Drodzy przyjaciele! Grupa zadań związanych z pochodną obejmuje zadania - w warunku podany jest wykres funkcji, kilka punktów na tym wykresie i pytanie brzmi:

W którym momencie wartość pochodnej jest największa (najmniejsza)?

Powtórzmy krótko:

Pochodna w punkcie jest równa nachyleniu stycznej przechodzącej przezten punkt na wykresie.

Naz kolei globalny współczynnik stycznej jest równy tangensowi nachylenia tej stycznej.

*Odnosi się to do kąta między styczną a osią x.

1. Na przedziałach funkcji rosnącej pochodna ma wartość dodatnią.

2. Na przedziałach jej spadku pochodna ma wartość ujemną.

Rozważ następujący szkic:

W punktach 1,2,4 pochodna funkcji ma wartość ujemną, ponieważ punkty te należą do malejących przedziałów.

W punktach 3,5, 6 pochodna funkcji ma wartość dodatnią, ponieważ punkty te należą do przedziałów wzrostu.

Jak widać, z wartością pochodnej wszystko jest jasne, czyli nietrudno określić, jaki ma znak (dodatni czy ujemny) w określonym punkcie wykresu.

Co więcej, jeśli skonstruujemy w myślach styczne w tych punktach, zobaczymy, że proste przechodzące przez punkty 3, 5 i 6 tworzą kąty z osią OX leżące w zakresie od 0 do 90 °, a proste przechodzące przez punkty 1, 2 i 4 tworzą z osią OX, kąty w zakresie od 90o do 180o.

* Zależność jest jasna: styczne przechodzące przez punkty należące do przedziałów funkcji rosnących tworzą kąty ostre z osią OX, styczne przechodzące przez punkty należące do przedziałów funkcji malejących tworzą kąty rozwarte z osią OX.

Teraz ważne pytanie!

Jak zmienia się wartość pochodnej? W końcu styczna w różnych punktach wykresu funkcji ciągłej tworzy różne kąty, w zależności od tego, przez który punkt wykresu przechodzi.

*Albo mówiąc zwykły język, styczna znajduje się niejako „bardziej poziomo” lub „bardziej pionowo”. Wyglądać:

Linie proste tworzą kąty o osi OX w zakresie od 0 do 90 o

Linie proste tworzą kąty o osi OX w zakresie od 90o do 180o

Więc jeśli są jakieś pytania:

- w którym z podanych punktów na wykresie wartość pochodnej ma najmniejszą wartość?

- w którym z podanych punktów wykresu ma wartość pochodnej najwyższa wartość?

następnie dla odpowiedzi konieczne jest zrozumienie, jak wartość stycznej kąta stycznej zmienia się w zakresie od 0 do 180 o.

*Jak już wspomniano, wartość pochodnej funkcji w punkcie jest równa stycznej nachylenia stycznej do osi x.

Wartość stycznej zmienia się w następujący sposób:

Gdy nachylenie prostej zmienia się od 0 o do 90 o, wartość stycznej, a tym samym pochodnej, zmienia się odpowiednio od 0 do +∞;

Gdy nachylenie prostej zmienia się z 90 o do 180 o, wartość stycznej, a tym samym pochodnej, zmienia się odpowiednio –∞ do 0.

Widać to wyraźnie na wykresie funkcji stycznej:

W prostych słowach:

Gdy kąt nachylenia stycznej wynosi od 0 o do 90 o

Im bliżej 0 o, tym większa wartość pochodnej będzie bliska zeru (po stronie dodatniej).

Im bliżej kąta jest 90°, tym bardziej wartość pochodnej wzrośnie w kierunku +∞.

Gdy kąt nachylenia stycznej wynosi od 90 o do 180 o

Im bliżej 90 o, tym bardziej wartość pochodnej będzie malała w kierunku –∞.

Im kąt jest bliższy 180 o, tym większa wartość pochodnej będzie bliska zeru (po stronie ujemnej).

317543. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i zaznaczone punkty–2, –1, 1, 2. W którym z tych punktów wartość pochodnej jest największa? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Mamy cztery punkty: dwa z nich należą do przedziałów, na których funkcja maleje (są to punkty –1 i 1) oraz dwa do przedziałów, na których funkcja rośnie (są to punkty –2 i 2).

Możemy od razu stwierdzić, że w punktach -1 i 1 pochodna ma wartość ujemną, w punktach -2 i 2 ma wartość dodatnią. Dlatego w ta sprawa należy przeanalizować punkty -2 i 2 i określić, który z nich będzie miał największą wartość. Skonstruujmy styczne przechodzące przez wskazane punkty:

Wartość stycznej kąta między prostą a a osią odciętych będzie większa niż wartość stycznej kąta między prostą b a tą osią. Oznacza to, że wartość pochodnej w punkcie -2 będzie największa.

Odpowiemy następne pytanie: w którym punkcie -2, -1, 1 lub 2 wartość pochodnej jest największą ujemną? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Pochodna będzie miała wartość ujemną w punktach należących do malejących przedziałów, rozważmy więc punkty -2 i 1. Skonstruujmy przechodzące przez nie styczne:

Widzimy, że kąt rozwarty między prostą b a osią OX jest „bliższy” 180 o , więc jego styczna będzie większa niż styczna kąta utworzonego przez linię prostą a i oś x.

Zatem w punkcie x = 1 wartość pochodnej będzie największą ujemną.

317544. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i zaznaczone punkty–2, –1, 1, 4. W którym z tych punktów wartość pochodnej jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Mamy cztery punkty: dwa z nich należą do przedziałów, na których funkcja maleje (są to punkty –1 i 4) oraz dwa do przedziałów, na których funkcja rośnie (są to punkty –2 i 1).

Możemy od razu stwierdzić, że w punktach -1 i 4 pochodna ma wartość ujemną, w punktach -2 i 1 ma wartość dodatnią. Dlatego w tym przypadku należy przeanalizować punkty –1 i 4 i określić, który z nich będzie miał najmniejszą wartość. Skonstruujmy styczne przechodzące przez wskazane punkty:

Wartość stycznej kąta między prostą a a osią odciętych będzie większa niż wartość stycznej kąta między prostą b a tą osią. Oznacza to, że wartość pochodnej w punkcie x = 4 będzie najmniejsza.

Odpowiedź: 4

Mam nadzieję, że nie "przeciążyłem" cię ilością pisania. W rzeczywistości wszystko jest bardzo proste, wystarczy zrozumieć właściwości pochodnej, jej znaczenie geometryczne i jak zmienia się wartość tangensa kąta od 0 do 180 stopni.

1. Najpierw określ znaki pochodnej w tych punktach (+ lub -) i wybierz niezbędne punkty (w zależności od postawionego pytania).

2. Skonstruuj styczne w tych punktach.

3. Korzystając z wykresu tangesoidy, schematycznie zaznacz rogi i wyświetlAleksandra.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Proces znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji na odcinku przypomina fascynujący lot wokół obiektu (wykres funkcji) na śmigłowcu z ostrzałem z armaty dalekiego zasięgu w określonych punktach i wyborem z te punkty to bardzo szczególne punkty do strzałów kontrolnych. Punkty są wybierane w określony sposób i według określonych zasad. Na jakich zasadach? Porozmawiamy o tym dalej.

Jeśli funkcja tak = f(x) ciągły w przedziale [ a, b] , to dociera do tego odcinka najmniej oraz najwyższe wartości . Może się to zdarzyć w punkty ekstremalne lub na końcach segmentu. Dlatego, aby znaleźć najmniej oraz największe wartości funkcji , ciągła na przedziale [ a, b] , trzeba w sumie obliczyć jego wartości punkt krytyczny i na końcach segmentu, a następnie wybierz najmniejszy i największy z nich.

Niech na przykład wymagane jest wyznaczenie maksymalnej wartości funkcji f(x) na odcinku [ a, b] . Aby to zrobić, znajdź wszystkie jego punkty krytyczne leżące na [ a, b] .

punkt krytyczny nazywa się punktem, w którym zdefiniowana funkcja, i jej pochodna ma wartość zero lub nie istnieje. Następnie należy obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych. I na koniec należy porównać wartości funkcji w punktach krytycznych i na końcach odcinka ( f(a) oraz f(b) ). Największa z tych liczb będzie największa wartość funkcji na segmencie [a, b] .

Problem ze znalezieniem najmniejsze wartości funkcji .

Wspólnie poszukujemy najmniejszych i największych wartości funkcji

Przykład 1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie [-1, 2] .

Decyzja. Znajdujemy pochodną tej funkcji. Przyrównaj pochodną do zera () i uzyskaj dwa punkty krytyczne: i . Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na danym odcinku, wystarczy obliczyć jej wartości na końcach odcinka oraz w punkcie, gdyż punkt nie należy do odcinka [-1, 2] . Te wartości funkcji są następujące: , , . Wynika, że najmniejsza wartość funkcji(zaznaczony na czerwono na poniższym wykresie), równy -7, osiąga prawy koniec odcinka - w punkcie , oraz największy(również czerwony na wykresie), jest równy 9, - w punkcie krytycznym .

Jeżeli funkcja jest ciągła w pewnym przedziale i przedział ten nie jest odcinkiem (ale jest na przykład przedziałem; różnica między przedziałem a odcinkiem: punkty graniczne przedziału nie są zawarte w przedziale, ale punkty brzegowe segmentu są zawarte w segmencie), wówczas wśród wartości funkcji może nie być najmniejszej i największej. Na przykład funkcja przedstawiona na poniższym rysunku jest ciągła na ]-∞, +∞[ i nie ma największej wartości.

Jednak dla dowolnego przedziału (zamkniętego, otwartego lub nieskończonego) obowiązuje następująca właściwość funkcji ciągłych.

Przykład 4. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie [-1, 3] .

Decyzja. Znajdujemy pochodną tej funkcji jako pochodną ilorazu:

.

Przyrównujemy pochodną do zera, co daje nam jeden punkt krytyczny: . Należy do przedziału [-1, 3] . Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na danym segmencie, znajdujemy jej wartości na końcach segmentu oraz w znalezionym punkcie krytycznym:

Porównajmy te wartości. Wniosek: równy -5/13, w punkcie i największa wartość równy 1 w punkcie .

Wspólnie poszukujemy najmniejszych i największych wartości funkcji

Są nauczyciele, którzy na temat znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji nie podają uczniom przykładów bardziej skomplikowanych niż te właśnie rozważane, czyli takich, w których funkcja jest wielomianem lub ułamkiem, licznikiem a mianownikiem są wielomiany. Ale nie będziemy ograniczać się do takich przykładów, ponieważ wśród nauczycieli są miłośnicy zmuszania uczniów do pełnego myślenia (tabela pochodnych). Dlatego zostanie użyty logarytm i funkcja trygonometryczna.

Przykład 6. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie .

Decyzja. Znajdujemy pochodną tej funkcji jako pochodna produktu :

Przyrównujemy pochodną do zera, co daje jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na danym segmencie, znajdujemy jej wartości na końcach segmentu oraz w znalezionym punkcie krytycznym:

Wynik wszystkich działań: funkcja osiąga swoją minimalną wartość, równy 0, w punkcie i w punkcie oraz największa wartość równy mi² , w punkcie .

Przykład 7. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie .

Decyzja. Znajdujemy pochodną tej funkcji:

Zrównaj pochodną do zera:

Jedyny punkt krytyczny należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na danym segmencie, znajdujemy jej wartości na końcach segmentu oraz w znalezionym punkcie krytycznym:

Wniosek: funkcja osiąga swoją minimalną wartość, równy , w punkcie i największa wartość, równy , w punkcie .

W stosowanych problemach ekstremalnych znalezienie najmniejszych (największych) wartości funkcji z reguły sprowadza się do znalezienia minimum (maksimum). Ale to nie same minima czy maksima mają większe znaczenie praktyczne, ale wartości argumentu, przy którym są osiągane. Przy rozwiązywaniu problemów aplikacyjnych pojawia się dodatkowa trudność - zestawienie funkcji opisujących rozpatrywane zjawisko lub proces.

Przykład 8 Zbiornik o pojemności 4, w kształcie równoległościanu o kwadratowej podstawie i otwarty od góry, musi być ocynowany. Jakie powinny być wymiary zbiornika, aby pokryć go jak najmniejszą ilością materiału?

Decyzja. Zostawiać x- strona podstawowa h- wysokość zbiornika, S- jego powierzchnia bez osłony, V- jego objętość. Powierzchnia zbiornika wyrażona jest wzorem tj. jest funkcją dwóch zmiennych. Wyrazić S jako funkcję jednej zmiennej wykorzystujemy fakt, że , whence . Podstawianie znalezionego wyrażenia h we wzorze na S:

Przyjrzyjmy się tej funkcji ekstremum. Jest zdefiniowana i różniczkowalna wszędzie w ]0, +∞[ , i

.

Przyrównujemy pochodną do zera () i znajdujemy punkt krytyczny. Ponadto w , pochodna nie istnieje, ale wartość ta nie jest objęta zakresem definicji i dlatego nie może być punktem ekstremum. A więc - jedyny punkt krytyczny. Sprawdźmy to pod kątem obecności ekstremum za pomocą drugiego wystarczającego znaku. Znajdźmy drugą pochodną. Gdy druga pochodna jest większa od zera (). Oznacza to, że gdy funkcja osiągnie minimum . Ponieważ to minimum - jedyne ekstremum tej funkcji, jest to jej najmniejsza wartość. Tak więc bok podstawy zbiornika powinien wynosić 2 m, a jego wysokość.

Przykład 9 Z akapitu A, położony na linii kolejowej, do punktu Z, w pewnej odległości od niego ja, towary muszą być transportowane. Koszt transportu jednostki wagowej na jednostkę odległości koleją wynosi , a autostradą wynosi . Do jakiego momentu? M linie kolej żelazna należy wybudować autostradę, aby transport towarów z ALE w Z był najbardziej ekonomiczny AB zakłada się, że kolej jest prosta)?

Czasami w problemach B14 występują "złe" funkcje, dla których trudno znaleźć pochodną. Wcześniej było to tylko na sondach, ale teraz te zadania są tak powszechne, że nie można ich już ignorować podczas przygotowań do tego egzaminu. W tym przypadku działają inne sztuczki, z których jedną jest monotoniczność. Definicja Funkcję f (x) nazywamy monotonicznym wzrostem na odcinku, jeśli dla dowolnych punktów x 1 i x 2 tego odcinka obowiązuje: x 1

Definicja. Funkcję f (x) nazywamy monotonicznie malejącą na odcinku, jeśli dla dowolnych punktów x 1 i x 2 tego odcinka zachodzi: x 1 f (x 2). Innymi słowy, dla funkcji rosnącej im większe x, tym większe f(x). W przypadku funkcji malejącej jest odwrotnie: im większe x, tym mniejsze f(x).

Przykłady. Logarytm rośnie monotonicznie, jeśli podstawa a > 1 i maleje monotonicznie, jeśli 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 i maleje monotonicznie, jeśli 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 i maleje monotonicznie, jeśli 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 i maleje monotonicznie, jeśli 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Examples Logarytm wynosi monotonicznie rosnący, jeśli podstawa a > 1 i monotonicznie malejący, jeśli 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Przykłady. Logarytm rośnie monotonicznie, jeśli podstawa a > 1 i maleje monotonicznie, jeśli 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Przykłady. Funkcja wykładnicza zachowuje się podobnie do logarytmu: rośnie dla a > 1 i maleje dla 0 0: 1 i malejące przy 0 0:"> 1 i malejące przy 0 0:"> 1 i malejące przy 0 0:" title="(!LANG:Przykłady. Funkcja wykładnicza zachowuje się jak logarytm: rośnie dla > 1 i zmniejsza się o 0 0:"> title="Przykłady. Funkcja wykładnicza zachowuje się podobnie do logarytmu: rośnie dla a > 1 i maleje dla 0 0:"> !}

0) lub w dół (a 0) lub w dół (9 Współrzędne wierzchołka paraboli Najczęściej argument funkcji zastępuje trójmian kwadratowy o postaci Jej wykres jest standardową parabolą, w której interesują nas gałęzie: Gałęzie paraboli mogą iść w górę (dla a > 0) lub w dół (a 0) lub największa (a 0) lub w dół (a 0) lub w dół (a 0) lub największa (a 0) lub w dół (a 0) lub w dół (tytuł = "(!LANG: Współrzędne wierzchołka paraboli) Najczęściej argument funkcji zostaje zastąpiony trójmianem kwadratowym postaci Jego wykres jest standardową parabolą, w której interesują nas gałęzie: Gałęzie paraboli mogą iść w górę (dla a > 0) lub w dół (a

W stanie problemu nie ma segmentu. Dlatego nie ma potrzeby obliczania f(a) i f(b). Pozostaje rozważyć tylko punkty skrajne; Ale jest tylko jeden taki punkt - jest to wierzchołek paraboli x 0, której współrzędne są obliczane dosłownie werbalnie i bez żadnych pochodnych.

W ten sposób rozwiązanie problemu jest znacznie uproszczone i zredukowane do zaledwie dwóch kroków: Napisz równanie paraboli i znajdź jej wierzchołek za pomocą wzoru: Znajdź wartość pierwotnej funkcji w tym punkcie: f (x 0). Jeśli nie ma dodatkowych warunków, to będzie odpowiedź.

0. Szczyt paraboli: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie: Pod pierwiastkiem znajduje się parabola funkcji kwadratowej rozgałęzia się, ponieważ współczynnik a \u003d 1\u003e 0. Góra paraboli: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie: Pod korzeniem znajduje się funkcja kwadratowa Wykres tej funkcji to parabola z rozgałęzieniami do góry, ponieważ współczynnik a \u003d 1\u003e 0. Góra paraboli: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Góra paraboli: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Góra paraboli: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Góra paraboli: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie: Pod pierwiastkiem znajduje się funkcja kwadratowa Wykres tej funkcji to parabola z rozgałęzieniami do góry, ponieważ współczynnik a \u003d 1\u003e 0. Wierzchołek paraboli: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie: Pod korzeniem znajduje się funkcja kwadratowa Wykres tej funkcji to parabola z rozgałęzieniami do góry, ponieważ współczynnik a \u003d 1\u003e 0. Góra paraboli: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie Pod logarytmem jest znowu funkcja kwadratowa. a = 1 > 0. Szczyt paraboli: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Góra paraboli: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Góra paraboli: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Góra paraboli: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie Pod logarytmem jest ponownie funkcją kwadratową. Wykres paraboli z rozgałęzieniami do góry, ponieważ a \u003d 1\u003e 0. Wierzchołek paraboli: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Znajdź najmniejszą wartość funkcji: Rozwiązanie Pod logarytmem jest znowu funkcja kwadratowa. a = 1 > 0. Szczyt paraboli: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Znajdź największą wartość funkcji: Rozwiązanie: Wykładnik zawiera funkcję kwadratową

Konsekwencje z dziedziny funkcji Czasami do rozwiązania problemu B14 nie wystarczy znaleźć wierzchołek paraboli. Pożądana wartość może leżeć na końcu segmentu, a nie w punkcie skrajnym. Jeśli segment nie jest w ogóle określony w zadaniu, patrzymy na obszar dopuszczalnych wartości pierwotnej funkcji. Mianowicie:

0 2. Arytmetyka Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może być zerem:" title="(!LANG:1. Argument logarytmu musi być dodatni: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pierwiastek arytmetyczny istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może być równy zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logarytmu musi być dodatni: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może być równy zero: 0 2. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może być równy zero: "> 0 2. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka ułamek nie może być równy zero:"> 0 2. Arytmetyka pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może wynosić zero:" title="(!LANG:1. Argument logarytmiczny musi być dodatnie: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Kwadrat arytmetyczny pierwiastek istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może być równy zero:"> title="1. Argument logarytmu musi być dodatni: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych: 3. Mianownik ułamka nie może być równy zero:"> !}

Rozwiązanie Pierwiastek kwadratowy jest ponownie funkcją kwadratową. Jej wykres to parabola, ale gałęzie są skierowane w dół, ponieważ a = 1 Teraz znajdź szczyt paraboli: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 (1)) = 2/(2) = 1 Punkt x 0 = 1 należy do segmentu ODZ i to jest dobre. Teraz rozważamy wartość funkcji w punkcie x 0, a także na końcach ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Mamy więc liczby 2 i 0. Jesteśmy pytani znaleźć największą liczbę 2. Odpowiedź: 2

Uwaga: nierówność jest ścisła, więc końce nie należą do ODZ. W ten sposób logarytm różni się od pierwiastka, gdzie końce odcinka całkiem nam odpowiadają. Szukamy szczytu paraboli: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Ale ponieważ końce odcinka nas nie interesują, rozważamy wartość funkcji tylko w punkcie x 0:

Y min = y(3) = log 0.5 (6 ) = = log 0.5 (18 9 5) = log 0.5 4 = 2 Odpowiedź: -2

Czasami w problemach B15 występują "złe" funkcje, dla których trudno znaleźć pochodną. Wcześniej było to tylko na sondach, ale teraz te zadania są tak powszechne, że nie można ich już ignorować podczas przygotowań do tego egzaminu.

W tym przypadku działają inne sztuczki, z których jedna to - monotonia.

Funkcję f(x) nazywamy monotonicznie rosnącą na odcinku, jeśli dla dowolnych punktów x 1 i x 2 tego odcinka jest prawdziwe:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcję f(x) nazywamy monotonicznie malejącą na odcinku, jeśli dla dowolnych punktów x 1 i x 2 tego odcinka jest prawdziwe:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Innymi słowy, dla funkcji rosnącej im większe jest x, tym większe jest f(x). Dla funkcji malejącej jest odwrotnie: im więcej x , tym mniejszy f(x).

Na przykład logarytm rośnie monotonicznie, jeśli podstawa a > 1 i maleje monotonicznie, jeśli 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Pierwiastek arytmetyczny (i nie tylko kwadratowy) rośnie monotonicznie w całej dziedzinie definicji:

Funkcja wykładnicza zachowuje się podobnie jak logarytm: rośnie dla a > 1 i maleje dla 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, funkcja wykładnicza zdefiniowany dla wszystkich liczb, nie tylko x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Wreszcie stopnie z ujemnym wykładnikiem. Możesz zapisać je jako ułamek. Mają punkt załamania, w którym załamuje się monotonia.

Wszystkie te funkcje nigdy nie znajdują się w czystej postaci. Dodawane są do nich wielomiany, ułamki i inne bzdury, przez co trudno jest obliczyć pochodną. Co dzieje się w tym przypadku - teraz przeanalizujemy.

Współrzędne wierzchołka paraboli

Najczęściej argument funkcji jest zastępowany przez trójmian kwadratowy postaci y = ax 2 + bx + c . Jej wykres to standardowa parabola, która nas interesuje:

1. Gałęzie paraboli - mogą iść w górę (dla a > 0) lub w dół (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Wierzchołek paraboli to ekstremum funkcji kwadratowej, w którym funkcja ta przyjmuje najmniejszą (dla a > 0) lub największą (a< 0) значение.

Największym zainteresowaniem jest szczyt paraboli, którego odcięta jest obliczana według wzoru:

Tak więc znaleźliśmy punkt skrajny funkcji kwadratowej. Ale jeśli pierwotna funkcja jest monotoniczna, dla niej punkt x 0 będzie również punktem ekstremum. W ten sposób formułujemy kluczową zasadę:

Ekstremalne punkty trójmianu kwadratowego i funkcja zespolona, ​​w którą wchodzi, pokrywają się. Dlatego możesz poszukać x 0 dla trójmianu kwadratowego i zapomnieć o funkcji.

Z powyższego rozumowania nie jest jasne, jaki punkt otrzymujemy: maksimum czy minimum. Jednak zadania są specjalnie zaprojektowane, aby nie miało to znaczenia. Sędzia dla siebie:

1. W stanie problemu nie ma segmentu. Dlatego nie jest wymagane obliczanie f(a) i f(b). Pozostaje rozważyć tylko punkty skrajne;
2. Ale jest tylko jeden taki punkt - jest to wierzchołek paraboli x 0, której współrzędne są obliczane dosłownie ustnie i bez żadnych pochodnych.

W ten sposób rozwiązanie problemu jest znacznie uproszczone i zredukowane do zaledwie dwóch kroków:

1. Zapisz równanie paraboli y = ax 2 + bx + c i znajdź jego wierzchołek ze wzoru: x 0 = −b /2a;
2. Znajdź wartość oryginalnej funkcji w tym momencie: f (x 0). Jeśli nie ma dodatkowych warunków, to będzie odpowiedź.

Na pierwszy rzut oka ten algorytm i jego uzasadnienie może wydawać się skomplikowane. Celowo nie zamieszczam „gołego” schematu rozwiązania, ponieważ bezmyślne stosowanie takich zasad jest obarczone błędami.

Zastanów się nad prawdziwymi zadaniami z egzaminu próbnego z matematyki - tutaj ta technika jest najbardziej powszechna. Jednocześnie upewnimy się, że w ten sposób wiele problemów związanych z B15 stanie się niemal werbalnymi.

Pod pierwiastkiem znajduje się funkcja kwadratowa y \u003d x 2 + 6x + 13. Wykres tej funkcji jest parabolą z rozgałęzieniami do góry, ponieważ współczynnik a \u003d 1\u003e 0.

Wierzchołek paraboli:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Ponieważ gałęzie paraboli są skierowane w górę, w punkcie x 0 \u003d -3 funkcja y \u003d x 2 + 6x + 13 przyjmuje najmniejszą wartość.

Pierwiastek rośnie monotonicznie, więc x 0 jest punktem minimalnym całej funkcji. Mamy:

Zadanie. Znajdź najmniejszą wartość funkcji:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logarytmem ponownie znajduje się funkcja kwadratowa: y \u003d x 2 + 2x + 9. Wykres jest parabolą z rozgałęzieniami do góry, ponieważ a = 1 > 0.

Wierzchołek paraboli:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Tak więc w punkcie x 0 = −1, funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość. Ale funkcja y = log 2 x jest monotoniczna, więc:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Wykładnik jest funkcją kwadratową y = 1 − 4x − x 2 . Zapiszmy to w postaci normalnej: y = −x 2 − 4x + 1.

Oczywiście wykres tej funkcji jest parabolą, rozgałęzieniami w dół (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Oryginalna funkcja jest wykładnicza, jest monotoniczna, więc największa wartość będzie w znalezionym punkcie x 0 = −2:

Uważny czytelnik z pewnością zauważy, że nie zapisaliśmy obszaru dopuszczalnych wartości pierwiastka i logarytmu. Ale to nie było wymagane: wewnątrz znajdują się funkcje, których wartości są zawsze dodatnie.

Konsekwencje z zakresu funkcji

Czasami do rozwiązania problemu B15 nie wystarczy samo znalezienie wierzchołka paraboli. Pożądana wartość może leżeć na końcu segmentu, ale nie w punkcie ekstremalnym. Jeśli zadanie w ogóle nie określa segmentu, spójrz na zakres tolerancji oryginalna funkcja. Mianowicie:

Zwróć uwagę ponownie: zero może znajdować się pod pierwiastkiem, ale nigdy w logarytmie lub mianowniku ułamka. Zobaczmy, jak to działa na konkretnych przykładach:

Zadanie. Znajdź największą wartość funkcji:

Pod korzeniem ponownie znajduje się funkcja kwadratowa: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jego wykres jest parabolą, ale rozgałęzia się w dół, ponieważ a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Wypisujemy obszar ​​dopuszczalnych wartości​​(ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Teraz znajdź wierzchołek paraboli:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Punkt x 0 = -1 należy do segmentu ODZ - i to dobrze. Rozważmy teraz wartość funkcji w punkcie x 0, a także na końcach ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Tak więc otrzymaliśmy liczby 2 i 0. Prosimy o znalezienie największej - to jest liczba 2.

Zadanie. Znajdź najmniejszą wartość funkcji:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Wewnątrz logarytmu znajduje się funkcja kwadratowa y \u003d 6x - x 2 - 5. Jest to parabola z rozgałęzieniami w dół, ale w logarytmie nie może być liczb ujemnych, więc wypisujemy ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Uwaga: nierówność jest ścisła, więc końce nie należą do ODZ. W ten sposób logarytm różni się od pierwiastka, gdzie końce odcinka całkiem nam odpowiadają.

Poszukując wierzchołka paraboli:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Wierzchołek paraboli pasuje do ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale ponieważ końce odcinka nas nie interesują, rozważamy wartość funkcji tylko w punkcie x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2