálových výrazov je rozklad radikálneho čísla na jednoduchšie, z ktorých sa dá vytiahnuť koreň. Napríklad 4, 9, 25 atď.

Vezmime si príklad, √625. Radikálny výraz vydelíme číslom 5. Dostaneme √(125 5), zopakujeme operáciu √ (25 25), ale vieme, že 25 je 52. Takže odpoveď je 5*5=25.

Sú ale čísla, pri ktorých sa odmocnina touto metódou vypočítať nedá a stačí poznať odpoveď alebo mať po ruke tabuľku štvorcov.

√289=√(17*17)=17

Výsledok

Uvažovali sme len o špičke ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike - prihláste sa na náš kurz: Zrýchlite mentálnu aritmetiku - NIE mentálnu aritmetiku.

Z kurzu sa nielen naučíte desiatky trikov na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie, počítanie percent, ale ich aj vypracujete v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálne počítanie si vyžaduje aj veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.