Dzisiaj opowiemy, jak znaleźć tworzącą stożka, która jest często wymagana w szkolnych problemach geometrycznych.

Pojęcie tworzącej stożka

Stożek prawy to figura wynikająca z rotacji trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg. Podstawa stożka tworzy koło. Pionowa część stożka to trójkąt, pozioma to okrąg. Wysokość stożka to odcinek łączący górę stożka ze środkiem podstawy. Tworząca stożka to odcinek, który łączy wierzchołek stożka z dowolnym punktem na linii obwodu podstawy.

Ponieważ stożek jest tworzony przez obrót trójkąta prostokątnego, okazuje się, że pierwszym ramieniem takiego trójkąta jest wysokość, drugim jest promień okręgu leżącego u podstawy, a tworzącą stożka będzie przeciwprostokątna. Łatwo zgadnąć, że twierdzenie Pitagorasa jest przydatne do obliczania długości tworzącej. A teraz więcej o tym, jak znaleźć długość tworzącej stożka.

Znalezienie tworzącej

Najprostszym sposobem na zrozumienie, jak znaleźć generującą, jest konkretny przykład. Załóżmy, że podano następujące warunki problemu: wysokość wynosi 9 cm, średnica koła podstawowego wynosi 18 cm, konieczne jest znalezienie tworzącej.

Tak więc wysokość stożka (9 cm) jest jedną z nóg trójkąta prawego, za pomocą którego utworzono ten stożek. Druga noga będzie promieniem okręgu podstawowego. Promień to połowa średnicy. W ten sposób dzielimy podaną nam średnicę na pół i otrzymujemy długość promienia: 18:2 = 9. Promień wynosi 9.

Teraz bardzo łatwo jest znaleźć tworzącą stożka. Ponieważ jest to przeciwprostokątna, kwadrat jej długości będzie równy sumie kwadratów nóg, czyli sumie kwadratów promienia i wysokości. Tak więc kwadrat długości tworzącej = 64 (kwadrat długości promienia) + 64 (kwadrat długości wysokości) = 64x2 = 128. Teraz wyodrębniamy Pierwiastek kwadratowy ze 128. W rezultacie otrzymujemy osiem pierwiastków z dwóch. To będzie tworząca stożka.

Jak widać, nie ma w tym nic skomplikowanego. Na przykład wzięliśmy proste warunki zadania, ale na kursie szkolnym mogą być trudniejsze. Pamiętaj, że aby obliczyć długość tworzącej, musisz znaleźć promień okręgu i wysokość stożka. Znając te dane, łatwo jest znaleźć długość tworzącej.

Badane w szkole ciała rewolucji to walec, stożek i piłka.

Jeśli w zadaniu USE z matematyki musisz obliczyć objętość stożka lub powierzchnię kuli, uważaj się za szczęściarza.

Zastosuj wzory na objętość i powierzchnię cylindra, stożka i kuli. Wszystkie są na naszym stole. Uczyć się na pamięć. Tu zaczyna się znajomość stereometrii.

Czasami dobrze jest narysować widok z góry. Lub, jak w tym problemie, od dołu.

2. Ile razy większa jest objętość stożka opisanego w pobliżu regularnej czworokątnej piramidy niż objętość stożka zapisanego w tej piramidzie?

Wszystko jest proste - rysujemy widok od dołu. Widzimy, że promień większego koła jest kilkakrotnie większy niż promień mniejszego. Wysokości obu szyszek są takie same. Dlatego objętość większego stożka będzie dwa razy większa.

Jeszcze jeden ważny punkt. Pamiętaj, że w zadaniach części B UŻYJ opcji w matematyce odpowiedź jest zapisana jako liczba całkowita lub skończona Ułamek dziesiętny. W związku z tym nie powinieneś mieć żadnego lub w swojej odpowiedzi w części B. Podstawianie przybliżonej wartości liczby również nie jest konieczne! Musi zostać zmniejszona! W tym celu w niektórych zadaniach formułuje się zadanie, na przykład w następujący sposób: „Znajdź obszar powierzchni bocznej cylindra podzielonej przez”.

A gdzie jeszcze są stosowane wzory na objętość i powierzchnię ciał obrotowych? Oczywiście w zadaniu C2 (16). O tym też opowiemy.

Geometria to gałąź matematyki zajmująca się badaniem struktur w przestrzeni i relacji między nimi. Z kolei składa się również z odcinków, a jednym z nich jest stereometria. Zapewnia badanie właściwości figur wolumetrycznych znajdujących się w przestrzeni: sześcianu, piramidy, kuli, stożka, cylindra itp.

Stożek to ciało w przestrzeni euklidesowej, które ogranicza powierzchnię stożkową i płaszczyznę, na której leżą końce jego generatorów. Jej powstawanie następuje w procesie obrotu trójkąta prostokątnego wokół którejkolwiek z jego nóg, dlatego należy do ciał obrotowych.

Składniki stożka

Istnieją następujące rodzaje stożków: ukośne (lub nachylone) i proste. Skośny to taki, którego oś przecina się ze środkiem podstawy nie pod kątem prostym. Z tego powodu wysokość w takim stożku nie pokrywa się z osią, ponieważ jest to odcinek obniżony od górnej części korpusu do płaszczyzny jego podstawy pod kątem 90 °.

Stożek ten, którego oś jest prostopadła do podstawy, nazywamy stożkiem prawym. Oś i wysokość w takim geometryczne ciało pokrywają się ze względu na fakt, że górna część znajduje się powyżej środka średnicy podstawy.

Stożek składa się z następujących elementów:

1. Okrąg, który jest jego podstawą.
2. Powierzchnia boczna.
3. Punkt nie leżący w płaszczyźnie podstawy, zwany wierzchołkiem stożka.
4. Segmenty łączące punkty okręgu podstawy ciała geometrycznego i jego wierzchołka.

Wszystkie te segmenty są generatorami stożka. Są one nachylone do podstawy bryły geometrycznej, aw przypadku stożka prawego ich rzuty są równe, ponieważ wierzchołek jest równoodległy od punktów okręgu podstawowego. Możemy więc stwierdzić, że w zwykłym (prostym) stożku generatory są równe, to znaczy mają tę samą długość i tworzą te same kąty z osią (lub wysokością) i podstawą.

Ponieważ w skośnym (lub pochylonym) korpusie obrotowym wierzchołek jest przesunięty względem środka płaszczyzny podstawy, generatory w takim korpusie mają różne długości i rzuty, ponieważ każdy z nich znajduje się w innej odległości od dowolnych dwóch punktów koła podstawowego. Ponadto będą się różnić kąty między nimi i wysokość stożka.

Długość generatorów w prawym stożku

Jak napisano wcześniej, wysokość w prostym geometrycznym korpusie obrotowym jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. W ten sposób tworząca, wysokość i promień podstawy tworzą w stożku trójkąt prostokątny.

Oznacza to, że znając promień podstawy i wysokość, korzystając ze wzoru z twierdzenia Pitagorasa, możesz obliczyć długość tworzącej, która będzie równa sumie kwadratów promienia podstawy i wysokości:

l 2 \u003d r 2 + h 2 lub l \u003d √r 2 + h 2

gdzie l - tworząca;

r - promień;

h - wzrost.

Generator w skośnym stożku

Biorąc pod uwagę fakt, że w stożku skośnym lub pochyłym tworzące nie mają tej samej długości, nie da się ich obliczyć bez dodatkowych konstrukcji i obliczeń.

Przede wszystkim musisz znać wysokość, długość osi i promień podstawy.

r 1 \u003d √k 2 - h 2

gdzie r 1 jest częścią promienia między osią a wysokością;

k - długość osi;

h - wzrost.

W wyniku dodania promienia (r) i jego części leżącej między osią a wysokością (r 1) można uzyskać pełną tworzącą stożka, jego wysokość i część średnicy:

gdzie R jest odnogą trójkąta utworzonego przez wysokość, tworzącą i część średnicy podstawy;

r - promień podstawy;

r 1 - część promienia między osią a wysokością.

Używając tego samego wzoru z twierdzenia Pitagorasa, możesz znaleźć długość tworzącej stożka:

l \u003d √h 2 + R 2

lub, bez oddzielnego obliczania R, połącz te dwie formuły w jedną:

l = √h 2 + (r + r 1) 2 .

Niezależnie od tego, czy stożek jest prosty, czy ukośny i jakiego rodzaju dane wejściowe, wszystkie metody znajdowania długości tworzącej zawsze sprowadzają się do jednego wyniku - zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Sekcja stożkowa

Płaszczyzna osiowa to płaszczyzna przechodząca wzdłuż jej osi lub wysokości. W stożku prawym takim odcinkiem jest trójkąt równoramienny, w którym wysokość trójkąta to wysokość ciała, jego boki to generatory, a podstawa to średnica podstawy. W równobocznym korpusie geometrycznym przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, ponieważ w tym stożku średnica podstawy i generatorów są równe.

Płaszczyzna przekroju osiowego w stożku prawym jest płaszczyzną jego symetrii. Powodem tego jest to, że jego wierzchołek znajduje się powyżej środka podstawy, to znaczy płaszczyzna przekroju osiowego dzieli stożek na dwie identyczne części.

Ponieważ w ukośnym obszerne ciało wysokość i oś nie zgadzają się, płaszczyzna przekroju osiowego może nie zawierać wysokości. Jeśli w takim stożku można zbudować zestaw przekrojów osiowych, ponieważ należy do tego przestrzegać tylko jednego warunku - musi on przechodzić tylko przez oś, to tylko jeden odcinek osiowy płaszczyzny, który będzie należeć do wysokości ten stożek można narysować, ponieważ liczba warunków wzrasta i, jak wiadomo, dwie proste (razem) mogą należeć tylko do jednej płaszczyzny.

Powierzchnia przekroju

Wspomniany wcześniej przekrój osiowy stożka jest trójkątem. Na tej podstawie jego powierzchnię można obliczyć za pomocą wzoru na powierzchnię trójkąta:

S = 1/2 * d * h lub S = 1/2 * 2r * h

gdzie S jest polem przekroju;

d - średnica podstawy;

r - promień;

h - wzrost.

W stożku ukośnym lub pochyłym przekrój wzdłuż osi jest również trójkątem, więc pole przekroju w nim oblicza się w podobny sposób.

Tom

Ponieważ stożek jest obszerna postać w przestrzeni 3D możesz obliczyć jej objętość. Objętość stożka to liczba charakteryzująca to ciało w jednostce objętości, czyli wm 3. Obliczenie nie zależy od tego, czy jest proste, czy ukośne (ukośne), ponieważ wzory dla tych dwóch typów ciał nie różnią się.

Jak wspomniano wcześniej, tworzenie prawego stożka następuje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wzdłuż jednej z jego nóg. Stożek pochylony lub ukośny jest uformowany inaczej, ponieważ jego wysokość jest przesunięta od środka płaszczyzny podstawy ciała. Jednak takie różnice w strukturze nie wpływają na sposób obliczania jej objętości.

Obliczanie objętości

Każdy stożek wygląda tak:

V = 1/3 * π * h * r2

gdzie V jest objętością stożka;

h - wzrost;

r - promień;

π jest stałą równą 3,14.

Aby obliczyć wysokość ciała, trzeba znać promień podstawy i długość jego tworzącej. Ponieważ promień, wysokość i tworząca są połączone w trójkąt prostokątny, wysokość można obliczyć za pomocą wzoru z twierdzenia Pitagorasa (a 2 + b 2 \u003d c 2 lub w naszym przypadku h 2 + r 2 \u003d l 2, gdzie l jest tworzącą). W tym przypadku wysokość zostanie obliczona poprzez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej odnogi:

a \u003d √c 2 - b 2

Oznacza to, że wysokość stożka będzie równa wartości uzyskanej po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z różnicy między kwadratem długości tworzącej a kwadratem promienia podstawy:

h \u003d √l 2 - r 2

Obliczając wysokość tą metodą i znając promień jego podstawy, można obliczyć objętość stożka. W tym przypadku tworząca odgrywa ważną rolę, ponieważ służy jako element pomocniczy w obliczeniach.

Podobnie, jeśli znasz wysokość ciała i długość jego tworzącej, możesz znaleźć promień jego podstawy, wyciągając pierwiastek kwadratowy z różnicy między kwadratem tworzącej i kwadratem wysokości:

r \u003d √l 2 - h 2

Następnie, korzystając z tego samego wzoru, co powyżej, oblicz objętość stożka.

Objętość stożka pochylenia

Ponieważ wzór na objętość stożka jest taki sam dla wszystkich typów bryły obrotowej, różnica w jego obliczeniach polega na szukaniu wysokości.

Aby określić wysokość pochylonego stożka, dane wejściowe muszą obejmować długość tworzącej, promień podstawy i odległość między środkiem podstawy a przecięciem wysokości ciała z płaszczyzną jego podstawy. Wiedząc to, możesz łatwo obliczyć tę część średnicy podstawy, która będzie podstawą trójkąta prostokątnego (utworzonego przez wysokość, tworzącą i płaszczyznę podstawy). Następnie, ponownie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, oblicz wysokość stożka, a następnie jego objętość.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca pobierz pełną wersję.

Rodzaj lekcji: lekcja studiowania nowego materiału z wykorzystaniem elementów metodyki problematycznej.

Cele Lekcji:

• kognitywny:
  • zapoznanie się z nową koncepcją matematyczną;
  • utworzenie nowego ZUN-u;
  • kształtowanie praktycznych umiejętności rozwiązywania problemów.
• opracowanie:
  • rozwój samodzielnego myślenia uczniów;
  • rozwój umiejętności poprawna mowa uczniowie.
• edukacyjny:
  • rozwój umiejętności pracy zespołowej.

Wyposażenie lekcji: tablica magnetyczna, komputer, ekran, projektor multimedialny, model stożkowy, prezentacja lekcji, materiały informacyjne.

Cele lekcji (dla uczniów):

• zapoznaj się z nową koncepcją geometryczną - stożkiem;
• wyprowadzić wzór do obliczenia powierzchni stożka;
• nauczyć się stosować zdobytą wiedzę w rozwiązywaniu praktycznych problemów.

Podczas zajęć

ja wystawiam. Organizacyjny.

Zgłoszenie zeszytów z domową pracą testową na poruszany temat.

Zapraszamy uczniów do zapoznania się z tematem nadchodzącej lekcji poprzez rozwiązanie rebus (slajd 1):

Obrazek 1.

Ogłoszenie dla uczniów tematu i celów lekcji (slajd 2).

II etap. Wyjaśnienie nowego materiału.

1) Wykład nauczyciela.

Na planszy znajduje się stół z wizerunkiem rożka. nowy materiał wyjaśnione w towarzyszącym materiale programowym „Stereometria”. Na ekranie pojawia się trójwymiarowy obraz stożka. Nauczyciel podaje definicję stożka, opowiada o jego elementach. (slajd 3). Mówi się, że stożek jest ciałem utworzonym przez obrót trójkąta prostokątnego względem nogi. (slajdy 4, 5). Pojawia się obraz rozwoju bocznej powierzchni szyszki. (slajd 6)

2) Praca praktyczna.

Aktualizacja podstawowej wiedzy: powtórz wzory do obliczania powierzchni koła, powierzchni sektora, długości koła, długości łuku koła. (slajdy 7-10)

Klasa podzielona jest na grupy. Każda grupa otrzymuje skan wyciętej z papieru powierzchni bocznej stożka (wycinek koła z przypisanym numerem). Uczniowie dokonują niezbędnych pomiarów i obliczają powierzchnię powstałego sektora. Instrukcje wykonywania pracy, pytania - stwierdzenia problemów - pojawiają się na ekranie (slajdy 11-14). Przedstawiciel każdej grupy zapisuje wyniki obliczeń w przygotowanej na tablicy tabeli. Uczestnicy każdej grupy przyklejają model stożka z posiadanego opracowania. (slajd 15)

3) Oświadczenie i rozwiązanie problemu.

Jak obliczyć powierzchnię boczną stożka, jeśli znany jest tylko promień podstawy i długość tworzącej stożka? (slajd 16)

Każda grupa dokonuje niezbędnych pomiarów i stara się wyprowadzić wzór na obliczenie wymaganej powierzchni na podstawie dostępnych danych. Podczas wykonywania tej pracy uczniowie powinni zauważyć, że obwód podstawy stożka jest równy długości łuku sektora - rozwinięcia powierzchni bocznej tego stożka. (slajdy 17-21) Używając niezbędnych formuł, wyprowadza się pożądaną formułę. Rozumowanie uczniów powinno wyglądać mniej więcej tak:

Promień sektora - przemiatanie jest równe ja, miarą stopnia łuku jest φ. Pole powierzchni sektora oblicza się według wzoru: długość łuku ograniczającego ten sektor jest równa promieniowi podstawy stożka R. Długość okręgu leżącego u podstawy stożka wynosi C = 2πR . Zauważ, że Ponieważ powierzchnia bocznej powierzchni stożka jest równa powierzchni rozwoju jego bocznej powierzchni, to

Tak więc powierzchnia bocznej powierzchni stożka jest obliczana według wzoru S BZT = πRl.

Po obliczeniu pola powierzchni bocznej modelu stożka według wzoru wyprowadzonego niezależnie, przedstawiciel każdej grupy zapisuje wynik obliczeń w tabeli na tablicy zgodnie z numerami modelu. Wyniki obliczeń w każdym wierszu muszą być równe. Na tej podstawie nauczyciel ustala poprawność wniosków każdej grupy. Tabela wyników powinna wyglądać tak:

Model nr.	ja zadanie	II zadanie
	(125/3)π ~ 41,67π
	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parametry modelu:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproksymacja obliczeń wiąże się z błędami pomiarowymi.

Po sprawdzeniu wyników na ekranie pojawia się wyjście wzorów dla obszarów powierzchni bocznych i pełnych stożka (slajdy 22-26) uczniowie prowadzą notatki w zeszytach.

III etap. Konsolidacja badanego materiału.

1) Studenci są oferowane zadania dotyczące rozwiązania doustnego na gotowych rysunkach.

Znajdź obszary całkowitych powierzchni stożków pokazanych na rysunkach (slajdy 27-32).

2) Pytanie: Czy pola powierzchni stożków utworzone przez obrót jednego trójkąta prostokątnego wokół różnych ramion są równe? Uczniowie stawiają hipotezę i ją testują. Testowanie hipotez odbywa się poprzez rozwiązywanie problemów i jest pisane przez ucznia na tablicy.

Dany:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - korpusy rewolucji.

Znaleźć: SPPC 1 , SPPC 2 .

Rysunek 5 (slajd 33)

Rozwiązanie:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BZT 1 + S główny 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BZT 2 + S główny 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Jeśli S PPC 1 = S PPC 2, to a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Dlatego a, b, c liczby dodatnie (długości boków trójkąta), równość tore jest prawdziwa tylko wtedy, gdy a =b.

Wyjście: Pola powierzchni dwóch stożków są równe tylko wtedy, gdy ramiona trójkąta są równe. (slajd 34)

3) Rozwiązanie problemu z podręcznika: nr 565.

IV etap. Podsumowując lekcję.

Praca domowa: s.55, 56; nr 548, nr 561. (slajd 35)

Ogłoszenie ocen.

Wnioski podczas lekcji, powtórzenie głównych informacji otrzymanych na lekcji.

Literatura (slajd 36)

1. Klasy geometrii 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i in., M., Enlightenment, 2008.
2. „Zagadki i szarady matematyczne” - N.V. Udaltsov, biblioteka „Pierwszy września”, seria „MATEMATYKA”, numer 35, M., Chistye Prudy, 2010.