Wiadomo, że 45 liczb i przez 7. Podzielność liczb całkowitych i reszt - odpisać antoshka

To stwierdzenie jest oznaką podzielności przez liczby, którą można przedstawić jako iloczyn dwóch liczb względnie pierwszych.

Na przykład, skoro 6 = 2 ∙ 3 i D (2, 3) = 1, otrzymujemy znak podzielności przez 6. Aby liczba naturalna była podzielna przez 6, konieczne i wystarczające jest aby była podzielne przez 2 i 3 .

Pamiętaj, że z tej funkcji można korzystać wielokrotnie.

c) Prywatne, uzyskane przez podzielenie dwóch podanych liczb i
ich największym wspólnym dzielnikiem są względnie pierwsze
liczby.

Ta właściwość może być wykorzystana podczas sprawdzania poprawności znalezionego największego wspólnego dzielnika danych liczb. Na przykład sprawdźmy, czy liczba 12 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 24 i 36. Aby to zrobić, zgodnie z ostatnim stwierdzeniem, dzielimy 24 i 36 przez 12. Otrzymujemy odpowiednio liczby 2 i 3, które są względnie pierwsze. Stąd,

D(24, 36) = 12.

Ćwiczenia

1. Podano liczby 36 i 45.

a) Znajdź wszystkie wspólne dzielniki tych liczb.

b) Czy możesz wymienić wszystkie ich wspólne wielokrotności?

c) Znajdź trzy trzycyfrowe liczby, które są wspólnymi wielokrotnościami podanych liczb.

d) Czym są D(36,45) i K(36,45)? Jak sprawdzić poprawność otrzymanych odpowiedzi?

2. Czy wpisy są poprawne:

a) D(32,8) = 8 i K(32,8) = 32;

b) D(17,35)=1 i K(17,35)=595;

c) D(255,306) = 17 i K(255,306),= 78030,

3. Znajdź K(a, b), jeśli wiadomo, że:

a) a = 47,b=105 i D(47,105)= 1;

b) a = 315, b = 385 i D (315,385) = 35.

4. Sformułuj znaki podzielności przez 12,15,18,36,45,75.

5. Ze zbioru liczb 1032, 2964,5604,8910, 7008 wypisz te, które są podzielne przez 12.

6. Czy 548 i 942 są podzielne przez 18?

7. Do liczby 15 dodaj po lewej i prawej stronie; jedna cyfra, aby wynikowa liczba była podzielna przez 15.

8. Znajdź liczby a i 6 z liczby 72, jeśli wiadomo, że ta liczba jest podzielna przez 45.

9 Bez mnożenia i dzielenia przez róg określ, który z poniższych iloczynów jest podzielny przez 30:

a) 105∙20; 6)47∙12∙5; c) 85∙33∙7.

10. Bez wykonywania dodawania lub odejmowania określ, które wyrażenia są podzielne przez 36.

a) 72 + 180 + 252; c) 180 + 252 + 100;

b) 612-432; d) 180 + 250 + 200.

91. Liczby pierwsze

Liczby pierwsze odgrywają dużą rolę w matematyce - w istocie są "cegłami", z których budowane są złożone początki. Stwierdza się to w twierdzeniu zwanym podstawowym twierdzeniem arytmetyki liczb naturalnych, które jest podane bez dowodu:

Twierdzenie: Każda liczba złożona może być jednoznacznie reprezentowana jako iloczyn czynników pierwszych.

Na przykład zapis 110 = 2∙5∙11 jest reprezentacją liczby 110 jako iloczynu czynników pierwszych lub jej rozkładu na czynniki pierwsze.

Dwie dekompozycje liczby na czynniki pierwsze są uważane za takie same, jeśli różnią się od siebie tylko w kolejności czynników. Zatem reprezentacja liczby 110 jako iloczyn 2∙5∙11 lub iloczynu 5∙2∙11 jest w istocie tym samym rozkładem liczby 110 na czynniki pierwsze.

Rozkładając liczby na czynniki pierwsze, posługują się znakami podzielności przez 2, 3, 5 itd. Przypomnijmy sobie jeden ze sposobów zapisania rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Rozłóżmy na przykład liczbę 90. Liczba 90 jest podzielna przez 2. Stąd 2 jest jednym z czynników pierwszych w rozkładzie liczby 90. Podzielmy 90 przez 2. Piszemy liczbę 2 po prawej stronie znak równości i iloraz 45 pod liczbą 90. Liczba Dzielimy 45 przez liczbę pierwszą 3, otrzymujemy 15. Dzielimy 15 przez 3, otrzymujemy 5. Liczba 5 jest liczbą pierwszą, gdy dzielimy ją przez 5 otrzymujemy 1. Faktoryzacja jest zakończona.

90 = 2∙3∙3∙5

Podczas rozkładania liczby na czynniki pierwsze iloczyn identycznych czynników jest reprezentowany jako potęga: 90 = 2∙3 2∙5; 60 = 2 2 3∙5; 72 = 2 3 3 2 . Taki rozkład liczby na czynniki pierwsze nazywamy kanonicznym.

W związku z możliwością przedstawienia dowolnej liczby złożonej jako iloczynu czynników pierwszych konieczne staje się ustalenie, czy dana liczba jest liczbą pierwszą czy złożoną. Starożytni matematycy greccy, którzy znali wiele własności liczb pierwszych, byli już w stanie rozwiązać ten problem. Tak więc Eratostenes (III wiek pne) wynalazł metodę uzyskiwania liczb pierwszych nieprzekraczających liczby naturalnej a. Użyjmy go, aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze do 50.

Zapisujemy wszystkie liczby naturalne od 1 do 50 i wykreślamy liczbę 1 - nie jest liczbą pierwszą. Liczba 2 jest liczbą pierwszą, zakreśl ją. Następnie wykreślamy co drugą liczbę po 2, tj. numery 4,6,8,...

Pierwsza nie przekreślona liczba 3 jest liczbą pierwszą, zakreśl ją. I wykreśl co trzecią liczbę po 3, tj. cyfry 9, 15, ... (numery 6,12 itd. są przekreślone wcześniej).

Pierwsza nie przekreślona cyfra 5 to liczba pierwsza, również ją zakreślimy. Wykreśl co piątą liczbę po 5 itd.

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Liczby, które pozostają po czterech skreśleniach (z wyjątkiem liczb 2,3,5 i 7) nie są podzielne przez 2, 3, 5 lub 7. W arytmetyce udowodniono, że jeśli liczba naturalna a jest większa od jeden , nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych, których kwadrat nie przekracza o, to a liczba jest pierwsza. Ponieważ 7 2 = 49 i 49< 50, то все оставшиеся числа - простые.

Liczby pierwsze nieprzekraczające 50 to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Opisana metoda uzyskiwania liczb pierwszych nazywana jest sitem Eratostenesa, ponieważ pozwala na odsiewanie liczb złożonych jedna po drugiej.

Stosując metodę zaproponowaną przez Eratostenesa można znaleźć wszystkie liczby pierwsze, które nie przekraczają danej liczby a. Ale nie odpowiada na pytanie, czy zbiór liczb pierwszych jest skończony, czy nie, bo mogłoby się okazać, że wszystkie liczby, zaczynając od jakiejś liczby, są złożone, a zbiór liczb pierwszych jest skończony. Inny grecki matematyk, Euklides, zajął się tym problemem. Udowodnił, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.

Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony i wyczerpany przez liczby 2, 3, 5, 7, 7 - największą liczbę pierwszą. Mnożymy wszystkie liczby pierwsze i oznaczamy ich iloczyn przez a. Dodajmy do tej liczby 1. Jaka będzie liczba wynikowa

i + 1 - prosty czy złożony?

Liczba pierwsza a+1 nie może być, ponieważ jest większa od największej liczby pierwszej, a z założenia takie liczby nie istnieją. Ale nie może też być złożona: if a+ 1 .composite, to musi mieć co najmniej jeden dzielnik pierwszy q. Od liczby

a = 2∙3∙5∙...∙ R jest również podzielna przez tę liczbę pierwszą q, to różnica ( a + 1) - a, tj. liczba 1 jest podzielna przez q, co jest niemożliwe.

Tak więc liczba a nie jest ani pierwsza, ani złożona, ale to też nie może być - każda liczba inna niż 1 jest albo pierwsza, albo złożona. Dlatego nasze twierdzenie, że zbiór liczb pierwszych jest skończony i jest największą liczbą pierwszą, jest fałszywe, a zatem zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.

Ćwiczenia

1. Ze zbioru liczb 13, 27, 29, 51, 67 wypisz proste
liczb i faktoryzacji kompozytów na czynniki pierwsze.

2. Udowodnij, że liczba 819 nie jest liczbą pierwszą.

3. Podziel liczby 124.588.2700.3780 na czynniki pierwsze.

4. Jaka liczba ma rozkład:

a) 2 3 3 2 7 ∙ 13; b) 2 2 ∙ 3 ∙ 5 3 ?

Jeden z najbardziej charyzmatycznych i wybitnych twórców kina rosyjskiego zniknął ostatnio z oczu opinii publicznej. O Aleksandrze Domogarowie słyszy się tak niewiele, że wielu jego fanów może uznać, że aktor odciął się od świata. Jednak regularnie przypomina sobie o sobie w sieciach społecznościowych, gdzie kilka godzin temu pojawił się niepokojący post.

Przypomnijmy, że 53-latek Artysta narodowy Rosja, oprócz kręcenia filmu, z przyjemnością i dumą bawi się w teatrze. Od 1995 roku Domogarov służy w Teatrze Rady Miejskiej Moskwy, gdzie grał role w wielu przedstawieniach, z których trzy znajdują się w aktualnym repertuarze. Aktor jest uważany za gwiazdę tego teatru, zdjęcia z Domogarovem na scenie zdobią wejście, wielu fanów idzie na przedstawienia z jego udziałem.

Ale w swojej publikacji w Aleksandrze Juriewicz powiedział, że został „usunięty z przedstawień” i „to jest bardzo poważne”.

Usunięto z występów! Więc wytrzymaj! Czuję się spokojniej niż wchodzenie i przywitanie się z „kolegami”, którzy plują w plecy! - pisze artysta. - Nie pozwolę już, z jakiegoś powodu, odwoływać i mianować, usuwać i wracać, dawać w trasie lub nie dawać. ... Ale jak tylko usunięto mnie ze wszystkich przedstawień, ku uciesze moich "kolegów", napisano oświadczenie. Napisany 9 stycznia. Nie został jeszcze podpisany. Ale, drodzy koledzy, będzie to podpisane, nawet czysto legalne. Wszystkie nasze umowy z teatrem zostaną z mojej strony spełnione, więc czasami będziecie musieli cierpieć mnie "kolegów", kiedy będę musiała odebrać swoje rzeczy w garderobie, a w przyszłości teatr zapomni, tak jak zapomniałeś spektakle, które trwały 10-12 lat, zbierając sale, a zapomnisz, jak je zniszczyłeś. Żyj, Bóg jest twoim sędzią. Żegnajcie koledzy.

Dotarliśmy do Aleksandra Domogarowa z prośbą o komentarz na temat sytuacji.

Nie czytacie moich postów, bo jest w nich trochę prawdy i tylko ułamek. Ale w zasadzie odpowiada to rzeczywistości - odpowiedział Aleksander Domogarow i odłożył słuchawkę.

Przypomnijmy, że Aleksander Domogarow był oficjalnie żonaty trzykrotnie. Pierwsza żona Natalia Sagoyan urodziła syna Dmitrija. 10 lat temu pierworodny aktor zginął w wypadku. Od swojej drugiej żony, Iriny Gunenkovej, aktor ma syna Aleksandra Domogarowa, został również aktorem. Trzecia żona, aktorka Natalya Gromushkina, wyszła za niego za mąż przez 4 lata. Trzy lata temu aktor powiedział: „Mój syn zginął w wypadku samochodowym, nie znalazłem końca, ale nie złościłem się na Kraj! Na całym świecie tak - są silni i są nietykalni. Ale sam rozwiążę i rozwiążę mój problem. I rozwiążę to, ale nie będę skomleć na moc i tych u władzy. Zdecyduję i zdecyduję. A kraj daje mi taką możliwość”.

Opcja nr 4557112

Wykonując zadania z krótką odpowiedzią, wprowadź w polu odpowiedzi liczbę odpowiadającą numerowi prawidłowej odpowiedzi lub liczbę, słowo, ciąg liter (słów) lub cyfr. Odpowiedź powinna być napisana bez spacji i dodatkowych znaków. Oddziel część ułamkową od całego przecinka dziesiętnego. Jednostki miary nie są wymagane.

Jeśli opcja jest ustawiona przez nauczyciela, możesz wprowadzić lub wgrać do systemu odpowiedzi na zadania wraz ze szczegółową odpowiedzią. Nauczyciel zobaczy wyniki zadań z krótkimi odpowiedziami i będzie mógł ocenić przesłane odpowiedzi do zadań z długimi odpowiedziami. Punkty przyznane przez nauczyciela pojawią się w Twoich statystykach.

Wersja do drukowania i kopiowania w MS Word

Liczby zapisywane są w rzędzie: , , ..., , Znaki „+” i „-” są losowo umieszczane między nimi i znajduje się wynikowa suma.

Czy ta kwota może być równa:

a) -4 jeśli ?

b) 0 jeśli ?

c) 0 jeśli ?

d) -3 jeśli ?

Długości boków prostokąta są liczbami naturalnymi, a jego obwód wynosi 200. Wiadomo, że długość jednego boku prostokąta wynosi n n jest również liczbą naturalną.

n>100.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Powstaje kilka (niekoniecznie różnych) liczb naturalnych. Liczby te i wszystkie ich możliwe sumy (o 2, o 3 itd.) są wypisane na tablicy w kolejności niemalejącej. Jeśli jakaś liczba n zapisany na tablicy powtarza się kilka razy, a następnie zostaje na tablicy jeden taki numer n, a pozostałe liczby to n, są usuwane. Na przykład, jeśli wymyślimy liczby 1, 3, 3, 4, to na tablicy zostanie zapisany zestaw 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

a) Podaj przykład liczb poczętych, dla których zostanie zapisany na tablicy zestaw 2, 4, 6, 8, 10.

b) Czy istnieje przykład takich wyobrażonych liczb, dla których zestaw 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22 zostanie zapisany na deska?

c) Podaj wszystkie przykłady zamierzonych liczb, dla których na tablicy zostanie zapisany zestaw 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Długości boków prostokąta są liczbami naturalnymi, a jego obwód wynosi 4000. Wiadomo, że długość jednego boku prostokąta wynosi n% długości drugiej strony, gdzie n jest również liczbą naturalną.

że co najwyższa wartość może zająć powierzchnię prostokąta?

b) Co? najmniejsza wartość może zająć powierzchnię prostokąta?

c) Znajdź wszystkie możliwe wartości, jakie może przyjąć pole prostokąta, jeśli dodatkowo wiadomo, że n

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Jest 8 kart. Każda z liczb 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 jest na nich zapisana pojedynczo. Karty są odwracane i tasowane. Na ich czystych stronach, każda z liczb 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 jest zapisywana pojedynczo.Następnie liczby na każdej karcie są sumowane, a wynik osiem sum jest mnożonych.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Pomyślano kilka liczb całkowitych. Zbiór tych liczb i wszystkie ich możliwe sumy (przez 2, przez 3 itd.) są wypisane na tablicy w kolejności niemalejącej. Na przykład, jeśli wymyślone zostaną liczby 2, 3, 5, to na tablicy zostanie zapisany zestaw 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

a) Na tablicy zapisano zestaw -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Jakie liczby zostały wymyślone?

b) Dla kilku różnych liczb poczętych w zbiorze zapisanych na tablicy liczba 0 występuje dokładnie 4 razy. Jaka jest najmniejsza liczba liczb, które można sobie wyobrazić?

c) Dla niektórych liczb poczętych na tablicy zapisuje się zestaw. Czy zawsze można jednoznacznie określić zamierzone liczby z tego zestawu?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Przed każdą z cyfr 14, 15, . . ., 20 i 4, 5, . . ., 8 arbitralnie wstawia znak plus lub minus, po czym każda z utworzonych liczb drugiego zestawu jest odejmowana od każdej z utworzonych liczb pierwszego zestawu, a następnie dodaje się wszystkie 35 wyników. Jakie jest najmniejsze modulo i jaka jest największa kwota, jaką można w efekcie uzyskać?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Jest 8 kart. Każdy z numerów jest na nich napisany pojedynczo:

Karty są odwracane i tasowane. Na czystych stronach ponownie piszą jedną z liczb:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Następnie liczby na każdej karcie są sumowane, a powstałe osiem kwot jest mnożonych.

a) Czy wynik może wynosić 0?

b) Czy wynik może wynosić 117?

c) Jaka jest najmniejsza nieujemna liczba całkowita, która może dać wynik?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Liczba jest taka, że dla każdej reprezentacji jako sumy warunków dodatnich, z których każdy nie przekracza tych warunków, można podzielić je na dwie grupy, tak że każdy termin należy do tylko jednej grupy, a suma terminów w każdej grupie nie przekroczyć

a) Czy liczba może być równa?

b) Czy liczba może być większa?

c) Znajdź maksymalną możliwą wartość

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Podano ciąg arytmetyczny (z różnicą różną od zera) złożony z liczb naturalnych, których zapis dziesiętny nie zawiera cyfry 9.

(a) Czy w takiej progresji może być dziesięć terminów?

b) Wykazać, że liczba jego członków jest mniejsza niż 100.

c) Udowodnić, że liczba terminów w takiej progresji wynosi maksymalnie 72.

d) Podaj przykład takiej progresji z 72 członkami

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Każda z liczb 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 jest zapisana jedna po drugiej na 8 kartach. Karty są odwracane i tasowane. Na ich czystych stronach, każda z cyfr 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 jest zapisywana ponownie pojedynczo.Następnie liczby na każdej karcie są sumowane, a powstałe osiem sum jest mnożonych.

a) Czy wynik może wynosić 0?

b) Czy wynik może być 1?

c) Jaka jest najmniejsza nieujemna liczba całkowita, która może dać

odnieść sukces?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Na tablicy jest wypisana liczba 7. Raz na minutę Wasia zapisuje na tablicy jedną liczbę: albo dwa razy większą niż jedna z liczb na tablicy, albo równa sumie dwóch liczb zapisanych na tablicy (a więc za minutę na tablicy numer pojawi się druga liczba, po dwóch trzecia itd.).

a) Czy liczba 2012 może w którymś momencie pojawić się na tablicy?

b) Czy suma wszystkich liczb na planszy może w pewnym momencie wynieść 63?

c) Jaki jest najkrótszy czas pojawienia się liczby 784 na planszy?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Znajdź wszystkie liczby pierwsze b, dla których jest liczba całkowita aże ułamek można zmniejszyć o b.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Liczby naturalne od 1 do 20 dzielą się na cztery grupy, z których każda zawiera co najmniej dwie liczby. Dla każdej grupy znajdź sumę liczb w tej grupie. Dla każdej pary grup znajduje się moduł różnicy między znalezionymi sumami i dodaje się wynikowe 6 liczb.

a) Czy wynik może wynosić 0?

b) Czy wynik może być 1?

c) Jaka jest najmniejsza możliwa wartość otrzymanego wyniku?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Przed każdą z cyfr 3, 4, 5, . . . 11 i 14, 15, . . . 18 arbitralnie wstawiamy znak plus lub minus, po czym każda z uformowanych liczb z drugiego zbioru jest dodawana do każdej z uformowanych liczb z pierwszego zbioru, a następnie dodawane są wszystkie 45 wyników. Jaka jest najmniejsza suma modulo i jaka jest największa suma, jaką można w rezultacie uzyskać?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Liczby od 10 do 21 zapisuje się raz w kółku w określonej kolejności.Dla każdej z dwunastu par sąsiednich liczb znaleziono ich największy wspólny dzielnik.

a) Czy to możliwe, że wszystkie największe wspólne dzielniki są równe 1?

b) Czy to możliwe, że wszystkie największe wspólne dzielniki są parami różne?

c) Jaka jest największa liczba parami odrębnych największych wspólnych dzielników, jaką można uzyskać?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Każda z cyfr 5, 6, . . ., 9 mnoży się przez każdą z liczb 12, 13, . . ., 17 i przed każdym dowolnym obrazem umieść znak plus lub minus, po którym dodawane są wszystkie 30 wyników. Jaka jest najmniejsza suma modulo i jaka jest największa suma, jaką można w rezultacie uzyskać?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Liczby naturalne od 1 do 21 zostały w jakiś sposób umieszczone na okręgu (każda cyfra została umieszczona raz). Następnie dla każdej pary sąsiednich liczb znaleźliśmy różnicę między większymi a mniejszymi.

a) Czy wszystkie wynikające z tego różnice mogą wynosić co najmniej 11?

b) Czy wszystkie wynikające z tego różnice mogą wynosić co najmniej 10?

c) Oprócz uzyskanych różnic, dla każdej pary liczb, która przeszła przez jeden, znaleźli różnicę między większymi i mniejszymi. Bo jaka jest największa liczba całkowita k możesz ułożyć liczby w taki sposób, aby wszystkie różnice były nie mniejsze niż k?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

a) Na tablicy zapisano zestaw -6, -2, 1, 4, 5, 7, 11. Jakie liczby zostały wymyślone?

b) Dla kilku różnych liczb poczętych w zbiorze zapisanych na tablicy liczba 0 występuje dokładnie 7 razy. Jaka jest najmniejsza liczba liczb, które można sobie wyobrazić?

c) Dla niektórych liczb poczętych na tablicy zapisuje się zestaw. Czy zawsze można jednoznacznie określić zamierzone liczby z tego zestawu?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

n n n

a) Podaj przykład liczb poczętych, dla których zostanie zapisany na tablicy zestaw 2, 4, 6, 8.

b) Czy istnieje przykład takich wymyślonych liczb, dla których zbiór 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22 zostanie zapisany na deska?

c) Podaj wszystkie przykłady zamierzonych liczb, dla których na tablicy zostanie zapisany zestaw 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Znajdź ułamek nieredukowalny taki, że

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

a) Ile jest sposobów zapisania liczby 1292 w postaci, w której liczby są liczbami całkowitymi,

b) Czy istnieje 10 różnych liczb, które mogą być reprezentowane jako liczby całkowite na dokładnie 130 sposobów?

c) Ile liczb N jest takich, że można je przedstawić w postaci, w której liczby są liczbami całkowitymi na dokładnie 130 sposobów?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

a) Podaj przykład liczb poczętych, dla których zostanie zapisany na tablicy zbiór 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

b) Czy istnieje przykład takich wyobrażonych liczb, dla których zestaw 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 zostanie zapisany na deska?

c) Podaj wszystkie przykłady liczb poczętych, dla których zostanie zapisany na tablicy zbiór 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Kola pomnożył pewną liczbę naturalną przez sąsiednią liczbę naturalną i uzyskał iloczyn równy m. Wowa pomnożył pewną parzystą liczbę naturalną przez sąsiednią parzystą liczbę naturalną i uzyskał iloczyn równy n.

m oraz n równy 6?

m oraz n równa 13?

m oraz n?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Wśród zwykłych ułamków o dodatnich mianownikach znajdujących się między liczbami znajdź ten, którego mianownik jest minimalny.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Każda z grup uczniów poszła do kina lub do teatru, przy czym niewykluczone, że jeden z nich mógł chodzić zarówno do kina, jak i do teatru. Wiadomo, że w teatrze nie było więcej chłopców niż całkowita liczba uczniów w grupie, którzy odwiedzili teatr, aw kinie nie było więcej chłopców niż łączna liczba uczniów w grupie, którzy odwiedzili kino.

a) Czy w grupie może być 9 chłopców, jeśli dodatkowo wiadomo, że w grupie było w sumie 20 uczniów?

b) Jaka jest największa liczba chłopców MOGŁA być w grupie, jeśli dodatkowo wiadomo, że w grupie było 20 uczniów?

c) Jaki był najmniejszy udział dziewcząt w ogólnej liczbie uczniów w grupie bez dodatkowego warunku punktów aib?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Mając trzycyfrową liczbę naturalną (liczba nie może zaczynać się od zera), która nie jest wielokrotnością 100.

a) Czy iloraz tej liczby i sumy jej cyfr może być równy 82?

b) Czy iloraz tej liczby i sumy jej cyfr może być równy 83?

c) Jaka jest największa wartość naturalna danej liczby i suma jej cyfr?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

W kraju Delphinia obowiązuje następujący system podatku dochodowego ( jednostka walutowa Delfiny - złote):

a) Dwaj bracia zarobili łącznie 1000 sztuk złota. Jak najbardziej opłaca się im rozdzielać te pieniądze między siebie, aby rodzina miała jak najwięcej? więcej pieniędzy po odliczeniu podatku? Podczas dzielenia każdy otrzymuje całkowitą liczbę sztuk złota.

b) Jak najlepiej rozdzielić te same 1000 sztuk złota pomiędzy trzech braci, pod warunkiem, że każdy z nich otrzyma również całkowitą liczbę złotych monet?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Petya pomnożył pewną liczbę naturalną przez sąsiednią liczbę naturalną i uzyskał iloczyn równy a. Wasia pomnożył pewną parzystą liczbę naturalną przez sąsiednią parzystą liczbę naturalną i uzyskał iloczyn równy b.

a) Czy moduł różnicy liczb? a oraz b równa się 8?

b) Czy moduł różnicy liczb? a oraz b równa się 11?

c) Jakie wartości modułu może przyjąć różnica liczb a oraz b?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Znajdź wszystkie takie pary liczb naturalnych i takie, że jeśli zapis dziesiętny liczby zostanie dodany do zapisu dziesiętnego liczby po prawej stronie, otrzymasz liczbę większą niż iloczyn liczb i przez

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Na tablicy zapisanych jest ponad 40, ale mniej niż 48 liczb całkowitych. Średnia arytmetyczna tych liczb to -3, średnia arytmetyczna wszystkich dodatnich to 4, a średnia arytmetyczna wszystkich ujemnych to -8.

a) Ile liczb jest zapisanych na tablicy?

b) Jakie liczby są pisane częściej: dodatnie czy ujemne?

c) Jaka jest największa wśród nich liczba liczb dodatnich?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Dostępne są bloki kamienne: 50 szt. 800 kg, 60 szt. 1000 kg i 60 szt. 1500 kg (bloków nie można rozłupać).

a) Czy możliwe jest wywiezienie wszystkich tych klocków jednocześnie na 60 ciężarówkach o ładowności 5 ton każda, przy założeniu, że wybrane klocki zmieszczą się w ciężarówce?

b) Czy możliwe jest wywiezienie wszystkich tych klocków jednocześnie na 38 ciężarówkach o ładowności 5 ton każda, przy założeniu, że wybrane klocki zmieszczą się w ciężarówce?

c) Jaka jest najmniejsza liczba samochodów ciężarowych o ładowności 5 ton każda, która będzie potrzebna do wywiezienia wszystkich tych bloków jednocześnie, przy założeniu, że wybrane bloki mieszczą się na ciężarówce?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Mając trzycyfrową liczbę naturalną (liczba nie może zaczynać się od zera), która nie jest wielokrotnością 100.

a) Czy iloraz tej liczby i sumy jej cyfr może być równy 90?

b) Czy iloraz tej liczby i sumy jej cyfr może być równy 88?

c) Jaka jest największa wartość naturalna danej liczby i suma jej cyfr?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

a) Ile liczb jest zapisanych na tablicy?

b) Jakie liczby są pisane częściej: dodatnie czy ujemne?

c) Jaka jest największa wśród nich liczba liczb dodatnich?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

są podane n różne liczby naturalne składające się na ciąg arytmetyczny

a) Czy suma wszystkich podanych liczb może być równa 14?

b) Jaka jest największa wartość n czy suma wszystkich podanych liczb jest mniejsza niż 900?

c) Znajdź wszystkie możliwe wartości n jeśli suma wszystkich podanych liczb wynosi 123.

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Czy można podać przykład pięciu różnych liczb naturalnych, których iloczyn jest równy 1512 i

b) cztery;

czy tworzą postęp geometryczny?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Znajdź wszystkie liczby pierwsze, dla których każda z nich jest liczbą całkowitą taką, że ułamek może być zmniejszony o

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Podano ciąg liczb naturalnych, a każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego 10 lub 6 razy. Suma wszystkich wyrazów w ciągu wynosi 257.

a) Jaka jest najmniejsza liczba terminów, które mogą występować w tej kolejności?

b) Jaka jest maksymalna liczba członków, które mogą znajdować się w tej kolejności?

Rozwiązania zadań ze szczegółową odpowiedzią nie są sprawdzane automatycznie.
Na następnej stronie zostaniesz poproszony o samodzielne ich sprawdzenie.

Jeśli dwie liczby a oraz b przy dzieleniu przez liczbę m daj tę samą resztę, wtedy mówimy, że a jest przystające do b modulo m. Zapisz to w ten sposób a b (mod m)

Jeśli a > b, to największy wspólny dzielnik a oraz b jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi a-b oraz b.

Rozważ te właściwości podczas rozwiązywania problemów:

1. Ile liczb naturalnych jest mniej niż 1000, które nie są podzielne przez 5 lub 7?

Decyzja: Wykreślamy z 999 liczb mniej niż 1000 liczb, które są wielokrotnościami 5: jest ich 199 (999/5 = 199). Następnie wykreślamy liczby będące wielokrotnościami 7: jest ich 142 (999/7 = 142). Ale wśród liczb, które są wielokrotnościami 7, jest 28 (999/35 = 28) liczb, które są jednocześnie wielokrotnościami 5; zostaną przekreślone dwukrotnie. W sumie powinniśmy skreślić 199 + 142 - 28 = 313 liczb.

Pozostaje 999 - 313 = 686. Odpowiedź: 686 numerów.

2. Znajdź resztę 2009⋅2010⋅2011+2012 2 podzieloną przez 7.

Rozwiązanie problemu

Biorąc pod uwagę, że 2009⋮7, reszta będzie 2012 2 3 2 ≡ 2(mod7)

3. Wiadomo, że reszta po podzieleniu liczby aa przez 19 wynosi 7, a liczba b przez 19 równa się 11. Znajdź resztę po podzieleniu przez 19 liczby ab(a+b)(a−b).

Rozwiązanie problemu

Zauważ, że ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) = −224 = −228+4 ≡ 4(mod19)

4. Udowodnij, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych nie może, po podzieleniu przez 8, pozostawić reszty równej 7.

Decyzja

Każda liczba całkowita po podzieleniu przez 8 ma resztę z jednej z następujących ośmiu liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, więc kwadrat liczby całkowitej ma resztę po podzieleniu przez 8, jedną z trzy liczby 0, 1, 4. Aby suma kwadratów trzech liczb miała resztę 7 po podzieleniu przez 8, konieczne jest, aby spełniony był jeden z dwóch przypadków: albo jeden z kwadratów, albo wszystkie trzy, podzielone przez 8, mają nieparzyste reszty.

W pierwszym przypadku nieparzysta reszta wynosi 1, a suma dwóch parzystych reszt wynosi 0, 2, 4, czyli suma wszystkich reszt wynosi 1, 3, 5. W tym przypadku reszta 7 nie może być uzyskany. W drugim przypadku trzy nieparzyste reszty to trzy jedynki, a reszta z całej sumy to 3. Zatem 7 nie może być resztą, gdy suma kwadratów trzech liczb całkowitych jest podzielona przez 8.

5. Czy istnieją liczby naturalne nn takie, że n 2 +n+1 jest podzielne do 2014 roku?

Rozwiązanie problemu

Zauważ, że n 2 + n = n(n + 1) jest podzielne przez 2, ponieważ jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb, co oznacza, że n 2 + n + 1 jest zawsze nieparzyste (można to również zobaczyć za pomocą małego twierdzenia Fermata : n 2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2).

Ponieważ liczba 2014 jest parzysta, nie ma n takich, że liczba n 2 +n+1 jest podzielna przez 2014 (gdyby takie n istniało, byłoby to sprzeczne z faktem, że n 2 +n+1 jest nieparzyste).

6. C Czy istnieje dziesięciocyfrowa liczba podzielna przez 11, w której każda cyfra występuje raz?

Ja tak. Wypisując liczby trzycyfrowe podzielne przez 11, można znaleźć wśród nich trzy liczby, w zapisie których biorą udział wszystkie liczby od 0 do 9. Na przykład 275, 396.418. Za ich pomocą możesz utworzyć dziesięciocyfrową liczbę podzielną przez 11. Na przykład:

2753964180 = 275 107 + 396 107 + 418 10 = 11 (25 107 + 36 104 + 38 10).

II sposób. Aby znaleźć wymaganą liczbę, stosujemy kryterium podzielności przez 11, zgodnie z którym liczby n = a 1 a 2 a 3 ... a 10 (w ta sprawa a ja nie są czynnikami, ale cyfry w zapisie liczby n) i S (n) \u003d a 1 - a 2 + a 3 - ... - a 10 są jednocześnie podzielne przez 11.

Niech A będzie sumą cyfr zawartych w S(n) ze znakiem „+”, B będzie sumą cyfr zawartych w S(n) ze znakiem „-”. Liczba A-B, w zależności od stanu problemu, powinna być podzielna przez 11. Załóżmy, że B - A \u003d 11, dodatkowo oczywiście A + B \u003d 1 + 2 + 3 + ... + 9 \u003d 45. Rozwiązanie powstałego systemu B - A \u003d 11 , A + B \u003d 45, znajdujemy, A \u003d 17, B \u003d 28. Wybierzmy grupę pięciu różnych liczb o sumie 17. Na przykład 1 + 2 + 3 + 5 + 6 \u003d 17. Przyjmiemy te liczby jako liczby z liczbami nieparzystymi . Jako cyfry parzyste przyjmujemy pozostałe - 4, 7, 8, 9, 0.

Widzimy, że warunek problemu spełnia np. numer 1427385960.

7. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która daje taką samą resztę po podzieleniu przez 25 jako 1234.

Decyzja

Rozważ resztę przy dzieleniu liczby 1234 przez 25. Wszystkie liczby mniejsze od niej dają inne reszty, ponieważ są to ich własne reszty. Reszta po podzieleniu 1234 przez 25 wynosi 9, ponieważ 1234=49⋅25+9, to jest odpowiedź.

8. Po otrzymaniu dwójki z geografii Wasia postanowiła się zerwać mapa geograficzna oprócz. Każdy skrawek, który wpadnie mu w ręce, rozdziera na cztery części. Czy kiedykolwiek uda mu się zdobyć dokładnie 2012 kawałki? 2013 sztuk? 2014 sztuk? 2015 sztuk?

Rozwiązanie problemu

Zauważ, że za każdym razem Vasya zwiększa liczbę pionów o 3, ponieważ zamienia jedną pionkę na cztery. Dlatego otrzyma liczby takie jak 1+3N, gdzie N jest liczbą kawałków, które rozerwał. Liczba 2014 ma tę formę, więc otrzyma 2014 elementów, podczas gdy inne nie mogą być reprezentowane w tej formie (mają reszty po podzieleniu przez 3 wynoszą 0 lub 2).

9. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która daje następujące reszty: 1 - po podzieleniu przez 2, 2 - po podzieleniu przez 3, 3 - po podzieleniu przez 4, 4 - po podzieleniu przez 5, 5 - po podzieleniu przez 6.

Rozwiązanie problemu

Rozważ pożądaną liczbę powiększoną o jeden. Jest podzielna przez 2,3,4,5,6, ponieważ daje resztkom o jeden mniej niż same dzielniki. Musimy znaleźć minimalną taką liczbę, dlatego wymagana liczba to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 2,3,4,5,6 minus 1. Najmniejsza wspólna wielokrotność 2,3,4,5,6 wynosi 2 2 ⋅3⋅5=60 , ponieważ w liczbach 2,3,4,5,6 są tylko 3 dzielniki pierwsze, trzy i pięć wpisują maksimum w pierwszym stopniu, a dwa w drugim (w liczbie 4). Więc pożądana liczba to 60-1 = 59.

Portal dla kobiet Flero

POWIĄZANE ARTYKUŁY