Nous continuons à étudier le sujet solution d'équations". Nous nous sommes déjà familiarisés avec les équations linéaires et maintenant nous allons nous familiariser avec équations du second degré.

Tout d'abord, nous discuterons de ce qu'est une équation quadratique, comment elle est écrite sous sa forme générale et donnerons des définitions connexes. Après cela, à l'aide d'exemples, nous analyserons en détail comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Passons ensuite à la résolution des équations complètes, récupérons la formule des racines, familiarisons-nous avec le discriminant de l'équation quadratique et considérons les solutions exemples caractéristiques. Enfin, nous traçons les liens entre les racines et les coefficients.

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Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? Leurs genres

Vous devez d'abord comprendre clairement ce qu'est une équation quadratique. Par conséquent, il est logique de commencer à parler d'équations quadratiques avec la définition d'une équation quadratique, ainsi que les définitions qui s'y rapportent. Après cela, vous pouvez considérer les principaux types d'équations quadratiques : réduites et non réduites, ainsi que les équations complètes et incomplètes.

Définition et exemples d'équations quadratiques

Définition.

Équation quadratique est une équation de la forme une x 2 +b x+c=0, où x est une variable, a , b et c sont des nombres et a est différent de zéro.

Disons tout de suite que les équations quadratiques sont souvent appelées équations du second degré. C'est parce que l'équation quadratique est équation algébrique second degré.

La définition sonore permet de donner des exemples d'équations quadratiques. Donc 2x2 +6x+1=0, 0,2x2 +2,5x+0,03=0, etc. sont des équations quadratiques.

Définition.

Nombres a , b et c sont appelés coefficients de l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, et le coefficient a est appelé le premier, ou senior, ou coefficient en x 2, b est le deuxième coefficient, ou coefficient en x, et c est un membre libre.

Par exemple, prenons une équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0, ici le premier coefficient est 5, le second coefficient est −2, et le terme libre est −3. A noter que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, comme dans l'exemple qui vient d'être donné, alors forme courteécrire une équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0 , et non 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Il convient de noter que lorsque les coefficients a et / ou b sont égaux à 1 ou -1, alors ils ne sont généralement pas explicitement présents dans la notation de l'équation quadratique, ce qui est dû aux particularités de la notation de tel . Par exemple, dans l'équation quadratique y 2 −y+3=0, le coefficient directeur est un et le coefficient en y est −1.

Équations quadratiques réduites et non réduites

Selon la valeur du coefficient directeur, on distingue les équations quadratiques réduites et non réduites. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient directeur est 1 est appelée équation quadratique réduite. Sinon, l'équation quadratique est non réduit.

Selon cette définition, équations quadratiques x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - réduit, dans chacun d'eux le premier coefficient est égal à un. Et 5 x 2 −x−1=0 , etc. - équations quadratiques non réduites, leurs coefficients directeurs sont différents de 1 .

À partir de n'importe quelle équation quadratique non réduite, en divisant ses deux parties par le coefficient directeur, vous pouvez passer à l'équation réduite. Cette action est une transformation équivalente, c'est-à-dire que l'équation quadratique réduite ainsi obtenue a les mêmes racines que l'équation quadratique non réduite d'origine, ou, comme elle, n'a pas de racines.

Prenons un exemple de la façon dont la transition d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite est effectuée.

Exemple.

A partir de l'équation 3 x 2 +12 x−7=0, passer à l'équation quadratique réduite correspondante.

La solution.

Il nous suffit d'effectuer la division des deux parties de l'équation d'origine par le coefficient directeur 3, il est non nul, nous pouvons donc effectuer cette action. On a (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , qui est identique à (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , et ainsi de suite (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , d'où . Nous avons donc obtenu l'équation quadratique réduite, qui est équivalente à celle d'origine.

Réponse:

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Il y a une condition a≠0 dans la définition d'une équation quadratique. Cette condition est nécessaire pour que l'équation a x 2 +b x+c=0 soit exactement carrée, puisqu'avec a=0 elle devient en fait une équation linéaire de la forme b x+c=0 .

Quant aux coefficients b et c, ils peuvent être égaux à zéro, à la fois séparément et ensemble. Dans ces cas, l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition.

L'équation quadratique a x 2 +b x+c=0 est appelée incomplet, si au moins un des coefficients b , c est égal à zéro.

À son tour

Définition.

Équation quadratique complète est une équation dans laquelle tous les coefficients sont différents de zéro.

Ces noms ne sont pas donnés par hasard. Cela ressortira clairement de la discussion suivante.

Si le coefficient b est égal à zéro, alors l'équation quadratique prend la forme a x 2 +0 x+c=0 , et elle est équivalente à l'équation a x 2 +c=0 . Si c=0 , c'est-à-dire que l'équation quadratique a la forme a x 2 +b x+0=0 , alors elle peut être réécrite comme a x 2 +b x=0 . Et avec b=0 et c=0 on obtient l'équation quadratique a·x 2 =0. Les équations résultantes diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs membres gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ou les deux. D'où leur nom - équations quadratiques incomplètes.

Ainsi les équations x 2 +x+1=0 et −2 x 2 −5 x+0,2=0 sont des exemples d'équations quadratiques complètes, et x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Il ressort des informations du paragraphe précédent qu'il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes:

• a x 2 =0 , les coefficients b=0 et c=0 lui correspondent ;
• a x 2 +c=0 quand b=0 ;
• et a x 2 + b x = 0 lorsque c = 0 .

Analysons dans l'ordre comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes de chacun de ces types.

un x 2 \u003d 0

Commençons par résoudre des équations quadratiques incomplètes dans lesquelles les coefficients b et c sont égaux à zéro, c'est-à-dire avec des équations de la forme a x 2 =0. L'équation a·x 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0, qui est obtenue à partir de l'original en divisant ses deux parties par un nombre non nul a. De toute évidence, la racine de l'équation x 2 \u003d 0 est nulle, puisque 0 2 \u003d 0. Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique, en effet, pour tout nombre p non nul, l'inégalité p 2 >0 a lieu, ce qui implique que pour p≠0, l'égalité p 2 =0 n'est jamais atteinte.

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 \u003d 0 a une seule racine x \u003d 0.

A titre d'exemple, nous donnons la solution d'une équation quadratique incomplète −4·x 2 =0. Elle équivaut à l'équation x 2 \u003d 0, sa seule racine est x \u003d 0, par conséquent, l'équation d'origine a une seule racine zéro.

Une solution courte dans ce cas peut être émise de la manière suivante:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

une x 2 +c=0

Considérons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes, dans lesquelles le coefficient b est égal à zéro, et c≠0, c'est-à-dire les équations de la forme a x 2 +c=0. On sait que le transfert d'un terme d'un côté de l'équation à l'autre de signe opposé, ainsi que la division des deux côtés de l'équation par un nombre non nul, donnent une équation équivalente. Par conséquent, les transformations équivalentes suivantes de l'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 peuvent être effectuées :

• déplacer c vers la droite, ce qui donne l'équation a x 2 =−c,
• et divisons ses deux parties par a , nous obtenons .

L'équation résultante nous permet de tirer des conclusions sur ses racines. Selon les valeurs de a et c, la valeur de l'expression peut être négative (par exemple, si a=1 et c=2 , alors ) ou positive, (par exemple, si a=−2 et c=6 , alors ), il n'est pas égal à zéro , car par condition c≠0 . Nous analyserons séparément les cas et .

Si , alors l'équation n'a pas de racine. Cette affirmation découle du fait que le carré de tout nombre est un nombre non négatif. Il s'ensuit que lorsque , alors pour tout nombre p l'égalité ne peut pas être vraie.

Si , alors la situation avec les racines de l'équation est différente. Dans ce cas, si nous rappelons environ, alors la racine de l'équation devient immédiatement évidente, c'est le nombre, puisque. Il est facile de deviner que le nombre est aussi la racine de l'équation , en effet, . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui peut être montré, par exemple, par contradiction. Faisons-le.

Notons les racines juste exprimées de l'équation par x 1 et −x 1 . Supposons que l'équation ait une autre racine x 2 différente des racines indiquées x 1 et −x 1 . On sait que la substitution dans l'équation au lieu de x de ses racines transforme l'équation en une véritable égalité numérique. Pour x 1 et −x 1 nous avons , et pour x 2 nous avons . Les propriétés des égalités numériques nous permettent d'effectuer une soustraction terme à terme des vraies égalités numériques, donc la soustraction des parties correspondantes des égalités donne x 1 2 − x 2 2 =0. Les propriétés des opérations sur les nombres nous permettent de réécrire l'égalité résultante sous la forme (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . On sait que le produit de deux nombres est égal à zéro si et seulement si au moins l'un d'entre eux est égal à zéro. Il résulte donc de l'égalité obtenue que x 1 -x 2 =0 et/ou x 1 +x 2 =0 , ce qui revient au même, x 2 =x 1 et/ou x 2 = -x 1 . On est donc arrivé à une contradiction, puisqu'au début on a dit que la racine de l'équation x 2 est différente de x 1 et −x 1 . Cela prouve que l'équation n'a pas d'autres racines que et .

Résumons les informations contenues dans ce paragraphe. L'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 est équivalente à l'équation , qui

• n'a pas de racines si ,
• a deux racines et si .

Considérons des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes de la forme a·x 2 +c=0 .

Commençons par l'équation quadratique 9 x 2 +7=0 . Après avoir transféré le terme libre au côté droit de l'équation, il prendra la forme 9·x 2 =−7. En divisant les deux côtés de l'équation résultante par 9 , nous arrivons à . Puisqu'un nombre négatif est obtenu sur le côté droit, cette équation n'a pas de racines, par conséquent, l'équation quadratique incomplète d'origine 9 x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Résolvons une autre équation quadratique incomplète −x 2 +9=0. Nous transférons le neuf sur le côté droit: -x 2 \u003d -9. Maintenant, nous divisons les deux parties par −1, nous obtenons x 2 =9. Le côté droit contient un nombre positif, à partir duquel nous concluons que ou . Après avoir noté la réponse finale : l'équation quadratique incomplète −x 2 +9=0 a deux racines x=3 ou x=−3.

une x 2 +b x=0

Il reste à traiter la solution du dernier type d'équations quadratiques incomplètes pour c=0 . Les équations quadratiques incomplètes de la forme a x 2 +b x=0 permettent de résoudre méthode de factorisation. Évidemment, on peut, situé sur le côté gauche de l'équation, pour lequel il suffit de prendre le facteur commun x entre parenthèses. Cela nous permet de passer de l'équation quadratique incomplète d'origine à une équation équivalente de la forme x·(a·x+b)=0 . Et cette équation est équivalente à l'ensemble des deux équations x=0 et a x+b=0 , dont la dernière est linéaire et a pour racine x=-b/a .

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 +b x=0 a deux racines x=0 et x=−b/a.

Pour consolider le matériel, nous allons analyser la solution d'un exemple précis.

Exemple.

Résous l'équation.

La solution.

Nous prenons x entre parenthèses, cela donne l'équation. Elle est équivalente à deux équations x=0 et . Nous résolvons l'équation linéaire résultante : , et après avoir divisé le nombre fractionnaire par une fraction ordinaire, nous trouvons . Par conséquent, les racines de l'équation originale sont x=0 et .

Après avoir acquis la pratique nécessaire, les solutions de ces équations peuvent être écrites brièvement :

Réponse:

x=0 , .

Discriminant, formule des racines d'une équation quadratique

Pour résoudre des équations quadratiques, il existe une formule racine. Écrivons la formule des racines de l'équation quadratique: , où D=b 2 −4 une c- soi-disant discriminant d'une équation quadratique. La notation signifie essentiellement que .

Il est utile de savoir comment la formule racine a été obtenue et comment elle est appliquée pour trouver les racines des équations quadratiques. Traitons cela.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous devons résoudre l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 . Effectuons quelques transformations équivalentes :

• Nous pouvons diviser les deux parties de cette équation par un nombre non nul a, nous obtenons ainsi l'équation quadratique réduite.
• À présent sélectionner un carré complet sur son côté gauche : . Après cela, l'équation prendra la forme .
• A ce stade, il est possible d'effectuer le transfert des deux derniers termes vers la droite avec le signe opposé, on a .
• Et transformons aussi l'expression du côté droit : .

En conséquence, nous arrivons à l'équation , qui est équivalente à l'équation quadratique originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Nous avons déjà résolu des équations de forme similaire dans les paragraphes précédents lorsque nous avons analysé . Cela nous permet de tirer les conclusions suivantes concernant les racines de l'équation :

• si , alors l'équation n'a pas de solutions réelles ;
• si , alors l'équation a la forme , donc , d'où sa seule racine est visible ;
• si , alors ou , qui est identique à ou , c'est-à-dire que l'équation a deux racines.

Ainsi, la présence ou l'absence des racines de l'équation, et donc de l'équation quadratique d'origine, dépend du signe de l'expression du côté droit. A son tour, le signe de cette expression est déterminé par le signe du numérateur, puisque le dénominateur 4 a 2 est toujours positif, c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 -4 a c . Cette expression b 2 −4 a c est appelée discriminant d'une équation quadratique et marqué de la lettre ré. À partir de là, l'essence du discriminant est claire - par sa valeur et son signe, on conclut si l'équation quadratique a de vraies racines, et si oui, quel est leur nombre - un ou deux.

Revenons à l'équation , réécrivons-la en utilisant la notation du discriminant : . Et nous concluons :

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D = 0, alors cette équation a une racine unique ;
• enfin, si D>0, alors l'équation a deux racines ou , qui peuvent être réécrites sous la forme ou , et après expansion et réduction des fractions à un dénominateur commun, on obtient .

Nous avons donc dérivé les formules pour les racines de l'équation quadratique, elles ressemblent à , où le discriminant D est calculé par la formule D=b 2 −4 a c .

Avec leur aide, avec un discriminant positif, vous pouvez calculer les deux racines réelles d'une équation quadratique. Lorsque le discriminant est égal à zéro, les deux formules donnent la même valeur racine correspondant à la seule solution de l'équation quadratique. Et avec un discriminant négatif, en essayant d'utiliser la formule des racines d'une équation quadratique, nous sommes confrontés à l'extraction de la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui nous emmène au-delà et programme scolaire. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles, mais a une paire Conjugaison compliquée racines, qui peuvent être trouvées en utilisant les mêmes formules de racine que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

En pratique, lors de la résolution d'une équation quadratique, vous pouvez immédiatement utiliser la formule racine, avec laquelle calculer leurs valeurs. Mais il s'agit davantage de trouver des racines complexes.

Cependant, dans un cours d'algèbre scolaire, il est généralement nous parlons pas sur le complexe, mais sur les racines réelles d'une équation quadratique. Dans ce cas, il est conseillé de trouver d'abord le discriminant avant d'utiliser les formules des racines de l'équation quadratique, de s'assurer qu'il est non négatif (sinon, on peut conclure que l'équation n'a pas de racines réelles), et après cela calculer les valeurs des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet d'écrire algorithme pour résoudre une équation quadratique. Pour résoudre l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, il vous faut :

• à l'aide de la formule discriminante D=b 2 -4 a c calculer sa valeur ;
• conclure que l'équation quadratique n'a pas de racines réelles si le discriminant est négatif ;
• calculer la racine unique de l'équation à l'aide de la formule si D=0 ;
• trouver deux racines réelles d'une équation quadratique en utilisant la formule racine si le discriminant est positif.

Notons seulement ici que si le discriminant est égal à zéro, la formule peut également être utilisée, elle donnera la même valeur que .

Vous pouvez passer à des exemples d'application de l'algorithme pour résoudre des équations quadratiques.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Considérez les solutions de trois équations quadratiques avec un discriminant positif, négatif et nul. Après avoir traité leur solution, par analogie, il sera possible de résoudre toute autre équation quadratique. Commençons.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation x 2 +2 x−6=0 .

La solution.

Dans ce cas, nous avons les coefficients suivants de l'équation quadratique : a=1 , b=2 et c=−6 . Selon l'algorithme, vous devez d'abord calculer le discriminant, pour cela nous substituons les a, b et c indiqués dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Puisque 28>0, c'est-à-dire que le discriminant est supérieur à zéro, l'équation quadratique a deux racines réelles. Trouvons-les par la formule des racines , on obtient , ici on peut simplifier les expressions obtenues en faisant factoriser le signe de la racine suivi d'une réduction de fraction :

Réponse:

Passons au prochain exemple typique.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique −4 x 2 +28 x−49=0 .

La solution.

On commence par trouver le discriminant : D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Par conséquent, cette équation quadratique a une racine unique, que nous trouvons sous la forme , c'est-à-dire

Réponse:

x=3,5 .

Il reste à considérer la solution des équations quadratiques à discriminant négatif.

Exemple.

Résolvez l'équation 5 y 2 +6 y+2=0 .

La solution.

Voici les coefficients de l'équation quadratique : a=5 , b=6 et c=2 . En substituant ces valeurs dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Le discriminant est négatif, donc cette équation quadratique n'a pas de racines réelles.

Si vous devez spécifier des racines complexes, nous utilisons la formule bien connue pour les racines de l'équation quadratique et effectuons opérations avec des nombres complexes:

Réponse:

il n'y a pas de racines réelles, les racines complexes sont : .

Encore une fois, nous notons que si le discriminant de l'équation quadratique est négatif, l'école écrit généralement immédiatement la réponse, dans laquelle elle indique qu'il n'y a pas de racines réelles et qu'elle ne trouve pas de racines complexes.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule des racines d'une équation quadratique , où D=b 2 −4 a c permet d'obtenir une formule plus compacte qui permet de résoudre des équations quadratiques avec un coefficient pair en x (ou simplement avec un coefficient qui ressemble à 2 n , par exemple, ou 14 ln5=2 7 ln5 ). Sortons-la.

Disons que nous devons résoudre une équation quadratique de la forme a x 2 +2 n x + c=0 . Trouvons ses racines en utilisant la formule que nous connaissons. Pour cela, on calcule le discriminant ré=(2 n) 2 −4 une c=4 n 2 −4 une c=4 (n 2 −a c), puis nous utilisons la formule racine :

Notons l'expression n 2 −a c comme D 1 (elle est parfois notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le second coefficient 2 n prend la forme , où D 1 =n 2 -a c .

Il est facile de voir que D=4·D 1 , soit D 1 =D/4 . En d'autres termes, D 1 est la quatrième partie du discriminant. Il est clair que le signe de D 1 est le même que le signe de D . C'est-à-dire que le signe D1 est également un indicateur de la présence ou de l'absence des racines de l'équation quadratique.

Donc, pour résoudre une équation quadratique avec le second coefficient 2 n, il faut

• Calculer D 1 =n 2 −a·c ;
• Si J 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, alors calculez la racine unique de l'équation à l'aide de la formule ;
• Si D 1 >0, alors trouvez deux racines réelles en utilisant la formule.

Considérez la solution de l'exemple en utilisant la formule racine obtenue dans ce paragraphe.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique 5 x 2 −6 x−32=0 .

La solution.

Le deuxième coefficient de cette équation peut être représenté par 2·(−3) . Autrement dit, vous pouvez réécrire l'équation quadratique d'origine sous la forme 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ici a=5 , n=−3 et c=−32 , et calculer la quatrième partie de la discriminant: ré 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Comme sa valeur est positive, l'équation a deux racines réelles. Nous les trouvons en utilisant la formule racine correspondante :

Notez qu'il était possible d'utiliser la formule habituelle pour les racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas, il faudrait faire plus de travail de calcul.

Réponse:

Simplification de la forme des équations quadratiques

Parfois, avant de se lancer dans le calcul des racines d'une équation quadratique à l'aide de formules, il ne fait pas de mal de se poser la question : « Est-il possible de simplifier la forme de cette équation » ? Convenez qu'en termes de calculs, il sera plus facile de résoudre l'équation quadratique 11 x 2 −4 x −6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Habituellement, une simplification de la forme d'une équation quadratique est obtenue en multipliant ou en divisant les deux côtés de celle-ci par un certain nombre. Par exemple, dans le paragraphe précédent, nous avons réussi à réaliser une simplification de l'équation 1100 x 2 −400 x −600=0 en divisant les deux côtés par 100 .

Une transformation similaire est effectuée avec des équations quadratiques dont les coefficients ne sont pas . Dans ce cas, les deux parties de l'équation sont généralement divisées par les valeurs absolues de ses coefficients. Par exemple, prenons l'équation quadratique 12 x 2 −42 x+48=0. valeurs absolues de ses coefficients : pgcd(12, 42, 48)= pgcd(gcd(12, 42), 48)= pgcd(6, 48)=6 . En divisant les deux parties de l'équation quadratique originale par 6 , nous arrivons à l'équation quadratique équivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

Et la multiplication des deux parties de l'équation quadratique est généralement effectuée pour se débarrasser des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, la multiplication est effectuée sur les dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si les deux parties d'une équation quadratique sont multipliées par LCM(6, 3, 1)=6 , alors elle prendra une forme plus simple x 2 +4 x−18=0 .

En conclusion de ce paragraphe, notons que l'on se débarrasse presque toujours du moins au coefficient le plus élevé de l'équation quadratique en changeant les signes de tous les termes, ce qui correspond à multiplier (ou diviser) les deux parties par −1. Par exemple, généralement à partir de l'équation quadratique −2·x 2 −3·x+7=0 aller à la solution 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique

La formule des racines d'une équation quadratique exprime les racines d'une équation en fonction de ses coefficients. Sur la base de la formule des racines, vous pouvez obtenir d'autres relations entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables du théorème de Vieta de la forme et . En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est égale au second coefficient de signe opposé, et le produit des racines est le terme libre. Par exemple, par la forme de l'équation quadratique 3 x 2 −7 x+22=0, on peut immédiatement dire que la somme de ses racines est 7/3, et le produit des racines est 22/3.

En utilisant les formules déjà écrites, vous pouvez obtenir un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients de l'équation quadratique. Par exemple, vous pouvez exprimer la somme des carrés des racines d'une équation quadratique en fonction de ses coefficients : .

Bibliographie.

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L'utilisation des équations est très répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, la construction de structures et même de sports. Les équations sont utilisées par l'homme depuis l'Antiquité et depuis lors, leur utilisation n'a fait que croître. Le discriminant vous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique à l'aide de la formule générale, qui a la forme suivante :

La formule discriminante dépend du degré du polynôme. La formule ci-dessus convient à la résolution d'équations quadratiques de la forme suivante :

Le discriminant a les propriétés suivantes que vous devez connaître :

* "D" vaut 0 lorsque le polynôme a plusieurs racines (racines égales) ;

* "D" est un polynôme symétrique par rapport aux racines du polynôme et est donc un polynôme en ses coefficients ; de plus, les coefficients de ce polynôme sont des entiers, quelle que soit l'extension dans laquelle les racines sont prises.

Supposons qu'on nous donne une équation quadratique de la forme suivante :

1 équation

D'après la formule on a :

Puisque \, alors l'équation a 2 racines. Définissons-les :

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Matériaux de construction. Propriétés physiques, mécaniques et thermiques. Béton. Solution concrète. La solution. Ferrures de chantier. Acier et autres. Tableaux d'applicabilité des matériaux. Résistance chimique. Applicabilité de la température. Résistance à la corrosion. Matériaux d'étanchéité - produits d'étanchéité pour joints. PTFE (fluoroplaste-4) et matériaux dérivés. Bande FUM. Adhésifs anaérobies Mastics non séchants (non durcissants). Mastics silicones (organosilicium). Graphite, amiante, paronites et matériaux dérivés Paronite. Graphite expansé thermiquement (TRG, TMG), compositions. Propriétés. Application. Production. Lin sanitaire Joints en caoutchouc élastomères Isolateurs et matériaux d'isolation thermique. (lien vers la section projet) Techniques et concepts d'ingénierie Protection contre les explosions. Protection contre les chocs environnement. Corrosion. 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Nombres complexes. unité imaginaire. Algèbre linéaire. (Vecteurs, matrices) Mathématiques pour les plus petits. Jardin d'enfants - 7e année. Logique mathématique. Solution d'équations. Équations quadratiques et biquadratiques. Formules. Méthodes. Solution d'équations différentielles Exemples de solutions d'équations différentielles ordinaires d'ordre supérieur au premier. Exemples de solutions aux équations différentielles ordinaires du premier ordre les plus simples = solubles analytiquement. Systèmes de coordonnées. Cartésien rectangulaire, polaire, cylindrique et sphérique. Bidimensionnel et tridimensionnel. Systèmes de numération. Nombres et chiffres (réels, complexes, ....). Tables des systèmes de numération. Séries puissantes de Taylor, Maclaurin (=McLaren) et séries périodiques de Fourier. Décomposition des fonctions en séries. Tables de logarithmes et formules de base Tables de valeurs numériques Tables de Bradys. Théorie des probabilités et statistiques Fonctions trigonométriques, formules et graphiques. sin, cos, tg, ctg….Valeurs des fonctions trigonométriques. Formules pour réduire les fonctions trigonométriques. Identités trigonométriques. Méthodes numériques Equipement - normes, dimensions Appareils électroménagers, équipement de la maison. Systèmes de drainage et de drainage. Capacités, réservoirs, réservoirs, réservoirs. Instrumentation et contrôle Instrumentation et automatisme. Mesure de température. Convoyeurs, convoyeurs à bande. Conteneurs (lien) Équipement de laboratoire. Pompes et stations de pompage Pompes pour liquides et pulpes. Jargon d'ingénierie. Dictionnaire. Dépistage. Filtration. Séparation des particules à travers des grilles et des tamis. Résistance approximative des cordes, câbles, cordons, cordes en divers plastiques. Produits en caoutchouc. Articulations et attaches. Diamètres conditionnels, nominaux, Du, DN, NPS et NB. Diamètres métriques et pouces. DTS. Clés et rainures de clavette. Normes de communication. Signaux dans les systèmes d'automatisation (I&C) Signaux d'entrée et de sortie analogiques des instruments, capteurs, débitmètres et dispositifs d'automatisation. interfaces de connexion. Protocoles de communication (communications) Téléphonie. Accessoires de canalisation. Grues, vannes, robinets-vannes…. Construire des longueurs. Brides et filetages. Normes. Cotes de raccordement. fils. Désignations, tailles, utilisation, types… (lien de référence) Raccordements ("hygiéniques", "aseptiques") de canalisations dans les industries alimentaires, laitières et pharmaceutiques. Tuyaux, canalisations. Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Choix du diamètre de canalisation. Débits. Dépenses. Force. Tableaux de sélection, Perte de charge. Des tuyaux de cuivre. Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Tuyaux en chlorure de polyvinyle (PVC). Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Les tuyaux sont en polyéthylène. Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Tuyaux polyéthylène PND. Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Tubes en acier (y compris en acier inoxydable). Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Le tuyau est en acier. Le tuyau est inoxydable. Tubes en acier inoxydable. Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Le tuyau est inoxydable. Tuyaux en acier au carbone. Diamètres des tuyaux et autres caractéristiques. Le tuyau est en acier. Raccord. Brides selon GOST, DIN (EN 1092-1) et ANSI (ASME). Connexion à bride. Connexions à bride. Connexion à bride. Éléments de pipelines. Lampes électriques Connecteurs et fils électriques (câbles) Moteurs électriques. Moteurs électriques. Appareils électriques de commutation. (Lien vers la section) Normes pour la vie personnelle des ingénieurs Géographie pour ingénieurs. Distances, itinéraires, cartes….. Les ingénieurs au quotidien. Famille, enfants, loisirs, vêtements et logement. Enfants d'ingénieurs. 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(Statistiques des données climatiques) SNIP 23-01-99.Tableau 3 - Température moyenne mensuelle et annuelle de l'air, ° С. Ex-URSS. SNIP 23-01-99 Tableau 1. Paramètres climatiques de la période froide de l'année. RF. SNIP 23-01-99 Tableau 2. Paramètres climatiques de la saison chaude. Ex-URSS. SNIP 23-01-99 Tableau 2. Paramètres climatiques de la saison chaude. RF. SNIP 23-01-99 Tableau 3. Température moyenne mensuelle et annuelle de l'air, °С. RF. SNiP 23-01-99. Tableau 5a* - Pression partielle mensuelle et annuelle moyenne de vapeur d'eau, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Tableau 1. Paramètres climatiques de la saison froide. Ex-URSS. Densité. Lester. Gravité spécifique. Densité apparente. Tension superficielle. Solubilité. Solubilité des gaz et des solides. Lumière et couleur. Coefficients de réflexion, d'absorption et de réfraction Alphabet de couleur :) - Désignations (codages) de couleur (couleurs). Propriétés des matériaux et milieux cryogéniques. Les tables. Coefficients de frottement pour divers matériaux. Grandeurs thermiques incluant ébullition, fusion, flamme, etc…… Informations Complémentaires voir : Coefficients (indicateurs) de l'adiabat. Convection et échange de chaleur complet. Coefficients de dilatation thermique linéaire, dilatation thermique volumétrique. Températures, ébullition, fusion, autres… Conversion des unités de température. Inflammabilité. température de ramollissement. Points d'ébullition Points de fusion Conductivité thermique. Coefficients de conductivité thermique. Thermodynamique. Chaleur spécifique vaporisation (condensation). Enthalpie de vaporisation. Chaleur spécifique de combustion (pouvoir calorifique). Le besoin d'oxygène. Grandeurs électriques et magnétiques Moments dipolaires électriques. La constante diélectrique. Constante électrique. Longueurs d'onde électromagnétiques (Répertoire d'une autre section) Intensités champ magnétique Concepts et formules de l'électricité et du magnétisme. Électrostatique. Modules piézoélectriques. Résistance électrique des matériaux Courant électrique Résistance électrique et conductivité. Potentiels électroniques Ouvrage de référence chimique "Alphabet chimique (dictionnaire)" - noms, abréviations, préfixes, désignations de substances et de composés. Solutions et mélanges aqueux pour le traitement des métaux. Solutions aqueuses pour l'application et l'élimination des revêtements métalliques Solutions aqueuses pour le nettoyage des dépôts de carbone (dépôts de goudron, dépôts de carbone des moteurs à combustion interne ...) Solutions aqueuses pour la passivation. Solutions aqueuses pour la gravure - élimination des oxydes de la surface Solutions aqueuses pour la phosphatation Solutions et mélanges aqueux pour l'oxydation chimique et la coloration des métaux. Solutions et mélanges aqueux pour le polissage chimique Dégraissage des solutions aqueuses et des solvants organiques pH. tableaux de pH. Brûlures et explosions. Oxydation et réduction. Classes, catégories, désignations de danger (toxicité) des substances chimiques Système périodique des éléments chimiques de DI Mendeleïev. Tableau périodique. Densité des solvants organiques (g/cm3) en fonction de la température. 0-100 °С. Propriétés des solutions. Constantes de dissociation, acidité, basicité. Solubilité. Mélanges. Constantes thermiques des substances. Enthalpie. entropie. Gibbs energy… (lien vers le livre de référence chimique du projet) Génie électrique Régulateurs Systèmes d'alimentation sans interruption. Systèmes de répartition et de contrôle Systèmes de câblage structuré Centres de données

À la société moderne la capacité à opérer avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée en pratique dans les développements scientifiques et techniques. Cela peut être démontré par la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. A l'aide de tels calculs, les trajectoires de mouvement des plus différents corps, y compris les objets spatiaux. Des exemples avec la solution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais aussi dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de voyages de camping, lors d'événements sportifs, dans les magasins lors de vos achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en facteurs composants

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression donnée. S'il est égal à 2, alors une telle équation est appelée une équation quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors ces expressions, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être amenées à la forme lorsque le côté gauche de l'expression se compose de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela est égal à 0 sur le côté droit.Dans le cas où un tel polynôme n'a pas l'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on l'appelle une équation quadratique incomplète. Des exemples avec la solution de tels problèmes, dans lesquels la valeur des variables n'est pas difficile à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l'expression semble avoir deux termes sur le côté droit de l'expression, plus précisément ax 2 et bx, il est plus facile de trouver x en mettant la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). De plus, il devient évident que soit x=0, soit le problème se réduit à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par une des propriétés de la multiplication. La règle dit que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l'un d'eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement des corps sous l'action de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point, pris comme origine. Ici, la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps écoulé entre le moment où le corps se lève et le moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes et en plus cas difficiles. Considérons des exemples avec la solution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme carré est complet. Premièrement, nous transformons l'expression et la décomposons en facteurs. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. En conséquence, nous avons deux racines 8 et 25.

Des exemples avec la solution d'équations quadratiques en 9e année permettent à cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même des troisième et quatrième ordres.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, c'est-à-dire (x + 1), (x-3) et (x + 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -une; 3.

Extraction de la racine carrée

Un autre cas d'équation incomplète du second ordre est une expression écrite dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré à côté droit, et après cela, des deux parties de l'égalité, Racine carrée. Il convient de noter qu'en ce cas Il y a généralement deux racines d'une équation. Les seules exceptions sont les égalités qui ne contiennent pas du tout le terme c, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, car les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions aux équations quadratiques de ce type doivent être considérés.

Dans ce cas, les racines de l'équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était en grande partie dû à la nécessité de déterminer les surfaces et les périmètres des parcelles avec la plus grande précision.

Nous devrions également considérer des exemples avec la solution d'équations quadratiques compilées sur la base de problèmes de ce genre.

Donc, disons qu'il y a un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez trouver la longueur, la largeur et le périmètre du site, si l'on sait que sa superficie est de 612 m 2.

En passant aux affaires, nous ferons d'abord l'équation nécessaire. Notons la largeur de la section comme x, alors sa longueur sera (x + 16). Il résulte de ce qui a été écrit que l'aire est déterminée par l'expression x (x + 16), qui, selon la condition de notre problème, est 612. Cela signifie que x (x + 16) \u003d 612.

La solution d'équations quadratiques complètes, et cette expression n'est que cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche de celui-ci contienne toujours deux facteurs, leur produit n'est pas du tout égal à 0, donc d'autres méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

On fait d'abord les transformations nécessaires, puis apparence cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous la forme correspondant à la norme précédemment spécifiée, où a=1, b=16, c=-612.

Cela peut être un exemple de résolution d'équations quadratiques à travers le discriminant. Ici calculs nécessaires produit selon le schéma: D = b 2 - 4ac. Cette valeur auxiliaire permet non seulement de trouver les valeurs souhaitées dans l'équation du second ordre, mais elle détermine le nombre d'options possibles. Dans le cas D>0, il y en a deux ; pour D=0 il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est : 256 - 4(-612) = 2704. Cela indique que notre problème a une réponse. Si vous savez, à, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il vous permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option de ce dilemme ne peut pas être une solution, car la taille de la parcelle de terrain ne peut pas être mesurée en valeurs négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur de la parcelle) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18+16=34, et le périmètre 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons l'étude des équations quadratiques. Des exemples et une solution détaillée de plusieurs d'entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Transférons tout sur le côté gauche de l'égalité, effectuons une transformation, c'est-à-dire que nous obtenons la forme de l'équation, qui est généralement appelée standard, et l'assimile à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Après avoir ajouté des similaires, nous déterminons le discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Notre équation aura donc deux racines. Nous les calculons selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Nous allons maintenant révéler des énigmes d'un genre différent.

Découvrons s'il y a des racines x 2 - 4x + 5 = 1 ici du tout ? Pour obtenir une réponse exhaustive, on ramène le polynôme à la forme familière correspondante et on calcule le discriminant. Dans cet exemple, il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation quadratique, car l'essentiel du problème n'est pas du tout là-dedans. Dans ce cas, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ce qui signifie qu'il n'y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est commode de résoudre des équations quadratiques grâce aux formules ci-dessus et au discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n'arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Il porte le nom d'un homme qui a vécu dans la France du XVIe siècle et a eu une brillante carrière grâce à son talent mathématique et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma que le célèbre Français a remarqué était le suivant. Il a prouvé que la somme des racines de l'équation est égale à -p=b/a, et leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant des tâches spécifiques.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pour simplifier, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

En utilisant le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après avoir vérifié, nous nous assurerons que ces valeurs des variables correspondent vraiment à l'expression.

Graphique et équation d'une parabole

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés précédemment. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques un peu plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle dépendance, tracée sous forme de graphe, s'appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où partent ses branches. Si a>0, ils vont haut jusqu'à l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est appelée graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée d'abscisse aux points d'intersection de la ligne du graphique avec 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées par la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b / 2a. Et, en remplaçant la valeur résultante dans l'équation d'origine de la fonction, vous pouvez trouver y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole appartenant à l'axe y.

L'intersection des branches de la parabole avec l'axe des abscisses

Il y a beaucoup d'exemples avec la solution d'équations quadratiques, mais il y a aussi des modèles généraux. Considérons-les. Il est clair que l'intersection du graphe avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si y 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique d'une parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de tracer.

De l'histoire

À l'aide d'équations contenant une variable au carré, autrefois, non seulement effectuaient des calculs mathématiques et déterminaient l'aire de formes géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour des découvertes grandioses dans le domaine de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est passé quatre siècles avant l'avènement de notre ère. Bien sûr, leurs calculs étaient fondamentalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont avérés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n'avaient aucune idée de l'existence des nombres négatifs. Ils étaient également peu familiers avec d'autres subtilités de celles connues de tout étudiant de notre temps.

Peut-être même plus tôt que les savants de Babylone, le sage indien Baudhayama a adopté la solution des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'avènement de l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. En plus de lui, les mathématiciens chinois s'intéressaient également à des questions similaires dans l'ancien temps. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais plus tard, elles ont été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.