Pokračujeme v štúdiu témy riešenie rovníc". S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a teraz sa s nimi zoznámime kvadratické rovnice.
Najprv si rozoberieme, čo je kvadratická rovnica, ako sa píše vo všeobecnej forme a uvedieme súvisiace definície. Potom na príkladoch podrobne analyzujeme, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdime k riešeniu úplných rovníc, získajme vzorec pre korene, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia charakteristické príklady. Nakoniec sledujeme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.
Navigácia na stránke.
Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy
Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať hovoriť o kvadratických rovniciach s definíciou kvadratickej rovnice, ako aj definíciami s ňou súvisiacimi. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.
Definícia a príklady kvadratických rovníc
Definícia.
Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je odlišné od nuly.
Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to preto, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.
Znela definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. sú kvadratické rovnice.
Definícia.
čísla a , b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c \u003d 0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo vyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen.
Zoberme si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x−3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient je −2 a voľný člen je −3. Všimnite si, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, potom krátka forma napísanie kvadratickej rovnice v tvare 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .
Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a / alebo b rovnajú 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v zápise kvadratickej rovnice, čo je spôsobené zvláštnosťami zápisu takejto rovnice. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient v y je −1.
Redukované a neredukované kvadratické rovnice
V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.
Definícia.
Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 redukovaná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica neznížené.
Podľa túto definíciu, kvadratické rovnice x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 atď. - znížený, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1 .
Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch jej častí vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.
Uveďme si príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.
Príklad.
Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.
Riešenie.
Nám stačí vykonať delenie oboch častí pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, ten je nenulový, takže môžeme vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , čo je rovnaké ako (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 a tak ďalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Tak sme dostali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.
odpoveď:
Úplné a neúplné kvadratické rovnice
V definícii kvadratickej rovnice existuje podmienka a≠0. Táto podmienka je potrebná na to, aby rovnica a x 2 +b x+c=0 bola presne kvadratická, keďže s a=0 sa vlastne stáva lineárnou rovnicou v tvare b x+c=0 .
Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, samostatne aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.
Definícia.
Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b , c rovná nule.
Vo svojom poradí
Definícia.
Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.
Tieto mená nie sú dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcej diskusie.
Ak sa koeficient b rovná nule, potom má kvadratická rovnica tvar a x 2 +0 x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a x 2 +b x+0=0 , potom ju možno prepísať ako a x 2 +b x=0 . A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.
Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 = 0, −2 x 2 = 0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.
Riešenie neúplných kvadratických rovníc
Z informácií z predchádzajúceho odseku vyplýva, že existuje tri druhy neúplných kvadratických rovníc:
- a x 2 =0, zodpovedajú tomu koeficienty b=0 a c=0;
- ax2+c=0, keď b=0;
- a ax2+bx=0, keď c=0.
Poďme analyzovať v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.
a x 2 \u003d 0
Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda s rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením jej oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d 0 je nula, pretože 0 2 \u003d 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené, skutočne, pre akékoľvek nenulové číslo p nastáva nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.
Neúplná kvadratická rovnica a x 2 \u003d 0 má teda jeden koreň x \u003d 0.
Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4·x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 \u003d 0, jej jediný koreň je x \u003d 0, preto má pôvodná rovnica jednu odmocninu nulu.
V tomto prípade je možné vydať krátke riešenie nasledujúcim spôsobom:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.
a x 2 + c = 0
Teraz zvážte, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých sa koeficient b rovná nule a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že prenos člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto je možné vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + c = 0:
- presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
- a obe jeho časti vydelíme a , dostaneme .
Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6 , potom ), nerovná sa nule , pretože podľa podmienky c≠0 . Samostatne budeme analyzovať prípady a .
Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.
Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si spomenieme na, potom je koreň rovnice okamžite zrejmý, je to číslo, pretože. Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.
Označme práve vyjadrené korene rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má iný koreň x 2 odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1 . Je známe, že substitúcia do rovnice namiesto x jej koreňov zmení rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti číselných rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie skutočných číselných rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 − x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Zo získanej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0 , čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 = −x 1 . Dostali sme sa teda do rozporu, keďže sme na začiatku povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1 . To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .
Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici , ktorá
- nemá korene, ak,
- má dva korene a ak .
Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0 .
Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0 . Po prenesení voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9·x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 dostaneme . Keďže na pravej strane sa získa záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7=0 nemá korene.
Vyriešme ešte jednu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Prenesieme deväť na pravú stranu: -x 2 \u003d -9. Teraz obe časti vydelíme −1, dostaneme x 2 =9. Pravá strana obsahuje kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že alebo . Po zapísaní konečnej odpovede: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.
a x 2 + b x = 0
Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 +b x=0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0 . A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a x+b=0 , z ktorých posledná je lineárna a má koreň x=−b/a .
Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +b x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.
Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie konkrétneho príkladu.
Príklad.
Vyriešte rovnicu.
Riešenie.
Vyberieme x zo zátvoriek, čím získame rovnicu. Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a po vydelení zmiešaného čísla obyčajným zlomkom nájdeme . Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .
Po získaní potrebnej praxe je možné riešenia takýchto rovníc stručne napísať:
odpoveď:
x=0,.
Diskriminant, vzorec koreňov kvadratickej rovnice
Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si zapísať vzorec koreňov kvadratickej rovnice: , kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .
Je užitočné vedieť, ako sa získal koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme sa s tým vysporiadať.
Odvodenie vzorca koreňov kvadratickej rovnice
Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0 . Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:
- Obe časti tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je redukovaná kvadratická rovnica.
- Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
- V tejto fáze je možné vykonať presun posledných dvoch pojmov na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
- A pretvorme aj výraz na pravej strane: .
Výsledkom je, že dospejeme k rovnici , ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0 .
Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme analyzovali . To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:
- ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
- if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
- if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.
Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4 a 2 je vždy kladný, teda znamienko výrazu b 2 −4 a c . Tento výraz b 2 −4 a c sa nazýva diskriminant kvadratickej rovnice a označené písmenom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka sa usudzuje, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aký je ich počet - jeden alebo dva.
Vrátime sa k rovnici , prepíšeme ju pomocou zápisu diskriminantu: . A uzatvárame:
- ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
- nakoniec, ak D>0, tak rovnica má dva korene alebo , ktoré možno prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a zmenšení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme .
Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú takto , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4 a c .
S ich pomocou, s kladným diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď je diskriminant rovný nule, oba vzorce dávajú rovnakú koreňovú hodnotu zodpovedajúcu jedinému riešeniu kvadratickej rovnice. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii druhej odmocniny zo záporného čísla, čo nás zavedie ďalej. školské osnovy. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.
Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov
V praxi pri riešení kvadratickej rovnice môžete okamžite použiť koreňový vzorec, pomocou ktorého vypočítate ich hodnoty. Ale tu ide skôr o hľadanie zložitých koreňov.
V kurze školskej algebry to však väčšinou je rozprávame sa nie o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné najskôr nájsť diskriminant pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá žiadne skutočné korene) a potom vypočítajte hodnoty koreňov.
Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c \u003d 0 potrebujete:
- pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4 a c vypočítajte jeho hodnotu;
- dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
- vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0 ;
- nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.
Tu len poznamenáme, že ak je diskriminant rovný nule, dá sa použiť aj vzorec, dá rovnakú hodnotu ako .
Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.
Príklady riešenia kvadratických rovníc
Zvážte riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Začnime.
Príklad.
Nájdite korene rovnice x 2 +2 x−6=0 .
Riešenie.
V tomto prípade máme tieto koeficienty kvadratickej rovnice: a=1 , b=2 a c=−6 . Podľa algoritmu musíte najskôr vypočítať diskriminant, na to dosadíme označené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Keďže 28>0, teda diskriminant je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva reálne korene. Nájdeme ich podľa vzorca koreňov , dostaneme , tu môžeme zjednodušiť výrazy získané vykonaním vylúčenie znamienka koreňa nasleduje redukcia frakcií:
odpoveď:
Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.
Príklad.
Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .
Riešenie.
Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.
odpoveď:
x = 3,5.
Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.
Príklad.
Riešte rovnicu 5 y 2 +6 y+2=0 .
Riešenie.
Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5 , b=6 a c=2 . Nahradením týchto hodnôt do diskriminačného vzorca máme D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.
Ak potrebujete špecifikovať komplexné korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:
odpoveď:
neexistujú skutočné korene, komplexné korene sú: .
Ešte raz poznamenávame, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, škola zvyčajne ihneď zapíše odpoveď, v ktorej uvedie, že neexistujú žiadne skutočné korene a nenájdu zložité korene.
Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty
Vzorec pre korene kvadratickej rovnice , kde D=b 2 −4 a c vám umožňuje získať kompaktnejší vzorec, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pri x (alebo jednoducho s koeficientom, ktorý vyzerá ako 2 n napríklad alebo 14 ln5 = 2 7 ln5). Zoberme ju von.
Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x + c=0 . Nájdite jeho korene pomocou nám známeho vzorca. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:
Výraz n 2 −a c označme ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n nadobúda tvar 
, kde D 1 = n 2 −a c .
Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.
Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n potrebujete
- Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
- Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
- Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.
Zvážte riešenie príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.
Príklad.
Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x−32=0 .
Riešenie.
Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tu a=5 , n=−3 a c=−32 a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Nájdeme ich pomocou zodpovedajúceho koreňového vzorca:
Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.
odpoveď:
Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc
Niekedy predtým, ako sa pustíme do výpočtu koreňov kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice“? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x −6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0 .
Zvyčajne sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo vydelením oboch jej strán nejakým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku sa nám podarilo dosiahnuť zjednodušenie rovnice 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100 .
Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . V tomto prípade sú obe časti rovnice zvyčajne delené absolútnymi hodnotami jej koeficientov. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Vydelením oboch častí pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0 .
A násobenie oboch častí kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva na menovateľoch jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe časti kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6 , potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4 x−18=0 .
Na záver tohto odseku poznamenávame, že takmer vždy sa zbavíme mínusu na vodiacom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch častí −1. Napríklad z kvadratickej rovnice −2·x 2 −3·x+7=0 prejdite na riešenie 2·x 2 +3·x−7=0 .
Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice
Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice z hľadiska jej koeficientov. Na základe vzorca koreňov môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.
Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety o tvare a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov je voľný člen. Napríklad tvarom kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x+22=0 môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov je 7/3 a súčin koreňov je 22/3.
Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších vzťahov medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Môžete napríklad vyjadriť súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice pomocou jej koeficientov: .
Bibliografia.
- Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice používal človek už od staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Diskriminant vám umožňuje riešiť akékoľvek kvadratické rovnice pomocou všeobecného vzorca, ktorý má nasledujúci tvar:
Diskriminačný vzorec závisí od stupňa polynómu. Vyššie uvedený vzorec je vhodný na riešenie kvadratických rovníc nasledujúceho tvaru:
Diskriminant má nasledujúce vlastnosti, ktoré potrebujete vedieť:
* "D" je 0, ak má polynóm viacero koreňov (rovnaké korene);
* "D" je symetrický polynóm vzhľadom na korene polynómu, a preto je vo svojich koeficientoch polynóm; navyše koeficienty tohto polynómu sú celé čísla bez ohľadu na rozšírenie, v ktorom sú korene.
Predpokladajme, že dostaneme kvadratickú rovnicu nasledujúceho tvaru:
1 rovnica
Podľa vzorca máme:
Keďže \, potom má rovnica 2 korene. Poďme si ich definovať:
Kde môžem vyriešiť rovnicu prostredníctvom diskriminačného online riešiteľa?
Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa riešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa do našej skupiny, vždy vám radi pomôžeme.
AT moderná spoločnosť schopnosť pracovať s rovnicami obsahujúcimi druhú mocninu premennej môže byť užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaná v praxi vo vedeckom a technickom rozvoji. Dôkazom toho môže byť dizajn námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou takýchto výpočtov sú trajektórie pohybu najviac rôzne telá vrátane vesmírnych objektov. Príklady s riešením kvadratických rovníc sa využívajú nielen v ekonomických prognózach, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť potrebné pri kempovaní, na športových podujatiach, v obchodoch pri nakupovaní a v iných veľmi bežných situáciách.
Rozložme výraz na komponentové faktory
Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa premennej, ktorú daný výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, potom sa takáto rovnica nazýva kvadratická rovnica.
Ak hovoríme jazykom vzorcov, potom tieto výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy uvedené do podoby, keď ľavá strana výrazu pozostáva z troch výrazov. Medzi nimi: ax 2 (to znamená premenná na druhú so svojím koeficientom), bx (neznáma bez druhej mocniny so svojím koeficientom) a c (voľná zložka, teda obyčajné číslo). Toto všetko sa na pravej strane rovná 0. V prípade, že takýto polynóm nemá jeden zo svojich členov, s výnimkou osi 2, nazýva sa neúplná kvadratická rovnica. Najprv treba zvážiť príklady s riešením takýchto problémov, v ktorých nie je ťažké nájsť hodnotu premenných.
Ak výraz vyzerá, že má na pravej strane výrazu dva členy, presnejšie ax 2 a bx, je najjednoduchšie nájsť x pomocou zátvoriek premennej. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x(ax+b). Ďalej je zrejmé, že buď x=0, alebo je problém zredukovaný na nájdenie premennej z nasledujúceho výrazu: ax+b=0. Je to dané jednou z vlastností násobenia. Pravidlo hovorí, že súčin dvoch faktorov má za následok 0 iba vtedy, ak je jeden z nich nula.
Príklad
x = 0 alebo 8x - 3 = 0
Výsledkom je, že dostaneme dva korene rovnice: 0 a 0,375.
Rovnice tohto druhu môžu opísať pohyb telies pôsobením gravitácie, ktoré sa začali pohybovať od určitého bodu, ktorý sa považuje za pôvod. Tu má matematický zápis nasledujúci tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosadením potrebných hodnôt, prirovnaním pravej strany k 0 a nájdením možných neznámych môžete zistiť čas, ktorý uplynul od okamihu, keď sa telo zdvihlo do okamihu, keď kleslo, ako aj mnohé ďalšie veličiny. Ale o tom si povieme neskôr.
Faktorizácia výrazu
Vyššie popísané pravidlo umožňuje vyriešiť tieto problémy a ešte viac ťažké prípady. Zvážte príklady riešenia kvadratických rovníc tohto typu.
X2 - 33x + 200 = 0
Táto štvorcová trojčlenka je dokončená. Najprv výraz transformujeme a rozložíme na faktory. Sú dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.
Príklady s riešením kvadratických rovníc v 9. ročníku umožňujú touto metódou nájsť premennú vo výrazoch nielen druhého, ale dokonca aj tretieho a štvrtého rádu.
Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri rozkladaní pravej strany na faktory s premennou sú tri z nich, teda (x + 1), (x-3) a (x + 3).
V dôsledku toho je zrejmé, že táto rovnica má tri korene: -3; - jeden; 3.
Extrahovanie druhej odmocniny
Ďalším prípadom neúplnej rovnice druhého rádu je výraz napísaný v jazyku písmen tak, že pravá strana je zostavená zo zložiek ax 2 a c. Tu sa na získanie hodnoty premennej prevedie voľný termín pravá strana a potom z oboch častí rovnosti, Odmocnina. Treba poznamenať, že v tento prípad Zvyčajne existujú dva korene rovnice. Výnimkou sú len rovnosti, ktoré vôbec neobsahujú výraz c, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade neexistujú žiadne riešenia, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Mali by sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.
V tomto prípade budú koreňmi rovnice čísla -4 a 4.
Výpočet plochy pozemku
Potreba tohto druhu výpočtov sa objavila v staroveku, pretože rozvoj matematiky v týchto vzdialených časoch bol do značnej miery spôsobený potrebou určiť plochy a obvody pozemkov s najväčšou presnosťou.
Mali by sme zvážiť aj príklady s riešením kvadratických rovníc zostavených na základe úloh tohto druhu.
Povedzme teda, že ide o obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Mali by ste nájsť dĺžku, šírku a obvod pozemku, ak je známe, že jeho plocha je 612 m 2.
Keď sa pustíme do práce, najprv urobíme potrebnú rovnicu. Šírku rezu označme x, potom jeho dĺžka bude (x + 16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom x (x + 16), ktorý je podľa stavu nášho problému 612. To znamená, že x (x + 16) \u003d 612.
Riešenie úplných kvadratických rovníc, a tento výraz je práve to, nemožno urobiť rovnakým spôsobom. prečo? Hoci jeho ľavá strana stále obsahuje dva faktory, ich súčin sa vôbec nerovná 0, preto sa tu používajú iné metódy.
Diskriminačný
Najprv urobíme potrebné transformácie, potom vzhľad tento výraz bude vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že sme dostali výraz vo forme zodpovedajúcej predtým špecifikovanej norme, kde a=1, b=16, c=-612.
Toto môže byť príklad riešenia kvadratických rovníc cez diskriminant. Tu potrebné výpočty vyrobené podľa schémy: D = b 2 - 4ac. Táto pomocná hodnota nielenže umožňuje nájsť požadované hodnoty v rovnici druhého rádu, ale určuje aj počet možných možností. V prípade D>0 sú dve; pre D=0 je jeden koreň. V prípade D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
O koreňoch a ich vzorci
V našom prípade je diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpoveď. Ak viete, že riešenie kvadratických rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. Umožňuje vám vypočítať korene.
To znamená, že v prezentovanom prípade: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnosť v tejto dileme nemôže byť riešením, pretože veľkosť pozemku nemožno merať v záporných hodnotách, čo znamená, že x (čiže šírka pozemku) je 18 m. Odtiaľ vypočítame dĺžku: 18+16=34 a obvod 2(34+18)=104 (m2).
Príklady a úlohy
Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenie niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Prenesieme všetko na ľavú stranu rovnosti, urobíme transformáciu, to znamená, že dostaneme tvar rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandardná, a prirovnáme ju k nule.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Po pridaní podobných určíme diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Takže naša rovnica bude mať dva korene. Vypočítame ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich sa bude rovnať 4/3 a druhý 1.
2) Teraz odhalíme hádanky iného druhu.
Poďme zistiť, či tu vôbec existujú korene x 2 - 4x + 5 = 1? Aby sme získali vyčerpávajúcu odpoveď, uvedieme polynóm do zodpovedajúceho známeho tvaru a vypočítame diskriminant. V tomto príklade nie je potrebné riešiť kvadratickú rovnicu, pretože podstata problému v tom vôbec nie je. V tomto prípade D \u003d 16 - 20 \u003d -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú žiadne korene.
Vietov teorém
Je vhodné riešiť kvadratické rovnice pomocou vyššie uvedených vzorcov a diskriminantu, keď sa z jeho hodnoty extrahuje druhá odmocnina. Ale nie vždy sa to stane. V tomto prípade však existuje mnoho spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety. Je pomenovaný po mužovi, ktorý žil vo Francúzsku v 16. storočí a mal skvelú kariéru vďaka svojmu matematickému talentu a konexiám na dvore. Jeho portrét si môžete pozrieť v článku.
Vzor, ktorý si slávny Francúz všimol, bol nasledovný. Dokázal, že súčet koreňov rovnice sa rovná -p=b/a a ich súčin zodpovedá q=c/a.
Teraz sa pozrime na konkrétne úlohy.
3x2 + 21x - 54 = 0
Pre jednoduchosť transformujme výraz:
x 2 + 7 x - 18 = 0
Pomocou Vietovej vety nám to dá nasledovné: súčet koreňov je -7 a ich súčin je -18. Odtiaľ dostaneme, že koreňmi rovnice sú čísla -9 a 2. Po vykonaní kontroly sa uistíme, že tieto hodnoty premenných skutočne zapadajú do výrazu.
Graf a rovnica paraboly
Pojmy kvadratická funkcia a kvadratické rovnice spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené skôr. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky trochu podrobnejšie. Každá rovnica opísaného typu môže byť znázornená vizuálne. Takáto závislosť nakreslená vo forme grafu sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú znázornené na obrázku nižšie.
Každá parabola má vrchol, teda bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a>0, idú vysoko do nekonečna a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Vizuálne reprezentácie funkcií pomáhajú riešiť akékoľvek rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica x v bodoch, kde sa čiara grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu možno nájsť podľa práve daného vzorca x 0 = -b / 2a. A dosadením výslednej hodnoty do pôvodnej rovnice funkcie môžete zistiť y 0, teda druhú súradnicu vrcholu paraboly patriacej k osi y.
Priesečník vetiev paraboly s osou x
Existuje veľa príkladov s riešením kvadratických rovníc, ale existujú aj všeobecné vzorce. Zvážme ich. Je jasné, že priesečník grafu s osou 0x pre a>0 je možný len vtedy, ak y 0 nadobúda záporné hodnoty. A pre a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Z grafu paraboly môžete určiť aj korene. Platí to aj naopak. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálnu reprezentáciu kvadratickej funkcie, môžete prirovnať pravú stranu výrazu k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu. A ak poznáme priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie vykresliť.
Z histórie
Pomocou rovníc obsahujúcich štvorcovú premennú sa za starých čias nielen matematické výpočty, ale aj určovanie plochy geometrických tvarov. Starovekí potrebovali takéto výpočty na veľkolepé objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na vytváranie astrologických predpovedí.
Ako naznačujú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí riešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred príchodom nášho letopočtu. Samozrejme, ich výpočty sa zásadne líšili od tých, ktoré sú v súčasnosti akceptované a ukázali sa ako oveľa primitívnejšie. Mezopotámski matematici napríklad netušili o existencii záporných čísel. Neboli oboznámení s inými jemnosťami tých, ktoré poznal každý študent našej doby.
Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu sa riešenia kvadratických rovníc chopil mudrc z Indie Baudhayama. Stalo sa to asi osem storočí pred príchodom Kristovej éry. Je pravda, že rovnice druhého rádu, metódy riešenia, ktoré dal, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa o podobné otázky za starých čias zaujímali aj čínski matematici. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až začiatkom 13. storočia, no neskôr ich vo svojej práci začali používať takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnohí ďalší.