Príklad

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 atď.

Faktor proporcionality

Konštantný pomer úmerných veličín je tzv koeficient proporcionality. Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku druhej.

Priama úmernosť

Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej nejaká veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia úmerne, rovnakým dielom, to znamená, že ak sa argument zmenil dvakrát v akomkoľvek smere, potom sa funkcia tiež zmení dvakrát v tom istom smere.

Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:

f(X) = aX,a = const

Inverzná úmernosť

Obrátený pomer- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).

Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:

Vlastnosti funkcie:

Zdroje

Nadácia Wikimedia. 2010.

Proporcionalita je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zmena jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu.

Proporcionalita je priama a inverzná. AT túto lekciu pozrieme sa na každý z nich.

Obsah lekcie

Priama úmernosť

Predpokladajme, že sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km/h. Pamätáme si, že rýchlosť je vzdialenosť prejdená za jednotku času (1 hodina, 1 minúta alebo 1 sekunda). V našom príklade sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km / h, to znamená, že za hodinu prejde vzdialenosť rovnajúcu sa päťdesiatim kilometrom.

Nakreslite si vzdialenosť prejdenú autom za 1 hodinu.

Nechajte auto jazdiť ďalšiu hodinu rovnakou rýchlosťou päťdesiat kilometrov za hodinu. Potom sa ukáže, že auto prejde 100 km

Ako vidno z príkladu, zdvojnásobenie času viedlo k zvýšeniu prejdenej vzdialenosti o rovnakú hodnotu, teda dvojnásobnú.

Hovorí sa, že veličiny ako čas a vzdialenosť sú priamo úmerné. Vzťah medzi týmito veličinami je tzv priama úmernosť.

Priama úmernosť je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zvýšenie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom sa druhá zníži o rovnakú hodnotu.

Predpokladajme, že pôvodný plán bol prejsť autom 100 km za 2 hodiny, no po prejdení 50 km sa vodič rozhodol dať si prestávku. Potom sa ukáže, že znížením vzdialenosti na polovicu sa čas zníži o rovnakú hodnotu. Inými slovami, zníženie prejdenej vzdialenosti povedie k zníženiu času rovnakým faktorom.

Zaujímavosťou priamoúmerných veličín je, že ich pomer je vždy konštantný. To znamená, že pri zmene hodnôt priamo úmerných veličín ich pomer zostáva nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť najskôr 50 km a čas bol jednu hodinu. Pomer vzdialenosti k času je číslo 50.

Čas pohybu sme však predĺžili 2-krát, čím sa rovná dvom hodinám. V dôsledku toho sa prejdená vzdialenosť zvýšila o rovnakú hodnotu, to znamená, že sa rovnala 100 km. Pomer sto kilometrov k dvom hodinám je opäť číslo 50

Volá sa číslo 50 koeficient priamej úmernosti. Ukazuje, koľko vzdialenosti je za hodinu pohybu. AT tento prípad koeficient zohráva úlohu rýchlosti pohybu, pretože rýchlosť je pomer prejdenej vzdialenosti k času.

Proporcie môžu byť vyrobené z priamo úmerných množstiev. Napríklad pomery a tvoria pomer:

Päťdesiat kilometrov súvisí s jednou hodinou, ako sto kilometrov súvisí s dvomi hodinami.

Príklad 2. Cena a množstvo nakupovaného tovaru sú priamo úmerné. Ak 1 kg sladkostí stojí 30 rubľov, potom 2 kg rovnakých sladkostí bude stáť 60 rubľov, 3 kg - 90 rubľov. S nárastom nákladov na nakupovaný tovar sa jeho množstvo zvyšuje o rovnakú sumu.

Keďže hodnota tovaru a jeho množstvo sú priamo úmerné, ich pomer je vždy konštantný.

Zapíšme si pomer tridsať rubľov k jednému kilogramu

Teraz si napíšme, čomu sa rovná pomer šesťdesiat rubľov k dvom kilogramom. Tento pomer sa bude opäť rovnať tridsiatim:

Tu je koeficient priamej úmernosti číslo 30. Tento koeficient ukazuje, koľko rubľov na kilogram sladkostí. V tomto príklade hrá koeficient úlohu ceny jedného kilogramu tovaru, pretože cena je pomer ceny tovaru k jeho množstvu.

Inverzná úmernosť

Zvážte nasledujúci príklad. Vzdialenosť medzi oboma mestami je 80 km. Motocyklista opustil prvé mesto a rýchlosťou 20 km/h sa dostal do druhého mesta za 4 hodiny.

Ak bola rýchlosť motocyklistu 20 km/h, znamená to, že každú hodinu prekonal vzdialenosť rovnajúcu sa dvadsiatim kilometrom. Znázornime na obrázku vzdialenosť, ktorú prejde motocyklista a čas jeho pohybu:

Cestou späť išiel motorkár rýchlosťou 40 km/h, na rovnakej ceste strávil 2 hodiny.

Je ľahké vidieť, že pri zmene rýchlosti sa o rovnakú hodnotu zmenil aj čas pohybu. A zmenilo sa to opačná strana- to znamená, že rýchlosť sa zvýšila a čas sa naopak znížil.

Veličiny ako rýchlosť a čas sa nazývajú nepriamo úmerné. Vzťah medzi týmito veličinami je tzv inverzná úmernosť.

Inverzná úmernosť je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zníženie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom sa druhá zvýši o rovnakú hodnotu.

Napríklad, ak by na ceste späť bola rýchlosť motocyklistu 10 km/h, potom by rovnakých 80 km prešiel za 8 hodín:

Ako je zrejmé z príkladu, zníženie rýchlosti viedlo k zvýšeniu času jazdy rovnakým faktorom.

Zvláštnosťou nepriamo úmerných veličín je, že ich súčin je vždy konštantný. To znamená, že pri zmene hodnôt nepriamo úmerných veličín ich súčin zostáva nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť medzi mestami 80 km. Pri zmene rýchlosti a času motocyklistu zostala táto vzdialenosť vždy nezmenená.

Túto vzdialenosť zvládol motocyklista prejsť rýchlosťou 20 km/h za 4 hodiny, rýchlosťou 40 km/h za 2 hodiny a rýchlosťou 10 km/h za 8 hodín. Vo všetkých prípadoch sa súčin rýchlosti a času rovnal 80 km

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina Vkontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách

Príklad

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 atď.

Faktor proporcionality

Konštantný pomer úmerných veličín je tzv koeficient proporcionality. Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku druhej.

Priama úmernosť

Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej nejaká veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia úmerne, rovnakým dielom, to znamená, že ak sa argument zmenil dvakrát v akomkoľvek smere, potom sa funkcia tiež zmení dvakrát v tom istom smere.

Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:

f(X) = aX,a = const

Inverzná úmernosť

Obrátený pomer- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).

Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:

Vlastnosti funkcie:

Zdroje

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Druhý Newtonov zákon
• Coulombova bariéra

Pozrite si, čo je „Priama proporcionalita“ v iných slovníkoch:

priama úmernosť-- [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témy energie vo všeobecnosti EN priama úmera … Technická príručka prekladateľa

priama úmernosť- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. priama úmernosť vok. direkte Proportionalitat, f rus. priama úmernosť, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCIONALITA- (z lat. proporcionálny, proporcionálny). Proporcionalita. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALITA otlat. proporcionálny, proporcionálny. Proporcionalita. Vysvetlenie 25 000 ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

PROPORCIONALITA- PROPORCIONALITA, proporcionalita, pl. nie, samica (kniha). 1. rozptýlenie podstatné meno na pomerné. Proporcionalita dielov. Telesná proporcionalita. 2. Takýto vzťah medzi množstvami, keď sú proporcionálne (pozri proporcionálne ... Slovník Ušakov

Proporcionalita- Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich hodnôt zostane nezmenený.. Obsah 1 Príklad 2 Koeficient proporcionality ... Wikipedia

PROPORCIONALITA- PROPORCIONALITA, a, manželky. 1. pozri pomerné. 2. V matematike: taký vzťah medzi veličinami, keď zvýšenie jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu. Priamy p. (pri reze so zvýšením o jednu hodnotu ... ... Vysvetľujúci slovník Ozhegov

proporcionality- a; a 1. až proporcionálne (1 číslica); proporcionality. P. diely. P. telesná stavba. P. zastúpenie v parlamente. 2. Matematika. Závislosť medzi proporcionálne sa meniacimi veličinami. Faktor proporcionality. Priama str (v ktorej s ... ... encyklopedický slovník

Pojem priamej úmernosti

Predstavte si, že uvažujete o kúpe vášho obľúbeného cukríka (alebo čohokoľvek, čo máte naozaj radi). Sladkosti v obchode majú svoju cenu. Predpokladajme, že 300 rubľov za kilogram. Čím viac cukríkov si kúpite, tým viac peňazí zaplatiť. To znamená, že ak chcete 2 kilogramy - zaplaťte 600 rubľov a ak chcete 3 kilogramy - dajte 900 rubľov. Zdá sa, že s tým je všetko jasné, však?

Ak áno, tak už je vám jasné, čo je priama úmernosť – ide o pojem, ktorý popisuje pomer dvoch veličín, ktoré na sebe závisia. A pomer týchto veličín zostáva nezmenený a konštantný: o koľko dielov sa jedna z nich zväčšuje alebo zmenšuje, o rovnaký počet dielov sa druhá úmerne zvyšuje alebo znižuje.

Priama úmernosť môže byť opísaná nasledujúcim vzorcom: f(x) = a*x a a v tomto vzorci je konštantná hodnota (a = const). V našom cukríkovom príklade je cena stála, stála. Nezvyšuje sa ani neznižuje, bez ohľadu na to, koľko sladkostí sa rozhodnete kúpiť. Nezávislá premenná (argument) x je koľko kilogramov sladkostí idete kúpiť. A závislá premenná f(x) (funkcia) vyjadruje, koľko peňazí nakoniec zaplatíte za svoj nákup. Takže môžeme dosadiť čísla vo vzorci a dostať: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Medzizáver je tento: ak argument rastie, funkcia sa tiež zvyšuje, ak argument klesá, funkcia tiež klesá

Funkcia a jej vlastnosti

Priama úmerná funkcia je špeciálny prípad lineárna funkcia. Ak je lineárna funkcia y = k*x + b, tak pre priamu úmernosť to vyzerá takto: y = k*x, kde k sa nazýva súčiniteľ úmernosti a je to vždy nenulové číslo. Výpočet k je jednoduchý – nájdeme ho ako podiel funkcie a argumentu: k = y/x.

Aby to bolo jasnejšie, uveďme si ďalší príklad. Predstavte si, že sa auto pohybuje z bodu A do bodu B. Jeho rýchlosť je 60 km/h. Ak predpokladáme, že rýchlosť pohybu zostáva konštantná, potom ju možno považovať za konštantnú. A potom napíšeme podmienky v tvare: S \u003d 60 * t a tento vzorec je podobný funkcii priamej úmernosti y \u003d k * x. Nakreslíme paralelu ďalej: ak k \u003d y / x, potom je možné vypočítať rýchlosť auta so znalosťou vzdialenosti medzi A a B a času stráveného na ceste: V \u003d S / t.

A teraz, od aplikovanej aplikácie poznatkov o priamej úmernosti, sa vráťme späť k jej funkcii. Medzi vlastnosti ktorých patrí:

jeho definičným oborom je množina všetkých reálnych čísel (ako aj jej podmnožina);

funkcia je nepárna;

zmena premenných je priamo úmerná celej dĺžke číselného radu.

Priama úmernosť a jej graf

Graf priamoúmernej funkcie je priamka, ktorá pretína počiatočný bod. Na jej postavenie stačí označiť ešte jeden bod. A spojte to a pôvod linky.

V prípade grafu je k sklon. Ak je sklon menší ako nula (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf a os x zvierajú ostrý uhol a funkcia sa zvyšuje.

A ešte jedna vlastnosť grafu funkcie priamej úmernosti priamo súvisí so sklonom k. Predpokladajme, že máme dve neidentické funkcie a podľa toho dva grafy. Ak sú teda koeficienty k týchto funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné na súradnicovej osi. A ak sa koeficienty k navzájom nerovnajú, grafy sa pretínajú.

Príklady úloh

Rozhodnime sa pre pár problémy priamej úmernosti

Začnime jednoducho.

Úloha 1: Predstavte si, že 5 sliepok znesie 5 vajec za 5 dní. A ak je 20 sliepok, koľko vajec znesú za 20 dní?

Riešenie: Označte neznámu ako x. A budeme diskutovať nasledujúcim spôsobom: koľkokrát viac kurčiat sa stalo? Vydeľte 20 5 a zistite, že 4 krát. A koľkokrát viac vajec znesie 20 sliepok za rovnakých 5 dní? Tiež 4 krát viac. Takže naše nájdeme takto: 5 * 4 * 4 \u003d 80 vajec znesie 20 sliepok za 20 dní.

Teraz je príklad trochu komplikovanejší, preformulujme problém z Newtonovej „Všeobecnej aritmetiky“. Úloha 2: Spisovateľ dokáže napísať 14 strán novej knihy za 8 dní. Ak by mal asistentov, koľko ľudí by bolo potrebných na napísanie 420 strán za 12 dní?

Riešenie: Domnievame sa, že počet ľudí (spisovateľ + asistenti) rastie s narastajúcim objemom práce, ak ju treba urobiť za rovnaký čas. Ale koľkokrát? Vydelením 420 číslom 14 zistíme, že sa zvýši 30-krát. Ale keďže podľa stavu úlohy je na prácu poskytnutý viac času, počet asistentov sa nezvýši 30-krát, ale týmto spôsobom: x \u003d 1 (spisovateľ) * 30 (krát): 12/8 (dni). Transformujme sa a zistíme, že x = 20 ľudí napíše 420 strán za 12 dní.

Vyriešme ďalší problém podobný tým, ktoré sme mali v príkladoch.

Úloha 3: Dve autá sa vydajú na rovnakú cestu. Jeden sa pohyboval rýchlosťou 70 km/h a rovnakú vzdialenosť prekonal za 2 hodiny ako druhý za 7 hodín. Nájdite rýchlosť druhého auta.

Riešenie: Ako si pamätáte, dráha je určená rýchlosťou a časom - S = V *t. Keďže obe autá cestovali rovnako, môžeme tieto dva výrazy zrovnoprávniť: 70*2 = V*7. Kde zistíme, že rýchlosť druhého auta je V = 70*2/7 = 20 km/h.

A ešte pár príkladov úloh s funkciami priamej úmernosti. Niekedy v problémoch je potrebné nájsť koeficient k.

Úloha 4: Vzhľadom na funkcie y \u003d - x / 16 a y \u003d 5x / 2 určte ich koeficienty proporcionality.

Riešenie: Ako si pamätáte, k = y/x. Pre prvú funkciu je teda koeficient -1/16 a pre druhú k = 5/2.

A môžete sa stretnúť aj s úlohou ako je Úloha 5: Napíšte vzorec priamej úmernosti. Jeho graf a graf funkcie y \u003d -5x + 3 sú umiestnené paralelne.

Riešenie: Funkcia, ktorá je nám daná v podmienke, je lineárna. Vieme, že priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie. A tiež vieme, že ak sú koeficienty k funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné. To znamená, že všetko, čo je potrebné, je vypočítať koeficient známej funkcie a nastaviť priamu úmernosť pomocou známeho vzorca: y \u003d k * x. Koeficient k \u003d -5, priama úmernosť: y \u003d -5 * x.

Záver

Teraz ste sa naučili (alebo si zapamätali, ak ste už túto tému preberali), čo sa nazýva priama úmernosť a zvážili to príklady. Hovorili sme aj o funkcii priamej úmernosti a jej grafe, riešili napríklad niekoľko problémov.

Ak bol tento článok užitočný a pomohol pochopiť tému, povedzte nám o tom v komentároch. Aby sme vedeli, či vám môžeme pomôcť.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Trikhleb Daniil, žiak 7. ročníka

oboznámenie sa s priamou úmernosťou a koeficientom priamej úmernosti (zavedenie pojmu uhlový koeficient “);

vytvorenie grafu priamej úmernosti;

zváženie vzájomného usporiadania grafov priamej úmernosti a lineárnej funkcie s rovnakým sklonom.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Priama úmernosť a jej graf

Aký je argument a hodnota funkcie? Ktorá premenná sa nazýva nezávislá, závislá? čo je funkcia? PREHĽAD Aký je rozsah funkcie?

Spôsoby nastavenia funkcie. Analytické (pomocou vzorca) Grafické (pomocou grafu) Tabuľkové (pomocou tabuľky)

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie. FUNKCIA PLÁNOVANIA

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

DOPLŇTE ÚLOHU Nakreslite graf funkcie y = 2 x +1, kde 0 ≤ x ≤ 4 . Urobte si stôl. Na grafe nájdite hodnotu funkcie pri x \u003d 2,5. Pri akej hodnote argumentu je hodnota funkcie rovná 8?

Definícia Priama úmernosť je funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom v tvare y \u003d k x, kde x je nezávislá premenná, k je nenulové číslo. (k- koeficient priamej úmernosti) Priama úmerná závislosť

8 Graf priamej úmernosti - priamka prechádzajúca počiatkom (bod O(0,0)) I a III súradnicové štvrtiny. Vidlička

Grafy funkcií priamej úmernosti y x k>0 k>0 k

Úloha Určte, ktorý z grafov zobrazuje funkciu priamej úmernosti.

Úloha Určte graf ktorej funkcie je znázornená na obrázku. Vyberte si vzorec z troch navrhnutých.

ústna práca. Môže graf funkcie danej vzorcom y \u003d k x, kde k

Určte, ktorý z bodov A(6,-2), B(-2,-10),C(1,-1),E(0,0) patrí do grafu priamej úmernosti daného vzorcom y = 5x 1 ) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - nesprávne. Bod A nepatrí do grafu funkcie y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 je správne. Bod B patrí do grafu funkcie y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - nesprávne Bod C nepatrí do grafu funkcie y=5x. 4) E (0; 0) 0 = 5  0 0 = 0 - pravda. Bod E patrí do grafu funkcie y=5x

TEST 1 možnosť 2 možnosť číslo 1. Ktoré z funkcií daných vzorcom sú priamo úmerné? A. y = 5 x B. y = x 2/8 C. y = 7 x (x-1) D. y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7 (x + 9) D. y = 10x

č. 2. Zapíšte si čísla riadkov y = kx , kde k > 0 1 možnosť k

číslo 3. Určte, ktorý z bodov patrí do t grafu priamej úmernosti danej vzorcom Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 možnosť C (1, -1), E (0,0 ) Možnosť 2

y =5x y =10x III A VI a IV E 1 2 3 1 2 3 Nie Správna odpoveď Správna odpoveď Nie.

Dokončite úlohu: Ukážte schematicky, ako sa nachádza graf funkcie danej vzorcom: y \u003d 1,7 x y \u003d -3,1 x y \u003d 0,9 x y \u003d -2,3 x

PRIRADENIE Z nasledujúcich grafov vyberte iba priamoúmerné grafy.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funkcie y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4. y \u003d - 1,5x 5. y \u003d - 5 / x 6. y \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d 5x 03. - 5 8. y \u003d - 0,3x 9. y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 Vyberte funkcie tvaru y \u003d k x (priama úmernosť) a zapíšte ich

Funkcie priamej úmernosti Y \u003d 2x Y \u003d -1,5x Y \u003d 5x Y \u003d -0,3x y x

y Lineárne funkcie, ktoré nie sú priamoúmerné funkcie 1) y \u003d 2x + 3 2) y \u003d 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y \u003d 2x + 3 y \ u003d 2x – 5

Domáca úloha: s. 15 s. 65-67, číslo 307; č. 308.

Zopakujme si to ešte raz. Čo nové ste sa naučili? čo si sa naučil? Čo bolo pre vás obzvlášť ťažké?

Hodina sa mi páčila a téma je pochopená: Hodina sa mi páčila, ale stále to nie je jasné: Hodina sa mi nepáčila a téma nie je jasná.