प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय - "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है"- स्कूल बेंच से सभी जानते हैं।

अच्छा आपको याद है « पायथागॉरियन पैंट» , कौन कौन से "सभी दिशाओं में समान"- ग्रीक वैज्ञानिक के प्रमेय की व्याख्या करने वाला एक योजनाबद्ध चित्र।

यहां एऔर बी- पैर, और से- कर्ण:

अब मैं आपको इस प्रमेय के एक मूल प्रमाण के बारे में बताऊंगा, जिसके बारे में आप शायद नहीं जानते होंगे...

लेकिन पहले, आइए एक को देखें लेम्मा- एक सिद्ध कथन जो अपने आप में उपयोगी नहीं है, बल्कि अन्य कथनों (प्रमेय) को सिद्ध करने के लिए उपयोगी है।

शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज लीजिए एक्स, यूऔर जेड, कहाँ पे जेड- समकोण और समकोण से लंबवत को गिराएं जेडकर्ण को। यहां वू- वह बिंदु जहाँ ऊँचाई कर्ण को काटती है।

यह रेखा (लंबवत) जेडडब्ल्यूत्रिभुज को अपनी समान प्रतियों में विभाजित करता है।

आपको याद दिला दूं कि त्रिभुज समरूप कहलाते हैं, जिनके कोण क्रमशः बराबर होते हैं, और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समान भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

हमारे उदाहरण में, बने त्रिभुज XWZऔर YWZएक दूसरे के समान हैं और मूल त्रिभुज के समान भी हैं XYZ.

यह साबित करना आसान है।

त्रिभुज XWZ से शुरू करते हुए, ध्यान दें कि XWZ = 90 और इसलिए ∠XZW = 180-90-∠X। लेकिन 180–90-∠X -  बिल्कुल वही है जो Y है, इसलिए त्रिभुज XWZ त्रिभुज XYZ के समरूप (सभी कोण बराबर) होना चाहिए। त्रिभुज YWZ के लिए भी यही अभ्यास किया जा सकता है।

लेम्मा सिद्ध! एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर गिराई गई ऊँचाई (लंबवत) त्रिभुज को दो समान भागों में विभाजित करती है, जो बदले में मूल त्रिभुज के समान होते हैं।

लेकिन, हमारे "पायथागॉरियन पैंट" पर वापस ...

कर्ण पर लम्ब गिराएं सी. नतीजतन, हमारे समकोण त्रिभुज के अंदर हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं। आइए इन त्रिभुजों को निरूपित करें (ऊपर चित्र में हरे में) पत्र एऔर बी, और मूल त्रिभुज - अक्षर से.

बेशक, त्रिभुज का क्षेत्रफल सेत्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है एऔर बी.

वे। लेकिन+ बी= से

अब आइए शीर्ष पर आकृति ("पायथागॉरियन पैंट") को तीन घर के आंकड़ों में तोड़ दें:

जैसा कि हम लेम्मा, त्रिभुजों से पहले ही जानते हैं ए, बीऔर सीएक दूसरे के समान हैं, इसलिए परिणामी घर के आंकड़े भी समान हैं और एक दूसरे के स्केल किए गए संस्करण हैं।

इसका मतलब है कि क्षेत्रफल का अनुपात एऔर अज़ी, -  क्षेत्रफल के अनुपात के समान है बीऔर बी²,साथ ही साथ सीऔर ग.

इस प्रकार हमारे पास है ए / ए² = बी / बी² = सी / सी² .

आइए हम आकृति-घर में त्रिभुज और वर्ग के क्षेत्रफलों के इस अनुपात को अक्षर से निरूपित करें क.

वे। क- यह एक निश्चित गुणांक है जो त्रिभुज के क्षेत्र (घर की छत) को उसके नीचे के वर्ग के क्षेत्रफल से जोड़ता है:
के = ए / ए² = बी / बी² = सी / सी²

यह इस प्रकार है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को उनके नीचे के वर्गों के क्षेत्रफलों के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
ए = का, बी = केबी², और सी = केसी²

लेकिन हमें याद है कि ए+बी=सी, जिसका मतलब है ka² + kb² = kc²

या ए² + बी² = सी²

और यह है पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण!

"पायथागॉरियन पैंट" किसके लिए हैं? यह काम आठवीं कक्षा के छात्रों ने किया था

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है... या किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग योग के बराबर होता है उसके पैरों के वर्ग।

यह पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेयों में से एक है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। यह अभी भी लगभग सभी को ज्ञात है जिन्होंने कभी भी ग्रहमिति का अध्ययन किया है। पाइथागोरस प्रमेय की इतनी लोकप्रियता का कारण इसकी सादगी, सुंदरता और महत्व है। पाइथागोरस प्रमेय सरल है, लेकिन स्पष्ट नहीं है। दो परस्पर विरोधी सिद्धांतों का यह संयोजन उसे एक विशेष आकर्षण देता है, उसे सुंदर बनाता है। इसका उपयोग ज्यामिति में शाब्दिक रूप से हर कदम पर किया जाता है, और यह तथ्य कि इस प्रमेय (ज्यामितीय, बीजगणितीय, यांत्रिक, आदि) के लगभग 500 विभिन्न प्रमाण हैं, इसके व्यापक अनुप्रयोग को इंगित करता है।

प्रमेय लगभग हर जगह पाइथागोरस का नाम रखता है, लेकिन वर्तमान में सभी इस बात से सहमत हैं कि इसकी खोज पाइथागोरस ने नहीं की थी। हालांकि, कुछ का मानना ​​है कि उन्होंने इसका पूरा प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे, जबकि अन्य उन्हें इस योग्यता से इनकार करते हैं। यह प्रमेय पाइथागोरस से कई साल पहले जाना जाता था। इसलिए, पाइथागोरस से 1500 साल पहले, प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाला एक त्रिभुज आयताकार होता है, और योजना बनाते समय इस गुण का उपयोग समकोण बनाने के लिए किया जाता था। भूमि भूखंडऔर भवन संरचनाएं।

मध्य युग के छात्रों के हलकों में प्रमेय का प्रमाण बहुत कठिन माना जाता था और इसे "गधे का पुल" या "गरीबों की उड़ान" कहा जाता था, और स्वयं प्रमेय - "पवनचक्की" या "दुल्हन का प्रमेय" . छात्रों ने कार्टून भी बनाए और इस तरह की कविताओं की रचना की: पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान।

आंकड़ों के समान आकार की धारणा के उपयोग पर आधारित एक प्रमाण। आकृति दो समान वर्गों को दर्शाती है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम एक समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्रफल को टांगों a, b से वर्ग के क्षेत्रफल से घटा दें, तो समान क्षेत्र, यानी प्राचीन भारतीय, जिनके पास यह तर्क है, ने आमतौर पर इसे नहीं लिखा था, लेकिन केवल एक शब्द के साथ चित्र के साथ: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण दिया हो।

स्कूल की पाठ्यपुस्तक द्वारा प्रस्तुत प्रमाण। CD त्रिभुज ABC की ऊँचाई है। एसी = एडी * एबी एसी 2 = एडी * एबी इसी तरह, बीसी 2 = बीडी * एबी = एबी 2 ए सी बी डी

समस्या संख्या 1 दो विमानों ने एक ही समय में हवाई क्षेत्र से उड़ान भरी: एक - पश्चिम की ओर, दूसरी - दक्षिण की ओर। दो घंटे में उनके बीच की दूरी 2000 किमी थी। विमानों की गति ज्ञात कीजिए यदि एक की गति दूसरे की गति का 75% है। हल: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: 4x2+(0.75x*2)2=20002 6.25x2=20002 2.5x=2000 x=800 0.75x=0.75*800=600. उत्तर: 800 किमी/घंटा; 600 किमी/घंटा

समस्या संख्या 2। एक युवा गणितज्ञ को सही कोण प्राप्त करने के लिए क्या करना चाहिए? हल: आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और एक त्रिभुज का निर्माण कर सकते हैं, इसकी भुजाओं को इतनी लंबाई देकर कि त्रिभुज समकोण हो। सबसे आसान तरीका है कि किसी भी मनमाने ढंग से चुने गए समान खंडों की लंबाई 3, 4 और 5 की स्ट्रिप्स लें।

कार्य संख्या 3। प्रत्येक 200 N के तीन बलों के परिणाम का पता लगाएं, यदि पहले और दूसरे बलों के बीच और दूसरे और तीसरे बलों के बीच का कोण 60 ° है। हल: बलों की पहली जोड़ी के योग का मापांक है: F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα जहां α वैक्टर F1 और F2 के बीच का कोण है, अर्थात। F1+2=200√ 3 N. जैसा कि समरूपता के विचारों से स्पष्ट है, वेक्टर F1+2 कोण α के द्विभाजक के साथ निर्देशित है, इसलिए इसके और तीसरे बल के बीच का कोण है: β=60°+60° /2=90°। अब आइए तीन बलों के परिणाम को खोजें: R2=(F3+F1+2) R=400 N. उत्तर: R=400 N.

टास्क नंबर 4. एक बिजली की छड़ सभी वस्तुओं को बिजली से बचाती है, जिसके आधार से दूरी इसकी दोगुनी ऊंचाई से अधिक नहीं होती है। एक विशाल छत पर बिजली की छड़ की इष्टतम स्थिति निर्धारित करें, इसकी न्यूनतम उपलब्ध ऊंचाई प्रदान करें। हल: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, h2≥ a2+b2, इसलिए h≥(a2+b2)1/2। उत्तर: h≥(a2+b2)1/2।

पायथागॉरियन पैंट पाइथागोरस प्रमेय का हास्य नाम है, जो इस तथ्य के कारण उत्पन्न हुआ कि एक आयत के किनारों पर बने वर्ग और अलग-अलग दिशाओं में विचलन पतलून के कट जैसा दिखता है। मुझे ज्यामिति से प्यार था ... और विश्वविद्यालय में प्रवेश परीक्षा में मुझे गणित के प्रोफेसर चुमाकोव से भी प्रशंसा मिली, समानांतर रेखाओं और पाइथागोरस पैंट के बिना ब्लैकबोर्ड के गुणों की व्याख्या करने के लिए, हवा में अपने हाथों से चित्र बनाना(एन। पिरोगोव। एक पुराने डॉक्टर की डायरी)।

वाक्यांशरूसी साहित्यिक भाषा। - एम .: एस्ट्रेल, एएसटी. ए. आई. फेडोरोव। 2008.

देखें कि "पायथागॉरियन पैंट" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

पायथागॉरियन पैंट- ... विकिपीडिया

पायथागॉरियन पैंट- ज़र्ग। स्कूल शटल। पाइथागोरस प्रमेय, जो कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच संबंध स्थापित करता है। बीटीएस, 835... बड़ा शब्दकोशरूसी बातें

पायथागॉरियन पैंट- पाइथागोरस प्रमेय के लिए एक चंचल नाम, जो कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच का अनुपात स्थापित करता है, जो चित्र में पैंट के कट जैसा दिखता है ... कई भावों का शब्दकोश

पाइथागोरस पैंट (आविष्कार)- विदेशी: एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के बारे में सी.एफ. यह ऋषि की निश्चितता है। प्राचीन काल में, उन्होंने शायद पाइथागोरस पैंट का आविष्कार किया होगा ... साल्टीकोव। मोटली पत्र। पाइथागोरस पैंट (जियोम।): एक आयत में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के बराबर होता है (शिक्षण ... ... माइकलसन का बड़ा व्याख्यात्मक वाक्यांशविज्ञान शब्दकोश

पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं- बटनों की संख्या ज्ञात है। डिक क्यों तंग है? (मोटे तौर पर) पैंट और पुरुष यौन अंग के बारे में। पाइथागोरस की पैंट सभी तरफ बराबर होती है। इसे साबित करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय के बारे में 1) को हटाना और दिखाना आवश्यक है; 2) चौड़ी पैंट के बारे में ... लाइव भाषण। बोलचाल की अभिव्यक्तियों का शब्दकोश

पाइथागोरस पैंट का आविष्कार- पाइथागोरस पैंट (आविष्कार) विदेशी। एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के बारे में। बुध यह निस्संदेह ऋषि है। प्राचीन काल में, उन्होंने शायद पाइथागोरस पैंट का आविष्कार किया होगा ... साल्टीकोव। मोटली पत्र। पाइथागोरस पैंट (जियोम।): एक आयत में, कर्ण का वर्ग ... ... माइकलसन का बड़ा व्याख्यात्मक वाक्यांशविज्ञान शब्दकोश (मूल वर्तनी)

पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं- पाइथागोरस प्रमेय का मज़ाक उड़ाने वाला सबूत; दोस्त के बैगी ट्राउजर के बारे में भी मजाक में... लोक वाक्यांशविज्ञान का शब्दकोश

Adj।, असभ्य ...

पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं (बटनों की संख्या ज्ञात है। यह करीब क्यों है? / यह साबित करने के लिए, इसे हटाना और दिखाना आवश्यक है)- adj।, असभ्य ... शब्दकोशआधुनिक बोलचाल की वाक्यांशवैज्ञानिक इकाइयाँ और बातें

पतलून- संज्ञा, pl।, उपयोग कॉम्प. अक्सर आकृति विज्ञान: pl। क्या? पैंट, (नहीं) क्या? पैंट किस लिए? पैंट, (देखें) क्या? पैंट क्या? पैंट, क्या? पैंट के बारे में 1. पैंट कपड़ों का एक टुकड़ा है जिसमें दो छोटे या लंबे पैर होते हैं और नीचे की ओर ढके होते हैं ... ... दिमित्रीव का शब्दकोश

पुस्तकें

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MBOU बॉन्डार्स्काया माध्यमिक विद्यालय छात्र परियोजना विषय पर: "पाइथागोरस और उसका प्रमेय" द्वारा तैयार: एकटोव कोंस्टेंटिन, ग्रेड 7 ए हेड: डोलोतोवा नादेज़्दा इवानोव्ना, गणित शिक्षक 2015

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व्याख्या। ज्यामिति बहुत है दिलचस्प विज्ञान. इसमें कई प्रमेय शामिल हैं जो एक दूसरे के समान नहीं हैं, लेकिन कभी-कभी इतने आवश्यक होते हैं। मुझे पाइथागोरस प्रमेय में बहुत दिलचस्पी हो गई। दुर्भाग्य से, सबसे महत्वपूर्ण कथनों में से एक जिसे हम केवल आठवीं कक्षा में पास करते हैं। मैंने गोपनीयता का पर्दा हटाने और पाइथागोरस प्रमेय का पता लगाने का फैसला किया।

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कार्य पाइथागोरस की जीवनी का अध्ययन करने के लिए। प्रमेय के उद्भव और प्रमाण के इतिहास का अन्वेषण करें। पता लगाएं कि कला में प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाता है। उन ऐतिहासिक समस्याओं का पता लगाएं जिनमें पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया गया है। इस प्रमेय के प्रति अलग-अलग समय के बच्चों के दृष्टिकोण से परिचित होना। एक प्रोजेक्ट बनाएं।

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अनुसंधान प्रगति पाइथागोरस की जीवनी। पाइथागोरस की आज्ञाएँ और सूत्र। पाइथागोरस प्रमेय। प्रमेय का इतिहास। "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान क्यों हैं"? अन्य वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण। पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग। सर्वेक्षण। आउटपुट

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पाइथागोरस - वह कौन है? समोस के पाइथागोरस (580 - 500 ईसा पूर्व) प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और आदर्शवादी दार्शनिक। समोस द्वीप पर पैदा हुए। अच्छी शिक्षा प्राप्त की। किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस, पूर्वी वैज्ञानिकों के ज्ञान से परिचित होने के लिए, मिस्र गए और वहां 22 वर्षों तक रहे। गणित सहित मिस्रवासियों के सभी विज्ञानों में महारत हासिल करने के बाद, वह बाबुल चले गए, जहाँ वे 12 साल तक रहे और उनसे परिचित हुए। वैज्ञानिक ज्ञानबेबीलोन के पुजारी। परंपराएं पाइथागोरस को भारत की यात्रा का श्रेय देती हैं। यह बहुत संभव है, क्योंकि तब आयोनिया और भारत के बीच व्यापारिक संबंध थे। अपनी मातृभूमि (सी। 530 ईसा पूर्व) में लौटकर, पाइथागोरस ने अपने दार्शनिक स्कूल को व्यवस्थित करने का प्रयास किया। हालांकि, अज्ञात कारणों से, वह जल्द ही समोस छोड़ देता है और क्रोटन (उत्तरी इटली में एक ग्रीक उपनिवेश) में बस जाता है। यहां पाइथागोरस अपने स्वयं के स्कूल का आयोजन करने में कामयाब रहे, जो लगभग तीस वर्षों तक संचालित रहा। पाइथागोरस का स्कूल, या, जैसा कि इसे पाइथागोरस यूनियन भी कहा जाता है, एक ही समय में एक दार्शनिक स्कूल, एक राजनीतिक दल और एक धार्मिक भाईचारा था। पाइथागोरस संघ की स्थिति बहुत गंभीर थी। अपने दार्शनिक विचारों में, पाइथागोरस एक आदर्शवादी, गुलाम-मालिक अभिजात वर्ग के हितों के रक्षक थे। शायद यही समोस से उनके जाने का कारण था, क्योंकि इओनिया में लोकतांत्रिक विचारों के समर्थकों का बहुत बड़ा प्रभाव था। सार्वजनिक मामलों में, "आदेश" से पाइथागोरस ने अभिजात वर्ग के शासन को समझा। उन्होंने प्राचीन यूनानी लोकतंत्र की निंदा की। पाइथागोरस का दर्शन गुलाम-मालिक अभिजात वर्ग के प्रभुत्व को सही ठहराने का एक आदिम प्रयास था। 5वीं शताब्दी के अंत में ईसा पूर्व इ। यूनान और उसके उपनिवेशों में लोकतांत्रिक आंदोलन की एक लहर बह गई। क्रोटन में लोकतंत्र की जीत हुई। पाइथागोरस क्रोटन को अपने शिष्यों के साथ छोड़ देता है और टेरेंटम और फिर मेटापोंट चला जाता है। मेटापोंट में पाइथागोरस का आगमन वहाँ एक लोकप्रिय विद्रोह के प्रकोप के साथ हुआ। एक रात की झड़प में, लगभग नब्बे वर्षीय पाइथागोरस की मृत्यु हो गई। उनके स्कूल का अस्तित्व समाप्त हो गया है। पाइथागोरस के शिष्य, उत्पीड़न से भागकर, पूरे ग्रीस और उसके उपनिवेशों में बस गए। अपनी आजीविका कमाने के लिए, उन्होंने स्कूलों का आयोजन किया जिसमें वे मुख्य रूप से अंकगणित और ज्यामिति पढ़ाते थे। उनकी उपलब्धियों के बारे में जानकारी बाद के वैज्ञानिकों - प्लेटो, अरस्तू, आदि के लेखन में निहित है।

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पाइथागोरस थॉट की आज्ञाएं और सूत्र पृथ्वी पर लोगों के बीच सबसे ऊपर हैं। अनाज के नाप पर न बैठें (अर्थात आलस्य से न रहें)। जाते समय पीछे मुड़कर न देखें (अर्थात मृत्यु से पहले जीवन से न चिपके)। पीटे हुए रास्ते से नीचे मत जाओ (अर्थात भीड़ की राय का नहीं, बल्कि समझने वालों की राय का पालन करें)। घर में गिलहरी न रखें (अर्थात् ऐसे मेहमानों का स्वागत न करें जो बातूनी हों और भाषा में संयमित न हों)। बोझ उठाने वाले के साथ रहो, बोझ उठाने वाले के साथ मत रहो (अर्थात लोगों को आलस्य के लिए नहीं, बल्कि पुण्य के लिए, काम करने के लिए प्रोत्साहित करो)। जीवन के क्षेत्र में बोने वाले की तरह सम और स्थिर कदमों से चलो। सच्ची पितृभूमि वह है जहाँ अच्छे संस्कार हों। विद्वान समाज के सदस्य मत बनो: सबसे बुद्धिमान, समाज बनाने वाले, आम बन जाते हैं। सुंदर समानता के बच्चे के रूप में पवित्र संख्या, वजन और माप का सम्मान करें। अपनी इच्छाओं को मापें, अपने विचारों को तौलें, अपने शब्दों को गिनें। किसी बात पर अचंभित न हों: विस्मय ने देवताओं को उत्पन्न किया है।

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प्रमेय का कथन। एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

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प्रमेय के प्रमाण। पर इस पलइस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। बेशक, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण।

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पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण पैरों a, b और कर्ण c के साथ एक समकोण त्रिभुज दिया गया है। आइए सिद्ध करें कि c² = a² + b² आइए त्रिभुज को एक वर्ग बनाने के लिए पूरा करें जिसकी भुजा a + b है। इस वर्ग का क्षेत्रफल S (a + b)² है। दूसरी ओर, वर्ग चार समान समकोण त्रिभुजों से बना है, प्रत्येक S ½ a b के बराबर है, और एक वर्ग जिसकी भुजा c है। S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² इस प्रकार, (a + b)² = 2 a b + c², जहां से c² = a² + b² c c c c a b

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पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास दिलचस्प है। हालाँकि यह प्रमेय पाइथागोरस के नाम से जुड़ा है, लेकिन यह उससे बहुत पहले से जाना जाता था। बेबीलोन के ग्रंथों में यह प्रमेय पाइथागोरस से 1200 वर्ष पूर्व आता है। यह संभव है कि उस समय तक वे इसके प्रमाण को नहीं जानते थे, और कर्ण और पैरों के बीच के संबंध को माप के आधार पर अनुभवजन्य रूप से स्थापित किया गया था। पाइथागोरस को स्पष्ट रूप से इस संबंध का प्रमाण मिला। संरक्षित प्राचीन परंपराकि उनकी खोज के सम्मान में, पाइथागोरस ने देवताओं को एक बैल की बलि दी, और अन्य साक्ष्यों के अनुसार, यहां तक ​​कि सौ बैल भी। निम्नलिखित शताब्दियों में, पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण पाए गए। वर्तमान में, उनमें से सौ से अधिक हैं, लेकिन सबसे लोकप्रिय प्रमेय किसी दिए गए समकोण त्रिभुज का उपयोग करके एक वर्ग का निर्माण है।

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प्रमेय in प्राचीन चीन"यदि एक समकोण को इसके घटक भागों में विघटित किया जाता है, तो इसके पक्षों के सिरों को जोड़ने वाली रेखा 5 होगी, जब आधार 3 होगा और ऊंचाई 4 होगी।"

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प्रमेय in प्राचीन मिस्रकांटोर (गणित का सबसे बड़ा जर्मन इतिहासकार) का मानना ​​है कि समानता 3 + 4 ² = 5² मिस्रवासियों को 2300 ईसा पूर्व के आसपास पहले से ही ज्ञात थी। ई।, राजा अमेनेमहट के समय में (पेपिरस 6619 . के अनुसार) बर्लिन संग्रहालय) कैंटर के अनुसार, हार्पडोनैप्स, या "स्ट्रिंगर्स", ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाया।

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बेबीलोनिया में प्रमेय के बारे में “थेल्स, पाइथागोरस और पाइथागोरस जैसे पहले यूनानी गणितज्ञों की योग्यता गणित की खोज नहीं है, बल्कि इसका व्यवस्थितकरण और पुष्टि है। उनके हाथों में, अस्पष्ट विचारों पर आधारित कम्प्यूटेशनल व्यंजन एक सटीक विज्ञान बन गए हैं।

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"पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान क्यों हैं"? दो सहस्राब्दियों तक, पाइथागोरस प्रमेय का सबसे आम प्रमाण यूक्लिड का था। यह उनकी प्रसिद्ध पुस्तक "बिगिनिंग्स" में रखा गया है। यूक्लिड ने ऊंचाई सीएच को समकोण के शीर्ष से कर्ण तक कम किया और साबित किया कि इसकी निरंतरता कर्ण पर पूर्ण वर्ग को दो आयतों में विभाजित करती है, जिसके क्षेत्र पैरों पर बने संबंधित वर्गों के क्षेत्रों के बराबर होते हैं। इस प्रमेय के प्रमाण में प्रयुक्त चित्र को मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता है। लंबे समय तक उन्हें गणितीय विज्ञान के प्रतीकों में से एक माना जाता था।

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पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के प्रति पुरातनता के बच्चों का रवैया मध्य युग के छात्रों द्वारा बहुत कठिन माना जाता था। कमजोर छात्र जिन्होंने बिना समझे प्रमेयों को याद किया, और इसलिए "गधे" कहलाए, वे पाइथागोरस प्रमेय को दूर करने में सक्षम नहीं थे, जो उनके लिए एक दुर्गम पुल की तरह काम करता था। पाइथागोरस प्रमेय के साथ आने वाले चित्रों के कारण, छात्रों ने इसे "पवनचक्की" भी कहा, "पाइथागोरस पैंट सभी तरफ समान हैं" जैसी कविताओं की रचना की, और कैरिकेचर बनाए।

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प्रमेय के प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में प्रमेय का सबसे सरल प्रमाण प्राप्त होता है। वास्तव में, किसी को केवल समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों की टाइलिंग को देखने की आवश्यकता है ताकि यह देखा जा सके कि प्रमेय सत्य है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC के लिए: कर्ण AC पर बने वर्ग में 4 प्रारंभिक त्रिभुज होते हैं, और पैरों पर बने वर्गों में दो होते हैं।

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"दुल्हन की कुर्सी" आकृति में, पैरों पर बने वर्गों को एक दूसरे के बगल में चरणों में रखा गया है। यह आंकड़ा, जो 9वीं शताब्दी सीई के बाद के साक्ष्य में मिलता है, ई।, हिंदुओं को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता है।

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पायथागॉरियन प्रमेय का अनुप्रयोग वर्तमान में, यह आमतौर पर माना जाता है कि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों के विकास की सफलता गणित के विभिन्न क्षेत्रों के विकास पर निर्भर करती है। एक महत्वपूर्ण शर्तउत्पादन की दक्षता बढ़ाना प्रौद्योगिकी और राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में गणितीय विधियों का व्यापक परिचय है, जिसमें नए का निर्माण शामिल है, प्रभावी तरीकेगुणात्मक और मात्रात्मक अनुसंधान, जो हमें अभ्यास द्वारा सामने रखी गई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

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निर्माण में प्रमेय का अनुप्रयोग गोथिक की इमारतों में और रोमनस्क्यू शैलीखिड़कियों के ऊपरी हिस्से पत्थर की पसलियों से विभाजित होते हैं, जो न केवल एक आभूषण की भूमिका निभाते हैं, बल्कि खिड़कियों की ताकत में भी योगदान देते हैं।

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ऐतिहासिक कार्य मस्तूल को ठीक करने के लिए, आपको 4 केबल स्थापित करने की आवश्यकता है। प्रत्येक केबल का एक सिरा 12 मीटर की ऊंचाई पर, दूसरा जमीन पर मस्तूल से 5 मीटर की दूरी पर लगाया जाना चाहिए। क्या 50 मीटर रस्सी मस्तूल को सुरक्षित करने के लिए पर्याप्त है?

पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं

यह कास्टिक टिप्पणी (जिसमें पूर्ण रूप से निरंतरता है: इसे साबित करने के लिए, आपको हटाने और दिखाने की आवश्यकता है), किसी के द्वारा आविष्कार किया गया, स्पष्ट रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति के एक महत्वपूर्ण प्रमेय की आंतरिक सामग्री से चौंक गया, पूरी तरह से शुरुआती बिंदु को प्रकट करता है जहां से श्रृंखला पूरी तरह से सरल प्रतिबिंब जल्दी से प्रमेय के प्रमाण के साथ-साथ और भी अधिक महत्वपूर्ण परिणामों की ओर ले जाते हैं। यह प्रमेय, जिम्मेदार ठहराया प्राचीन यूनानी गणितज्ञसमोस के पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व), लगभग हर स्कूली बच्चे के लिए जाना जाता है और ऐसा लगता है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। शायद बहुत से लोग इस बात से सहमत होंगे ज्यामितीय आकृति, एन्क्रिप्शन कहा जाता है "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ बराबर हैं", एक वर्ग कहा जाता है। खैर, चेहरे पर मुस्कान के साथ, जोड़ें हानिरहित मजाकएन्क्रिप्टेड कटाक्ष की निरंतरता में क्या मतलब था के लिए। तो, "इसे साबित करने के लिए, आपको हटाने और दिखाने की आवश्यकता है।" यह स्पष्ट है कि "यह" - सर्वनाम का सीधा अर्थ था प्रमेय, "निकालना" - यह हाथ में लेना है, नामित आकृति लेना, "शो" - शब्द "स्पर्श" का अर्थ है, आकृति के कुछ हिस्सों को लाएं संपर्क में। सामान्य तौर पर, "पायथागॉरियन पैंट" को एक ग्राफिक निर्माण कहा जाता था जो पैंट की तरह दिखता था, जिसे पाइथागोरस प्रमेय के एक बहुत ही कठिन प्रमाण के दौरान यूक्लिड के चित्र पर प्राप्त किया गया था। जब एक सरल प्रमाण मिला, तो शायद किसी तुकबंदी ने इस जीभ को ट्विस्टर-संकेत बनाया ताकि सबूत के दृष्टिकोण की शुरुआत को न भूलें, और लोकप्रिय अफवाह ने इसे पहले से ही एक खाली कहावत की तरह दुनिया भर में फैला दिया। इसलिए यदि आप एक वर्ग लेते हैं, और उसके अंदर एक छोटा वर्ग रखते हैं ताकि उनके केंद्र एक साथ हों, और छोटे वर्ग को तब तक घुमाएं जब तक कि उसके कोने बड़े वर्ग की भुजाओं को स्पर्श न करें, तो बड़ी आकृति पर 4 समान समकोण त्रिभुज हाइलाइट किए जाएंगे। छोटे वर्ग की भुजाओं द्वारा। यहाँ से, एक प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध करने का एक तरीका पहले से ही एक सीधी रेखा है। मान लीजिए कि छोटे वर्ग की भुजा को c से निरूपित किया जाता है। बड़े वर्ग की भुजा a + b है, और फिर इसका क्षेत्रफल (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 है। उसी क्षेत्र को क्षेत्रफल के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है u200bछोटा वर्ग और 4 समान समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल, अर्थात 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. हम एक ही क्षेत्र की दो गणनाओं के बीच एक समान चिह्न लगाते हैं: a 2 +2ab+b 2 = 2ab+c 2. 2ab शब्दों को कम करने के बाद, हम निष्कर्ष प्राप्त करते हैं: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के योग वर्गों के बराबर होता है, अर्थात a 2 + b 2 \u003d c 2. हर कोई नहीं तुरंत समझ जाएगा कि इस प्रमेय का क्या उपयोग है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, इसका मूल्य कई ज्यामितीय गणनाओं के आधार के रूप में कार्य करने में निहित है, जैसे कि एक समन्वय विमान पर बिंदुओं के बीच की दूरी का निर्धारण। कुछ मूल्यवान सूत्र प्रमेय से प्राप्त होते हैं, और इसके सामान्यीकरण से नए प्रमेय बनते हैं जो विमान में गणना और अंतरिक्ष में गणना के बीच की खाई को पाटते हैं। प्रमेय के परिणाम संख्या सिद्धांत में प्रवेश करते हैं, संख्याओं की एक श्रृंखला की संरचना के व्यक्तिगत विवरण का खुलासा करते हैं। और भी बहुत कुछ, आप उन सभी को सूचीबद्ध नहीं कर सकते। निष्क्रिय जिज्ञासा के दृष्टिकोण से एक दृश्य प्रमेय द्वारा मनोरंजक समस्याओं की प्रस्तुति को प्रदर्शित करता है, जो बेहद समझने योग्य तरीके से तैयार किए जाते हैं, लेकिन कभी-कभी कठिन पागल होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, यह उनमें से सबसे सरल, पाइथागोरस संख्याओं के बारे में तथाकथित प्रश्न का हवाला देने के लिए पर्याप्त है, जिसे रोजमर्रा की प्रस्तुति में पूछा जाता है। इस अनुसार: क्या एक कमरा बनाना संभव है, जिसकी लंबाई, चौड़ाई और विकर्ण फर्श पर एक साथ केवल पूर्णांक मानों में मापा जाएगा, मान लीजिए कदम? इस प्रश्न में जरा सा भी परिवर्तन कार्य को अत्यंत कठिन बना सकता है। और तद्नुसार, कुछ ऐसे भी हैं जो विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक उत्साह के कारण अगली गणितीय पहेली को विभाजित करने में स्वयं को परखना चाहते हैं। प्रश्न में एक और बदलाव - और दूसरी पहेली। अक्सर, ऐसी समस्याओं के उत्तर की खोज के क्रम में, गणित विकसित होता है, पुरानी अवधारणाओं पर नए विचार प्राप्त करता है, नए व्यवस्थित दृष्टिकोण प्राप्त करता है, और इसी तरह, जिसका अर्थ है कि पाइथागोरस प्रमेय, हालांकि, किसी भी अन्य सार्थक सिद्धांत की तरह, कम नहीं है इस दृष्टि से उपयोगी है। पाइथागोरस के समय के गणित ने परिमेय संख्याओं (प्राकृतिक संख्या या प्राकृतिक अंश और हर के साथ भिन्न) के अलावा अन्य संख्याओं को नहीं पहचाना। सब कुछ पूरे मूल्यों या पूर्ण के कुछ हिस्सों में मापा गया था। इसलिए, ज्यामितीय गणना करने की इच्छा, प्राकृतिक संख्याओं में अधिक से अधिक समीकरणों को हल करने की इच्छा इतनी समझ में आती है। उनके लिए लत रास्ता खोलती है अविश्वसनीय दुनियासंख्याओं के रहस्य, जिनमें से एक श्रृंखला, ज्यामितीय व्याख्या में, शुरू में अनंत अंकों के साथ एक सीधी रेखा के रूप में प्रकट होती है। कभी-कभी श्रृंखला में कुछ संख्याओं के बीच संबंध, उनके बीच "रैखिक दूरी", अनुपात तुरंत आंख को पकड़ लेता है, और कभी-कभी सबसे जटिल मानसिक निर्माण हमें यह स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं कि कुछ संख्याओं का वितरण किन कानूनों के अधीन है। यह पता चलता है कि नई दुनिया में, इस "एक-आयामी ज्यामिति" में, पुरानी समस्याएं वैध रहती हैं, केवल उनका सूत्रीकरण बदलता है। उदाहरण के लिए, पाइथागोरस संख्याओं के बारे में कार्य का एक प्रकार: "घर से, पिता प्रत्येक x सेंटीमीटर के x कदम उठाता है, और फिर y सेंटीमीटर के चरणों पर चलता है। पुत्र उसके पीछे z सेंटीमीटर प्रत्येक के z कदम चलता है। क्या होना चाहिए उनके कदमों का आकार z-वें चरण पर जाने के लिए क्या बच्चे ने पिता के पदचिन्हों पर कदम रखा? निष्पक्षता के लिए, विचार विकास की पाइथागोरस पद्धति के नौसिखिए गणितज्ञ के लिए कुछ कठिनाई पर ध्यान देना आवश्यक है। यह एक विशेष प्रकार की गणितीय सोच शैली है, आपको इसकी आदत डालने की आवश्यकता है। एक बिंदु दिलचस्प है। बेबीलोनियन राज्य के गणितज्ञ (यह पाइथागोरस के जन्म से लगभग डेढ़ हजार साल पहले पैदा हुआ था) भी स्पष्ट रूप से संख्याओं को खोजने के कुछ तरीकों को जानते थे, जिन्हें बाद में पाइथागोरस के रूप में जाना जाने लगा। क्यूनिफॉर्म की गोलियां मिलीं, जहां बेबीलोन के संतों ने ऐसी संख्याओं के त्रिगुणों को लिखा, जिन्हें उन्होंने पहचाना। कुछ त्रिगुणों में बहुत बड़ी संख्याएँ थीं, जिसके संबंध में हमारे समकालीनों ने यह मान लेना शुरू कर दिया था कि बेबीलोनियों के पास उनकी गणना करने के अच्छे, और शायद सरल भी थे। दुर्भाग्य से, स्वयं विधियों या उनके अस्तित्व के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है।