1. Force de croissance constante

Lors de l'utilisation d'un taux nominal discret, le montant cumulé est déterminé par la formule :

En passant aux pourcentages continus, on obtient :

Multiplicateur d'accumulation pour la capitalisation continue des intérêts.

En désignant la force de croissance par, on obtient :

car les taux discrets et continus sont fonctionnellement liés les uns aux autres, alors on peut écrire l'égalité des multiplicateurs de l'accumulation

Pour un capital initial de 500 mille roubles. intérêts composés courus - 8% par an pendant 4 ans. Déterminez le montant accumulé si les intérêts sont accumulés en continu.

Remise basée sur le continu taux d'intérêt

Dans la formule (4.21) on peut déterminer la valeur moderne

Le taux d'intérêt continu utilisé dans l'actualisation est appelé le pouvoir d'actualisation. Il est égal à la force de la croissance, c'est-à-dire utilisé pour actualiser la force d'actualisation ou la force de croissance conduit au même résultat.

Déterminez la valeur actuelle du paiement, en supposant que l'actualisation est effectuée à un taux de croissance de 12 % et à un taux d'actualisation composé discret de la même taille.

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L'intérêt continu est un terme en économie théorique qui implique un calcul constant et systématique de l'intérêt. Si vous plongez dans les fondements de la théorie économique, l'intérêt continu est calculé à des intervalles qui tendent vers le plus petit nombre. C'est-à-dire que les intérêts continus sont accumulés en continu, mais pour la commodité du calcul, les entrepreneurs ou les économistes disent que tel ou tel montant est facturé par seconde, par heure ou par jour. Par exemple, le revenu de Bill Gates peut être appelé revenu sous forme d'intérêt continu. Les théoriciens ont calculé que Bill Gates, l'un des hommes les plus riches du monde, gagne environ 6 600 dollars par minute, ce qui correspond au montant en lequel les intérêts continus de son entreprise et de ses investissements sont convertis.

L'importance de l'intérêt continu pour l'économie théorique et pratique

Parlant de l'importance de l'intérêt continu, il convient d'abord de noter qu'il s'agit d'une forme clé de revenu passif. En fait, le revenu passif se compose de deux composantes théoriques : un actif qui fonctionne sans l'intervention de l'entrepreneur et l'intérêt continu qu'il rapporte sur le montant investi. Par exemple, j'ai acheté un appartement pour 10 000 000 de roubles et je le loue au prix de 40 000 roubles par mois - c'est un revenu passif. Le revenu annuel sera de 480 000 roubles, sur dix millions, il est de 4,8 %. Il s'avère que l'entrepreneur reçoit en permanence 4,8% par an du montant investi, c'est son intérêt annuel.

La deuxième valeur - les pourcentages continus indiquent une situation stable dans le développement d'une entreprise. Si cela suscite constamment de l'intérêt, alors cela fonctionne bien. Si la perception des intérêts est suspendue, on peut juger de l'apparition de problèmes dans le travail de l'entreprise. Si les taux d'intérêt augmentent ou baissent, cela indique également problèmes internes entreprises. Par conséquent, dans la théorie de l'analyse économique, l'intérêt continu est très important.

La troisième valeur à laquelle nous allons prêter attention est le retour sur investissement. La somme des intérêts entrants en continu conduira finalement au fait que les investissements dans ou dans les affaires rapporteront à cent pour cent, c'est-à-dire que l'entrepreneur récupérera les fonds investis et qu'il n'aura qu'à recevoir. Il existe de nombreux appels dans la théorie économique pour analyser divers facteurs de la vie économique (taux d'inflation, etc.) et comparer les résultats avec des pourcentages continus. Il peut s'avérer que le revenu de l'entreprise, exprimé en pourcentage, sera inférieur au pourcentage de dépréciation de l'argent, etc. Si, par exemple, une personne reçoit cinq pour cent par an d'un dépôt dans une banque, et équivaut à huit pour cent, alors le déposant perd finalement trois pour cent de son capital. La plupart des gens n'y prêtent pas attention, ce qui est la pire erreur économique et la cause de nombreuses faillites. Cela est particulièrement important pendant les périodes de restructuration économique et de cataclysmes.

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sur le thème : "Actions à intérêt continu"

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éducation à temps plein Geghamyan M.A.

Tambov 2013

1. Force de croissance constante

2. Force de croissance variable

6. Références

1. Force de croissance constante

Lors de l'utilisation d'un taux nominal discret, le montant cumulé est déterminé par la formule :

En passant aux pourcentages continus, on obtient :

Multiplicateur d'accumulation pour la capitalisation continue des intérêts.

En désignant la force de croissance par, on obtient :

car les taux discrets et continus sont fonctionnellement liés les uns aux autres, alors on peut écrire l'égalité des multiplicateurs de l'accumulation

Exemple

Pour l'initiale capital 500 mille roubles. intérêts composés courus - 8% par an pendant 4 ans. Déterminez le montant accumulé si les intérêts sont accumulés en continu.

Actualisation basée sur des taux d'intérêt continus

Dans la formule (4.21) on peut déterminer la valeur moderne

Le taux d'intérêt continu utilisé dans l'actualisation est appelé le pouvoir d'actualisation. Il est égal à la force de la croissance, c'est-à-dire utilisé pour actualiser la force d'actualisation ou la force de croissance conduit au même résultat.

Exemple

Définir la valeur actualisée du paiement, en supposant que l'actualisation est effectuée à un taux de croissance de 12 % et à un taux d'actualisation composé discret de la même taille.

2. Force de croissance variable

En utilisant cette caractéristique, les processus d'augmentation des montants d'argent avec un taux d'intérêt changeant sont modélisés. Si la force de croissance est décrite par une fonction continue du temps, alors les formules sont valides.

Pour le montant cumulé :

Valeur moderne :

1) Laissez la force de croissance évoluer discrètement et prenez les valeurs suivantes : par intervalles de temps, puis à la fin de la durée du prêt, le montant cumulé sera :

Si la période d'accumulation est n et que la valeur de croissance moyenne est : , alors

Exemple

Déterminez le multiplicateur d'accumulation pour l'accumulation continue d'intérêts pendant 5 ans. Si la force de la croissance change discrètement et correspond à : 1 an - 7 %, 2 et 3 - 8 %, les 2 dernières années - 10 %.

2) La force de croissance change continuellement dans le temps et est décrite par l'équation :

où est la force de croissance initiale (at)

a - augmentation ou diminution annuelle.

Calculez le degré du multiplicateur de l'augmentation:

Exemple

Valeur initiale force de croissance de 8%, le taux d'intérêt est continu et linéaire.

Croissance pour l'année -2%, période d'accumulation - 5 ans. Trouvez le facteur de croissance.

3) La force de la croissance change de façon exponentielle, puis

Multiplicateur croissant :

Exemple

Déterminer le multiplicateur avec une accumulation continue d'intérêts pendant 5 ans, si la force de croissance initiale est de -10% et que le taux d'intérêt augmente chaque année de 3%.

La durée du prêt est déterminée par les formules :

Lorsqu'ils s'accumulent à taux constant

Lorsqu'il s'accumule à un taux changeant, lorsqu'il change de façon exponentielle

Exemple

Déterminer le temps nécessaire pour une augmentation de l'original de 3 fois lorsqu'il s'accumule à un taux d'intérêt continu qui change avec un taux de croissance constant, si Taux initial- 15%, et son taux de croissance annuel est de -1,05

3. Équivalence des taux d'intérêt

Les taux qui assurent l'équivalence des conséquences financières sont dits équivalents ou relatifs.

L'équivalence des conséquences financières peut être assurée si les multiplicateurs d'accumulation sont égaux.

Si dans les expressions

1) taux d'intérêt simple

2) le montant cumulé au taux d'actualisation

Si, alors les facteurs de croissance sont égaux

Si la durée du prêt moins d'un an, alors l'équivalence est définie pour deux cas de bases de temps égales et de bases de temps différentes.

Si les bases de temps sont les mêmes (), alors les formules ressemblent à :

Si la régularisation des intérêts au taux i s'effectue en base 365, et au taux d en base 360, alors il est vrai :

Exemple

La facture est enregistrée en banque à taux d'actualisation de 8 % le jour de l'expiration de sa diffusion = 200 (k=360). Déterminer la rentabilité de cette opération au taux d'intérêt simple (k=365).

Équivalence des taux d'intérêt simples et composés

Lorsque les intérêts s'accumulent une fois par an, ils sont déterminés par les formules:

Tarif simple :

Pari composé :

Exemple

Quel taux annuel complexe peut remplacer le taux simple de 18% (k=365) sans changer les conséquences financières. La durée de l'opération est de 580 jours.

Équivalence d'un taux d'intérêt simple et d'un taux composé.

Lorsqu'il s'accumule m fois par an, il est déterminé par la formule:

Exemple

Lors de l'élaboration des termes du contrat Les parties ont convenu que le rendement du prêt devrait être de 24 %. Quelle devrait être la taille du taux nominal lors du calcul des intérêts mensuels, trimestriels.

L'équivalence du taux d'actualisation simple et du taux d'intérêt composé est déterminée par la formule :

L'équivalence du taux d'intérêt composé nominal lorsque les intérêts sont calculés m fois par an et le taux d'actualisation simple est déterminée par les formules :

L'équivalence des taux complexes est déterminée par les formules :

L'équivalence du taux d'actualisation composé et du taux d'intérêt composé nominal lors de l'accumulation d'intérêts m fois par an est déterminée par les formules :

Équivalence des débits continus et discrets :

Équivalence de la force de croissance et du taux nominal :

Avec un changement discret et linéaire de la force, la croissance, ainsi que si elle change à un taux constant, la dépendance équivalente avec des taux d'intérêt composés peut être exprimée par les formules :

L'équivalence de la force de croissance et des taux d'actualisation pour un taux d'actualisation constant est déterminée par les formules :

Pour un taux d'actualisation composé :

Commentaire. En utilisant les formules d'équivalence des taux discrets et continus, il est possible de présenter les résultats de l'application de l'intérêt continu sous la forme de caractéristiques généralement acceptées.

4. Valeurs moyennes dans les calculs financiers

Pour plusieurs taux d'intérêt, leur valeur moyenne est une valeur équivalente. Si les montants de prêts reçus sont égaux, alors le taux d'intérêt moyen pour l'intérêt simple est calculé selon la formule moyenne pondérée avec des poids égaux aux périodes pendant lesquelles ce taux était en vigueur.

Commentaire. Le remplacement de toutes les valeurs moyennes des taux par le taux d'intérêt moyen ne modifie pas les résultats de la régularisation ou de l'actualisation :

Exemple

L'entreprise a reçu 2 prêts de 500 000 roubles de taille égale au cours de l'année. chaque. 1 prêt de 3 mois à 10% par an. 2 prêt - pendant 9 mois à 16% par an. Déterminez le taux d'intérêt moyen, vérifiez le résultat en calculant les montants accumulés.

Lors de la réception de prêts de différentes tailles émis à différents taux d'intérêt taux moyen est également calculé selon la formule de la moyenne pondérée avec des pondérations égales aux produits des montants des prêts reçus et des conditions auxquelles ils ont été émis.

Le calcul du taux d'actualisation simple moyen du taux d'actualisation est effectué selon la formule:

Taux moyen pour intérêts composés est déterminé par la formule :

Lors de l'analyse du travail des établissements de crédit, des indicateurs sont calculés: la taille moyenne des prêts, sa durée moyenne, le nombre moyen de rotations de prêts et d'autres indicateurs.

Le montant moyen d'un prêt, hors nombre de rotations par an, est calculé par la formule :

En tenant compte du nombre de rotations par an selon la formule :

où est le nombre de tours,

Durée de la période

K est le nombre de clients qui ont reçu des prêts.

Le montant moyen de l'ensemble des prêts, compte tenu du nombre de rotations par an, indique le solde de la dette sur l'ensemble des prêts pour l'année. Il est égal au montant moyen d'un prêt, compte tenu du chiffre d'affaires de l'année, multiplié par le nombre de clients ayant bénéficié du prêt :

où est le chiffre d'affaires total, c'est-à-dire le montant des prêts remboursés remboursés au cours de la période.

Le solde moyen de tous les prêts, compte tenu du nombre de rotations par an, est déterminé par la formule de la série des moments chronologiques moyens selon les bilans mensuels de l'établissement de crédit qui a émis le prêt selon la formule :

où est le solde mensuel des prêts émis.

Le nombre de rotations des prêts individuels, sous réserve de leur rotation continue sur la période étudiée, est déterminé comme le quotient de la durée de la période par la durée du prêt.

Le nombre moyen de rotations de tous les prêts pour la période, à condition que leur rotation continue se produise, est calculé par la formule, sur la base de la disponibilité des données.

La durée moyenne des prêts individuels ou de tous les prêts en général est calculée à l'aide de diverses formules

taux d'actualisation de conversion d'équivalence

5. Équivalence financière des passifs et conversion des paiements

Le remplacement d'une obligation monétaire par une autre ou la combinaison de plusieurs paiements en un seul repose sur le principe de l'équivalence financière des obligations.

Les paiements équivalents sont ceux qui, ramenés au même point dans le temps, s'avèrent égaux. Il découle des formules de régularisation et d'actualisation. Deux montants et sont considérés comme égaux si leurs valeurs actuelles sont les mêmes à un moment donné ; avec une augmentation du taux d'intérêt, la taille des valeurs actuelles diminue. Le taux auquel est appelé critique ou barrière. Cela vient de l'égalité.

Dans le cas d'un taux d'intérêt composé, le taux barrière est calculé selon les formules :

Le principe d'équivalence financière s'applique en cas de modifications diverses des modalités de paiement des montants monétaires. Une méthode courante pour résoudre ces problèmes consiste à développer une équation d'équivalence dans laquelle le montant des paiements de remplacement réduits à un certain point dans le temps est égal au montant des paiements sur une nouvelle obligation réduite à la même date. Pour les obligations à court terme, une simple est utilisée, pour les obligations à moyen et long terme, une complexe est utilisée.

L'un des cas les plus courants de modification des termes des contrats est la consolidation, c'est-à-dire consolidation des paiements. Il y a 2 paramètres problématiques :

1) Le terme est fixé et il est nécessaire de trouver le montant du paiement ;

2) Le montant du paiement consolidé est donné, il est nécessaire d'en déterminer la durée.

Lors de la consolidation de plusieurs paiements en un seul, à condition que le terme du nouveau paiement soit plus long que le terme précédemment établi, l'équation d'équivalence s'écrit :

Où est le montant cumulé du paiement consolidé,

Paiements soumis à consolidation,

Intervalles de temps entre et :

En général, la valeur du paiement consolidé ressemblera à :

Montants des versements combinés dont les échéances sont inférieures au premier terme ; - les montants des versements combinés dont les échéances dépassent la nouvelle échéance.

Lors de la consolidation des factures, le taux d'actualisation est pris en compte et le montant du paiement consolidé est déterminé par la formule :

Lors de la consolidation des paiements à l'aide d'un taux d'intérêt composé, le montant consolidé est obtenu à l'aide des formules :

Si le montant du paiement consolidé est connu et qu'il est nécessaire de déterminer la période de sa consolidation, tout en maintenant le principe d'équivalence :

où est la valeur consolidée du paiement moderne. Si les partenaires conviennent de consolider les paiements sans modifier le montant total des paiements, alors la durée du paiement consolidé :

Les taux d'actualisation peuvent être utilisés pour calculer la date d'échéance du paiement des paiements consolidés, puis les calculs sont effectués selon la formule :

Dans le cas de l'utilisation d'intérêts composés, les formules ressemblent à :

Bibliographie

1. Kochovich E. Mathématiques Financières : Théorie et pratique des règlements bancaires financiers. - M. : Finances et statistiques, 2004

2. Krasina FA Calculs financiers - Calculs financiers : Didacticiel/ F. A. Krasina. -- Tomsk : El Content, 2011.

3. Selezneva N.N., Ionova A.F. Direction financière. Tâches, situations, tests, schémas : Proc. allocation pour les universités. - M. : UNITI-DANA, 2004. - 176 p.

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Relation entre les taux d'intérêt discrets et continus
Les taux d'intérêt discrets et continus sont dans une relation fonctionnelle, grâce à laquelle il est possible d'effectuer le passage du calcul des intérêts continus aux intérêts discrets et vice versa. La formule de la transition équivalente d'un taux à un autre peut être obtenue en assimilant les multiplicateurs d'accumulation correspondants
(1+i)n=eSn.

Exemple 13
Le taux d'intérêt annuel composé est de 15 %, soit le taux de croissance équivalent,
La solution.
Nous utilisons la formule (50)
q=N(1+^=N(1+0.15)=0.t76,
ceux. la force de croissance équivalente est de 13,976 %.
Calcul de la durée du prêt et des taux d'intérêt
Dans un certain nombre de tâches pratiques, les montants initiaux (P) et finaux (B) sont spécifiés par le contrat, et il est nécessaire de déterminer soit le délai de paiement, soit le taux d'intérêt, qui, en ce cas peut servir de mesure de comparaison avec des indicateurs de marché et de caractéristique de la rentabilité de l'opération pour le créancier. Ces valeurs sont faciles à trouver à partir des formules d'accrétion ou de remise d'origine. En fait, dans les deux cas, le problème inverse est résolu dans un certain sens.
Durée du prêt
Lors de l'élaboration des paramètres de l'accord et de l'estimation du calendrier d'obtention du résultat souhaité, il est nécessaire de déterminer la durée de l'opération (durée du prêt) à travers les paramètres restants de la transaction. Considérons cette question plus en détail.
A) Lors de la constitution à un taux annuel composé i. De la formule de croissance originale
5=P(1+i)n
s'ensuit que
n \u003d 1o (B / R) (52)
1er(1+1)'
où le logarithme peut être pris dans n'importe quelle base, puisqu'il est à la fois au numérateur et au dénominateur.

5=P(1+j/m)mn
on a
n =
t ios(1 + y je t)
C) Lorsqu'ils sont actualisés à un taux d'actualisation annuel composé d. De la formule
P=S(1d)n
on a n = 1o(P 15). (54)
1er(1 - ^
D) Lorsqu'ils sont actualisés à un taux d'actualisation nominal m fois par an. De
P=S(1f/m)mn
on arrive à la formule
n \u003d 1o8 (P 15). (55)
t 1o§(1 - /1 t)
En s'appuyant sur une force constante de croissance. Basé
B=Rv3p
on a
ip(B/P)=pb.
Calcul du taux d'intérêt
A partir des mêmes formules initiales que ci-dessus, nous obtenons des expressions pour les taux d'intérêt.
A) En cas de constitution à un taux annuel complexe I. À partir de la formule de capitalisation initiale
B=P(1+1)p
s'ensuit que
""je."1
B) Lors de la construction taux nominal pourcentage t une fois par an à partir de la formule
B=P(1+]/m)m
C) Lorsqu'ils sont actualisés à un taux d'actualisation annuel composé d. De la formule
P \u003d B (1er) p
on a e = 1 – (§). (59)
D) Lorsqu'ils sont actualisés à un taux d'actualisation nominal t une fois par an. De
P=B(1//t)tp
on arrive à la formule
1 /(tp)
E) En s'appuyant sur une force constante de croissance. Basé
on a
Intérêts et inflation
La conséquence de l'inflation est la baisse du pouvoir d'achat de la monnaie, qui pour la période P est caractérisée par l'indice Jn. L'indice du pouvoir d'achat est égal à l'inverse de l'indice des prix Jp, c'est-à-dire
Jn 1/Jp¦
L'indice des prix montre combien de fois les prix ont augmenté sur une période donnée.
Accumulation d'intérêts simples
Si la somme de monnaie accumulée sur n années est S, et que l'indice des prix est égal à Jp, alors la somme de monnaie effectivement accumulée, compte tenu de leur pouvoir d'achat, est égale à
C=S/Jp.
Soit le taux d'inflation annuel moyen attendu (caractérisant l'augmentation des prix par an) égal à b. Alors l'indice annuel des prix sera (1 + b.).
Si l'accumulation se fait à un taux simple pendant P années, alors l'accumulation réelle au taux d'inflation b sera
c \u003d p (1 + w)
où en général
P
JP \u003d P (1 + K),
r=1
et, en particulier, à taux de croissance de prix constant h,
Jp=(1+h)n. (66)
Le taux d'intérêt qui compense l'inflation lorsque l'intérêt simple est calculé est
71
je = P1. (67)
P
Une façon de compenser la dépréciation de la monnaie est d'augmenter le taux d'intérêt du montant de la prime dite inflationniste. Le taux ainsi ajusté est appelé taux brut. Le taux brut, que nous désignerons par le symbole G, est obtenu à partir de l'égalité du multiplicateur de régularisation du taux brut corrigé de l'inflation au multiplicateur de régularisation au taux d'intérêt réel
1+pg = 1 + ni, (68)
-R
où
r = (1 + ti)P 1. (69)
P
Accrétion des intérêts composés
Le montant accumulé par les intérêts composés à la fin de la durée du prêt, compte tenu de la baisse du pouvoir d'achat de la monnaie (c'est-à-dire en roubles constants) sera
C \u003d P (1 + 01, (70)
où l'indice des prix est déterminé par l'expression (65) ou (66), selon la variabilité ou la constance du taux d'inflation.
Dans ce cas, la baisse du pouvoir d'achat de la monnaie est compensée au taux i=h, ce qui assure l'égalité C=P.
Il existe deux façons de compenser les pertes dues à une diminution du pouvoir d'achat de la monnaie lors du calcul des intérêts composés.
A) Ajustement du taux d'intérêt auquel s'effectue l'accumulation du montant de la prime d'inflation. Le taux d'intérêt majoré de la prime d'inflation est appelé taux brut. On le notera par le symbole r. En supposant que le taux d'inflation annuel est égal à b, on peut écrire l'égalité des facteurs d'accumulation correspondants
- = 1 + /, (71)
1 + et
où i est le taux réel.
De là, nous obtenons la formule de Fisher
r=i+h+ih. (72)
Autrement dit, la prime d'inflation est égale à h+ih.
B) Indexation du montant initial P. Dans ce cas, le montant P est ajusté en fonction de l'évolution d'un index prédéterminé. Alors
S=PJp(1+i)n. (73)
Il est facile de voir que dans le cas A) comme dans le cas B) on aboutit à la même formule de croissance (73). Dans ce document, les deux premiers facteurs du côté droit reflètent l'indexation du montant initial et les deux derniers - l'ajustement du taux d'intérêt.
La mesure taux réel pour cent
En pratique, il est également nécessaire de résoudre le problème inverse - trouver le taux d'intérêt réel en termes d'inflation. A partir des mêmes rapports entre les multiplicateurs d'accumulation, il n'est pas difficile de dériver des formules qui déterminent le taux réel i pour un taux brut donné (ou déclaré) r.
Lors du calcul de l'intérêt simple, le taux d'intérêt réel annuel est égal à
(l \
1 + page
1
R
Lors du calcul des intérêts composés, le taux d'intérêt réel est déterminé par l'expression suivante
1 + O O - I / AAAA
Je=1=. (75)
1+je 1+je
Applications pratiques de la théorie
Considérons quelques applications pratiques de la théorie que nous avons considérée. Nous montrerons comment les formules obtenues ci-dessus sont appliquées pour résoudre des problèmes réels de calcul de l'efficacité de certaines transactions financières et comparer différentes méthodes de calcul.
Conversion de devises et calcul des intérêts
Considérez la combinaison de la conversion de devises (échange) et de l'accumulation d'intérêts simples, comparez les résultats du placement direct des fonds disponibles dans des dépôts ou après un échange préliminaire contre une autre devise. Au total, il existe 4 options pour générer des intérêts :
1. Aucune conversion. Les fonds en devises sont placés sous forme de dépôt en devises, le montant initial est augmenté au taux de change en appliquant directement la formule d'intérêt simple.
2. Avec transformation. Les fonds en devises initiaux sont convertis en roubles, l'accumulation est au taux du rouble, à la fin de l'opération, le montant en roubles est reconverti dans la devise d'origine.
3. Aucune conversion. Le montant en roubles est placé sous la forme d'un dépôt en roubles, sur lequel des intérêts sont courus au taux du rouble selon la formule d'intérêt simple.
4. Avec conversion. Le montant en roubles est converti dans une devise spécifique, qui est investie dans un dépôt en devises étrangères. Les intérêts sont facturés au taux de change. Le montant accumulé à la fin de l'opération est reconverti en roubles.?
Les opérations sans conversion ne sont pas difficiles. Il existe deux sources de revenus dans l'opération de double conversion : les intérêts courus et la variation du taux de change. De plus, le calcul des intérêts est une source inconditionnelle (le taux est fixe, l'inflation n'est pas encore prise en compte). Une variation du taux de change peut être dans un sens ou dans l'autre, et elle peut être à la fois une source de revenus supplémentaires et entraîner des pertes. Ensuite, nous nous concentrerons spécifiquement sur deux options (2 et 4), qui prévoient une double conversion.
Introduisons tout d'abord la notation suivante :
Pv – montant du dépôt en devise étrangère,
Pr est le montant de la caution en roubles,
Sv - montant cumulé en devise,
Sr - montant accumulé en roubles,
^ - taux de change au début de la transaction (taux de change en roubles)
^ - taux de change à la fin de l'opération, P - durée du dépôt,
І – taux d'accumulation des montants en roubles (sous la forme d'une fraction décimale),
j est le taux d'accumulation pour une devise spécifique.
OPTION: POUR LA MONNAIE RUBLES ^ RUBLES ^MONNAIE L'opération consiste en trois étapes: échange de monnaie contre roubles, accumulation du montant en roubles, conversion inverse du montant en roubles dans la monnaie d'origine. Le montant cumulé reçu à la fin de la transaction en devise étrangère sera
= RuK- (1 + pi)!.
k1
Comme vous pouvez le voir, les trois étapes de l'opération sont reflétées dans cette formule sous la forme de trois facteurs.
Le multiplicateur de la majoration, compte tenu de la double conversion, est égal à
K0 „, h 1 + pі 1 + pі,
à
Ko
où k=Kl/Ko est le taux de croissance du taux de change pendant la durée de l'opération. ?
On voit que le facteur de croissance m est lié à dépendance linéaire au taux I et inverse du taux de change à la fin de l'opération K (ou du taux de croissance du taux de change k).
Étudions théoriquement la dépendance de la rentabilité totale d'une opération de double conversion selon le schéma MONNAIE ^ RUBLES ^ RUBLES ^ MONNAIE sur le rapport des taux de change final et initial k.
Le taux d'intérêt annuel simple, qui caractérise la rentabilité de l'ensemble de l'opération, est égal à
/ = ^P,.
*,"") TMTM
* Rp
Remplacer dans cette formule l'expression écrite précédemment pour Bu
-(1 + m)1
K1 1 (1 + m) 1 ?
CONCLUSION 1 : Si les valeurs attendues de k ou K1 dépassent leurs valeurs critiques, alors l'opération est clairement non rentable
Ceff Déterminons maintenant la valeur maximale autorisée du taux de change à la fin de l'opération Ki, à laquelle l'efficacité sera égale au taux existant sur les dépôts dans la devise, et l'utilisation de la double conversion n'apporte aucun avantage supplémentaire. Pour ce faire, nous assimilons les facteurs d'incrément pour deux opérations alternatives
à
1 + nj =mm(1 + ni)
K1
De l'égalité écrite, il résulte que
à à 1 + ni
maxi K1 = K0
1 + nj
ou
K, 1 + ni
max k = -L =
K o 1 + nj
CONCLUSION 2 : Un dépôt en devises par conversion en roubles est plus rentable qu'un dépôt en devises si le taux de change à la fin de l'opération devrait être inférieur à max K1.
OPTION : RUBLES ^ DEVISE ^ DEVISE ^ RUBLES
Considérons maintenant l'option avec double conversion, lorsqu'il existe un montant initial en roubles. Dans ce cas, les trois étapes de l'opération correspondent aux trois facteurs de l'expression suivante du montant cumulé
PAQUET
S = K(1 + nj)K 1= Pr (1 + nj)L
K0 K0
Ici aussi, le multiplicateur d'accumulation dépend linéairement du taux, mais maintenant du taux d'intérêt de la devise. Il dépend aussi linéairement du taux de change final.
Faisons une analyse théorique de l'efficacité de cette opération à double conversion et déterminons les points critiques.
La rentabilité de l'opération dans son ensemble est déterminée par la formule
«¦ =.
1 "tmgm"
E Rgp
Par conséquent, en substituant l'expression à Sr, nous obtenons
À
(1 + n])1. \u003d Ko " \u003d * (1 + n]) 1
"E11
P
La dépendance de l'indicateur d'efficacité ieff sur k est linéaire ; elle est représentée sur la fig. 3
Pour k=1 ізф=/", pour k>1 ізф>;", pour к Trouvons maintenant la valeur critique de k*, à laquelle bff=0. Il s'avère égal
k* =^^ ou k*1 = K^~.
1 + n 1 + n
CONCLUSION 3 : Si les valeurs attendues k ou ^ sont inférieures à leurs valeurs critiques, alors l'opération est clairement non rentable
(ІЗФФ La valeur minimale admissible k (le taux de croissance du taux de change pour toute la période de l'opération), offrant la même rentabilité qu'un dépôt direct en roubles, est déterminée par
les sujets de mise en équation des multiplicateurs et des incréments pour les opérations alternatives (ou de l'égalité ieff=i)
à
- L(1 + nj) = 1 + ni,
K0
1 + ni 1 + ni d'où mm k = ou mm k = K
1 + nj 1 0 1 + nj
CONCLUSION 4 : Un dépôt de montants en roubles par conversion monétaire est plus rentable qu'un dépôt en roubles si le taux de change à la fin de l'opération devrait être supérieur à min K1.
Considérons maintenant la combinaison de la conversion des devises et de l'accumulation des intérêts composés. Nous nous limiterons à une seule option.
OPTION : DEVISE ^ ROUBLE ^ ROUBLE ^ DEVISE
Trois étapes de l'opération sont écrites dans une formule pour le montant accumulé
sv = PVK 0(1+i) nK"
Ki
où i est le taux d'intérêt composé.
Multiplicateur de cumul
nK® _ (1 + i) n
K1k
7K
où k = - est le taux de croissance du taux de change pour la période d'exploitation. K 0
Déterminons la rentabilité de l'opération dans son ensemble sous la forme du taux d'intérêt composé annuel, c'est-à-dire.
À partir de la formule d'accumulation des intérêts composés
S=P(1+i)n
s'ensuit que
Dans
]PV
En substituant la valeur de BU dans cette formule, on obtient
P(1 + Opgg,.
b = g, ^1 = 1+11.
On peut voir à partir de cette expression qu'avec une augmentation du taux de croissance k, l'efficacité diminue. C'est ce que montre le graphique de la Fig. quatre.
Riz. quatre.
L'analyse montre que pour k = 1 1e = I, pour k > 1 1e I.
La valeur critique de k, à laquelle l'efficacité de l'opération est nulle, c'est-à-dire b = 0,
est défini comme k* = (1 + 1)p, ce qui signifie que le taux de croissance annuel moyen du taux de change est égal au taux de croissance annuel du rouble : Vk = 1 + r.
CONCLUSION 5 : Si les valeurs attendues de k ou K sont supérieures à leurs valeurs critiques, alors l'opération considérée avec double conversion est clairement non rentable (b . 4) se trouve à partir de l'égalité des facteurs de croissance correspondants
(1 +1) je
(1 + L)n =
kt ?
où
P
1 +1
ou max k = K
1L(
1 + Y, 1 "VI + Y,
CONCLUSION 6 : Un dépôt en devises par conversion en roubles est plus rentable qu'un dépôt en devises si le taux de change à la fin de la transaction devrait être inférieur à max
Remboursement de la dette par tranches Aperçu de la transaction financière
Les opérations financières ou de crédit impliquent un équilibre entre investissement et rendement. Le concept d'équilibre peut être expliqué sur le graphique. un)
À
JE,.
J
b)
Riz. 5.
Soit un prêt d'un montant de Bo émis pour une période T. Pendant cette période, deux paiements intermédiaires K et Kr sont effectués pour rembourser la dette, et à la fin de la période, le solde de la dette K3 est payé, en additionnant équilibrer l'opération.
A l'intervalle de temps th, la dette augmente à la valeur Bb B à l'instant et la dette diminue à la valeur K1=B1K1, etc. L'opération se termine par l'encaissement par le créancier du solde de la dette Kz. À ce stade, la dette est entièrement remboursée.
Appelons un échéancier de type b) le contour d'une transaction financière. Un fonctionnement équilibré a nécessairement une boucle fermée, c'est-à-dire le dernier paiement couvre intégralement le solde de la dette. Les grandes lignes de la transaction sont généralement appliquées lors du remboursement de la dette avec des paiements d'étape partiels.
A l'aide de paiements partiels successifs, les obligations à court terme sont parfois remboursées. Dans ce cas, il existe deux méthodes pour calculer les intérêts et déterminer le solde de la dette. Le premier est appelé actuariel et est utilisé principalement dans les transactions d'une durée supérieure à un an. La deuxième méthode est appelée la règle du commerçant. Il est généralement utilisé par les entreprises commerciales dans les transactions d'une durée maximale d'un an.
Remarque : Lors du calcul des intérêts, en règle générale, les intérêts ordinaires sont utilisés avec un nombre approximatif de jours de périodes.
méthode actuarielle
La méthode actuarielle implique le calcul séquentiel des intérêts sur le montant réel de la dette. Le paiement partiel sert principalement à rembourser les intérêts courus à la date du paiement. Si le montant du paiement dépasse le montant des intérêts courus, la différence sert à rembourser le montant principal de la dette. Le solde restant dû de la dette sert de base au calcul des intérêts pour la période suivante, etc. Si le paiement partiel est inférieur au montant couru
pour cent, aucune compensation n'est effectuée dans le montant de la dette. Ce revenu est ajouté au paiement suivant.
Pour le cas représenté sur la Fig. 5 b), on obtient les formules de calcul suivantes pour déterminer le solde de la dette :
K1=Bo(1+b1)K1 ; K2=Kb(1+b21)K2 ; K2(1+bz1)Kz=0,
où les périodes de temps bb, b2, bz sont données en années, et le taux d'intérêt I est annuel.
La règle du commerçant
La règle du commerçant est une autre approche du calcul des versements. Deux situations sont possibles ici.
1) Si la durée du prêt ne dépasse pas, le montant de la dette avec intérêts courus pour toute la durée reste inchangé jusqu'au remboursement intégral. Dans le même temps, il y a une accumulation de paiements partiels avec des intérêts courus jusqu'à la fin du terme.
2) Dans le cas où la durée dépasse un an, les calculs ci-dessus sont effectués pour la durée annuelle de la dette. A la fin de l'année, le montant cumulé des versements partiels cumulés est déduit du montant de la dette. Le reste est payé l'année prochaine.
Avec une durée totale de prêt T m
S \u003d D - K \u003d P (l + L) -? RJ (1 + tJi),
]=1
où E est le solde de la dette à la fin du terme,
B - le montant accumulé de la dette,
K - le montant cumulé des paiements,
U - le montant du paiement partiel,
b) - l'intervalle de temps entre le moment du paiement et la fin du terme, t - le nombre de paiements partiels (intermédiaires).
Montant variable de la facture et calcul des intérêts
Considérez la situation lorsqu'un compte d'épargne est ouvert dans une banque et que le montant du compte change pendant la période de stockage: des fonds sont retirés, des contributions supplémentaires sont versées. Ensuite, dans la pratique bancaire, lors du calcul des intérêts, ils utilisent souvent une méthode de calcul avec le calcul de soi-disant pourcentages. Chaque fois que le solde du compte change, on calcule le pourcentage Cj sur la période écoulée ] pendant laquelle le solde du compte est resté inchangé, à l'aide de la formule
Avec. = R.,
à 100
où ^ est la durée de la ]ème période en jours.
Pour déterminer le montant des intérêts courus pour toute la durée, tous les nombres d'intérêts sont additionnés et leur montant est divisé par un diviseur constant D :
B = K,
où K est la base de temps (nombre de jours dans une année, soit 360 ou 365 ou 366), i est le taux d'intérêt simple annuel (en %).
Lors de la fermeture du compte, le propriétaire recevra un montant égal à la dernière valeur du montant sur le compte plus le montant des intérêts.
Exemple 14
Supposons que le 20 février, un compte à vue soit ouvert pour un montant de P1 = 3000 roubles, le taux d'intérêt sur le dépôt était égal à r = 20% par an. La contribution supplémentaire au compte s'élevait à Rl = 2000 roubles. et a été fait le 15 août. Retrait du compte d'un montant de R2 = 4000 roubles. enregistré le 1er octobre et le 21 novembre, le compte a été clôturé. Il est nécessaire de déterminer le montant des intérêts et le montant total reçu par le déposant lors de la fermeture du compte.
La solution.
Le calcul sera effectué selon le schéma (360/360). Il y a trois périodes pendant lesquelles le montant du compte est resté inchangé : du 20 février au 15 août
^1 = 3000, u = 10 + 5*30 + 15 = 175), ?
du 15 août au 1er octobre
(P2 = P1 + R1 = 3000 + 2000 = 5000 roubles, b = 15 + 30 + 1 = 46), du 1er octobre au 21 novembre
(Pz = P2 + R2 = 5000 - 4000 = 1000 roubles, bz = 29 + 21 = 50). Trouver des pourcentages
R * D 3000 C. \u003d -k \u003d \u003d 5250,
1 1LL 1L
=2300,
diviseur constant
B=K/1=360/20=18.
Le montant des intérêts est
I \u003d (C, + C2 + C3) / B \u003d 5250 + 2300 + 500 \u003d 447 roubles. 22 kop.
18
Le montant versé à la fermeture d'un compte est égal à
Rz + I \u003d 1000 + 447,22 \u003d 1447 roubles. 22 kop.
Nous allons maintenant montrer le lien de cette technique avec la formule d'intérêt simple. Considérons l'exemple ci-dessus sous forme algébrique.
Le montant versé à la clôture du compte, nous trouvons comme suit
RL, + (P + O V 2 + (P + P. + 02 ^3 /
P3 +1 \u003d P + R1 + P2 + ^-^ 1 "2 V 1 1 ^3 _
100K
t1 +2 +13 I 1, o (, 2 +13 I 1, o (l, t3 I
= P.1 1 +1 2 ^ 1 + O 1 + ^ ^ 1 + P2| 1 +31 ^ K 100) ^ K 100) ^ K100
Ainsi, nous avons obtenu une expression d'où il résulte que pour chaque quantité ajoutée ou retirée
du compte, les intérêts courent à partir du moment où l'opération correspondante est effectuée jusqu'à la clôture du compte. Ce système suit la règle du commerçant discutée à la section 6.2.
Modification des clauses du contrat
En pratique, il devient souvent nécessaire de modifier les termes du contrat : par exemple, le débiteur peut demander un report de l'échéance de la dette ou, au contraire, exprimer une volonté de la rembourser plus tôt que prévu, dans certains cas il peut être nécessaire de combiner (consolider) plusieurs titres de créance en un seul, etc. Dans tous ces cas, le principe d'équivalence financière des obligations anciennes (remplacées) et nouvelles (de remplacement) est appliqué. Pour résoudre les problèmes de modification des termes du contrat, une équation dite d'équivalence est développée, dans laquelle le montant des paiements de remplacement, réduit à un moment donné, est égal au montant des paiements pour une nouvelle obligation, réduit à la même date. Pour les contrats à court terme, des taux d'intérêt simples s'appliquent, tandis que pour les contrats à moyen et long terme, des taux composés s'appliquent.

Pour l'intérêt continu, il n'y a pas de différence entre le taux d'intérêt et le taux d'actualisation, puisque la force de la croissance est un indicateur universel. Cependant, à côté d'une force de croissance constante, on peut utiliser un taux d'intérêt variable dont la valeur évolue selon une loi donnée (fonction mathématique).

Le calcul continu des intérêts est utilisé dans l'analyse de problèmes financiers complexes, tels que la justification et la sélection des décisions d'investissement. Lors de l'évaluation du travail d'une institution financière où les paiements pour une période sont reçus à plusieurs reprises, il est raisonnable de supposer que le montant accumulé change constamment au fil du temps et d'appliquer régularisation continue pour cent.

Toutes les situations que nous avons envisagées jusqu'à présent ont un intérêt discret, puisqu'elles sont calculées sur des périodes de temps fixes (année, trimestre, mois, jour, heure). Cependant, dans la pratique, il y a souvent des cas où les intérêts courent en permanence, pour une durée arbitrairement courte. Si les intérêts étaient cumulés quotidiennement, le coefficient annuel (multiplicateur) d'accumulation ressemblerait à ceci :

k n = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Mais comme les intérêts s'accumulent continuellement, alors m tend vers l'infini, et le coefficient d'accumulation (multiplicateur) tend vers ej:

où e? 2,718281 est appelé le nombre d'Euler et est l'une des constantes les plus importantes en analyse mathématique.

À partir de là, nous pouvons écrire la formule du montant accumulé pour n années:

FV = PV * e j * n = P * e q * n

Le taux d'intérêt continu est appelé force d'intérêt et sont symbolisés ré, contrairement au taux d'intérêt discret ( j).

Exemple. Un prêt d'un montant de 100 000 dollars a été reçu pour une période de 3 ans à 8% par an. Déterminez le montant à rembourser à la fin de la durée du prêt, si des intérêts courent :

a) une fois par an ;

b) quotidiennement ;

c) en continu.

Nous utilisons les formules pour les pourcentages discrets et continus :

cumul une fois par an

VF\u003d 100 "000 * (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dollars;

calcul des intérêts quotidiens

VF= 100 "000 * (1 + 0,08 / 365) 365 * 3 = 127" 121,6 $

intérêt continu

VF\u003d 100 "000 * e 0,08 * 3 \u003d 127" 124,9 $.

14. Durée du prêt. Formules nécessaires pour calculer la durée du prêt en années et jours

durée en années

période en jours (rappelez-vous que n = t/K,où K- base temporaire)

.

La valeur du taux d'intérêt. La nécessité de calculer le taux d'intérêt se pose lors de la détermination de l'efficacité financière de la transaction et lors de la comparaison des contrats par leur rendement dans les cas où les taux d'intérêt ne sont pas explicitement indiqués. Après avoir résolu les expressions (1.1) et (1.8) par rapport à je ou ré, on a

Délai de paiement. Voici les formules de calcul P pour différentes conditions d'accumulation des intérêts et d'actualisation. En cas d'accumulation à un taux annuel composé je et au taux nominal j en conséquence on obtient :

. (2.23) (2.24)

Lorsqu'ils sont actualisés à un taux d'actualisation annuel composé ré et au taux d'actualisation nominal F

. (2.25) (2.26)

Avec une augmentation de la force de croissance constante δ et de la force de croissance changeant avec un taux constant

.

La valeur du taux d'intérêt. Voici les formules de calcul des taux je, j, ré, f, δ pour différentes conditions d'accumulation des intérêts et d'actualisation. Ils sont obtenus en résolvant les équations qui déterminent S et R, sur les tarifs souhaités.

Lorsqu'ils s'accumulent à un taux d'intérêt annuel composé et à un taux d'intérêt nominal t une fois par an on trouve

. (2.29) (2.30)

Lorsqu'ils sont actualisés à un taux d'actualisation composé et à un taux d'actualisation nominal

. (2.31) (2.32)

Avec une augmentation de la force constante de croissance

. (2.33)

Avec une augmentation de la force de croissance changeant avec un taux constant

.

15. Calcul de l'intérêt simple en fonction de l'inflation . Revenons au problème de la dépréciation de la monnaie quand elle croît. De manière générale, on peut maintenant écrire :

Si l'augmentation se fait à taux simple, on a :

(2.43)

Comme vous pouvez le constater, l'augmentation du montant accumulé, compte tenu de la préservation du pouvoir d'achat de la monnaie, n'a lieu que lorsque 1 + non > Jp.

Exemple. Disons pour le montant de 1,5 million de roubles. dans les trois mois, des intérêts simples sont courus au taux de 50% par an ( K= 360). Le montant cumulé est de 1,6875 millions de roubles. Si l'inflation mensuelle est caractérisée par les taux donnés dans l'exemple 2.22, b, alors, compte tenu de la dépréciation, le montant cumulé ne sera que de 1,6875/1,77 = 0,9534 million de roubles.

16. Intérêts composés en fonction de l'inflation. Passons maintenant aux intérêts composés. En substituant dans la formule (2.42) les valeurs S et Jp, trouver

(2.44)

Les quantités à multiplier par R dans les formules (2.43) et (2.44) sont des multiplicateurs d'inflation. Exemple. Trouvons le taux d'intérêt composé réel pour les conditions : inflation annuelle 120 %, taux brut 150 % :

\u003d 0,1364, soit 13,68% (selon la formule simplifiée 30%).

Une autre méthode de compensation de l'inflation consiste à indexer le montant du paiement initial. R Dans ce cas, ce montant est ajusté périodiquement à l'aide d'un indice prédéterminé. C'est la méthode acceptée au Royaume-Uni. Par définition

C = PJp(1 + je)n.

17. Calcul du taux d'intérêt réel en fonction de l'inflation. Passons maintenant à la solution du problème inverse - à la mesure taux d'intérêt réel, ceux. rendements corrigés de l'inflation - définition je selon la valeur spécifiée du taux brut. Si un r- taux de rendement déclaré (taux brut), puis le taux de rendement souhaité sous la forme d'un taux d'intérêt annuel je peut être défini dans le calcul de l'intérêt simple sur la base de (2.43) comme

. (2.48)

Rendement réel, comme on le voit, ici, cela dépend de la période d'accumulation des intérêts. Rappelons que l'indice des prix inclus dans cette formule couvre toute la période d'intérêt.

Un indicateur de contenu similaire, mais avec une augmentation des intérêts composés, nous le trouverons sur la base de la formule (2.44).