Aujourd'hui, nous allons vous expliquer comment trouver la génératrice d'un cône, ce qui est souvent nécessaire dans les problèmes de géométrie scolaire.
Le concept de génératrice d'un cône
Un cône droit est une figure qui résulte de la rotation d'un triangle rectangle autour d'une de ses jambes. La base du cône forme un cercle. La section verticale du cône est un triangle, la section horizontale est un cercle. La hauteur d'un cône est le segment qui relie le sommet du cône au centre de la base. La génératrice d'un cône est un segment qui relie le sommet du cône à n'importe quel point sur la ligne de la circonférence de la base.
Puisque le cône est formé par la rotation d'un triangle rectangle, il s'avère que la première jambe d'un tel triangle est la hauteur, la seconde est le rayon du cercle situé à la base, et la génératrice du cône sera la hypoténuse. Il est facile de deviner que le théorème de Pythagore est utile pour calculer la longueur de la génératrice. Et maintenant plus sur la façon de trouver la longueur de la génératrice du cône.
Trouver une génératrice
La façon la plus simple de comprendre comment trouver une génératrice est de exemple concret. Supposons que les conditions suivantes du problème soient données : la hauteur est de 9 cm, le diamètre du cercle de base est de 18 cm, il faut trouver la génératrice.
Ainsi, la hauteur du cône (9 cm) est l'une des jambes d'un triangle rectangle, à l'aide duquel ce cône a été formé. La deuxième jambe sera le rayon du cercle de base. Le rayon est la moitié du diamètre. Ainsi, nous divisons le diamètre qui nous est donné en deux et obtenons la longueur du rayon : 18:2 = 9. Le rayon est 9.
Maintenant, il est très facile de trouver la génératrice du cône. Puisqu'il s'agit de l'hypoténuse, le carré de sa longueur sera égal à la somme des carrés des jambes, c'est-à-dire la somme des carrés du rayon et de la hauteur. Donc, le carré de la longueur de la génératrice = 64 (le carré de la longueur du rayon) + 64 (le carré de la longueur de la hauteur) = 64x2 = 128. Maintenant, nous extrayons Racine carrée sur 128. En conséquence, nous obtenons huit racines sur deux. Ce sera la génératrice du cône.
Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué à ce sujet. Par exemple, nous avons pris conditions simples tâches, mais dans le cours scolaire, elles peuvent être plus difficiles. N'oubliez pas que pour calculer la longueur de la génératrice, vous devez connaître le rayon du cercle et la hauteur du cône. Connaissant ces données, il est facile de trouver la longueur de la génératrice.
Les corps de révolution étudiés à l'école sont un cylindre, un cône et une boule.
Si, dans une tâche USE en mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous comme chanceux.
Appliquez des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Tous sont dans notre tableau. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.
Parfois, il est bon de dessiner une vue de dessus. Ou, comme dans ce problème, d'en bas.
2. Combien de fois le volume d'un cône circonscrit près d'une pyramide quadrangulaire régulière est plus grand que le volume d'un cône inscrit dans cette pyramide ?
Tout est simple - nous dessinons une vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Par conséquent, le volume du plus grand cône sera deux fois plus grand.
Une autre point important. Rappelez-vous que dans les tâches de la partie B UTILISER les options en mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou fini fraction décimale. Par conséquent, vous ne devriez pas avoir de ou dans votre réponse à la partie B. Remplacer la valeur approximative du nombre n'est pas non plus nécessaire ! Il faut le réduire ! C'est pour cela que dans certaines tâches, la tâche est formulée, par exemple, comme suit: "Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par".
Et où sont utilisées les formules du volume et de la surface des corps de révolution? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.
La géométrie est une branche des mathématiques qui étudie les structures dans l'espace et les relations entre elles. À son tour, il se compose également de sections, et l'une d'elles est la stéréométrie. Il prévoit l'étude des propriétés de figures tridimensionnelles situées dans l'espace : un cube, une pyramide, une boule, un cône, un cylindre, etc.
Un cône est un corps dans l'espace euclidien qui délimite une surface conique et un plan sur lequel se trouvent les extrémités de ses génératrices. Sa formation se produit lors du processus de rotation d'un triangle rectangle autour de l'une de ses jambes, il appartient donc aux corps de révolution.
Composants d'un cône
Il existe les types de cônes suivants : obliques (ou inclinés) et droits. Oblique est celui dont l'axe coupe avec le centre de sa base non à angle droit. Pour cette raison, la hauteur dans un tel cône ne coïncide pas avec l'axe, car il s'agit d'un segment qui est abaissé du haut du corps au plan de sa base sous un angle de 90 °.
Ce cône dont l'axe est perpendiculaire à sa base est appelé cône droit. Axe et hauteur dans un tel corps géométrique coïncident en raison du fait que le sommet est situé au-dessus du centre du diamètre de la base.
Le cône est composé des éléments suivants :
- Le cercle qui est sa base.
- Surface latérale.
- Point non situé dans le plan de la base, appelé sommet du cône.
- Segments qui relient les points du cercle de la base du corps géométrique et de son sommet.
Tous ces segments sont générateurs du cône. Ils sont inclinés par rapport à la base du corps géométrique, et dans le cas d'un cône droit leurs projections sont égales, puisque le sommet est équidistant des points du cercle de base. Ainsi, on peut conclure que dans un cône régulier (droit), les génératrices sont égales, c'est-à-dire qu'elles ont la même longueur et forment les mêmes angles avec l'axe (ou la hauteur) et la base.
Puisque dans un corps de révolution oblique (ou incliné) le sommet est déplacé par rapport au centre du plan de base, les générateurs dans un tel corps ont des longueurs et des projections différentes, puisque chacun d'eux est à une distance différente de deux points quelconques du cercle de base. De plus, les angles entre eux et la hauteur du cône seront également différents.
La longueur des génératrices dans un cône droit
Comme écrit précédemment, la hauteur dans un corps géométrique droit de révolution est perpendiculaire au plan de la base. Ainsi, la génératrice, la hauteur et le rayon de la base forment un triangle rectangle dans le cône.
Autrement dit, connaissant le rayon de la base et la hauteur, en utilisant la formule du théorème de Pythagore, vous pouvez calculer la longueur de la génératrice, qui sera égale à la somme des carrés du rayon de base et de la hauteur :
l 2 \u003d r 2 + h 2 ou l \u003d √r 2 + h 2
où l - génératrice;
r - rayon ;
h - hauteur.
Générateur dans un cône oblique
Partant du fait que dans un cône oblique ou incliné les génératrices n'ont pas la même longueur, il ne fonctionnera pas de les calculer sans constructions et calculs supplémentaires.
Tout d'abord, vous devez connaître la hauteur, la longueur de l'axe et le rayon de la base.
r 1 \u003d √k 2 - h 2
où r 1 est la partie du rayon entre l'axe et la hauteur ;
k - longueur de l'axe ;
h - hauteur.
En additionnant le rayon (r) et sa partie située entre l'axe et la hauteur (r 1), on peut connaître la génératrice complète du cône, sa hauteur et une partie du diamètre :
où R est la jambe d'un triangle formé par la hauteur, la génératrice et une partie du diamètre de la base ;
r - rayon de base ;
r 1 - partie du rayon entre l'axe et la hauteur.
En utilisant la même formule du théorème de Pythagore, vous pouvez trouver la longueur de la génératrice du cône :
l \u003d √h 2 + R 2
ou, sans calculer R séparément, combiner les deux formules en une seule :
l = √h 2 + (r + r 1) 2 .
Que le cône soit droit ou oblique et quel type d'entrée, toutes les méthodes pour trouver la longueur de la génératrice se résument toujours à un résultat - l'utilisation du théorème de Pythagore.
Section de cône
Un plan axial est un plan passant le long de son axe ou de sa hauteur. Dans un cône droit, une telle section est un triangle isocèle, dans lequel la hauteur du triangle est la hauteur du corps, ses côtés sont les génératrices et la base est le diamètre de la base. Dans un corps géométrique équilatéral, la section axiale est un triangle équilatéral, puisque dans ce cône le diamètre de la base et des génératrices sont égaux.
Le plan de la coupe axiale dans un cône droit est le plan de sa symétrie. La raison en est que son sommet est au-dessus du centre de sa base, c'est-à-dire que le plan de la coupe axiale divise le cône en deux parties identiques.
Puisque dans une oblique corps volumineux la hauteur et l'axe ne correspondent pas, le plan de la coupe axiale peut ne pas inclure la hauteur. S'il est possible de construire un ensemble de sections axiales dans un tel cône, puisqu'une seule condition doit être respectée pour cela - il ne doit passer que par l'axe, alors une seule section axiale du plan, qui appartiendra à la hauteur de ce cône, peut être tracé, car le nombre de conditions augmente, et, comme on le sait, deux droites (ensemble) ne peuvent appartenir qu'à un seul plan.
Zone transversale
La section axiale du cône mentionnée précédemment est un triangle. Sur cette base, son aire peut être calculée à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle:
S = 1/2 * d * h ou S = 1/2 * 2r * h
où S est l'aire de la section transversale ;
d - diamètre de la base ;
r - rayon ;
h - hauteur.
Dans un cône oblique ou incliné, la section transversale le long de l'axe est également un triangle, de sorte que la surface de la section transversale est calculée de la même manière.
Le volume
Parce que le cône est figure volumineuse dans l'espace 3D, vous pouvez calculer son volume. Le volume d'un cône est un nombre qui caractérise ce corps dans une unité de volume, c'est-à-dire en m 3. Le calcul ne dépend pas du fait qu'il soit droit ou oblique (oblique), puisque les formules pour ces deux types de corps ne diffèrent pas.
Comme indiqué précédemment, la formation d'un cône droit se produit en raison de la rotation d'un triangle rectangle le long de l'une de ses jambes. Un cône incliné ou oblique est formé différemment, car sa hauteur est décalée du centre du plan de base du corps. Néanmoins, de telles différences de structure n'affectent pas la méthode de calcul de son volume.
Calcul des volumes
Tout cône ressemble à ceci :
V = 1/3 * π * h * r2
où V est le volume du cône ;
h - hauteur;
r - rayon ;
π est une constante égale à 3,14.
Pour calculer la hauteur d'un corps, il faut connaître le rayon de la base et la longueur de sa génératrice. Étant donné que le rayon, la hauteur et la génératrice sont combinés dans un triangle rectangle, la hauteur peut être calculée à l'aide de la formule du théorème de Pythagore (a 2 + b 2 \u003d c 2 ou dans notre cas h 2 + r 2 \u003d l 2, où l est la génératrice). Dans ce cas, la hauteur sera calculée en extrayant la racine carrée de la différence entre les carrés de l'hypoténuse et de l'autre jambe :
un \u003d √c 2 - b 2
C'est-à-dire que la hauteur du cône sera égale à la valeur obtenue après extraction de la racine carrée de la différence entre le carré de la longueur de la génératrice et le carré du rayon de la base :
h \u003d √l 2 - r 2
Après avoir calculé la hauteur par cette méthode et connaissant le rayon de sa base, il est possible de calculer le volume du cône. Dans ce cas, la génératrice joue un rôle important, puisqu'elle sert d'élément auxiliaire dans les calculs.
De même, si vous connaissez la hauteur du corps et la longueur de sa génératrice, vous pouvez trouver le rayon de sa base en extrayant la racine carrée de la différence entre le carré de la génératrice et le carré de la hauteur :
r \u003d √l 2 - h 2
Ensuite, en utilisant la même formule que ci-dessus, calculez le volume du cône.
Volume du cône d'inclinaison
Puisque la formule du volume d'un cône est la même pour tous les types de corps de révolution, la différence dans son calcul est la recherche de la hauteur.
Afin de connaître la hauteur d'un cône incliné, les données d'entrée doivent inclure la longueur de la génératrice, le rayon de la base et la distance entre le centre de la base et l'intersection de la hauteur du corps avec le plan de son socle. Sachant cela, vous pouvez facilement calculer cette partie du diamètre de la base, qui sera la base d'un triangle rectangle (formé par la hauteur, la génératrice et le plan de la base). Puis, toujours en utilisant le théorème de Pythagore, calculez la hauteur du cône, puis son volume.
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Type de leçon : une leçon d'étude de nouveau matériel en utilisant des éléments d'une méthode d'enseignement axée sur le développement de problèmes.
Objectifs de la leçon:
- cognitif:
- familiarisation avec un nouveau concept mathématique;
- formation d'un nouveau ZUN ;
- la formation de compétences pratiques pour résoudre des problèmes.
- développement:
- développement de la pensée indépendante des étudiants;
- développement de compétences discours correctécoliers.
- éducatif:
- développement des compétences de travail en équipe.
Matériel de cours : tableau magnétique, ordinateur, écran, projecteur multimédia, modèle de cône, présentation de cours, polycopié.
Objectifs de la leçon (pour les étudiants):
- se familiariser avec un nouveau concept géométrique - un cône;
- dériver une formule pour calculer la surface d'un cône;
- apprendre à appliquer les connaissances acquises pour résoudre des problèmes pratiques.
Pendant les cours
je mets en scène. Organisationnel.
Remise de cahiers avec travail de test à domicile sur le sujet traité.
Les élèves sont invités à découvrir le sujet de la leçon à venir en résolvant le rébus (diapositive 1):
Image 1.
Annonce aux élèves du sujet et des objectifs de la leçon (diapositive 2).
IIe stade. Explication du nouveau matériel.
1) Conférence du professeur.
Au tableau se trouve une table avec l'image d'un cône. nouveau matériel expliqué dans le matériel de programme d'accompagnement "Stéréométrie". Une image tridimensionnelle d'un cône apparaît à l'écran. L'enseignant donne une définition d'un cône, parle de ses éléments. (diapositive 3). On dit qu'un cône est un corps formé par la rotation d'un triangle rectangle par rapport à la jambe. (diapos 4, 5). Une image du développement de la surface latérale du cône apparaît. (diapositive 6)
2) Travaux pratiques.
Actualisation des connaissances de référence : répéter les formules de calcul de l'aire d'un cercle, de l'aire d'un secteur, de la circonférence d'un cercle, de la longueur d'un arc de cercle. (diapos 7-10)
La classe est divisée en groupes. Chaque groupe reçoit un scan de la surface latérale du cône découpé dans du papier (un secteur de cercle avec un numéro attribué). Les élèves prennent les mesures nécessaires et calculent l'aire du secteur résultant. Des instructions pour effectuer le travail, des questions - des énoncés de problèmes - apparaissent à l'écran (diapos 11-14). Le représentant de chaque groupe écrit les résultats des calculs dans un tableau préparé au tableau. Les participants de chaque groupe collent le modèle du cône à partir du développement dont ils disposent. (diapositive 15)
3) Énoncé et solution du problème.
Comment calculer la surface latérale d'un cône si seuls le rayon de la base et la longueur de la génératrice du cône sont connus ? (diapositive 16)
Chaque groupe effectue les mesures nécessaires et essaie de dériver une formule pour calculer la surface requise en utilisant les données disponibles. En faisant ce travail, les élèves doivent remarquer que la circonférence de la base du cône est égale à la longueur de l'arc du secteur - le développement de la surface latérale de ce cône. (diapos 17-21) En utilisant les formules nécessaires, la formule souhaitée est dérivée. Le raisonnement des élèves devrait ressembler à ceci :
Le rayon du secteur - balayage est égal à je, la mesure du degré de l'arc est φ. L'aire du secteur est calculée par la formule : la longueur de l'arc délimitant ce secteur est égale au rayon de la base du cône R. La longueur du cercle situé à la base du cône est C = 2πR . Notez que Puisque l'aire de la surface latérale du cône est égale à l'aire de développement de sa surface latérale, alors
Ainsi, l'aire de la surface latérale du cône est calculée par la formule S DBO = πRl.
Après avoir calculé la surface latérale du modèle de cône selon la formule dérivée indépendamment, le représentant de chaque groupe écrit le résultat des calculs dans un tableau au tableau conformément aux numéros de modèle. Les résultats du calcul dans chaque ligne doivent être égaux. Sur cette base, l'enseignant détermine l'exactitude des conclusions de chaque groupe. Le tableau de résultat devrait ressembler à ceci :
|
modèle non. |
je tâche |
Tâche II |
(125/3)π ~ 41,67π |
||
(425/9)π ~ 47,22π |
||
(539/9)π ~ 59,89π |
Paramètres du modèle :
- l=12 cm, φ=120°
- l=10 cm, φ=150°
- l=15 cm, φ=120°
- l=10 cm, φ=170°
- l=14 cm, φ=110°
L'approximation des calculs est associée à des erreurs de mesure.
Après vérification des résultats, la sortie des formules pour les aires des surfaces latérales et complètes du cône apparaît à l'écran (diapos 22-26) les élèves prennent des notes dans des cahiers.
Stade III. Consolidation du matériel étudié.
1) Les étudiants se voient proposer tâches pour la solution orale sur des dessins prêts à l'emploi.
Trouver les aires des surfaces totales des cônes représentés sur les figures (diapos 27-32).
2) Questions : Les aires des surfaces des cônes formées par la rotation d'un triangle rectangle autour de différentes jambes sont-elles égales ? Les élèves formulent une hypothèse et la testent. Les tests d'hypothèses sont effectués en résolvant des problèmes et sont écrits par l'élève au tableau.
Donné:ΔABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a ;
BAA", ABV" - corps de révolution.
Trouver: S PPC 1 , S PPC 2 .
Figure 5 (diapositive 33)
Décision:
1) R=BC = un; S PPC 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π une c + π une 2 \u003d π une (une + c).
2) R=CA = b; S PPC 2 = S DBO 2 + S principal 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).
Si S PPC 1 = S PPC 2, alors une 2 + ac \u003d b 2 + bc, une 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Car un, b, c nombres positifs (les longueurs des côtés du triangle), l'égalité tore n'est vraie que si un =b.
Conclusion: Les aires des surfaces de deux cônes ne sont égales que si les côtés du triangle sont égaux. (diapositive 34)
3) Solution du problème du manuel : n° 565.
stade IV. Résumé de la leçon.
Devoirs: pages 55, 56 ; N° 548, N° 561. (diapositive 35)
Annonce des notes.
Conclusions pendant la leçon, répétition des principales informations reçues dans la leçon.
Littérature (diapositive 36)
- Grades de géométrie 10-11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
- "Énigmes mathématiques et charades" - N.V. Udaltsov, bibliothèque "Premier septembre", série "MATHÉMATIQUES", numéro 35, M., Chistye Prudy, 2010.