La zone d'une figure plate délimitée par des lignes. Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Dans cet article, vous apprendrez à trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d'un tel problème au lycée, alors que l'étude de certaines intégrales vient d'être achevée et qu'il est temps de commencer l'interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales:

Capacité à dessiner correctement des dessins;
Capacité à résoudre une intégrale définie à l'aide de la formule bien connue de Newton-Leibniz ;
La capacité de "voir" une solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre comment dans tel ou tel cas il sera plus commode de réaliser l'intégration? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où sans calculs corrects ?) Cela inclut de comprendre comment résoudre cet autre type d'intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur un morceau de papier dans une cage, à grande échelle. On signe au crayon au-dessus de chaque graphe le nom de cette fonction. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour la commodité des calculs ultérieurs. Après avoir reçu le graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Cependant, il arrive que les valeurs des bornes soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas définies explicitement, nous trouvons les points d'intersection des graphiques les uns avec les autres et voyons si notre solution graphique correspond à la solution analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la localisation des graphiques de fonctions, il existe différentes approches pour trouver l'aire de la figure. Considérons divers exemples de recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze curviligne. Qu'est-ce qu'un trapèze curviligne ? C'est une figure plate délimitée par l'axe des abscisses (y=0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de un avant b. Dans le même temps, ce chiffre est non négatif et n'est pas situé plus bas que l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quelles lignes définissent la figure? Nous avons une parabole y = x2 - 3x + 3, qui est situé au-dessus de l'axe OH, il est non négatif, car tous les points de cette parabole sont positifs. Ensuite, étant donné les droites x = 1 Et x = 3 qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de délimitation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, elle est l'axe des abscisses, ce qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. DANS ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze curviligne, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, le cas a été analysé lorsque le trapèze curviligne est situé au-dessus de l'axe des abscisses. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se trouve sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Comment résoudre un tel problème, nous examinerons plus loin.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Dans cet exemple, nous avons une parabole y=x2+6x+2, qui prend sa source sous l'axe OH, droit x=-4, x=-1, y=0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 Et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de la résolution du problème consistant à trouver l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive et est également continue sur l'intervalle [-4; -1] . Que signifie pas positif ? Comme on peut le voir sur la figure, la figure qui se trouve dans le x donné a des coordonnées exclusivement "négatives", ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure en utilisant la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.

Nous commençons à considérer le processus réel de calcul de la double intégrale et à nous familiariser avec sa signification géométrique.

Intégrale double numériquement égal à l'aire figure plate(domaines d'intégration). C'est la forme la plus simple de l'intégrale double, lorsque la fonction de deux variables est égale à un : .

Considérons d'abord le problème en termes généraux. Maintenant, vous serez surpris de voir à quel point c'est vraiment simple ! Calculons l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes. Pour la définition, nous supposons que sur l'intervalle . L'aire de cette figure est numériquement égale à :

Représentons la zone dans le dessin:

Choisissons la première façon de contourner la zone :

Ainsi:

Et tout de suite une astuce technique importante : les intégrales itérées peuvent être considérées séparément. D'abord l'intégrale interne, puis l'intégrale externe. Cette méthode est fortement recommandée pour les débutants dans le domaine des théières.

1) Calculer l'intégrale interne, tandis que l'intégration s'effectue sur la variable "y":

L'intégrale indéfinie est ici la plus simple, puis la formule banale de Newton-Leibniz est utilisée, à la seule différence que les limites de l'intégration ne sont pas des nombres, mais des fonctions. Premièrement, nous avons substitué la limite supérieure dans le "y" (fonction primitive), puis la limite inférieure

2) Le résultat obtenu au premier paragraphe doit être substitué dans l'intégrale externe :

Une notation plus compacte pour l'ensemble de la solution ressemble à ceci :

La formule résultante - c'est exactement la formule de travail pour calculer l'aire d'une figure plate en utilisant l'intégrale définie "ordinaire"! Voir la leçon Calcul de surface à l'aide Intégrale définie , elle est là à chaque tournant !

C'est, le problème du calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale double peu différent du problème de trouver l'aire en utilisant une intégrale définie ! En fait, ils ne font qu'un !

En conséquence, aucune difficulté ne devrait survenir! Je ne considérerai pas beaucoup d'exemples, car vous avez en fait rencontré ce problème à plusieurs reprises.

Exemple 9

Solution: Représentons la zone dans le dessin:

Choisissons l'ordre suivant de parcours de la région :

Ici et ci-dessous, je ne détaillerai pas comment parcourir une zone car le premier paragraphe était très détaillé.

Ainsi:

Comme je l'ai déjà noté, il est préférable pour les débutants de calculer les intégrales itérées séparément, j'adhérerai à la même méthode:

1) D'abord, en utilisant la formule de Newton-Leibniz, nous traitons l'intégrale interne :

2) Le résultat obtenu à la première étape est substitué dans l'intégrale externe :

Le point 2 consiste en fait à trouver l'aire d'une figure plate à l'aide d'une intégrale définie.

Répondre:

Voici une tâche tellement stupide et naïve.

Un exemple curieux pour une solution indépendante :

Exemple 10

À l'aide de la double intégrale, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par les droites , ,

Un exemple de solution finale à la fin de la leçon.

Dans les exemples 9-10, il est beaucoup plus rentable d'utiliser la première manière de contourner la zone, les lecteurs curieux, d'ailleurs, peuvent changer l'ordre de la dérivation et calculer les zones de la seconde manière. Si vous ne vous trompez pas, alors, naturellement, les mêmes valeurs de surface sont obtenues.

Mais dans certains cas, la deuxième façon de contourner la zone est plus efficace, et en conclusion du cours du jeune nerd, regardons quelques exemples supplémentaires sur ce sujet :

Exemple 11

À l'aide de la double intégrale, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes.

Solution: nous attendons avec impatience deux paraboles avec une brise qui se couche sur le côté. Inutile de sourire, on rencontre souvent des choses similaires dans plusieurs intégrales.

Quelle est la manière la plus simple de faire un dessin ?

Représentons la parabole sous la forme de deux fonctions :
- branche supérieure et - branche inférieure.

De même, imaginez une parabole comme un supérieur et un inférieur branches.

Ensuite, des lecteurs de traçage point par point, résultant en une figure si bizarre:

L'aire de la figure est calculée à l'aide de la double intégrale selon la formule:

Que se passe-t-il si nous choisissons le premier moyen de contourner la zone ? Premièrement, cette zone devra être divisée en deux parties. Et dans un deuxième temps, nous observerons cette triste image : . Les intégrales, bien sûr, ne sont pas d'un niveau super-complexe, mais ... il y a un vieux dicton mathématique : celui qui est amical avec les racines n'a pas besoin de compensation.

Par conséquent, à partir du malentendu donné dans la condition, nous exprimons les fonctions inverses :

Fonctions inverses dans cet exemple, ils ont l'avantage de définir immédiatement toute la parabole sans feuilles, glands, branches et racines.

Selon la deuxième méthode, la traversée de zone sera la suivante :

Ainsi:

Comme on dit, sentez la différence.

1) On s'occupe de l'intégrale interne :

On substitue le résultat dans l'intégrale extérieure :

L'intégration sur la variable "y" ne devrait pas être gênante, s'il y avait une lettre "zyu" - ce serait formidable de l'intégrer. Bien que qui ait lu le deuxième paragraphe de la leçon Comment calculer le volume d'un corps de révolution, il n'éprouve plus la moindre gêne d'intégration sur "y".

Faites également attention à la première étape : l'intégrande est paire et le segment d'intégration est symétrique par rapport à zéro. Par conséquent, le segment peut être divisé par deux et le résultat peut être doublé. Cette technique est commentée en détail dans la leçon. Méthodes efficaces calcul d'une intégrale définie.

Que rajouter…. Tous!

Répondre:

Pour tester votre technique d'intégration, vous pouvez essayer de calculer . La réponse devrait être exactement la même.

Exemple 12

À l'aide de la double intégrale, calculez l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes

Ceci est un exemple à faire soi-même. Il est intéressant de noter que si vous essayez d'utiliser le premier moyen de contourner la zone, la figure ne sera plus divisée en deux, mais en trois parties ! Et, en conséquence, nous obtenons trois paires d'intégrales itérées. Des fois ça arrive.

La classe de maître est terminée et il est temps de passer au niveau grand maître - Comment calculer l'intégrale double ? Exemples de solutions. J'essaierai de ne pas être aussi maniaque dans le deuxième article =)

Je te souhaite du succès!

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution: Dessiner une zone sur le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcours de la région :

Ainsi:
Passons aux fonctions inverses :

Ainsi:
Répondre:

Exemple 4 :Solution: Passons aux fonctions directes :

Exécutons le dessin :

Changeons l'ordre de parcours de la zone :

Répondre:

En fait, pour trouver l'aire d'une figure, vous n'avez pas besoin d'autant de connaissances sur l'intégrale indéfinie et définie. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours la construction d'un dessin, tellement plus question d'actualité seront vos connaissances et vos compétences en dessin. A cet égard, il est utile de rafraîchir la mémoire des graphes des principales fonctions élémentaires, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, et une hyperbole.

Un trapèze curviligne est une figure plane délimitée par un axe, des droites et un graphe d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que cette figure soit située pas moins abscisse:

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

En termes de géométrie, l'intégrale définie est la ZONE.

C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie . L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au-dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent compléter le dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s'agit d'un énoncé de tâche typique. D'abord et point crucial solutions - construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un plan, je recommande l'ordre suivant : d'abord il est préférable de construire toutes les lignes (le cas échéant) et seulement Alors- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Les graphes de fonctions sont plus rentables à construire ponctuellement.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Faisons un dessin (notez que l'équation définit l'axe):

Sur le segment, le graphe de la fonction est situé sur l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous avions, disons, la réponse: 20 unités carrées, alors, évidemment, une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent clairement pas dans le chiffre en question, au plus une douzaine. Si la réponse s'est avérée négative, la tâche a également été résolue de manière incorrecte.

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si le trapèze curviligne est situé sous essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée par la formule :

Dans ce cas:

Attention! Ne confondez pas les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule que nous venons de considérer.

En pratique, le plus souvent, la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur et, par conséquent, à partir des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes , .

Solution: Vous devez d'abord terminer le dessin. De manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes d'aire, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

Par conséquent, la limite inférieure d'intégration , la limite supérieure d'intégration .

Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode si possible..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se découvrent comme « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou si la construction filetée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Faisons un dessin :

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur l'intervalle Meilleur que ou égal une fonction continue, puis l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et des lignes droites, peut être trouvée par la formule :

Ici, il n'est plus nécessaire de penser où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il importe quel graphique est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au-dessus de la droite, il faut donc soustraire de

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole d'en haut et une droite d'en bas.
Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre:

Exemple 4

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver la surface est ombrée en bleu.(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais en pratique, à cause de l'inattention, un "pépin" se produit souvent, qu'il faut trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert!

Cet exemple est également utile en ce sens que l'aire de la figure est calculée à l'aide de deux intégrales définies.

Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe, il y a un graphique en ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique hyperbole.

Il est bien évident que les domaines peuvent (et doivent) être ajoutés, donc :

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales:

Capacité à dessiner correctement des dessins;
Capacité à résoudre une intégrale définie à l'aide de la formule bien connue de Newton-Leibniz ;
La capacité de "voir" une solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre comment dans tel ou tel cas il sera plus commode de réaliser l'intégration? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où sans calculs corrects ?) Cela inclut de comprendre comment résoudre cet autre type d'intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

Exemple 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quelles lignes définissent la figure? Nous avons une parabole y = x2 - 3x + 3, qui est situé au-dessus de l'axe OH, il est non négatif, car tous les points de cette parabole sont positifs. Ensuite, étant donné les droites x = 1 Et x = 3 qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de délimitation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, elle est l'axe des abscisses, ce qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze curviligne, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

L'article n'est pas terminé.

Tâche numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

Application de l'intégrale à la résolution de problèmes appliqués

Calcul de surface

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f(x) est numériquement égale à l'aire d'un trapèze curviligne délimité par la courbe y \u003d f (x), l'axe O x et les droites x \u003d a et x \u003d b. En conséquence, la formule de l'aire s'écrit comme suit :

Considérons quelques exemples de calcul des aires de figures planes.

Tâche numéro 1. Calculez la zone délimitée par les lignes y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Solution. Construisons une figure, dont nous aurons à calculer l'aire.

y \u003d x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, et la parabole est décalée vers le haut d'une unité par rapport à l'axe O y (Figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Tâche numéro 2. Calculez la zone délimitée par les lignes y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dans la plage de 0 à 1.

Solution. Le graphique de cette fonction est la parabole de la branche, qui est dirigée vers le haut, et la parabole est décalée d'une unité vers le bas par rapport à l'axe O y (Figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y \u003d x 2 - 1

Tâche numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

y = 8 + 2x - x 2 et y = 2x - 4.

Solution. La première de ces deux droites est une parabole à branches pointant vers le bas, puisque le coefficient en x 2 est négatif, et la deuxième droite est une droite passant par les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, cherchons les coordonnées de son sommet : y'=2 – 2x ; 2 – 2x = 0, x = 1 – sommet abscisse ; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 est son ordonnée, N(1;9) est son sommet.

On trouve maintenant les points d'intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d'équations :

Mettre en équation les côtés droits d'une équation dont les côtés gauches sont égaux.

Nous obtenons 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ou x 2 - 12 \u003d 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection de la parabole et de la droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4

Construisons une droite y = 2x - 4. Elle passe par les points (0;-4), (2; 0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également avoir ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x - x 2 = 0 ou x 2 - 2x - 8 = 0. Par le théorème de Vieta, c'est facile de trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = 4.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2) délimitée par ces lignes.

La deuxième partie du problème consiste à trouver l'aire de cette figure. Son aire peut être trouvée en utilisant une intégrale définie en utilisant la formule .

Par rapport à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de révolution

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y \u003d f (x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors de la rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Tâche numéro 4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze curviligne délimité par des droites x \u003d 0 x \u003d 3 et une courbe y \u003d autour de l'axe O x.

Solution. Construisons un dessin (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume souhaité est égal à

Tâche numéro 5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze curviligne délimité par une courbe y = x 2 et des droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y .

Solution. Nous avons:

Questions de révision

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Tâche numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

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