Proportionnalité directe et inverse

Si t est le temps de marche (en heures), s est la distance parcourue (en kilomètres), et qu'il se déplace uniformément à une vitesse de 4 km/h, alors la relation entre ces quantités peut être exprimée par la formule s = 4t. Puisque chaque valeur de t correspond à une valeur unique de s, on peut dire qu'une fonction est donnée en utilisant la formule s = 4t. Elle est appelée proportionnalité directe et est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité directe est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y \u003d kx, où k est un nombre réel non nul.

Le nom de la fonction y \u003d k x est dû au fait que dans la formule y \u003d kx il y a des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le rapport de deux valeurs est égal à un nombre autre que zéro, on les appelle directement proportionnel . Dans notre cas = k (k≠0). Ce numéro s'appelle facteur de proportionnalité.

La fonction y \u003d k x est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles déjà envisagées dans le cours initial de mathématiques. L'un d'eux est décrit ci-dessus. Autre exemple: s'il y a 2 kg de farine dans un emballage et que x de tels emballages sont achetés, la masse totale de la farine achetée (nous la désignons par y) peut être représentée par une formule y \u003d 2x, c'est-à-dire le rapport entre le nombre de colis et la masse totale de farine achetée est directement proportionnel au coefficient k=2.

Rappelons quelques propriétés de la proportionnalité directe, qui sont étudiées dans le cours scolaire de mathématiques.

1. Le domaine de la fonction y \u003d k x et le domaine de ses valeurs est l'ensemble des nombres réels.

2. Le graphique de proportionnalité directe est une droite passant par l'origine. Par conséquent, pour construire un graphe de proportionnalité directe, il suffit de trouver un seul point qui lui appartient et ne coïncide pas avec l'origine, puis de tracer une ligne droite passant par ce point et l'origine.

Par exemple, pour tracer la fonction y = 2x, il suffit d'avoir un point avec des coordonnées (1, 2), puis de tracer une ligne droite à travers celui-ci et l'origine des coordonnées (Fig. 7).

3. Pour k > 0, la fonction y = kx croît sur tout le domaine de définition ; fourchette< 0 - убывает на всей области определения.

4. Si la fonction f est une proportionnalité directe et (x 1, y 1), (x 2, y 2) - paires de valeurs correspondantes ​​​​des variables x et y, et x 2 ≠ 0 alors.

En effet, si la fonction f est une proportionnalité directe, alors elle peut être donnée par la formule y \u003d kx, puis y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Puisque à x 2 ≠0 et k≠0, alors y 2 ≠0. Voilà pourquoi et signifie.

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors la propriété prouvée de proportionnalité directe peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y augmente (diminue) de la même quantité.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité directe et peut être utilisée pour résoudre des problèmes de mots dans lesquels des quantités directement proportionnelles sont considérées.

Tâche 1. En 8 heures, le tourneur a réalisé 16 pièces. Combien d'heures faudra-t-il à un tourneur pour réaliser 48 pièces s'il travaille à la même productivité ?

Solution. Le problème considère les quantités - le temps de travail du tourneur, le nombre de pièces réalisées par lui et la productivité (c'est-à-dire le nombre de pièces fabriquées par le tourneur en 1 heure), cette dernière valeur étant constante, et les deux autres prenant des valeurs différentes. De plus, le nombre de pièces réalisées et le temps de travail sont directement proportionnels, puisque leur rapport est égal à un certain nombre qui n'est pas égal à zéro, à savoir le nombre de pièces réalisées par un tourneur en 1 heure. des pièces fabriquées est désignée par la lettre y, le temps de travail est x et la performance - k, alors nous obtenons que = k ou y = kx, c'est-à-dire le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité directe.

Le problème peut être résolu de deux manières arithmétiques :

1 voie : 2 voies :

1) 16:8 = 2 (enfants) 1) 48:16 = 3 (fois)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 2, puis, sachant que y \u003d 2x, nous avons trouvé la valeur de x, à condition que y \u003d 48.

Lors de la résolution du problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité directe: combien de fois le nombre de pièces fabriquées par un tourneur augmente, le temps nécessaire à leur fabrication augmente du même montant.

Passons maintenant à l'examen d'une fonction appelée proportionnalité inverse.

Si t est le temps de déplacement du piéton (en heures), v est sa vitesse (en km/h) et qu'il a marché 12 km, alors la relation entre ces valeurs peut s'exprimer par la formule v∙t = 20 ou v = .

Puisque chaque valeur de t (t ≠ 0) correspond à une seule valeur de vitesse v, on peut dire qu'une fonction est donnée par la formule v = . Elle est appelée proportionnalité inverse et est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité inverse est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y \u003d, où k est un nombre réel non nul.

Le nom de cette fonction vient du fait que y= il existe des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le produit de deux quantités est égal à un nombre autre que zéro, alors elles sont dites inversement proportionnelles. Dans notre cas, xy = k(k ≠ 0). Ce nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

Une fonction y= est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles déjà envisagées dans le cours initial de mathématiques. L'un d'eux est décrit avant la définition de la proportionnalité inverse. Autre exemple : si vous avez acheté 12 kg de farine et que vous les mettez dans l : boîtes de y kg chacune, la relation entre ces quantités peut être représentée par x-y= 12, soit il est inversement proportionnel au coefficient k=12.

Rappelons quelques propriétés de la proportionnalité inverse, connues du cours de mathématiques à l'école.

1. Portée de la fonction y= et sa plage x est l'ensemble des nombres réels non nuls.

2. Le graphique de proportionnalité inverse est une hyperbole.

3. Pour k > 0, les branches de l'hyperbole sont situées dans les 1er et 3ème quadrants et la fonction y= est décroissante sur tout le domaine de x (Fig. 8).

Riz. 8 Figure 9

Quand k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= est croissante sur tout le domaine de x (Fig. 9).

4. Si la fonction f est inversement proportionnelle et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont des paires de valeurs correspondantes des variables x et y, alors.

En effet, si la fonction f est inversement proportionnelle, alors elle peut être donnée par la formule y= ,et alors . Puisque x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, alors

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors cette propriété de proportionnalité inverse peut être formulée comme suit: avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y diminue (augmente) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité inverse et peut être utilisée pour résoudre des problèmes de mots dans lesquels des quantités inversement proportionnelles sont considérées.

Problème 2. Un cycliste, se déplaçant à une vitesse de 10 km/h, a parcouru la distance de A à B en 6 heures.

Solution. Le problème considère les grandeurs suivantes : la vitesse du cycliste, le temps de déplacement et la distance de A à B, cette dernière valeur étant constante, et les deux autres prenant des valeurs différentes. De plus, la vitesse et le temps de déplacement sont inversement proportionnels, puisque leur produit est égal à un certain nombre, à savoir la distance parcourue. Si le temps du mouvement du cycliste est désigné par la lettre y, la vitesse est x et la distance AB est k, alors nous obtenons que xy \u003d k ou y \u003d, c'est-à-dire le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité inverse.

Vous pouvez résoudre le problème de deux manières :

1 voie : 2 voies :

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (fois)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 60, puis, sachant que y \u003d, nous avons trouvé la valeur de y, à condition que x \u003d 20.

Lors de la résolution du problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité inverse: combien de fois la vitesse de déplacement augmente, le temps pour parcourir la même distance diminue de la même quantité.

Notez que lors de la résolution de problèmes spécifiques avec des quantités inversement proportionnelles ou directement proportionnelles, certaines restrictions sont imposées sur x et y, en particulier, elles peuvent être considérées non pas sur l'ensemble des nombres réels, mais sur ses sous-ensembles.

Problème 3. Lena a acheté x crayons et Katya en a acheté 2 fois plus. Dénotez le nombre de crayons que Katya a achetés comme y, exprimez y en termes de x et construisez un graphique de la correspondance établie, à condition que x ≤ 5. Est-ce que cette correspondance est une fonction ? Quel est son domaine de définition et sa gamme de valeurs ?

Solution. Katya t'a acheté = 2 crayons. Lors du tracé de la fonction y=2x, il faut tenir compte du fait que la variable x désigne le nombre de crayons et x≤5, ce qui signifie qu'elle ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ce sera le domaine de cette fonction. Pour obtenir la plage de cette fonction, vous devez multiplier chaque valeur x du domaine de définition par 2, c'est-à-dire ce sera un ensemble (0, 2, 4, 6, 8, 10). Par conséquent, le graphique de la fonction y \u003d 2x avec le domaine de définition (0, 1, 2, 3, 4, 5) sera l'ensemble de points illustré à la figure 10. Tous ces points appartiennent à la ligne y \u003d 2x.

Objectifs de base :

• introduire le concept de direct et inverse dépendance proportionnelle quantités;
• apprendre à résoudre des problèmes en utilisant ces dépendances ;
• favoriser le développement de compétences en résolution de problèmes;
• consolider l'habileté de résoudre des équations en utilisant des proportions;
• répétez les étapes avec des décimales;
• développer pensée logiqueétudiants.

PENDANT LES COURS

JE. Autodétermination à l'activité(Organisation du temps)

- Les mecs! Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous familiariserons avec les problèmes résolus à l'aide de proportions.

II. Mise à jour des connaissances et résolution des difficultés dans les activités

2.1. travail oral (3 minutes)

- Trouvez le sens des expressions et découvrez le mot crypté dans les réponses.

14 - s; 0,1 - et ; 7 - l; 0,2 - un ; 17 - dans; 25 - à

- Le mot est sorti - force. Bien joué!
- La devise de notre leçon d'aujourd'hui : Le pouvoir est dans la connaissance ! Je cherche - donc j'apprends !
- Faites une proportion des nombres obtenus. (14:7=0.2:0.1 etc...)

2.2. Considérez la relation entre les quantités connues (7 minutes)

- le chemin parcouru par la voiture à vitesse constante, et le temps de son déplacement : S = v t( avec une augmentation de la vitesse (temps), le chemin augmente);
- la vitesse de la voiture et le temps passé sur la route : v=S:t(avec une augmentation du temps pour parcourir le chemin, la vitesse diminue);
– le coût des biens achetés à un prix et sa quantité : C \u003d a n (avec une augmentation (diminution) du prix, le coût d'achat augmente (diminue);
- le prix du produit et sa quantité : a \u003d C : n (avec une augmentation de la quantité, le prix diminue)
- l'aire du rectangle et sa longueur (largeur): S = a b (avec une augmentation de la longueur (largeur), l'aire augmente;
- la longueur du rectangle et la largeur : a = S : b (avec une augmentation de la longueur, la largeur diminue ;
- le nombre de travailleurs effectuant un travail avec la même productivité du travail et le temps nécessaire pour effectuer ce travail: t \u003d A: n (avec une augmentation du nombre de travailleurs, le temps consacré à l'exécution du travail diminue), etc.

Nous avons obtenu des dépendances dans lesquelles, avec une augmentation d'une valeur de plusieurs fois, une autre augmente immédiatement du même montant (indiqué par des flèches pour des exemples) et des dépendances dans lesquelles, avec une augmentation d'une valeur plusieurs fois, la deuxième valeur diminue de le même nombre de fois.
Ces relations sont appelées proportions directes et inverses.
Dépendance directement proportionnelle- une dépendance dans laquelle avec une augmentation (diminution) d'une valeur plusieurs fois, la deuxième valeur augmente (diminue) du même montant.
Relation proportionnelle inverse- une dépendance dans laquelle avec une augmentation (diminution) d'une valeur plusieurs fois, la deuxième valeur diminue (augmente) du même montant.

III. Énoncé de la tâche d'apprentissage

Quel est le problème auquel nous sommes confrontés ? (Apprendre à distinguer les relations directes des relations inverses)
- Ce - but notre leçon. Formulez maintenant sujet cours. (Proportionnalité directe et inverse).
- Bien joué! Écrivez le sujet de la leçon dans vos cahiers. (Le professeur écrit le sujet au tableau.)

IV. "Découverte" de nouvelles connaissances(10 minutes)

Analysons les problèmes numéro 199.

1. L'imprimante imprime 27 pages en 4,5 minutes. Combien de temps faudra-t-il pour imprimer 300 pages ?

27 pages - 4,5 min.
300 pages - x ?

2. Il y a 48 paquets de thé dans une boîte, 250 g chacun. Combien de paquets de 150g sortiront de ce thé ?

48 paquets - 250 g.
X? - 150 g.

3. La voiture a parcouru 310 km, après avoir dépensé 25 litres d'essence. Quelle distance peut parcourir une voiture avec un réservoir plein de 40 litres ?

310 km - 25 litres
X? – 40 litres

4. L'un des pignons d'embrayage a 32 dents et l'autre en a 40. Combien de tours le deuxième pignon fera-t-il tandis que le premier fera 215 tours ?

32 dents - 315 tr/min
40 dents - x ?

Pour établir une proportion, un sens des flèches est nécessaire ; pour cela, en proportion inverse, un rapport est remplacé par l'inverse.

Au tableau, les élèves trouvent la valeur des quantités, sur le terrain, les élèves résolvent un problème de leur choix.

– Formuler une règle pour résoudre des problèmes de proportionnalité directe et inverse.

Un tableau apparaît sur le plateau :

v. Fixation primaire dans le discours extérieur(10 minutes)

Tâches sur les feuilles :

1. A partir de 21 kg de graines de coton, 5,1 kg d'huile ont été obtenus. Quelle quantité d'huile sera obtenue à partir de 7 kg de graines de coton ?
2. Pour la construction du stade, 5 bulldozers ont déblayé le site en 210 minutes. Combien de temps faudrait-il à 7 bulldozers pour nettoyer cette zone ?

VI. Travail indépendant avec autotest selon la norme(5 minutes)

Deux étudiants complètent seuls les devoirs n ° 225 sur des tableaux cachés et les autres sur des cahiers. Ensuite, ils vérifient le travail selon l'algorithme et le comparent avec la solution au tableau. Les erreurs sont corrigées, leurs causes sont clarifiées. Si la tâche est terminée, à droite, puis à côté des élèves, mettez un signe «+» pour eux-mêmes.
Les étudiants qui font des erreurs dans un travail indépendant peuvent faire appel à des consultants.

VII. Inclusion dans le système de connaissances et répétition№ 271, № 270.

Six personnes travaillent au tableau noir. Après 3-4 minutes, les élèves qui ont travaillé au tableau présentent leurs solutions, et les autres vérifient les tâches et participent à leur discussion.

VIII. Réflexion de l'activité (le résultat de la leçon)

- Qu'avez-vous appris de nouveau pendant la leçon ?
- Qu'avez-vous répété ?
Quel est l'algorithme pour résoudre les problèmes de proportion ?
Avons-nous atteint notre objectif ?
- Comment évaluez-vous votre travail ?

Types de dépendance

Pensez à recharger la batterie. Comme première valeur, prenons le temps qu'il faut pour charger. La deuxième valeur est le temps pendant lequel il fonctionnera après la charge. Plus la batterie est chargée longtemps, plus elle durera longtemps. Le processus se poursuivra jusqu'à ce que la batterie soit complètement chargée.

La dépendance de la durée de vie de la batterie au temps de charge

Remarque 1

Cette dépendance est appelée droit:

Lorsqu'une valeur augmente, l'autre augmente également. Lorsqu'une valeur diminue, l'autre valeur diminue également.

Prenons un autre exemple.

Plus l'élève lit de livres, moins il fera d'erreurs dans la dictée. Ou plus vous montez haut dans les montagnes, plus la pression atmosphérique sera basse.

Remarque 2

Cette dépendance est appelée inverser:

Lorsqu'une valeur augmente, l'autre diminue. Lorsqu'une valeur diminue, l'autre valeur augmente.

Ainsi, dans le cas dépendance directe les deux quantités changent de la même manière (les deux augmentent ou diminuent), et dans le cas relation inverse- inverse (l'un augmente et l'autre diminue, ou inversement).

Détermination des dépendances entre les quantités

Exemple 1

Le temps qu'il faut pour rendre visite à un ami est de 20$ minutes. Avec une augmentation de la vitesse (de la première valeur) de $2$ fois, nous verrons comment le temps (deuxième valeur) qui sera passé sur le chemin vers un ami changera.

Évidemment, le temps diminuera de $2$ fois.

Remarque 3

Cette dépendance est appelée proportionnel:

Combien de fois une valeur change, combien de fois la seconde changera.

Exemple 2

Pour une miche de pain à 2 $ dans un magasin, il faut payer 80 roubles. Si vous devez acheter des miches de pain de 4 $ (la quantité de pain augmente de 2 $ fois), combien devrez-vous payer de plus ?

Évidemment, le coût augmentera également de 2 $ fois. Nous avons un exemple de dépendance proportionnelle.

Dans les deux exemples, les dépendances proportionnelles ont été considérées. Mais dans l'exemple avec des miches de pain, les valeurs changent dans un sens, donc la dépendance est droit. Et dans l'exemple avec un voyage chez un ami, la relation entre la vitesse et le temps est inverser. Ainsi, il y a relation directement proportionnelle Et relation inversement proportionnelle.

Proportionnalité directe

Considérons des quantités proportionnelles de 2$ : le nombre de miches de pain et leur coût. Supposons que des miches de pain à 2 $ coûtent 80 $ roubles. Avec une augmentation du nombre de rouleaux de 4$ fois (8$ rouleaux), leur coût total sera de 320$ roubles.

Le rapport du nombre de rouleaux : $\frac(8)(2)=4$.

Ratio de coût du rouleau : $\frac(320)(80)=4$.

Comme vous pouvez le voir, ces ratios sont égaux entre eux :

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Définition 1

L'égalité de deux relations s'appelle proportion.

Avec une relation directement proportionnelle, un rapport est obtenu lorsque le changement des première et deuxième valeurs est le même:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Définition 2

Les deux quantités sont appelées directement proportionnel si, lors de la modification (augmentation ou diminution) de l'une d'entre elles, l'autre valeur change (augmente ou diminue en conséquence) de la même valeur.

Exemple 3

La voiture a parcouru 180 $ km en 2 $ heures. Trouvez le temps qu'il lui faut pour parcourir 2$ fois la distance avec la même vitesse.

Solution.

Le temps est directement proportionnel à la distance :

$t=\frac(S)(v)$.

Combien de fois la distance augmentera, à vitesse constante, le temps augmentera du même montant :

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

La voiture a parcouru 180 $ km - en l'espace de 2 $ heure

La voiture parcourt $180 \cdot 2=360$ km - en $x$ heures

Plus la voiture parcourt de distance, plus cela prendra de temps. Par conséquent, la relation entre les quantités est directement proportionnelle.

Faisons une proportion:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Répondre: La voiture aura besoin de 4$ heures.

Proportionnalité inverse

Définition 3

Solution.

Le temps est inversement proportionnel à la vitesse :

$t=\frac(S)(v)$.

Combien de fois la vitesse augmente, avec le même chemin, le temps diminue de la même quantité :

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Écrivons la condition du problème sous forme de tableau :

La voiture a parcouru 60 $ km - en 6 $ heures

Une voiture parcourt 120 $ km - en un temps de $x$ heures

Plus la voiture est rapide, moins cela prendra de temps. Par conséquent, la relation entre les quantités est inversement proportionnelle.

Faisons une proportion.

Parce que proportionnalité est inverse, on tourne le second rapport en proportion :

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Répondre: La voiture aura besoin de 3$ heures.

Aujourd'hui, nous allons voir quelles quantités sont appelées inversement proportionnelles, à quoi ressemble le graphique de proportionnalité inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors des murs de l'école.

Des proportions si différentes

Proportionnalité Nommez deux quantités qui dépendent l'une de l'autre.

La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, la relation entre les quantités décrit la proportionnalité directe et inverse.

Proportionnalité directe- c'est une telle relation entre deux quantités, dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Celles. leur attitude ne change pas.

Par exemple, plus vous faites d'efforts pour vous préparer aux examens, plus vos notes seront élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus il est difficile de porter votre sac à dos. Celles. la quantité d'efforts consacrés à la préparation des examens est directement proportionnelle aux notes reçues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnel à son poids.

Proportionnalité inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une diminution ou une augmentation de plusieurs fois d'une valeur indépendante (on l'appelle un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c'est-à-dire de la même quantité) d'une valeur dépendante (on l'appelle un une fonction).

Illustrer exemple simple. Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et le montant d'argent dans votre portefeuille sont inversement liés. Celles. plus vous achetez de pommes, moins il vous reste d'argent.

Fonction et son graphique

La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k/x. Dans lequel X≠ 0 et k≠ 0.

Cette fonction a les propriétés suivantes :

1. Son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels sauf X = 0. ré(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. La gamme est tous les nombres réels sauf y= 0. E(y) : (-∞; 0) tu (0; +∞) .
3. Il n'a pas de valeurs maximales ou minimales.
4. Est impaire et son graphe est symétrique par rapport à l'origine.
5. Non périodique.
6. Son graphique ne croise pas les axes de coordonnées.
7. N'a pas de zéros.
8. Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement sur chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Plus l'argument augmente ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞; 0), et les valeurs positives sont dans l'intervalle (0; +∞). Lorsque l'argument est décroissant ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Le graphique de la fonction de proportionnalité inverse s'appelle une hyperbole. Représenté comme suit :

Problèmes proportionnels inverses

Pour le rendre plus clair, regardons quelques tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et leur solution vous aidera à visualiser ce qu'est la proportion inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie de tous les jours.

Tâche numéro 1. La voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour arriver à destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s'il se déplace à deux fois la vitesse ?

Nous pouvons commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D'accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps que la voiture passe sur la route et la vitesse à laquelle elle se déplace sont inversement proportionnels.

Pour vérifier cela, trouvons V 2, qui, par condition, est 2 fois plus élevé: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Maintenant, il n'est pas difficile de trouver le temps t 2 qui nous est demandé selon l'état du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.

Comme vous pouvez le constater, temps de trajet et vitesse sont en effet inversement proportionnels : avec une vitesse 2 fois supérieure à celle d'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.

La solution de ce problème peut aussi s'écrire sous forme de proportion. Pourquoi créons-nous un diagramme comme celui-ci :

↓ 60 km/h – 6h

↓120 km/h – x h

Les flèches indiquent une relation inverse. Et ils suggèrent également que lors de l'établissement de la proportion, le côté droit du dossier doit être retourné: 60/120 \u003d x / 6. Où obtenons-nous x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 heures.

Tâche numéro 2. L'atelier emploie 6 ouvriers qui font face à une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il aux travailleurs restants pour effectuer la même quantité de travail ?

Nous écrivons les conditions du problème sous la forme d'un diagramme visuel:

↓ 6 travailleurs - 4 heures

↓ 3 travailleurs - x h

Écrivons ceci sous forme de proportion : 6/3 = x/4. Et nous obtenons x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 heures S'il y a 2 fois moins de travailleurs, les autres passeront 2 fois plus de temps pour terminer tout le travail.

Tâche numéro 3. Deux tuyaux mènent à la piscine. Par un tuyau, l'eau entre à un débit de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Grâce à un autre tuyau, la piscine sera remplie en 75 minutes. À quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?

Pour commencer, nous ramènerons toutes les quantités qui nous sont données selon l'état du problème aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, nous exprimons le taux de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l/min.

Puisqu'il découle de la condition que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit d'arrivée d'eau est plus faible. Sur le visage de la proportion inverse. Exprimons la vitesse qui nous est inconnue en fonction de x et établissons le schéma suivant :

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Et puis on fera une proportion : 120/x \u003d 75/45, d'où x \u003d 120*45/75 \u003d 72 l/min.

Dans le problème, le taux de remplissage de la piscine s'exprime en litres par seconde, apportons notre réponse sous la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.

Tâche numéro 4. Les cartes de visite sont imprimées dans une petite imprimerie privée. Un employé de l'imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille à temps plein - 8 heures. S'il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite par heure, combien de temps avant pourrait-il rentrer chez lui ?

Nous allons de manière éprouvée et établissons un schéma en fonction de l'état du problème, en désignant la valeur souhaitée par x:

↓ 42 cartes de visite/h – 8h

↓ 48 cartes de visite/h – xh

Devant nous se trouve une relation inversement proportionnelle : combien de fois plus de cartes de visite un employé d'une imprimerie imprime par heure, le même temps qu'il lui faudra pour terminer le même travail. Sachant cela, on peut faire une proportion :

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 heures.

Ainsi, ayant terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.

Conclusion

Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que maintenant vous les considérez également comme tels. Et surtout, la connaissance de la dépendance inversement proportionnelle des quantités peut vraiment vous être utile plus d'une fois.

Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même alors, quand vous allez partir en voyage, faire du shopping, décider de gagner un peu d'argent pendant les vacances, etc.

Dites-nous dans les commentaires quels exemples de proportionnalité inverse et directe vous remarquez autour de vous. Que ce soit un jeu. Vous verrez comme c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article dans les réseaux sociaux afin que vos amis et camarades de classe puissent également jouer.

site, avec copie complète ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.

>>Math : La proportionnalité directe et son graphique

La proportionnalité directe et son graphique

Parmi les fonctions linéaires y = kx + m, le cas où m = 0 est mis en évidence ; prend dans ce cas la forme y = kx et est appelée proportionnalité directe. Ce nom s'explique par le fait que deux grandeurs y et x sont dites directement proportionnelles si leur rapport est égal à un
un nombre autre que zéro. Ici , ce nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

De nombreuses situations réelles sont modélisées à l'aide de la proportionnalité directe.

Par exemple, le trajet s et le temps t à vitesse constante, 20 km/h, sont liés par la dépendance s = 20t ; c'est une proportionnalité directe, avec k = 20.

Un autre exemple:

le coût y et le nombre x de miches de pain au prix de 5 roubles. par pain sont liés par la dépendance y = 5x ; c'est une proportionnalité directe, où k = 5.

Preuve. Faisons-le en deux étapes.
1. y \u003d kx - cas particulier fonction linéaire, et le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite ; notons-le par I.
2. La paire x \u003d 0, y \u003d 0 satisfait l'équation y - kx, et donc le point (0; 0) appartient au graphique de l'équation y \u003d kx, c'est-à-dire la ligne I.

Par conséquent, la droite I passe par l'origine. Le théorème a été prouvé.

Il faut pouvoir passer non seulement du modèle analytique y \u003d kx au modèle géométrique (graphe de proportionnalité directe), mais aussi du modèle géométrique des modèlesà analytique. Considérons, par exemple, une droite sur le plan de coordonnées xOy représenté sur la figure 50. C'est un graphique de proportionnalité directe, il vous suffit de trouver la valeur du coefficient k. Depuis y, il suffit de prendre n'importe quel point de la droite et de trouver le rapport de l'ordonnée de ce point à son abscisse. La ligne droite passe par le point P (3; 6), et pour ce point nous avons: Par conséquent, k = 2, et donc la ligne droite donnée sert de graphique de proportionnalité directe y \u003d 2x.

En conséquence, le coefficient k dans la notation de la fonction linéaire y \u003d kx + m est également appelé pente. Si k>0, alors la ligne y \u003d kx + m forme un angle aigu avec la direction positive de l'axe x (Fig. 49, a), et si k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Planification calendaire-thématique en mathématiques, vidéo en mathématiques en ligne, Math à l'école télécharger

A. V. Pogorelov, Géométrie pour les élèves de la 7e à la 11e année, Manuel pour les établissements d'enseignement

Contenu de la leçon résumé de la leçon support cadre leçon présentation méthodes accélératrices technologies interactives Entraine toi tâches et exercices auto-examen ateliers, formations, cas, quêtes devoirs questions de discussion questions rhétoriques des élèves Illustrations audio, clips vidéo et multimédia photos, images graphiques, tableaux, schémas humour, anecdotes, blagues, BD, paraboles, dictons, mots croisés, citations Modules complémentaires résumés articles puces pour berceaux curieux manuels scolaires glossaire de base et supplémentaire autres Améliorer les manuels et les courscorriger les erreurs dans le manuel mise à jour d'un fragment dans le manuel éléments d'innovation dans la leçon remplacement des connaissances obsolètes par de nouvelles Uniquement pour les enseignants leçons parfaites plan de calendrier pour un an des lignes directrices programmes de discussion Leçons intégrées