On sait que 45 nombres et par 7. Divisibilité des nombres entiers et des restes - radiez antoshka

Cette déclaration est un signe de divisibilité par des nombres, qui peut être représenté comme un produit de deux nombres premiers entre eux.

Par exemple, puisque 6 = 2 ∙ 3 et D(2, 3) = 1, on obtient un signe de divisibilité par 6. Pour qu'un nombre naturel soit divisible par 6, il faut et il suffit qu'il soit divisible à la fois par 2 et 3 .

Notez que cette fonctionnalité peut être utilisée plusieurs fois.

c) Privé, obtenu en divisant deux nombres donnés et
leur plus grand diviseur commun est premier
Nombres.

Cette propriété peut être utilisée lors de la vérification de l'exactitude du plus grand commun diviseur trouvé de nombres donnés. Par exemple, vérifions si le nombre 12 est le plus grand commun diviseur des nombres 24 et 36. Pour ce faire, selon la dernière affirmation, nous divisons 24 et 36 par 12. Nous obtenons respectivement les nombres 2 et 3, qui sont premiers entre eux. Ainsi,

D(24, 36) = 12.

Des exercices

1. Les nombres 36 et 45 sont donnés.

a) Trouve tous les diviseurs communs de ces nombres.

b) Peux-tu nommer tous leurs multiples communs ?

c) Trouve trois nombres à trois chiffres qui sont des multiples communs des nombres donnés.

d) Que sont D(36, 45) et K(36, 45) ? Comment vérifier l'exactitude des réponses reçues?

2. Les entrées sont-elles correctes :

a) D(32, 8) = 8 et K(32,8) = 32 ;

b) D(17,35)=1 et K(17,35)=595 ;

c) D(255,306) = 17 et K(255,306),= 78030,

3. Trouver K(a, b) si on sait que :

a) a = 47,b=105 et D(47,105)= 1 ;

b) a = 315, b = 385 et D (315,385) = 35.

4. Formuler des signes de divisibilité par 12,15,18,36,45,75.

5. Dans l'ensemble des nombres 1032, 2964,5604,8910, 7008, écrivez ceux qui sont divisibles par 12.

6. 548 et 942 sont-ils divisibles par 18 ?

7. Au nombre 15, ajoutez à gauche et à droite; un chiffre pour que le nombre obtenu soit divisible par 15.

8. Trouver les nombres a et 6 du nombre 72, si l'on sait que ce nombre est divisible par 45.

9 Sans multiplier ni diviser par un coin, déterminez lesquels des produits suivants sont divisibles par 30 :

a) 105∙20 ; 6)47∙12∙5 ; c) 85∙33∙7.

10. Sans effectuer d'addition ni de soustraction, déterminez quelles expressions sont divisibles par 36.

a) 72 + 180 + 252 ; c) 180 + 252 + 100 ;

b) 612-432 ; d) 180 + 250 + 200.

91. Nombres Premiers

Les nombres premiers jouent un grand rôle en mathématiques - essentiellement, ils sont les "briques" à partir desquelles les débuts composites sont construits. Ceci est énoncé dans un théorème appelé le théorème fondamental de l'arithmétique des nombres naturels, qui est donné sans preuve :

Théorème : Tout nombre composé peut être représenté de manière unique comme un produit de facteurs premiers.

Par exemple, la notation 110 = 2∙5∙11 est une représentation du nombre 110 comme un produit de facteurs premiers ou sa décomposition en facteurs premiers.

Deux décompositions d'un nombre en facteurs premiers sont considérées comme identiques si elles ne diffèrent l'une de l'autre que par l'ordre des facteurs. Par conséquent, la représentation du nombre 110 comme un produit de 2∙5∙11 ou un produit de 5∙2∙11 est, en substance, la même décomposition du nombre 110 en facteurs premiers.

Lorsqu'il décompose des nombres en facteurs premiers, il utilise les signes de divisibilité par 2, 3, 5, etc. Rappeler une des manières d'écrire la décomposition des nombres en facteurs premiers. Factorisons, par exemple, le nombre 90. Le nombre 90 est divisible par 2. Ainsi, 2 est un des facteurs premiers dans la décomposition du nombre 90. Divisons 90 par 2. Nous écrivons le nombre 2 à droite de le signe égal, et le quotient 45 sous le nombre 90. Le nombre On divise 45 par un nombre premier 3, on obtient 15. On divise 15 par 3, on obtient 5. Le nombre 5 est premier, quand on le divise par 5 on obtient 1. La factorisation est terminée.

90 = 2∙3∙3∙5

Lors de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, le produit de facteurs identiques est représenté par une puissance : 90 = 2∙3 2∙5 ; 60 = 2 2 ∙3∙5 ; 72 = 2 3 ∙ 3 2 . Une telle décomposition d'un nombre en facteurs premiers est dite canonique.

En relation avec la possibilité de représenter tout nombre composé comme un produit de facteurs premiers, il devient nécessaire de déterminer si un nombre donné est premier ou composé. Les mathématiciens de la Grèce antique, qui connaissaient de nombreuses propriétés des nombres premiers, étaient déjà capables de résoudre ce problème. Ainsi, Eratosthène (IIIe siècle av. J.-C.) a inventé une méthode pour obtenir des nombres premiers ne dépassant pas le nombre naturel a. Utilisons-le pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à 50.

Nous écrivons tous les nombres naturels de 1 à 50 et barrons le nombre 1 - ce n'est pas premier. Le nombre 2 est premier, entourez-le. Après cela, nous barrons chaque deuxième chiffre après 2, c'est-à-dire numéros 4,6,8,...

Le premier chiffre 3 non barré est premier, entourez-le. Et rayez chaque troisième chiffre après 3, c'est-à-dire numéros 9, 15, ... (les numéros 6, 12, etc. sont barrés plus tôt).

Le premier numéro 5 non barré est premier, nous l'entourerons également. Barrez chaque cinquième chiffre après 5, etc.

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Les nombres qui restent après quatre suppressions (à l'exclusion des nombres 2,3,5 et 7) ne sont divisibles ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7. En arithmétique, il est prouvé que si un nombre naturel a est supérieur à un , n'est divisible par aucun des nombres premiers dont le carré n'excède pas o, alors un le nombre est premier. Puisque 7 2 = 49 et 49< 50, то все оставшиеся числа - простые.

Ainsi, les nombres premiers ne dépassant pas 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

La méthode décrite pour obtenir des nombres premiers s'appelle le tamis d'Eratosthène, car elle vous permet de filtrer les nombres composés un par un.

En utilisant la méthode proposée par Eratosthène, on peut trouver tous les nombres premiers qui ne dépassent pas un nombre donné a. Mais il ne répond pas à la question de savoir si l'ensemble des nombres premiers est fini ou non, car il pourrait s'avérer que tous les nombres, à partir d'un certain nombre, sont composés et que l'ensemble des nombres premiers est fini. Un autre mathématicien grec, Euclide, s'est occupé de ce problème. Il a prouvé que l'ensemble des nombres premiers est infini.

En effet, supposons que l'ensemble des nombres premiers soit fini et épuisé par les nombres 2, 3, 5, 7, 7 - le plus grand nombre premier. Nous multiplions tous les nombres premiers et notons leur produit par a. Ajoutons 1 à ce nombre. Quel sera le nombre résultant

et + 1 - simple ou composé ?

nombre premier un+1 ne peut pas l'être, car il est supérieur au plus grand nombre premier et, par hypothèse, de tels nombres n'existent pas. Mais elle ne peut pas non plus être composée : si un+ 1 .composite, alors il doit avoir au moins un diviseur premier q. Depuis le nombre

un = 2∙3∙5∙...∙ R est également divisible par ce nombre premier q, alors la différence ( un + 1) - un, c'est à dire. le nombre 1 est divisible par q, ce qui est impossible.

Ainsi, le nombre a n'est ni premier ni composé, mais cela ne peut être ni l'un ni l'autre - tout nombre autre que 1 est soit premier soit composé. Par conséquent, notre proposition selon laquelle l'ensemble des nombres premiers est fini et est le plus grand nombre premier est fausse, et donc l'ensemble des nombres premiers est infini.

Des exercices

1. À partir de l'ensemble des nombres 13, 27, 29, 51, 67, écrivez simple
nombres et factoriser les composés en facteurs premiers.

2. Démontrer que le nombre 819 n'est pas un nombre premier.

3. Factorisez les nombres 124.588.2700.3780 en facteurs premiers.

4. Quel nombre a une décomposition :

a) 2 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13 ; b) 2 2 ∙ 3 ∙ 5 3 ?

L'un des artistes les plus charismatiques et les plus éminents du cinéma russe a récemment semblé avoir disparu des yeux du public. On entend si peu parler d'Alexandre Domogarov que ses nombreux fans pourraient décider que l'acteur s'est coupé du monde. Pourtant, il se rappelle régulièrement de lui-même sur les réseaux sociaux, où un post alarmant est apparu il y a quelques heures.

Rappelons que l'homme de 53 ans Artiste national La Russie, en plus de tourner un film, joue avec plaisir et fierté au théâtre. Depuis 1995, Domogarov est au service du théâtre du conseil municipal de Moscou, où il a joué des rôles dans de nombreuses représentations, dont trois font partie du répertoire actuel. L'acteur est considéré comme la star de ce théâtre, des photographies avec Domogarov sur scène ornent l'entrée, de nombreux fans assistent à des représentations avec sa participation.

Mais dans sa publication dans Alexander Yuryevich, il a déclaré qu'il avait été "retiré des représentations" et "c'est très grave".

Retiré des représentations ! Alors endure ! Je me sens plus calme que d'entrer et de dire bonjour à des "collègues" qui crachent dans le dos ! - écrit l'artiste. - Je ne permettrai plus, pour quelque envie, de révoquer et nommer, révoquer et rendre, donner en tournée ou ne pas donner. ... Mais dès que j'ai été retiré de toutes les représentations, pour le plus grand plaisir de mes "collègues", un communiqué a été rédigé. Écrit le 9 janvier. Il n'a pas encore été signé. Mais, chers collègues, il sera signé, même purement juridiquement. Tous nos accords avec le théâtre seront respectés de ma part, donc parfois vous devrez me souffrir "collègues" quand je dois récupérer mes affaires dans la loge, et à l'avenir le théâtre oubliera, tout comme vous avez oublié les représentations qui ont duré 10-12 ans, collectionnant les salles, et vous oublierez comment vous les avez détruites. Vivez, Dieu est votre juge. Au revoir collègues.

Nous avons communiqué avec Alexander Domogarov avec une demande de commenter la situation.

Vous ne lisez pas mes messages, car ils contiennent une part de vérité et seulement une fraction. Mais en principe, cela correspond à la réalité, - Alexander Domogarov a répondu et a raccroché.

Rappelons qu'Alexandre Domogarov s'est officiellement marié trois fois. La première épouse Natalya Sagoyan a donné naissance à son fils Dmitry. Il y a 10 ans, l'acteur premier-né est décédé dans un accident. De sa seconde épouse, Irina Gunenkova, l'acteur a un fils, Alexander Domogarov, il est également devenu acteur. La troisième épouse, l'actrice Natalya Gromushkina, a été mariée avec lui pendant 4 ans. Il y a trois ans, l'acteur déclarait dans : "Mon fils s'est tué dans un accident de voiture, je n'ai pas trouvé les bouts, mais je ne me suis pas fâché contre le Country !" Partout dans le monde donc - il y a des forts et il y a des invulnérables. Mais je vais résoudre et résoudre mon problème moi-même. Et je le résoudrai, mais je ne crierai pas contre le pouvoir et ceux qui sont au pouvoir. Je déciderai et déciderai. Et le pays me donne cette opportunité.

N° d'option 4557112

Lorsque vous effectuez des tâches avec une réponse courte, entrez dans le champ de réponse le numéro qui correspond au numéro de la bonne réponse, ou un nombre, un mot, une séquence de lettres (mots) ou de chiffres. La réponse doit être écrite sans espaces ni caractères supplémentaires. Séparez la partie fractionnaire de la virgule entière. Les unités de mesure ne sont pas nécessaires.

Si l'option est définie par l'enseignant, vous pouvez saisir ou télécharger des réponses aux tâches avec une réponse détaillée dans le système. L'enseignant verra les résultats des devoirs à réponse courte et pourra noter les réponses téléchargées dans les devoirs à réponse longue. Les points attribués par le professeur seront affichés dans vos statistiques.

Version pour impression et copie dans MS Word

Les nombres sont écrits dans une rangée : , , ..., , Les signes « + » et « - » sont placés au hasard entre eux et la somme résultante est trouvée.

Ce montant peut-il être égal à :

a) −4 si ?

b) 0 si ?

c) 0 si ?

d) −3 si ?

Les longueurs des côtés d'un rectangle sont des nombres naturels et son périmètre est de 200. On sait que la longueur d'un côté d'un rectangle est n n est aussi un nombre naturel.

n>100.

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Plusieurs nombres naturels (pas nécessairement différents) sont conçus. Ces nombres et toutes leurs sommes possibles (par 2, par 3, etc.) sont inscrits au tableau dans un ordre non décroissant. Si un certain nombre nécrit au tableau est répété plusieurs fois, puis un tel nombre est laissé au tableau n, et le reste des nombres sont n, sont effacés. Par exemple, si les nombres 1, 3, 3, 4 sont conçus, alors l'ensemble 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 sera écrit au tableau.

a) Donnez un exemple de nombres conçus dont l'ensemble 2, 4, 6, 8, 10 sera écrit au tableau.

b) Existe-t-il un exemple de tels nombres conçus pour lesquels l'ensemble 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22 sera écrit sur le planche?

c) Donnez tous les exemples de nombres prévus pour lesquels l'ensemble 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41 sera écrit au tableau.

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Les longueurs des côtés d'un rectangle sont des nombres naturels et son périmètre est de 4000. On sait que la longueur d'un côté d'un rectangle est n% de la longueur de l'autre côté, où n est aussi un nombre naturel.

un quoi valeur la plus élevée peut prendre l'aire d'un rectangle ?

b) Quoi plus petite valeur peut prendre l'aire d'un rectangle ?

c) Trouver toutes les valeurs possibles que peut prendre l'aire d'un rectangle, si l'on sait en plus que n

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Il y a 8 cartes. Chacun des nombres 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 y est écrit un par un. Les cartes sont retournées et mélangées. De leur côté propre, chacun des nombres 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 est réécrit un par un. Après cela, les nombres sur chaque carte sont additionnés, et le résultat huit sommes sont multipliées.

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Plusieurs entiers sont conçus. L'ensemble de ces nombres et toutes leurs sommes possibles (par 2, par 3, etc.) sont inscrits au tableau dans un ordre non décroissant. Par exemple, si les nombres 2, 3, 5 sont conçus, alors l'ensemble 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 sera écrit au tableau.

a) L'ensemble -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6 est écrit au tableau Quels nombres ont été conçus ?

b) Pour certains nombres conçus différents dans l'ensemble écrit au tableau, le nombre 0 apparaît exactement 4 fois. Quel est le plus petit nombre de nombres que l'on puisse concevoir ?

c) Pour certains nombres conçus, un ensemble est écrit au tableau. Est-il toujours possible de déterminer de manière unique les nombres prévus à partir de cet ensemble ?

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Avant chacun des nombres 14, 15, . . ., 20 et 4, 5, . . ., 8 mettent arbitrairement un signe plus ou moins, après quoi chacun des nombres formés du deuxième ensemble est soustrait de chacun des nombres formés du premier ensemble, puis les 35 résultats sont additionnés. Quel est le plus petit modulo et quelle est la plus grande quantité qui peut être obtenue en conséquence ?

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Il y a 8 cartes. Chacun des nombres est écrit dessus un par un :

Les cartes sont retournées et mélangées. Sur leurs faces propres, ils écrivent encore un des nombres :

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Après cela, les nombres sur chaque carte sont additionnés et les huit montants résultants sont multipliés.

a) Le résultat peut-il être 0 ?

b) Le résultat peut-il être 117 ?

c) Quel est le plus petit entier non négatif qui peut en résulter ?

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Le nombre est tel que toute représentation sous forme de somme de termes positifs, dont chacun ne dépasse pas ces termes, peut être divisée en deux groupes de sorte que chaque terme tombe dans un seul groupe et que la somme des termes de chaque groupe ne dépasse pas dépasser

a) Le nombre peut-il être égal ?

b) Le nombre peut-il être plus grand ?

c) Trouver la valeur maximale possible

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Une progression arithmétique (avec une différence, différente de zéro) est donnée, composée de nombres naturels dont la notation décimale ne contient pas le chiffre 9.

(a) Peut-il y avoir dix termes dans une telle progression ?

b) Prouver que le nombre de ses membres est inférieur à 100.

c) Prouver que le nombre de termes d'une telle progression est au plus 72.

d) Donnez un exemple d'une telle progression avec 72 membres

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Chacun des nombres 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 est écrit un par un sur 8 cartes. Les cartes sont retournées et mélangées. Sur leurs faces propres, chacun des nombres 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 est réécrit un par un. Après cela, les nombres sur chaque carte sont additionnés, et le les huit sommes résultantes sont multipliées.

a) Le résultat peut-il être 0 ?

b) Le résultat peut-il être 1 ?

c) Quel est le plus petit entier non négatif qui peut donner

réussir?

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Le chiffre 7 est écrit au tableau. Une fois par minute, Vasya écrit un chiffre au tableau : soit deux fois plus grand qu'un des nombres au tableau, soit égal à la somme de quelque deux nombres écrits au tableau (donc, dans une minute, un deuxième numéro apparaîtra sur le numéro du tableau, après deux - le troisième, etc.).

a) Le nombre 2012 peut-il apparaître au tableau à un moment donné ?

b) La somme de tous les nombres du tableau peut-elle être égale à 63 à un moment donné ?

c) Quel est le temps le plus court nécessaire pour que le nombre 784 apparaisse au tableau ?

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Trouver tous les nombres premiers b, pour chacun desquels il existe un entier un que la fraction peut être réduite de b.

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Les nombres naturels de 1 à 20 sont divisés en quatre groupes, chacun contenant au moins deux nombres. Pour chaque groupe, trouvez la somme des nombres de ce groupe. Pour chaque paire de groupes, le module de la différence entre les sommes trouvées est trouvé et les 6 nombres résultants sont additionnés.

a) Le résultat peut-il être 0 ?

b) Le résultat peut-il être 1 ?

c) Quelle est la plus petite valeur possible du résultat obtenu ?

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Avant chacun des chiffres 3, 4, 5, . . . 11 et 14, 15, . . . 18 mettre arbitrairement un signe plus ou moins, après quoi chacun des nombres formés du deuxième ensemble est ajouté à chacun des nombres formés du premier ensemble, puis les 45 résultats sont additionnés. Quelle est la plus petite somme modulo et quelle est la plus grande somme qui peut être obtenue en conséquence ?

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Les nombres de 10 à 21 sont écrits une fois dans un cercle dans un certain ordre.Pour chacune des douze paires de nombres voisins, leur plus grand diviseur commun a été trouvé.

a) Se pourrait-il que tous les plus grands diviseurs communs soient égaux à 1 ?

b) Se pourrait-il que tous les plus grands diviseurs communs soient deux à deux distincts ?

c) Quel est le plus grand nombre de plus grands diviseurs communs deux à deux distincts que l'on puisse obtenir ?

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Chacun des nombres 5, 6, . . ., 9 est multiplié par chacun des nombres 12, 13, . . ., 17 et avant chaque image arbitraire mettre un signe plus ou moins, après quoi les 30 résultats sont additionnés. Quelle est la plus petite somme modulo et quelle est la plus grande somme qui peut être obtenue en conséquence ?

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Les nombres naturels de 1 à 21 ont été placés sur le cercle d'une manière ou d'une autre (chaque nombre a été placé une fois). Ensuite, pour chaque paire de nombres voisins, nous avons trouvé la différence entre les plus grands et les plus petits.

a) Toutes les différences résultantes pourraient-elles être au moins égales à 11 ?

b) Toutes les différences résultantes pourraient-elles être au moins égales à 10 ?

c) En plus des différences obtenues, pour chaque couple de nombres traversant un, ils ont trouvé la différence entre les plus grands et les plus petits. Car quel est le plus grand entier k vous pouvez organiser les nombres de manière à ce que toutes les différences ne soient pas inférieures à k?

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a) L'ensemble -6, -2, 1, 4, 5, 7, 11 est écrit au tableau Quels nombres ont été conçus ?

b) Pour certains nombres conçus différents dans l'ensemble écrit au tableau, le nombre 0 apparaît exactement 7 fois. Quel est le plus petit nombre de nombres que l'on puisse concevoir ?

c) Pour certains nombres conçus, un ensemble est écrit au tableau. Est-il toujours possible de déterminer de manière unique les nombres prévus à partir de cet ensemble ?

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n n n

a) Donnez un exemple de nombres conçus dont l'ensemble 2, 4, 6, 8 sera écrit au tableau.

b) Existe-t-il un exemple de tels nombres conçus pour lesquels l'ensemble 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22 sera écrit sur le planche?

c) Donnez tous les exemples de nombres prévus pour lesquels l'ensemble 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52 sera écrit au tableau.

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Trouver une fraction irréductible telle que

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a) Quel est le nombre de façons d'écrire le nombre 1292 sous la forme où les nombres sont des nombres entiers,

b) Y a-t-il 10 nombres distincts tels qu'ils puissent être représentés comme où les nombres sont des nombres entiers d'exactement 130 façons ?

c) Combien y a-t-il de nombres N tels qu'ils puissent être représentés sous la forme où les nombres sont des nombres entiers d'exactement 130 façons ?

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a) Donner un exemple de nombres conçus dont l'ensemble 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sera écrit au tableau.

b) Existe-t-il un exemple de tels nombres conçus pour lesquels l'ensemble 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 sera écrit sur le planche?

c) Donnez tous les exemples de nombres conçus dont l'ensemble 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41 sera écrit au tableau.

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Kolya a multiplié un nombre naturel par un nombre naturel voisin et a obtenu un produit égal à m. Vova a multiplié un nombre naturel pair par un nombre naturel pair voisin et a obtenu un produit égal à n.

m et négal à 6 ?

m et négal 13?

m et n?

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Parmi les fractions ordinaires à dénominateurs positifs situées entre les nombres et trouver celle dont le dénominateur est minimal.

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Chacun des groupes d'étudiants est allé au cinéma ou au théâtre, alors qu'il est possible que l'un d'eux aille à la fois au cinéma et au théâtre. On sait qu'au théâtre, il n'y avait pas plus de garçons que le nombre total d'élèves du groupe qui ont visité le théâtre, et qu'au cinéma, il n'y avait pas plus de garçons que le nombre total d'élèves du groupe qui ont visité le cinéma.

a) Pourrait-il y avoir 9 garçons dans le groupe si l'on sait en outre qu'il y avait 20 élèves au total dans le groupe ?

b) Quel est le plus grand nombre de garçons POURRAIT être dans le groupe si l'on sait en outre qu'il y avait 20 élèves dans le groupe ?

c) Quelle était la plus petite proportion de filles dans le nombre total d'élèves du groupe sans la condition supplémentaire des points a et b ?

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Étant donné un nombre naturel à trois chiffres (un nombre ne peut pas commencer à zéro) qui n'est pas un multiple de 100.

a) Le quotient de ce nombre et de la somme de ses chiffres peut-il être égal à 82 ?

b) Le quotient de ce nombre et la somme de ses chiffres peut-il être égal à 83 ?

c) Quelle est la plus grande valeur naturelle d'un nombre donné et la somme de ses chiffres ?

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Le pays de Delphinia a le système d'impôt sur le revenu suivant ( unité monétaire Dauphins - dorés):

a) Les deux frères ont gagné un total de 1000 pièces d'or. Comment est-il plus avantageux pour eux de répartir cet argent entre eux, afin que la famille ait autant que possible plus d'argent après impôts? Lors de la division, chacun reçoit un nombre entier de pièces d'or.

b) Quelle est la meilleure façon de répartir les mêmes 1000 pièces d'or entre les trois frères, à condition que chacun reçoive également un nombre entier de pièces d'or ?

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Petya a multiplié un nombre naturel par un nombre naturel voisin et a obtenu un produit égal à un. Vasya a multiplié un nombre naturel pair par un nombre naturel pair voisin et a obtenu un produit égal à b.

a) Le module de la différence des nombres peut-il un et bégal à 8 ?

b) Le module de la différence des nombres peut-il un et bégal à 11 ?

c) Quelles valeurs du module de la différence des nombres peuvent prendre un et b?

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Trouvez toutes ces paires de nombres naturels et telles que si la notation décimale du nombre est ajoutée à la notation décimale du nombre de droite, vous obtenez un nombre supérieur au produit des nombres et par

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Plus de 40 mais moins de 48 nombres entiers sont écrits au tableau. La moyenne arithmétique de ces nombres est -3, la moyenne arithmétique de tous les nombres positifs est 4 et la moyenne arithmétique de tous les nombres négatifs est -8.

a) Combien de nombres sont écrits au tableau ?

b) Quels nombres s'écrivent le plus : positifs ou négatifs ?

c) Quel est le plus grand nombre de nombres positifs parmi eux ?

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Il y a des blocs de pierre : 50 pièces de 800 kg, 60 pièces de 1 000 kg et 60 pièces de 1 500 kg (vous ne pouvez pas diviser les blocs).

a) Est-il possible d'emporter tous ces blocs en même temps sur 60 camions, chacun d'une capacité de charge de 5 tonnes, en supposant que les blocs choisis tiendront dans le camion ?

b) Est-il possible d'emporter tous ces blocs en même temps sur 38 camions d'une capacité de charge de 5 tonnes chacun, en supposant que les blocs sélectionnés rentreront dans le camion ?

c) Quel est le plus petit nombre de camions, d'une capacité de charge de 5 tonnes chacun, qui seront nécessaires pour sortir tous ces blocs en même temps, en supposant que les blocs sélectionnés rentrent dans le camion ?

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Étant donné un nombre naturel à trois chiffres (un nombre ne peut pas commencer à zéro) qui n'est pas un multiple de 100.

a) Le quotient de ce nombre et de la somme de ses chiffres peut-il être égal à 90 ?

b) Le quotient de ce nombre et de la somme de ses chiffres peut-il être égal à 88 ?

c) Quelle est la plus grande valeur naturelle d'un nombre donné et la somme de ses chiffres ?

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a) Combien de nombres sont écrits au tableau ?

b) Quels nombres s'écrivent le plus : positifs ou négatifs ?

c) Quel est le plus grand nombre de nombres positifs parmi eux ?

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Sont donnés n différents nombres naturels qui composent une progression arithmétique

a) La somme de tous les nombres donnés peut-elle être égale à 14 ?

b) Quelle est la plus grande valeur n si la somme de tous les nombres donnés est inférieure à 900 ?

c) Trouver toutes les valeurs possibles n si la somme de tous les nombres donnés est 123.

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Est-il possible de donner un exemple de cinq nombres naturels différents dont le produit est égal à 1512 et

b) quatre ;

forment-ils une progression géométrique ?

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Trouver tous les nombres premiers pour chacun desquels il existe un entier tel que la fraction puisse être réduite de

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Une séquence de nombres naturels est donnée, et chaque terme suivant diffère du précédent de 10 ou 6 fois. La somme de tous les termes de la suite est 257.

a) Quel est le plus petit nombre de termes pouvant être dans cette suite ?

b) Quel est le nombre maximum de membres qui peuvent être dans cette séquence ?

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Si deux nombres un et b lors de la division par un nombre m donnent le même reste, alors on dit que a est congru à b modulo m. Écrivez-le comme ceci une ≡ b (mod m)

Si un un > b, alors le plus grand diviseur commun un et b est égal au plus grand diviseur commun un B et b.

Tenez compte de ces propriétés lors de la résolution de problèmes :

1. Combien y a-t-il de nombres naturels inférieurs à 1000 qui ne sont divisibles ni par 5 ni par 7 ?

Décision: On raye de 999 nombres inférieurs à 1000 nombres multiples de 5 : il y en a 199 (999/5 = 199). Ensuite, on barre les nombres multiples de 7 : il y en a 142 (999/7 = 142). Mais parmi les nombres multiples de 7, il y a 28 (999/35 = 28) nombres simultanément multiples de 5 ; ils seront barrés deux fois. Au total, nous devrions barrer 199 + 142 - 28 = 313 numéros.

Il reste 999 - 313 = 686. Réponse : 686 numéros.

2. Trouvez le reste de 2009⋅2010⋅2011+2012 2 divisé par 7.

La solution du problème

Étant donné que 2009⋮7, alors le reste sera 2012 2 ≡ 3 2 ≡ 2(mod7)

3. On sait que le reste après avoir divisé le nombre aa par 19 est 7, et le nombre b par 19 est égal à 11. Trouver le reste après avoir divisé par 19 le nombre ab(a+b)(a−b).

La solution du problème

Notez que ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) = −224 = −228+4 ≡ 4(mod19)

4. Montrer que la somme des carrés de trois nombres entiers ne peut pas, lorsqu'elle est divisée par 8, laisser un reste de 7.

Décision

Tout entier, lorsqu'il est divisé par 8, a un reste de l'un des huit nombres suivants 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, donc le carré d'un entier a un reste lorsqu'il est divisé par 8, l'un des les trois nombres 0, 1, 4. Pour que la somme des carrés de trois nombres ait un reste de 7 lorsqu'elle est divisée par 8, il faut que l'un des deux cas soit satisfait : soit l'un des carrés, soit tous trois, lorsqu'ils sont divisés par 8, ont des restes impairs.

Dans le premier cas, le reste impair est 1, et la somme des deux restes pairs est 0, 2, 4, c'est-à-dire que la somme de tous les restes est 1, 3, 5. Dans ce cas, le reste 7 ne peut pas être obtenu. Dans le second cas, les trois restes impairs sont trois 1 et le reste de la somme totale est 3. Ainsi, 7 ne peut pas être le reste lorsque la somme des carrés de trois entiers est divisée par 8.

5. Existe-t-il des nombres naturels nn tels que n 2 +n+1 est divisible par 2014 ?

La solution du problème

A noter que n 2 + n = n(n + 1) est divisible par 2, puisqu'il est le produit de deux nombres consécutifs, ce qui signifie que n 2 + n + 1 est toujours impair (ceci peut également être vu en utilisant le petit théorème de Fermat : n 2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2).

Comme le nombre 2014 est pair, il n'y a pas de n tel que le nombre n 2 +n+1 soit divisible par 2014 (si un tel n existait, cela contredirait le fait que n 2 +n+1 est impair).

6. C Existe-t-il un nombre à dix chiffres divisible par 11 dans lequel chaque chiffre apparaît une fois ?

Je façon. En écrivant des nombres à trois chiffres divisibles par 11, vous pouvez trouver trois nombres parmi eux, dans l'enregistrement desquels participent tous les nombres de 0 à 9. Par exemple, 275, 396.418. Avec leur aide, vous pouvez créer un nombre à dix chiffres divisible par 11. Par exemple :

2753964180 = 275 107 + 396 107 + 418 10 = 11 (25 107 + 36 104 + 38 10).

II façon. Pour trouver le nombre recherché, on utilise le critère de divisibilité par 11, selon lequel les nombres n = a 1 a 2 a 3 ... a 10 (en ce cas et i ne sont pas des facteurs, mais des chiffres dans la notation du nombre n) et S(n) = a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 sont simultanément divisibles par 11.

Soit A la somme des chiffres inclus dans S(n) avec le signe "+", B la somme des chiffres inclus dans S(n) avec le signe "-". Le nombre A-B, selon l'état du problème, doit être divisible par 11. Posons B - A = 11, en plus, évidemment, A + B = 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45. le système résultant B - A \u003d 11 , A + B \u003d 45, on trouve, A \u003d 17, B \u003d 28. Sélectionnons un groupe de cinq nombres différents avec une somme de 17. Par exemple, 1 + 2 + 3 + 5 + 6 \u003d 17. Nous prendrons ces nombres comme des nombres impairs . En tant que chiffres avec des nombres pairs, nous prenons les chiffres restants - 4, 7, 8, 9, 0.

On voit que la condition du problème est satisfaite, par exemple, par le nombre 1427385960.

7. Trouvez le plus petit nombre naturel qui donne le même reste lorsqu'il est divisé par 25 comme 1234.

Décision

Considérez le reste lorsque vous divisez le nombre 1234 par 25. Tous les nombres inférieurs à celui-ci donnent d'autres restes, car ce sont leurs propres restes. Le reste quand 1234 est divisé par 25 est 9, puisque 1234=49⋅25+9, c'est la réponse.

8. Ayant reçu un deux en géographie, Vasya a décidé de rompre carte géographique une part. Chaque morceau qui tombe entre ses mains, il le déchire en quatre parties. Peut-il jamais obtenir exactement 2012 morceaux? 2013 pièces ? 2014 pièces ? 2015 pièces ?

La solution du problème

Notez qu'à chaque fois que Vasya augmente le nombre de pièces de 3, puisqu'il transforme une pièce en quatre. Par conséquent, il recevra des nombres comme 1+3N, où N est le nombre de pièces qu'il a déchirées. Le nombre 2014 a cette forme, il obtiendra donc 2014 pièces, tandis que d'autres ne peuvent pas être représentés sous cette forme (ils ont des restes lorsque divisés par 3 sont 0 ou 2).

9. Trouvez le plus petit nombre naturel qui donne les restes suivants : 1 - lorsqu'il est divisé par 2, 2 - lorsqu'il est divisé par 3, 3 - lorsqu'il est divisé par 4, 4 - lorsqu'il est divisé par 5, 5 - lorsqu'il est divisé par 6.

La solution du problème

Considérez le nombre souhaité augmenté de un. Il est divisible par 2,3,4,5,6, car il donne des restes un de moins que les diviseurs eux-mêmes. Nous devons trouver le minimum de ce nombre, par conséquent, le nombre requis est le plus petit commun multiple des nombres 2,3,4,5,6 moins 1. Le plus petit commun multiple de 2,3,4,5,6 est 2 2 ⋅3⋅5=60 , car dans les nombres 2,3,4,5,6 il n'y a que 3 diviseurs premiers, les trois et cinq entrent dans le maximum au premier degré, et les deux au second (dans le nombre 4). Le nombre souhaité est donc 60−1 = 59.

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