As-tu dépendance à la calculatrice? Ou pensez-vous que, sauf avec une calculatrice ou en utilisant une table de carrés, il est très difficile de calculer, par exemple,.

Il arrive que des écoliers soient attachés à une calculatrice et multiplient même 0,7 par 0,5 en appuyant sur les boutons chéris. Ils disent, eh bien, je sais toujours calculer, mais maintenant je vais gagner du temps ... Il y aura un examen ... puis je vais me tendre ...

Donc, le fait est qu'il y aura de toute façon beaucoup de «moments tendus» à l'examen ... Comme on dit, l'eau use une pierre. Alors à l'examen, des petites choses, si elles sont nombreuses, peuvent vous renverser...

Minimisons le nombre de problèmes possibles.

Prendre la racine carrée d'un grand nombre

Nous ne parlerons plus que du cas où le résultat de l'extraction de la racine carrée est un entier.

Cas 1

Alors, laissez-nous par tous les moyens (par exemple, lors du calcul du discriminant) besoin de calculer la racine carrée de 86436.

Nous allons décomposer le nombre 86436 en facteurs premiers. On divise par 2, on obtient 43218 ; encore une fois nous divisons par 2, - nous obtenons 21609. Le nombre n'est pas divisible par 2 de plus. Mais comme la somme des chiffres est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3 (en général, on voit qu'il est aussi divisible par 9). . Encore une fois, nous divisons par 3, nous obtenons 2401. 2401 n'est pas complètement divisible par 3. Non divisible par cinq (ne se termine pas par 0 ou 5).

On suspecte une divisibilité par 7. En effet, a ,

Alors, commande complète !

Cas 2

Avons besoin de calculer. Il n'est pas pratique d'agir de la même manière que décrit ci-dessus. Essayer de factoriser...

Le nombre 1849 n'est pas complètement divisible par 2 (il n'est pas pair)...

Il n'est pas complètement divisible par 3 (la somme des chiffres n'est pas un multiple de 3)...

Il n'est pas complètement divisible par 5 (le dernier chiffre n'est ni 5 ni 0)...

Il n'est pas complètement divisible par 7, il n'est pas divisible par 11, il n'est pas divisible par 13... Eh bien, combien de temps cela nous prendra-t-il pour parcourir tous les nombres premiers comme ça ?

Discutons un peu différemment.

Nous comprenons cela

Nous avons restreint la recherche. Maintenant, nous trions les nombres de 41 à 49. De plus, il est clair que puisque le dernier chiffre du nombre est 9, il vaut la peine de s'arrêter aux options 43 ou 47 - seuls ces nombres, une fois au carré, donneront le dernier chiffre 9.

Bon, là déjà, bien sûr, on s'arrête à 43. En effet,

PS Comment diable multiplie-t-on 0,7 par 0,5 ?

Vous devez multiplier 5 par 7, en ignorant les zéros et les signes, puis séparer, de droite à gauche, deux décimales. Nous obtenons 0,35.

Dans la préface de sa première édition, In the Realm of Ingenuity (1908), E. I. Ignatiev écrit : Les résultats ne sont fiables que lorsque l'introduction au domaine des connaissances mathématiques se fait de manière simple et agréable, sur des objets et des exemples de situations quotidiennes et quotidiennes, choisis avec esprit et amusement.

Dans la préface de l'édition de 1911 de « The Role of Memory in Mathematics », E.I. Ignatiev écrit "... en mathématiques, il ne faut pas se souvenir des formules, mais du processus de pensée".

Pour extraire la racine carrée, il existe des tables de carrés pour les nombres à deux chiffres, vous pouvez décomposer le nombre en facteurs premiers et extraire la racine carrée du produit. Le tableau des carrés ne suffit pas, extraire la racine par factorisation est une tâche chronophage, qui ne conduit pas non plus toujours au résultat souhaité. Essayez d'extraire la racine carrée du nombre 209764 ? La décomposition en facteurs premiers donne le produit 2 * 2 * 52441. Par essais et erreurs, sélection - cela, bien sûr, peut être fait si vous êtes sûr qu'il s'agit d'un nombre entier. La façon que je veux suggérer vous permet de prendre la racine carrée dans tous les cas.

Une fois à l'institut (Perm State Pedagogical Institute), nous avons été initiés à cette méthode, dont je veux maintenant parler. Je n'ai jamais pensé à savoir si cette méthode avait une preuve, alors maintenant je devais en déduire moi-même des preuves.

La base de cette méthode est la composition du nombre =.

=&, c'est-à-dire &2=596334.

1. Divisez le nombre (5963364) en paires de droite à gauche (5`96`33`64)

2. Nous extrayons la racine carrée du premier groupe à gauche ( - numéro 2). Nous obtenons donc le premier chiffre du nombre &.

3. Trouvez le carré du premier chiffre (2 2 \u003d 4).

4. Trouvez la différence entre le premier groupe et le carré du premier chiffre (5-4=1).

5. Nous démolissons les deux chiffres suivants (nous avons obtenu le nombre 196).

6. Nous doublons le premier chiffre que nous avons trouvé, écrivons-le à gauche derrière la ligne (2*2=4).

7. Vous devez maintenant trouver le deuxième chiffre du nombre & : le premier chiffre doublé que nous avons trouvé devient le chiffre des dizaines du nombre, multiplié par le nombre d'unités, vous devez obtenir un nombre inférieur à 196 ( c'est le nombre 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 est le deuxième chiffre de &.

8. Trouvez la différence (196-176=20).

9. Nous démolissons le groupe suivant (nous obtenons le numéro 2033).

10. Doublez le nombre 24, nous obtenons 48.

11,48 dizaines dans un nombre, multiplié par le nombre d'unités, nous devrions obtenir un nombre inférieur à 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Le chiffre des unités trouvées par nous (4) est le troisième chiffre du nombre &.

La preuve est donnée par moi pour les cas :

1. Extraire la racine carrée d'un nombre à trois chiffres ;

2. Extraire la racine carrée d'un nombre à quatre chiffres.

Méthodes approximatives pour extraire la racine carrée (sans utiliser de calculatrice).

1. Les anciens Babyloniens utilisaient la méthode suivante pour trouver la valeur approximative de la racine carrée de leur nombre x. Ils ont représenté le nombre x comme une somme a 2 + b, où a 2 est le plus proche de x le carré exact de l'entier naturel a (a 2 ? x), et ont utilisé la formule . (1)

En utilisant la formule (1), nous extrayons la racine carrée, par exemple, du nombre 28 :

Le résultat de l'extraction de la racine de 28 à l'aide de MK 5.2915026.

Comme vous pouvez le voir, la méthode babylonienne donne une bonne approximation de la valeur exacte de la racine.

2. Isaac Newton a développé une méthode de la racine carrée qui remonte à Héron d'Alexandrie (vers 100 après JC). Cette méthode (appelée méthode de Newton) est la suivante.

Laisser être un 1- la première approximation d'un nombre (comme un 1, vous pouvez prendre les valeurs de la racine carrée d'un nombre naturel - un carré exact qui ne dépasse pas X) .

L'approximation suivante, plus précise un 2 Nombres trouvé par la formule .

Chapitre un.

Extraction de la plus grande racine carrée entière d'un entier donné.

170. Remarques préliminaires.

un) Puisque nous ne parlerons que de l'extraction de la racine carrée, par souci de brièveté dans ce chapitre, au lieu de racine "carrée", nous dirons simplement "racine".

b) Si nous mettons au carré les nombres de la série naturelle : 1,2,3,4,5. . . , on obtient alors le tableau de carrés suivant : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Évidemment, il y a beaucoup d'entiers qui ne sont pas dans ce tableau ; à partir de tels nombres, bien sûr, il est impossible d'extraire une racine entière. Par conséquent, si vous souhaitez prendre la racine d'un entier, par exemple. il faut trouver √4082, alors nous conviendrons de comprendre cette exigence comme suit : extraire la racine entière de 4082, si possible ; sinon, il faut alors trouver le plus grand entier dont le carré est 4082 (un tel nombre est 63, puisque 63 2 \u003d 3969, et 64 2 \u003d 4090).

dans) Si ce nombre est inférieur à 100, alors la racine de celui-ci se trouve dans la table de multiplication ; donc √60 serait 7, puisque sem 7 est égal à 49, ce qui est inférieur à 60, et 8 est égal à 64, ce qui est supérieur à 60.

171. Extraction de la racine d'un nombre inférieur à 10 000 mais supérieur à 100. Soit nécessaire de trouver √4082 . Puisque ce nombre est inférieur à 10 000, alors sa racine est inférieure à √l0 000 = 100. Par contre, ce nombre est supérieur à 100 ; donc sa racine est supérieure (ou égale à 10) . (Si, par exemple, il fallait trouver √ 120 , alors bien que le nombre 120 > 100, cependant √ 120 est égal à 10 car 11 2 = 121.) Mais tout nombre supérieur à 10 mais inférieur à 100 a 2 chiffres ; donc la racine désirée est la somme :

dizaines + unités,

et donc son carré doit être égal à la somme :

Cette somme devrait être le plus grand carré, consistant en 4082.

Prenons le plus grand d'entre eux, 36, et supposons que le carré des dizaines de la racine soit égal à ce plus grand carré. Alors le nombre de dizaines dans la racine doit être 6. Vérifions maintenant que cela doit toujours être le cas, c'est-à-dire que le nombre de dizaines de la racine est toujours égal à la plus grande racine entière des centaines du nombre racine.

En effet, dans notre exemple, le nombre de dizaines de la racine ne peut pas être supérieur à 6, puisque (7 déc.) 2 \u003d 49 centaines, ce qui dépasse 4082. Mais il ne peut pas être inférieur à 6, puisque le 5 déc. (avec unités) est inférieur à 6 dess, et pendant ce temps (6 décs.) 2 = 36 centaines, ce qui est inférieur à 4082. Et puisque nous recherchons la plus grande racine entière, nous ne devrions pas prendre 5 dess pour la racine, quand 6 dizaines ce n'est pas beaucoup.

Ainsi, nous avons trouvé le nombre de dizaines de la racine, à savoir 6. Nous écrivons ce nombre à droite du signe =, en nous rappelant qu'il s'agit des dizaines de la racine. En l'élevant au carré, nous obtenons 36 centaines. Nous soustrayons ces 36 centaines des 40 centaines du nombre racine et démolissons les deux autres chiffres de ce nombre. Le reste 482 doit contenir 2 (6 déc.) (unités) + (unités) 2. Le produit de (6 déc.) (unité) devrait être des dizaines ; il faut donc chercher le double produit des dizaines par les unités dans les dizaines du reste, c'est-à-dire dans 48 (on obtiendra leur nombre en séparant un chiffre de droite dans le reste 48"2. qui ne sont pas encore connus) , alors nous devrions obtenir le nombre contenu dans 48. Par conséquent, nous diviserons 48 par 12.

Pour ce faire, nous traçons une ligne verticale à gauche du reste et derrière elle (en partant de la ligne une place à gauche pour la cible qui va maintenant être trouvée) nous écrivons le premier chiffre doublé de la racine, soit 12, et divisez-le par 48. Dans le quotient, nous obtenons 4.

Cependant, on ne peut pas garantir à l'avance que le nombre 4 puisse être pris comme unité de la racine, puisque nous avons maintenant divisé par 12 le nombre entier de dizaines du reste, alors que certains d'entre eux peuvent ne pas appartenir au double produit des dizaines par unités, mais font partie du carré des unités. Par conséquent, le nombre 4 peut être grand. Vous devez la tester. Il convient évidemment que la somme de 2 (6 déc.) 4 + 4 2 ne dépasse pas le reste de 482.

En conséquence, nous obtenons immédiatement la somme des deux. Le produit résultant s'est avéré être 496, ce qui est plus que le reste de 482 ; Donc 4 c'est grand. Ensuite, nous testerons le prochain plus petit nombre 3 de la même manière.

Exemples.

Dans le 4ème exemple, en divisant 47 dizaines du reste par 4, nous obtenons le quotient 11. Mais comme le chiffre de l'unité de la racine ne peut pas être un nombre à deux chiffres 11 ou 10, nous devons tester directement le nombre 9.

Dans le 5ème exemple, après avoir soustrait 8 de la première face du carré, le reste est 0 et la face suivante est également constituée de zéros. Cela montre que la racine souhaitée est constituée de seulement 8 dizaines, et donc zéro doit être mis à la place des unités.

172. Extraction de la racine d'un nombre supérieur à 10000. Soit demandé de trouver √35782 . Étant donné que le nombre radical est supérieur à 10 000, sa racine est supérieure à √10 000 = 100 et, par conséquent, il se compose de 3 chiffres ou plus. Peu importe le nombre de chiffres qu'il contient, nous pouvons toujours le considérer comme la somme de seulement des dizaines et des unités. Si, par exemple, la racine s'est avérée être 482, alors nous pouvons la considérer comme la somme de 48 dess. + 2 unités Alors le carré de la racine sera composé de 3 termes :

(déc.) 2 + 2 (déc.) (un.) + (un.) 2 .

Maintenant, nous pouvons raisonner exactement de la même manière que pour trouver √4082 (dans le paragraphe précédent). La seule différence sera que pour trouver les dizaines de la racine de 4082, nous avons dû extraire la racine de 40, et cela pourrait être fait en utilisant la table de multiplication ; maintenant, pour obtenir des dizaines√35782, il va falloir prendre la racine de 357, ce qui ne peut pas être fait avec la table de multiplication. Mais on peut trouver √357 par l'astuce décrite dans le paragraphe précédent, puisque le nombre 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Puis on procède comme on a fait pour trouver √4082, à savoir : à gauche du reste de 3382 on trace une ligne verticale et après on écrit (en s'écartant de la ligne d'une place) le double du nombre de racine des dizaines trouvées, soit 36 (deux fois 18). Dans le reste, on sépare un chiffre à droite et on divise le nombre de dizaines du reste, soit 338, par 36. Au quotient on obtient 9. On teste ce nombre, pour lequel on l'attribue à 36 à droite et multipliez-le par lui. Le produit s'est avéré être 3321, ce qui est inférieur au reste. Donc le chiffre 9 est bon, on l'écrit à la racine.

En général, pour prendre la racine carrée d'un nombre entier quelconque, il faut d'abord prendre la racine de ses centaines ; si ce nombre est supérieur à 100, alors vous devrez chercher la racine à partir du nombre de centaines de ces centaines, c'est-à-dire à partir des dizaines de milliers d'un nombre donné ; si ce nombre est supérieur à 100, vous devrez prendre la racine du nombre des centaines de dizaines de milliers, c'est-à-dire des millions d'un nombre donné, etc.

Exemples.

Dans le dernier exemple, en trouvant le premier chiffre et en soustrayant son carré, nous obtenons le reste 0. Nous démolissons les 2 chiffres suivants 51. En séparant les dizaines, nous obtenons 5 déc, tandis que le chiffre racine trouvé deux fois est 6. Donc, en divisant 5 par 6, on obtient 0 On met 0 à la racine en deuxième position et on défait les 2 chiffres suivants jusqu'au reste ; nous obtenons 5110. Ensuite, nous continuons comme d'habitude.

Dans cet exemple, la racine souhaitée se compose de seulement 9 centaines, et donc des zéros doivent être mis à la place des dizaines et des unités.

Règle. Pour extraire la racine carrée d'un entier donné, divisez-le, de main droiteà gauche, sur le bord, 2 chiffres chacun, sauf le dernier qui peut contenir un chiffre.
Pour trouver le premier chiffre de la racine, prenez la racine carrée de la première face.
Pour trouver le deuxième chiffre, le carré du premier chiffre de la racine est soustrait de la première face, la deuxième face est démolie au reste et le nombre de dizaines du nombre résultant est divisé par deux fois le premier chiffre de la racine ; l'entier résultant est testé.
Ce test est effectué comme suit : derrière la ligne verticale (à gauche du reste), ils écrivent deux fois le numéro précédemment trouvé de la racine et à celui-ci, avec côté droit, attribuez le chiffre de test, le nombre résultant, après cette addition, le nombre est multiplié par le chiffre de test. Si, après multiplication, on obtient un nombre supérieur au reste, alors le chiffre de test n'est pas bon et le nombre inférieur suivant doit être testé.
Les nombres suivants de la racine sont trouvés par la même méthode.
Si, après avoir démoli la face, le nombre de dizaines du nombre résultant s'avère inférieur au diviseur, c'est-à-dire moins de deux fois la partie trouvée de la racine, alors 0 est mis dans la racine, la face suivante est démolie et l'action continue plus loin.

173. Le nombre de chiffres de la racine. De l'examen du processus de recherche de la racine, il s'ensuit qu'il y a autant de chiffres dans la racine qu'il y a de faces de 2 chiffres chacune dans le nombre racine (il peut y avoir un chiffre dans le côté gauche).

Chapitre deux.

Extraction de racines carrées approximatives à partir de nombres entiers et fractionnaires .

Extraire la racine carrée des polynômes, voir les compléments à la 2ème partie des § 399 et suivants.

174. Signes d'une racine carrée exacte. La racine carrée exacte d'un nombre donné est un nombre dont le carré est exactement égal au nombre donné. Indiquons quelques signes par lesquels on peut juger si la racine exacte est extraite d'un nombre donné ou non :

un) Si la racine entière exacte n'est pas extraite d'un entier donné (elle est obtenue lors de l'extraction du reste), alors une racine exacte fractionnaire ne peut pas être trouvée à partir d'un tel nombre, car toute fraction qui n'est pas égale à un entier, lorsqu'elle est multipliée par elle-même , donne également une fraction dans le produit, pas un entier.

b) Puisque la racine d'une fraction est égale à la racine du numérateur divisée par la racine du dénominateur, la racine exacte d'une fraction irréductible ne peut être trouvée si elle ne peut être extraite du numérateur ou du dénominateur. Par exemple, la racine exacte ne peut pas être extraite des fractions 4/5, 8/9 et 11/15, car dans la première fraction, elle ne peut pas être extraite du dénominateur, dans la seconde - du numérateur et dans la troisième - ni de du numérateur ni du dénominateur.

De tels nombres, dont il est impossible d'extraire la racine exacte, seules des racines approximatives peuvent être extraites.

175. Racine approximative jusqu'à 1. Une racine carrée approximative jusqu'à 1 d'un nombre donné (entier ou fraction - peu importe) est un entier qui satisfait aux deux exigences suivantes :

1) le carré de ce nombre n'est pas supérieur au nombre donné ; 2) mais le carré de ce nombre augmenté de 1 est supérieur au nombre donné. En d'autres termes, la racine carrée approximative jusqu'à 1 est la plus grande racine carrée entière d'un nombre donné, c'est-à-dire la racine que nous avons appris à trouver dans le chapitre précédent. Cette racine est appelée approchée jusqu'à 1, car pour obtenir une racine exacte, il faudrait ajouter une fraction inférieure à 1 à cette racine approchée, donc si au lieu d'une racine exacte inconnue on prend celle-ci approchée, on fera une erreur inférieure à 1.

Règle. Pour extraire une racine carrée approximative avec une précision de 1, vous devez extraire la plus grande racine entière de la partie entière d'un nombre donné.

Le nombre trouvé selon cette règle est une racine approximative avec un inconvénient, car il manque une fraction (moins de 1) à la racine exacte. Si nous augmentons cette racine de 1, nous obtenons un autre nombre dans lequel il y a un certain excès par rapport à la racine exacte, et cet excès est inférieur à 1. Cette racine augmentée de 1 peut également être appelée racine approchée jusqu'à 1, mais avec un excès. (Les noms : "avec un manque" ou "avec un excès" dans certains livres de mathématiques sont remplacés par d'autres équivalents : "par déficience" ou "par excès".)

176. Racine approximative avec une précision de 1/10. Soit demandé de trouver √2.35104 à 1/10 près. Cela signifie que nous devons trouver de telles décimal, qui serait composé d'unités entières et de dixièmes et qui satisferait aux deux exigences suivantes :

1) le carré de cette fraction ne dépasse pas 2,35104, mais 2) si on l'augmente de 1/10, alors le carré de cette fraction augmentée dépasse 2,35104.

Pour trouver une telle fraction, nous trouvons d'abord une racine approchée jusqu'à 1, c'est-à-dire que nous extrayons la racine uniquement de l'entier 2. Nous obtenons 1 (et le reste est 1). Nous écrivons le numéro 1 à la racine et mettons une virgule après. Maintenant, nous allons chercher le nombre de dixièmes. Pour ce faire, on descend les chiffres 35 jusqu'au reste de 1, à droite de la virgule, et on continue l'extraction comme si on extrayait la racine de l'entier 235. On écrit le nombre résultant 5 à la racine en place des dixièmes. Nous n'avons pas besoin des chiffres restants du nombre radical (104). Que le nombre résultant 1,5 sera en effet une racine approximative avec une précision de 1/10 est évident à partir de ce qui suit. Si nous devions trouver la plus grande racine entière de 235 avec une précision de 1, nous obtiendrions 15. Donc :

15 2 < 235, mais 16 2 >235.

En divisant tous ces nombres par 100, on obtient :

Cela signifie que le nombre 1,5 est cette fraction décimale, que nous avons appelée la racine approximative avec une précision de 1/10.

On trouve également par cette méthode les racines approchées suivantes avec une précision de 0,1 :

177. Racine carrée approximative avec une précision de 1/100 à 1/1000, etc.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver un √248 approximatif avec une précision de 1/100. Cela signifie : trouver une telle fraction décimale, qui serait constituée d'entiers, de dixièmes et de centièmes et qui satisferait à deux exigences :

1) son carré ne dépasse pas 248, mais 2) si on augmente cette fraction de 1/100, alors le carré de cette fraction augmentée dépasse 248.

Nous trouverons une telle fraction dans l'ordre suivant : d'abord nous trouverons un nombre entier, puis le chiffre des dixièmes, puis le chiffre des centièmes. La racine carrée d'un nombre entier sera de 15 nombres entiers. Pour obtenir le nombre de dixièmes, comme nous l'avons vu, il faut descendre au reste 23 2 chiffres de plus à droite de la virgule. Dans notre exemple, ces nombres n'existent pas du tout, nous mettons des zéros à leur place. En les affectant au reste et en continuant l'action comme si on cherchait la racine de l'entier 24 800, on trouvera le chiffre des dixièmes 7. Il reste à trouver le chiffre des centièmes. Pour ce faire, nous ajoutons 2 zéros supplémentaires au reste 151 et continuons l'extraction, comme si nous cherchions la racine de l'entier 2 480 000. Nous obtenons 15,74. Que ce nombre soit en effet la racine approximative de 248 à 1/100 près est évident d'après ce qui suit. Si nous devions trouver la plus grande racine carrée entière de l'entier 2 480 000, nous obtiendrions 1 574 ; moyens:

1574 2 < 2 480 000 mais 1 575 2 > 2 480 000.

En divisant tous les nombres par 10 000 (= 100 2), on obtient :

Donc 15,74 est cette fraction décimale que nous avons appelée la racine approximative avec une précision de 1/100 de 248.

En appliquant cette technique pour trouver une racine approximative avec une précision de 1/1000 à 1/10000, etc., nous trouvons ce qui suit.

Règle. Pour en extraire nombre entier ou à partir d'une fraction décimale donnée, une racine approchée avec une précision de 1/10 à 1/100 à 1/100, etc., trouver d'abord une racine approchée avec une précision de 1, en extrayant la racine d'un entier (s'il y a aucun, écrivez sur les entiers racine 0).

Trouvez ensuite le nombre de dixièmes. Pour ce faire, les 2 chiffres du nombre radical à droite de la virgule sont supprimés au reste (s'ils ne le sont pas, deux zéros sont attribués au reste), et l'extraction est poursuivie de la même manière que lorsque extraire la racine d'un entier. Le chiffre résultant est écrit à la racine à la place des dixièmes.

Trouvez ensuite le nombre de centièmes. Pour ce faire, deux numéros sont à nouveau démolis au reste, à droite de ceux qui viennent d'être démolis, etc.

Ainsi, lors de l'extraction de la racine d'un entier avec une fraction décimale, il est nécessaire de diviser par 2 chiffres chacun, à partir de la virgule, à la fois à gauche (dans la partie entière du nombre) et à droite (dans la partie fractionnaire partie).

Exemples.

1) Trouver jusqu'à 1/100 racines : a) √2 ; b) √0,3 ;

Dans le dernier exemple, nous avons converti 3/7 en nombre décimal en calculant 8 décimales pour former les 4 faces nécessaires pour trouver les 4 décimales de la racine.

178. Description du tableau des racines carrées. A la fin de ce livre se trouve un tableau de racines carrées calculées avec quatre chiffres. À l'aide de ce tableau, vous pouvez trouver rapidement la racine carrée d'un nombre entier (ou d'une fraction décimale), exprimée en quatre chiffres au maximum. Avant d'expliquer comment cette table est organisée, notons que l'on peut toujours trouver le premier chiffre significatif de la racine recherchée sans l'aide de tables par un coup d'œil sur le numéro de la racine ; nous pouvons également déterminer facilement quelle décimale signifie le premier chiffre de la racine et, par conséquent, où dans la racine, lorsque nous trouvons ses chiffres, nous devons mettre une virgule. Voici quelques exemples:

1) √5"27,3 . Le premier chiffre sera 2, puisque le côté gauche du nombre racine est 5 ; et la racine de 5 est 2. De plus, comme il n'y a que 2 dans la partie entière du nombre radical de toutes les faces, alors la partie entière de la racine souhaitée doit avoir 2 chiffres et, par conséquent, son premier chiffre 2 doit signifier dizaines.

2) √9.041. Évidemment, dans cette racine, le premier chiffre sera de 3 unités simples.

3) √0.00"83"4 . Le premier chiffre significatif est 9, puisque la face dont il faudrait extraire la racine pour obtenir le premier chiffre significatif est 83, et la racine de 83 est 9. Puisqu'il n'y aura ni entiers ni dixièmes dans le nombre recherché, la le premier chiffre 9 doit signifier des centièmes.

4) √0,73 "85. Le premier chiffre significatif est 8 dixièmes.

5) √0.00 "00" 35 "7. Le premier chiffre significatif sera 5 millièmes.

Faisons encore une remarque. Supposons qu'il soit nécessaire d'extraire la racine d'un tel nombre, qui, après avoir rejeté celui qui y est occupé, est représentée par une série de tels nombres : 5681. Cette racine peut être l'une des suivantes :

Si nous prenons les racines que nous avons soulignées d'une ligne, alors elles seront toutes exprimées par la même série de nombres, exactement ces nombres qui sont obtenus en extrayant la racine de 5681 (ce seront les nombres 7, 5, 3, 7 ). La raison en est que les faces dans lesquelles le nombre radical doit être divisé lors de la recherche des chiffres de la racine seront les mêmes dans tous ces exemples, donc les chiffres de chaque racine seront les mêmes (seule la position de la virgule sera bien sûr différente). De même, dans toutes les racines soulignées par nous de deux lignes, on devrait obtenir les mêmes nombres, exactement ceux qui expriment √568,1 (ces nombres seront 2, 3, 8, 3), et pour la même raison. Ainsi, les chiffres des racines des nombres représentés (en supprimant la virgule) par la même rangée de chiffres 5681 seront de type double (et seulement double) : soit il s'agit d'une suite de 7, 5, 3, 7, ou une série de 2, 3, 8, 3. La même chose, évidemment, peut être dite à propos de toute autre série de nombres. Ainsi, comme nous allons le voir maintenant, dans le tableau, chaque rangée de chiffres du nombre radical correspond à 2 rangées de chiffres pour les racines.

Nous pouvons maintenant expliquer la structure de la table et comment l'utiliser. Pour la clarté de l'explication, nous avons représenté ici le début de la première page du tableau.

Ce tableau s'étend sur plusieurs pages. Sur chacun d'eux, dans la première colonne à gauche, les chiffres 10, 11, 12 ... (jusqu'à 99) sont placés. Ces nombres expriment les 2 premiers chiffres du nombre à partir duquel la racine carrée est recherchée. Dans la ligne horizontale supérieure (et aussi en bas) il y a des chiffres : 0, 1, 2, 3 ... 9, qui sont le 3ème chiffre de ce nombre, puis plus à droite se trouvent les chiffres 1, 2, 3. . . 9, représentant le 4e chiffre de ce nombre. Dans toutes les autres lignes horizontales, 2 nombres à quatre chiffres sont placés, exprimant les racines carrées des nombres correspondants.

Qu'il soit nécessaire de trouver la racine carrée d'un nombre, entier ou exprimé sous forme de fraction décimale. Tout d'abord, on retrouve sans l'aide de tableaux le premier chiffre de la racine et sa catégorie. Ensuite, nous supprimons la virgule dans le nombre donné, le cas échéant. Supposons d'abord qu'après avoir supprimé la virgule, il ne reste que 3 chiffres, par exemple. 114. On retrouve dans les tableaux de la colonne la plus à gauche les 2 premiers chiffres, c'est-à-dire 11, et on se déplace d'eux vers la droite le long de la ligne horizontale jusqu'à atteindre la colonne verticale, en haut (et en bas) de laquelle se trouve le 3ème chiffre du nombre , c'est-à-dire 4. A cet endroit, nous trouvons deux nombres à quatre chiffres: 1068 et 3376. Lequel de ces deux nombres doit être pris et où y mettre une virgule, cela est déterminé par le premier chiffre de la racine et sa décharge, que nous avons trouvé plus tôt. Donc, si vous avez besoin de trouver √0,11 "4, alors le premier chiffre de la racine est de 3 dixièmes, et donc nous devons prendre 0,3376 pour la racine. S'il fallait trouver √1,14, alors le premier chiffre de la racine serait soit 1, et nous prendrions alors 1,068.

Ainsi on trouve facilement :

√5,30 = 2,302 ; √7"18 = 26,80 ; √0,91"6 = 0,9571, etc.

Supposons maintenant qu'il soit nécessaire de trouver la racine d'un nombre exprimé (en supprimant la virgule) par 4 chiffres, par exemple √7 "45,6. Constatant que le premier chiffre de la racine est 2 dizaines, on trouve pour le nombre 745, comme cela vient d'être expliqué, les nombres 2729 (on ne remarque ce nombre qu'avec un doigt, mais on ne l'écrit pas.) Puis on s'éloigne de ce nombre vers la droite jusqu'au côté droit du tableau (derrière la dernière ligne en gras) nous rencontrons la colonne verticale qui est marquée au-dessus (et au-dessous) du 4 ème chiffre de ce nombre, c'est-à-dire le chiffre 6, et nous y trouvons le chiffre 1. Ce sera la correction qu'il faudra appliquer (dans le esprit) au nombre 2729 précédemment trouvé, on obtient 2730. On écrit ce nombre et on y met une virgule au bon endroit : 27.30.

On retrouve ainsi par exemple :

√44,37 = 6,661 ; √4,437 = 2,107 ; √0,04"437 \u003d 0,2107, etc.

Si le nombre radical est exprimé en seulement un ou deux chiffres, alors nous pouvons supposer qu'après ces chiffres, il y a un ou deux zéros, puis procéder comme expliqué pour le nombre à trois chiffres. Par exemple √2,7 = √2,70 =1,643 ; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606, etc.

Enfin, si le nombre radical est exprimé par plus de 4 chiffres, alors nous ne prendrons que les 4 premiers d'entre eux, et écarterons le reste, et pour réduire l'erreur, si le premier des chiffres écartés est 5 ou supérieur à 5, puis on augmentera le quart des chiffres retenus de l . Alors:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025 ; etc.

Commenter. Les tableaux indiquent la racine carrée approximative, parfois avec un déficit, parfois avec un excès, à savoir une de ces racines approximatives qui se rapproche de la racine exacte.

179. Extraction des racines carrées des fractions ordinaires. La racine carrée exacte d'une fraction irréductible ne peut être extraite que lorsque les deux termes de la fraction sont des carrés exacts. Dans ce cas, il suffit d'extraire la racine du numérateur et du dénominateur séparément, par exemple :

La racine carrée approximative d'une fraction ordinaire avec une certaine précision décimale peut être plus facilement trouvée si nous convertissons d'abord la fraction ordinaire en un nombre décimal, en calculant dans cette fraction le nombre de décimales après la virgule, qui serait le double du nombre de décimales place dans la racine désirée.

Cependant, vous pouvez faire autrement. Expliquons cela avec l'exemple suivant :

Trouver approximatif √ 5 / 24

Faisons du dénominateur un carré exact. Pour ce faire, il suffirait de multiplier les deux termes de la fraction par le dénominateur 24 ; mais dans cet exemple, vous pouvez faire autrement. Nous décomposons 24 en facteurs premiers: 24 \u003d 2 2 2 3. De cette décomposition, on peut voir que si 24 est multiplié par 2 et un autre par 3, alors dans le produit chaque facteur premier sera répété un nombre pair de fois, et, par conséquent, le dénominateur deviendra un carré :

Il reste à calculer √30 avec une certaine précision et à diviser le résultat par 12. Dans ce cas, il faut garder à l'esprit que la fraction indiquant le degré de précision diminuera également en divisant par 12. Donc, si nous trouvons √30 avec une précision de 1/10 et divisons le résultat par 12, alors nous obtenons la racine approximative de la fraction 5/24 avec une précision de 1/120 (à savoir 54/120 et 55/120)

Chapitre trois.

Graphique de fonctionx = √ y .

180. Fonction inverse. Soit une équation qui définit à en tant que fonction de X , par exemple ceci : y = x 2 . On peut dire qu'il détermine non seulement à en tant que fonction de X , mais aussi, à l'inverse, détermine X en tant que fonction de à , quoique de manière implicite. Pour rendre cette fonction explicite, nous devons résoudre cette équation pour X , prenant à pour un nombre connu ; Ainsi, à partir de l'équation que nous avons prise, nous trouvons: y = x 2 .

L'expression algébrique obtenue pour x après résolution de l'équation qui définit y en fonction de x est appelée la fonction inverse de celle qui définit y.

Donc la fonction x = √ y fonction inverse y = x 2 . Si, comme il est d'usage, la variable indépendante est notée X , et dépendant à , alors nous pouvons exprimer la fonction inverse obtenue maintenant comme suit : y = √x . Ainsi, pour obtenir une fonction inverse d'une donnée (directe), il faut dériver de l'équation qui définit cette fonction donnée X en fonction de la y et dans l'expression résultante, remplacer y sur le X , un X sur le y .

181. Graphique d'une fonction y = √x . Cette fonction n'est pas possible avec une valeur négative X , mais elle peut être calculée (avec n'importe quelle précision) pour toute valeur positive X , et pour chacune de ces valeurs, la fonction reçoit deux valeurs différentes avec la même valeur absolue, mais avec des signes opposés. Si familier √ on note uniquement la valeur arithmétique de la racine carrée, alors ces deux valeurs de la fonction peuvent s'exprimer comme suit : y= ± √x Pour tracer cette fonction, vous devez d'abord créer un tableau de ses valeurs. Le moyen le plus simple de compiler ce tableau est à partir d'un tableau de valeurs de fonctions directes :

y = x 2 .

X

y

si les valeurs à prendre comme valeurs X , et vice versa:

y= ± √x

En mettant toutes ces valeurs sur le dessin, on obtient le graphique suivant.

Dans le même dessin, nous avons représenté (ligne pointillée) et le graphique de la fonction directe y = x 2 . Comparons ces deux graphiques.

182. Relation entre les graphiques des fonctions directes et inverses. Compiler un tableau de valeurs fonction inverse y= ± √x nous avons pris pour X ces nombres qui sont dans la table des fonctions directes y = x 2 servi de valeurs pour à , et pour à pris ces chiffres ; qui dans ce tableau étaient les valeurs pour X . Il en résulte que les deux graphiques sont identiques, seul le graphique de la fonction directe est ainsi situé par rapport à l'axe à - s comment le graphique de la fonction inverse est situé par rapport à l'axe X - vo. Par conséquent, si nous plions le dessin autour d'une ligne droite OA bissectrice d'un angle droit xOy , de sorte que la partie du dessin contenant le demi-axe UO , est tombé sur la partie qui contient le demi-axe Oh , alors UO compatible avec Oh , toutes divisions UO coïncider avec les divisions Oh , et les points de la parabole y = x 2 coïncider avec les points correspondants sur le graphique y= ± √x . Par exemple, des points M et N , dont l'ordonnée 4 , et l'abscisse 2 et - 2 , coïncident avec les points M" et N" , dont l'abscisse 4 , et les ordonnées 2 et - 2 . Si ces points coïncident, cela signifie que les lignes MM" et NN" perpendiculaire à OA et divisez cette droite en deux. La même chose peut être dite pour tous les autres points pertinents sur les deux graphiques.

Ainsi, le graphique de la fonction inverse devrait être le même que le graphique de la fonction directe, mais ces graphiques sont situés différemment, à savoir symétriquement les uns aux autres par rapport à la bissectrice de l'angle oh . On peut dire que le graphe de la fonction inverse est le reflet (comme dans un miroir) du graphe de la fonction directe par rapport à la bissectrice de l'angle oh .

Il est temps de démonter méthodes d'extraction des racines. Ils sont basés sur les propriétés des racines, en particulier sur l'égalité, qui est vraie pour tout nombre non négatif b.

Ci-dessous, nous examinerons tour à tour les principales méthodes d'extraction des racines.

Commençons par le cas le plus simple - extraire les racines des nombres naturels en utilisant une table de carrés, une table de cubes, etc.

Si les tables de carrés, de cubes, etc. n'est pas à portée de main, il est logique d'utiliser la méthode d'extraction de la racine, qui consiste à décomposer le nombre racine en facteurs simples.

Séparément, cela vaut la peine de s'y attarder, ce qui est possible pour les racines avec des exposants impairs.

Enfin, considérons une méthode qui vous permet de trouver séquentiellement les chiffres de la valeur de la racine.

Commençons.

À l'aide d'un tableau de carrés, d'un tableau de cubes, etc.

Dans les cas les plus simples, des tables de carrés, de cubes, etc. permettent d'extraire des racines. Quels sont ces tableaux ?

Le tableau des carrés des nombres entiers de 0 à 99 inclus (présenté ci-dessous) se compose de deux zones. La première zone du tableau est située sur un fond gris ; en sélectionnant une certaine ligne et une certaine colonne, elle permet de faire un nombre de 0 à 99. Par exemple, sélectionnons une ligne de 8 dizaines et une colonne de 3 unités, avec cela nous fixons le nombre 83. La deuxième zone occupe le reste du tableau. Chacune de ses cellules est située à l'intersection d'une certaine ligne et d'une certaine colonne, et contient le carré du nombre correspondant de 0 à 99 . À l'intersection de notre rangée choisie de 8 dizaines et de la colonne 3 de un, il y a une cellule avec le nombre 6889, qui est le carré du nombre 83.

Les tables de cubes, les tables de puissances quatrièmes des nombres de 0 à 99 et ainsi de suite sont similaires à la table de carrés, sauf qu'elles contiennent des cubes, des puissances quatrièmes, etc. dans la deuxième zone. numéros correspondants.

Tables de carrés, cubes, puissances quatrièmes, etc. vous permettent d'extraire des racines carrées, des racines cubiques, des racines quatrièmes, etc. respectivement à partir des chiffres de ces tableaux. Expliquons le principe de leur application dans l'extraction des racines.

Disons que nous devons extraire la racine du nième degré du nombre a, alors que le nombre a est contenu dans le tableau des nièmes degrés. D'après ce tableau, on trouve le nombre b tel que a=b n . Puis , par conséquent, le nombre b sera la racine désirée du nième degré.

À titre d'exemple, montrons comment la racine cubique de 19683 est extraite à l'aide de la table de cube. On retrouve le nombre 19 683 dans le tableau des cubes, à partir de là on constate que ce nombre est un cube du nombre 27, donc, .

Il est clair que les tables de nième degrés sont très pratiques lors de l'extraction des racines. Cependant, ils ne sont souvent pas à portée de main et leur compilation nécessite un certain temps. De plus, il est souvent nécessaire d'extraire des racines de nombres qui ne sont pas contenus dans les tables correspondantes. Dans ces cas, il faut recourir à d'autres méthodes d'extraction des racines.

Décomposition du nombre racine en facteurs premiers

Une façon assez pratique d'extraire la racine d'un nombre naturel (si, bien sûr, la racine est extraite) est de décomposer le nombre racine en facteurs premiers. Le sien l'essentiel est le suivant: après il est assez facile de le représenter en degré avec l'indicateur voulu, ce qui permet d'obtenir la valeur de la racine. Expliquons ce point.

Soit la racine du nième degré extraite d'un nombre naturel a, et sa valeur est égale à b. Dans ce cas, l'égalité a=b n est vraie. Le nombre b comme tout nombre naturel peut être représenté comme un produit de tous ses facteurs premiers p 1 , p 2 , …, p m sous la forme p 1 p 2 p m , et le nombre racine a dans ce cas est représenté par (p 1 p 2 ... p m) n . Comme la décomposition du nombre en facteurs premiers est unique, la décomposition du nombre racine a en facteurs premiers ressemblera à (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ce qui permet de calculer la valeur de la racine comme .

Notons que si la factorisation du nombre racine a ne peut pas être représentée sous la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , alors la racine du nième degré d'un tel nombre a n'est pas complètement extraite.

Traitons cela lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Prenez la racine carrée de 144 .

Décision.

Si l'on se reporte au tableau des carrés donné au paragraphe précédent, on voit clairement que 144=12 2 , d'où il ressort que la racine carrée de 144 est 12 .

Mais à la lumière de ce point, nous nous intéressons à la façon dont la racine est extraite en décomposant le nombre racine 144 en facteurs premiers. Voyons cette solution.

décomposons 144 aux facteurs premiers :

Autrement dit, 144=2 2 2 2 3 3 . Sur la base de la décomposition résultante, les transformations suivantes peuvent être effectuées : 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Ainsi, .

En utilisant les propriétés du degré et les propriétés des racines, la solution pourrait être formulée un peu différemment : .

Répondre:

Pour consolider le matériel, considérons les solutions de deux autres exemples.

Exemple.

Calculez la valeur racine.

Décision.

La factorisation première du nombre racine 243 est 243=3 5 . Ainsi, .

Répondre:

Exemple.

La valeur de la racine est-elle un entier ?

Décision.

Pour répondre à cette question, décomposons le nombre racine en facteurs premiers et voyons s'il peut être représenté comme un cube d'un entier.

Nous avons 285 768=2 3 3 6 7 2 . La décomposition résultante n'est pas représentée comme un cube d'entier, puisque le degré du facteur premier 7 n'est pas un multiple de trois. Par conséquent, la racine cubique de 285 768 n'est pas prise complètement.

Répondre:

Non.

Extraction de racines à partir de nombres fractionnaires

Il est temps de comprendre comment la racine est extraite d'un nombre fractionnaire. Laissez le nombre racine fractionnaire être écrit comme p/q . D'après la propriété de la racine du quotient, l'égalité suivante est vraie. De cette égalité il résulte règle de racine de fraction: La racine d'une fraction est égale au quotient de la racine du numérateur par la racine du dénominateur.

Regardons un exemple d'extraction d'une racine d'une fraction.

Exemple.

Quelle est la racine carrée de la fraction commune 25/169.

Décision.

Selon la table des carrés, nous constatons que la racine carrée du numérateur de la fraction originale est 5 et la racine carrée du dénominateur est 13. Puis . Ceci complète l'extraction de la racine d'une fraction ordinaire 25/169.

Répondre:

La racine d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire est extraite après avoir remplacé les nombres racines par des fractions ordinaires.

Exemple.

Prenez la racine cubique de la décimale 474,552.

Décision.

Représentons la décimale d'origine sous la forme d'une fraction commune : 474,552=474552/1000 . Puis . Il reste à extraire les racines cubiques qui sont au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante. Comme 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 et 1 000=10 3 , alors et . Il ne reste plus qu'à compléter les calculs .

Répondre:

.

Extraire la racine d'un nombre négatif

Séparément, il vaut la peine de s'attarder sur l'extraction des racines des nombres négatifs. Lors de l'étude des racines, nous avons dit que lorsque l'exposant de la racine est un nombre impair, alors un nombre négatif peut être sous le signe de la racine. Nous avons donné à ces notations la signification suivante : pour un nombre négatif −a et un exposant impair de la racine 2 n−1, on a . Cette égalité donne règle pour extraire les racines impaires des nombres négatifs: pour extraire la racine d'un nombre négatif, il faut extraire la racine du nombre positif opposé, et mettre un signe moins devant le résultat.

Prenons un exemple de solution.

Exemple.

Trouvez la valeur racine.

Décision.

Transformons l'expression d'origine pour qu'un nombre positif apparaisse sous le signe racine : . Remplaçons maintenant le nombre fractionnaire par une fraction ordinaire : . On applique la règle d'extraction de la racine d'une fraction ordinaire : . Il reste à calculer les racines au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante : .

Apportons note courte solutions: .

Répondre:

.

Recherche au niveau du bit de la valeur racine

Dans le cas général, sous la racine se trouve un nombre qui, en utilisant les techniques décrites ci-dessus, ne peut pas être représenté comme la puissance n d'un nombre. Mais en même temps, il est nécessaire de connaître la valeur d'une racine donnée, au moins jusqu'à un certain signe. Dans ce cas, pour extraire la racine, vous pouvez utiliser un algorithme qui vous permet d'obtenir de manière cohérente un nombre suffisant de valeurs des chiffres du nombre souhaité.

La première étape de cet algorithme consiste à déterminer quel est le bit le plus significatif de la valeur racine. Pour ce faire, les nombres 0, 10, 100, ... sont successivement élevés à la puissance n jusqu'à obtenir un nombre supérieur au nombre racine. Ensuite, le nombre que nous avons élevé à la puissance n à l'étape précédente indiquera l'ordre supérieur correspondant.

Par exemple, considérez cette étape de l'algorithme lors de l'extraction de la racine carrée de cinq. Nous prenons les nombres 0, 10, 100, ... et les mettons au carré jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 5 . Nous avons 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ce qui signifie que le chiffre le plus significatif sera le chiffre des unités. La valeur de ce bit, ainsi que les plus faibles, seront trouvées dans les prochaines étapes de l'algorithme d'extraction de racine.

Toutes les étapes suivantes de l'algorithme visent à affiner successivement la valeur de la racine du fait que les valeurs des chiffres suivants de la valeur souhaitée de la racine sont trouvées, en partant du plus haut et en se déplaçant vers le plus bas . Par exemple, la valeur de la racine dans la première étape est 2 , dans la seconde - 2,2 , dans la troisième - 2,23 , et ainsi de suite 2,236067977 ... . Décrivons comment les valeurs des bits sont trouvées.

La recherche de bits s'effectue par énumération de leurs valeurs possibles 0, 1, 2, ..., 9 . Dans ce cas, les nièmes puissances des nombres correspondants sont calculées en parallèle, et elles sont comparées au nombre racine. Si à un moment donné la valeur du degré dépasse le nombre radical, alors la valeur du chiffre correspondant à la valeur précédente est considérée comme trouvée, et la transition vers l'étape suivante de l'algorithme d'extraction de racine est effectuée, si cela ne se produit pas, alors la valeur de ce chiffre est 9 .

Expliquons tous ces points en utilisant le même exemple d'extraction de la racine carrée de cinq.

Tout d'abord, trouvez la valeur du chiffre des unités. On va itérer sur les valeurs 0, 1, 2, …, 9 , en calculant respectivement 0 2 , 1 2 , …, 9 2 jusqu'à obtenir une valeur supérieure au nombre radical 5 . Tous ces calculs sont commodément présentés sous forme de tableau :

Donc la valeur du chiffre des unités est 2 (car 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Passons à la recherche de la valeur de la dixième place. Dans ce cas, nous mettrons au carré les nombres 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, en comparant les valeurs obtenues avec le nombre racine 5 :

Depuis 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , alors la valeur de la dixième place est 2 . Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la place des centièmes :

Donc trouvé valeur suivante racine de cinq, il est égal à 2,23. Et ainsi vous pouvez continuer à trouver des valeurs plus loin : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pour consolider le matériel, nous analyserons l'extraction de la racine avec une précision au centième en utilisant l'algorithme considéré.

Tout d'abord, nous définissons le chiffre supérieur. Pour ce faire, nous mettons au cube les nombres 0, 10, 100, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre supérieur à 2 151,186 . Nous avons 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , donc le chiffre le plus significatif est le chiffre des dizaines.

Définissons sa valeur.

Depuis 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , alors la valeur du chiffre des dizaines est 1 . Passons aux unités.

Ainsi, la valeur de la place des uns est 2 . Passons à dix.

Puisque même 12,9 3 est inférieur au nombre radical 2 151,186 , la valeur de la dixième place est 9 . Il reste à effectuer la dernière étape de l'algorithme, il nous donnera la valeur de la racine avec la précision requise.

A ce stade, la valeur de la racine se trouve au centième près : .

En conclusion de cet article, je voudrais dire qu'il existe de nombreuses autres façons d'extraire des racines. Mais pour la plupart des tâches, celles que nous avons étudiées ci-dessus sont suffisantes.

Bibliographie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre: manuel pour 8 cellules. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques).

L'extraction d'une racine est l'opération inverse de l'exponentiation. Autrement dit, en extrayant la racine du nombre X, nous obtenons un nombre qui, au carré, donnera le même nombre X.

L'extraction de la racine est une opération assez simple. Une table de carrés peut faciliter le travail d'extraction. Parce qu'il est impossible de se souvenir de tous les carrés et racines par cœur, et les nombres peuvent être importants.

Extraire la racine d'un nombre

Extraire la racine carrée d'un nombre est facile. De plus, cela peut être fait non pas immédiatement, mais progressivement. Par exemple, prenons l'expression √256. Au début, il est difficile pour une personne qui ne le sait pas de donner une réponse tout de suite. Ensuite, nous prendrons les mesures. Tout d'abord, nous divisons par le nombre 4, à partir duquel nous retirons le carré sélectionné comme racine.

Nul : √(64 4), alors il sera équivalent à 2√64. Et comme vous le savez, selon la table de multiplication 64 = 8 8. La réponse sera 2*8=16.

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Extraction de racine complexe

La racine carrée ne peut pas être calculée à partir de nombres négatifs, car tout nombre au carré est un nombre positif !

Un nombre complexe est un nombre i dont le carré est égal à -1. Soit i2=-1.

En mathématiques, il existe un nombre qui s'obtient en prenant la racine du nombre -1.

Autrement dit, il est possible de calculer la racine d'un nombre négatif, mais cela s'applique déjà aux mathématiques supérieures, pas à l'école.

Considérons un exemple d'une telle extraction de racine : √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculatrice racine en ligne

A l'aide de notre calculateur, vous pouvez calculer l'extraction d'un nombre à partir de la racine carrée :

Conversion d'expressions contenant l'opération d'extraction de la racine

L'essence de la transformation des expressions radicales est de décomposer le nombre radical en nombres plus simples, à partir desquels la racine peut être extraite. Comme 4, 9, 25 et ainsi de suite.

Prenons un exemple, √625. On divise l'expression radicale par le nombre 5. On obtient √(125 5), on répète l'opération √(25 25), mais nous savons que 25 égale 52. La réponse est donc 5*5=25.

Mais il y a des nombres pour lesquels la racine ne peut pas être calculée par cette méthode et il vous suffit de connaître la réponse ou d'avoir un tableau des carrés à portée de main.

√289=√(17*17)=17

Résultat

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