Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna

Jeżeli t to czas, w którym pieszy się porusza (w godzinach), s to przebyta droga (w kilometrach), a pieszy porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 4 km/h, to zależność między tymi wielkościami można wyrazić wzorem s = 4t. Ponieważ każda wartość t odpowiada unikalnej wartości s, możemy powiedzieć, że funkcja jest dana za pomocą wzoru s = 4t. Nazywa się to bezpośrednią proporcjonalnością i jest zdefiniowane w następujący sposób.

Definicja. Bezpośrednia proporcjonalność to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d kx, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa funkcji y \u003d k x wynika z faktu, że we wzorze y \u003d kx występują zmienne x i y, które mogą być wartościami wielkości. A jeśli stosunek dwóch wartości jest równy jakiejś liczbie innej niż zero, nazywa się je wprost proporcjonalna . W naszym przypadku = k (k≠0). Ten numer nazywa się współczynnik proporcjonalności.

Funkcja y \u003d k x jest matematycznym modelem wielu rzeczywistych sytuacji rozważanych już na początkowym etapie matematyki. Jeden z nich został opisany powyżej. Inny przykład: jeśli w jednym opakowaniu jest 2 kg mąki i kupuje się x takich opakowań, to całą masę zakupionej mąki (oznaczamy ją przez y) można przedstawić jako wzór y \u003d 2x, tj. zależność między liczbą opakowań a całkowitą masą zakupionej mąki jest wprost proporcjonalna do współczynnika k=2.

Przypomnij sobie niektóre właściwości bezpośredniej proporcjonalności, które są badane na szkolnym kursie matematyki.

1. Dziedziną funkcji y \u003d k x i dziedziną jej wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

2. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dlatego, aby skonstruować wykres bezpośredniej proporcjonalności, wystarczy znaleźć tylko jeden punkt, który do niego należy i nie pokrywa się z początkiem, a następnie poprowadzić linię prostą przez ten punkt i początek.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y = 2x, wystarczy mieć punkt o współrzędnych (1, 2), a następnie poprowadzić przez niego linię prostą i początek (ryc. 7).

3. Dla k > 0 funkcja y = kx rośnie w całej dziedzinie definicji; widelec< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jeżeli funkcja f jest wprost proporcjonalna i (x 1, y 1), (x 2, y 2) - pary odpowiadających sobie wartości zmiennych x i y oraz x 2 ≠ 0 to wtedy.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest bezpośrednią proporcjonalnością, to można ją wyrazić wzorem y \u003d kx, a następnie y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Ponieważ przy x 2 ≠ 0 i k ≠ 0, to y 2 ≠ 0. dlatego i oznacza .

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to udowodnioną właściwość bezpośredniej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiadająca jej wartość zmiennej y zwiększa się (zmniejsza) o tę samą wartość.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko dla bezpośredniej proporcjonalności i może być używana do rozwiązywania problemów tekstowych, w których rozważane są wielkości wprost proporcjonalne.

Zadanie 1. W ciągu 8 godzin tokarz wykonał 16 części. Ile godzin zajmie tokarzowi wykonanie 48 części, jeśli będzie pracował z taką samą wydajnością?

Decyzja. Problem dotyczy wielkości – czasu pracy tokarza, liczby wykonanych przez niego części oraz produktywności (tj. liczby części wyprodukowanych przez tokarza w ciągu 1 godziny), przy czym ta ostatnia wartość jest stała, a dwie pozostałe przyjmują różne wartości. Ponadto liczba wykonanych części i czas pracy są wprost proporcjonalne, ponieważ ich stosunek jest równy pewnej liczbie, która nie jest równa zeru, a mianowicie liczbie części wykonanych przez tokarza w ciągu 1 godziny. wykonanych części oznaczamy literą y, czas pracy to x, a wydajność - k, to otrzymujemy, że = k lub y = kx, tj. modelem matematycznym sytuacji przedstawionej w zadaniu jest wprost proporcjonalność.

Problem można rozwiązać na dwa sposoby arytmetyczne:

1 sposób: 2 sposób:

1) 16:8 = 2 (dzieci) 1) 48:16 = 3 (razy)

2) 48:2 = 24(godz.) 2) 8-3 = 24(godz.)

Rozwiązując problem w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, jest równy 2, a następnie, wiedząc, że y \u003d 2x, znaleźliśmy wartość x, pod warunkiem, że y \u003d 48.

Rozwiązując problem w drugi sposób, wykorzystaliśmy właściwość bezpośredniej proporcjonalności: ile razy zwiększa się liczba części wykonanych przez tokarza, czas ich produkcji wzrasta o tę samą wartość.

Przejdźmy teraz do rozważenia funkcji zwanej odwrotną proporcjonalnością.

Jeżeli t to czas ruchu pieszego (w godzinach), v to jego prędkość (w km/h) i przeszedł 12 km, to zależność między tymi wartościami można wyrazić wzorem v∙t = 20 lub v = .

Ponieważ każdej wartości t (t ≠ 0) odpowiada pojedyncza wartość prędkości v, możemy powiedzieć, że funkcja jest dana za pomocą wzoru v = . Nazywa się to odwrotną proporcjonalnością i jest zdefiniowane w następujący sposób.

Definicja. Odwrotna proporcjonalność to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa tej funkcji pochodzi od tego, że y= istnieją zmienne x i y, które mogą być wartościami wielkości. A jeśli iloczyn dwóch wielkości jest równy jakiejś liczbie innej niż zero, to nazywa się je odwrotnie proporcjonalnymi. W naszym przypadku xy = k(k ≠ 0). Ta liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Funkcjonować y= jest matematycznym modelem wielu rzeczywistych sytuacji rozpatrywanych już na początkowym etapie matematyki. Jeden z nich został opisany przed definicją odwrotnej proporcjonalności. Inny przykład: jeśli kupiłeś 12 kg mąki i włożyłeś ją do l: puszek po y kg, to zależność między tymi ilościami można przedstawić jako x-y= 12, tj. jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika k=12.

Przypomnij sobie niektóre własności odwrotnej proporcjonalności, znane ze szkolnego kursu matematyki.

1. Zakres funkcji y= a jego zakres x to zbiór niezerowych liczb rzeczywistych.

2. Wykres odwrotnej proporcjonalności jest hiperbolą.

3. Dla k > 0 gałęzie hiperboli znajdują się w 1. i 3. ćwiartce, a funkcja y= maleje na całej dziedzinie x (rys. 8).

Ryż. 8 Ryc.9

kiedy k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= rośnie w całej dziedzinie x (ryc. 9).

4. Jeżeli funkcja f jest odwrotnie proporcjonalna i (x 1, y 1), (x 2, y 2) są parami odpowiednich wartości zmiennych x i y, to.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest odwrotnie proporcjonalna, to można ją podać za pomocą wzoru y= ,i wtedy . Skoro x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0, to

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to tę właściwość odwrotnej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiednia wartość zmiennej y zmniejsza się (zwiększa) o tę samą wartość.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko odwrotnej proporcjonalności i może być używana do rozwiązywania problemów tekstowych, w których rozważane są wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Zadanie 2. Rowerzysta jadący z prędkością 10 km/h przebył drogę z punktu A do punktu B w ciągu 6 godzin.

Decyzja. Zadanie uwzględnia następujące wielkości: prędkość rowerzysty, czas ruchu oraz odległość od A do B, przy czym ta ostatnia wartość jest stała, a dwie pozostałe przyjmują różne wartości. Ponadto prędkość i czas ruchu są odwrotnie proporcjonalne, ponieważ ich iloczyn jest równy pewnej liczbie, a mianowicie przebytej odległości. Jeśli czas ruchu rowerzysty jest oznaczony literą y, prędkość wynosi x, a odległość AB wynosi k, to otrzymujemy, że xy \u003d k lub y \u003d, tj. modelem matematycznym sytuacji przedstawionej w zadaniu jest odwrotna proporcjonalność.

Możesz rozwiązać problem na dwa sposoby:

1 sposób: 2 sposób:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (razy)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(godz.)

Rozwiązując problem w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, jest on równy 60, a następnie, wiedząc, że y \u003d, znaleźliśmy wartość y, pod warunkiem, że x \u003d 20.

Rozwiązując problem w drugi sposób, wykorzystaliśmy właściwość odwrotnej proporcjonalności: ile razy zwiększa się prędkość ruchu, czas pokonania tej samej odległości zmniejsza się o tę samą wartość.

Należy zauważyć, że przy rozwiązywaniu określonych problemów z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi lub wprost proporcjonalnymi na x i y nakładane są pewne ograniczenia, w szczególności można je rozpatrywać nie na całym zbiorze liczb rzeczywistych, ale na jego podzbiorach.

Zadanie 3. Lena kupiła x ołówków, a Katia kupiła 2 razy więcej. Oznacz liczbę ołówków, które Katia kupiła jako y, wyraź y za pomocą x i wykreśl ustalony wykres korespondencji, pod warunkiem, że x ≤ 5. Czy to dopasowanie jest funkcją? Jaka jest jego domena definicji i zakres wartości?

Decyzja. Kasia kupiła u = 2 ołówki. Wykreślając funkcję y=2x należy wziąć pod uwagę, że zmienna x oznacza liczbę ołówków, a x≤5, co oznacza, że ​​może przyjmować tylko wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5. To będzie dziedzina tej funkcji. Aby uzyskać zakres tej funkcji, musisz pomnożyć każdą wartość x z dziedziny definicji przez 2, tj. będzie to zbiór (0, 2, 4, 6, 8, 10). Dlatego wykres funkcji y \u003d 2x z dziedziną definicji (0, 1, 2, 3, 4, 5) będzie zbiorem punktów pokazanych na rycinie 10. Wszystkie te punkty należą do linii y \u003d 2x.

Podstawowe cele:

• wprowadzić pojęcie bezpośredniego i odwrotnego proporcjonalna zależność wielkie ilości;
• uczyć rozwiązywania problemów z wykorzystaniem tych zależności;
• promować rozwój umiejętności rozwiązywania problemów;
• utrwalić umiejętność rozwiązywania równań za pomocą proporcji;
• powtórz kroki ze zwykłymi i dziesiętne;
• rozwijać logiczne myślenie studenci.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Samostanowienie do działania(czas organizacji)

- Chłopaki! Dzisiaj na lekcji zapoznamy się z problemami rozwiązywanymi za pomocą proporcji.

II. Aktualizowanie wiedzy i usuwanie trudności w działaniach

2.1. praca ustna (3 minuty)

- Znajdź znaczenie wyrażeń i znajdź słowo zaszyfrowane w odpowiedziach.

14 - s; 0,1 - i; 7 - l; 0,2 - a; 17 - w; 25 - do

- Padło słowo - siła. Dobrze zrobiony!
- Motto naszej dzisiejszej lekcji: Potęga tkwi w wiedzy! Szukam - więc się uczę!
- Zrób proporcję otrzymanych liczb. (14:7=0,2:0,1 itd.)

2.2. Rozważ związek między znanymi wielkościami (7 minut)

- droga przebyta przez samochód ze stałą prędkością i czas jego ruchu: S = v t ( wraz ze wzrostem prędkości (czasu) ścieżka wzrasta);
- prędkość samochodu i czas spędzony na drodze: v=S:t(wraz ze wzrostem czasu przebycia ścieżki prędkość maleje);
– koszt towaru zakupionego po jednej cenie i jego ilość: C \u003d a n (wraz ze wzrostem (spadkiem) ceny koszt zakupu wzrasta (spada);
- cena produktu i jego ilość: a \u003d C: n (wraz ze wzrostem ilości cena spada)
- obszar prostokąta i jego długość (szerokość): S = a b (wraz ze wzrostem długości (szerokości) obszar wzrasta;
- długość prostokąta i szerokość: a = S: b (wraz ze wzrostem długości szerokość maleje;
- liczba pracowników wykonujących jakąś pracę przy tej samej wydajności pracy oraz czas potrzebny na jej wykonanie: t \u003d A: n (wraz ze wzrostem liczby pracowników czas spędzony na wykonywaniu pracy maleje) itp. .

Otrzymaliśmy zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wartości druga od razu zwiększa się o tę samą wielkość (przykłady pokazane strzałkami) oraz zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wartości druga wartość maleje o tyle samo razy.
Takie relacje nazywane są proporcjami prostymi i odwrotnymi.
Zależność wprost proporcjonalna- zależność, w której przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej wartości druga wartość wzrasta (spada) o tę samą wartość.
Odwrotna zależność proporcjonalna- zależność, w której przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej wartości druga wartość maleje (rośnie) o tę samą wartość.

III. Zestawienie zadania uczenia się

Jaki mamy problem? (Naucz się rozróżniać relacje bezpośrednie i odwrotne)
- Ono - bramka nasza lekcja. Teraz sformułuj temat lekcja. (Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna).
- Dobrze zrobiony! Napisz temat lekcji w zeszytach. (Nauczyciel zapisuje temat na tablicy.)

IV. „Odkrycie” nowej wiedzy(10 minut)

Przeanalizujmy problemy numer 199.

1. Drukarka drukuje 27 stron w 4,5 minuty. Ile czasu zajmie wydrukowanie 300 stron?

27 stron - 4,5 min.
300 s. - x?

2. W pudełku jest 48 paczek herbaty po 250 g każda. Ile opakowań po 150 g wyjdzie z tej herbaty?

48 opakowań - 250 g.
X? - 150 gr.

3. Samochód przejechał 310 km, wydając 25 litrów benzyny. Jak daleko może przejechać samochód na pełnym baku 40 litrów?

310 km - 25 l
X? – 40 litrów

4. Jedno z kół zębatych sprzęgła ma 32 zęby, a drugie 40. Ile obrotów wykona drugie koło zębate, podczas gdy pierwsze wykona 215 obrotów?

32 zęby - 315 obr./min
40 zębów - x?

Aby sporządzić proporcję, potrzebny jest jeden kierunek strzałek, w tym celu w odwrotnej proporcji jeden stosunek zastępuje się odwrotnością.

Na tablicy uczniowie znajdują wartości wielkości, w terenie uczniowie rozwiązują jeden wybrany przez siebie problem.

– Sformułować regułę rozwiązywania problemów z proporcjonalnością bezpośrednią i odwrotną.

Na planszy pojawia się tabela:

w. Mocowanie podstawowe w mowie zewnętrznej(10 minut)

Zadania na arkuszach:

1. Z 21 kg nasion bawełny uzyskano 5,1 kg oleju. Ile oleju otrzymamy z 7 kg nasion bawełny?
2. W celu budowy stadionu 5 buldożerów oczyściło teren w 210 minut. Ile czasu zajęłoby oczyszczenie tego terenu 7 buldożerom?

VI. Samodzielna praca z autotestem zgodnie ze standardem(5 minut)

Dwóch uczniów wykonuje samodzielnie zadania nr 225 na ukrytych tablicach, a reszta w zeszytach. Następnie sprawdzają działanie według algorytmu i porównują z rozwiązaniem na tablicy. Błędy są korygowane, wyjaśniane są ich przyczyny. Jeśli zadanie zostało wykonane, dobrze, to obok uczniów umieść dla siebie znak „+”.
Studenci, którzy popełniają błędy w samodzielnej pracy, mogą skorzystać z pomocy konsultantów.

VII. Włączanie do systemu wiedzy i powtarzanie№ 271, № 270.

Sześć osób pracuje przy tablicy. Po 3–4 minutach uczniowie, którzy pracowali przy tablicy, prezentują swoje rozwiązania, a pozostali sprawdzają zadania i biorą udział w dyskusji.

VIII. Odbicie aktywności (wynik lekcji)

- Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?
- Co powtórzyłeś?
Jaki jest algorytm rozwiązywania problemów z proporcjami?
Czy osiągnęliśmy nasz cel?
- Jak oceniasz swoją pracę?

Typy zależności

Rozważ ładowanie baterii. Jako pierwszą wartość przyjmijmy czas ładowania. Druga wartość to czas, przez jaki będzie działać po naładowaniu. Im dłużej bateria jest ładowana, tym dłużej będzie działać. Proces będzie kontynuowany do momentu pełnego naładowania baterii.

Zależność żywotności baterii od czasu jej ładowania

Uwaga 1

Ta zależność nazywa się prosto:

Wraz ze wzrostem jednej wartości rośnie również druga. Gdy jedna wartość maleje, druga wartość również maleje.

Rozważmy inny przykład.

Im więcej książek uczeń przeczyta, tym mniej błędów popełni w dyktandzie. Lub im wyżej wspinasz się po górach, tym niższe będzie ciśnienie atmosferyczne.

Uwaga 2

Ta zależność nazywa się odwracać:

Gdy jedna wartość rośnie, druga maleje. Gdy jedna wartość maleje, druga wartość rośnie.

Zatem w przypadku bezpośrednia zależność obie wielkości zmieniają się w ten sam sposób (zarówno rosną, jak i maleją), aw przypadku odwrotna zależność- przeciwny (jeden rośnie, a drugi maleje lub odwrotnie).

Wyznaczanie zależności między wielkościami

Przykład 1

Czas potrzebny na wizytę u znajomego to 20 $ za minuty. Przy wzroście prędkości (pierwszej wartości) o 2$ dowiemy się, jak zmieni się czas (druga wartość), który spędzimy na drodze do przyjaciela.

Oczywiście czas zmniejszy się o 2 dolary razy.

Uwaga 3

Ta zależność nazywa się proporcjonalny:

Ile razy zmieni się jedna wartość, ile razy zmieni się druga.

Przykład 2

Za bochenek chleba za 2 dolary w sklepie trzeba zapłacić 80 rubli. Jeśli musisz kupić bochenki chleba za 4 $ (ilość chleba wzrasta 2 $ razy), o ile więcej będziesz musiał zapłacić?

Oczywiście koszt również wzrośnie o 2 dolary razy. Mamy przykład zależności proporcjonalnej.

W obu przykładach uwzględniono zależności proporcjonalne. Ale w przykładzie z bochenkami chleba wartości zmieniają się w jednym kierunku, dlatego zależność jest prosto. A w przykładzie z wycieczką do znajomego zależność między prędkością a czasem jest taka odwracać. Tak więc istnieje wprost proporcjonalna zależność oraz odwrotnie proporcjonalna zależność.

Bezpośrednia proporcjonalność

Rozważ proporcjonalne ilości 2 $: liczbę bochenków chleba i ich koszt. Niech bochenki chleba za 2 dolary kosztują 80 rubli. Przy zwiększeniu liczby rolek o 4 $ (8 $ rolek) ich łączny koszt wyniesie 320 $ rubli.

Stosunek liczby rzutów: $\frac(8)(2)=4$.

Współczynnik kosztu rzutu: $\frac(320)(80)=4$.

Jak widać, te proporcje są sobie równe:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicja 1

Nazywa się równość dwóch relacji proporcja.

Przy wprost proporcjonalnym stosunku stosunek uzyskuje się, gdy zmiana pierwszej i drugiej wartości jest taka sama:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicja 2

Te dwie wielkości są nazywane wprost proporcjonalna jeżeli przy zmianie (zwiększeniu lub zmniejszeniu) jednego z nich druga wartość zmieni się (odpowiednio zwiększy się lub zmniejszy) o tę samą wartość.

Przykład 3

Samochód przejechał 180$ km w 2$ godziny. Znajdź czas potrzebny mu na pokonanie 2$ razy tej samej odległości z tą samą prędkością.

Decyzja.

Czas jest wprost proporcjonalny do odległości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy odległość wzrośnie, przy stałej prędkości, czas wydłuży się o tę samą wartość:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Samochód przejechał 180$ km - w czasie 2$ za godzinę

Samochód przejeżdża $180 \cdot 2=360$ km - w czasie $x$ godzin

Im większy dystans przejedzie samochód, tym więcej czasu mu to zajmie. Dlatego związek między ilościami jest wprost proporcjonalny.

Zróbmy proporcję:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 4 $ godzin.

Odwrotna proporcjonalność

Definicja 3

Decyzja.

Czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy prędkość wzrasta, po tej samej ścieżce, czas zmniejsza się o tę samą wartość:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapiszmy stan problemu w formie tabeli:

Samochód przejechał 60$ km - w czasie 6$ godzin

Samochód przejeżdża 120$ km - w czasie $x$ godzin

Im szybszy samochód, tym mniej czasu zajmie. Dlatego zależność między wielkościami jest odwrotnie proporcjonalna.

Zróbmy proporcję.

Dlatego proporcjonalność jest odwrotna, zamieniamy drugi stosunek proporcjonalnie:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 3 $ godzin.

Dzisiaj przyjrzymy się, jakie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi, jak wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak to wszystko może ci się przydać nie tylko na lekcjach matematyki, ale także poza murami szkoły.

Takie różne proporcje

Proporcjonalność wymień dwie wielkości, które są od siebie zależne.

Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. Dlatego związek między wielkościami opisuje bezpośrednią i odwrotną proporcjonalność.

Bezpośrednia proporcjonalność- jest to taki związek między dwiema wielkościami, w którym wzrost lub spadek jednej z nich prowadzi do wzrostu lub zmniejszenia drugiej. Tych. ich postawa się nie zmienia.

Na przykład, im więcej wysiłku włożysz w przygotowanie się do egzaminów, tym wyższe będą Twoje oceny. Albo im więcej rzeczy zabierasz ze sobą na wędrówkę, tym trudniej jest nieść plecak. Tych. ilość wysiłku włożonego w przygotowanie do egzaminów jest wprost proporcjonalna do uzyskanych ocen. A ilość rzeczy spakowanych w plecaku jest wprost proporcjonalna do jego wagi.

Odwrotna proporcjonalność- jest to zależność funkcyjna, w której kilkukrotne zmniejszenie lub zwiększenie wartości niezależnej (nazywamy to argumentem) powoduje proporcjonalne (tj. o tę samą wielkość) zwiększenie lub zmniejszenie wartości zależnej (nazywamy to funkcją ).

Zilustrować prosty przykład. Chcesz kupić jabłka na rynku. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w portfelu są odwrotnie proporcjonalne. Tych. im więcej kupisz jabłek, tym mniej pieniędzy ci zostanie.

Funkcja i jej wykres

Funkcję odwrotnej proporcjonalności można opisać jako y = k/x. W którym x≠ 0 i k≠ 0.

Ta funkcja ma następujące właściwości:

1. Jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Zakres to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem y= 0. E(y): (-∞; 0) u (0; +∞) .
3. Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych.
4. Jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem pochodzenia.
5. Nieokresowe.
6. Jego wykres nie przecina osi współrzędnych.
7. Nie ma zer.
8. Jeśli k> 0 (czyli argument rośnie), funkcja maleje proporcjonalnie w każdym ze swoich przedziałów. Jeśli k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. W miarę wzrostu argumentu ( k> 0) wartości ujemne funkcji mieszczą się w przedziale (-∞; 0), a wartości dodatnie mieszczą się w przedziale (0; +∞). Kiedy argument jest malejący ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbolą. Przedstawiony w następujący sposób:

Odwrotne problemy proporcjonalne

Aby to wyjaśnić, spójrzmy na kilka zadań. Nie są zbyt skomplikowane, a ich rozwiązanie pomoże Ci zwizualizować, czym jest odwrotność proporcji i jak ta wiedza może przydać się w Twoim codziennym życiu.

Zadanie numer 1. Samochód porusza się z prędkością 60 km/h. Dotarcie do celu zajęło mu 6 godzin. Ile czasu zajmie mu pokonanie tej samej odległości, jeśli porusza się z dwukrotnie większą prędkością?

Możemy zacząć od zapisania wzoru opisującego zależność czasu, odległości i prędkości: t = S/V. Zgadzam się, to bardzo przypomina nam funkcję odwrotnej proporcjonalności. Oznacza to, że czas, jaki samochód spędza na drodze, i prędkość, z jaką się porusza, są odwrotnie proporcjonalne.

Aby to zweryfikować, znajdźmy V 2, który z założenia jest 2 razy wyższy: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Następnie obliczamy odległość za pomocą wzoru S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas t 2 wymagany od nas w zależności od stanu problemu: t 2 = 360/120 = 3 godziny.

Jak widać, czas podróży i prędkość są rzeczywiście odwrotnie proporcjonalne: przy prędkości 2 razy większej niż oryginalna samochód spędzi 2 razy mniej czasu na drodze.

Rozwiązanie tego problemu można również zapisać jako proporcję. Dlaczego tworzymy taki schemat:

↓ 60 km/h – 6 godz

↓120 km/h – x godz

Strzałki wskazują odwrotną zależność. Sugerują również, że podczas sporządzania proporcji należy odwrócić prawą stronę zapisu: 60/120 \u003d x / 6. Skąd mamy x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 godziny.

Zadanie numer 2. W warsztacie zatrudnionych jest 6 pracowników, którzy zadaną ilość pracy wykonują w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, ile czasu zajmie pozostałym pracownikom wykonanie takiej samej ilości pracy?

Warunki problemu piszemy w formie diagramu wizualnego:

↓ 6 pracowników - 4 godz

↓ 3 robotników - x godz

Zapiszmy to jako proporcję: 6/3 = x/4. I otrzymujemy x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 h. Jeśli pracowników jest 2 razy mniej, reszta poświęci 2 razy więcej czasu na wykonanie całej pracy.

Zadanie numer 3. Do basenu prowadzą dwie rury. Przez jedną rurę woda wpływa z prędkością 2 l / si napełnia basen w 45 minut. Inną rurą basen zostanie napełniony w 75 minut. Jak szybko woda wpływa do basenu przez tę rurę?

Na początek sprowadzimy wszystkie wielkości podane nam zgodnie ze stanem problemu do tych samych jednostek miary. Aby to zrobić, wyrażamy szybkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Ponieważ z warunku wynika, że ​​basen napełnia się wolniej drugą rurą, oznacza to, że prędkość dopływu wody jest mniejsza. Na twarzy odwrotnej proporcji. Wyraźmy nieznaną nam prędkość w postaci x i sporządźmy następujący schemat:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potem zrobimy proporcję: 120 / x \u003d 75/45, skąd x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

W zadaniu szybkość napełniania basenu wyrażona jest w litrach na sekundę, sprowadźmy naszą odpowiedź do tej samej postaci: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadanie numer 4. Wizytówki drukowane są w małej prywatnej drukarni. Pracownik drukarni pracuje z prędkością 42 wizytówek na godzinę i pracuje na pełny etat - 8 godzin. Gdyby pracował szybciej i drukował 48 wizytówek na godzinę, o ile szybciej mógłby wrócić do domu?

Idziemy w sprawdzony sposób i opracowujemy schemat zgodnie ze stanem problemu, oznaczając pożądaną wartość jako x:

↓ 42 wizytówki/h – 8 godz

↓ 48 wizytówek/h – xh

Przed nami zależność odwrotnie proporcjonalna: ile razy więcej wizytówek wydrukuje pracownik drukarni w ciągu godziny, tyle samo czasu zajmie mu wykonanie tej samej pracy. Wiedząc o tym, możemy ułożyć proporcję:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 godzin.

Tym samym, po wykonaniu pracy w 7 godzin, pracownik drukarni mógł wrócić do domu godzinę wcześniej.

Wniosek

Wydaje nam się, że te problemy z odwrotną proporcjonalnością są naprawdę proste. Mamy nadzieję, że teraz też tak je postrzegacie. A co najważniejsze, znajomość odwrotnie proporcjonalnej zależności ilości może naprawdę przydać Ci się nie raz.

Nie tylko na lekcjach matematyki i egzaminach. Ale nawet wtedy, gdy wybierasz się na wycieczkę, zakupy, postanawiasz dorobić w wakacje itp.

Powiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnej i bezpośredniej proporcjonalności zauważasz wokół siebie. Niech to będzie gra. Zobaczysz, jakie to ekscytujące. Nie zapomnij udostępnić tego artykułu portale społecznościowe aby twoi przyjaciele i koledzy z klasy również mogli grać.

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

>>Matematyka: bezpośrednia proporcjonalność i jej wykres

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Wśród funkcji liniowych y = kx + m wyróżnia się przypadek, gdy m = 0; w tym przypadku przyjmuje postać y = kx i nazywa się to proporcjonalnością bezpośrednią. Nazwę tę tłumaczy fakt, że dwie wielkości y i x nazywane są wprost proporcjonalnymi, jeśli ich stosunek jest równy określonemu
liczba różna od zera. Tutaj ta liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Wiele rzeczywistych sytuacji jest modelowanych przy użyciu bezpośredniej proporcjonalności.

Na przykład droga s i czas t przy stałej prędkości 20 km/h są powiązane zależnością s = 20t; jest to bezpośrednia proporcjonalność, gdzie k = 20.

Inny przykład:

koszt y i liczbę x bochenków chleba w cenie 5 rubli. na bochenek są powiązane zależnością y = 5x; jest to bezpośrednia proporcjonalność, gdzie k = 5.

Dowód. Zróbmy to w dwóch etapach.
1. y \u003d kx - szczególny przypadek funkcja liniowa, a wykresem funkcji liniowej jest linia prosta; oznaczmy to przez I.
2. Para x \u003d 0, y \u003d 0 spełnia równanie y - kx, a zatem punkt (0; 0) należy do wykresu równania y \u003d kx, czyli linii I.

Dlatego linia I przechodzi przez początek. Twierdzenie zostało udowodnione.

Trzeba umieć przejść nie tylko z modelu analitycznego y \u003d kx do geometrycznego (wykres bezpośredniej proporcjonalności), ale także z geometrycznego modele do analitycznego. Rozważmy na przykład linię prostą na płaszczyźnie współrzędnych xOy pokazaną na rysunku 50. Jest to wykres bezpośredniej proporcjonalności, wystarczy znaleźć wartość współczynnika k. Ponieważ y wystarczy wziąć dowolny punkt na linii i znaleźć stosunek rzędnej tego punktu do jego odciętej. Linia prosta przechodzi przez punkt P (3; 6) i dla tego punktu mamy: Stąd k = 2, a zatem dana prosta służy jako wykres bezpośredniej proporcjonalności y \u003d 2x.

W rezultacie współczynnik k w zapisie funkcji liniowej y \u003d kx + m jest również nazywany nachyleniem. Jeśli k>0, to linia y \u003d kx + m tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi x (ryc. 49, a), a jeśli k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Treść lekcji podsumowanie lekcji rama pomocnicza prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samoocena warsztaty, ćwiczenia, przypadki, questy praca domowa dyskusja pytania pytania retoryczne od uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzonka, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły żetony dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowy i dodatkowy słowniczek terminów inne Ulepszanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementy innowacji na lekcji zastępowanie przestarzałej wiedzy nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje