Exemple

1,6 / 2 = 0,8 ; 4 / 5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8 etc..

Facteur de proportionnalité

Le rapport constant des quantités proportionnelles est appelé coefficient de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité tombent sur une unité d'une autre.

Proportionnalité directe

Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une quantité dépend d'une autre quantité de telle manière que leur rapport reste constant. Autrement dit, ces variables changent proportionnellement, à parts égales, c'est-à-dire que si l'argument a changé deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.

Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :

F(X) = unX,un = const

Proportionnalité inverse

Proportion inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).

Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme :

Propriétés de la fonction :

Sources

Fondation Wikimédia. 2010 .

La proportionnalité est la relation entre deux quantités, dans laquelle un changement dans l'un d'eux entraîne un changement dans l'autre du même montant.

La proportionnalité est directe et inverse. À Cette leçon nous allons regarder chacun d'eux.

Contenu de la leçon

Proportionnalité directe

Supposons qu'une voiture se déplace à une vitesse de 50 km/h. Rappelons que la vitesse est la distance parcourue par unité de temps (1 heure, 1 minute ou 1 seconde). Dans notre exemple, la voiture se déplace à une vitesse de 50 km/h, c'est-à-dire qu'en une heure elle parcourra une distance égale à cinquante kilomètres.

Traçons la distance parcourue par la voiture en 1 heure.

Laissez la voiture rouler encore une heure à la même vitesse de cinquante kilomètres à l'heure. Ensuite, il s'avère que la voiture parcourra 100 km

Comme on peut le voir dans l'exemple, le doublement du temps a entraîné une augmentation de la distance parcourue du même montant, c'est-à-dire deux fois.

On dit que des quantités telles que le temps et la distance sont directement proportionnelles. La relation entre ces grandeurs est appelée proportionnalité directe.

La proportionnalité directe est la relation entre deux quantités, dans laquelle une augmentation de l'une entraîne une augmentation de l'autre du même montant.

et vice versa, si une valeur diminue d'un certain nombre de fois, alors l'autre diminue du même montant.

Supposons que le plan initial était de parcourir 100 km en 2 heures avec la voiture, mais qu'après avoir parcouru 50 km, le conducteur a décidé de faire une pause. Ensuite, il s'avère qu'en réduisant la distance de moitié, le temps diminuera du même montant. En d'autres termes, une diminution de la distance parcourue entraînera une diminution du temps du même facteur.

Une caractéristique intéressante des quantités directement proportionnelles est que leur rapport est toujours constant. Autrement dit, lors de la modification des valeurs de quantités directement proportionnelles, leur rapport reste inchangé.

Dans l'exemple considéré, la distance était d'abord égale à 50 km, et le temps était d'une heure. Le rapport de la distance au temps est le nombre 50.

Mais nous avons multiplié par 2 le temps de déplacement, le rendant égal à deux heures. En conséquence, la distance parcourue a augmenté du même montant, c'est-à-dire qu'elle est devenue égale à 100 km. Le rapport de cent kilomètres à deux heures est à nouveau le nombre 50

Le nombre 50 s'appelle coefficient de proportionnalité directe. Il indique la distance parcourue par heure de déplacement. À ce cas le coefficient joue le rôle de la vitesse de déplacement, puisque la vitesse est le rapport de la distance parcourue au temps.

Les proportions peuvent être faites à partir de quantités directement proportionnelles. Par exemple, les ratios et composent la proportion :

Cinquante kilomètres sont liés à une heure comme cent kilomètres sont liés à deux heures.

Exemple 2. Le coût et la quantité des biens achetés sont directement proportionnels. Si 1 kg de bonbons coûte 30 roubles, alors 2 kg des mêmes bonbons coûteront 60 roubles, 3 kg - 90 roubles. Avec l'augmentation du coût des biens achetés, sa quantité augmente du même montant.

Puisque la valeur d'une marchandise et sa quantité sont directement proportionnelles, leur rapport est toujours constant.

Écrivons le rapport de trente roubles à un kilogramme

Écrivons maintenant à quoi correspond le rapport de soixante roubles à deux kilogrammes. Ce rapport sera à nouveau égal à trente :

Ici, le coefficient de proportionnalité directe est le nombre 30. Ce coefficient indique combien de roubles par kilogramme de bonbons. Dans cet exemple, le coefficient joue le rôle du prix d'un kilogramme de marchandise, puisque le prix est le rapport du coût de la marchandise à sa quantité.

Proportionnalité inverse

Prenons l'exemple suivant. La distance entre les deux villes est de 80 km. Le motocycliste a quitté la première ville, et à une vitesse de 20 km/h a atteint la deuxième ville en 4 heures.

Si la vitesse d'un motocycliste était de 20 km/h, cela signifie qu'il parcourait chaque heure une distance égale à vingt kilomètres. Représentons sur la figure la distance parcourue par le motocycliste et le temps de son déplacement:

Au retour, la vitesse du motocycliste était de 40 km/h, et il a passé 2 heures sur le même trajet.

Il est facile de voir que lorsque la vitesse change, le temps de déplacement a changé du même montant. Et ça a changé en verso- c'est-à-dire que la vitesse a augmenté et que le temps, au contraire, a diminué.

Des quantités telles que la vitesse et le temps sont dites inversement proportionnelles. La relation entre ces grandeurs est appelée proportionnalité inverse.

La proportionnalité inverse est la relation entre deux quantités, dans laquelle une augmentation de l'une d'elles entraîne une diminution de l'autre du même montant.

et inversement, si une valeur diminue un certain nombre de fois, alors l'autre augmente du même montant.

Par exemple, si sur le chemin du retour la vitesse d'un motocycliste était de 10 km/h, alors il parcourrait les mêmes 80 km en 8 heures :

Comme on peut le voir dans l'exemple, une diminution de la vitesse a entraîné une augmentation du temps de trajet du même facteur.

La particularité des quantités inversement proportionnelles est que leur produit est toujours constant. Autrement dit, lors de la modification des valeurs de quantités inversement proportionnelles, leur produit reste inchangé.

Dans l'exemple considéré, la distance entre les villes était de 80 km. Lors du changement de vitesse et de temps du motocycliste, cette distance est toujours restée inchangée.

Un motocycliste pourrait parcourir cette distance à une vitesse de 20 km/h en 4 heures, et à une vitesse de 40 km/h en 2 heures, et à une vitesse de 10 km/h en 8 heures. Dans tous les cas, le produit de la vitesse et du temps était égal à 80 km

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Exemple

1,6 / 2 = 0,8 ; 4 / 5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8 etc..

Facteur de proportionnalité

Le rapport constant des quantités proportionnelles est appelé coefficient de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité tombent sur une unité d'une autre.

Proportionnalité directe

Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une quantité dépend d'une autre quantité de telle manière que leur rapport reste constant. Autrement dit, ces variables changent proportionnellement, à parts égales, c'est-à-dire que si l'argument a changé deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.

Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :

F(X) = unX,un = const

Proportionnalité inverse

Proportion inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).

Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme :

Propriétés de la fonction :

Sources

Fondation Wikimédia. 2010 .

• La deuxième loi de Newton
• Barrière coulombienne

Voyez ce qu'est la "proportionnalité directe" dans d'autres dictionnaires :

proportionnalité directe- - [AS Goldberg. Dictionnaire de l'énergie anglais russe. 2006] Thèmes énergie en général EN rapport direct … Manuel du traducteur technique

proportionnalité directe- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys : angl. proportionnalité directe vok. direkte Proportionalitat, f rus. proportionnalité directe, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORTIONNALITÉ- (du lat. proportionnel est proportionné, proportionnel). Proportionnalité. Dictionnaire des mots étrangers inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910. PROPORTIONNALITÉ otlat. proportionnel, proportionnel. Proportionnalité. Explication de 25000… … Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe

PROPORTIONNALITÉ- PROPORTIONNALITÉ, proportionnalité, pl. non, femelle (livre). 1. diversion nom à proportionnel. Proportionnalité des pièces. Proportionnalité corporelle. 2. Une telle relation entre des grandeurs lorsqu'elles sont proportionnelles (voir proportionnel... Dictionnaire Ouchakov

Proportionnalité- Deux quantités mutuellement dépendantes sont dites proportionnelles si le rapport de leurs valeurs reste inchangé .. Sommaire 1 Exemple 2 Coefficient de proportionnalité ... Wikipedia

PROPORTIONNALITÉ- PROPORTIONNALITÉ, et, épouses. 1. voir proportionnelle. 2. En mathématiques: une telle relation entre des quantités, lorsqu'une augmentation de l'une d'elles entraîne une modification de l'autre du même montant. Direct p. (lorsqu'il est coupé avec une augmentation d'une valeur ... ... Dictionnaire explicatif d'Ozhegov

proportionnalité- et; et. 1. à Proportionnel (1 chiffre); proportionnalité. P. parties. Physique P. P. représentation au parlement. 2. Mathématiques. Dépendance entre des quantités qui changent proportionnellement. Facteur de proportionnalité. Direct P. (Dans lequel avec ... ... Dictionnaire encyclopédique

Le concept de proportionnalité directe

Imaginez que vous envisagez d'acheter votre bonbon préféré (ou tout ce que vous aimez vraiment). Les bonbons dans le magasin ont leur propre prix. Supposons 300 roubles par kilogramme. Plus vous achetez de bonbons, plus plus d'argent Payer. Autrement dit, si vous voulez 2 kilogrammes - payez 600 roubles, et si vous voulez 3 kilos - donnez 900 roubles. Tout semble être clair avec cela, non?

Si oui, alors vous savez maintenant ce qu'est la proportionnalité directe - c'est un concept qui décrit le rapport de deux quantités qui dépendent l'une de l'autre. Et le rapport de ces quantités reste inchangé et constant: de combien de parties l'une d'elles augmente ou diminue, du même nombre de parties la seconde augmente ou diminue proportionnellement.

La proportionnalité directe peut être décrite par la formule suivante : f(x) = a*x, et a dans cette formule est une valeur constante (a = const). Dans notre exemple de bonbon, le prix est une constante, une constante. Il n'augmente ni ne diminue, peu importe le nombre de bonbons que vous décidez d'acheter. La variable indépendante (argument) x est le nombre de kilogrammes de bonbons que vous allez acheter. Et la variable dépendante f(x) (fonction) est le montant que vous finissez par payer pour votre achat. Nous pouvons donc substituer les nombres dans la formule et obtenir : 600 r. = 300 r. * 2 kg.

La conclusion intermédiaire est la suivante : si l'argument augmente, la fonction augmente également, si l'argument diminue, la fonction diminue également

Fonction et ses propriétés

Fonction proportionnelle directe est cas particulier fonction linéaire. Si la fonction linéaire est y = k*x + b, alors pour la proportionnalité directe, cela ressemble à ceci : y = k*x, où k est appelé le facteur de proportionnalité, et c'est toujours un nombre non nul. Le calcul de k est facile - il se trouve sous la forme d'un quotient d'une fonction et d'un argument : k = y/x.

Pour que ce soit plus clair, prenons un autre exemple. Imaginez qu'une voiture se déplace d'un point A à un point B. Sa vitesse est de 60 km/h. Si nous supposons que la vitesse de déplacement reste constante, elle peut être considérée comme une constante. Et puis nous écrivons les conditions sous la forme: S \u003d 60 * t, et cette formule est similaire à la fonction de proportionnalité directe y \u003d k * x. Faisons un parallèle plus loin: si k \u003d y / x, alors la vitesse de la voiture peut être calculée, connaissant la distance entre A et B et le temps passé sur la route: V \u003d S / t.

Et maintenant, à partir de l'application appliquée des connaissances sur la proportionnalité directe, revenons à sa fonction. Dont les propriétés comprennent :

son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels (ainsi que son sous-ensemble) ;

la fonction est impaire ;

le changement de variables est directement proportionnel à toute la longueur de la droite numérique.

La proportionnalité directe et son graphique

Un graphique d'une fonction proportionnelle directe est une ligne droite qui coupe le point d'origine. Pour le construire, il suffit de marquer un seul point de plus. Et connectez-le et l'origine de la ligne.

Dans le cas d'un graphe, k est la pente. Si la pente est inférieure à zéro (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), le graphique et l'axe des abscisses forment un angle aigu, et la fonction est croissante.

Et une autre propriété du graphique de la fonction de proportionnalité directe est directement liée à la pente k. Supposons que nous ayons deux fonctions non identiques et, par conséquent, deux graphiques. Ainsi, si les coefficients k de ces fonctions sont égaux, leurs graphiques sont parallèles sur l'axe des coordonnées. Et si les coefficients k ne sont pas égaux entre eux, les graphiques se croisent.

Exemples de tâches

Décidons un couple problèmes de proportionnalité directe

Commençons simple.

Tâche 1 : Imaginez que 5 poules pondent 5 œufs en 5 jours. Et s'il y a 20 poules, combien d'œufs vont-elles pondre en 20 jours ?

Solution : Dénotez l'inconnu par x. Et nous discuterons de la manière suivante: combien de fois plus de poulets sont devenus ? Divisez 20 par 5 et découvrez que 4 fois. Et combien de fois plus d'œufs 20 poules pondront-elles dans les mêmes 5 jours ? Aussi 4 fois plus. Donc, on retrouve les nôtres comme ça : 5 * 4 * 4 \u003d 80 œufs seront pondus par 20 poules en 20 jours.

Maintenant que l'exemple est un peu plus compliqué, reformulons le problème de "l'arithmétique générale" de Newton. Tâche 2 : Un écrivain peut écrire 14 pages d'un nouveau livre en 8 jours. S'il avait des assistants, combien de personnes faudrait-il pour écrire 420 pages en 12 jours ?

Solution : Nous raisonnons que le nombre de personnes (rédacteur + assistants) augmente avec l'augmentation de la quantité de travail si cela devait être fait dans le même laps de temps. Mais combien de fois ? En divisant 420 par 14, nous découvrons qu'il augmente de 30 fois. Mais comme, selon l'état de la tâche, plus de temps est accordé au travail, le nombre d'assistants n'augmente pas de 30 fois, mais de cette manière: x \u003d 1 (écrivain) * 30 (fois): 12/8 (journées). Transformons et découvrons que x = 20 personnes écriront 420 pages en 12 jours.

Résolvons un autre problème similaire à ceux que nous avions dans les exemples.

Tâche 3 : Deux voitures partent pour le même trajet. L'un se déplaçait à une vitesse de 70 km/h et parcourait la même distance en 2 heures que l'autre en 7 heures. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture.

Solution : Comme vous vous en souvenez, le chemin est déterminé par la vitesse et le temps - S = V *t. Comme les deux voitures ont parcouru le même chemin, on peut assimiler les deux expressions : 70*2 = V*7. Où trouve-t-on que la vitesse de la deuxième voiture est V = 70*2/7 = 20 km/h.

Et quelques autres exemples de tâches avec des fonctions de proportionnalité directe. Parfois, dans les problèmes, il est nécessaire de trouver le coefficient k.

Tâche 4 : Étant donné les fonctions y \u003d - x / 16 et y \u003d 5x / 2, déterminez leurs coefficients de proportionnalité.

Solution : Comme vous vous en souvenez, k = y/x. Ainsi, pour la première fonction, le coefficient est -1/16, et pour la seconde, k = 5/2.

Et vous pouvez également rencontrer une tâche comme Tâche 5 : Notez la formule de proportionnalité directe. Son graphique et le graphique de la fonction y \u003d -5x + 3 sont situés en parallèle.

Solution : La fonction qui nous est donnée dans la condition est linéaire. Nous savons que la proportionnalité directe est un cas particulier de fonction linéaire. Et nous savons aussi que si les coefficients de k fonctions sont égaux, leurs graphiques sont parallèles. Cela signifie qu'il suffit de calculer le coefficient d'une fonction connue et de définir la proportionnalité directe à l'aide de la formule qui nous est familière: y \u003d k * x. Coefficient k \u003d -5, proportionnalité directe : y \u003d -5 * x.

Conclusion

Maintenant que vous avez appris (ou rappelé, si vous avez déjà abordé ce sujet auparavant), ce qu'on appelle proportionnalité directe, et l'a considéré exemples. Nous avons également parlé de la fonction de proportionnalité directe et de son graphe, résolu plusieurs problèmes par exemple.

Si cet article vous a été utile et a aidé à comprendre le sujet, parlez-nous en dans les commentaires. Pour que nous sachions si nous pourrions vous être utiles.

blog.site, avec copie complète ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.

Trikhleb Daniil, élève de 7e année

connaissance de la proportionnalité directe et du coefficient de proportionnalité directe (introduction de la notion de coefficient angulaire ");

construire un graphe de proportionnalité directe ;

considération de l'arrangement mutuel des graphes de proportionnalité directe et d'une fonction linéaire de même pente.

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Légendes des diapositives :

La proportionnalité directe et son graphique

Quel est l'argument et la valeur d'une fonction ? Quelle variable est dite indépendante, dépendante ? Qu'est-ce qu'une fonction ? RÉVISION Quelle est la portée d'une fonction ?

Façons de définir une fonction. Analytique (à l'aide d'une formule) Graphique (à l'aide d'un graphique) Tabulaire (à l'aide d'un tableau)

Le graphique d'une fonction est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées, dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction. FONCTION PROGRAMME

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

TERMINEZ LA TÂCHE Représentez graphiquement la fonction y = 2 x +1, où 0 ≤ x ≤ 4 . Faites un tableau. Sur le graphique, trouvez la valeur de la fonction à x \u003d 2,5. A quelle valeur de l'argument la valeur de la fonction est-elle égale à 8 ?

Définition La proportionnalité directe est une fonction qui peut être spécifiée par une formule de la forme y \u003d k x, où x est une variable indépendante, k est un nombre non nul. (k- coefficient de proportionnalité directe) Dépendance proportionnelle directe

8 Graphique de proportionnalité directe - une droite passant par l'origine (point O(0,0)) I et III quarts de coordonnées. Fourchette

Graphiques des fonctions de proportionnalité directe y x k>0 k>0 k

Tâche Déterminer lequel des graphiques montre la fonction de proportionnalité directe.

Tâche Déterminer le graphique dont la fonction est montrée dans la figure. Choisissez une formule parmi les trois proposées.

travail oral. Le graphique de la fonction donnée par la formule y \u003d k x, où k

Déterminez lequel des points A(6,-2), B(-2,-10),C(1,-1),E(0,0) appartient au graphique de proportionnalité directe donné par la formule y = 5x 1 ) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - incorrect. Le point A n'appartient pas au graphe de la fonction y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 est correct. Le point B appartient au graphe de la fonction y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - incorrect Le point C n'appartient pas au graphe de la fonction y=5x. 4) E (0; 0) 0 = 5  0 0 = 0 - vrai. Le point E appartient au graphe de la fonction y=5x

TEST 1 option 2 option numéro 1. Parmi les fonctions données par la formule, lesquelles sont directement proportionnelles ? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

N° 2. Notez les nombres de lignes y = kx , où k > 0 1 option k

Numéro 3. Déterminez lequel des points appartient à un graphique t de proportionnalité directe donné par la formule Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 option C (1, -1), E (0,0 ) Option 2

y =5x y =10x III A VI et IV E 1 2 3 1 2 3 N° Bonne réponse Bonne réponse Non.

Terminez la tâche : montrez schématiquement comment se trouve le graphique de la fonction donnée par la formule : y \u003d 1,7 x y \u003d -3,1 x y \u003d 0,9 x y \u003d -2,3 x

AFFECTATION Parmi les graphiques suivants, sélectionnez uniquement les graphiques proportionnels directs.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Fonctions y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4. y \u003d - 1,5x 5. y \u003d - 5 / x 6. y \u003d 5x 7. y \u003d 2x - 5 8. y \u003d - 0,3x 9. y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 Sélectionnez des fonctions de la forme y \u003d k x (proportionnalité directe) et écrivez-les

Fonctions de proportionnalité directe Y \u003d 2x Y \u003d -1,5x Y \u003d 5x Y \u003d -0,3x y x

y Fonctions linéaires qui ne sont pas des fonctions proportionnelles directes 1) y \u003d 2x + 3 2) y \u003d 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y \u003d 2x + 3 y \ u003d 2x - 5

Devoirs : p.15 p.65-67, n°307 ; N° 308.

Répétons-le encore. Qu'avez-vous appris de nouveau ? Qu'as-tu appris? Qu'avez-vous trouvé particulièrement difficile ?

J'ai aimé la leçon et le sujet est compris : j'ai aimé la leçon, mais tout n'est pas encore clair : je n'ai pas aimé la leçon et le sujet n'est pas clair.