Avant l'avènement des calculatrices, les élèves et les enseignants calculaient les racines carrées à la main. Il existe plusieurs façons de calculer manuellement la racine carrée d'un nombre. Certains d'entre eux n'offrent qu'une solution approximative, d'autres donnent une réponse exacte.

Pas

Factorisation première

Décomposez le nombre racine en facteurs qui sont des nombres carrés. Selon le numéro de la racine, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Nombres carrés - nombres à partir desquels vous pouvez extraire un nombre entier Racine carrée. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Facteurs carrés sont des facteurs , qui sont des nombres carrés. Tout d'abord, essayez de factoriser le nombre racine en facteurs carrés.

• Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (manuellement). Essayez d'abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, c'est-à-dire divisible par 25 - c'est un nombre carré. Diviser 400 par 25 donne 16. Le nombre 16 est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être factorisé en facteurs carrés de 25 et 16, c'est-à-dire 25 x 16 = 400.
• Vous pouvez l'écrire de la manière suivante: √400 = √(25 x 16).

1. La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire √(a x b) = √a x √b. Utilisez cette règle et prenez la racine carrée de chaque facteur carré et multipliez les résultats pour trouver la réponse.

   • Dans notre exemple, prenons la racine carrée de 25 et 16.
     • √(25x16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Si le nombre radical ne se divise pas en deux facteurs carrés (et c'est le cas dans la plupart des cas), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous forme d'entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre racine en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et vous prendrez la racine du facteur ordinaire.

   • Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être divisé en deux facteurs carrés, mais il peut être divisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :
     • = √(49x3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Si nécessaire, évaluez la valeur de la racine. Vous pouvez maintenant évaluer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant aux valeurs des racines des nombres carrés les plus proches (des deux côtés de la droite numérique) du nombre racine. Vous obtiendrez la valeur de la racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

   • Revenons à notre exemple. Le nombre racine est 3. Les nombres carrés les plus proches sont les nombres 1 (√1 = 1) et 4 (√4 = 2). Ainsi, la valeur de √3 est comprise entre 1 et 2. Comme la valeur de √3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : √3 = 1,7. Nous multiplions cette valeur par le nombre au signe racine: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Si vous faites les calculs sur une calculatrice, vous obtenez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.
     • Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons √35. Le nombre racine est 35. Les nombres carrés les plus proches sont les nombres 25 (√25 = 5) et 36 (√36 = 6). Ainsi, la valeur de √35 est comprise entre 5 et 6. Puisque la valeur de √35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut affirmer que √35 est légèrement inférieur à 6. La vérification avec une calculatrice nous donne la réponse 5,92 - nous avions raison.

4. Une autre méthode consiste à décomposer le nombre racine en facteurs premiers. Les facteurs premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Écris les facteurs premiers dans une rangée et trouve des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe de la racine.

   • Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous décomposons le nombre racine en facteurs premiers : 45 \u003d 9 x 5 et 9 \u003d 3 x 3. Ainsi, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 peut être extrait du signe racine : √45 = 3√5. Nous pouvons maintenant estimer √5.
   • Prenons un autre exemple : √88.
     • = √(2x44)
     • = √ (2 × 4 × 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Vous avez trois multiplicateurs 2 ; prenez-en quelques-uns et sortez-les du signe de la racine.
     • = 2√(2x11) = 2√2x√11. Nous pouvons maintenant évaluer √2 et √11 et trouver une réponse approximative.

   Calcul manuel de la racine carrée

   Utiliser la division de colonne

   1. Cette méthode implique un processus similaire à la division longue et donne une réponse précise. Tout d'abord, tracez une ligne verticale divisant la feuille en deux moitiés, puis tracez une ligne horizontale vers la droite et légèrement en dessous du bord supérieur de la feuille jusqu'à la ligne verticale. Divisez maintenant le nombre racine en paires de nombres, en commençant par la partie fractionnaire après la virgule. Ainsi, le nombre 79520789182.47897 s'écrit "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Par exemple, calculons la racine carrée du nombre 780,14. Dessinez deux lignes (comme indiqué sur l'image) et écrivez le nombre en haut à gauche sous la forme "7 80, 14". Il est normal que le premier chiffre à partir de la gauche soit un chiffre non apparié. La réponse (la racine du nombre donné) sera écrite en haut à droite.

   2. Étant donné la première paire de nombres (ou un nombre) à partir de la gauche, trouvez le plus grand entier n dont le carré est inférieur ou égal à la paire de nombres (ou un nombre) en question. En d'autres termes, trouvez le nombre carré qui est le plus proche, mais inférieur à, la première paire de nombres (ou un nombre) à partir de la gauche, et prenez la racine carrée de ce nombre carré ; vous obtiendrez le numéro n. Écrivez le n trouvé en haut à droite et écrivez le carré n en bas à droite.

      • Dans notre cas, le premier chiffre à gauche sera le chiffre 7. Ensuite, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Soustrayez le carré du nombre n que vous venez de trouver de la première paire de nombres (ou un nombre) à partir de la gauche.Écrivez le résultat du calcul sous le sous-traitant (le carré du nombre n).

      • Dans notre exemple, soustrayez 4 de 7 pour obtenir 3.

   4. Prenez la deuxième paire de nombres et notez-la à côté de la valeur obtenue à l'étape précédente. Doublez ensuite le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite avec "_×_=" ajouté.

      • Dans notre exemple, la deuxième paire de nombres est "80". Écrivez "80" après le 3. Ensuite, doubler le nombre en haut à droite donne 4. Écrivez "4_×_=" en bas à droite.

   5. Remplissez les blancs à droite.

      • Dans notre cas, si nous mettons le chiffre 8 au lieu de tirets, alors 48 x 8 \u003d 384, soit plus de 380. Par conséquent, 8 est un nombre trop grand, mais 7 convient. Écrivez 7 au lieu de tirets et obtenez: 47 x 7 \u003d 329. Écrivez 7 en haut à droite - c'est le deuxième chiffre de la racine carrée souhaitée du nombre 780,14.

   6. Soustrayez le nombre résultant du nombre actuel sur la gauche.Écrivez le résultat de l'étape précédente sous le nombre actuel à gauche, trouvez la différence et écrivez-la sous le nombre soustrait.

      • Dans notre exemple, soustrayez 329 de 380, ce qui équivaut à 51.

   7. Répétez l'étape 4. Si la paire de nombres démolie est la partie fractionnaire du nombre d'origine, placez le séparateur (virgule) des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en haut à droite. Sur la gauche, descendez la prochaine paire de nombres. Doublez le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite avec "_×_=" ajouté.

      • Dans notre exemple, la prochaine paire de nombres à démolir sera la partie fractionnaire du nombre 780,14, placez donc le séparateur des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en partant du haut à droite. Démolissez 14 et notez-le en bas à gauche. Le double en haut à droite (27) est 54, donc écrivez "54_×_=" en bas à droite.

   8. Répétez les étapes 5 et 6. Trouvez le plus grand nombre à la place des tirets à droite (au lieu des tirets, vous devez substituer le même nombre) afin que le résultat de la multiplication soit inférieur ou égal au nombre actuel à gauche.

      • Dans notre exemple, 549 x 9 = 4941, ce qui est inférieur au nombre actuel sur la gauche (5114). Écrivez 9 en haut à droite et soustrayez le résultat de la multiplication du nombre actuel à gauche : 5114 - 4941 = 173.

   9. Si vous avez besoin de trouver plus de décimales pour la racine carrée, écrivez une paire de zéros à côté du nombre actuel sur la gauche et répétez les étapes 4, 5 et 6. Répétez les étapes jusqu'à ce que vous obteniez la précision de la réponse dont vous avez besoin (nombre de décimales).

   Comprendre le processus

   Pour maîtriser cette méthode, imaginez le nombre dont vous devez trouver la racine carrée comme l'aire du carré S. Dans ce cas, vous chercherez la longueur du côté L d'un tel carré. Calculer la valeur de L pour laquelle L² = S.

   Entrez une lettre pour chaque chiffre de votre réponse. Notons A le premier chiffre de la valeur de L (la racine carrée souhaitée). B sera le deuxième chiffre, C le troisième et ainsi de suite.

   Spécifiez une lettre pour chaque paire de premiers chiffres. Notons S a la première paire de chiffres de la valeur S, S b la deuxième paire de chiffres, et ainsi de suite.

   Expliquez le lien de cette méthode avec la division longue. Comme dans l'opération de division, où à chaque fois on ne s'intéresse qu'à un chiffre suivant du nombre divisible, lors du calcul de la racine carrée, on travaille avec une paire de chiffres en séquence (pour obtenir le chiffre suivant dans la valeur de la racine carrée) .

   1. Considérez la première paire de chiffres Sa du nombre S (Sa = 7 dans notre exemple) et trouvez sa racine carrée. Dans ce cas, le premier chiffre A de la valeur recherchée de la racine carrée sera un tel chiffre dont le carré est inférieur ou égal à S a (c'est-à-dire que l'on recherche un tel A qui vérifie l'inégalité A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Disons que nous devons diviser 88962 par 7 ; ici la première étape sera similaire : nous considérons le premier chiffre du nombre divisible 88962 (8) et sélectionnons le plus grand nombre qui, multiplié par 7, donne une valeur inférieure ou égale à 8. C'est-à-dire que nous recherchons un nombre d pour lequel l'inégalité est vraie : 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginez mentalement le carré dont vous devez calculer l'aire. Vous cherchez L, c'est-à-dire la longueur du côté d'un carré dont l'aire est S. A, B, C sont des nombres dans le nombre L. Vous pouvez l'écrire différemment : 10A + B \u003d L (pour un deux -nombre de chiffres) ou 100A + 10B + C \u003d L (pour un nombre à trois chiffres) et ainsi de suite.

      • Laisser (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Rappelez-vous que 10A+B est un nombre dont B représente les unités et A représente les dizaines. Par exemple, si A=1 et B=2, alors 10A+B est égal au nombre 12. (10A+B)² est l'aire de tout le carré, 100A² est l'aire du grand carré intérieur, B² est l'aire du petit carré intérieur, 10A×B est l'aire de chacun des deux rectangles. En ajoutant les aires des figures décrites, vous trouverez l'aire du carré d'origine.

Le calcul (ou l'extraction) de la racine carrée peut se faire de plusieurs manières, mais toutes ne sont pas très simples. Il est bien sûr plus facile de recourir à l'aide d'une calculatrice. Mais si ce n'est pas possible (ou si vous voulez comprendre l'essence de la racine carrée), je peux vous conseiller de suivre la voie suivante, son algorithme est le suivant :

Si vous n'avez pas la force, le désir ou la patience pour des calculs aussi longs, vous pouvez recourir à une sélection approximative, son avantage est qu'elle est incroyablement rapide et, avec l'ingéniosité requise, précise. Exemple:

Quand j'étais à l'école (au début des années 60), on nous apprenait à prendre la racine carrée de n'importe quel nombre. La technique est simple, extérieurement similaire à la "division de colonne", mais pour l'énoncer ici, cela prendra une demi-heure et 4 à 5 000 caractères de texte. Mais pourquoi en avez-vous besoin ? Avez-vous un téléphone ou un autre gadget, il y a une calculatrice en nm. Il y a une calculatrice dans chaque ordinateur. Personnellement, je préfère faire ce genre de calcul dans Excel.

Souvent, à l'école, il est nécessaire de trouver des racines carrées numéros différents. Mais si nous avons l'habitude d'utiliser une calculatrice tout le temps pour cela, il n'y aura pas une telle opportunité lors des examens, vous devez donc apprendre à rechercher la racine sans l'aide d'une calculatrice. Et il est en principe possible de le faire.

L'algorithme est :

Regardez d'abord le dernier chiffre de votre numéro :

Par exemple,

Vous devez maintenant déterminer approximativement la valeur de la racine du groupe le plus à gauche

Dans le cas où le nombre a plus de deux groupes, alors vous devez trouver la racine comme ceci :

Mais le nombre suivant devrait être exactement le plus grand, vous devez le prendre comme ceci :

Maintenant, nous devons former un nouveau nombre A en ajoutant au reste obtenu ci-dessus, le groupe suivant.

Dans nos exemples :

Une colonne de najna, et lorsque plus de quinze caractères sont nécessaires, les ordinateurs et les téléphones avec calculatrices se reposent le plus souvent. Il reste à vérifier si la description de la méthodologie prendra 4 à 5 000 caractères.

Berm n'importe quel nombre, à partir d'une virgule, nous comptons les paires de chiffres à droite et à gauche

Par exemple, 1234567890.098765432100

Une paire de chiffres est comme un nombre à deux chiffres. La racine d'un code à deux chiffres est un-à-un. Nous en sélectionnons une à valeur unique, dont le carré est inférieur à la première paire de chiffres. Dans notre cas c'est 3.

Comme lors de la division par une colonne, sous la première paire, nous écrivons ce carré et soustrayons de la première paire. Le résultat est souligné. 12 - 9 = 3. Ajoutez une deuxième paire de chiffres à cette différence (ce sera 334). A gauche du nombre de bermes, la valeur doublée de la partie du résultat déjà trouvée est complétée par un chiffre (nous avons 2 * 6 = 6), de sorte que multiplié par le nombre non reçu, il ne pas dépasser le nombre avec la deuxième paire de chiffres. Nous obtenons que le chiffre trouvé est de cinq. Encore une fois, nous trouvons la différence (9), démolissons la prochaine paire de chiffres, obtenant 956, écrivons à nouveau la partie doublée du résultat (70), ajoutons à nouveau le chiffre nécessaire et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il s'arrête. Ou à la précision requise des calculs.

Premièrement, pour calculer la racine carrée, vous devez bien connaître la table de multiplication. Plus exemples simples est 25 (5 par 5 = 25) et ainsi de suite. Si nous prenons des nombres plus compliqués, nous pouvons utiliser ce tableau, où il y a des unités horizontalement et des dizaines verticalement.



Il y a bonne façon comment trouver la racine d'un nombre sans l'aide de calculatrices. Pour ce faire, vous aurez besoin d'une règle et d'un compas. L'essentiel est que vous trouviez sur la règle la valeur que vous avez sous la racine. Par exemple, mettez une marque près de 9. Votre tâche consiste à diviser ce nombre en un nombre égal de segments, c'est-à-dire en deux lignes de 4,5 cm chacune, et en un segment pair. Il est facile de deviner qu'au final vous obtiendrez 3 segments de 3 centimètres.

La méthode n'est pas facile et ne fonctionnera pas pour les grands nombres, mais elle est envisagée sans calculatrice.

sans l'aide d'une calculatrice, la méthode d'extraction de la racine carrée a été enseignée dans L'époque soviétiqueà l'école en 8e année.

Pour ce faire, vous devez diviser un nombre à plusieurs chiffres de droite à gauche en faces de 2 chiffres :

Le premier chiffre de la racine est la racine entière du côté gauche, en ce cas, 5.

Soustrayez 5 au carré de 31, 31-25=6 et ajoutez la face suivante au six, nous avons 678.

Le chiffre suivant x est sélectionné pour doubler les cinq de sorte que

10x*x était le maximum, mais inférieur à 678.

x=6 car 106*6=636,

maintenant nous calculons 678 - 636 = 42 et ajoutons le prochain visage 92, nous avons 4292.

Encore une fois, nous recherchons le maximum x, tel que 112x*x lt; 4292.

Réponse : la racine est 563

Vous pouvez donc continuer aussi longtemps que vous le souhaitez.

Dans certains cas, vous pouvez essayer de développer le nombre racine en deux facteurs carrés ou plus.

Il est également utile de se souvenir du tableau (ou au moins d'une partie de celui-ci) - les carrés des nombres naturels de 10 à 99.



Je propose une variante d'extraction de la racine carrée dans une colonne que j'ai inventée. Il diffère du bien connu, à l'exception de la sélection des numéros. Mais comme je l'ai découvert plus tard, cette méthode existait déjà bien des années avant ma naissance. Le grand Isaac Newton l'a décrit dans son livre General Arithmetic ou un livre sur la synthèse et l'analyse arithmétiques. Je présente donc ici ma vision et ma justification de l'algorithme de la méthode de Newton. Vous n'avez pas besoin de mémoriser l'algorithme. Vous pouvez simplement utiliser le schéma de la figure comme aide visuelle si nécessaire.







À l'aide de tableaux, vous ne pouvez pas calculer, mais trouver les racines carrées uniquement à partir des nombres figurant dans les tableaux. La façon la plus simple de calculer les racines n'est pas seulement le carré, mais aussi d'autres degrés, par la méthode des approximations successives. Par exemple, on calcule la racine carrée de 10739, on remplace les trois derniers chiffres par des zéros et on extrait la racine de 10000, on obtient 100 avec un désavantage, donc on prend le nombre 102 et on le met au carré, on obtient 10404, qui est aussi moins que celui spécifié, nous reprenons 103*103=10609 avec un désavantage, nous prenons 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, nous prenons encore plus 103,6 * 103,6 \u003d 10732, nous prenons 103,7 * 103,7 \u003d 10753,69, qui est déjà dans excès. Vous pouvez prendre la racine carrée de 10739 comme étant approximativement égale à 103,6. Plus précisément 10739=103.629... . . De même, on calcule la racine cubique, d'abord à partir de 10000 on obtient environ 25*25*25 = 15625, ce qui est en excès, on prend 22*22*22 = 10.648, on prend un peu plus de 22.06*22.06 * 22.06 = 10735, ce qui est très proche de celui donné.

Instruction

Choisissez un nombre radical tel un facteur, dont la suppression de sous racine expression valide - sinon l'opération perdra . Par exemple, si sous le signe racine avec un exposant égal à trois (racine cubique) vaut Numéro 128, puis sous le signe peut être retiré, par exemple, Numéro 5. En même temps, la racine Numéro 128 devra être divisé par 5 au cube : ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Si la présence d'un nombre fractionnaire sous le signe racine ne contredit pas les conditions du problème, il est possible sous cette forme. Si vous avez besoin d'une option plus simple, divisez d'abord l'expression radicale en de tels facteurs entiers, dont la racine cubique de l'un d'entre eux sera un entier Numéro m. Par exemple : ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilisez pour sélectionner les facteurs du nombre racine, s'il n'est pas possible de calculer la puissance du nombre dans votre esprit. Ceci est particulièrement vrai pour racine m avec un exposant supérieur à deux. Si vous avez accès à Internet, vous pouvez effectuer des calculs à l'aide de calculatrices intégrées aux moteurs de recherche Google et Nigma. Par exemple, si vous avez besoin de trouver le plus grand facteur entier qui peut être extrait du signe du cube racine pour le nombre 250, rendez-vous ensuite sur le site de Google et entrez la requête "6 ^ 3" pour vérifier s'il est possible de sortir sous le signe racine six. Le moteur de recherche affichera un résultat égal à 216. Hélas, 250 ne peut pas être divisé sans reste par ce Numéro. Saisissez ensuite la requête 5^3. Le résultat sera 125, ce qui vous permet de diviser 250 en facteurs de 125 et 2, ce qui signifie le retirer du signe racine Numéro 5 partir de là Numéro 2.

Sources:

• comment le sortir de sous la racine
• La racine carrée du produit

Sortir de dessous racine l'un des facteurs est nécessaire dans les situations où vous devez simplifier une expression mathématique. Il existe des cas où il est impossible d'effectuer les calculs nécessaires à l'aide d'une calculatrice. Par exemple, si des nombres sont utilisés au lieu de désignations de lettres variables.

Instruction

Décomposer l'expression radicale en facteurs simples. Voir lequel des facteurs est répété le même nombre de fois, indiqué dans les indicateurs racine, ou plus. Par exemple, vous devez prendre la racine du nombre a à la puissance quatre. Dans ce cas, le nombre peut être représenté par a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indicateur racine dans ce cas correspondra à facteur a3. Il doit être retiré du signe.

Extrayez la racine des radicaux résultants séparément, si possible. extraction racine est l'opération algébrique inverse de l'exponentiation. extraction racine une puissance arbitraire à partir d'un nombre, trouver un nombre qui, élevé à cette puissance arbitraire, donnera un nombre donné. Si extraction racine ne peut être produit, laissez l'expression radicale sous le signe racine c'est comme ça. À la suite des actions ci-dessus, vous effectuerez une suppression sous pancarte racine.

Vidéos connexes

Remarque

Soyez prudent lorsque vous écrivez l'expression radicale en tant que facteurs - une erreur à ce stade entraînera des résultats incorrects.

Conseil utile

Lors de l'extraction des racines, il est pratique d'utiliser des tables spéciales ou des tables de racines logarithmiques - cela réduira considérablement le temps nécessaire pour trouver la bonne solution.

Sources:

• signe d'extraction de racine en 2019

La simplification des expressions algébriques est nécessaire dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris la résolution d'équations de degrés supérieurs, la différenciation et l'intégration. Cela utilise plusieurs méthodes, dont la factorisation. Pour appliquer cette méthode, vous devez trouver et retirer un facteur par parenthèses.

Instruction

En retirant le facteur commun pour parenthèses- une des méthodes de décomposition les plus courantes. Cette technique est utilisée pour simplifier la structure des expressions algébriques longues, c'est-à-dire polynômes. Le général peut être un nombre, un monôme ou un binôme, et pour le trouver, la propriété distributive de la multiplication est utilisée.

Nombre : Regardez attentivement les coefficients de chaque polynôme pour voir s'ils peuvent être divisés par le même nombre. Par exemple, dans l'expression 12 z³ + 16 z² - 4, l'évidence est facteur 4. Après la conversion, vous obtenez 4 (3 z³ + 4 z² - 1). En d'autres termes, ce nombre est le plus petit commun diviseur entier de tous les coefficients.

Mononomial Déterminer si la même variable se trouve dans chacun des termes du polynôme. Supposons que ce soit le cas, regardons maintenant les coefficients, comme dans le cas précédent. Exemple : 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Chaque élément de ce polynôme contient la variable z. De plus, tous les coefficients sont des multiples de 3. Par conséquent, le facteur commun sera le monôme 3 z : 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binôme.Pour parenthèses général facteur de deux , une variable et un nombre, qui est un polynôme général. Par conséquent, si facteur-binomial n'est pas évident, alors vous devez trouver au moins une racine. Mettez en surbrillance le terme libre du polynôme, c'est le coefficient sans variable. Appliquez maintenant la méthode de substitution à l'expression commune de tous les diviseurs entiers du terme libre.

Considérez : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Vérifiez si l'un des diviseurs entiers de 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Trouvez z1 par simple substitution = 1 et z2 = 2, donc parenthèses les binômes (z - 1) et (z - 2) peuvent être retirés. Afin de trouver l'expression restante, utilisez la division séquentielle dans une colonne.

Et avez-vous dépendance à la calculatrice? Ou pensez-vous que, sauf avec une calculatrice ou en utilisant une table de carrés, il est très difficile de calculer, par exemple,.

Il arrive que des écoliers soient attachés à une calculatrice et multiplient même 0,7 par 0,5 en appuyant sur les boutons chéris. Ils disent, eh bien, je sais toujours calculer, mais maintenant je vais gagner du temps ... Il y aura un examen ... puis je vais me tendre ...

Donc, le fait est qu'il y aura de toute façon beaucoup de «moments tendus» à l'examen ... Comme on dit, l'eau use une pierre. Alors à l'examen, des petites choses, si elles sont nombreuses, peuvent vous renverser...

Minimisons le nombre de problèmes possibles.

Prendre la racine carrée d'un grand nombre

Nous ne parlerons plus que du cas où le résultat de l'extraction de la racine carrée est un entier.

Cas 1

Alors, laissez-nous par tous les moyens (par exemple, lors du calcul du discriminant) besoin de calculer la racine carrée de 86436.

Nous allons décomposer le nombre 86436 en facteurs premiers. On divise par 2, on obtient 43218 ; encore une fois nous divisons par 2, - nous obtenons 21609. Le nombre n'est pas divisible par 2 de plus. Mais comme la somme des chiffres est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3 (en général, on voit qu'il est aussi divisible par 9). . Encore une fois, nous divisons par 3, nous obtenons 2401. 2401 n'est pas complètement divisible par 3. Non divisible par cinq (ne se termine pas par 0 ou 5).

On suspecte une divisibilité par 7. En effet, a ,

Alors, commande complète !

Cas 2

Avons besoin de calculer. Il n'est pas pratique d'agir de la même manière que décrit ci-dessus. Essayer de factoriser...

Le nombre 1849 n'est pas complètement divisible par 2 (il n'est pas pair)...

Il n'est pas complètement divisible par 3 (la somme des chiffres n'est pas un multiple de 3)...

Il n'est pas complètement divisible par 5 (le dernier chiffre n'est ni 5 ni 0)...

Il n'est pas complètement divisible par 7, il n'est pas divisible par 11, il n'est pas divisible par 13... Eh bien, combien de temps cela nous prendra-t-il pour parcourir tous les nombres premiers comme ça ?

Discutons un peu différemment.

Nous comprenons cela

Nous avons restreint la recherche. Maintenant, nous trions les nombres de 41 à 49. De plus, il est clair que puisque le dernier chiffre du nombre est 9, il vaut la peine de s'arrêter aux options 43 ou 47 - seuls ces nombres, une fois au carré, donneront le dernier chiffre 9.

Bon, là déjà, bien sûr, on s'arrête à 43. En effet,

PS Comment diable multiplie-t-on 0,7 par 0,5 ?

Vous devez multiplier 5 par 7, en ignorant les zéros et les signes, puis séparer, de droite à gauche, deux décimales. Nous obtenons 0,35.