Dnes vám povieme o tom, ako nájsť tvoriacu čiaru kužeľa, ktorá sa často vyžaduje v úlohách školskej geometrie.

Koncept tvoriacej čiary kužeľa

Pravý kužeľ je obrazec, ktorý je výsledkom rotácie pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Základňa kužeľa tvorí kruh. Vertikálna časť kužeľa je trojuholník, horizontálna časť je kruh. Výška kužeľa je segment, ktorý spája hornú časť kužeľa so stredom základne. Tvoriaca čiara kužeľa je úsečka, ktorá spája vrchol kužeľa s ľubovoľným bodom na priamke obvodu základne.

Keďže kužeľ je vytvorený rotáciou pravouhlého trojuholníka, ukazuje sa, že prvá vetva takéhoto trojuholníka je výška, druhá je polomer kruhu ležiaceho na základni a tvoriaca čiara kužeľa bude hypotenzia. Je ľahké uhádnuť, že Pytagorova veta je užitočná na výpočet dĺžky tvoriacej čiary. A teraz viac o tom, ako zistiť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa.

Nájdenie generatrix

Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť, ako nájsť generatrix, je konkrétny príklad. Predpokladajme, že sú dané nasledujúce podmienky úlohy: výška je 9 cm, priemer základnej kružnice je 18 cm.Je potrebné nájsť tvoriacu čiaru.

Výška kužeľa (9 cm) je teda jednou z nôh pravouhlého trojuholníka, pomocou ktorej bol tento kužeľ vytvorený. Druhé rameno bude mať polomer základnej kružnice. Polomer je polovica priemeru. Takto daný priemer rozdelíme na polovicu a dostaneme dĺžku polomeru: 18:2 = 9. Polomer je 9.

Teraz je veľmi ľahké nájsť tvoriacu čiaru kužeľa. Keďže ide o preponu, druhá mocnina jej dĺžky sa bude rovnať súčtu druhých mocnín nôh, teda súčtu druhých mocnín polomeru a výšky. Takže druhá mocnina dĺžky tvoriacej čiary = 64 (druhá mocnina dĺžky polomeru) + 64 (druhá mocnina dĺžky výšky) = 64x2 = 128. Teraz extrahujeme Odmocnina zo 128. V dôsledku toho dostaneme osem koreňov z dvoch. Toto bude tvoriaca čiara kužeľa.

Ako vidíte, v tomto nie je nič zložité. Napríklad sme vzali jednoduché pojmyúlohy, ale v školskom kurze môžu byť náročnejšie. Pamätajte, že na výpočet dĺžky tvoriacej čiary je potrebné zistiť polomer kruhu a výšku kužeľa. Po znalosti týchto údajov je ľahké nájsť dĺžku tvoriacej čiary.

Revolučné telesá, ktoré sa študovali v škole, sú valec, kužeľ a guľa.

Ak v úlohe USE v matematike potrebujete vypočítať objem kužeľa alebo plochu gule, považujte sa za šťastného.

Použite vzorce pre objem a povrch valca, kužeľa a gule. Všetky sú v našej tabuľke. Učiť sa naspamäť. Tu začína poznanie stereometrie.

Niekedy je dobré nakresliť pohľad zhora. Alebo, ako v tomto probléme, zdola.

2. Koľkokrát väčší je objem kužeľa opísaného v blízkosti pravidelného štvorbokého ihlana ako objem kužeľa vpísaného do tohto ihlana?

Všetko je jednoduché - nakreslíme pohľad zdola. Vidíme, že polomer väčšieho kruhu je niekoľkonásobne väčší ako polomer menšieho kruhu. Výšky oboch kužeľov sú rovnaké. Preto bude objem väčšieho kužeľa dvakrát väčší.

Ďalší dôležitý bod. Pamätajte, že v úlohách časti B POUŽÍVAŤ možnosti v matematike sa odpoveď zapisuje ako celé číslo alebo konečná desatinný zlomok. Preto by ste vo svojej odpovedi v časti B nemali mať žiadne alebo. Nahradenie približnej hodnoty čísla tiež nie je potrebné! Musí sa znížiť! Z tohto dôvodu je v niektorých úlohách úloha formulovaná napríklad takto: "Nájdite plochu bočného povrchu valca delenú".

A kde inde sa používajú vzorce pre objem a povrch rotačných telies? Samozrejme, v úlohe C2 (16). Aj o tom vám povieme.

Geometria je oblasť matematiky, ktorá študuje štruktúry v priestore a vzťah medzi nimi. Tá sa zase skladá zo sekcií a jednou z nich je stereometria. Poskytuje štúdium vlastností objemových útvarov umiestnených v priestore: kocka, pyramída, guľa, kužeľ, valec atď.

Kužeľ je teleso v euklidovskom priestore, ktoré ohraničuje kužeľovú plochu a rovinu, na ktorej ležia konce jeho generátorov. K jeho vzniku dochádza v procese rotácie pravouhlého trojuholníka okolo ktorejkoľvek z jeho nôh, preto patrí k rotačným telesám.

Komponenty kužeľa

Existujú nasledujúce typy kužeľov: šikmé (alebo šikmé) a rovné. Šikmý je ten, ktorého os sa pretína so stredom jeho základne nie v pravom uhle. Z tohto dôvodu sa výška v takomto kuželi nezhoduje s osou, pretože ide o segment, ktorý je spustený z hornej časti tela do roviny jeho základne pod uhlom 90 °.

Ten kužeľ, ktorého os je kolmá na jeho základňu, sa nazýva pravý kužeľ. Os a výška v tak geometrické teleso sa zhodujú v dôsledku skutočnosti, že vrchol v ňom je umiestnený nad stredom priemeru základne.

Kužeľ sa skladá z nasledujúcich prvkov:

1. Kruh, ktorý je jeho základňou.
2. Bočný povrch.
3. Bod, ktorý neleží v rovine základne, nazývaný vrchol kužeľa.
4. Segmenty, ktoré spájajú body kružnice základne geometrického telesa a jeho vrcholu.

Všetky tieto segmenty sú generátormi kužeľa. Sú naklonené k základni geometrického telesa a v prípade pravého kužeľa sú ich priemetne rovnaké, pretože vrchol je rovnako vzdialený od bodov základnej kružnice. Môžeme teda dospieť k záveru, že v pravidelnom (rovnom) kuželi sú generátory rovnaké, to znamená, že majú rovnakú dĺžku a zvierajú rovnaké uhly s osou (alebo výškou) a základňou.

Keďže v šikmom (alebo naklonenom) rotačnom telese je vrchol posunutý vzhľadom na stred základnej roviny, generátory v takomto telese majú rôzne dĺžky a projekcie, pretože každý z nich je v inej vzdialenosti od akýchkoľvek dvoch bodov. základného kruhu. Okrem toho sa budú líšiť aj uhly medzi nimi a výška kužeľa.

Dĺžka generátorov v pravom kuželi

Ako už bolo napísané vyššie, výška v priamom geometrickom rotačnom telese je kolmá na rovinu základne. Teda tvoriaca čiara, výška a polomer základne vytvárajú pravouhlý trojuholník v kuželi.

To znamená, že ak poznáte polomer základne a výšku, pomocou vzorca z Pytagorovej vety môžete vypočítať dĺžku tvoriacej čiary, ktorá sa bude rovnať súčtu druhých mocnín polomeru základne a výšky:

l 2 \u003d r 2 + h 2 alebo l \u003d √r 2 + h 2

kde l - tvoriaca čiara;

r - polomer;

h - výška.

Generátor v šikmom kuželi

Na základe skutočnosti, že v šikmom alebo šikmom kuželi generátory nemajú rovnakú dĺžku, nebude fungovať ich výpočet bez dodatočných konštrukcií a výpočtov.

Najprv musíte poznať výšku, dĺžku osi a polomer základne.

r 1 \u003d √k 2 - h 2

kde r1 je časť polomeru medzi osou a výškou;

k - dĺžka osi;

h - výška.

V dôsledku sčítania polomeru (r) a jeho časti ležiacej medzi osou a výškou (r 1) môžete zistiť úplnú tvoriacu čiaru kužeľa, jeho výšku a časť priemeru:

kde R je rameno trojuholníka tvoreného výškou, tvoriacou čiarou a časťou priemeru základne;

r - polomer základne;

r 1 - časť polomeru medzi osou a výškou.

Pomocou rovnakého vzorca z Pytagorovej vety môžete nájsť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa:

l \u003d √h 2 + R 2

alebo bez samostatného výpočtu R skombinujte dva vzorce do jedného:

l = √h2 + (r + r1)2.

Bez ohľadu na to, či je kužeľ rovný alebo šikmý a aký druh vstupu, všetky metódy na nájdenie dĺžky tvoriacej čiary vždy vedú k jednému výsledku - použitiu Pytagorovej vety.

Kužeľová časť

Axiálna rovina je rovina prechádzajúca pozdĺž jej osi alebo výšky. V pravom kuželi je takýto úsek rovnoramenný trojuholník, v ktorom výška trojuholníka je výška tela, jeho strany sú generátory a základňa je priemer základne. V rovnostrannom geometrickom telese je axiálnym rezom rovnostranný trojuholník, pretože v tomto kuželi je priemer základne a generátorov rovnaký.

Rovina osového rezu v pravom kuželi je rovinou jeho symetrie. Dôvodom je, že jeho vrchol je nad stredom jeho základne, to znamená, že rovina axiálneho rezu rozdeľuje kužeľ na dve rovnaké časti.

Keďže v šikmom objemné telo výška a os sa nezhodujú, rovina osového rezu nemusí zahŕňať výšku. Ak je možné v takomto kuželi postaviť sústavu osových rezov, keďže na to treba dodržať iba jednu podmienku - musí prechádzať len osou, potom osový rez rovinou, ktorý bude patriť do výšky tohto kužeľa kužeľa, môže byť vykonaná iba jedna, pretože počet podmienok sa zvyšuje, a ako je známe, dve priame čiary (spolu) môžu patriť iba do jednej roviny.

Prierezová plocha

Osová časť kužeľa spomenutá vyššie je trojuholník. Na základe toho možno jeho plochu vypočítať pomocou vzorca pre oblasť trojuholníka:

S = 1/2 * d * h alebo S = 1/2 * 2r * h

kde S je plocha prierezu;

d - priemer základne;

r - polomer;

h - výška.

V šikmom alebo naklonenom kuželi je prierez pozdĺž osi tiež trojuholník, takže plocha prierezu v ňom sa vypočíta podobným spôsobom.

Objem

Pretože kužeľ je objemná postava v 3D priestore môžete vypočítať jeho objem. Objem kužeľa je číslo, ktoré charakterizuje toto teleso v jednotke objemu, to znamená v m 3 . Výpočet nezávisí od toho, či je rovný alebo šikmý (šikmý), keďže vzorce pre tieto dva typy telies sa nelíšia.

Ako už bolo uvedené, k vytvoreniu pravého kužeľa dochádza v dôsledku rotácie pravouhlého trojuholníka pozdĺž jednej z jeho nôh. Šikmý alebo šikmý kužeľ je vytvorený inak, pretože jeho výška je posunutá preč od stredu základnej roviny telesa. Takéto rozdiely v štruktúre však neovplyvňujú spôsob výpočtu jeho objemu.

Výpočet objemu

Akýkoľvek kužeľ vyzerá takto:

V = 1/3 * π * h * r2

kde V je objem kužeľa;

h - výška;

r - polomer;

π je konštanta rovná 3,14.

Na výpočet výšky telesa je potrebné poznať polomer základne a dĺžku jej tvoriacej čiary. Keďže polomer, výška a tvoriaca čiara sú kombinované do pravouhlého trojuholníka, výšku možno vypočítať pomocou vzorca z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 \u003d c 2 alebo v našom prípade h 2 + r 2 \u003d l 2, kde l je tvoriaca čiara). V tomto prípade sa výška vypočíta extrahovaním druhej odmocniny rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy:

a \u003d √c 2 - b 2

To znamená, že výška kužeľa sa bude rovnať hodnote získanej po extrakcii druhej odmocniny z rozdielu medzi druhou mocninou dĺžky tvoriacej čiary a druhou mocninou polomeru základne:

h \u003d √l 2 - r 2

Po vypočítaní výšky touto metódou a poznaní polomeru jej základne je možné vypočítať objem kužeľa. V tomto prípade hrá dôležitú úlohu tvoriaca čiara, pretože slúži ako pomocný prvok pri výpočtoch.

Podobne, ak poznáte výšku telesa a dĺžku jeho tvoriacej čiary, môžete nájsť polomer jeho základne extrahovaním druhej odmocniny rozdielu medzi druhou mocninou tvoriacej čiary a druhou mocninou výšky:

r \u003d √l 2 - h 2

Potom pomocou rovnakého vzorca ako vyššie vypočítajte objem kužeľa.

Nakloňte objem kužeľa

Pretože vzorec pre objem kužeľa je rovnaký pre všetky typy rotačného telesa, rozdiel v jeho výpočte je hľadanie výšky.

Aby bolo možné nájsť výšku nakloneného kužeľa, vstupné údaje musia zahŕňať dĺžku tvoriacej čiary, polomer základne a vzdialenosť medzi stredom základne a priesečníkom výšky telesa s rovinou jeho základ. Keď to vieme, možno ľahko vypočítať tú časť priemeru základne, ktorá bude základňou pravouhlého trojuholníka (tvoreného výškou, tvoriacou čiarou a rovinou základne). Potom opäť pomocou Pytagorovej vety vypočítajte výšku kužeľa a následne jeho objem.

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: hodina štúdia nového materiálu s využitím prvkov problémovej vyučovacej metódy.

Ciele lekcie:

• poznávacie:
  • oboznámenie sa s novým matematickým konceptom;
  • vytvorenie nového ZUN;
  • formovanie praktických zručností na riešenie problémov.
• vyvíja:
  • rozvoj samostatného myslenia žiakov;
  • rozvoj zručností správna rečškolákov.
• vzdelávacie:
  • rozvoj zručností tímovej práce.

Vybavenie lekcie: magnetická tabuľa, počítač, plátno, multimediálny projektor, model kužeľa, prezentácia lekcie, písomka.

Ciele hodiny (pre študentov):

• zoznámiť sa s novým geometrickým konceptom - kužeľom;
• odvodiť vzorec na výpočet plochy povrchu kužeľa;
• naučiť sa aplikovať získané poznatky pri riešení praktických problémov.

Počas vyučovania

ja inscenujem. Organizačné.

Odovzdanie zošitov s domácou testovou prácou na preberanú tému.

Študenti sú vyzvaní, aby zistili tému nadchádzajúcej hodiny riešením rébusu (snímka 1):

Obrázok 1.

Oznámenie študentom o téme a cieľoch hodiny (snímka 2).

II etapa. Vysvetlenie nového materiálu.

1) Prednáška učiteľa.

Na doske je stôl s obrázkom kužeľa. nový materiál vysvetlené v sprievodnom programovom materiáli „Stereometria“. Na obrazovke sa objaví trojrozmerný obraz kužeľa. Učiteľ uvádza definíciu kužeľa, hovorí o jeho prvkoch. (snímka 3). Hovorí sa, že kužeľ je teleso vytvorené rotáciou pravouhlého trojuholníka vzhľadom na nohu. (snímky 4, 5). Objaví sa obraz vývoja bočného povrchu kužeľa. (snímka 6)

2) Praktická práca.

Aktualizácia základných vedomostí: zopakujte vzorce na výpočet plochy kruhu, plochy sektora, dĺžky kruhu, dĺžky oblúka kruhu. (snímky 7-10)

Trieda je rozdelená do skupín. Každá skupina dostane sken bočného povrchu kužeľa vyrezaného z papiera (kruhový sektor s priradeným číslom). Študenti vykonajú potrebné merania a vypočítajú plochu výsledného sektora. Na obrazovke sa objavia pokyny na vykonanie práce, otázky - problémové vyhlásenia (snímky 11-14). Zástupca každej skupiny zapíše výsledky výpočtov do tabuľky pripravenej na tabuľu. Účastníci každej skupiny lepia model kužeľa z vývoja, ktorý majú. (snímka 15)

3) Vyjadrenie a riešenie problému.

Ako vypočítať plochu bočného povrchu kužeľa, ak je známy iba polomer základne a dĺžka tvoriacej čiary kužeľa? (snímka 16)

Každá skupina vykoná potrebné merania a pokúsi sa pomocou dostupných údajov odvodiť vzorec na výpočet požadovanej plochy. Pri tejto práci by si študenti mali všimnúť, že obvod základne kužeľa sa rovná dĺžke oblúka sektora - rozvinutiu bočného povrchu tohto kužeľa. (snímky 17-21) Pomocou potrebných vzorcov sa odvodí požadovaný vzorec. Úvaha študentov by mala vyzerať asi takto:

Polomer sektora - zametanie sa rovná l, miera stupňa oblúka je φ. Plocha sektora sa vypočíta podľa vzorca: dĺžka oblúka ohraničujúceho tento sektor sa rovná polomeru základne kužeľa R. Dĺžka kruhu ležiaceho na základni kužeľa je C = 2πR . Všimnite si, že keďže plocha bočného povrchu kužeľa sa rovná ploche rozvoja jeho bočného povrchu, potom

Takže plocha bočného povrchu kužeľa sa vypočíta podľa vzorca S BSK = πRl.

Po výpočte plochy bočného povrchu kužeľového modelu podľa vzorca odvodeného nezávisle, zástupca každej skupiny zapíše výsledok výpočtov do tabuľky na doske v súlade s číslami modelu. Výsledky výpočtu v každom riadku musia byť rovnaké. Na tomto základe učiteľ určí správnosť záverov každej skupiny. Výsledná tabuľka by mala vyzerať takto:

Model č.	I úloha	II úloha
	(125/3)π ~ 41,67π
	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parametre modelu:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproximácia výpočtov je spojená s chybami merania.

Po skontrolovaní výsledkov sa na obrazovke zobrazí výstup vzorcov pre oblasti bočných a plných plôch kužeľa. (snímky 22-26)žiaci si píšu poznámky do zošitov.

III etapa. Konsolidácia študovaného materiálu.

1) Študenti sú ponúkaní úlohy na ústne riešenie na hotových výkresoch.

Nájdite plochy celkových povrchov kužeľov znázornených na obrázkoch (snímky 27-32).

2) Otázka: Sú plochy plôch kužeľov vytvorených rotáciou jedného pravouhlého trojuholníka o rôznych ramenách rovnaké? Žiaci vytvoria hypotézu a overia ju. Testovanie hypotéz sa uskutočňuje riešením úloh a zapisuje ich žiak na tabuľu.

Vzhľadom na to: AABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - revolučné orgány.

Nájsť: S PPC 1 , S PPC 2 .

Obrázok 5 (snímka 33)

Riešenie:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BSK 1 + S hlavná 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R = AC = b; S PPC 2 = S BSK 2 + S hlavné 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Ak S PPC 1 = S PPC 2, potom a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Pretože a, b, c kladné čísla (dĺžky strán trojuholníka), tore-rovnosť platí len vtedy, ak a =b.

Záver: Plochy plôch dvoch kužeľov sú rovnaké, iba ak sú ramená trojuholníka rovnaké. (snímka 34)

3) Riešenie úlohy z učebnice: č.565.

IV štádium. Zhrnutie lekcie.

Domáca úloha: str. 55, 56; č. 548, č. 561. (snímka 35)

Vyhlásenie známok.

Závery počas lekcie, zopakovanie hlavných informácií získaných na lekcii.

Literatúra (snímka 36)

1. Geometria ročníky 10-11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev a kol., M., Osvietenie, 2008.
2. "Matematické hádanky a šarády" - N.V. Udaltsov, knižnica „Prvý september“, séria „MATEMATIKA“, číslo 35, M., Chistye Prudy, 2010.