Priama a nepriama úmernosť
Ak t je čas, počas ktorého sa chodec pohybuje (v hodinách), s je prejdená vzdialenosť (v kilometroch) a pohybuje sa rovnomerne rýchlosťou 4 km/h, potom vzťah medzi týmito veličinami možno vyjadriť vzorcom s = 4t. Keďže každej hodnote t zodpovedá jedinečná hodnota s, môžeme povedať, že funkcia je daná pomocou vzorca s = 4t. Nazýva sa priama úmernosť a je definovaná nasledovne.
Definícia. Priama úmernosť je funkcia, ktorú je možné špecifikovať pomocou vzorca y \u003d kx, kde k je nenulové reálne číslo.
Názov funkcie y \u003d k x je spôsobený skutočnosťou, že vo vzorci y \u003d kx existujú premenné x a y, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa pomer dvoch hodnôt rovná nejakému číslu inému ako nula, nazývajú sa priamo úmerné . V našom prípade = k (k≠0). Toto číslo sa volá faktor proporcionality.
Funkcia y \u003d k x je matematický model mnohých reálnych situácií uvažovaných už v počiatočnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný vyššie. Ďalší príklad: ak sú v jednom balení 2 kg múky a kúpi sa x takýchto balení, potom celú hmotnosť zakúpenej múky (označujeme ju y) možno znázorniť ako vzorec y \u003d 2x, t.j. vzťah medzi počtom balení a celkovou hmotnosťou nakupovanej múky je priamo úmerný koeficientu k=2.
Pripomeňme si niektoré vlastnosti priamej úmernosti, ktoré sa študujú v školskom kurze matematiky.
1. Oblasť funkcie y \u003d k x a oblasť jej hodnôt je množina reálnych čísel.
2. Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom. Na zostrojenie grafu priamej úmernosti teda stačí nájsť len jeden bod, ktorý mu patrí a nezhoduje sa s počiatkom, a potom cez tento bod a počiatok nakresliť priamku.
Napríklad na vykreslenie funkcie y = 2x stačí mať bod so súradnicami (1, 2) a potom cez neho a počiatok nakresliť priamku (obr. 7).
3. Pre k > 0 funkcia y = kx narastá v celom definičnom obore; vidlička< 0 - убывает на всей области определения.
4. Ak je funkcia f priama úmernosť a (x 1, y 1), (x 2, y 2) - dvojice zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y, a x 2 ≠ 0, potom.
Ak je funkcia f priama úmernosť, môže byť daná vzorcom y \u003d kx a potom y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Pretože pri x 2 ≠0 a k≠0, potom y 2 ≠0. Preto 
a znamená .
Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, potom dokázanú vlastnosť priamej úmernosti možno formulovať takto: pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) hodnoty premennej x sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži) zodpovedajúca hodnota premennej y.
Táto vlastnosť je vlastná iba priamej úmernosti a možno ju použiť pri riešení slovných úloh, v ktorých sa uvažuje o priamo úmerných veličinách.
Úloha 1. Za 8 hodín sústružník vyrobil 16 dielov. Koľko hodín bude trvať sústružníkovi, kým vyrobí 48 dielov, ak bude pracovať pri rovnakej produktivite?
Riešenie. Problém zohľadňuje veličiny - pracovný čas sústružníka, počet ním vyrobených dielov a produktivitu (t. j. počet dielov vyrobených sústružníkom za 1 hodinu), pričom posledná hodnota je konštantná a ostatné dve nadobúdajú rôzne hodnoty. Okrem toho je počet vyrobených dielov a čas práce priamo úmerný, pretože ich pomer sa rovná určitému číslu, ktoré sa nerovná nule, konkrétne počtu dielov vyrobených sústružníkom za 1 hodinu. vyrobených dielov sa označí písmenom y, čas práce je x a výkon - k, potom dostaneme, že = k alebo y = kx, t.j. matematickým modelom situácie prezentovanej v úlohe je priama úmernosť.
Problém je možné vyriešiť dvoma aritmetickými spôsobmi:
1 cesta: 2 cesta:
1) 16:8 = 2 (deti) 1) 48:16 = 3 (krát)
2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)
Pri riešení problému prvým spôsobom sme najprv našli koeficient proporcionality k, ktorý sa rovná 2, a potom, keď vieme, že y \u003d 2x, našli sme hodnotu x za predpokladu, že y \u003d 48.
Pri riešení úlohy druhým spôsobom sme použili vlastnosť priamej úmernosti: koľkokrát sa zvýši počet dielov vyrobených sústružníkom, o rovnakú hodnotu sa zvýši čas na ich výrobu.
Prejdime teraz k úvahe o funkcii nazývanej inverzná úmernosť.
Ak t je čas pohybu chodca (v hodinách), v je jeho rýchlosť (v km/h) a prešiel 12 km, potom vzťah medzi týmito hodnotami možno vyjadriť vzorcom v∙t = 20 resp. v = .
Keďže každá hodnota t (t ≠ 0) zodpovedá jedinej hodnote rýchlosti v, môžeme povedať, že funkcia je daná pomocou vzorca v = . Nazýva sa inverzná úmernosť a je definovaná nasledovne.
Definícia. Inverzná úmernosť je funkcia, ktorú je možné špecifikovať pomocou vzorca y \u003d, kde k je nenulové reálne číslo.
Názov tejto funkcie pochádza zo skutočnosti, že y= existujú premenné x a y, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa súčin dvoch veličín rovná nejakému číslu odlišnému od nuly, potom sa nazývajú nepriamo úmerné. V našom prípade xy = k(k ≠ 0). Toto číslo k sa nazýva koeficient proporcionality.
Funkcia y= je matematický model mnohých reálnych situácií uvažovaných už v počiatočnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný pred definíciou nepriamej úmernosti. Ďalší príklad: ak ste kúpili 12 kg múky a dali ste to do l: plechoviek po y kg, potom vzťah medzi týmito množstvami môže byť vyjadrený ako x-y= 12, t.j. je nepriamo úmerný koeficientu k=12.
Spomeňte si na niektoré vlastnosti nepriamej úmernosti, známe zo školského kurzu matematiky.
1. Rozsah funkcie y= a jeho rozsah x je množina nenulových reálnych čísel.
2. Graf inverznej úmernosti je hyperbola.
3. Pre k > 0 sa vetvy hyperboly nachádzajú v 1. a 3. kvadrante a funkcia y= je klesajúca na celej doméne x (obr. 8).
Ryža. 8 Obr.9
Kedy< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= rastie v celej doméne x (obr. 9).
4. Ak je funkcia f nepriamo úmerná a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú dvojice zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y, potom.
V skutočnosti, ak je funkcia f nepriamo úmerná, potom môže byť daná vzorcom y=
,a potom 
. Pretože x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, potom 
Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, potom možno túto vlastnosť nepriamej úmernosti formulovať takto: s niekoľkonásobným zvýšením (znížením) hodnoty premennej x, zodpovedajúca hodnota premennej y klesá (rastie) o rovnakú hodnotu.
Táto vlastnosť je vlastná iba nepriamej úmernosti a možno ju použiť pri riešení slovných úloh, v ktorých sa uvažuje s nepriamo úmernými veličinami.
Úloha 2. Cyklista, pohybujúci sa rýchlosťou 10 km/h, prekonal vzdialenosť z bodu A do bodu B za 6 hodín.
Riešenie. Problém zohľadňuje nasledujúce veličiny: rýchlosť cyklistu, čas pohybu a vzdialenosť z bodu A do bodu B, pričom posledná hodnota je konštantná a ďalšie dve nadobúdajú rôzne hodnoty. Navyše rýchlosť a čas pohybu sú nepriamo úmerné, keďže ich súčin sa rovná určitému číslu, konkrétne prejdenej vzdialenosti. Ak je čas pohybu cyklistu označený písmenom y, rýchlosť je x a vzdialenosť AB je k, potom dostaneme xy \u003d k alebo y \u003d, t.j. matematickým modelom situácie prezentovanej v úlohe je nepriama úmernosť.
Problém môžete vyriešiť dvoma spôsobmi:
1 cesta: 2 cesta:
1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (krát)
2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)
Pri riešení problému prvým spôsobom sme najprv našli koeficient proporcionality k, ktorý sa rovná 60, a potom, keď vieme, že y \u003d, našli sme hodnotu y za predpokladu, že x \u003d 20.
Pri riešení úlohy druhým spôsobom sme použili vlastnosť nepriamej úmernosti: koľkokrát sa rýchlosť pohybu zvýši, o rovnakú hodnotu sa zníži čas na prejdenie rovnakej vzdialenosti.
Všimnite si, že pri riešení konkrétnych problémov s nepriamo úmernými alebo priamo úmernými veličinami sú na x a y kladené určité obmedzenia, najmä ich nemožno považovať za celú množinu reálnych čísel, ale na jej podmnožiny.
Problém 3. Lena kúpila x ceruziek a Katya kúpila 2-krát viac. Označte počet ceruziek, ktoré si Katya kúpila, ako y, vyjadrite y ako x a nakreslite vytvorený korešpondenčný graf za predpokladu, že x ≤ 5. Je táto zhoda funkciou? Aká je jeho doména definície a rozsahu hodnôt?
Riešenie. Káťa kúpila u = 2 ceruzky. Pri vykresľovaní funkcie y=2x treba brať do úvahy, že premenná x označuje počet ceruziek a x≤5, čo znamená, že môže nadobudnúť iba hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, 5. Toto bude doména tejto funkcie. Na získanie rozsahu tejto funkcie je potrebné vynásobiť každú hodnotu x z oblasti definície číslom 2, t.j. bude to množina (0, 2, 4, 6, 8, 10). Preto graf funkcie y \u003d 2x s doménou definície (0, 1, 2, 3, 4, 5) bude množinou bodov zobrazených na obrázku 10. Všetky tieto body patria do priamky y \u003d 2x.
Základné ciele:
- zaviesť pojem priame a inverzné proporcionálna závislosť množstvá;
- naučiť, ako riešiť problémy pomocou týchto závislostí;
- podporovať rozvoj zručností pri riešení problémov;
- upevniť zručnosť riešenia rovníc pomocou proporcií;
- opakujte kroky s obyčajným a desatinné miesta;
- rozvíjať logické myslenieštudentov.
POČAS VYUČOVANIA
ja Sebaurčenie k činnosti(čas organizácie)
- Chlapci! Dnes sa v lekcii zoznámime s problémami vyriešenými pomocou proporcií.
II. Aktualizácia vedomostí a odstránenie ťažkostí v činnostiach
2.1. ústna práca (3 min)
- Nájdite význam výrazov a zistite slovo zašifrované v odpovediach.
14 - s; 0,1 - a; 7 - 1; 0,2 - a; 17 - palcov; 25 - až
- Vyšlo slovo - sila. Výborne!
- Motto našej dnešnej hodiny: Sila je vo vedomostiach! Hľadám – tak sa učím!
- Z výsledných čísel urobte pomernú časť. (14:7=0,2:0,1 atď.)
2.2. Zvážte vzťah medzi známymi veličinami (7 min)
- dráha, ktorú auto prejde konštantnou rýchlosťou, a čas jeho pohybu: S = v t ( so zvýšením rýchlosti (času) sa dráha zvyšuje;
- rýchlosť auta a čas strávený na ceste: v=S:t(s predĺžením času na prejdenie cesty sa rýchlosť znižuje);
–
cena tovaru zakúpeného za jednu cenu a jeho množstvo:
C \u003d a n (so zvýšením (znížením) ceny sa náklady na nákup zvyšujú (klesajú);
- cena produktu a jeho množstvo: a \u003d C: n (so zvýšením množstva sa cena znižuje)
- plocha obdĺžnika a jeho dĺžka (šírka): S = a b (so zväčšením dĺžky (šírky) sa plocha zväčšuje;
- dĺžka a šírka obdĺžnika: a = S: b (so zväčšením dĺžky sa šírka zmenšuje;
- počet pracovníkov vykonávajúcich určitú prácu s rovnakou produktivitou práce a čas potrebný na dokončenie tejto práce: t \u003d A: n (so zvýšením počtu pracovníkov sa čas strávený prácou znižuje) atď. .
Získali sme závislosti, v ktorých pri niekoľkonásobnom zvýšení jednej hodnoty sa druhá okamžite zvýši o rovnakú hodnotu (príklady znázornené šípkami) a závislosti, v ktorých pri niekoľkonásobnom zvýšení jednej hodnoty druhá hodnota klesne o rovnaký počet krát.
Takéto vzťahy sa nazývajú priame a nepriame úmery.
Priamo úmerná závislosť- závislosť, pri ktorej pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) jednej hodnoty sa druhá hodnota zvýši (zníži) o rovnakú hodnotu.
Inverzne proporcionálny vzťah- závislosť, pri ktorej pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) jednej hodnoty druhá hodnota o rovnakú hodnotu klesá (rastie).
III. Vyhlásenie učebnej úlohy
Aký je problém, ktorému čelíme? (Naučte sa rozlišovať medzi priamymi a inverznými vzťahmi)
- to - cieľ naša lekcia. Teraz formulujte tému lekciu. (Priama a nepriama úmernosť).
- Výborne! Napíšte si do zošitov tému hodiny. (Učiteľ napíše tému na tabuľu.)
IV. „Objavovanie“ nových poznatkov(10 min)
Poďme analyzovať problémy číslo 199.
1. Tlačiareň vytlačí 27 strán za 4,5 minúty. Ako dlho bude trvať tlač 300 strán?
27 strán - 4,5 min.
300 strán - x?
2. V krabičke je 48 balení čaju po 250 g. Koľko balení po 150g vyjde z tohto čaju?
48 balení - 250 g.
X? - 150 g.
3. Auto najazdilo 310 km, pričom minulo 25 litrov benzínu. Ako ďaleko prejde auto na plnú nádrž 40 litrov?
310 km - 25 l
X? – 40 l
4. Jedno z ozubených kolies spojky má 32 zubov a druhé 40. Koľko otáčok vykoná druhý prevodový stupeň, kým prvý vykoná 215 otáčok?
32 zubov - 315 ot./min
40 zubov - x?
Na zostavenie pomeru je potrebný jeden smer šípok, preto sa v obrátenom pomere jeden pomer nahradí inverzným.
Pri tabuli žiaci zisťujú hodnotu veličín, v teréne žiaci riešia jednu úlohu podľa vlastného výberu.
– Formulovať pravidlo na riešenie problémov s priamou a nepriamou úmernosťou.
Na tabuli sa objaví tabuľka:
v. Primárne upevnenie vo vonkajšej reči(10 min)
Úlohy na listoch:
- Z 21 kg bavlníkových semien sa získalo 5,1 kg oleja. Koľko oleja sa získa zo 7 kg bavlníkových semien?
- Kvôli výstavbe štadióna 5 buldozérov vyčistilo miesto za 210 minút. Ako dlho by trvalo 7 buldozérov vyčistiť túto oblasť?
VI. Samostatná práca s autotestom podľa normy(5 minút)
Dvaja žiaci samostatne vypĺňajú zadania č. 225 na skrytých tabuliach, ostatní v zošitoch. Potom skontrolujú prácu podľa algoritmu a porovnajú ju s riešením na tabuli. Chyby sú opravené, ich príčiny sú objasnené. Ak je úloha dokončená, vpravo, potom vedľa študentov umiestnite znamienko „+“.
Študenti, ktorí robia chyby v samostatnej práci, môžu využiť konzultantov.
VII. Zaradenie do systému vedomostí a opakovanie№ 271, № 270.
Pri tabuli pracuje šesť ľudí. Po 3–4 minútach žiaci, ktorí pracovali pri tabuli, prezentujú svoje riešenia a ostatní kontrolujú úlohy a zapájajú sa do ich diskusie.
VIII. Reflexia aktivity (výsledok hodiny)
- Čo nové ste sa naučili na lekcii?
- Čo si opakoval?
Aký je algoritmus na riešenie problémov proporcií?
Dosiahli sme svoj cieľ?
- Ako hodnotíte svoju prácu?
Typy závislostí
Zvážte nabíjanie batérie. Ako prvú hodnotu uveďme čas potrebný na nabitie. Druhá hodnota je čas, ktorý bude fungovať po nabití. Čím dlhšie je batéria nabitá, tým dlhšie vydrží. Proces bude pokračovať, kým nebude batéria úplne nabitá.
Závislosť životnosti batérie od času jej nabíjania
Poznámka 1
Táto závislosť sa nazýva rovno:
Keď jedna hodnota rastie, zvyšuje sa aj druhá. Keď jedna hodnota klesá, druhá hodnota tiež klesá.
Uvažujme o ďalšom príklade.
Čím viac kníh žiak prečíta, tým menej chýb v diktáte urobí. Alebo čím vyššie vystúpite na hory, tým nižší bude atmosférický tlak.
Poznámka 2
Táto závislosť sa nazýva obrátene:
Keď jedna hodnota rastie, druhá klesá. Keď jedna hodnota klesá, druhá sa zvyšuje.
Teda v prípade priama závislosť obe veličiny sa menia rovnakým spôsobom (obe buď rastú, alebo klesajú), a v prípade inverzný vzťah- opak (jeden sa zvyšuje a druhý klesá, alebo naopak).
Určenie závislostí medzi veličinami
Príklad 1
Čas potrebný na návštevu priateľa je 20 $ minút. So zvýšením rýchlosti (prvej hodnoty) o $2$ krát zistíme, ako sa zmení čas (druhá hodnota), ktorý strávime na ceste k priateľovi.
Je zrejmé, že čas sa zníži o 2 $ krát.
Poznámka 3
Táto závislosť sa nazýva proporcionálne:
Koľkokrát sa zmení jedna hodnota, koľkokrát sa zmení druhá.
Príklad 2
Za 2 doláre bochník chleba v obchode musíte zaplatiť 80 rubľov. Ak potrebujete kúpiť bochníky chleba za 4 $ (množstvo chleba sa zvýši 2 $ krát), o koľko viac budete musieť zaplatiť?
Je zrejmé, že náklady sa tiež zvýšia o 2 $ krát. Máme príklad proporcionálnej závislosti.
V oboch príkladoch sa brali do úvahy proporcionálne závislosti. Ale v príklade s bochníkmi chleba sa hodnoty menia jedným smerom, preto je závislosť rovno. A v príklade s výletom za kamarátom je vzťah medzi rýchlosťou a časom obrátene. Existuje teda priamo úmerný vzťah a nepriamo úmerný vzťah.
Priama úmernosť
Zvážte pomerné množstvá 2 $: počet bochníkov chleba a ich cena. Nech stojí 2$ bochníky chleba 80$ rubľov. So zvýšením počtu kotúčov o 4 $ krát (8 $ rolí) ich celková cena bude 320 $ rubľov.
Pomer počtu hodov: $\frac(8)(2)=4$.
Pomer ceny rolky: $\frac(320)(80)=4$.
Ako vidíte, tieto pomery sa navzájom rovnajú:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definícia 1
Rovnosť dvoch vzťahov sa nazýva pomer.
Pri priamo úmernom vzťahu sa získa pomer, keď je zmena prvej a druhej hodnoty rovnaká:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definícia 2
Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné ak sa pri zmene (zvýšenie alebo zníženie) jednej z nich zmení (príslušne zvýši alebo zníži) druhá hodnota o rovnakú hodnotu.
Príklad 3
Auto prešlo 180 $ km za $ 2 hodiny. Nájdite čas, ktorý potrebuje na to, aby prekonal 2$ krát vzdialenosť rovnakou rýchlosťou.
Riešenie.
Čas je priamo úmerný vzdialenosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koľkokrát sa vzdialenosť zvýši, pri konštantnej rýchlosti sa čas zvýši o rovnakú hodnotu:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Auto prešlo 180 $ km - za 2 $ hodinu
Auto prejde $180 \cdot 2=360$ km - za čas $x$ hodín
Čím väčšiu vzdialenosť auto prejde, tým viac času zaberie. Preto je vzťah medzi veličinami priamo úmerný.
Urobme pomer:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Odpoveď: Auto bude potrebovať 4 $ hodiny.
Inverzná úmernosť
Definícia 3
Riešenie.
Čas je nepriamo úmerný rýchlosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koľkokrát sa rýchlosť zvýši, pri rovnakej dráhe sa čas zníži o rovnakú hodnotu:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Napíšme stav problému vo forme tabuľky:
Auto prešlo 60 $ km - za 6 $ hodín
Auto prejde 120 $ km - za $ x $ hodín
Čím rýchlejšie auto, tým menej času to zaberie. Preto je vzťah medzi veličinami nepriamo úmerný.
Urobme pomer.
Pretože proporcionalita je inverzná, otočíme druhý pomer v pomere:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Odpoveď: Auto bude potrebovať 3 $ hodiny.
Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školských múrov.
Také rozdielne proporcie
Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.
Závislosť môže byť priama a reverzná. Preto vzťah medzi veličinami opisuje priamu a nepriamu úmernosť.
Priama úmernosť- ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.
Napríklad, čím viac úsilia vynaložíte na prípravu na skúšky, tým vyššie budú vaše známky. Alebo čím viac vecí si vezmete so sebou na túru, tým ťažšie je nosiť batoh. Tie. množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.
Inverzná úmernosť- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej hodnoty (nazýva sa argument) spôsobí proporcionálne (t. j. o rovnakú hodnotu) zvýšenie alebo zníženie závislej hodnoty (nazýva sa funkcia ).
Ilustrovať jednoduchý príklad. Chcete kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke nepriamo súvisia. Tie. čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.
Funkcia a jej graf
Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V čom X≠ 0 a k≠ 0.
Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:
- Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nemá žiadne maximálne ani minimálne hodnoty.
- Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
- Neperiodické.
- Jeho graf nepretína súradnicové osi.
- Nemá žiadne nuly.
- Ak k> 0 (to znamená, že argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne na každom z jej intervalov. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď argument klesá ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Znázornené takto:
Inverzne proporcionálne problémy
Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš zložité a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to inverzná úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.
Úloha číslo 1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Do cieľa mu trvalo 6 hodín. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?
Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah času, vzdialenosti a rýchlosti: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú nepriamo úmerné.
Aby sme to overili, nájdime V 2, ktorý je podľa stavu 2-krát vyšší: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás požaduje podľa stavu problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.
Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: s rýchlosťou 2-krát vyššou ako pôvodná, auto strávi na ceste 2-krát menej času.
Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako pomer. Prečo vytvárame takýto diagram:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Šípky označujú inverzný vzťah. A tiež navrhujú, že pri zostavovaní pomeru sa musí pravá strana záznamu otočiť: 60/120 \u003d x / 6. Kde získame x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 hodiny.
Úloha číslo 2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude trvať, kým zvyšní pracovníci dokončia rovnaký objem práce?
Podmienky problému zapíšeme vo forme vizuálneho diagramu:
↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny
↓ 3 pracovníci - x h
Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 hodín. Ak je pracovníkov 2-krát menej, zvyšok strávi 2-krát viac času na dokončenie celej práce.
Úloha číslo 3. Do bazéna vedú dve rúry. Prostredníctvom jedného potrubia vstupuje voda rýchlosťou 2 l / s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén napustí za 75 minút. Ako rýchlo vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?
Na začiatok uvedieme všetky nám dané veličiny podľa stavu problému na rovnaké merné jednotky. Na tento účel vyjadrujeme rýchlosť plnenia bazéna v litroch za minútu: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.
Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prítoku vody je nižšia. Na tvári obrátenej úmernosti. Vyjadrime nám neznámu rýchlosť pomocou x a zostavme nasledujúcu schému:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A potom urobíme pomer: 120 / x \u003d 75/45, odkiaľ x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.
V úlohe je rýchlosť napúšťania bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, prinesme našu odpoveď do rovnakého tvaru: 72/60 = 1,2 l/s.
Úloha číslo 4. Vizitky sa tlačia v malej súkromnej tlačiarni. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje na plný úväzok - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a vytlačil 48 vizitiek za hodinu, o koľko skôr by mohol ísť domov?
Ideme osvedčeným spôsobom a zostavíme schému podľa stavu problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:
↓ 42 vizitiek/h – 8 h
↓ 48 vizitiek/h – xh
Pred nami je nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľko času mu zaberie dokončenie tej istej úlohy. Keď to vieme, môžeme nastaviť pomer:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 hodín.
Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.
Záver
Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že ich tak teraz považujete aj vy. A čo je najdôležitejšie, znalosť nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môže hodiť viackrát.
Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, nakupovať, rozhodnúť sa zarobiť si cez prázdniny atď.
Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverznej a priamej úmernosti si všimnete vo svojom okolí. Nech je to hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite zdieľať tento článok v sociálnych sieťach aby mohli hrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
>>Matematika: Priama úmernosť a jej graf
Priama úmernosť a jej graf
Medzi lineárnymi funkciami y = kx + m je zvýraznený prípad, keď m = 0; v tomto prípade má tvar y = kx a nazýva sa to priama úmernosť. Tento názov sa vysvetľuje skutočnosťou, že dve veličiny y a x sa nazývajú priamo úmerné, ak sa ich pomer rovná špecifickému
iné číslo ako nula. Tu sa toto číslo k nazýva koeficient proporcionality.
Mnoho reálnych situácií je modelovaných pomocou priamej úmernosti.
Napríklad dráha s a čas t pri konštantnej rýchlosti 20 km/h sú vo vzťahu s = 20t; ide o priamu úmernosť, pričom k = 20.
Ďalší príklad:
náklady y a počet x bochníkov chleba za cenu 5 rubľov. na jeden bochník sú spojené závislosťou y = 5x; ide o priamu úmernosť, kde k = 5.
Dôkaz. Urobme to v dvoch fázach.
1. y \u003d kx - špeciálny prípad lineárna funkcia a graf lineárnej funkcie je priamka; označme to I.
2. Dvojica x \u003d 0, y \u003d 0 spĺňa rovnicu y - kx, a preto bod (0; 0) patrí do grafu rovnice y \u003d kx, teda priamka I.
Preto čiara I prechádza počiatkom. Veta je dokázaná.
Človek musí byť schopný prejsť nielen z analytického modelu y \u003d kx na geometrický (graf priamej úmernosti), ale aj z geometrického modelov na analytické. Uvažujme napríklad priamku na súradnicovej rovine xOy znázornenú na obrázku 50. Je to graf priamej úmernosti, stačí nájsť hodnotu koeficientu k. Od y stačí zobrať ľubovoľný bod na priamke a nájsť pomer ordináty tohto bodu k jeho os. Priamka prechádza bodom P (3; 6) a pre tento bod máme: K = 2, a preto daná priamka slúži ako graf priamej úmernosti y \u003d 2x.
V dôsledku toho sa koeficient k v zápise lineárnej funkcie y \u003d kx + m nazýva aj sklon. Ak k>0, potom priamka y \u003d kx + m zviera ostrý uhol s kladným smerom osi x (obr. 49, a) a ak k< О, - тупой угол (рис. 49, б).
Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie
A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie
Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samoskúšobné workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie