Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes solution détaillée. Intégrale définie

Tache 1(sur le calcul de l'aire d'un trapèze curviligne).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, une figure est donnée (voir figure), délimitée par l'axe x, des lignes droites x \u003d a, x \u003d b (un trapèze curviligne. Il est nécessaire de calculer l'aire de \ u200b\u200ble trapèze curviligne.
La solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires des polygones et certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la zone souhaitée, en arguant de la manière suivante.

Séparons le segment [a ; b] (base d'un trapèze curviligne) en n parties égales ; cette partition est réalisable à l'aide des points x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Traçons des lignes passant par ces points parallèles à l'axe des ordonnées. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire du trapèze entier est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérez séparément la colonne k, c'est-à-dire trapèze curviligne dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, où $\Delta x_k $ est la longueur du segment ; il est naturel de considérer le produit compilé comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si maintenant on fait de même avec toutes les autres colonnes, alors on arrive au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure étagée composée de n rectangles (voir figure) :
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous considérons que a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - longueur de segment , $\Delta x_1 $ - longueur de segment , etc ; tandis que, comme convenu ci-dessus, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Donc, $S \approx S_n $, et cette égalité approchée est d'autant plus précise que n est grand.
Par définition, on suppose que l'aire souhaitée du trapèze curviligne est égale à la limite de la suite (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tâche 2(à propos du déplacement d'un point)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le déplacement d'un point sur l'intervalle de temps [a ; b].
La solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(b-a). Pour un mouvement inégal, on doit utiliser les mêmes idées sur lesquelles la solution du problème précédent était basée.
1) Diviser l'intervalle de temps [a ; b] en n parties égales.
2) Considérez un intervalle de temps et supposez que pendant cet intervalle de temps la vitesse était constante, comme au temps t k . Donc, nous supposons que v = v(t k).
3) Trouver la valeur approximative du déplacement du point sur l'intervalle de temps , cette valeur approximative sera notée s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
$s \environ S_n $ où
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Le déplacement requis est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions de divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes de divers domaines de la science et de la technologie conduisent au même modèle dans le processus de solution. Ainsi, ce modèle mathématique devrait être spécialement étudié.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), qui est continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela a été supposé dans les problèmes considérés) sur le segment [ un; b] :
1) diviser le segment [a ; b] en n parties égales ;
2) somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une intégrale définie de la fonction y = f(x) sur le segment [a ; b] et sont notés comme ceci :
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Les nombres a et b sont appelés les limites d'intégration (inférieur et supérieur, respectivement).

Revenons aux tâches décrites ci-dessus. La définition de l'aire donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ici S est l'aire du trapèze curviligne représenté sur la figure ci-dessus. C'est quoi sens géométrique de l'intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur l'intervalle de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Newton - formule de Leibniz

Pour commencer, répondons à la question : quelle est la relation entre une intégrale définie et une primitive ?

La réponse se trouve dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant le long d'une droite avec une vitesse v = v(t) sur un intervalle de temps de t = a à t = b et est calculé par la formule
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

D'autre part, la coordonnée du point mobile est la primitive de la vitesse - notons-la s(t); donc le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence, nous obtenons :
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours de l'analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur le segment [a ; b], alors la formule
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
où F(x) est la primitive de f(x).

Cette formule est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation $\left. F(x)\right|_a^b $ (on l'appelle parfois double substitution) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

En calculant une intégrale définie, trouvez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, on peut obtenir deux propriétés d'une intégrale définie.

Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propriété 2. Le facteur constant peut être extrait du signe intégral :
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calcul des aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer l'aire non seulement des trapèzes curvilignes, mais aussi des figures plates de plus de type complexe, tel que celui représenté sur la figure. La figure P est bornée par des droites x = a, x = b et des graphes de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a ; b] l'inégalité $g(x) \leq f(x) $ est vérifiée. Pour calculer l'aire S d'une telle figure, on procédera comme suit :
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Ainsi, l'aire S de la figure délimitée par les droites x = a, x = b et les graphes des fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x de le segment [a ; b] l'inégalité $g(x) \leq f(x) $ est satisfaite, est calculée par la formule
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Passons maintenant à l'examen des applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons une tâche typique et la plus courante. calculer l'aire d'une figure plate à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, tous ceux qui cherchent un sens dans les mathématiques supérieures - puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un chalet d'été avec des fonctions élémentaires et trouver sa superficie à l'aide d'une certaine intégrale.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls doivent d'abord lire la leçon Pas.

2) Savoir appliquer la formule de Newton-Leibniz et calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales chaleureuses avec certaines intégrales sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours la construction d'un dessin, c'est pourquoi question d'actualité seront également vos connaissances et vos compétences en dessin. Au minimum, il faut être capable de construire une droite, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze curviligne. Un trapèze curviligne est figure plate, borné par le graphe d'une fonction y = F(X), axe BŒUF et lignes X = un; X = b.

L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. Sur la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'en dire un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est la AIRE. C'est-à-dire, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure. Considérons l'intégrale définie

Intégrande

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si désiré), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égal à l'aire trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s'agit d'un énoncé de tâche typique. Le point le plus important de la décision est la construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROIT.

Lors de la construction d'un plan, je recommande l'ordre suivant : première il est préférable de construire toutes les lignes (le cas échéant) et seulement après- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. La technique de construction ponctuelle peut être trouvée dans matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile en relation avec notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Faisons un dessin (notez que l'équation y= 0 spécifie l'axe BŒUF):

On ne fera pas hachurer le trapèze curviligne, on voit bien ici quelle zone Dans la question. La solution continue ainsi :

Sur l'intervalle [-2 ; 1] graphique de fonction y = X 2 + 2 situés sur l'axeBŒUF, c'est pourquoi:

Réponse: .

Qui a du mal à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

se référer à la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions. Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. À ce cas«À l'œil nu», nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous avions, disons, la réponse: 20 unités carrées, alors, évidemment, une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au plus une douzaine. Si la réponse s'est avérée négative, la tâche a également été résolue de manière incorrecte.

Exemple 2

Calculer l'aire de la figure délimité par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze curviligne est situé sous essieuBŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y = ex, X= 1 et axes de coordonnées.

Solution : Faisons un dessin :

Si un trapèze curviligne complètement sous l'essieu BŒUF , alors son aire peut être trouvée par la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule que nous venons de considérer.

En pratique, le plus souvent, la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur et, par conséquent, à partir des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes y = 2X – X 2 , y = -X.

Solution : Vous devez d'abord faire un dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes d'aire, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouver les points d'intersection de la parabole y = 2X – X 2 et droit y = -X. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

Donc la limite inférieure d'intégration un= 0, limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, alors que les limites de l'intégration se découvrent comme « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou si la construction filetée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Faisons un dessin :

Nous répétons qu'en construction ponctuelle, les limites d'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ un; b] une fonction continue F(X) Meilleur que ou égal une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée par la formule:

Ici, il n'est plus nécessaire de penser où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il importe quel graphique est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au-dessus de la droite, et donc de 2 X – X 2 doit être soustrait - X.

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole y = 2X – X 2 haut et droit y = -X par le bas.

Sur la tranche 2 X – X 2 ≥ -X. Selon la formule correspondante :

Réponse: .

En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n ° 3) est cas particulier formules

Depuis l'axe BŒUF est donné par l'équation y= 0, et le graphique de la fonction g(X) est situé sous l'axe BŒUF, alors

Et maintenant quelques exemples pour une solution indépendante

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Au cours de la résolution de problèmes de calcul de l'aire à l'aide d'une certaine intégrale, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais, par inattention, ... trouvé la zone de la mauvaise figure.

Exemple 7

Dessinons d'abord :

La figure dont nous devons trouver la surface est ombrée en bleu.(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais en pratique, par inattention, ils décident souvent qu'ils doivent trouver l'aire de la figure qui est ombrée en vert!

Cet exemple est également utile en ce sens que l'aire de la figure est calculée à l'aide de deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1 ; 1] au-dessus de l'essieu BŒUF le graphique est droit y = X+1;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe BŒUF le graphe de l'hyperbole est situé y = (2/X).

Il est bien évident que les domaines peuvent (et doivent) être ajoutés, donc :

Réponse:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Présentons les équations sous la forme "école"

et faites le dessin au trait:

On peut voir sur le dessin que notre limite supérieure est "bonne": b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ? Il est clair que ce n'est pas un entier, mais quoi ?

Peut-être, un=(-1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une précision parfaite, il se pourrait bien que un=(-1/4). Et si nous n'avions pas du tout réussi à tracer le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez dépenser temps additionnel et affiner analytiquement les limites de l'intégration.

Trouver les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, on résout l'équation :

Par conséquent, un=(-1/3).

La solution supplémentaire est triviale. L'essentiel est de ne pas se perdre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus faciles. Sur le segment

, ,

selon la formule correspondante :

Réponse:

En conclusion de la leçon, nous considérerons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution : Dessinez cette figure dans le dessin.

Pour le dessin point par point, vous devez savoir apparence sinusoïdes. En général, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs du sinus. Elles se trouvent dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques. Dans certains cas (par exemple, dans ce cas), il est permis de construire un dessin schématique, sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être affichés en principe correctement.

Il n'y a aucun problème avec les limites d'intégration ici, elles découlent directement de la condition :

- "x" passe de zéro à "pi". Nous prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphe de la fonction y= péché 3 X situé au-dessus de l'axe BŒUF, c'est pourquoi:

(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés en puissances impaires dans la leçon Intégrales de fonctions trigonométriques. Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique de base sous la forme

(3) Changeons la variable t= cos X, alors : situé au-dessus de l'axe , donc :

Noter: notez comment l'intégrale de la tangente dans le cube est prise, ici la conséquence de l'identité trigonométrique de base est utilisée

un)

La solution.

D'abord et moment crucial solutions - construction d'un dessin.

Faisons un dessin :

L'équation y=0 définit l'axe des x ;

- x=-2 et x=1 - droite, parallèle à l'axe UO ;

- y \u003d x 2 +2 - une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, avec un sommet au point (0;2).

Commentaire. Pour construire une parabole, il suffit de trouver les points de son intersection avec les axes de coordonnées, c'est-à-dire en mettant x=0 trouver l'intersection avec l'axe UO et décider de la bonne équation quadratique, trouver l'intersection avec l'axe Oh .

Le sommet d'une parabole peut être trouvé à l'aide des formules :

Vous pouvez tracer des lignes et point par point.

Sur l'intervalle [-2;1] le graphe de la fonction y=x 2 +2 situé sur l'axe Bœuf , c'est pourquoi:

Réponse: S \u003d 9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous avions, disons, la réponse: 20 unités carrées, alors, évidemment, une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent clairement pas dans le chiffre en question, au plus une douzaine. Si la réponse s'est avérée négative, la tâche a également été résolue de manière incorrecte.

Que faire si le trapèze curviligne est situé sous essieu Oh?

b) Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=-e x , x=1 et axes de coordonnées.

La solution.

Faisons un dessin.

Si un trapèze curviligne complètement sous l'essieu Oh , alors son aire peut être trouvée par la formule :

Réponse: S=(e-1) unité carrée" 1,72 unité carrée

Attention! Ne confondez pas les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

En pratique, le plus souvent, la figure est située à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur.

Avec) Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

La solution.

Vous devez d'abord faire un dessin. De manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes d'aire, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouver les points d'intersection de la parabole et directe Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique.

On résout l'équation :

Donc la limite inférieure d'intégration un=0 , la limite supérieure d'intégration b=3 .

Nous construisons les droites données : 1. Parabole - sommet au point (1;1) ; intersection d'axe Oh - point(0;0) et (0;2). 2. Ligne droite - la bissectrice des 2e et 4e angles de coordonnées. Et maintenant Attention ! Si sur le segment [ un B] une fonction continue f(x) supérieur ou égal à une fonction continue g(x), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée par la formule: .

Et peu importe où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il est important de savoir quel graphique est SUPÉRIEUR (par rapport à un autre graphique) et lequel est INFÉRIEUR. Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au-dessus de la droite, il faut donc soustraire de

Il est possible de construire des lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration sont découvertes comme « par elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou si la construction filetée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

Le chiffre souhaité est limité par une parabole d'en haut et une droite d'en bas.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Réponse: S \u003d Unités de 4,5 m²

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

Passons maintenant à l'examen des applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons une tâche typique et la plus courante. Comment utiliser une intégrale définie pour calculer l'aire d'une figure plane. Enfin, ceux qui cherchent un sens dans les mathématiques supérieures - puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un chalet d'été avec des fonctions élémentaires et trouver sa superficie à l'aide d'une certaine intégrale.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls doivent d'abord lire la leçon Pas.

En fait, pour trouver l'aire d'une figure, vous n'avez pas besoin d'autant de connaissances sur l'intégrale indéfinie et définie. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours la construction d'un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus pertinent. A cet égard, il est utile de rafraîchir les graphiques des principales fonctions élémentaires en mémoire, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (beaucoup de besoin) avec l'aide de matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphes.

En fait, tout le monde connaît le problème de la recherche de l'aire en utilisant une intégrale définie depuis l'école, et nous allons prendre un peu d'avance sur programme scolaire. Cet article n'existe peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème survient dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant est tourmenté par une tour détestée avec enthousiasme en maîtrisant un cours de mathématiques supérieures.

Les matériaux de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze curviligne.

Trapèze curviligne est appelée une figure plate délimitée par l'axe , les droites , et le graphe d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que cette figure soit située pas moins abscisse:

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. Sur la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est la AIRE.

C'est-à-dire, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie . L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au-dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent compléter le dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s'agit d'un énoncé de tâche typique. Le premier et le plus important moment de la décision est la construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROIT.

Lors de la construction d'un plan, je recommande l'ordre suivant : première il est préférable de construire toutes les lignes (le cas échéant) et seulement après- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Les graphes de fonctions sont plus rentables à construire point par point, avec la technique de construction ponctuelle peut être trouvé dans le document de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile en relation avec notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Faisons un dessin (notez que l'équation définit l'axe):

Je ne ferai pas hachurer un trapèze curviligne, on voit bien de quel domaine on parle ici. La solution continue ainsi :

Sur le segment, le graphe de la fonction est situé sur l'axe, c'est pourquoi:

Réponse:

Qui a du mal à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , se référer à la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous avions, disons, la réponse: 20 unités carrées, alors, évidemment, une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au plus une douzaine. Si la réponse s'est avérée négative, la tâche a également été résolue de manière incorrecte.

Exemple 2

Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , , et l'axe

Ceci est un exemple à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze curviligne est situé sous essieu ?

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

La solution: Faisons un dessin :

Si le trapèze curviligne est situé sous essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée par la formule :
Dans ce cas:

Attention! Ne confondez pas les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes , .

La solution: Vous devez d'abord terminer le dessin. De manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes d'aire, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

Par conséquent, la limite inférieure d'intégration , la limite supérieure d'intégration .
Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode si possible..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se découvrent comme « d'elles-mêmes ». La technique de construction point par point de divers graphiques est expliquée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou si la construction filetée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Faisons un dessin :

Je répète qu'avec la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur l'intervalle Meilleur que ou égal une fonction continue, puis l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et des lignes droites, peut être trouvée par la formule :

Ici, il n'est plus nécessaire de penser à l'emplacement de la figure - au-dessus de l'axe ou au-dessous de l'axe, et, grosso modo, il importe quel graphique est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au-dessus de la droite, il faut donc soustraire de

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole d'en haut et une droite d'en bas.
Sur le segment , selon la formule correspondante :

Réponse:

En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n ° 3) est un cas particulier de la formule . Puisque l'axe est donné par l'équation , et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axes, puis

Et maintenant quelques exemples pour une solution indépendante

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .

Au cours de la résolution de problèmes de calcul de l'aire à l'aide d'une certaine intégrale, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par inattention ... trouvé la zone de la mauvaise figure, c'est ainsi que votre obéissant serviteur a merdé plusieurs fois. Voici un cas réel :

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

La solution: Faisons d'abord un dessin :

…Eh, le dessin est sorti de merde, mais tout semble lisible.

La figure dont nous devons trouver la surface est ombrée en bleu.(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais en pratique, à cause de l'inattention, un "pépin" se produit souvent, qu'il faut trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert!

Cet exemple est également utile en ce sens que l'aire de la figure est calculée à l'aide de deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe, il y a un graphique en ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique hyperbole.

Il est bien évident que les domaines peuvent (et doivent) être ajoutés, donc :

Réponse:

Passons à une autre tâche significative.

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous une forme "école", et effectuons un dessin point par point :

On peut voir sur le dessin que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ? Il est clair que ce n'est pas un entier, mais quoi ? Peut-être ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une précision parfaite, cela pourrait bien s'avérer. Ou racine. Et si nous n'avions pas du tout réussi à tracer le graphique ?

Dans de tels cas, il faut passer plus de temps et affiner analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection de la droite et de la parabole.
Pour ce faire, on résout l'équation :

,

Vraiment, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes, les calculs ici ne sont pas les plus faciles.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Réponse:

Eh bien, en conclusion de la leçon, nous examinerons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire de la figure délimitée par des lignes , ,

La solution: Dessinez cette figure dans le dessin.

Merde, j'ai oublié de signer le planning, et de refaire la photo, désolé, pas hotz. Pas un dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)

Pour une construction point par point, il est nécessaire de connaître l'aspect de la sinusoïde (et en général il est utile de connaître graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs de sinus, ils peuvent être trouvés dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est permis de construire un dessin schématique, sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être affichés en principe correctement.

Il n'y a pas de problème avec les limites d'intégration ici, elles découlent directement de la condition : - "x" passe de zéro à "pi". Nous prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphe de la fonction est situé au-dessus de l'axe, donc :

Dans cet article, vous apprendrez à trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d'un tel problème au lycée, alors que l'étude de certaines intégrales vient d'être achevée et qu'il est temps de commencer l'interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales:

Capacité à dessiner correctement des dessins;
Capacité à résoudre une intégrale définie à l'aide de la formule bien connue de Newton-Leibniz ;
La capacité de "voir" une solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre comment dans tel ou tel cas il sera plus commode de réaliser l'intégration? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où sans calculs corrects ?) Cela inclut de comprendre comment résoudre cet autre type d'intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur un morceau de papier dans une cage, à grande échelle. On signe au crayon au-dessus de chaque graphe le nom de cette fonction. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour la commodité des calculs ultérieurs. Après avoir reçu le graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Cependant, il arrive que les valeurs des bornes soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement fixées, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques les uns avec les autres, et voyons si notre solution graphique coïncide avec la solution analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la localisation des graphiques de fonctions, il existe différentes approches pour trouver l'aire de la figure. Considérons divers exemples de recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze curviligne. Qu'est-ce qu'un trapèze curviligne ? C'est une figure plate délimitée par l'axe des abscisses (y=0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de un avant de b. Dans le même temps, ce chiffre est non négatif et n'est pas situé plus bas que l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quelles lignes définissent la figure? Nous avons une parabole y = x2 - 3x + 3, qui est situé au-dessus de l'axe OH, il est non négatif, car tous les points de cette parabole sont positifs. Ensuite, étant donné les droites x = 1 et x = 3 qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de délimitation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, elle est l'axe des abscisses, ce qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze curviligne, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, le cas a été analysé lorsque le trapèze curviligne est situé au-dessus de l'axe des abscisses. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se trouve sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Comment résoudre un tel problème, nous examinerons plus loin.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Dans cet exemple, nous avons une parabole y=x2+6x+2, qui prend sa source sous l'axe OH, droit x=-4, x=-1, y=0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de la résolution du problème consistant à trouver l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive et que tout est également continu sur l'intervalle [-4; -1] . Que signifie pas positif ? Comme on peut le voir sur la figure, la figure qui se trouve dans le x donné a des coordonnées exclusivement "négatives", ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure en utilisant la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

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Le concept d'intégrale définie

Newton - formule de Leibniz

Calcul des aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

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