Chers amis! Le groupe de tâches liées à la dérivée comprend des tâches - dans la condition, le graphe de la fonction est donné, plusieurs points sur ce graphe et la question est :

À quel point la valeur de la dérivée est-elle la plus grande (la plus petite) ?

Répétons brièvement :

La dérivée au point est égale à la pente de la tangente passant parce point sur le graphique.

Àle coefficient global de la tangente, quant à lui, est égal à la tangente de la pente de cette tangente.

*Il s'agit de l'angle entre la tangente et l'axe des x.

1. Sur des intervalles de fonction croissante, la dérivée a une valeur positive.

2. Sur les intervalles de sa diminution, la dérivée a une valeur négative.

Considérez le croquis suivant :

Aux points 1,2,4, la dérivée de la fonction a une valeur négative, puisque ces points appartiennent aux intervalles décroissants.

Aux points 3,5,6, la dérivée de la fonction a une valeur positive, puisque ces points appartiennent aux intervalles d'augmentation.

Comme vous pouvez le voir, tout est clair avec la valeur de la dérivée, c'est-à-dire qu'il n'est pas difficile de déterminer son signe (positif ou négatif) à un certain point du graphique.

De plus, si nous construisons mentalement des tangentes en ces points, nous verrons que les droites passant par les points 3, 5 et 6 forment des angles avec l'axe oX compris entre 0 et 90°, et les droites passant par les points 1, 2 et 4 forment avec l'axe oX, des angles allant de 90 o à 180 o.

* La relation est claire : les tangentes passant par des points appartenant à des intervalles de fonctions croissantes forment des angles aigus avec l'axe oX, les tangentes passant par des points appartenant à des intervalles de fonctions décroissantes forment des angles obtus avec l'axe oX.

Maintenant la question importante !

Comment évolue la valeur de la dérivée ? Après tout, la tangente en différents points du graphique d'une fonction continue forme des angles différents, selon le point du graphique par lequel elle passe.

*Ou, parlant langage clair, la tangente est située, pour ainsi dire, "plus horizontalement" ou "plus verticalement". Voir:

Les lignes droites forment des angles avec l'axe oX allant de 0 à 90 o

Les lignes droites forment des angles avec l'axe oX allant de 90 o à 180 o

Donc s'il y a des questions :

- Auquel des points donnés sur le graphique la valeur de la dérivée a-t-elle la plus petite valeur ?

- auquel des points donnés du graphique la valeur de la dérivée a valeur la plus élevée?

alors pour la réponse il faut comprendre comment la valeur de la tangente de l'angle de la tangente change dans la plage de 0 à 180 o.

*Comme déjà mentionné, la valeur de la dérivée de la fonction en un point est égale à la tangente de la pente de la tangente à l'axe des abscisses.

La valeur de la tangente change comme suit :

Lorsque la pente de la droite passe de 0 o à 90 o, la valeur de la tangente, et donc de la dérivée, passe de 0 à +∞, respectivement ;

Lorsque la pente de la droite passe de 90 o à 180 o, la valeur de la tangente, et donc de la dérivée, change en conséquence –∞ en 0.

Cela peut être clairement vu sur le graphique de la fonction tangente :

En termes simples :

Lorsque l'angle d'inclinaison de la tangente est de 0 o à 90 o

Plus il est proche de 0 o, plus la valeur de la dérivée sera proche de zéro (du côté positif).

Plus l'angle est proche de 90°, plus la valeur de la dérivée augmentera vers +∞.

Lorsque l'angle d'inclinaison de la tangente est de 90 o à 180 o

Plus il est proche de 90 o, plus la valeur de la dérivée va décroître vers –∞.

Plus l'angle est proche de 180°, plus la valeur de la dérivée sera proche de zéro (du côté négatif).

317543. La figure montre un graphique de la fonction y = F(X) et points marqués–2, –1, 1, 2. Auquel de ces points la valeur de la dérivée est-elle la plus grande ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

Nous avons quatre points : deux d'entre eux appartiennent aux intervalles sur lesquels la fonction diminue (ce sont les points –1 et 1) et deux aux intervalles sur lesquels la fonction augmente (ce sont les points –2 et 2).

Nous pouvons immédiatement conclure qu'aux points -1 et 1 la dérivée a une valeur négative, aux points -2 et 2 elle a une valeur positive. Par conséquent, dans ce cas il faut analyser les points -2 et 2 et déterminer lequel d'entre eux aura la plus grande valeur. Construisons des tangentes passant par les points indiqués :

La valeur de la tangente de l'angle entre la droite a et l'axe des abscisses sera supérieure à la valeur de la tangente de l'angle entre la droite b et cet axe. Cela signifie que la valeur de la dérivée au point -2 sera la plus grande.

Nous répondrons question suivante: à quel point -2, -1, 1 ou 2 la valeur de la dérivée est-elle la plus grande négative ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

La dérivée aura une valeur négative aux points appartenant aux intervalles décroissants, donc considérons les points -2 et 1. Construisons les tangentes qui les traversent :

On voit que l'angle obtus entre la droite b et l'axe oX est "plus proche" de 180 sur , donc sa tangente sera supérieure à la tangente de l'angle formé par la droite a et l'axe des abscisses.

Ainsi, au point x = 1, la valeur de la dérivée sera la plus grande négative.

317544. La figure montre un graphique de la fonction y = F(X) et points marqués–2, –1, 1, 4. Auquel de ces points la valeur de la dérivée est-elle la plus petite ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

Nous avons quatre points : deux d'entre eux appartiennent aux intervalles sur lesquels la fonction décroît (ce sont les points –1 et 4) et deux aux intervalles sur lesquels la fonction croît (ce sont les points –2 et 1).

Nous pouvons immédiatement conclure qu'aux points -1 et 4 la dérivée a une valeur négative, aux points -2 et 1 elle a une valeur positive. Par conséquent, dans ce cas, il est nécessaire d'analyser les points -1 et 4 et de déterminer lequel d'entre eux aura la plus petite valeur. Construisons des tangentes passant par les points indiqués :

La valeur de la tangente de l'angle entre la droite a et l'axe des abscisses sera supérieure à la valeur de la tangente de l'angle entre la droite b et cet axe. Cela signifie que la valeur de la dérivée au point x = 4 sera la plus petite.

Réponse : 4

J'espère que je ne vous "surcharge" pas avec la quantité d'écriture. En fait, tout est très simple, il suffit de comprendre les propriétés de la dérivée, sa signification géométrique et comment la valeur de la tangente de l'angle passe de 0 à 180°.

1. Tout d'abord, déterminez les signes de la dérivée en ces points (+ ou -) et sélectionnez les points nécessaires (selon la question posée).

2. Construisez des tangentes en ces points.

3. À l'aide du tracé tangésoïde, marquez schématiquement les coins et affichezAlexandre.

P.S: Je vous serais reconnaissant de parler du site dans les réseaux sociaux.

Le processus de recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment rappelle un vol fascinant autour d'un objet (un graphique d'une fonction) sur un hélicoptère avec tir à partir d'un canon à longue portée à certains points et en choisissant parmi ces points sont des points très spéciaux pour les coups de contrôle. Les points sont sélectionnés d'une certaine manière et selon certaines règles. Selon quelles règles ? Nous en reparlerons plus loin.

Si la fonction y = F(X) continue sur le segment [ un, b] , alors il atteint sur ce segment moins et valeurs les plus élevées . Cela peut se produire soit dans points extrêmes ou aux extrémités du segment. Par conséquent, pour trouver moins et les plus grandes valeurs de la fonction , continue sur le segment [ un, b] , vous devez calculer ses valeurs en tout points critiques et aux extrémités du segment, puis choisissez le plus petit et le plus grand d'entre eux.

Supposons, par exemple, qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur maximale de la fonction F(X) sur le segment [ un, b] . Pour ce faire, trouvez tous ses points critiques se trouvant sur [ un, b] .

point critique est appelé le point auquel fonction définie, et elle dérivé est nul ou n'existe pas. Ensuite, vous devez calculer les valeurs de la fonction aux points critiques. Et, enfin, il faut comparer les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités du segment ( F(un) et F(b) ). Le plus grand de ces nombres sera la plus grande valeur de la fonction sur l'intervalle [un, b] .

Le problème de trouver les plus petites valeurs de la fonction .

On cherche ensemble les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction

Exemple 1. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche [-1, 2] .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction. Égalez la dérivée à zéro () et obtenez deux points critiques : et . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, il suffit de calculer ses valeurs aux extrémités du segment et au point , puisque le point n'appartient pas au segment [-1, 2] . Ces valeurs de fonction sont les suivantes : , , . Il s'ensuit que plus petite valeur de fonction(marqué en rouge sur le graphique ci-dessous), égal à -7, est atteint à l'extrémité droite du segment - au point , et le plus grand(également rouge sur le graphique), est égal à 9, - au point critique .

Si la fonction est continue dans un certain intervalle et que cet intervalle n'est pas un segment (mais est, par exemple, un intervalle ; la différence entre un intervalle et un segment : les points limites de l'intervalle ne sont pas inclus dans l'intervalle, mais les les points limites du segment sont inclus dans le segment), alors parmi les valeurs de la fonction, il peut ne pas y avoir la plus petite et la plus grande. Ainsi, par exemple, la fonction représentée dans la figure ci-dessous est continue sur ]-∞, +∞[ et n'a pas la plus grande valeur.

Cependant, pour tout intervalle (fermé, ouvert ou infini), la propriété suivante des fonctions continues est valable.

Exemple 4. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche [-1, 3] .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction comme la dérivée du quotient :

.

On égalise la dérivée à zéro, ce qui nous donne un point critique : . Il appartient à l'intervalle [-1, 3] . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on trouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Comparons ces valeurs. Conclusion : égal à -5/13, au point et la plus grande valeurégal à 1 au point .

Nous continuons à rechercher ensemble les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction

Il y a des enseignants qui, au sujet de la recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction, ne donnent pas aux élèves des exemples plus compliqués que ceux que nous venons de considérer, c'est-à-dire ceux dans lesquels la fonction est un polynôme ou une fraction, le numérateur et dont le dénominateur sont des polynômes. Mais nous ne nous limiterons pas à de tels exemples, car parmi les enseignants, il y a des amateurs de faire réfléchir les élèves en entier (tableau des dérivés). Par conséquent, le logarithme et la fonction trigonométrique seront utilisés.

Exemple 6. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction comme dérivé du produit :

On égalise la dérivée à zéro, ce qui donne un point critique : . Il appartient au segment. Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on trouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Le résultat de toutes les actions : la fonction atteint sa valeur minimale, égal à 0, en un point et en un point et la plus grande valeurégal à e² , au point .

Exemple 7. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction :

Égalez la dérivée à zéro :

Le seul point critique appartient au segment . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on trouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Conclusion: la fonction atteint sa valeur minimale, égal à , au point et la plus grande valeur, égal à , au point .

Dans les problèmes extrémaux appliqués, trouver les plus petites (plus grandes) valeurs de fonction, en règle générale, se réduit à trouver le minimum (maximum). Mais ce ne sont pas les minima ou les maxima eux-mêmes qui présentent le plus grand intérêt pratique, mais les valeurs de l'argument auquel ils sont atteints. Lors de la résolution de problèmes appliqués, une difficulté supplémentaire se pose - la compilation de fonctions décrivant le phénomène ou le processus considéré.

Exemple 8 Un réservoir d'une capacité de 4, ayant la forme d'un parallélépipède à base carrée et ouvert au sommet, doit être étamé. Quelles doivent être les dimensions du réservoir afin de le recouvrir avec le moins de matière ?

La solution. Laisser X- côté socle h- hauteur du réservoir, S- sa superficie hors couverture, V- son volume. La surface du réservoir est exprimée par la formule , c'est-à-dire est une fonction de deux variables. Exprimer S en fonction d'une variable, on utilise le fait que , d'où . Remplacer l'expression trouvée h dans la formule de S:

Examinons cette fonction pour un extremum. Elle est définie et différentiable partout dans ]0, +∞[ , et

.

Nous assimilons la dérivée à zéro () et trouvons le point critique. De plus, en , la dérivée n'existe pas, mais cette valeur n'est pas comprise dans le domaine de définition et ne peut donc pas être un point extremum. Donc, - le seul point critique. Vérifions la présence d'un extremum en utilisant le deuxième critère suffisant. Trouvons la dérivée seconde. Lorsque la dérivée seconde est supérieure à zéro (). Cela signifie que lorsque la fonction atteint un minimum . Car ce minimum - le seul extremum de cette fonction, c'est sa plus petite valeur. Ainsi, le côté de la base du réservoir doit être égal à 2 m et sa hauteur.

Exemple 9 Du paragraphe UN, situé sur la voie ferrée, jusqu'au point DE, à distance de celui-ci je, les marchandises doivent être transportées. Le coût de transport d'une unité de poids par unité de distance par chemin de fer est égal à , et par route il est égal à . Jusqu'à quel point M lignes chemin de fer une autoroute devrait être construite pour que le transport des marchandises MAIS dans DEétait le plus économique UN B chemin de fer est supposé être droit) ?

Parfois dans les problèmes B14 il y a de "mauvaises" fonctions pour lesquelles il est difficile de trouver la dérivée. Auparavant, ce n'était que sur les sondes, mais maintenant ces tâches sont si courantes qu'elles ne peuvent plus être ignorées lors de la préparation de cet examen. Dans ce cas, d'autres astuces fonctionnent, dont l'une est la monotonie. Définition La fonction f (x) est dite monotone croissante sur le segment si pour tous les points x 1 et x 2 de ce segment on a : x 1

Définition. La fonction f (x) est dite monotone décroissante sur le segment si pour tous les points x 1 et x 2 de ce segment on a : x 1 f (x 2). Autrement dit, pour une fonction croissante, plus x est grand, plus f(x) est grand. Pour une fonction décroissante, l'inverse est vrai : plus x est grand, plus f(x) est petit.

Exemples. Le logarithme croît de façon monotone si la base a > 1 et décroît de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0) 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, et décroît de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Examples Le logarithme est monotone croissante si la base a > 1 et monotone décroissante si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0)"> title="Exemples. Le logarithme croît de façon monotone si la base a > 1 et décroît de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0)"> !}

Exemples. La fonction exponentielle se comporte comme le logarithme : elle croît pour a > 1 et décroît pour 0 0 : 1 et décroissante à 0 0 :"> 1 et décroissante à 0 0 :"> 1 et décroissante à 0 0 :" title="(!LANG:Examples. La fonction exponentielle se comporte comme un logarithme : elle croît pour a > 1 et diminue pour 0 0 :"> title="Exemples. La fonction exponentielle se comporte comme le logarithme : elle croît pour a > 1 et décroît pour 0 0 :"> !}

0) ou bas (a 0) ou bas (a 9 Coordonnées du sommet de la parabole Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par un trinôme carré de la forme Son graphe est une parabole standard dont on s'intéresse aux branches : Les branches de la parabole peuvent monter (pour a > 0) ou descendre (a 0) ou le plus grand (a 0) ou vers le bas (a 0) ou vers le bas (a 0) ou le plus grand (a 0) ou vers le bas (a 0) ou vers le bas (a title="(!LANG : Coordonnées du sommet de la parabole Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par un trinôme carré de la forme Son graphe est une parabole standard, dont on s'intéresse aux branches : Les branches d'une parabole peuvent monter (pour a > 0) ou descendre (a

Il n'y a pas de segment dans l'état du problème. Par conséquent, il n'est pas nécessaire de calculer f(a) et f(b). Il ne reste plus qu'à considérer les points extrêmes ; Mais il n'y a qu'un seul point de ce type - c'est le sommet de la parabole x 0, dont les coordonnées sont calculées littéralement verbalement et sans aucune dérivée.

Ainsi, la solution du problème est grandement simplifiée et réduite à seulement deux étapes : Écrivez l'équation de la parabole et trouvez son sommet en utilisant la formule : Trouvez la valeur de la fonction d'origine en ce point : f (x 0). S'il n'y a pas de conditions supplémentaires, ce sera la réponse.

0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG : Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Sous la racine se trouve une parabole de fonction quadratique se ramifie, puisque le coefficient a \u003d 1\u003e 0. Sommet de la parabole: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Il y a une fonction quadratique sous la racine. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a \u003d 1\u003e 0. Sommet de la parabole : x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG : Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Sous la racine se trouve une fonction quadratique. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a \u003d 1\u003e 0. Le sommet de la parabole : x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Il y a une fonction quadratique sous la racine. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a \u003d 1\u003e 0. Sommet de la parabole : x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution Sous le logarithme se trouve à nouveau une fonction quadratique. a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG : Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution Sous le logarithme est à nouveau une fonction quadratique.Graphique de la parabole avec des branches vers le haut, car a \u003d 1\u003e 0. Sommet de la parabole : x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution Sous le logarithme se trouve à nouveau une fonction quadratique. a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Trouver la plus grande valeur de la fonction : Solution : L'exposant contient une fonction quadratique

Conséquences sur le domaine de la fonction Parfois, pour résoudre le problème B14, il ne suffit pas de trouver le sommet de la parabole. La valeur souhaitée peut se situer à la fin du segment, et pas du tout au point extrême. Si un segment n'est pas spécifié du tout dans le problème, on regarde la zone des valeurs admissibles de la fonction d'origine. À savoir:

0 2. Arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul :" title="(!LANG:1. L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro :" class="link_thumb"> 26 !} 1. L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro: 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro : "> 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la la fraction ne doit pas être égale à zéro :"> 0 2. Arithmétique, la racine carrée n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro :" titre="(!LANG:1. L'argument logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. Carré arithmétique la racine n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro :"> title="1. L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro:"> !}

Solution La racine carrée est encore une fonction quadratique. Son graphe est une parabole, mais les branches sont dirigées vers le bas, puisque a = 1 Trouvez maintenant le sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = (2)/(2 (1)) = 2/(2) = 1 Point x 0 = 1 appartient au segment ODZ et c'est bien. Considérons maintenant la valeur de la fonction au point x 0, ainsi qu'aux extrémités de l'ODZ: ​​y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Ainsi, nous avons obtenu les nombres 2 et 0. On nous demande pour trouver le plus grand nombre 2. Réponse : 2

Attention : l'inégalité est stricte, donc les extrémités n'appartiennent pas à l'ODZ. De cette façon, le logarithme diffère de la racine, où les extrémités du segment nous conviennent assez bien. On cherche le sommet de la parabole : x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Mais comme les extrémités du segment ne nous intéressent pas, on considère la valeur de la fonction uniquement au point x 0 :

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Réponse : -2

Parfois dans les problèmes B15 il y a de "mauvaises" fonctions pour lesquelles il est difficile de trouver la dérivée. Auparavant, ce n'était que sur les sondes, mais maintenant ces tâches sont si courantes qu'elles ne peuvent plus être ignorées lors de la préparation de cet examen.

Dans ce cas, d'autres astuces fonctionnent, dont l'une est - monotone.

La fonction f (x) est dite monotone croissante sur le segment si pour tous les points x 1 et x 2 de ce segment on a :

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

La fonction f (x) est dite monotone décroissante sur le segment si pour tous les points x 1 et x 2 de ce segment on a :

x1< x 2 ⇒ f (x1) > f( x2).

Autrement dit, pour une fonction croissante, plus x est grand, plus f(x) est grand. Pour une fonction décroissante, l'inverse est vrai : plus x est grand, plus moins f(x).

Par exemple, le logarithme croît de façon monotone si la base a > 1 et décroît de façon monotone si 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0 ; a ≠ 1 ; x > 0)

La racine carrée arithmétique (et pas seulement carrée) croît de façon monotone sur tout le domaine de définition :

La fonction exponentielle se comporte comme le logarithme : elle augmente pour a > 1 et diminue pour 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, fonction exponentielle défini pour tous les nombres, pas seulement x > 0 :

f (x) = une X (une > 0)

Enfin, degrés avec un exposant négatif. Vous pouvez les écrire sous forme de fraction. Ils ont un point de rupture où la monotonie est rompue.

Toutes ces fonctions ne se retrouvent jamais sous leur forme pure. Des polynômes, des fractions et d'autres absurdités leur sont ajoutés, à cause desquels il devient difficile de calculer la dérivée. Que se passe-t-il dans ce cas - nous allons maintenant analyser.

Coordonnées du sommet de la parabole

Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par trinôme carré de la forme y = ax 2 + bx + c . Son graphe est une parabole standard, à laquelle on s'intéresse :

1. Branches de parabole - peuvent monter (pour a > 0) ou descendre (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Le sommet de la parabole est le point extrême d'une fonction quadratique, auquel cette fonction prend son plus petit (pour a > 0) ou son plus grand (a< 0) значение.

Le plus grand intérêt est sommet d'une parabole, dont l'abscisse est calculée par la formule :

Nous avons donc trouvé le point extrême de la fonction quadratique. Mais si la fonction originale est monotone, pour elle le point x 0 sera aussi un point extrême. Ainsi, nous formulons la règle clé :

Les points extrêmes du trinôme carré et la fonction complexe dans laquelle il entre coïncident. Par conséquent, vous pouvez rechercher x 0 pour un trinôme carré et oublier la fonction.

D'après le raisonnement ci-dessus, il reste difficile de savoir quel type de point nous obtenons : un maximum ou un minimum. Cependant, les tâches sont spécifiquement conçues pour que cela n'ait pas d'importance. Jugez par vous-même :

1. Il n'y a pas de segment dans l'état du problème. Par conséquent, il n'est pas nécessaire de calculer f(a) et f(b). Il ne reste plus qu'à considérer les points extrêmes ;
2. Mais il n'y a qu'un seul point de ce type - c'est le sommet de la parabole x 0, dont les coordonnées sont calculées littéralement oralement et sans aucune dérivée.

Ainsi, la solution du problème est grandement simplifiée et réduite à seulement deux étapes :

1. Écrivez l'équation de la parabole y = ax 2 + bx + c et trouvez son sommet en utilisant la formule : x 0 = −b /2a ;
2. Trouvez la valeur de la fonction d'origine à ce stade : f (x 0). S'il n'y a pas de conditions supplémentaires, ce sera la réponse.

À première vue, cet algorithme et sa justification peuvent sembler compliqués. Je ne publie délibérément pas de schéma de solution "simple", car l'application irréfléchie de telles règles est pleine d'erreurs.

Considérez les tâches réelles de l'examen d'essai en mathématiques - c'est là que cette technique est la plus courante. En même temps, nous ferons en sorte que de cette manière de nombreux problèmes de B15 deviennent presque verbaux.

Sous la racine se trouve une fonction quadratique y \u003d x 2 + 6x + 13. Le graphique de cette fonction est une parabole à branches vers le haut, puisque le coefficient a \u003d 1\u003e 0.

Haut de la parabole :

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Les branches de la parabole étant dirigées vers le haut, au point x 0 \u003d −3, la fonction y \u003d x 2 + 6x + 13 prend la plus petite valeur.

La racine est croissante de manière monotone, donc x 0 est le point minimum de toute la fonction. Nous avons:

Une tâche. Trouvez la plus petite valeur de la fonction :

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sous le logarithme se trouve à nouveau une fonction quadratique: y \u003d x 2 + 2x + 9. Le graphique est une parabole avec des branches vers le haut, car un = 1 > 0.

Haut de la parabole :

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Ainsi, au point x 0 = −1, la fonction quadratique prend la plus petite valeur. Mais la fonction y = log 2 x est monotone, donc :

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

L'exposant est une fonction quadratique y = 1 − 4x − x 2 . Réécrivons-le sous forme normale : y = −x 2 − 4x + 1.

Évidemment, le graphe de cette fonction est une parabole, ramifiée vers le bas (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

X 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

La fonction d'origine est exponentielle, elle est monotone, donc la plus grande valeur sera au point trouvé x 0 = −2 :

Un lecteur attentif remarquera sûrement que nous n'avons pas écrit la zone des valeurs admissibles de la racine et du logarithme. Mais ce n'était pas obligatoire: à l'intérieur, il y a des fonctions dont les valeurs sont toujours positives.

Conséquences du périmètre d'une fonction

Parfois, pour résoudre le problème B15, il ne suffit pas de trouver le sommet de la parabole. La valeur souhaitée peut se situer à la fin du segment, mais pas au point extrême. Si la tâche ne spécifie aucun segment, regardez plage de tolérance fonction d'origine. À savoir:

Faites encore attention : zéro peut bien être sous la racine, mais jamais dans le logarithme ou le dénominateur d'une fraction. Voyons comment cela fonctionne avec des exemples spécifiques :

Une tâche. Trouvez la plus grande valeur de la fonction :

Sous la racine se trouve à nouveau une fonction quadratique: y \u003d 3 - 2x - x 2. Son graphe est une parabole, mais se ramifie vers le bas puisque a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Nous écrivons la zone des valeurs admissibles ​​​​(ODZ):

3 − 2x − X 2 ≥ 0 ⇒ X 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ X ∈ [−3 ; une]

Trouvez maintenant le sommet de la parabole :

X 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Le point x 0 = −1 appartient au segment ODZ - et c'est bien. Considérons maintenant la valeur de la fonction au point x 0, ainsi qu'aux extrémités de l'ODZ :

y(−3) = y(1) = 0

Donc, nous avons obtenu les nombres 2 et 0. On nous demande de trouver le plus grand - c'est le nombre 2.

Une tâche. Trouvez la plus petite valeur de la fonction :

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

À l'intérieur du logarithme, il y a une fonction quadratique y \u003d 6x - x 2 - 5. Il s'agit d'une parabole avec des branches vers le bas, mais il ne peut pas y avoir de nombres négatifs dans le logarithme, nous écrivons donc l'ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Attention : l'inégalité est stricte, donc les extrémités n'appartiennent pas à l'ODZ. De cette façon, le logarithme diffère de la racine, où les extrémités du segment nous conviennent assez bien.

Recherche du sommet de la parabole :

X 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Le sommet de la parabole s'ajuste le long de l'ODZ : x 0 = 3 ∈ (1 ; 5). Mais comme les extrémités du segment ne nous intéressent pas, on considère la valeur de la fonction uniquement au point x 0 :

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2