I czy masz? zależność od kalkulatora? A może uważasz, że poza kalkulatorem lub tabelą kwadratów bardzo trudno jest na przykład obliczyć.

Zdarza się, że uczniowie są przywiązani do kalkulatora, a nawet mnożą 0,7 przez 0,5, naciskając cenne przyciski. Mówią, no cóż, nadal umiem obliczyć, ale teraz zaoszczędzę czas ... Będzie egzamin ... wtedy się napięję ...

Faktem jest więc, że na egzaminie i tak nie zabraknie „napiętych momentów”… Jak mówią, woda ściera kamień. Więc na egzaminie małe rzeczy, jeśli jest ich dużo, mogą cię powalić ...

Zminimalizujmy liczbę możliwych problemów.

Wyciąganie pierwiastka kwadratowego z dużej liczby

Omówimy teraz tylko przypadek, w którym wynikiem wyciągania pierwiastka kwadratowego jest liczba całkowita.

Przypadek 1

Tak więc za wszelką cenę (na przykład przy obliczaniu dyskryminatora) musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 86436.

Rozkładamy liczbę 86436 na czynniki pierwsze. Dzielimy przez 2, otrzymujemy 43218; ponownie dzielimy przez 2, - otrzymujemy 21609. Liczba nie jest podzielna przez 2 więcej. Ale ponieważ suma cyfr jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3 (ogólnie rzecz biorąc, można zauważyć, że jest również podzielna przez 9). . Jeszcze raz dzielimy przez 3, otrzymujemy 2401. 2401 nie jest całkowicie podzielne przez 3. Niepodzielne przez pięć (nie kończy się na 0 lub 5).

Podejrzewamy podzielność przez 7. Rzeczywiście, a ,

A więc pełne zamówienie!

Przypadek 2

Musimy obliczyć . Niewygodne jest działanie w taki sam sposób, jak opisano powyżej. Próbuję rozkładać na czynniki...

Liczba 1849 nie jest całkowicie podzielna przez 2 (nie jest nawet) ...

Nie jest całkowicie podzielna przez 3 (suma cyfr nie jest wielokrotnością 3) ...

Nie jest całkowicie podzielna przez 5 (ostatnia cyfra to nie 5 ani 0) ...

Nie jest całkowicie podzielna przez 7, nie jest podzielna przez 11, nie jest podzielna przez 13 ... Cóż, jak długo zajmie nam przejście przez wszystkie liczby pierwsze w ten sposób?

Porozmawiajmy trochę inaczej.

Rozumiemy to

Zawęziliśmy poszukiwania. Teraz sortujemy liczby od 41 do 49. Co więcej, jasne jest, że skoro ostatnia cyfra liczby to 9, to warto zatrzymać się na opcjach 43 lub 47 - tylko te liczby, podniesione do kwadratu, dadzą ostatnią cyfrę 9.

Cóż, tutaj już oczywiście zatrzymujemy się na 43. Rzeczywiście,

PS Jak do diabła pomnożyć 0,7 przez 0,5?

Należy pomnożyć 5 przez 7, ignorując zera i znaki, a następnie oddzielić, idąc od prawej do lewej, dwa miejsca po przecinku. Otrzymujemy 0,35.

W przedmowie do swojego pierwszego wydania W królestwie pomysłowości (1908) E. I. Ignatiev pisze: Wyniki są wiarygodne tylko wtedy, gdy wprowadzenie w dziedzinę wiedzy matematycznej dokonuje się w łatwy i przyjemny sposób, na przedmiotach i przykładach codziennych i codziennych sytuacji, dobranych z należytym dowcipem i rozbawieniem.

W przedmowie do wydania „Rola pamięci w matematyce” z 1911 r. E.I. Ignatiev pisze „… w matematyce należy pamiętać nie o formułach, ale o procesie myślenia”.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, istnieją tabele kwadratów dla liczb dwucyfrowych, możesz rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze i wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z produktu. Tabela kwadratów to za mało, wyodrębnienie pierwiastka przez faktoring to czasochłonne zadanie, które również nie zawsze prowadzi do pożądanego rezultatu. Spróbuj wydobyć pierwiastek kwadratowy z liczby 209764? Rozkład na czynniki pierwsze daje iloczyn 2 * 2 * 52441. Metodą prób i błędów wybór - to oczywiście można zrobić, jeśli masz pewność, że jest to liczba całkowita. Sposób, który chcę zasugerować, pozwala w każdym przypadku wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

Kiedyś w instytucie (Państwowy Instytut Pedagogiczny w Permie) zostaliśmy zapoznani z tą metodą, o której teraz chcę opowiedzieć. Nigdy nie zastanawiałem się, czy ta metoda ma dowód, więc teraz musiałem sam wydedukować jakiś dowód.

Podstawą tej metody jest kompozycja liczby =.

=&, czyli &2=596334.

1. Podziel numer (5963364) na pary od prawej do lewej (5`96`33`64)

2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z pierwszej grupy po lewej ( - numer 2). Otrzymujemy więc pierwszą cyfrę liczby &.

3. Znajdź kwadrat pierwszej cyfry (2 2 \u003d 4).

4. Znajdź różnicę między pierwszą grupą a kwadratem pierwszej cyfry (5-4=1).

5. Niszczymy kolejne dwie cyfry (otrzymaliśmy liczbę 196).

6. Podwajamy pierwszą znalezioną liczbę, zapisujemy ją po lewej stronie za linią (2*2=4).

7. Teraz musisz znaleźć drugą cyfrę liczby &: podwojona pierwsza cyfra, którą znaleźliśmy, staje się cyfrą dziesiątek liczby, po pomnożeniu przez liczbę jednostek musisz uzyskać liczbę mniejszą niż 196 ( to jest liczba 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 to druga cyfra &.

8. Znajdź różnicę (196-176=20).

9. Niszczymy kolejną grupę (otrzymujemy numer 2033).

10. Podwój liczbę 24, otrzymujemy 48.

11,48 dziesiątek w liczbie, po pomnożeniu przez liczbę jednostek, powinniśmy otrzymać liczbę mniejszą niż 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Znaleziona przez nas cyfra jednostek (4) jest trzecią cyfrą liczby &.

Dowód podaję dla przypadków:

1. Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby trzycyfrowej;

2. Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby czterocyfrowej.

Przybliżone metody wyciągania pierwiastka kwadratowego (bez użycia kalkulatora).

1. Starożytni Babilończycy używali następującej metody, aby znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego ich liczby x. Reprezentowali liczbę x jako sumę a 2 + b, gdzie a 2 jest najbliższym x dokładnemu kwadratowi liczby naturalnej a (a 2 ? x) i użyli wzoru . (1)

Korzystając ze wzoru (1), wyciągamy pierwiastek kwadratowy, na przykład z liczby 28:

Wynik ekstrakcji korzenia 28 przy użyciu MK 5.2915026.

Jak widać, metoda babilońska daje dobre przybliżenie dokładnej wartości korzenia.

2. Isaac Newton opracował metodę pierwiastka kwadratowego, która sięga czasów Herona z Aleksandrii (ok. 100 ne). Ta metoda (znana jako metoda Newtona) jest następująca.

Wynajmować 1- pierwsze przybliżenie liczby (jako 1 można przyjąć wartości pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej - dokładny kwadrat, który nie przekracza X) .

Następne, dokładniejsze przybliżenie 2 liczby znaleziony przez formułę .

Rozdział pierwszy.

Wyodrębnienie największego pierwiastka kwadratowego z danej liczby całkowitej.

170. Uwagi wstępne.

a) Ponieważ będziemy mówić o wyciąganiu tylko pierwiastka kwadratowego, dla zwięzłości tego rozdziału, zamiast pierwiastka kwadratowego powiemy po prostu „root”.

b) Jeśli podniesiemy liczby szeregu naturalnego do kwadratu: 1,2,3,4,5. . . , otrzymujemy następującą tablicę kwadratów: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Oczywiście istnieje wiele liczb całkowitych, których nie ma w tej tabeli; z takich liczb oczywiście nie można wyodrębnić całego korzenia. Dlatego, jeśli chcesz wziąć pierwiastek jakiejś liczby całkowitej, na przykład. wymagane jest znalezienie √4082, wtedy zgodzimy się zrozumieć ten wymóg w następujący sposób: wyodrębnij cały korzeń z 4082, jeśli to możliwe; jeśli nie, musimy znaleźć największą liczbę całkowitą, której kwadrat wynosi 4082 (taka liczba to 63, ponieważ 63 2 \u003d 3969 i 64 2 \u003d 4090).

w) Jeśli ta liczba jest mniejsza niż 100, to jej korzeń znajduje się w tabliczce mnożenia; więc √60 będzie równe 7, ponieważ sem 7 równa się 49, czyli mniej niż 60, a 8 równa się 64, czyli więcej niż 60.

171. Wyodrębnienie pierwiastka liczby mniejszej niż 10 000, ale większej niż 100. Niech trzeba będzie znaleźć √4082 . Ponieważ liczba ta jest mniejsza niż 10 000, to jej pierwiastek jest mniejszy niż √10 000 = 100. Z drugiej strony liczba ta jest większa niż 100; więc jego korzeń jest większy niż (lub równy 10) . (Jeżeli np. trzeba było znaleźć √ 120 , to chociaż liczba 120 > 100, to jednak √ 120 jest równe 10, ponieważ 11 2 = 121. Ale każda liczba większa niż 10, ale mniejsza niż 100 ma 2 cyfry; więc pożądanym pierwiastkiem jest suma:

dziesiątki + jednostki,

dlatego jego kwadrat musi być równy sumie:

Suma ta powinna być największym kwadratem, składającym się z 4082.

Weźmy największy z nich, 36, i załóżmy, że kwadrat dziesiątek pierwiastka będzie równy temu największemu kwadratowi. Wtedy liczba dziesiątek w pierwiastku musi wynosić 6. Sprawdźmy teraz, czy tak musi być zawsze, tj. liczba dziesiątek pierwiastka jest zawsze równa największemu pierwiastkowi całkowitemu z setek pierwiastka.

Rzeczywiście, w naszym przykładzie liczba dziesiątek korzenia nie może być większa niż 6, ponieważ (7 dec.) 2 \u003d 49 setek, co przekracza 4082. Ale nie może być mniejsza niż 6, ponieważ 5 dec. (z jednostkami) wynosi mniej niż 6 dess, a tymczasem (6 dec.) 2 = 36 setek, czyli mniej niż 4082. A ponieważ szukamy pierwiastka największej liczby całkowitej, nie powinniśmy brać za pierwiastek 5 dess, gdy 6 dziesiątek to niewiele.

Tak więc znaleźliśmy liczbę dziesiątek pierwiastka, czyli 6. Piszemy tę liczbę po prawej stronie znaku =, pamiętając, że oznacza to dziesiątki pierwiastka. Podnosząc go do kwadratu, dostajemy 36 setek. Odejmujemy te 36 setek od 40 setek liczby pierwiastkowej i usuwamy pozostałe dwie cyfry tej liczby. Pozostałe 482 musi zawierać 2 (6 dec.) (jednostki) + (jednostki) 2. Iloczyn (6 dec.) (jednostka) powinien wynosić dziesiątki; dlatego iloczyn podwójny dziesiątek przez jednostki należy szukać w dziesiątkach reszty, czyli w 48 (ich liczbę uzyskamy oddzielając jedną cyfrę od prawej w reszcie 48 "2). które nie są jeszcze znane) , to powinniśmy otrzymać liczbę zawartą w 48. Dlatego podzielimy 48 przez 12.

W tym celu rysujemy pionową linię na lewo od reszty, a za nią (odchodząc od linii o jedno miejsce w lewo do celu, który teraz zostanie znaleziony) piszemy podwojoną pierwszą cyfrę pierwiastka, czyli 12, i podziel przez to 48. W ilorazu otrzymujemy 4.

Jednak nie można z góry zagwarantować, że liczbę 4 można przyjąć jako jednostki pierwiastka, ponieważ teraz podzieliliśmy przez 12 całą liczbę dziesiątek reszty, podczas gdy niektóre z nich mogą nie należeć do podwójnego iloczynu dziesiątek według jednostek, ale są częścią kwadratu jednostek. Dlatego liczba 4 może być duża. Musisz ją przetestować. Jest oczywiście odpowiednie, jeśli suma 2 (6 dec.) 4 + 4 2 okaże się nie większa niż pozostała część 482.

W rezultacie natychmiast otrzymujemy sumę obu. Otrzymany produkt okazał się mieć 496, czyli więcej niż pozostała część 482; Więc 4 jest duże. Następnie przetestujemy następną mniejszą liczbę 3 w ten sam sposób.

Przykłady.

W czwartym przykładzie, dzieląc 47 dziesiątek reszty przez 4, otrzymujemy w ilorazu 11. Ale ponieważ cyfra jednostek pierwiastka nie może być dwucyfrową liczbą 11 lub 10, musimy bezpośrednio przetestować liczbę 9.

W piątym przykładzie, po odjęciu 8 od pierwszej ściany kwadratu, reszta wynosi 0, a następna ściana również składa się z zer. Pokazuje to, że pożądany pierwiastek składa się tylko z 8 dziesiątek, a zatem zero należy umieścić w miejscu jednostek.

172. Wydobywanie pierwiastka liczby większej niż 10000. Niech będzie wymagane znalezienie √35782 . Ponieważ liczba radykalna jest większa niż 10 000, to jej pierwiastek jest większy niż √10000 = 100, a zatem składa się z 3 cyfr lub więcej. Bez względu na to, z ilu cyfr się składa, zawsze możemy uznać ją za sumę tylko dziesiątek i jednostek. Jeśli na przykład pierwiastek okazał się być 482, to możemy uznać go za sumę 48 dess. + 2 jednostki Wtedy kwadrat pierwiastka będzie składał się z 3 wyrazów:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (un.) + (un.) 2 .

Teraz możemy rozumować dokładnie tak samo, jak przy znajdowaniu √4082 (w poprzednim akapicie). Jedyna różnica polega na tym, że aby znaleźć dziesiątki pierwiastka 4082, musieliśmy wyodrębnić pierwiastek z 40 i można to zrobić za pomocą tabliczki mnożenia; teraz, aby uzyskać dziesiątki√35782, będziemy musieli wziąć pierwiastek z 357, czego nie można zrobić za pomocą tabliczki mnożenia. Ale możemy znaleźć √357 za pomocą sztuczki opisanej w poprzednim akapicie, ponieważ liczba 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Następnie postępujemy tak, jak przy znajdowaniu √4082, a mianowicie: na lewo od reszty 3382 rysujemy pionową linię i po niej piszemy (odchodząc od prostej o jedno miejsce) dwukrotnie większą liczbę znalezionych pierwiastków dziesiątek, tj. 36 (dwa razy 18). W reszcie oddzielamy jedną cyfrę po prawej i dzielimy liczbę dziesiątek reszty, czyli 338, przez 36. W ilorazu otrzymujemy 9. Sprawdzamy tę liczbę, dla której przypisujemy ją do 36 po prawej i pomnóż to przez to. Produkt okazał się mieć 3321, czyli mniej niż reszta. Tak więc liczba 9 jest dobra, zapisujemy ją na początku.

Ogólnie rzecz biorąc, aby wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby całkowitej, należy najpierw wyciągnąć pierwiastek z jej setek; jeśli ta liczba jest większa niż 100, to będziesz musiał szukać pierwiastka z liczby setek tych setek, czyli z dziesiątek tysięcy danej liczby; jeśli ta liczba jest większa niż 100, będziesz musiał wywodzić się z liczby setek dziesiątek tysięcy, czyli z milionów danej liczby itp.

Przykłady.

W ostatnim przykładzie, znajdując pierwszą cyfrę i odejmując jej kwadrat, w reszcie otrzymujemy 0. Niszczymy kolejne 2 cyfry 51. Oddzielając dziesiątki, otrzymujemy 5 dec, podczas gdy pierwiastek znaleziony dwukrotnie to 6. Czyli dzieląc 5 na 6 otrzymujemy 0 Umieszczamy 0 na początku na drugim miejscu i burzymy kolejne 2 cyfry do reszty; otrzymujemy 5110. Następnie kontynuujemy jak zwykle.

W tym przykładzie żądany pierwiastek składa się tylko z 9 setek, dlatego w miejsce dziesiątek i jednostek należy wstawić zera.

Reguła. Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z danej liczby całkowitej, podziel ją z prawa ręka po lewej stronie, na krawędzi, po 2 cyfry, z wyjątkiem ostatniej, która może zawierać jedną cyfrę.
Aby znaleźć pierwszą cyfrę pierwiastka, weź pierwiastek kwadratowy z pierwszej ściany.
Aby znaleźć drugą cyfrę, kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka jest odejmowany od pierwszej ściany, druga ściana jest wyburzana do reszty, a liczba dziesiątek otrzymanej liczby jest dzielona przez dwukrotność pierwszej cyfry pierwiastka ; wynikowa liczba całkowita jest testowana.
Test ten jest wykonywany w następujący sposób: za pionową linią (na lewo od reszty) piszą dwukrotnie wcześniej znalezioną liczbę pierwiastka i do niego, z prawa strona, przypisz liczbę testową, wynikową liczbę, po tym dodaniu liczba jest mnożona przez liczbę testową. Jeżeli po mnożeniu uzyskana zostanie liczba większa niż reszta, to wynik testowy nie jest dobry i należy przetestować następną mniejszą liczbę.
W ten sam sposób można znaleźć następujące numery korzenia.
Jeśli po wyburzeniu ściany liczba dziesiątek wynikowej liczby okaże się mniejsza niż dzielnik, tj. mniej niż dwukrotność znalezionej części korzenia, to w korzeniu umieszcza się 0, następna ściana zostaje zburzona i akcja toczy się dalej.

173. Liczba cyfr korzenia. Z rozpatrzenia procesu znajdowania pierwiastka wynika, że ​​w pierwiastku jest tyle cyfr, ile w liczbie pierwiastkowej jest ścianek po 2 cyfry (po lewej stronie może być jedna cyfra).

Rozdział drugi.

Wyodrębnianie przybliżonych pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych i ułamkowych .

Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z wielomianów, patrz dodatki do drugiej części § 399 i nast.

174. Znaki dokładnego pierwiastka kwadratowego. Dokładny pierwiastek kwadratowy z danej liczby to liczba, której kwadrat jest dokładnie równy podanej liczbie. Wskażmy kilka znaków, po których można ocenić, czy z podanej liczby pochodzi dokładny pierwiastek, czy nie:

a) Jeśli dokładny pierwiastek liczby całkowitej nie jest wyodrębniany z podanej liczby całkowitej (jest uzyskiwany podczas wyodrębniania reszty), to z takiej liczby nie można znaleźć ułamkowego dokładnego pierwiastka, ponieważ każdy ułamek, który nie jest równy liczbie całkowitej, po pomnożeniu przez siebie , daje również ułamek w produkcie, a nie liczbę całkowitą.

b) Ponieważ pierwiastek ułamka jest równy pierwiastkowi licznika podzielonemu przez pierwiastek mianownika, nie można znaleźć dokładnego pierwiastka ułamka nieredukowalnego, jeśli nie można go wyodrębnić z licznika lub mianownika. Np. z ułamków 4/5, 8/9 i 11/15 nie można wydobyć dokładnego pierwiastka, ponieważ w pierwszym ułamku nie można go wydobyć z mianownika, w drugim z licznika, a w trzecim ani z licznik ani od mianownika.

Z takich liczb, z których nie można wyodrębnić dokładnego korzenia, można wyodrębnić tylko przybliżone korzenie.

175. Przybliżony korzeń do 1. Przybliżony pierwiastek kwadratowy do 1 z danej liczby (całkowitej lub ułamkowej - nie ma to znaczenia) to liczba całkowita, która spełnia dwa następujące wymagania:

1) kwadrat tej liczby nie jest większy od podanej liczby; 2) ale kwadrat tej liczby powiększony o 1 jest większy od podanej liczby. Innymi słowy, przybliżony pierwiastek kwadratowy do 1 to największy całkowity pierwiastek kwadratowy danej liczby, czyli pierwiastek, którego nauczyliśmy się znaleźć w poprzednim rozdziale. Ten pierwiastek nazywa się przybliżonym do 1, ponieważ aby uzyskać dokładny pierwiastek, należałoby dodać do tego przybliżonego pierwiastka ułamek mniejszy niż 1, więc jeśli weźmiemy ten przybliżony pierwiastek zamiast nieznanego dokładnego pierwiastka, zrobimy błąd mniejszy niż 1.

Reguła. Aby wyodrębnić przybliżony pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 1, musisz wyodrębnić największy pierwiastek całkowity z części całkowitej podanej liczby.

Liczba znaleziona zgodnie z tą regułą jest przybliżonym pierwiastkiem z wadą, ponieważ brakuje jej ułamka (mniej niż 1) do dokładnego pierwiastka. Jeśli zwiększymy ten pierwiastek o 1, to otrzymamy inną liczbę, w której jest pewien nadmiar nad dokładnym pierwiastkiem, a ten nadmiar jest mniejszy niż 1. Ten pierwiastek powiększony o 1 można również nazwać przybliżonym pierwiastkiem do 1, ale z Nadmiar. (Nazwy: „z brakiem” lub „z nadmiarem” w niektórych książkach matematycznych zastępowane są innymi odpowiednikami: „z niedoboru” lub „z nadmiaru”.)

176. Pierwiastek przybliżony z dokładnością 1/10. Niech będzie wymagane znalezienie √2,35104 do 1/10. Oznacza to, że musimy znaleźć takie dziesiętny, który składałby się z całych jednostek i dziesiętnych części i który spełniałby następujące dwa wymagania:

1) kwadrat tego ułamka nie przekracza 2,35104, ale 2) jeśli zwiększymy go o 1/10, to kwadrat tego ułamka powiększonego przekracza 2,35104.

Aby znaleźć taki ułamek, najpierw znajdujemy przybliżony pierwiastek do 1, to znaczy wyciągamy pierwiastek tylko z liczby całkowitej 2. Otrzymujemy 1 (a reszta to 1). Piszemy cyfrę 1 na początku i stawiamy po niej przecinek. Teraz poszukamy liczby dziesiątych. Aby to zrobić, sprowadzamy cyfry 35 do reszty 1, na prawo od przecinka i kontynuujemy wyodrębnianie tak, jakbyśmy wyciągali pierwiastek z liczby całkowitej 235. W miejscu pierwiastka zapisujemy wynikową liczbę 5 dziesiątych. Nie potrzebujemy pozostałych cyfr liczby radykalnej (104). To, że wynikowa liczba 1,5 rzeczywiście będzie przybliżonym pierwiastkiem z dokładnością do 1/10, wynika z poniższego. Gdybyśmy znaleźli największy pierwiastek całkowity z 235 z dokładnością do 1, otrzymalibyśmy 15. Czyli:

15 2 < 235, ale 16 2 >235.

Dzieląc wszystkie te liczby przez 100 otrzymujemy:

Oznacza to, że liczba 1,5 to ułamek dziesiętny, który nazwaliśmy przybliżonym pierwiastkiem z dokładnością do 1/10.

Za pomocą tej metody znajdujemy również następujące przybliżone pierwiastki z dokładnością do 0,1:

177. Przybliżony pierwiastek kwadratowy z dokładnością od 1/100 do 1/1000 itd.

Niech będzie wymagane znalezienie przybliżonej 248 z dokładnością do 1/100. To znaczy: znaleźć taki ułamek dziesiętny, który składałby się z liczb całkowitych, dziesiątych i setnych i który spełniałby dwa wymagania:

1) jego kwadrat nie przekracza 248, ale 2) jeśli zwiększymy ten ułamek o 1/100, to kwadrat tego zwiększonego ułamka przekroczy 248.

Znajdziemy taki ułamek w następującej kolejności: najpierw znajdziemy liczbę całkowitą, potem dziesiątą cyfrę, potem setną cyfrę. Pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej wyniesie 15 liczb całkowitych. Aby uzyskać liczbę dziesiętnych, jak widzieliśmy, konieczne jest zmniejszenie do reszty 23 2 kolejnych cyfr na prawo od przecinka dziesiętnego. W naszym przykładzie te liczby w ogóle nie istnieją, w ich miejsce wstawiamy zera. Przypisując je do reszty i kontynuując akcję tak, jakbyśmy znajdowali pierwiastek liczby całkowitej 24800, znajdziemy cyfrę dziesiątych 7. Pozostaje znaleźć cyfrę setnych. Aby to zrobić, dodajemy jeszcze 2 zera do reszty 151 i kontynuujemy wyodrębnianie, tak jakbyśmy znajdowali pierwiastek liczby całkowitej 2 480 000. Otrzymujemy 15,74. To, że ta liczba jest rzeczywiście przybliżonym pierwiastkiem 248 z dokładnością do 1/100, wynika z poniższego. Gdybyśmy mieli znaleźć największy pierwiastek kwadratowy liczby całkowitej 2 480 000, otrzymalibyśmy 1574; oznacza:

1574 2 < 2 480 000 ale 1575 2 > 2 480 000.

Dzieląc wszystkie liczby przez 10 000 (= 100 2), otrzymujemy:

Zatem 15,74 to ten ułamek dziesiętny, który nazwaliśmy przybliżonym pierwiastkiem z dokładnością do 1/100 z 248.

Stosując tę ​​technikę do znalezienia przybliżonego pierwiastka z dokładnością od 1/1000 do 1/10000 itd., otrzymujemy co następuje.

Reguła. Wydobyć z tego cały numer lub z danego ułamka dziesiętnego, pierwiastek przybliżony z dokładnością od 1/10 do 1/100 do 1/100 itd., najpierw znajdź pierwiastek przybliżony z dokładnością do 1, wydobywając pierwiastek z liczby całkowitej (jeśli istnieje brak, napisz o pierwiastku 0 liczb całkowitych).

Następnie znajdź liczbę dziesiątych. Aby to zrobić, reszta jest usuwana, 2 cyfry liczby rodnikowej na prawo od przecinka (jeśli nie są, do reszty przypisywane są dwa zera), a wyodrębnianie jest kontynuowane w taki sam sposób, jak podczas wyodrębniania pierwiastek z liczby całkowitej. Wynikowa liczba jest zapisywana u nasady w miejscu dziesiątych części.

Następnie znajdź liczbę setnych. Aby to zrobić, dwie liczby są ponownie zburzone do reszty, na prawo od tych, które właśnie zostały zburzone itp.

Tak więc, wyodrębniając pierwiastek z liczby całkowitej z ułamkiem dziesiętnym, konieczne jest podzielenie przez 2 cyfry, zaczynając od przecinka, zarówno w lewo (w części całkowitej liczby), jak i w prawo (w części ułamkowej część).

Przykłady.

1) Znajdź do 1/100 pierwiastków: a) √2; b) √0,3;

W ostatnim przykładzie przekonwertowaliśmy 3/7 na ułamek dziesiętny, obliczając 8 miejsc po przecinku, aby utworzyć 4 ściany potrzebne do znalezienia 4 miejsc po przecinku pierwiastka.

178. Opis tabeli pierwiastków kwadratowych. Na końcu tej książki znajduje się tabela pierwiastków kwadratowych obliczonych za pomocą czterech cyfr. Korzystając z tej tabeli, możesz szybko znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby całkowitej (lub ułamka dziesiętnego), który jest wyrażony w nie więcej niż czterech cyfrach. Zanim wyjaśnimy, jak ta tabela jest ułożona, zauważamy, że zawsze możemy znaleźć pierwszą cyfrę znaczącą żądanego pierwiastka bez pomocy tabel, jednym spojrzeniem na numer pierwiastka; możemy też łatwo określić, które miejsce dziesiętne oznacza pierwszą cyfrę pierwiastka, a zatem gdzie w pierwiastku, gdy znajdziemy jego cyfry, musimy wstawić przecinek. Oto kilka przykładów:

1) √5"27,3 . Pierwsza cyfra to 2, ponieważ lewa strona liczby głównej to 5; a pierwiastek 5 to 2. Ponadto, ponieważ w całkowitej części radykalnej liczby wszystkich ścian jest tylko 2, całkowita część żądanego pierwiastka musi mieć 2 cyfry, a zatem jej pierwsza cyfra 2 musi oznaczać kilkadziesiąt.

2) √ 9,041. Oczywiście w tym pierwiastku pierwsza cyfra będzie 3 prostymi jednostkami.

3) 0,00"83"4. Pierwsza cyfra znacząca to 9, ponieważ ścianka, z której należałoby wyodrębnić pierwiastek, aby uzyskać pierwszą cyfrę cyfrę, to 83, a pierwiastek 83 to 9. Ponieważ w żądanej liczbie nie będzie ani liczb całkowitych, ani dziesiętnych, pierwsza cyfra 9 musi oznaczać części setne.

4) √ 0,73 "85. Pierwsza znacząca cyfra to 8 dziesiątych.

5) 0,00 "00" 35 "7. Pierwsza znacząca cyfra będzie wynosić 5 tysięcznych.

Zróbmy jeszcze jedną uwagę. Załóżmy, że z takiej liczby należy wydobyć pierwiastek, który po odrzuceniu zajętej w nim liczby jest przedstawiony ciągiem takich liczb: 5681. Ten pierwiastek może być jednym z następujących:

Jeśli weźmiemy pierwiastki, które podkreśliliśmy jednym wierszem, to wszystkie będą wyrażone przez ten sam ciąg liczb, dokładnie te liczby, które uzyskamy wyciągając pierwiastek z 5681 (będą to liczby 7, 5, 3, 7 ). Powodem tego jest to, że ścianki, na które należy podzielić pierwiastek podczas znajdowania cyfr pierwiastka, będą takie same we wszystkich tych przykładach, dlatego cyfry dla każdego pierwiastka będą takie same (tylko położenie przecinka oczywiście będzie inny). W ten sam sposób we wszystkich pierwiastkach, podkreślonych przez nas dwoma wierszami, należy uzyskać te same liczby, dokładnie te, które wyrażają √568.1 (te liczby będą wynosić 2, 3, 8, 3) iz tego samego powodu. Tak więc cyfry pierwiastków z liczb przedstawionych (odrzucając przecinek) przez ten sam ciąg cyfr 5681 będą dwojakiego (i tylko dwojakiego) rodzaju: albo jest to seria 7, 5, 3, 7, lub seria 2, 3, 8, 3. To samo można oczywiście powiedzieć o każdym innym szeregu figur. Dlatego, jak zobaczymy, w tabeli, każdy rząd cyfr liczby radykalnej odpowiada 2 rzędom cyfr dla pierwiastków.

Teraz możemy wyjaśnić strukturę tabeli i jak z niej korzystać. Dla jasności wyjaśnienia przedstawiliśmy tutaj początek pierwszej strony tabeli.

Ta tabela obejmuje kilka stron. Na każdym z nich w pierwszej kolumnie po lewej stronie umieszczone są liczby 10, 11, 12 ... (do 99). Liczby te wyrażają pierwsze 2 cyfry liczby, z której szukany jest pierwiastek kwadratowy. W górnej poziomej linii (podobnie jak w dolnej) znajdują się liczby: 0, 1, 2, 3 ... 9, które są 3 cyfrą tej liczby, a dalej w prawo są liczby 1, 2 , 3. . . 9, reprezentujący czwartą cyfrę tej liczby. We wszystkich pozostałych liniach poziomych umieszczane są 2 czterocyfrowe liczby, wyrażające pierwiastki kwadratowe odpowiednich liczb.

Niech będzie wymagane znalezienie pierwiastka kwadratowego z jakiejś liczby, liczby całkowitej lub wyrażonej jako ułamek dziesiętny. Przede wszystkim bez pomocy tabel znajdujemy pierwszą cyfrę pierwiastka i jego kategorię. Następnie odrzucamy przecinek w podanej liczbie, jeśli taki istnieje. Załóżmy najpierw, że po odrzuceniu przecinka pozostają na przykład tylko 3 cyfry. 114. Znajdujemy w tabelach w skrajnej lewej kolumnie pierwsze 2 cyfry, tj. 11, i przesuwamy się od nich w prawo wzdłuż poziomej linii, aż dotrzemy do pionowej kolumny, której góra (i dół) jest trzecią cyfrą liczby, czyli 4. W tym miejscu znajdziemy dwie czterocyfrowe liczby: 1068 i 3376. Którą z tych dwóch liczb należy wziąć i gdzie wstawić przecinek, określa to pierwsza cyfra pierwiastka i jego wyładowanie, które znaleźliśmy wcześniej. Tak więc, jeśli chcesz znaleźć 0,11 "4, to pierwsza cyfra pierwiastka to 3 dziesiąte, a zatem musimy wziąć pierwiastek 0,3376. Gdyby trzeba było znaleźć 1,14, to pierwsza cyfra pierwiastka będzie 1, a następnie przyjmiemy 1.068.

W ten sposób możemy łatwo znaleźć:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, itd.

Załóżmy teraz, że konieczne jest znalezienie pierwiastka liczby wyrażonej (odrzucając przecinek) przez 4 cyfry, na przykład √7 "45,6. Zauważając, że pierwsza cyfra pierwiastka to 2 dziesiątki, znajdujemy dla liczby 745, jak teraz wyjaśniono, liczby 2729 (liczbę tę zauważamy tylko palcem, ale jej nie zapisujemy.) Następnie przechodzimy dalej od tej liczby w prawo, aż do prawej strony tabeli (za ostatnia pogrubiona linia) napotykamy pionową kolumnę, która jest zaznaczona powyżej (i poniżej) 4 cyfry tej liczby, czyli cyfry 6 i tam znajdujemy cyfrę 1. Będzie to korekta, którą należy zastosować (w uwaga) na wcześniej znalezioną liczbę 2729, otrzymujemy 2730. Zapisujemy ten numer i wstawiamy w nim przecinek w odpowiednim miejscu: 27.30.

W ten sposób znajdujemy na przykład:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 \u003d 0,2107 itd.

Jeśli liczba rodnikowa jest wyrażona tylko jedną lub dwiema cyframi, to możemy założyć, że po tych cyfrach jest jedno lub dwa zera, a następnie postępować tak, jak wyjaśniono dla liczby trzycyfrowej. Na przykład √2,7 = √2,70 =1,643; √0,13 \u003d √0,13 „0 \u003d 0,3606 itd.

Wreszcie, jeśli liczba radykalna jest wyrażona przez więcej niż 4 cyfry, wówczas weźmiemy tylko pierwsze 4 z nich, a resztę odrzucimy i zmniejszymy błąd, jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr wynosi 5 lub więcej niż 5, następnie zwiększymy czwartą z zachowanych cyfr o l . Więc:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; itp.

Komentarz. Tabele wskazują przybliżony pierwiastek kwadratowy, czasem z niedoborem, czasem z nadmiarem, czyli jeden z tych przybliżonych pierwiastków, który zbliża się do pierwiastka dokładnego.

179. Ekstrakcja pierwiastków kwadratowych ze zwykłych frakcji. Dokładny pierwiastek kwadratowy z ułamka nieredukowalnego można wyodrębnić tylko wtedy, gdy oba wyrazy ułamka są dokładnymi kwadratami. W takim przypadku wystarczy wyodrębnić pierwiastek z licznika i mianownika osobno, na przykład:

Przybliżony pierwiastek kwadratowy zwykłego ułamka z pewną dokładnością dziesiętną można najłatwiej znaleźć, jeśli najpierw przekonwertujemy zwykły ułamek na ułamek dziesiętny, obliczając w tym ułamku liczbę miejsc dziesiętnych po przecinku, co byłoby dwukrotnością liczby dziesiętnej miejsca w pożądanym korzeniu.

Możesz jednak zrobić inaczej. Wyjaśnijmy to na poniższym przykładzie:

Znajdź przybliżoną 5 / 24

Niech mianownik będzie dokładnym kwadratem. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć oba wyrazy ułamka przez mianownik 24; ale w tym przykładzie możesz zrobić inaczej. Rozkładamy 24 na czynniki pierwsze: 24 \u003d 2 2 2 3. Z tego rozkładu widać, że jeśli 24 pomnoży się przez 2, a drugi przez 3, to w produkcie każdy czynnik pierwszy zostanie powtórzony parzystą liczbę razy, a zatem mianownik stanie się kwadratem:

Pozostaje obliczyć √30 z pewną dokładnością i podzielić wynik przez 12. W takim przypadku należy pamiętać, że ułamek pokazujący stopień dokładności również zmniejszy się z dzielenia przez 12. Jeśli więc znajdziemy √30 z dokładnością 1/10 i podzielimy wynik przez 12, to otrzymamy przybliżony pierwiastek ułamka 5/24 z dokładnością 1/120 (czyli 54/120 i 55/120)

Rozdział trzeci.

Wykres funkcjix = √ y .

180. Funkcja odwrotna. Niech będzie równanie, które definiuje w jako funkcja X , na przykład to: y = x 2 . Można powiedzieć, że determinuje nie tylko w jako funkcja X , ale też odwrotnie, determinuje X jako funkcja w , aczkolwiek w sposób niejawny. Aby funkcja była jawna, musimy rozwiązać to równanie dla X , biorąc w dla znanej liczby; Tak więc z równania, które wzięliśmy, znajdujemy: y = x 2 .

Wyrażenie algebraiczne otrzymane dla x po rozwiązaniu równania, które definiuje y jako funkcję x, nazywa się funkcją odwrotną do tego, które definiuje y.

Więc funkcja x = √ y funkcja odwrotna y = x 2 . Jeżeli, jak to jest w zwyczaju, oznaczono zmienną niezależną X i zależne w , wtedy możemy wyrazić otrzymaną teraz funkcję odwrotną w następujący sposób: y = √ x . Tak więc, aby otrzymać funkcję odwrotną do danej (bezpośrednią), konieczne jest wyprowadzenie z równania definiującego tę daną funkcję X w zależności od tak a w wynikowym wyrażeniu zamień tak na x , a X na tak .

181. Wykres funkcji y = √ x . Ta funkcja nie jest możliwa przy wartości ujemnej X , ale można go obliczyć (z dowolną dokładnością) dla dowolnej wartości dodatniej x , a dla każdej takiej wartości funkcja otrzymuje dwie różne wartości o tej samej wartości bezwzględnej, ale o przeciwnych znakach. Jeśli znajomy √ oznaczamy tylko wartość arytmetyczną pierwiastka kwadratowego, wtedy te dwie wartości funkcji można wyrazić w następujący sposób: y= ± x Aby wykreślić tę funkcję, musisz najpierw utworzyć tabelę jej wartości. Najłatwiejszym sposobem skompilowania tej tabeli jest użycie tabeli wartości funkcji bezpośrednich:

y = x 2 .

x

tak

jeśli wartości w przyjąć jako wartości X , i wzajemnie:

y= ± x

Umieszczając wszystkie te wartości na rysunku, otrzymujemy następujący wykres.

Na tym samym rysunku przedstawiliśmy (linia przerywana) i wykres funkcji bezpośredniej y = x 2 . Porównajmy te dwa wykresy.

182. Związek między grafami funkcji prostej i odwrotnej. Aby skompilować tabelę wartości funkcja odwrotna y= ± x wzięliśmy za X te liczby, które są w tabeli funkcji bezpośrednich y = x 2 służyły jako wartości dla w , i dla w wziął te numery; które w tej tabeli były wartościami x . Z tego wynika, że ​​oba wykresy są takie same, tylko wykres funkcji bezpośredniej jest tak położony względem osi w - jak położony jest wykres funkcji odwrotnej względem osi X - poł. W rezultacie, jeśli złożymy rysunek wokół linii prostej OA dwusieczna pod kątem prostym xOy , tak aby część rysunku zawierająca półoś OU , spadł na część zawierającą półoś Oh , następnie OU kompatybilny z Oh , wszystkie dywizje OU pokrywają się z podziałami Oh i punkty paraboli y = x 2 pokrywają się z odpowiednimi punktami na wykresie y= ± x . Na przykład kropki M oraz N , którego rzędna 4 i odcięta 2 oraz - 2 , pokrywają się z punktami M" oraz N" , którego odcięta 4 , a rzędne 2 oraz - 2 . Jeśli te punkty się pokrywają, oznacza to, że linie MM" oraz NN" prostopadły do OA i podziel tę prostą linię na pół. To samo można powiedzieć o wszystkich innych istotnych punktach na obu wykresach.

Zatem wykres funkcji odwrotnej powinien być taki sam jak wykres funkcji prostej, ale te wykresy są położone inaczej, czyli symetrycznie względem siebie względem dwusiecznej kąta hej . Można powiedzieć, że wykres funkcji odwrotnej jest odbiciem (jak w lustrze) wykresu funkcji prostej względem dwusiecznej kąta hej .

Czas na demontaż metody ekstrakcji korzeni. Opierają się na właściwościach pierwiastków, w szczególności na równości, która jest prawdziwa dla każdej nieujemnej liczby b.

Poniżej rozważymy z kolei główne metody ekstrakcji korzeni.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tablicy kwadratów, tablicy sześcianów itp.

Jeśli tabele kwadratów, kostek itp. nie jest pod ręką, logiczne jest użycie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastka na proste czynniki.

Osobno warto się zastanowić, co jest możliwe dla pierwiastków o nieparzystych wykładnikach.

Na koniec rozważ metodę, która pozwala sekwencyjnie znaleźć cyfry wartości pierwiastka.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wydobycie korzeni. Czym są te stoły?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli znajduje się na szarym tle, zaznaczając określony wiersz i określoną kolumnę, pozwala na zrobienie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy rząd 8 dziesiątek i kolumnę 3 jednostek, tym samym naprawiliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda z jego komórek znajduje się na przecięciu pewnego rzędu i pewnej kolumny i zawiera kwadrat o odpowiedniej liczbie od 0 do 99 . Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jednej znajduje się komórka o numerze 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablic kwadratów, tylko zawierają sześciany, czwarte potęgi itd. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tabele kwadratów, kostek, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio z numerów w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich zastosowania w ekstrakcji korzeni.

Powiedzmy, że musimy wyciągnąć pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych stopni. Zgodnie z tą tabelą znajdujemy liczbę b taką, że a=b n . Następnie , dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak wyodrębnia się korzeń kostki 19683 za pomocą tabeli kostki. Znajdujemy liczbę 19 683 w tabeli sześcianów, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego .

Oczywiste jest, że tabele n-tego stopnia są bardzo wygodne podczas ekstrakcji korzeni. Jednak często nie są one pod ręką, a ich kompilacja wymaga pewnej ilości czasu. Co więcej, często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach trzeba uciekać się do innych metod wydobywania korzeni.

Rozkład liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (oczywiście, jeśli jest on wydzielony) jest rozłożenie pierwiastka na czynniki pierwsze. Jego esencja jest następująca: po tym dość łatwo jest przedstawić go jako stopień z pożądanym wskaźnikiem, który pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy ten punkt.

Niech pierwiastek n-tego stopnia zostanie wydobyty z liczby naturalnej a, a jego wartość będzie równa b. W tym przypadku równość a=b n jest prawdziwa. Liczbę b jako dowolną liczbę naturalną można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 p 2 … p m , a pierwiastek a w tym przypadku jest reprezentowany jako (p 1 p 2 ... p m) n . Ponieważ dekompozycja liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczna, dekompozycja pierwiastka a na czynniki pierwsze będzie wyglądać następująco (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , co umożliwia obliczenie wartości pierwiastka jako .

Zauważ, że jeśli faktoryzacji pierwiastka a nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , to pierwiastek n-tego stopnia z takiej liczby a nie jest całkowicie wyodrębniony.

Zajmijmy się tym przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z 144 .

Rozwiązanie.

Jeśli przejdziemy do tabeli kwadratów podanej w poprzednim akapicie, to widać wyraźnie, że 144=12 2 , z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 wynosi 12 .

Ale w świetle tego punktu interesuje nas, jak wyodrębnia się pierwiastek przez rozłożenie pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 na czynniki pierwsze:

Czyli 144=2 2 2 2 3 3 . Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. W konsekwencji, .

Wykorzystując właściwości stopnia i właściwości korzeni, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiadać:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Pierwsza faktoryzacja liczby pierwiastkowej 243 wynosi 243=3 5 . W ten sposób, .

Odpowiadać:

Przykład.

Czy wartość pierwiastka jest liczbą całkowitą?

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić jako sześcian liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 3 6 7 2 . Wynikowy rozkład nie jest reprezentowany jako sześcian liczby całkowitej, ponieważ stopień czynnika pierwszej 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego pierwiastek sześcienny 285 768 nie jest w całości pobierany.

Odpowiadać:

Nie.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, w jaki sposób korzeń jest wyodrębniany z liczby ułamkowej. Niech pierwiastek ułamkowy zostanie zapisany jako p/q . Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu, prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika reguła pierwiastka ułamkowego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi dzielenia pierwiastka licznika przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębniania korzenia z ułamka.

Przykład.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy ze wspólnego ułamka 25/169.

Rozwiązanie.

Zgodnie z tabelą kwadratów stwierdzamy, że pierwiastek kwadratowy licznika pierwotnego ułamka wynosi 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika wynosi 13. Następnie . To kończy ekstrakcję korzenia ze zwykłej frakcji 25/169.

Odpowiadać:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej jest wyodrębniany po zastąpieniu liczb pierwiastkowych zwykłymi ułamkami.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny z liczby dziesiętnej 474,552.

Rozwiązanie.

Zaprezentujmy oryginalny ułamek dziesiętny jako zwykły ułamek: 474.552=474552/1000 . Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne, które znajdują się w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka. Dlatego 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1000=10 3 , to oraz . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiadać:

.

Wyodrębnianie pierwiastka liczby ujemnej

Osobno warto zastanowić się nad wydobywaniem pierwiastków z liczb ujemnych. Podczas badania pierwiastków powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Takim zapisom nadaliśmy następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1 mamy . Ta równość daje reguła wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wyodrębnić pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.

Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość główną.

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod znakiem głównym pojawiła się liczba dodatnia: . Teraz zastępujemy liczbę mieszaną zwykłym ułamkiem: . Stosujemy zasadę wydobywania korzenia ze zwykłego ułamka: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka: .

Przynieśmy krótka notatka rozwiązania: .

Odpowiadać:

.

Bitowe znajdowanie wartości głównej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu omówionych powyżej technik nie można przedstawić jako n-tej potęgi żadnej liczby. Ale jednocześnie trzeba znać wartość danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala konsekwentnie uzyskiwać wystarczającą liczbę wartości cyfr pożądanej liczby.

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest znalezienie najbardziej znaczącego bitu wartości pierwiastka. Aby to zrobić, liczby 0, 10, 100, ... są sukcesywnie podnoszone do potęgi n, aż do uzyskania liczby przekraczającej liczbę pierwiastkową. Wtedy liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n w poprzednim kroku, wskaże odpowiedni wysoki rząd.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z pięciu. Bierzemy liczby 0, 10, 100, ... i podnosimy je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5 . Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jednostek. Wartość tego bitu, jak również niższych, zostanie znaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji korzenia.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sukcesywne doprecyzowanie wartości pierwiastka ze względu na to, że znajdują się wartości kolejnych cyfr pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższej . Na przykład wartość korzenia w pierwszym kroku wynosi 2 , w drugim - 2.2 , w trzecim - 2.23 i tak dalej 2.236067977 ... . Opiszmy, jak znajdują się wartości bitów.

Znajdowanie bitów odbywa się poprzez wyliczenie ich możliwych wartości 0, 1, 2, ..., 9 . W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas wartość cyfry odpowiadającej poprzedniej wartości uważa się za znalezioną i następuje przejście do następnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastków, jeśli tak się nie dzieje, wtedy wartość tej cyfry wynosi 9 .

Wyjaśnijmy wszystkie te punkty, używając tego samego przykładu wyciągania pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdź wartość cyfry jednostek. Będziemy iterować po wartościach 0, 1, 2, …, 9 , obliczając odpowiednio 0 2 , 1 2 , …, 9 2 aż otrzymamy wartość większą niż liczba radykalna 5 . Wszystkie te obliczenia są wygodnie przedstawione w formie tabeli:

Tak więc wartość cyfry jednostek wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5). Przejdźmy do znalezienia wartości dziesiątego miejsca. W takim przypadku podniesiemy do kwadratu liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, porównując uzyskane wartości z pierwiastkiem nr 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , to wartość dziesiątego miejsca wynosi 2 . Możesz przejść do znalezienia wartości setnych miejsc:

Tak znaleziony następna wartość pierwiastek z pięciu, jest równy 2,23. A więc możesz dalej szukać wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy ekstrakcję korzenia z dokładnością do setnych części za pomocą rozważanego algorytmu.

Najpierw definiujemy cyfrę seniora. Aby to zrobić, wstawiamy w kostkę liczby 0, 10, 100 itd. aż otrzymamy liczbę większą niż 2151,186 . Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , więc najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra dziesiątek.

Określmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2151,186 , to wartość cyfry dziesiątek wynosi 1 . Przejdźmy do jednostek.

Tak więc wartość jedynego miejsca wynosi 2 . Przejdźmy do dziesięciu.

Ponieważ nawet 12,9 3 to mniej niż radykalna liczba 2 151,186 , wartość dziesiątego miejsca wynosi 9 . Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, poda nam on wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość korzenia sięga do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów na wydobycie korzeni. Ale w przypadku większości zadań te, które omówiliśmy powyżej, są wystarczające.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Wyodrębnianie pierwiastka to odwrotna operacja potęgowania. To znaczy, wyciągając pierwiastek z liczby X, otrzymujemy liczbę, która do kwadratu da tę samą liczbę X.

Wyodrębnienie korzenia jest dość prostą operacją. Tabela kwadratów może ułatwić pracę odciągu. Ponieważ niemożliwe jest zapamiętanie wszystkich kwadratów i pierwiastków na pamięć, a liczby mogą być duże.

Wydobywanie korzenia z liczby

Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby jest łatwe. Co więcej, można to zrobić nie od razu, ale stopniowo. Weźmy na przykład wyrażenie √256. Początkowo nieświadomej osobie trudno jest odpowiedzieć od razu. Następnie podejmiemy kroki. Najpierw dzielimy tylko przez liczbę 4, z której jako pierwiastek wyjmujemy wybrany kwadrat.

Remis: √(64 4), to będzie to równowartość 2√64. A jak wiesz, zgodnie z tabliczką mnożenia 64 = 8 8. Odpowiedź będzie 2*8=16.

Zapisz się na kurs „Przyspiesz liczenie w pamięci, a NIE arytmetyka w myślach”, aby dowiedzieć się, jak szybko i poprawnie dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, podnosić liczby do kwadratu, a nawet wypuszczać pierwiastki. W 30 dni nauczysz się korzystać z prostych sztuczek, aby uprościć operacje arytmetyczne. Każda lekcja zawiera nowe techniki, jasne przykłady i przydatne zadania.

Kompleksowa ekstrakcja korzeni

Pierwiastka kwadratowego nie można obliczyć z liczb ujemnych, ponieważ dowolna liczba do kwadratu jest liczbą dodatnią!

Liczba zespolona to liczba i, która do kwadratu wynosi -1. Czyli i2=-1.

W matematyce istnieje liczba, którą otrzymuje się, biorąc pierwiastek z liczby -1.

Oznacza to, że można obliczyć pierwiastek liczby ujemnej, ale dotyczy to już matematyki wyższej, a nie szkoły.

Rozważmy przykład takiej ekstrakcji pierwiastków: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Kalkulator korzeni online

Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć wyciągnięcie liczby z pierwiastka kwadratowego:

Konwersja wyrażeń zawierających operację wyodrębniania korzenia

Istotą transformacji wyrażeń radykalnych jest rozkład liczby radykalnej na prostsze, z których można wydobyć pierwiastek. Na przykład 4, 9, 25 i tak dalej.

Weźmy przykład, √625. Wyrażenie radykalne dzielimy przez liczbę 5. Otrzymujemy √(125 5), powtarzamy operację √(25 25), ale wiemy, że 25 to 52. Zatem odpowiedź to 5*5=25.

Ale są liczby, dla których pierwiastka nie można obliczyć tą metodą i wystarczy znać odpowiedź lub mieć pod ręką tabelę kwadratów.

√289=√(17*17)=17

Wynik

Wzięliśmy pod uwagę tylko wierzchołek góry lodowej, aby lepiej zrozumieć matematykę - zapisz się na nasz kurs: Przyspiesz liczenie w pamięci - NIE arytmetykę w pamięci.

Na kursie nauczysz się nie tylko dziesiątek sztuczek do uproszczonego i szybkiego mnożenia, dodawania, mnożenia, dzielenia, obliczania procentów, ale także wypracujesz je w zadaniach specjalnych i grach edukacyjnych! Liczenie umysłowe wymaga również dużej uwagi i koncentracji, które są aktywnie szkolone w rozwiązywaniu ciekawych problemów.