Vous voulez savoir quelles sont les chances mathématiques que votre pari soit réussi ? Alors il y en a deux pour vous. bonnes nouvelles. Premièrement: pour calculer la perméabilité, vous n'avez pas besoin d'effectuer des calculs complexes et de passer beaucoup de temps. Assez pour en profiter formules simples, qui prendra quelques minutes à travailler. Deuxièmement, après avoir lu cet article, vous pourrez facilement calculer la probabilité de réussir l'un de vos métiers.
Pour déterminer correctement la perméabilité, vous devez suivre trois étapes:
- Calculer le pourcentage de la probabilité de l'issue d'un événement selon le bureau du bookmaker ;
- Calculez vous-même la probabilité à partir de données statistiques;
- Découvrez la valeur d'un pari compte tenu des deux probabilités.
Examinons en détail chacune des étapes, en utilisant non seulement des formules, mais également des exemples.
Passage rapide
Calcul de la probabilité intégrée dans les cotes des paris
La première étape consiste à savoir avec quelle probabilité le bookmaker évalue les chances d'un résultat particulier. Après tout, force est de constater que les bookmakers ne misent pas les cotes comme ça. Pour cela nous utilisons la formule suivante :
PB=(1/K)*100%,
où P B est la probabilité du résultat selon le bureau du bookmaker ;
K - cotes du bookmaker pour le résultat.
Disons que la cote est de 4 pour la victoire de l'Arsenal de Londres dans un duel contre le Bayern, ce qui signifie que la probabilité de sa victoire par le BC est considérée comme (1/4) * 100 % = 25 %. Ou Djokovic joue contre South. Le multiplicateur de victoire de Novak est de 1,2, ses chances sont égales à (1/1,2)*100%=83%.
C'est ainsi que le bookmaker lui-même évalue les chances de succès de chaque joueur et équipe. Après avoir terminé la première étape, nous passons à la seconde.
Calcul de la probabilité d'un événement par le joueur
Le deuxième point de notre plan est notre propre évaluation de la probabilité de l'événement. Comme nous ne pouvons pas prendre en compte mathématiquement des paramètres tels que la motivation, le ton du jeu, nous utiliserons un modèle simplifié et n'utiliserons que les statistiques des réunions précédentes. Pour calculer la probabilité statistique d'un résultat, nous utilisons la formule :
PEt\u003d (UM / M) * 100%,
oùPEt- la probabilité de l'événement selon le joueur ;
UM - le nombre de matchs réussis au cours desquels un tel événement a eu lieu ;
M est le nombre total de matchs.
Pour que ce soit plus clair, donnons des exemples. Andy Murray et Rafael Nadal ont joué 14 matchs. Dans 6 d'entre eux, un total de moins de 21 matchs a été enregistré, dans 8 - un total de plus. Il faut connaître la probabilité que le prochain match se joue pour un total over : (8/14)*100=57%. Valence a disputé 74 matchs à Mestalla contre l'Atlético, au cours desquels ils ont remporté 29 victoires. Probabilité de victoire de Valence : (29/74)*100%=39%.
Et nous ne le savons tous que grâce aux statistiques des jeux précédents ! Naturellement, une telle probabilité ne peut pas être calculée pour une nouvelle équipe ou un nouveau joueur, donc cette stratégie de pari ne convient que pour les matchs dans lesquels les adversaires ne se rencontrent pas pour la première fois. Nous savons maintenant comment déterminer les paris et nos propres probabilités de résultats, et nous avons toutes les connaissances nécessaires pour passer à la dernière étape.
Déterminer la valeur d'un pari
La valeur (valorisation) du pari et la passabilité sont directement liées : plus la valorisation est élevée, plus les chances de réussite sont élevées. La valeur est calculée de la manière suivante:
V=PEt*K-100 %,
où V est la valeur ;
P I - la probabilité d'un résultat selon le meilleur;
K - cotes du bookmaker pour le résultat.
Disons que nous voulons parier sur Milan pour gagner le match contre la Roma et nous avons calculé que la probabilité de victoire des Rouges-Noirs est de 45 %. Le bookmaker nous propose un coefficient de 2,5 pour ce résultat. Un tel pari aurait-il de la valeur ? Nous effectuons des calculs: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Super, on a un pari valable avec de bonnes chances de passer.
Prenons un autre cas. Maria Sharapova joue contre Petra Kvitova. Nous voulons conclure un accord pour que Maria gagne, ce qui, selon nos calculs, a une probabilité de 60 %. Les bookmakers offrent un multiplicateur de 1,5 pour ce résultat. Déterminez la valeur : V=60%*1.5-100=-10%. Comme vous pouvez le voir, ce pari n'a aucune valeur et doit être évité.
Dans son blog, une traduction de la prochaine conférence du cours "Principles of Game Balance" du game designer Jan Schreiber, qui a travaillé sur des projets tels que Marvel Trading Card Game et Playboy: the Mansion.
Avant de aujourd'hui presque tout ce dont nous avons parlé était déterministe, et la semaine dernière, nous avons examiné de près la mécanique transitive, en la décomposant avec autant de détails que possible. Mais jusqu'à présent, nous n'avons pas prêté attention aux autres aspects de nombreux jeux, à savoir les moments non déterministes - en d'autres termes, le caractère aléatoire.
Comprendre la nature du hasard est très important pour les concepteurs de jeux. Nous créons des systèmes qui affectent l'expérience utilisateur dans un jeu donné, nous devons donc savoir comment ces systèmes fonctionnent. S'il y a du hasard dans le système, nous devons comprendre la nature de ce hasard et savoir comment le modifier afin d'obtenir les résultats dont nous avons besoin.
Dé
Commençons par quelque chose de simple - lancer des dés. Lorsque la plupart des gens pensent aux dés, ils pensent à un dé à six faces connu sous le nom de d6. Mais la plupart des joueurs ont vu de nombreux autres dés : quatre faces (d4), huit faces (d8), douze faces (d12), vingt faces (d20). Si vous êtes un vrai geek, vous avez peut-être des dés de 30 ou 100 grains quelque part.
Si vous n'êtes pas familier avec cette terminologie, d représente un dé et le nombre qui le suit est le nombre de ses faces. Si le nombre vient avant d, alors il indique le nombre de dés lors du lancement. Par exemple, au Monopoly, vous lancez 2d6.
Alors dans ce cas l'expression "dés" est une désignation conventionnelle. Il existe un grand nombre d'autres générateurs de nombres aléatoires qui ne ressemblent pas à des figures en plastique, mais remplissent la même fonction - ils génèrent nombre aléatoire de 1 à n. Une pièce de monnaie ordinaire peut également être représentée par un dé dièdre d2.
J'ai vu deux dessins d'un dé à sept faces : l'un ressemblait à un dé et le second ressemblait davantage à un crayon en bois à sept faces. Un dreidel tétraédrique, également connu sous le nom de titotum, est un analogue d'un os tétraédrique. Le plateau de jeu avec une flèche tournante dans Chutes & Ladders, où le résultat peut aller de 1 à 6, correspond à un dé à six faces.
Un générateur de nombres aléatoires dans un ordinateur peut générer n'importe quel nombre de 1 à 19 si le concepteur donne une telle commande, bien que l'ordinateur n'ait pas de dé à 19 faces (en général, je parlerai davantage de la probabilité d'obtenir des nombres sur un ordinateur la semaine prochaine). Tous ces éléments semblent différents, mais en fait ils sont équivalents : vous avez une chance égale de chacun des résultats possibles.
Les dés ont des propriétés intéressantes que nous devons connaître. Tout d'abord, la probabilité que l'un des visages apparaisse est la même (je suppose que vous lancez les dés avec le bon Forme géométrique). Si vous voulez connaître la valeur moyenne du tirage au sort (pour ceux qui aiment la théorie des probabilités, on l'appelle valeur attendue), additionnez les valeurs sur toutes les faces et divisez ce nombre par le nombre de faces.
La somme des valeurs de toutes les faces pour un dé standard à six faces est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Divisez 21 par le nombre de faces et obtenez la valeur moyenne du lancer : 21 / 6 = 3,5. ce un cas particulier, car nous supposons que tous les résultats sont également probables.
Et si vous aviez des dés spéciaux ? Par exemple, j'ai vu un jeu avec un dé à six faces avec des autocollants spéciaux sur les faces : 1, 1, 1, 2, 2, 3, donc il se comporte comme un étrange dé à trois faces, qui est plus susceptible de lancer le 1 que 2, et il est plus probable qu'il obtienne un 2 qu'un 3. Quelle est la valeur moyenne du lancer pour ce dé ? Donc, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, divisez par 6 - vous obtenez 5/3, soit environ 1,66. Donc, si vous avez un dé spécial et que les joueurs lancent trois dés, puis additionnent les résultats, vous savez que leur total sera d'environ 5, et vous pouvez équilibrer le jeu en fonction de cette hypothèse.
Dés et indépendance
Comme je l'ai déjà dit, nous partons de l'hypothèse que l'abandon de chaque face est également probable. Peu importe le nombre de dés que vous lancez ici. Chaque lancer de dé est indépendant, ce qui signifie que les lancers précédents n'affectent pas les résultats des lancers suivants. Avec suffisamment d'essais, vous remarquerez forcément une série de nombres - par exemple, rouler principalement des valeurs supérieures ou inférieures - ou d'autres caractéristiques, mais cela ne signifie pas que les dés sont "chauds" ou "froids". Nous en reparlerons plus tard.
Si vous lancez un dé standard à six faces et que le chiffre 6 apparaît deux fois de suite, la probabilité que le résultat du prochain lancer soit un 6 est également de 1/6. La probabilité n'augmente pas car le dé "s'est réchauffé". ". Dans le même temps, la probabilité ne diminue pas: il est incorrect de prétendre que le chiffre 6 est déjà tombé deux fois de suite, ce qui signifie qu'un autre visage doit maintenant tomber.
Bien sûr, si vous lancez un dé vingt fois et que le chiffre 6 sort à chaque fois, la probabilité qu'un 6 sorte la vingt et unième fois est assez élevée : vous pourriez simplement avoir le mauvais dé. Mais si le dé est correct, la probabilité d'obtenir chacune des faces est la même, quels que soient les résultats des autres lancers. Vous pouvez également imaginer que nous changeons de dé à chaque fois : si le chiffre 6 a obtenu deux fois de suite, retirez le dé « chaud » du jeu et remplacez-le par un nouveau. Je suis désolé si l'un d'entre vous était déjà au courant de cela, mais j'avais besoin de clarifier cela avant de continuer.
Comment faire rouler les dés plus ou moins aléatoirement
Parlons de la façon d'obtenir des résultats différents sur différents dés. Si vous ne lancez le dé qu'une ou plusieurs fois, le jeu semblera plus aléatoire lorsque le dé aura plus d'arêtes. Plus vous lancez les dés souvent et plus vous lancez de dés, plus les résultats se rapprochent de la moyenne.
Par exemple, dans le cas de 1d6 + 4 (c'est-à-dire si vous lancez un dé standard à six faces une fois et ajoutez 4 au résultat), la moyenne sera un nombre compris entre 5 et 10. Si vous lancez 5d2, la moyenne sera également un nombre compris entre 5 et 10. Le résultat du lancer de 5d2 sera principalement les nombres 7 et 8, moins souvent d'autres valeurs. Même série, voire même valeur moyenne (7,5 dans les deux cas), mais la nature de l'aléatoire est différente.
Attendez une minute. Ne viens-je pas de dire que les dés ne « chauffent » ni ne « refroidissent » ? Et maintenant je dis : si vous lancez beaucoup de dés, les résultats des lancers sont plus proches de la valeur moyenne. Pourquoi?
Laisse-moi expliquer. Si vous lancez un seul dé, la probabilité que chacune des faces apparaisse est la même. Cela signifie que si vous lancez beaucoup de dés au fil du temps, chaque face apparaîtra à peu près le même nombre de fois. Plus vous lancerez de dés, plus le résultat total se rapprochera de la moyenne.
Ce n'est pas parce que le numéro obtenu "provoque" le lancement d'un autre numéro qui n'a pas encore été obtenu. Parce qu'une petite série de lancers du nombre 6 (ou 20, ou un autre nombre) ne fera pas beaucoup de différence à la fin si vous lancez les dés dix mille fois de plus et c'est surtout la moyenne. Maintenant, vous aurez quelques grands nombres, et plus tard quelques petits - et avec le temps, ils se rapprocheront de la valeur moyenne.
Ce n'est pas parce que les lancers précédents affectent les dés (sérieusement, un dé est en plastique, il n'a pas la cervelle pour penser "Oh, ça fait longtemps qu'un 2 n'est pas sorti"), mais parce que ça arrive généralement avec beaucoup de rouleaux jouant aux dés.
Il est donc assez facile de calculer pour un lancer de dé aléatoire - calculez au moins la valeur moyenne du lancer. Il existe également des moyens de calculer "à quel point quelque chose est aléatoire" et de dire que les résultats d'un jet 1d6 + 4 seront "plus aléatoires" que 5d2. Pour 5d2, les résultats roulés seront distribués plus uniformément. Pour ce faire, vous devez calculer l'écart-type : plus la valeur est grande, plus les résultats seront aléatoires. Je ne voudrais pas donner autant de calculs aujourd'hui, j'expliquerai ce sujet plus tard.
La seule chose que je vais vous demander de retenir est qu'en règle générale, moins vous lancez de dés, plus il y a de hasard. Et plus le dé a de côtés, plus il y a d'aléatoire, car il y a plus d'options possibles pour la valeur.
Comment calculer la probabilité en comptant
Vous vous demandez peut-être : comment pouvons-nous calculer la probabilité exacte d'un résultat particulier ? En fait, c'est assez important pour de nombreux jeux : si vous lancez le dé au départ, il est probable que vous obteniez un résultat optimal. La réponse est : nous devons calculer deux valeurs. Premièrement, le nombre total de résultats lors du lancement d'un dé, et deuxièmement, le nombre de résultats favorables. En divisant la deuxième valeur par la première, vous obtenez la probabilité souhaitée. Pour obtenir un pourcentage, multipliez le résultat par 100.
Exemples
Voici un exemple très simple. Vous voulez obtenir un 4 ou plus et lancer un dé à six faces une fois. Le nombre maximum de résultats est de 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Parmi ceux-ci, 3 résultats (4, 5, 6) sont favorables. Donc, pour calculer la probabilité, on divise 3 par 6 et on obtient 0,5 ou 50 %.
Voici un exemple un peu plus compliqué. Vous voulez que le jet de 2d6 donne un nombre pair. Le nombre maximum de résultats est de 36 (6 options pour chaque dé, un dé n'affecte pas l'autre, nous multiplions donc 6 par 6 et obtenons 36). La difficulté avec ce type de question est qu'il est facile de compter deux fois. Par exemple, sur un jet de 2d6, il y a deux résultats possibles pour un 3 : 1+2 et 2+1. Ils se ressemblent, mais la différence est quel nombre est affiché sur le premier dé et lequel est sur le second.
Vous pouvez également imaginer que les dés sont de couleurs différentes : ainsi, par exemple, dans ce cas, un dé est rouge, l'autre est bleu. Comptez ensuite le nombre d'occurrences possibles d'un nombre pair :
- 2 (1+1);
- 4 (1+3);
- 4 (2+2);
- 4 (3+1);
- 6 (1+5);
- 6 (2+4);
- 6 (3+3);
- 6 (4+2);
- 6 (5+1);
- 8 (2+6);
- 8 (3+5);
- 8 (4+4);
- 8 (5+3);
- 8 (6+2);
- 10 (4+6);
- 10 (5+5);
- 10 (6+4);
- 12 (6+6).
Il s'avère qu'il existe 18 options pour un résultat favorable sur 36 - comme dans le cas précédent, la probabilité est de 0,5 ou 50%. Peut-être inattendu, mais tout à fait exact.
Simulation de Monte-Carlo
Que faire si vous avez trop de dés pour ce calcul ? Par exemple, vous voulez savoir quelle est la probabilité qu'un total de 15 ou plus apparaisse sur un jet de 8d6. Il existe un grand nombre de résultats différents pour huit dés, et les compter manuellement prendrait beaucoup de temps - même si nous pouvions trouver une bonne solution pour regrouper les différentes séries de lancers de dés.
Dans ce cas, le plus simple n'est pas de compter manuellement, mais d'utiliser un ordinateur. Il existe deux façons de calculer la probabilité sur un ordinateur. La première façon peut obtenir la réponse exacte, mais elle implique un peu de programmation ou de script. L'ordinateur passera en revue chaque possibilité, évaluera et comptera le nombre total d'itérations et le nombre d'itérations qui correspondent au résultat souhaité, puis fournira les réponses. Votre code pourrait ressembler à ceci :
Si vous n'êtes pas programmeur et que vous ne voulez pas une réponse exacte, mais une réponse approximative, vous pouvez simuler cette situation dans Excel, où vous lancez 8d6 plusieurs milliers de fois et obtenez la réponse. Pour lancer 1d6 dans Excel, utilisez la formule =SOL(RAND()*6)+1.
Il y a un nom pour la situation où vous ne connaissez pas la réponse et essayez simplement plusieurs fois - la simulation de Monte Carlo. C'est une excellente solution sur laquelle se rabattre lorsqu'il est trop difficile de calculer la probabilité. La grande chose est que dans ce cas, nous n'avons pas besoin de comprendre comment fonctionnent les calculs, et nous savons que la réponse sera "plutôt bonne" car, comme nous le savons déjà, plus il y a de lancers, plus le résultat se rapproche du valeur moyenne.
Comment combiner des essais indépendants
Si vous posez des questions sur plusieurs essais répétés mais indépendants, le résultat d'un jet n'affecte pas le résultat des autres jets. Il existe une autre explication plus simple à cette situation.
Comment faire la distinction entre quelque chose de dépendant et d'indépendant ? En principe, si vous pouvez isoler chaque lancer (ou série de lancers) d'un dé comme un événement distinct, alors il est indépendant. Par exemple, nous lançons 8d6 et voulons lancer un total de 15. Cet événement ne peut pas être divisé en plusieurs lancers de dés indépendants. Pour obtenir le résultat, vous calculez la somme de toutes les valeurs, de sorte que le résultat obtenu sur un dé affecte les résultats qui devraient être obtenus sur les autres.
Voici un exemple de lancers indépendants : vous jouez à un jeu de dés et vous lancez plusieurs fois des dés à six faces. Le premier jet doit obtenir un 2 ou plus pour que vous restiez dans la partie. Pour le deuxième lancer - 3 ou plus. Le troisième nécessite 4 ou plus, le quatrième nécessite 5 ou plus et le cinquième nécessite 6. Si les cinq lancers sont réussis, vous gagnez. Dans ce cas, tous les lancers sont indépendants. Oui, si un jet échoue, cela affectera le résultat du jeu entier, mais un jet n'affecte pas l'autre. Par exemple, si votre deuxième lancer de dés est très bon, cela ne signifie pas que les prochains lancers seront tout aussi bons. Par conséquent, nous pouvons considérer la probabilité de chaque lancer de dés séparément.
Si vous avez des probabilités indépendantes et que vous voulez savoir quelle est la probabilité que tous les événements se produisent, vous déterminez chaque probabilité individuelle et vous les multipliez. Une autre façon : si vous utilisez "et" pour décrire plusieurs conditions (par exemple, quelle est la probabilité d'un événement aléatoire et d'un autre événement aléatoire indépendant ?) - calculez les probabilités individuelles et multipliez-les.
Peu importe ce que vous pensez - ne faites jamais la somme des probabilités indépendantes. C'est une erreur courante. Pour comprendre pourquoi c'est faux, imaginez une situation où vous lancez une pièce et vous voulez savoir quelle est la probabilité d'obtenir face deux fois de suite. La probabilité de tomber de chaque côté est de 50 %. Si vous additionnez ces deux probabilités, vous avez 100 % de chances d'obtenir face, mais nous savons que ce n'est pas vrai, car deux faces consécutives peuvent apparaître. Si à la place vous multipliez les deux probabilités, vous obtenez 50% * 50% = 25% - ce qui est la bonne réponse pour calculer la probabilité d'obtenir face deux fois de suite.
Exemple
Revenons au jeu des dés à six faces, où il faut d'abord lancer un nombre supérieur à 2, puis supérieur à 3 - et ainsi de suite jusqu'à 6. Quelles sont les chances que dans une série donnée de cinq lancers, tous les résultats seront favorables?
Comme mentionné ci-dessus, ce sont des essais indépendants, nous calculons donc la probabilité pour chaque lancer individuel, puis nous les multiplions. La probabilité que le résultat du premier lancer soit favorable est de 5/6. La seconde - 4/6. Troisième - 3/6. Le quatrième - 2/6, le cinquième - 1/6. Nous multiplions tous les résultats les uns par les autres et obtenons environ 1,5 %. Les gains dans ce jeu sont assez rares, donc si vous ajoutez cet élément à votre jeu, vous aurez besoin d'un assez gros jackpot.
Négation
Voici un autre indice utile : il est parfois difficile de calculer la probabilité qu'un événement se produise, mais il est plus facile de déterminer les chances qu'un événement ne se produise pas. Par exemple, supposons que nous ayons un autre jeu : vous lancez 6d6 et vous gagnez si vous lancez au moins un 6. Quelle est la probabilité de gagner ?
Dans ce cas, de nombreuses options sont envisageables. Il est possible qu'un numéro 6 tombe, c'est-à-dire que le numéro 6 tombe sur l'un des dés et que les numéros de 1 à 5 tombent sur les autres, alors il y a 6 options pour lesquelles des dés auront un 6. Vous pouvez obtenir le chiffre 6 sur deux os de dés, ou trois, voire plus, et à chaque fois vous devrez faire un calcul séparé, il est donc facile de s'embrouiller ici.
Mais regardons le problème de l'autre côté. Vous perdez si aucun des dés ne fait un 6. Dans ce cas, nous avons 6 essais indépendants. La probabilité que chacun des dés lance un nombre autre que 6 est de 5/6. Multipliez-les - et obtenez environ 33 %. Ainsi, la probabilité de perdre est d'une sur trois. Par conséquent, la probabilité de gagner est de 67% (ou deux à trois).
À partir de cet exemple, il est évident que si vous calculez la probabilité qu'un événement ne se produise pas, vous devez soustraire le résultat de 100 %. Si la probabilité de gagner est de 67 %, alors la probabilité de perdre est de 100 % moins 67 %, soit 33 %, et vice versa. S'il est difficile de calculer une probabilité, mais qu'il est facile de calculer le contraire, calculez le contraire, puis soustrayez ce nombre de 100 %.
Conditions de connexion pour un test indépendant
J'ai dit un peu plus tôt qu'il ne faut jamais additionner des probabilités dans des essais indépendants. Existe-t-il des cas où il est possible de faire la somme des probabilités ? Oui, dans une situation particulière.
Si vous souhaitez calculer la probabilité de plusieurs résultats favorables non liés sur le même essai, additionnez les probabilités de chaque résultat favorable. Par exemple, la probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 sur 1d6 est égale à la somme de la probabilité d'obtenir 4, de la probabilité d'obtenir 5 et de la probabilité d'obtenir 6. Cette situation peut être représentée comme suit : si vous utilisez la conjonction "ou" dans une question sur la probabilité (par exemple, quelle est la probabilité de l'un ou l'autre résultat d'un événement aléatoire ?) - calculez les probabilités individuelles et additionnez-les.
Attention : lorsque vous calculez tous les résultats possibles du jeu, la somme des probabilités de leur occurrence doit être égale à 100 %, sinon votre calcul a été mal fait. ce bonne façon revérifiez vos calculs. Par exemple, vous avez analysé la probabilité d'obtenir toutes les combinaisons au poker. Si vous additionnez tous les résultats que vous obtenez, vous devriez obtenir exactement 100 % (ou au moins une valeur assez proche de 100 % : si vous utilisez une calculatrice, il peut y avoir une petite erreur d'arrondi, mais si vous ajoutez les chiffres exacts à la main, tout devrait s'additionner. ). Si la somme ne correspond pas, vous n'avez probablement pas pris en compte certaines combinaisons ou calculé les probabilités de certaines combinaisons de manière incorrecte, et les calculs doivent être revérifiés.
Probabilités inégales
Jusqu'à présent, nous avons supposé que chaque face du dé tombe à la même fréquence, car c'est ainsi que fonctionne le dé. Mais parfois, vous pouvez rencontrer une situation où différents résultats sont possibles et ils ont différentes chances de tomber.
Par exemple, dans l'un des ajouts au jeu de cartes Nuclear War, il y a un terrain de jeu avec une flèche, dont dépend le résultat d'un lancement de fusée. Le plus souvent, il inflige des dégâts normaux, plus ou moins, mais parfois les dégâts sont doublés ou triplés, ou la fusée explose sur la rampe de lancement et vous blesse, ou un autre événement se produit. Contrairement à terrain de jeu avec une flèche dans Chutes & Ladders ou A Game of Life, les résultats du terrain de jeu dans Nuclear War sont inégaux. Certaines sections du terrain de jeu sont plus grandes et la flèche s'y arrête beaucoup plus souvent, tandis que d'autres sections sont très petites et la flèche s'y arrête rarement.
Donc, à première vue, l'os ressemble à ceci : 1, 1, 1, 2, 2, 3 - nous en avons déjà parlé, c'est quelque chose comme un 1d3 pondéré. Par conséquent, nous devons diviser toutes ces sections en parties égales, trouver la plus petite unité de mesure, le diviseur, pour laquelle tout est un multiple, puis représenter la situation comme d522 (ou une autre), où l'ensemble des faces de dés sera représentent la même situation, mais avec plus de résultats. C'est une façon de résoudre le problème, et c'est techniquement faisable, mais il existe une option plus simple.
Revenons à nos dés standard à six faces. Nous avons dit que pour calculer la valeur moyenne d'un lancer pour un dé normal, il fallait additionner les valeurs de toutes les faces et les diviser par le nombre de faces, mais comment se fait exactement le calcul ? Vous pouvez l'exprimer différemment. Pour un dé à six faces, la probabilité que chaque face sorte est exactement 1/6. Maintenant, nous multiplions le résultat de chaque facette par la probabilité de ce résultat (dans ce cas 1/6 pour chaque facette), puis additionnons les valeurs résultantes. Donc en additionnant (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), on obtient le même résultat (3.5) que dans le calcul ci-dessus. En fait, nous calculons cela à chaque fois : nous multiplions chaque résultat par la probabilité de ce résultat.
Peut-on faire le même calcul pour la flèche sur le plateau de jeu dans Nuclear War ? Bien sûr on peut. Et si nous additionnons tous les résultats trouvés, nous obtenons la valeur moyenne. Tout ce que nous avons à faire est de calculer la probabilité de chaque résultat pour la flèche sur le terrain de jeu et de multiplier par la valeur du résultat.
Un autre exemple
La méthode mentionnée de calcul de la moyenne est également appropriée si les résultats sont également probables mais présentent des avantages différents - par exemple, si vous lancez un dé et gagnez plus sur certaines faces que sur d'autres. Par exemple, prenons un jeu qui se passe dans un casino : vous placez un pari et lancez 2d6. Si trois nombres viennent avec la plus petite valeur(2, 3, 4) ou quatre numéros de grande valeur (9, 10, 11, 12) - vous gagnerez un montant égal à votre mise. Les numéros avec la valeur la plus basse et la plus haute sont spéciaux : si un 2 ou un 12 sort, vous gagnerez le double de votre mise. Si un autre numéro sort (5, 6, 7, 8), vous perdrez votre pari. C'est joli jeu simple. Mais quelle est la probabilité de gagner ?
Commençons par compter combien de fois vous pouvez gagner. Le nombre maximum de résultats sur un jet de 2d6 est de 36. Quel est le nombre de résultats favorables ?
- Il y a 1 option qui obtiendra 2 et 1 option qui obtiendra 12.
- Il y a 2 options pour un 3 et 2 options pour un 11.
- Il y a 3 options pour un 4 et 3 options pour un 10.
- Il y a 4 options qui obtiendront 9.
En résumant toutes les options, nous obtenons 16 résultats favorables sur 36. Ainsi, dans des conditions normales, vous gagnerez 16 fois sur 36 possibles - la probabilité de gagner est légèrement inférieure à 50 %.
Mais deux fois sur ces seize, vous gagnerez deux fois plus - c'est comme si vous gagniez deux fois. Si vous jouez à ce jeu 36 fois, en pariant 1 $ à chaque fois, et que chacun de tous les résultats possibles se présente une fois, vous gagnerez un total de 18 $ (vous gagnez en fait 16 fois, mais deux d'entre eux comptent pour deux victoires). ). Si vous jouez 36 fois et gagnez 18 $, cela ne signifie-t-il pas que les probabilités sont égales ?
Prends ton temps. Si vous comptez le nombre de fois que vous pouvez perdre, vous obtenez 20, pas 18. Si vous jouez 36 fois, en pariant 1 $ à chaque fois, vous gagnerez un total de 18 $ lorsque toutes les cotes rouleront. Mais vous perdrez un total de 20 $ sur les 20 mauvais résultats. Du coup, vous serez légèrement en retrait : vous perdez en moyenne 2$ net pour 36 parties (on peut aussi dire que vous perdez en moyenne 1$/18 par jour). Vous voyez maintenant à quel point il est facile de faire une erreur dans ce cas et de calculer la probabilité de manière incorrecte.
permutation
Jusqu'à présent, nous avons supposé que l'ordre dans lequel les numéros sont lancés n'a pas d'importance lors du lancement des dés. Un résultat de 2 + 4 est identique à un résultat de 4 + 2. Dans la plupart des cas, nous comptons manuellement le nombre de résultats favorables, mais parfois cette méthode n'est pas pratique et il est préférable d'utiliser une formule mathématique.
Un exemple de cette situation est tiré du jeu de dés Farkle. Pour chaque nouveau tour, vous lancez 6d6. Si vous avez de la chance et que tous les résultats possibles de 1-2-3-4-5-6 (ligne droite) se présentent, vous obtiendrez gros bonus. Quelle est la probabilité que cela se produise ? Dans ce cas, il existe de nombreuses options pour la perte de cette combinaison.
La solution est la suivante : sur un des dés (et sur un seul) doit tomber le chiffre 1. Combien d'options pour que le chiffre 1 tombe sur un dé ? Il y a 6 options, puisqu'il y a 6 dés, et le numéro 1 peut tomber sur n'importe lequel d'entre eux.En conséquence, prenez un dé et mettez-le de côté. Maintenant, le numéro 2 devrait tomber sur l'un des dés restants.Il y a 5 options pour cela. Prenez un autre dé et mettez-le de côté. Ensuite, 4 des dés restants peuvent atterrir sur un 3, 3 des dés restants peuvent atterrir sur un 4 et 2 des dés restants peuvent atterrir sur un 5. En conséquence, il vous reste un dé, sur lequel le nombre 6 devrait tomber (dans ce dernier cas, un dé il n'y a qu'un seul os, et il n'y a pas le choix).
Afin de compter le nombre de résultats favorables pour qu'une combinaison droite se présente, nous multiplions toutes les différentes options indépendantes : 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - il semble y avoir un assez grand nombre d'options pour cette combinaison à venir.
Pour calculer la probabilité d'obtenir une combinaison droite, nous devons diviser 720 par le nombre de tous les résultats possibles pour lancer 6d6. Quel est le nombre de tous les résultats possibles ? Chaque dé peut rouler 6 faces, nous multiplions donc 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (un nombre beaucoup plus grand que le précédent). On divise 720 par 46656 et on obtient une probabilité égale à environ 1,5 %. Si vous conceviez ce jeu, il serait utile que vous le sachiez afin de pouvoir créer un système de notation approprié. Nous comprenons maintenant pourquoi dans Farkle vous obtenez un si gros bonus si vous frappez une combinaison droite : cette situation est assez rare.
Le résultat est également intéressant pour une autre raison. L'exemple montre à quel point il est rare, sur une courte période, que le résultat correspondant à la probabilité tombe. Bien sûr, si nous lançions plusieurs milliers de dés, différentes faces des dés se présenteraient assez souvent. Mais lorsque nous ne lançons que six dés, il n'arrive presque jamais que chacun des dés sorte. Il devient clair qu'il est insensé de s'attendre à ce qu'un visage tombe maintenant qui ne l'a pas encore été, car "nous n'avons pas abandonné le chiffre 6 depuis longtemps". Regardez, votre générateur de nombres aléatoires est cassé.
Cela nous amène à l'idée fausse commune selon laquelle tous les résultats surviennent au même rythme sur une courte période de temps. Si on lance les dés plusieurs fois, la fréquence de chacune des faces ne sera pas la même.
Si vous avez déjà travaillé sur un jeu en ligne avec une sorte de générateur de nombres aléatoires auparavant, vous avez probablement rencontré une situation où un joueur écrit au support technique pour se plaindre que le générateur de nombres aléatoires n'affiche pas de nombres aléatoires. Il est arrivé à cette conclusion parce qu'il a tué 4 monstres d'affilée et a reçu 4 exactement les mêmes récompenses, et ces récompenses ne devraient chuter que 10% du temps, donc cela ne devrait évidemment presque jamais arriver.
Vous faites des maths. La probabilité est de 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, c'est-à-dire que 1 résultat sur 10 000 est un cas plutôt rare. C'est ce que le joueur essaie de vous dire. Y a-t-il un problème dans ce cas ?
Tout dépend des circonstances. Combien y a-t-il de joueurs sur votre serveur actuellement ? Supposons que vous ayez un jeu assez populaire et que 100 000 personnes y jouent chaque jour. Combien de joueurs tueront quatre monstres d'affilée ? Peut-être tout, plusieurs fois par jour, mais supposons que la moitié d'entre eux échangent juste différents sujets aux enchères, réécrit sur des serveurs RP ou effectue d'autres actions de jeu - ainsi, seulement la moitié d'entre eux chassent des monstres. Quelle est la probabilité que quelqu'un obtienne la même récompense ? Dans cette situation, vous pouvez vous attendre à ce que cela se produise au moins quelques fois par jour.
Incidemment, c'est pourquoi il semble que toutes les quelques semaines, quelqu'un gagne à la loterie, même si cette personne n'a jamais été vous ou quelqu'un que vous connaissez. Si suffisamment de personnes jouent régulièrement, il y a de fortes chances qu'il y ait au moins une personne chanceuse quelque part. Mais si vous jouez vous-même à la loterie, il est peu probable que vous gagniez, vous êtes plus susceptible d'être invité à travailler chez Infinity Ward.
Cartes et dépendance
Nous avons discuté d'événements indépendants, tels que lancer un dé, et nous connaissons maintenant de nombreux outils puissants pour analyser le caractère aléatoire dans de nombreux jeux. Le calcul de probabilité est un peu plus compliqué lorsqu'il s'agit de tirer des cartes du jeu, car chaque carte que nous retirons affecte celles qui restent dans le jeu.
Si vous avez un jeu standard de 52 cartes, vous en tirez 10 cœurs et vous voulez connaître la probabilité que la prochaine carte soit de la même couleur - la probabilité a changé par rapport à l'original car vous avez déjà retiré une carte cœur du plate-forme. Chaque carte que vous retirez modifie les chances d'apparaître carte suivante dans le pont. Dans ce cas, l'événement précédent affecte le suivant, nous appelons donc cette probabilité dépendante.
Notez que lorsque je dis "cartes", je veux dire n'importe quel mécanisme de jeu qui a un ensemble d'objets et vous supprimez l'un des objets sans le remplacer. Un "jeu de cartes" dans ce cas est analogue à un sac de jetons dont on sort un jeton, ou à une urne d'où l'on sort des boules colorées (je n'ai jamais vu de jeux avec une urne d'où l'on tirerait des boules colorées out, mais les professeurs de théorie des probabilités sur ce que pour une raison quelconque, cet exemple est préféré).
Propriétés de dépendance
Je voudrais préciser que lorsque nous parlonsà propos des cartes, je suppose que vous piochez des cartes, les regardez et les retirez du paquet. Chacune de ces actions est une propriété importante. Si j'avais un jeu de, disons, six cartes numérotées de 1 à 6, je les mélangerais et tirerais une carte, puis mélangerais à nouveau les six cartes - ce serait similaire à lancer un dé à six faces, car un résultat ne correspond pas affecter ici pour les prochains. Et si je pioche des cartes et que je ne les remplace pas, alors en piochant une carte 1, j'augmente la probabilité que la prochaine fois que je pioche une carte avec le chiffre 6. La probabilité augmentera jusqu'à ce que je finisse par piocher cette carte ou mélanger le jeu.
Le fait que nous regardions des cartes est également important. Si je sors une carte du paquet et que je ne la regarde pas, je n'aurai pas Informations Complémentaires et en fait la probabilité ne changera pas. Cela peut sembler illogique. Comment le simple fait de retourner une carte peut-il changer les chances comme par magie ? Mais c'est possible car vous ne pouvez calculer la probabilité d'éléments inconnus qu'en fonction de ce que vous savez.
Par exemple, si vous mélangez un jeu de cartes standard, révélez 51 cartes et qu'aucune d'entre elles n'est reine de trèfle, alors vous pouvez être sûr à 100 % que la carte restante est une reine de trèfle. Si vous mélangez un jeu de cartes standard et piochez 51 cartes sans les regarder, la probabilité que la carte restante soit la reine des trèfles est toujours de 1/52. Au fur et à mesure que vous ouvrez chaque carte, vous obtenez plus d'informations.
Le calcul de la probabilité pour les événements dépendants suit les mêmes principes que pour les événements indépendants, sauf que c'est un peu plus compliqué, car les probabilités changent lorsque vous révélez les cartes. Ainsi, vous devez multiplier de nombreuses valeurs différentes, au lieu de multiplier la même valeur. En fait, cela signifie que nous devons combiner tous les calculs que nous avons effectués en une seule combinaison.
Exemple
Vous mélangez un jeu standard de 52 cartes et piochez deux cartes. Quelle est la probabilité que vous en sortiez une paire ? Il existe plusieurs façons de calculer cette probabilité, mais la plus simple est peut-être la suivante : quelle est la probabilité qu'après avoir tiré une carte, vous ne puissiez pas tirer une paire ? Cette probabilité est nulle, donc peu importe la première carte que vous piochez, tant qu'elle correspond à la seconde. Peu importe la carte que nous piochons en premier, nous avons toujours une chance de tirer une paire. Par conséquent, la probabilité de sortir une paire après avoir sorti la première carte est de 100 %.
Quelle est la probabilité que la seconde carte corresponde à la première ? Il reste 51 cartes dans le jeu, et 3 d'entre elles correspondent à la première carte (en fait, ce serait 4 sur 52, mais vous avez déjà retiré l'une des cartes correspondantes lorsque vous avez tiré la première carte), donc la probabilité est de 1/ 17. Ainsi, la prochaine fois que le gars en face de vous à la table jouera au Texas Hold'em, il dira : « Cool, une autre paire ? J'ai de la chance aujourd'hui", vous saurez qu'il bluffe avec une forte probabilité.
Et si nous ajoutons deux jokers, nous avons donc 54 cartes dans le jeu, et nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer une paire ? La première carte peut être un joker, puis il n'y aura qu'une seule carte dans le jeu qui correspond, pas trois. Comment trouver la probabilité dans ce cas ? Nous divisons les probabilités et multiplions chaque possibilité.
Notre première carte pourrait être un joker ou une autre carte. La probabilité de tirer un joker est de 2/54, la probabilité de tirer une autre carte est de 52/54. Si la première carte est un joker (2/54), alors la probabilité que la deuxième carte corresponde à la première est de 1/53. Nous multiplions les valeurs (nous pouvons les multiplier car ce sont des événements distincts et nous voulons que les deux événements se produisent) et nous obtenons 1/1431 - moins d'un dixième de pour cent.
Si vous piochez d'abord une autre carte (52/54), la probabilité de faire correspondre la deuxième carte est de 3/53. Nous multiplions les valeurs et obtenons 78/1431 (un peu plus de 5,5%). Que fait-on de ces deux résultats ? Ils ne se croisent pas, et nous voulons connaître la probabilité de chacun d'eux, donc nous additionnons les valeurs. Nous obtenons le résultat final 79/1431 (toujours environ 5,5%).
Si nous voulions être sûrs de l'exactitude de la réponse, nous pourrions calculer la probabilité de tous les autres résultats possibles : tirer le joker et ne pas correspondre à la deuxième carte, ou tirer une autre carte et ne pas correspondre à la deuxième carte. En additionnant ces probabilités et la probabilité de gagner, nous obtiendrions exactement 100 %. Je ne donnerai pas le calcul ici, mais vous pouvez essayer le calcul pour vérifier.
Le paradoxe de Monty Hall
Cela nous amène à un paradoxe assez bien connu qui confond souvent beaucoup, le Monty Hall Paradox. Le paradoxe porte le nom de l'animateur de l'émission télévisée Let's Make a Deal.Pour ceux qui n'ont jamais vu cette émission télévisée, je dirai que c'était l'opposé de The Price Is Right.
Dans The Price Is Right, l'hôte (précédemment hébergé par Bob Barker, maintenant Drew Carey? Nevermind) est votre ami. Il veut que vous gagniez de l'argent ou des prix sympas. Il essaie de vous donner toutes les chances de gagner, tant que vous pouvez deviner combien valent réellement les articles sponsorisés.
Monty Hall s'est comporté différemment. Il était comme le jumeau diabolique de Bob Barker. Son but était de vous faire passer pour un idiot à la télévision nationale. Si vous étiez dans l'émission, il était votre adversaire, vous jouiez contre lui et les chances étaient en sa faveur. Je suis peut-être trop dur, mais regarder un spectacle auquel vous êtes plus susceptible de participer si vous portez un costume ridicule, c'est exactement ce à quoi je veux en venir.
L'un des mèmes les plus célèbres du spectacle était celui-ci : il y a trois portes devant vous, la porte numéro 1, la porte numéro 2 et la porte numéro 3. Vous pouvez choisir une porte gratuitement. Derrière l'un d'eux se trouve un magnifique prix - par exemple, une nouvelle voiture. Il n'y a pas de prix derrière les deux autres portes, les deux n'ont aucune valeur. Ils sont censés vous humilier, donc derrière eux, il n'y a pas que rien, mais quelque chose de stupide, par exemple une chèvre ou un énorme tube de dentifrice - tout sauf une nouvelle voiture.
Vous choisissez une des portes, Monty s'apprête à l'ouvrir pour vous faire savoir si vous avez gagné ou non... mais attendez. Avant de savoir, jetons un coup d'œil à l'une de ces portes que vous n'avez pas choisies. Monty sait quelle porte se cache derrière le prix, et il peut toujours ouvrir une porte qui n'a pas de prix derrière. « Vous choisissez la porte numéro 3 ? Alors ouvrons la porte numéro 1 pour montrer qu'il n'y avait aucun prix derrière." Et maintenant, par générosité, il vous offre la possibilité d'échanger la porte numéro 3 choisie contre ce qui se trouve derrière la porte numéro 2.
A ce stade, la question de la probabilité se pose : cette opportunité augmente-t-elle votre probabilité de gagner, ou la diminue-t-elle, ou reste-t-elle inchangée ? Qu'est-ce que tu penses?
Bonne réponse : la possibilité de choisir une autre porte augmente les chances de gagner de 1/3 à 2/3. C'est illogique. Si vous n'avez jamais rencontré ce paradoxe auparavant, alors vous pensez probablement : attendez, comment ça se passe : en ouvrant une porte, nous avons magiquement changé la probabilité ? Comme nous l'avons vu avec l'exemple des cartes, c'est exactement ce qui se passe lorsque nous obtenons plus d'informations. Évidemment, lorsque vous choisissez pour la première fois, la probabilité de gagner est de 1/3. Lorsqu'une porte s'ouvre, cela ne change en rien la probabilité de gagner pour le premier choix : la probabilité est toujours de 1/3. Mais la probabilité que l'autre porte soit correcte est maintenant de 2/3.
Regardons cet exemple de l'autre côté. Vous choisissez une porte. La probabilité de gagner est de 1/3. Je vous suggère de changer les deux autres portes, ce que fait Monty Hall. Bien sûr, il ouvre une des portes pour montrer qu'il n'y a pas de prix derrière, mais il peut toujours le faire, donc ça ne change vraiment rien. Bien sûr, vous voudrez choisir une porte différente.
Si vous ne comprenez pas bien la question et avez besoin d'une explication plus convaincante, cliquez sur ce lien pour accéder à une petite application Flash géniale qui vous permettra d'explorer plus en détail ce paradoxe. Vous pouvez commencer avec environ 10 portes, puis passer progressivement à un jeu à trois portes. Il existe également un simulateur où vous pouvez jouer avec n'importe quel nombre de portes de 3 à 50 ou exécuter plusieurs milliers de simulations et voir combien de fois vous gagneriez si vous jouiez.
Choisissez l'une des trois portes - la probabilité de gagner est de 1/3. Maintenant, vous avez deux stratégies : changer de choix après avoir ouvert ou non la mauvaise porte. Si vous ne modifiez pas votre choix, la probabilité restera de 1/3, car le choix n'est qu'à la première étape et vous devez deviner tout de suite. Si vous changez, vous pouvez gagner si vous choisissez d'abord la mauvaise porte (puis ils en ouvrent une autre, la bonne reste - en changeant la décision, vous la prenez). La probabilité de choisir la mauvaise porte au début est de 2/3 - il s'avère donc qu'en changeant votre décision, vous doublez la probabilité de gagner.
Remarque d'un professeur de mathématiques supérieures et spécialiste de équilibre du jeu Maxim Soldatov - bien sûr, Schreiber ne l'avait pas, mais sans elle, il est assez difficile de comprendre cette transformation magique
Revisiter le paradoxe de Monty Hall
Quant à l'émission elle-même, même si les rivaux de Monty Hall n'étaient pas bons en maths, il y était bon. Voici ce qu'il a fait pour changer un peu le jeu. Si vous choisissiez la porte derrière laquelle se trouvait le prix, avec une probabilité de 1/3, il vous offrait toujours la possibilité de choisir une autre porte. Vous choisissez une voiture, puis vous l'échangez contre une chèvre et vous avez l'air assez stupide - c'est exactement ce dont vous avez besoin, car Hall est une sorte de méchant.
Mais si vous choisissez une porte qui n'a pas de prix, il ne vous en proposera qu'une autre la moitié du temps, ou il vous montrera simplement votre nouvelle chèvre et vous quitterez la scène. Analysons cela nouveau jeu, dans lequel Monty Hall peut décider de vous offrir ou non la possibilité de choisir une autre porte.
Supposons qu'il suive cet algorithme : si vous choisissez une porte avec un prix, il vous offre toujours la possibilité de choisir une autre porte, sinon il est tout aussi susceptible de vous proposer de choisir une autre porte ou de vous donner une chèvre. Quelle est la probabilité que vous gagniez ?
Dans l'un de trois options vous choisissez immédiatement la porte derrière laquelle se trouve le prix, et l'hôte vous invite à en choisir une autre.
Parmi les deux options restantes sur trois (vous choisissez initialement la porte sans prix), dans la moitié des cas, l'hôte vous proposera de modifier votre décision, et dans l'autre moitié des cas, il ne le fera pas.
La moitié de 2/3 est 1/3, c'est-à-dire que dans un cas sur trois vous aurez une chèvre, dans un cas sur trois vous choisirez la mauvaise porte et l'hôte vous proposera d'en choisir une autre, et dans un cas sur trois vous choisirez la bonne porte, mais là encore il en proposera une autre.
Si l'animateur propose de choisir une autre porte, on sait déjà qu'un des trois cas où il nous donne une chèvre et qu'on part ne s'est pas produit. ce informations utiles: cela signifie que nos chances de gagner ont changé. Deux des trois cas où nous avons le choix : dans un cas, cela signifie que nous avons deviné correctement, et dans l'autre cas, que nous avons mal deviné, donc si on nous a proposé un choix, alors la probabilité de notre gain est 1 /2 , et mathématiquement, peu importe que vous vous en teniez à votre choix ou que vous choisissiez une autre porte.
Comme le poker, c'est un jeu psychologique, pas mathématique. Pourquoi Monty t'a-t-il offert le choix ? Il pense que vous êtes un niais qui ne sait pas que choisir une autre porte est la « bonne » décision et s'en tiendra obstinément à votre choix (après tout, psychologiquement la situation est plus compliquée quand vous avez choisi une voiture et que vous l'avez ensuite perdue) ?
Ou est-ce qu'il, décidant que vous êtes intelligent et choisissez une autre porte, vous offre cette chance, parce qu'il sait que vous avez d'abord deviné correctement et que vous tombez sur le crochet? Ou peut-être qu'il est inhabituellement gentil et vous pousse à faire quelque chose de bénéfique pour vous, car il n'a pas fait don de voitures depuis longtemps et les producteurs disent que le public s'ennuie et qu'il serait préférable de faire un don bientôt grand prix pour que les cotes ne tombent pas?
Ainsi, Monty parvient à proposer parfois un choix, alors que la probabilité globale de gagner reste égale à 1/3. Rappelez-vous que la probabilité que vous perdiez immédiatement est de 1/3. Il y a 1/3 de chances que vous deviniez tout de suite, et 50% de ces fois vous gagnerez (1/3 x 1/2 = 1/6).
La probabilité que vous vous trompiez au début, mais que vous ayez ensuite une chance de choisir une autre porte est de 1/3, et dans la moitié de ces cas, vous gagnerez (également 1/6). Additionnez deux possibilités de gain indépendantes et vous obtenez une probabilité de 1/3, donc peu importe que vous restiez sur votre choix ou que vous choisissiez une autre porte - la probabilité totale de gagner tout au long du jeu est de 1/3.
La probabilité ne devient pas plus grande que dans la situation où vous avez deviné la porte et l'hôte vous a simplement montré ce qu'il y a derrière, sans proposer d'en choisir une autre. Le but de la proposition n'est pas de changer la probabilité, mais de rendre le processus de prise de décision plus amusant pour les téléspectateurs.
C'est d'ailleurs une des raisons pour lesquelles le poker peut être si intéressant : dans la plupart des formats entre les tours, lorsque les mises sont faites (par exemple, le flop, le tournant et la rivière au Texas Hold'em), les cartes sont révélées progressivement, et si au début du jeu vous avez une chance de gagner, alors après chaque tour d'enchères, lorsque plus de cartes sont ouvertes, cette probabilité change.
Paradoxe garçon et fille
Cela nous amène à un autre paradoxe bien connu qui a tendance à déconcerter tout le monde, le paradoxe garçon-fille. La seule chose sur laquelle j'écris aujourd'hui n'est pas directement liée aux jeux (même si je suppose que je dois juste vous pousser à créer des mécanismes de jeu appropriés). Il s'agit plus d'un casse-tête, mais intéressant, et pour le résoudre, vous devez comprendre la probabilité conditionnelle dont nous avons parlé ci-dessus.
Tâche : J'ai un ami avec deux enfants, dont au moins un est une fille. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille ? Supposons que dans n'importe quelle famille les chances d'avoir une fille et un garçon sont de 50/50, et cela est vrai pour chaque enfant.
En fait, certains hommes ont plus de spermatozoïdes avec un chromosome X ou un chromosome Y dans leur sperme, donc les chances varient légèrement. Si vous savez qu'un enfant est une fille, la probabilité d'avoir une deuxième fille est légèrement plus élevée, et il existe d'autres conditions, telles que l'hermaphrodisme. Mais pour résoudre ce problème, nous n'en tiendrons pas compte et supposerons que la naissance d'un enfant est un événement indépendant et que la naissance d'un garçon et d'une fille sont également probables.
Puisque nous parlons d'une 1/2 chance, nous nous attendons intuitivement à ce que la réponse soit 1/2 ou 1/4, ou un autre multiple de deux dans le dénominateur. Mais la réponse est 1/3. Pourquoi?
La difficulté dans ce cas est que les informations dont nous disposons réduisent le nombre de possibilités. Supposons que les parents soient des fans de Sesame Street et, quel que soit le sexe des enfants, les nomment A et B. Dans des conditions normales, il existe quatre possibilités également probables : A et B sont deux garçons, A et B sont deux filles, A est un garçon et B est une fille, A est une fille et B est un garçon. Puisque nous savons qu'au moins un enfant est une fille, nous pouvons exclure la possibilité que A et B soient deux garçons. Il nous reste donc trois possibilités - toujours aussi probables. Si toutes les possibilités sont également probables et qu'il y en a trois, alors la probabilité de chacune d'elles est de 1/3. Dans l'une de ces trois options seulement, les deux enfants sont des filles, donc la réponse est 1/3.
Et encore sur le paradoxe d'un garçon et d'une fille
La solution au problème devient encore plus illogique. Imaginez que mon ami a deux enfants et l'un d'eux est une fille qui est née mardi. Supposons que dans des conditions normales, un enfant est également susceptible de naître chacun des sept jours de la semaine. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille ?
Vous pourriez penser que la réponse serait encore 1/3 : que signifie mardi ? Mais dans ce cas, l'intuition nous fait défaut. La réponse est 13/27, ce qui n'est pas simplement intuitif, mais très étrange. Quel est le problème dans ce cas?
En fait, mardi change la probabilité parce que nous ne savons pas quel bébé est né mardi, ou peut-être que les deux sont nés mardi. Dans ce cas, on utilise la même logique : on compte toutes les combinaisons possibles lorsqu'au moins un enfant est une fille née le mardi. Comme dans l'exemple précédent, supposons que les enfants s'appellent A et B. Les combinaisons ressemblent à ceci :
- A est une fille née un mardi, B est un garçon (dans cette situation il y a 7 possibilités, une pour chaque jour de la semaine où un garçon aurait pu naître).
- B - une fille née mardi, A - un garçon (également 7 possibilités).
- A est une fille née un mardi, B est une fille née un autre jour de la semaine (6 possibilités).
- B - une fille née le mardi, A - une fille qui n'est pas née le mardi (également 6 probabilités).
- A et B sont deux filles nées un mardi (1 possibilité, il faut y faire attention pour ne pas compter deux fois).
Nous résumons et obtenons 27 combinaisons différentes également possibles de la naissance d'enfants et de jours avec au moins une possibilité qu'une fille naisse le mardi. Parmi celles-ci, 13 possibilités sont lorsque deux filles sont nées. Cela semble également complètement illogique - il semble que cette tâche n'ait été inventée que pour causer des maux de tête. Si vous êtes toujours perplexe, le site Web du théoricien des jeux Jesper Juhl a une bonne explication à ce sujet.
Si vous travaillez actuellement sur un jeu
S'il y a du hasard dans le jeu que vous concevez, c'est une excellente occasion de l'analyser. Sélectionnez n'importe quel élément que vous souhaitez analyser. Demandez-vous d'abord quelle serait la probabilité d'un élément donné dans le contexte du jeu.
Par exemple, si vous créez un RPG et que vous réfléchissez à la probabilité qu'un joueur batte un monstre au combat, demandez-vous quel pourcentage de victoire vous convient le mieux. Habituellement, dans le cas des RPG sur console, les joueurs sont très contrariés lorsqu'ils perdent, il est donc préférable qu'ils perdent rarement - 10% du temps ou moins. Si vous êtes un concepteur de RPG, vous le savez probablement mieux que moi, mais vous devez avoir une idée de base de ce que devrait être la probabilité.
Ensuite, demandez-vous si vos probabilités sont dépendantes (comme avec les cartes) ou indépendantes (comme avec les dés). Discutez de tous les résultats possibles et de leurs probabilités. Assurez-vous que la somme de toutes les probabilités est de 100 %. Et, bien sûr, comparez vos résultats avec vos attentes. Est-il possible de lancer les dés ou de piocher des cartes comme vous le souhaitiez, ou il est clair que les valeurs doivent être ajustées. Et, bien sûr, si vous trouvez des défauts, vous pouvez utiliser les mêmes calculs pour déterminer dans quelle mesure vous devez modifier les valeurs.
Devoirs
Ton " devoirs» cette semaine vous aidera à perfectionner vos compétences avec probabilité. Voici deux jeux de dés et un jeu de cartes que vous devez analyser à l'aide de probabilités, ainsi qu'une mécanique de jeu étrange que j'ai développée une fois - vous testerez la méthode de Monte Carlo sur son exemple.
Jeu #1 - Os de dragon
C'est un jeu de dés que mes collègues et moi avons inventé (grâce à Jeb Havens et Jesse King) - il épate délibérément les gens avec ses probabilités. Il s'agit d'un jeu de casino simple appelé "Dragon Dice" et c'est une compétition de dés de jeu entre le joueur et l'établissement.
Vous recevez un dé normal de 1d6. Le but du jeu est d'obtenir un nombre supérieur à celui de la maison. Tom reçoit un 1d6 non standard - le même que le vôtre, mais sur l'une de ses faces au lieu d'une - l'image d'un dragon (ainsi, le casino a un dé dragon-2-3-4-5-6). Si l'institution obtient un dragon, elle gagne automatiquement et vous perdez. Si les deux obtiennent le même nombre, c'est un match nul et vous relancez les dés. Celui qui obtient le plus grand nombre gagne.
Bien sûr, tout n'est pas entièrement en faveur du joueur, car le casino a un avantage sous la forme d'un visage de dragon. Mais en est-il vraiment ainsi ? C'est ce qu'il faut calculer. Mais vérifiez d'abord votre intuition.
Disons que le gain est de 2 contre 1. Donc, si vous gagnez, vous conservez votre mise et obtenez le double du montant. Par exemple, si vous pariez 1 $ et que vous gagnez, vous gardez ce dollar et obtenez 2 $ de plus, pour un total de 3 $. Si vous perdez, vous ne perdez que votre pari. Souhaitez-vous jouer? Pensez-vous intuitivement que la probabilité est supérieure à 2 contre 1, ou pensez-vous toujours qu'elle est inférieure ? En d'autres termes, en moyenne sur 3 matchs, vous attendez-vous à gagner plus d'une fois, ou moins, ou une fois ?
Une fois que vous avez éliminé votre intuition, appliquez les calculs. Il n'y a que 36 positions possibles pour les deux dés, vous pouvez donc toutes les compter facilement. Si vous n'êtes pas sûr de cette offre 2 contre 1, considérez ceci : Disons que vous avez joué au jeu 36 fois (en pariant 1 $ à chaque fois). Pour chaque gain, vous obtenez 2 $, pour chaque perte, vous perdez 1 $, et un match nul ne change rien. Comptez tous vos gains et pertes probables et décidez si vous perdrez ou gagnerez quelques dollars. Ensuite, demandez-vous dans quelle mesure votre intuition s'est avérée juste. Et puis réalisez à quel point je suis un méchant.
Et, oui, si vous avez déjà réfléchi à cette question - je vous embrouille délibérément en déformant la vraie mécanique des jeux de dés, mais je suis sûr que vous pouvez surmonter cet obstacle avec juste une bonne pensée. Essayez de résoudre ce problème vous-même.
Jeu #2 - Rouleau de chance
ce jeux d'argent dans un dé appelé Lucky Roll (également Birdcage, car parfois les dés ne sont pas lancés, mais placés dans une grande cage grillagée, rappelant la cage du Bingo). Le jeu est simple, il se résume essentiellement à ceci : pariez, disons, 1 $ sur un nombre entre 1 et 6. Ensuite, vous lancez 3d6. Pour chaque dé qui atteint votre numéro, vous obtenez 1 $ (et conservez votre mise initiale). Si votre numéro n'atterrit sur aucun des dés, le casino obtient votre dollar et vous n'obtenez rien. Donc, si vous pariez sur 1 et que vous obtenez 1 sur le visage trois fois, vous obtenez 3 $.
Intuitivement, il semble que dans ce jeu les chances soient égales. Chaque dé a une chance individuelle de gagner de 1 sur 6, donc votre chance de gagner est de 3 à 6 sur trois lancers. Cependant, rappelez-vous, bien sûr, que vous empilez trois dés distincts et que vous n'êtes autorisé à ajouter que si nous parlons de individuel combinaisons gagnantes le même os. Quelque chose que vous devrez multiplier.
Une fois que vous avez calculé tous les résultats possibles (probablement plus facile à faire dans Excel qu'à la main, il y en a 216), le jeu semble toujours pair-impair à première vue. En fait, le casino a encore plus de chances de gagner - combien de plus ? En particulier, combien d'argent pensez-vous perdre en moyenne par tour de jeu ?
Tout ce que vous avez à faire est d'additionner les gains et les pertes des 216 résultats, puis de diviser par 216, ce qui devrait être assez facile. Mais comme vous pouvez le voir, il y a quelques pièges dans lesquels vous pouvez tomber, c'est pourquoi je dis que si vous pensez qu'il y a une chance égale de gagner dans ce jeu, vous avez mal compris.
Jeu #3 - Stud à 5 cartes
Si vous vous êtes déjà familiarisé avec les jeux précédents, vérifions ce que nous savons sur la probabilité conditionnelle en utilisant ce jeu de cartes comme exemple. Imaginons le poker avec un jeu de 52 cartes. Imaginons également le Stud à 5 cartes où chaque joueur ne reçoit que 5 cartes. Impossible de défausser une carte, impossible d'en piocher une nouvelle, pas de deck commun - vous ne recevez que 5 cartes.
Une quinte flush royale est 10-J-Q-K-A en une seule combinaison, pour un total de quatre, il y a donc quatre façons possibles d'obtenir une quinte flush royale. Calculez la probabilité que vous obteniez l'une de ces combinaisons.
J'ai une chose à vous mettre en garde : rappelez-vous que vous pouvez piocher ces cinq cartes dans n'importe quel ordre. C'est-à-dire qu'au début, vous pouvez tirer un as ou un dix, cela n'a pas d'importance. Ainsi, lorsque vous faites vos calculs, gardez à l'esprit qu'il existe en fait plus de quatre façons d'obtenir une quinte flush royale, en supposant que les cartes ont été distribuées dans l'ordre.
Jeu #4 - Loterie du FMI
La quatrième tâche ne sera pas si facile à résoudre en utilisant les méthodes dont nous avons parlé aujourd'hui, mais vous pouvez facilement simuler la situation en utilisant la programmation ou Excel. C'est sur l'exemple de ce problème que l'on peut élaborer la méthode de Monte Carlo.
J'ai mentionné plus tôt le jeu Chron X sur lequel j'ai travaillé une fois, et il y en avait un très carte intéressante- Loterie du FMI. Voici comment cela a fonctionné : vous l'avez utilisé dans un jeu. Une fois le tour terminé, les cartes ont été redistribuées et il y avait 10% de chances que la carte soit hors jeu et qu'un joueur au hasard reçoive 5 unités de chaque type de ressource présent sur cette carte. Une carte était mise en jeu sans un seul jeton, mais chaque fois qu'elle restait en jeu au début du tour suivant, elle recevait un jeton.
Il y avait donc 10 % de chances que vous la mettiez en jeu, que le tour se termine, que la carte quitte le jeu et que personne n'obtienne quoi que ce soit. Si ce n'est pas le cas (avec 90 % de chances), il y a 10 % de chances (en fait 9 %, puisque c'est 10 % de 90 %) qu'elle quitte le jeu au tour suivant et que quelqu'un obtienne 5 ressources. Si la carte quitte le jeu après un tour (10% des 81% disponibles, donc la probabilité est de 8,1%), quelqu'un recevra 10 unités, un autre tour - 15, un autre 20, et ainsi de suite. Question : quelle est la valeur attendue du nombre de ressources que vous recevrez de cette carte lorsqu'elle quittera enfin le jeu ?
Normalement, nous essaierions de résoudre ce problème en calculant la probabilité de chaque résultat et en multipliant par le nombre de tous les résultats. Il y a 10 % de chances que vous obteniez 0 (0,1 * 0 = 0). 9% que vous recevrez 5 unités de ressources (9% * 5 = 0,45 ressources). 8,1 % de ce que vous obtenez est 10 (8,1 % * 10 = 0,81 ressources - en général, la valeur attendue). Etc. Et puis on résumait tout.
Et maintenant, le problème est évident pour vous : il y a toujours une chance que la carte ne quitte pas le jeu, elle peut rester dans le jeu pour toujours, pendant un nombre infini de tours, il n'y a donc aucun moyen de calculer une probabilité. Les méthodes que nous avons apprises aujourd'hui ne nous permettent pas de calculer la récursivité infinie, nous devrons donc la créer artificiellement.
Si vous êtes assez bon en programmation, écrivez un programme qui simulera cette carte. Vous devriez avoir une boucle temporelle qui ramène la variable à la position initiale de zéro, affiche un nombre aléatoire et avec 10 % de chances que la variable sorte de la boucle. Sinon, il ajoute 5 à la variable et la boucle se répète. Lorsqu'il quitte enfin la boucle, augmentez le nombre total d'exécutions d'essai de 1 et le nombre total de ressources (de combien dépend de l'endroit où la variable s'est arrêtée). Ensuite, réinitialisez la variable et recommencez.
Exécutez le programme plusieurs milliers de fois. En fin de compte, divisez le total des ressources par le nombre total d'exécutions - ce sera votre valeur attendue de la méthode de Monte Carlo. Exécutez le programme plusieurs fois pour vous assurer que les nombres que vous obtenez sont à peu près les mêmes. Si l'écart est encore important, augmentez le nombre de répétitions dans la boucle externe jusqu'à ce que vous commenciez à obtenir des correspondances. Vous pouvez être sûr que les chiffres que vous obtiendrez seront à peu près corrects.
Si vous débutez en programmation (même si vous l'êtes), voici un petit exercice pour tester vos compétences en Excel. Si vous êtes game designer, ces compétences ne seront jamais superflues.
Maintenant, les fonctions if et rand vous seront très utiles. Rand ne nécessite pas de valeurs, il produit simplement un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1. Nous le combinons généralement avec le plancher et les plus et les moins pour simuler un lancer de dé, dont j'ai parlé plus tôt. Cependant, dans ce cas, nous laissons juste 10% de chances que la carte quitte le jeu, nous pouvons donc simplement vérifier si le rand est inférieur à 0,1 et ne plus nous en soucier.
Si a trois valeurs. Dans l'ordre, la condition qui est vraie ou non, puis la valeur renvoyée si la condition est vraie et la valeur renvoyée si la condition est fausse. Ainsi, la fonction suivante renverra 5 % du temps et 0 l'autre 90 % du temps : =SI(RAND()<0.1,5,0) .
Il existe de nombreuses façons de définir cette commande, mais j'utiliserais cette formule pour la cellule qui représente le premier tour, disons que c'est la cellule A1 : =SI(RAND()<0.1,0,-1) .
Ici, j'utilise une variable négative signifiant "cette carte n'a pas quitté le jeu et n'a pas encore donné de ressources". Donc, si le premier tour est terminé et que la carte est hors jeu, A1 vaut 0 ; sinon c'est -1.
Pour la cellule suivante représentant le deuxième tour : =SI(A1>-1, A1, SI(RAND()<0.1,5,-1)) . Donc, si le premier tour se termine et que la carte quitte immédiatement le jeu, A1 vaut 0 (nombre de ressources) et cette cellule copiera simplement cette valeur. Sinon, A1 vaut -1 (la carte n'a pas encore quitté le jeu), et cette case continue à se déplacer aléatoirement : 10% du temps elle rendra 5 unités de ressources, le reste du temps sa valeur sera toujours - 1. Si nous appliquons cette formule à des cellules supplémentaires, nous obtiendrons des tours supplémentaires, et quelle que soit la cellule avec laquelle vous vous retrouverez, vous obtiendrez le résultat final (ou -1 si la carte n'a pas quitté le jeu après tous les tours que vous avez joués).
Prenez cette rangée de cellules, qui est la seule ronde avec cette carte, et copiez et collez quelques centaines (ou milliers) de rangées. Nous ne pourrons peut-être pas faire un test infini pour Excel (il y a un nombre limité de cellules dans le tableau), mais au moins nous pouvons couvrir la plupart des cas. Sélectionnez ensuite une cellule dans laquelle vous mettrez la moyenne des résultats de tous les tours - Excel fournit gentiment la fonction moyenne () pour cela.
Sous Windows, vous pouvez au moins appuyer sur F9 pour recalculer tous les nombres aléatoires. Comme précédemment, faites cela plusieurs fois et voyez si vous obtenez les mêmes valeurs. Si l'écart est trop grand, doublez le nombre d'exécutions et réessayez.
Problèmes non résolus
S'il vous arrive d'avoir un diplôme en théorie des probabilités et que les problèmes ci-dessus vous semblent trop faciles - voici deux problèmes sur lesquels je me suis creusé la tête pendant des années, mais, hélas, je ne suis pas si bon en mathématiques pour les résoudre.
Problème non résolu #1 : Loterie du FMI
Le premier problème non résolu est le devoir précédent. Je peux facilement utiliser la méthode Monte Carlo (en utilisant C++ ou Excel) et être sûr de la réponse à la question "combien de ressources le joueur recevra-t-il", mais je ne sais pas exactement comment fournir mathématiquement une réponse prouvable exacte (c'est une série infinie).
Problème non résolu n° 2 : Séquences de formes
Cette tâche (elle va aussi bien au-delà des tâches résolues dans ce blog) m'a été confiée par un joueur familier il y a plus de dix ans. Alors qu'il jouait au blackjack à Las Vegas, il a remarqué une caractéristique intéressante : piochant des cartes dans un sabot à 8 ponts, il a vu dix pièces d'affilée (une pièce ou une figure vaut 10, Joker, Roi ou Reine, il y en a donc 16 au total dans un jeu standard de 52 cartes ou 128 dans un sabot de 416 cartes).
Quelle est la probabilité que cette chaussure contienne au moins une séquence de dix pièces ou plus ? Supposons qu'ils ont été mélangés honnêtement, dans un ordre aléatoire. Ou, si vous préférez, quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune séquence de dix formes ou plus quelque part ?
Nous pouvons simplifier la tâche. Voici une séquence de 416 parties. Chaque partie est 0 ou 1. Il y a 128 uns et 288 zéros dispersés au hasard dans la séquence. Combien y a-t-il de manières d'entrelacer au hasard 128 1 avec 288 zéros, et combien de fois y aura-t-il au moins un groupe de dix 1 ou plus de ces manières ?
Chaque fois que j'ai entrepris de résoudre ce problème, cela m'a semblé facile et évident, mais dès que j'ai fouillé dans les détails, cela s'est soudainement effondré et semblait tout simplement impossible.
Alors prenez votre temps pour donner la réponse : asseyez-vous, réfléchissez bien, étudiez les conditions, essayez de brancher des chiffres réels, car toutes les personnes à qui j'ai parlé de ce problème (y compris plusieurs étudiants diplômés travaillant dans ce domaine) ont réagi à peu près de la même manière. manière : "C'est tout à fait évident... oh non, attendez, pas évident du tout." C'est le cas lorsque je n'ai pas de méthode pour calculer toutes les options. Bien sûr, je pourrais forcer brutalement le problème à travers un algorithme informatique, mais il serait beaucoup plus intéressant de trouver la manière mathématique de le résoudre.
Sachant que la probabilité peut être mesurée, essayons de l'exprimer en chiffres. Il y a trois chemins possibles.
Riz. 1.1. Mesurer la probabilité
PROBABILITÉ DÉTERMINÉE PAR LA SYMÉTRIE
Il existe des situations dans lesquelles les résultats possibles sont tout aussi probables. Par exemple, lorsque vous lancez une pièce une fois, si la pièce est standard, la probabilité d'obtenir pile ou face est la même, c'est-à-dire P(faces) = P(faces). Comme seuls deux résultats sont possibles, alors P(face) + P(face) = 1, donc P(face) = P(face) = 0,5.
Dans les expériences où les résultats ont des chances égales de se produire, la probabilité de l'événement E, P(E) est :
Exemple 1.1. La pièce est lancée trois fois. Quelle est la probabilité d'avoir deux faces et une pile ?
Pour commencer, trouvons tous les résultats possibles : Pour nous assurer que nous avons trouvé tous les résultats possibles, nous allons utiliser un diagramme en arbre (voir chapitre 1 section 1.3.1).
Donc, il y a 8 résultats également probables, donc leur probabilité est de 1/8. Evénement E - deux "aigles" et "queues" - il y en avait trois. C'est pourquoi:
Exemple 1.2. Un dé standard est lancé deux fois. Quelle est la probabilité que la somme des points soit égale ou supérieure à 9 ?
Trouvons tous les résultats possibles.
Tableau 1.2. Le nombre total de points obtenus en lançant un dé deux fois
Ainsi, dans 10 des 36 résultats possibles, la somme des points est de 9, soit :
PROBABILITÉ DÉTERMINÉE EMPIRIQUEMENT
Un exemple avec une pièce de monnaie de Table. 1.1 illustre bien le mécanisme de détermination des probabilités.
Avec le nombre total d'expériences réussies, la probabilité du résultat souhaité est calculée comme suit :
Le rapport est la fréquence relative d'apparition d'un certain résultat dans une expérience suffisamment longue. La probabilité est calculée soit sur la base des données de l'expérience, soit sur la base des données passées.
Exemple 1.3. Sur les cinq cents lampes électriques testées, 415 ont fonctionné plus de 1000 heures. Sur la base des données de cette expérience, on peut conclure que la probabilité de fonctionnement normal d'une lampe de ce type pendant plus de 1000 heures est de :
Noter. Le contrôle est destructif, donc toutes les lampes ne peuvent pas être testées. Si une seule lampe était testée, la probabilité serait de 1 ou 0 (c'est-à-dire qu'elle pourrait fonctionner 1000 heures ou non). D'où la nécessité de renouveler l'expérience.
Exemple 1.4. En tableau. 1.3 présente des données sur l'expérience des hommes travaillant dans l'entreprise :
Tableau 1.3. Expérience professionnelle masculine
Quelle est la probabilité que la prochaine personne embauchée par l'entreprise travaille pendant au moins deux ans ?
La solution.
Le tableau montre que 38 employés sur 100 sont dans l'entreprise depuis plus de deux ans. La probabilité empirique que le prochain employé reste dans l'entreprise plus de deux ans est :
Dans le même temps, nous supposons que le nouvel employé est «typique et que les conditions de travail sont inchangées.
ÉVALUATION SUBJECTIVE DE LA PROBABILITÉ
En entreprise, il y a souvent des situations où il n'y a pas de symétrie, et il n'y a pas non plus de données expérimentales. Par conséquent, déterminer la probabilité d'un résultat favorable sous l'influence des opinions et de l'expérience du chercheur est subjectif.
Exemple 1.5.
1. Un expert en placement estime que la probabilité de réaliser un profit au cours des deux premières années est de 0,6.
2. Prévision du responsable marketing : la probabilité de vendre 1 000 unités d'un produit au cours du premier mois suivant son introduction sur le marché est de 0,4.
Formules pour calculer la probabilité des événements
1.3.1. Séquence d'essais indépendants (schéma de Bernoulli)
Supposons qu'une expérience puisse être effectuée à plusieurs reprises dans les mêmes conditions. Que cette expérience se fasse n fois, c'est-à-dire une séquence de n essais.
Définition. Sous-séquence n les tests s'appellent mutuellement indépendants si un événement associé à un test donné est indépendant de tout événement associé à d'autres tests.
Disons qu'un événement UN susceptible de se produire pà la suite d'un test ou ne pas arriver avec probabilité q= 1- p.
Définition . Séquence de n test forme un schéma de Bernoulli si les conditions suivantes sont remplies :
sous-séquence n les tests sont indépendants les uns des autres,
2) probabilité d'un événement UN ne change pas d'un test à l'autre et ne dépend pas du résultat d'autres tests.
Événement UN est appelé un "succès" du test, et l'événement inverse est appelé un "échec". Pensez à un événement
=( dans n les tests se sont passés exactement m"Succès").
Pour calculer la probabilité de cet événement, la formule de Bernoulli est valide
p(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
où 
- nombre de combinaisons de néléments par m
:
=
=
.
Exemple 1.16. Lancez les dés trois fois. Trouver:
a) la probabilité que 6 points tombent deux fois ;
b) la probabilité que le nombre de six n'apparaisse pas plus de deux fois.
La solution . La "réussite" du test sera considérée comme la perte d'un visage sur le dé avec l'image de 6 points.
a) Nombre total d'essais - n=3, nombre de « succès » – m
= 2. Probabilité de "succès" - p=
,
et la probabilité d'"échec" - q= 1 - =. Ensuite, selon la formule de Bernoulli, la probabilité que le côté à six points tombe deux fois après avoir lancé le dé trois fois sera égale à
.
b) Dénoter par MAIS un événement où un visage avec un score de 6 apparaîtra au plus deux fois. L'événement peut alors être représenté comme sommes de trois incompatiblesévénements A=
,
où À 3 0 - événement où le visage d'intérêt n'apparaît jamais,
À 3 1 - événement où le visage d'intérêt apparaît une fois,
À 3 2 - événement lorsque le visage d'intérêt apparaît deux fois.
Par la formule de Bernoulli (1.6) on trouve
p(MAIS)
=p(
)
=
p(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Probabilité conditionnelle d'un événement
La probabilité conditionnelle reflète l'impact d'un événement sur la probabilité d'un autre. Changer les conditions dans lesquelles l'expérience est menée affecte également
la probabilité d'occurrence de l'événement d'intérêt.
Définition. Laisser UN et B- certains événements, et la probabilité p(B)> 0.
Probabilite conditionnelle développements UNà condition que "l'événement Bdéjà s'est produit" est le rapport de la probabilité de produire ces événements à la probabilité d'un événement qui s'est produit avant l'événement dont la probabilité doit être trouvée. La probabilité conditionnelle est notée p(UN B). Alors par définition
p
(UN
B)
=
.
(1.7)
Exemple 1.17. Lancez deux dés. L'espace des événements élémentaires est constitué de paires ordonnées de nombres
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
Dans l'exemple 1.16, il a été constaté que l'événement UN=(nombre de points au premier dé > 4) et événement C=(la somme des points est 8) sont dépendants. Faisons une relation
.
Cette relation peut être interprétée comme suit. Supposons que le résultat du premier lancer est connu comme étant que le nombre de points sur le premier dé est > 4. Il s'ensuit que le lancer du deuxième dé peut mener à l'un des 12 résultats qui composent l'événement UN:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
Parallèlement, l'événement C seuls deux d'entre eux (5.3) (6.2) peuvent correspondre. Dans ce cas, la probabilité de l'événement C
sera égal à 
. Ainsi, l'information sur la survenance d'un événement UN influencé la probabilité d'un événement C.
Probabilité de produire des événements
Théorème de multiplication
Probabilité de produire des événementsUN 1 UN 2 UN n est déterminé par la formule
p(UN 1 UN 2 UN n)=p(UN 1)p(UN 2 UN 1)) p(UN n UN 1 UN 2 UN n- 1). (1.8)
Pour le produit de deux événements, il s'ensuit que
p(UN B)=p(UN B)p{B)=p(B UN)p{UN). (1.9)
Exemple 1.18. Dans un lot de 25 articles, 5 articles sont défectueux. 3 articles sont choisis au hasard. Déterminez la probabilité que tous les produits sélectionnés soient défectueux.
La solution. Notons les événements :
UN 1 = (le premier produit est défectueux),
UN 2 = (le deuxième produit est défectueux),
UN 3 = (le troisième produit est défectueux),
UN = (tous les produits sont défectueux).
Événement MAIS est le produit de trois événements UN = UN 1 UN 2 UN 3 .
Du théorème de multiplication (1.6) on a
p(UN)=p( UN 1 UN 2 UN 3 ) = p(UN 1) p(UN 2 UN 1))p(UN 3 UN 1 UN 2).
La définition classique de la probabilité nous permet de trouver p(UN 1) est le rapport du nombre de produits défectueux sur le nombre total de produits :
p(UN 1)=
;
p(UN 2) – c'est le rapport du nombre de produits défectueux restant après le retrait d'un, au nombre total de produits restants :
p(UN 2
UN 1))=
;
p(UN 3) est le rapport du nombre de produits défectueux restant après le retrait de deux produits défectueux sur le nombre total de produits restants :
p(UN 3
UN 1 UN 2)=
.
Alors la probabilité de l'événement UN sera égal à
p(UN)
=
=
.
Il s'agit du rapport entre le nombre d'observations dans lesquelles l'événement en question s'est produit et le nombre total d'observations. Une telle interprétation est admissible dans le cas d'un nombre suffisamment grand d'observations ou d'expériences. Par exemple, si environ la moitié des personnes que vous rencontrez dans la rue sont des femmes, alors vous pouvez dire que la probabilité que la personne que vous rencontrez dans la rue soit une femme est de 1/2. En d'autres termes, la fréquence de son apparition dans une longue série de répétitions indépendantes d'une expérience aléatoire peut servir d'estimation de la probabilité d'un événement.
Probabilité en mathématiques
Dans l'approche mathématique moderne, la probabilité classique (c'est-à-dire non quantique) est donnée par l'axiomatique de Kolmogorov. La probabilité est une mesure P, qui est défini sur l'ensemble X, appelé espace de probabilité. Cette mesure doit avoir les propriétés suivantes :
Il résulte de ces conditions que la mesure de probabilité P a aussi la propriété additivité: si définit UN 1 et UN 2 ne se croisent pas, alors . Pour le prouver, il faut tout mettre UN 3 , UN 4 , … égal à l'ensemble vide et appliquer la propriété d'additivité dénombrable.
La mesure de probabilité peut ne pas être définie pour tous les sous-ensembles de l'ensemble X. Il suffit de le définir sur la sigma-algèbre constituée de quelques sous-ensembles de l'ensemble X. Dans ce cas, les événements aléatoires sont définis comme des sous-ensembles mesurables de l'espace X, c'est-à-dire comme éléments de l'algèbre sigma.
Sens des probabilités
Lorsque nous constatons que les raisons pour lesquelles un fait possible se produit réellement l'emportent sur les raisons opposées, nous considérons ce fait probable, Par ailleurs - incroyable. Cette prédominance des bases positives sur les négatives, et vice versa, peut représenter un ensemble indéfini de degrés, à la suite de quoi probabilité(et improbabilité) arrive Suite ou moins .
Des faits simples compliqués ne permettent pas un calcul exact de leurs degrés de probabilité, mais même ici il est important d'établir quelques grandes subdivisions. Ainsi, par exemple, dans le domaine du droit, lorsqu'un fait personnel susceptible d'être jugé est établi sur la base de témoignages, il reste toujours, à proprement parler, seulement probable, et il faut savoir quelle est l'importance de cette probabilité ; en droit romain, une division quadruple a été acceptée ici: plena de probation(où la probabilité se transforme pratiquement en authenticité), Plus loin - probatio moins plena, alors - probatio semiplena major et enfin probatio semiplena minor .
Outre la question de la probabilité du cas, peut se poser, tant dans le domaine du droit que dans le domaine de la morale (avec un certain point de vue éthique), la question de la probabilité qu'un fait particulier donné constitue une violation du droit commun. Cette question, qui sert de motif principal dans la jurisprudence religieuse du Talmud, a également donné naissance à la théologie morale catholique romaine (surtout depuis fin XVI siècle) des constructions systématiques très complexes et énorme littérature, dogmatique et polémique (voir Probabilisme).
Le concept de probabilité n'admet une expression numérique définie dans son application qu'aux faits qui font partie de certaines séries homogènes. Ainsi (dans l'exemple le plus simple), quand quelqu'un lance cent fois de suite une pièce, on trouve ici une série générale ou grande (la somme de toutes les chutes d'une pièce), qui est composée de deux parties privées ou plus petites, dans ce cas numériquement égal, série (chutes " aigle " et chute " queues "); La probabilité que dans cette fois la pièce tombera pile, c'est-à-dire que ce nouveau membre de la série générale appartiendra à celle des deux petites séries, est égal à une fraction exprimant le rapport numérique entre cette petite série et la grande, soit 1/2, c'est-à-dire que la même probabilité appartient à l'une ou l'autre des deux lignes privées. En moins exemples simples la conclusion ne peut pas être tirée directement des données du problème lui-même, mais nécessite une induction préalable. Ainsi, par exemple, on se demande : quelle est la probabilité pour ce nouveau-né vivre jusqu'à 80 ans ? Ici devrait faire une série générale, ou grande, de numéro connu personnes nées dans des conditions similaires et décédées à des âges différents (ce nombre doit être suffisamment grand pour éliminer les écarts aléatoires, et suffisamment petit pour préserver l'homogénéité de la série, car pour une personne née, par exemple, à Saint-Pétersbourg dans un milieu culturel riche famille , l'ensemble de la millionième population de la ville, dont une partie importante est constituée de personnes de divers groupes pouvant mourir à l'avance - soldats, journalistes, ouvriers métiers dangereux, - représente un groupe trop hétérogène pour la définition actuelle de la probabilité) ; que ce nombre total se compose de dix mille des vies humaines; il comprend des rangées plus petites représentant le nombre de ceux qui vivent jusqu'à tel ou tel âge ; l'une de ces rangées plus petites représente le nombre de personnes vivant jusqu'à 80 ans. Mais il est impossible de déterminer la taille de cette petite série (ainsi que de toutes les autres). a priori; cela se fait de manière purement inductive, par le biais de statistiques. Supposons que des études statistiques aient établi que sur 10 000 Pétersbourgeois de la classe moyenne, seuls 45 survivent jusqu'à l'âge de 80 ans ; ainsi cette petite série est liée à la plus grande comme 45 à 10 000, et la probabilité pour cette personne appartenir à cette petite série, c'est-à-dire vivre jusqu'à 80 ans, s'exprime comme une fraction de 0,0045. L'étude des probabilités d'un point de vue mathématique constitue une discipline particulière, la théorie des probabilités.
voir également
Remarques
Littérature
- Alfred Renyi. Lettres sur les probabilités / trad. de Hung. D. Saas et A. Crumley, éd. B. V. Gnedenko. M. : Mir. 1970
- Gnedenko B.V. Cours de probabilité. M., 2007. 42 p.
- Kouptsov V.I. Déterminisme et probabilité. M., 1976. 256 p.
Fondation Wikimédia. 2010 .
Synonymes:Antonymes:
Voyez ce que "probabilité" est dans d'autres dictionnaires :
Général scientifique et philosophique. une catégorie désignant le degré quantitatif de possibilité d'occurrence d'événements aléatoires de masse dans des conditions d'observation fixes, caractérisant la stabilité de leurs fréquences relatives. En logique, le degré sémantique ... ... Encyclopédie philosophique
PROBABILITÉ, un nombre compris entre zéro et un inclus, représentant la possibilité d'accomplissement cet evènement. La probabilité d'un événement est définie comme le rapport du nombre de chances qu'un événement se produise au nombre total de possibles ... ... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique
Selon toute vraisemblance .. Dictionnaire des synonymes et expressions russes de sens similaire. en dessous de. éd. N. Abramova, M.: dictionnaires russes, 1999. probabilité, possibilité, probabilité, chance, possibilité objective, maza, admissibilité, risque. Fourmi. impossibilité...... Dictionnaire des synonymes
probabilité- Une mesure qu'un événement peut se produire. Remarque La définition mathématique de la probabilité est "un nombre réel entre 0 et 1 relatif à un événement aléatoire". Le nombre peut refléter la fréquence relative dans une série d'observations ... ... Manuel du traducteur technique
Probabilité- "une caractéristique mathématique et numérique du degré de possibilité de l'occurrence de tout événement dans certaines conditions spécifiques qui peut être répétée un nombre illimité de fois." Basé sur ce classique… … Dictionnaire économique et mathématique
- (probabilité) La possibilité de survenance d'un événement ou d'un certain résultat. Il peut être représenté sous la forme d'une échelle avec des divisions de 0 à 1. Si la probabilité d'un événement est nulle, sa survenance est impossible. Avec une probabilité égale à 1, le début de ... Glossaire des termes commerciaux