sławny twierdzenie Pitagorasa - „W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”- wszyscy wiedzą ze szkolnej ławki.

Dobrze pamiętasz « Spodnie pitagorejskie» , który "równe we wszystkich kierunkach"- schematyczny rysunek wyjaśniający twierdzenie greckiego naukowca.

Tutaj a oraz b- nogi i z-  przeciwprostokątna:

Teraz opowiem Ci o jednym oryginalnym dowodzie tego twierdzenia, o którym być może nie wiedziałeś ...

Ale najpierw spójrzmy na jeden lemat- sprawdzone twierdzenie, które jest przydatne nie samo w sobie, ale do udowodnienia innych twierdzeń (twierdzeń).

Weź trójkąt prostokątny z wierzchołkami X, Y oraz Z, gdzie Z- kąt prosty i upuść prostopadłą pod kątem prostym Z do przeciwprostokątnej. Tutaj W- punkt, w którym wysokość przecina przeciwprostokątną.

Ta linia (prostopadła) ZARAZ WRACAM dzieli trójkąt na podobne kopie samego siebie.

Przypomnę, że nazywa się podobne trójkąty, których kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego trójkąta.

W naszym przykładzie uformowane trójkąty XWZ oraz YWZ są do siebie podobne, a także podobne do oryginalnego trójkąta XYZ.

Łatwo to udowodnić.

Zaczynając od trójkąta XWZ, zauważ, że ∠XWZ = 90, a więc ∠XZW = 180-90-∠X. Ale 180–90-∠X -  jest dokładnie tym, czym jest ∠Y, więc trójkąt XWZ musi być podobny (wszystkie kąty równe) do trójkąta XYZ. To samo ćwiczenie można wykonać dla trójkąta YWZ.

Lemat sprawdzony! W trójkącie prostokątnym wysokość (prostopadła) opuszczona do przeciwprostokątnej dzieli trójkąt na dwa podobne, które z kolei są podobne do pierwotnego trójkąta.

Ale wracając do naszych „pitagorejskich spodni”…

Upuść prostopadłą do przeciwprostokątnej c. W rezultacie w naszym prawym trójkącie mamy dwa trójkąty prostokątne. Oznaczmy te trójkąty (na powyższym obrazku w zielonym) listy A oraz B i oryginalny trójkąt - litera Z.

Oczywiście obszar trójkąta Z jest równa sumie pól trójkątów A oraz B.

Tych. ALE+ B= Z

Teraz podzielmy figurę u góry („spodnie pitagorejskie”) na trzy figury domu:

Jak już wiemy z lematu trójkąty A, B oraz C są do siebie podobne, dlatego też powstałe figury domów są również podobne i są przeskalowanymi wersjami siebie.

Oznacza to, że stosunek powierzchni A oraz a², -  jest tożsame ze stosunkiem powierzchni B oraz b², jak również C oraz c².

W ten sposób mamy A / a² = B / b² = C / c² .

Oznaczmy ten stosunek pól trójkąta i kwadratu w figurze-domu literą k.

Tych. k- jest to pewien współczynnik łączący powierzchnię trójkąta (dachu domu) z powierzchnią kwadratu pod nim:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Wynika z tego, że pola trójkątów można wyrazić w postaci pól kwadratów pod nimi w ten sposób:
A = ka², B = kb², oraz C = kc²

Ale pamiętamy, że A+B=C, co znaczy ka² + kb² = kc²

Lub a² + b² = c²

A to jest dowód twierdzenia Pitagorasa!

Do czego służą „pitagorejskie spodnie”? Pracę wykonali uczniowie 8 klasy

Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego nogach... Lub Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadraty jego nóg.

Jest to jedno z najbardziej znanych twierdzeń geometrycznych starożytności, zwane twierdzeniem Pitagorasa. Wciąż jest znany prawie każdemu, kto kiedykolwiek studiował planimetrię. Powodem takiej popularności twierdzenia Pitagorasa jest jego prostota, piękno i znaczenie. Twierdzenie Pitagorasa jest proste, ale nie oczywiste. To połączenie dwóch przeciwstawnych sobie zasad nadaje jej szczególnego uroku, czyni ją piękną. Jest ono stosowane w geometrii dosłownie na każdym kroku, a fakt, że istnieje około 500 różnych dowodów tego twierdzenia (geometryczne, algebraiczne, mechaniczne itp.) wskazuje na jego szerokie zastosowanie.

Twierdzenie prawie wszędzie nosi imię Pitagorasa, ale obecnie wszyscy zgadzają się, że nie zostało ono odkryte przez Pitagorasa. Jednak niektórzy uważają, że był pierwszym, który dał jej pełny dowód, podczas gdy inni odmawiają mu tej zasługi. Twierdzenie to było znane na wiele lat przed Pitagorasem. Tak więc 1500 lat przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie wiedzieli, że trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest prostokątny i używali tej właściwości do budowania kątów prostych podczas planowania działki i konstrukcje budowlane.

Dowód twierdzenia był uważany za bardzo trudny w kręgach studentów średniowiecza i był nazywany „mostem osła” lub „ucieczką biednych”, a samo twierdzenie nazywano „wiatrakiem” lub „twierdzeniem panny młodej ”. Uczniowie rysowali nawet bajki i komponowali takie wiersze: Pitagorejskie spodnie Równe we wszystkich kierunkach.

Dowód oparty na wykorzystaniu pojęcia równej wielkości cyfr. Rysunek przedstawia dwa równe kwadraty. Długość boków każdego kwadratu to a + b . Każdy z kwadratów podzielony jest na części składające się z kwadratów i trójkątów prostokątnych. Oczywiste jest, że jeśli od obszaru kwadratu odejmiemy poczwórną powierzchnię trójkąta prostokątnego z nogami a, b, to równe obszary, czyli starożytni Indianie, do których należy to rozumowanie, zwykle nie zapisywali go, ale dołączali do rysunku tylko jedno słowo: „patrz!” Jest całkiem możliwe, że Pitagoras przedstawił ten sam dowód.

Dowód oferowany przez podręcznik szkolny. CD to wysokość trójkąta ABC. AC = √ AD*AB AC 2 = AD*AB Podobnie, BC 2 = BD*AB = AB 2 A C B D

Problem numer 1 Z lotniska wystartowały jednocześnie dwa samoloty: jeden na zachód, drugi na południe. W ciągu dwóch godzin odległość między nimi wyniosła 2000 km. Znajdź prędkości samolotów, jeśli prędkość jednego była 75% prędkości drugiego. Rozwiązanie: Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: 4x2+(0,75x*2)2=20002 6,25x2=20002 2,5x=2000 x=800 0,75x=0,75*800=600. Odpowiedź: 800 km/h; 600 km/h

Problem numer 2. Co powinien zrobić młody matematyk, aby niezawodnie uzyskać kąt prosty? Rozwiązanie: Możesz użyć twierdzenia Pitagorasa i zbudować trójkąt, nadając jego bokom taką długość, że trójkąt jest prostokątny. Najłatwiej jest wziąć paski o długości 3, 4 i 5 dowolnie wybranych równych odcinków.

Zadanie numer 3. Znajdź wypadkową trzech sił po 200 N każda, jeśli kąt między pierwszą a drugą siłą oraz między drugą a trzecią siłą wynosi 60 °. Rozwiązanie: Moduł sumy pierwszej pary sił to: F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα gdzie α jest kątem między wektorami F1 i F2, tj. F1+2=200√ 3 N. Jak wynika z rozważań na temat symetrii, wektor F1+2 jest skierowany wzdłuż dwusiecznej kąta α, więc kąt między nim a trzecią siłą wynosi: β=60°+60° /2=90°. Teraz znajdźmy wypadkową trzech sił: R2=(F3+F1+2) R=400 N. Odpowiedź: R=400 N.

Zadanie numer 4. Piorunochron chroni wszystkie obiekty przed piorunami, których odległość od podstawy nie przekracza podwójnej wysokości. Określ optymalne położenie piorunochronu na dachu dwuspadowym, zapewniając jego najniższą dostępną wysokość. Rozwiązanie: Według twierdzenia Pitagorasa, h2≥ a2+b2, czyli h≥(a2+b2)1/2. Odpowiedź: h≥(a2+b2)1/2.

Spodnie Pitagorasa Komiczna nazwa twierdzenia Pitagorasa, która powstała ze względu na to, że kwadraty zbudowane po bokach prostokąta i rozchodzące się w różnych kierunkach przypominają krój spodni. Kochałem geometrię… a na egzaminie wstępnym na uniwersytet dostałem nawet pochwały od Chumakova, profesora matematyki, za wyjaśnienie właściwości linii równoległych i pitagorejskich spodni bez tablicy, rysowanie rękami w powietrzu(N. Pirogov. Dziennik starego lekarza).

Słownik frazeologiczny Rosyjski język literacki. - M.: Astrel, AST. A. I. Fiodorow. 2008 .

Zobacz, jakie „pitagorejskie spodnie” znajdują się w innych słownikach:

Spodnie pitagorejskie- ... Wikipedia

Spodnie pitagorejskie- Zharga. szkoła Czółenko. Twierdzenie Pitagorasa, które ustala związek między polami kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnej i odnogami trójkąta prostokątnego. BTS, 835... Duży słownik rosyjskie powiedzonka

Spodnie pitagorejskie- Zabawna nazwa twierdzenia Pitagorasa, które określa stosunek pól kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnej do nóg trójkąta prostokątnego, który na rysunkach wygląda jak krój spodni... Słownik wielu wyrażeń

Spodnie pitagorejskie (wynalezione)- cudzoziemiec: o osobie uzdolnionej Por. To jest pewność mędrca. W starożytności prawdopodobnie wymyśliłby pitagorejskie spodnie… Saltykov. Litery pstrokate. Spodnie pitagorejskie (geom.): w prostokącie kwadrat przeciwprostokątnej jest równy kwadratom nóg (nauczanie ... ... Wielki wyjaśniający słownik frazeologiczny Michelsona

Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron- Znana jest liczba przycisków. Dlaczego kutas jest ciasny? (w przybliżeniu) o spodniach i męskim narządzie płciowym. Spodnie pitagorejskie są jednakowe ze wszystkich stron. Aby to udowodnić, należy usunąć i pokazać 1) o twierdzeniu Pitagorasa; 2) o szerokich spodniach ... Mowa na żywo. Słownik wyrażeń potocznych

Wymyślają pitagorejskie spodnie- Pitagorejskie spodnie (wymyślają) cudzoziemca. o utalentowanej osobie. Poślubić To jest niewątpliwy mędrzec. W starożytności prawdopodobnie wymyśliłby pitagorejskie spodnie… Saltykov. Litery pstrokate. Spodnie pitagorejskie (geom.): w prostokącie kwadrat przeciwprostokątnej ... ... Big Explanatory Frazeological Dictionary Michelsona (oryginalna pisownia)

Spodnie pitagorejskie są jednakowe we wszystkich kierunkach- żartobliwy dowód twierdzenia Pitagorasa; też żartem o workowatych spodniach kumpla... Słownik frazeologii ludowej

przym., niegrzeczny...

SPODNIE PITAGOREŃSKIE SĄ RÓWNE Z WSZYSTKICH STRON (ILOŚĆ PRZYCISKÓW JEST ZNANA. DLACZEGO JEST ZAMKNIĘTY? / ABY TO Udowodnić, TRZEBA ZDEJMOWAĆ I POKAZAĆ)- przym., niegrzeczny... Słownik współczesne potoczne jednostki frazeologiczne i powiedzenia

spodnie- rzeczownik, l.mn., użycie komp. często Morfologia: pl. co? spodnie, (nie) co? spodnie na co? spodnie, (zobacz) co? spodnie co? spodnie, co? o spodniach 1. Spodnie to element garderoby, który ma dwie krótkie lub długie nogawki i zakrywa spód ... ... Słownik Dmitrieva

Książki

• Jak odkryto Ziemię Światosław Władimirowicz Sacharnow. Jak podróżowali Fenicjanie? Na jakich statkach pływali Wikingowie? Kto odkrył Amerykę i kto pierwszy opłynął świat? Kto skompilował pierwszy na świecie atlas Antarktydy i wymyślił ...

Opis prezentacji na poszczególnych slajdach:

1 slajd

Opis slajdu:

Szkoła średnia MBOU Bondarskaya Projekt studencki na temat: „Pythagoras i jego twierdzenie” Przygotował: Ektov Konstantin, uczeń klasy 7 A Kierownik: Dolotova Nadieżda Iwanowna, nauczyciel matematyki 2015

2 slajdy

Opis slajdu:

3 slajdy

Opis slajdu:

Adnotacja. geometria jest bardzo ciekawa nauka. Zawiera wiele twierdzeń, które nie są do siebie podobne, ale czasami są tak potrzebne. Bardzo zainteresowałem się twierdzeniem Pitagorasa. Niestety jedno z najważniejszych stwierdzeń mijamy dopiero w ósmej klasie. Postanowiłem podnieść zasłonę tajemnicy i zbadać twierdzenie Pitagorasa.

4 slajdy

Opis slajdu:

5 slajdów

Opis slajdu:

6 slajdów

Opis slajdu:

Zadania Studiowanie biografii Pitagorasa. Poznaj historię powstania i dowód twierdzenia. Dowiedz się, jak twierdzenie jest używane w sztuce. Znajdź problemy historyczne, w których używane jest twierdzenie Pitagorasa. Zapoznanie się ze stosunkiem dzieci różnych czasów do tego twierdzenia. Utwórz projekt.

7 slajdów

Opis slajdu:

Postęp badań Biografia Pitagorasa. Przykazania i aforyzmy Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa. Historia twierdzenia. Dlaczego „pitagorejskie spodnie są równe we wszystkich kierunkach”? Różne dowody twierdzenia Pitagorasa przez innych naukowców. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. Głosowanie. Wniosek.

8 slajdów

Opis slajdu:

Pitagoras - kim on jest? Pitagoras z Samos (580 - 500 pne) Starożytny grecki matematyk i idealista filozof. Urodzony na wyspie Samos. Otrzymał dobre wykształcenie. Według legendy Pitagoras, aby zapoznać się z mądrością wschodnich naukowców, udał się do Egiptu i mieszkał tam przez 22 lata. Po opanowaniu wszystkich nauk Egipcjan, w tym matematyki, przeniósł się do Babilonu, gdzie mieszkał przez 12 lat i poznał wiedza naukowa Kapłani babilońscy. Tradycje przypisują Pitagorasowi wizytę w Indiach. Jest to bardzo prawdopodobne, ponieważ Ionia i Indie miały wtedy stosunki handlowe. Wracając do ojczyzny (ok. 530 pne), Pitagoras próbował zorganizować własną szkołę filozoficzną. Wkrótce jednak z nieznanych powodów opuszcza Samos i osiedla się w Croton (greckiej kolonii w północnych Włoszech). Tutaj Pitagorasowi udało się zorganizować swoją szkołę, która działała przez prawie trzydzieści lat. Szkoła Pitagorasa, czy też, jak to się nazywa, Unia Pitagorasa, była jednocześnie szkołą filozoficzną, partią polityczną i bractwem religijnym. Status związku pitagorejskiego był bardzo surowy. W swoich poglądach filozoficznych Pitagoras był idealistą, obrońcą interesów niewolniczej arystokracji. Być może to było powodem jego wyjazdu z Samos, gdyż zwolennicy poglądów demokratycznych mieli w Ionii bardzo duże wpływy. W sprawach publicznych przez „porządek” Pitagorejczycy rozumieli panowanie arystokratów. Potępili starożytną grecką demokrację. Filozofia pitagorejska była prymitywną próbą usprawiedliwienia dominacji arystokracji posiadającej niewolników. Pod koniec V wieku pne mi. przez Grecję i jej kolonie przetoczyła się fala ruchów demokratycznych. Demokracja zwyciężyła w Krotonie. Pitagoras opuszcza Krotona ze swoimi uczniami i udaje się do Tarentu, a następnie do Metapontu. Przybycie pitagorejczyków do Metapont zbiegło się w czasie z wybuchem tam powstania ludowego. W jednej z nocnych potyczek zginął prawie dziewięćdziesięcioletni Pitagoras. Jego szkoła przestała istnieć. Uciekający przed prześladowaniami uczniowie Pitagorasa osiedlili się w całej Grecji i jej koloniach. Zarabiając na życie, organizowali szkoły, w których uczyli głównie arytmetyki i geometrii. Informacje o ich osiągnięciach zawarte są w pismach późniejszych naukowców – Platona, Arystotelesa itp.

9 slajdów

Opis slajdu:

Przykazania i aforyzmy Pitagorasa Myśl jest przede wszystkim między ludźmi na ziemi. Nie siadaj na miarce zboża (tzn. nie żyj bezczynnie). Wychodząc, nie oglądaj się za siebie (czyli przed śmiercią nie trzymaj się życia). Nie idź utartą drogą (to znaczy nie kieruj się opiniami tłumu, ale opiniami nielicznych, którzy rozumieją). Nie trzymaj w domu jaskółek (tzn. nie przyjmuj gości rozmownych i nieskrępowanych w języku). Bądź z tym, który bierze ładunek, nie bądź z tym, który zrzuca ładunek (to znaczy zachęcaj ludzi nie do lenistwa, ale do cnoty, do pracy). W polu życia chodź jak siewca równymi i równymi krokami. Prawdziwa ojczyzna jest tam, gdzie panuje dobra moralność. Nie bądź członkiem uczonego społeczeństwa: najmądrzejsi, tworząc społeczeństwo, stają się pospólstwem. Czcij święte liczby, wagę i miarę, jako dziecko pełnej wdzięku równości. Zmierz swoje pragnienia, zważ swoje myśli, policz słowa. Nie dziw się niczym: zdumienie stworzyło bogów.

10 slajdów

Opis slajdu:

Stwierdzenie twierdzenia. W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.

11 slajdów

Opis slajdu:

Dowody twierdzenia. Na ten moment W literaturze naukowej zarejestrowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie Pitagorasa jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Oczywiście wszystkie można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą powierzchniową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne.

12 slajdów

Opis slajdu:

Twierdzenie Pitagorasa Dowód Dany trójkąt prostokątny z nogami a, b i przeciwprostokątną c. Udowodnijmy, że c² = a² + b² Uzupełnijmy trójkąt do kwadratu o boku a + b. Pole S tego kwadratu to (a + b)². Z drugiej strony kwadrat składa się z czterech równych trójkątów prostokątnych, każdy S równy ½ a b i kwadrat o boku c. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² Zatem (a + b)² = 2 a b + c², skąd c² = a² + b² c c c c c a b

13 slajdów

Opis slajdu:

Historia twierdzenia Pitagorasa Historia twierdzenia Pitagorasa jest interesująca. Chociaż twierdzenie to jest związane z imieniem Pitagorasa, było znane na długo przed nim. W tekstach babilońskich twierdzenie to występuje 1200 lat przed Pitagorasem. Możliwe, że w tym czasie nie znali jeszcze jego dowodów, a sam związek między przeciwprostokątną a nogami został ustalony empirycznie na podstawie pomiarów. Pitagoras najwyraźniej znalazł dowód na ten związek. Zachowane starożytna tradycjaże na cześć swego odkrycia Pitagoras złożył bogom w ofierze byka, a według innych świadectw nawet sto byków. W ciągu następnych stuleci znaleziono różne inne dowody twierdzenia Pitagorasa. Obecnie jest ich ponad sto, ale najpopularniejszym twierdzeniem jest konstrukcja kwadratu z danego trójkąta prostokątnego.

14 slajdów

Opis slajdu:

Twierdzenie w Starożytne Chiny„Jeśli kąt prosty zostanie rozłożony na części składowe, linia łącząca końce jego boków będzie wynosić 5, gdy podstawa ma 3, a wysokość 4”.

15 slajdów

Opis slajdu:

Twierdzenie w Starożytny Egipt Kantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że ​​równość 3 ² + 4 ² = 5² znana była już Egipcjanom około 2300 rpne. e., za czasów króla Amenemhata (według papirusu 6619 Muzeum Berlińskie). Według Cantora harpedonapty, czyli „podłużnice”, budowały kąty proste za pomocą trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5.

16 slajdów

Opis slajdu:

O twierdzeniu w Babilonii „Zasługą pierwszych matematyków greckich, takich jak Tales, Pitagoras i pitagorejczycy, nie jest odkrycie matematyki, ale jej usystematyzowanie i uzasadnienie. W ich rękach receptury obliczeniowe oparte na niejasnych pomysłach stały się nauką ścisłą.

17 slajdów

Opis slajdu:

Dlaczego „pitagorejskie spodnie są równe we wszystkich kierunkach”? Przez dwa tysiąclecia najczęstszym dowodem twierdzenia Pitagorasa był dowód Euklidesa. Umieszczono ją w jego słynnej książce „Początki”. Euklides obniżył wysokość CH od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej i udowodnił, że jego kontynuacja dzieli kwadrat ukończony na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty, których pola są równe powierzchniom odpowiednich kwadratów zbudowanych na nogach. Rysunek użyty w dowodzie tego twierdzenia nazywa się żartobliwie „pitagorejskimi spodniami”. Przez długi czas uważany był za jeden z symboli nauk matematycznych.

18 slajdów

Opis slajdu:

Stosunek dzieci starożytności do dowodu twierdzenia Pitagorasa był uważany przez badaczy średniowiecza za bardzo trudny. Słabi studenci, którzy zapamiętywali twierdzenia bez zrozumienia i dlatego nazywani są „osiołkami”, nie byli w stanie pokonać twierdzenia Pitagorasa, które służyło im jak most nie do pokonania. Ze względu na rysunki towarzyszące twierdzeniu Pitagorasa uczniowie nazywali je również „wiatrakem”, komponowali wiersze typu „Pitagorejskie spodnie są równe ze wszystkich stron” i rysowali karykatury.

19 slajdów

Opis slajdu:

Dowody twierdzenia Najprostszy dowód twierdzenia uzyskuje się w przypadku równoramiennego trójkąta prostokątnego. Rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na układanie równoramiennych trójkątów prostokątnych, aby zobaczyć, że twierdzenie jest prawdziwe. Na przykład dla trójkąta ABC: kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej AC zawiera 4 trójkąty początkowe, a kwadraty zbudowane na nogach zawierają dwa.

20 slajdów

Opis slajdu:

„Krzesło panny młodej” Na rysunku kwadraty zbudowane na nogach są ułożone jeden obok drugiego. Postać ta, która występuje w dowodach datowanych nie później niż na IX wiek n.e., np. Hindusi nazywali „krzesłem panny młodej”.

21 slajdów

Opis slajdu:

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Obecnie powszechnie uznaje się, że powodzenie rozwoju wielu dziedzin nauki i techniki zależy od rozwoju różnych dziedzin matematyki. Ważny warunek zwiększenie wydajności produkcji to powszechne wprowadzanie metod matematycznych w technice i gospodarce narodowej, co wiąże się z tworzeniem nowych, skuteczne metody badania jakościowe i ilościowe, które pozwalają rozwiązywać problemy stawiane przez praktykę.

22 slajd

Opis slajdu:

Zastosowanie twierdzenia w budownictwie W budynkach gotyckich i styl romański górne partie okien przedzielone są kamiennymi żebrami, które nie tylko pełnią rolę ozdoby, ale również przyczyniają się do wytrzymałości okien.

23 slajd

Opis slajdu:

24 slajdy

Opis slajdu:

Zadania historyczne Aby naprawić maszt, musisz zainstalować 4 kable. Jeden koniec każdego kabla powinien być zamocowany na wysokości 12m, drugi na ziemi w odległości 5m od masztu. Czy do zabezpieczenia masztu wystarczy 50 m liny?

SPODNIE PITAGOREŃSKIE NA WSZYSTKICH STRONACH SĄ RÓWNE

Ta żrąca uwaga (która ma kontynuację w całości: aby to udowodnić, trzeba ją usunąć i pokazać), wymyślona przez kogoś, najwyraźniej zszokowanego wewnętrzną treścią jednego ważnego twierdzenia geometrii euklidesowej, doskonale ujawnia punkt wyjścia, z którego łańcuch całkowicie proste refleksje szybko prowadzą do dowodu twierdzenia, a także do jeszcze ważniejszych wyników. To twierdzenie, przypisane starożytny grecki matematyk Pitagoras z Samos (VI wiek pne) jest znany prawie każdemu uczniowi i brzmi tak: kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Być może wielu się z tym zgodzi figura geometryczna, zwany szyfrem „Pitagorejskie spodnie są równe ze wszystkich stron”, nazywa się kwadratem. Cóż, z uśmiechem na twarzy dodaj nieszkodliwy żart ze względu na kontynuację zaszyfrowanego sarkazmu. Tak więc „aby to udowodnić, musisz usunąć i pokazać”. Oczywiste jest, że "to" - zaimek oznaczał bezpośrednio twierdzenie, "usuń" - to jest wzięcie w garść, weź wymienioną figurę, "pokaż" - oznaczało słowo "dotknij", przynieś niektóre części figury do kontaktu. Ogólnie rzecz biorąc, „spodnie pitagorejskie” nazwano konstrukcją graficzną przypominającą spodnie, którą uzyskano na rysunku Euklidesa podczas bardzo trudnego dowodu twierdzenia Pitagorasa. Kiedy znaleziono prostszy dowód, być może jakiś rymownik wymyślił tę pokrętną wskazówkę językową, aby nie zapomnieć o początku podejścia do dowodu, a popularna plotka rozeszła się już po świecie jak puste powiedzenie. Więc jeśli weźmiesz kwadrat i umieścisz w nim mniejszy kwadrat, tak aby ich środki się pokrywały, i obrócisz mniejszy kwadrat, aż jego rogi dotkną boków większego kwadratu, to na większej figurze zostaną podświetlone 4 identyczne trójkąty prostokątne po bokach mniejszego kwadratu, stąd już prosta droga do udowodnienia znanego twierdzenia. Niech bok mniejszego kwadratu oznaczymy c. Bok większego kwadratu to a + b, a następnie jego powierzchnia to (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2. Ten sam obszar można zdefiniować jako sumę pola powierzchni \u200b\u200b u200bmniejszy kwadrat i pola 4 identycznych trójkątów prostokątnych, czyli jak 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Wstawiamy znak równości między dwoma obliczeniami tego samego pola: a 2 +2ab+b 2 = 2ab+c 2. Po zmniejszeniu wyrazów 2ab otrzymujemy wniosek: kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg, to znaczy a 2 + b 2 \u003d c 2. Nie wszyscy od razu zrozumie, do czego służy to twierdzenie. Z praktycznego punktu widzenia jego wartość polega na tym, że służy jako podstawa wielu obliczeń geometrycznych, takich jak wyznaczanie odległości między punktami na płaszczyźnie współrzędnych. Z twierdzenia wywodzi się kilka cennych wzorów, a jego uogólnienia prowadzą do nowych twierdzeń, które wypełniają lukę między obliczeniami na płaszczyźnie a obliczeniami w przestrzeni. Konsekwencje tego twierdzenia przenikają do teorii liczb, ujawniając poszczególne szczegóły budowy szeregu liczb. I wiele innych, nie można ich wszystkich wymienić. Spojrzenie z punktu widzenia próżnej ciekawości pokazuje przedstawianie zabawnych problemów przez twierdzenie, które są sformułowane do skrajnie zrozumiałych, ale czasami twardych orzechów. Jako przykład wystarczy przytoczyć najprostsze z nich, tzw. pytanie o liczby pitagorejskie, które pada w codziennej prezentacji. w następujący sposób: czy można zbudować pomieszczenie, którego długość, szerokość i przekątna podłogi byłyby jednocześnie mierzone tylko w liczbach całkowitych, powiedzmy w krokach? Już najmniejsza zmiana w tym pytaniu może sprawić, że zadanie będzie niezwykle trudne. W związku z tym są tacy, którzy chcą, wyłącznie z naukowego zapału, sprawdzić się w rozwiązywaniu kolejnej matematycznej zagadki. Kolejna zmiana w pytaniu - i kolejna zagadka. Często w trakcie poszukiwania odpowiedzi na takie problemy matematyka ewoluuje, nabiera nowych poglądów na stare pojęcia, przyswaja nowe podejścia systemowe itd., co oznacza, że ​​twierdzenie Pitagorasa, jak każda inna wartościowa doktryna, jest jednak nie mniej ważne. przydatne z tego punktu widzenia. Matematyka czasów Pitagorasa nie rozpoznawała innych liczb niż wymierne (liczby naturalne lub ułamki z naturalnym licznikiem i mianownikiem). Wszystko było mierzone w wartościach całościowych lub częściach całości. Dlatego chęć wykonywania obliczeń geometrycznych, rozwiązywania równań coraz bardziej w liczbach naturalnych jest tak zrozumiała. Uzależnienie od nich otwiera drogę do niesamowity świat tajemnice liczb, których szereg w interpretacji geometrycznej początkowo jawi się jako linia prosta z nieskończoną liczbą znaków. Czasami relacja między niektórymi liczbami w szeregu, „odległość liniowa” między nimi, proporcja od razu rzuca się w oczy, a czasami najbardziej skomplikowane konstrukcje myślowe nie pozwalają nam ustalić, jakim prawom podlega rozkład pewnych liczb. Okazuje się, że w nowym świecie, w tej „jednowymiarowej geometrii”, stare problemy pozostają aktualne, zmienia się tylko ich sformułowanie. Na przykład wariant zadania o liczbach pitagorejskich: „Z domu ojciec robi x kroków po x centymetrów, a potem idzie krokami co y centymetrów. Syn idzie za nim z kroków o centymetrach każdy. Co powinno być wielkość ich kroków, aby na z-tym kroku dziecko wkroczyło w ślad ojca? W trosce o sprawiedliwość należy zwrócić uwagę na pewną trudność dla początkującego matematyka pitagorejskiej metody rozwoju myśli. To szczególny rodzaj matematycznego stylu myślenia, do którego trzeba się przyzwyczaić. Jeden punkt jest interesujący. Matematycy z państwa babilońskiego (powstało na długo przed narodzinami Pitagorasa, prawie półtora tysiąca lat przed nim) najwyraźniej znali również pewne metody znajdowania liczb, które później stały się znane jako pitagorejskie. Znaleziono tabliczki z pismem klinowym, na których babilońscy mędrcy zapisali trójki takich liczb, które zidentyfikowali. Niektóre trójki składały się ze zbyt dużych liczb, w związku z czym nasi współcześni zaczęli zakładać, że Babilończycy mieli dobre, a prawdopodobnie nawet proste sposoby ich obliczania. Niestety nic nie wiadomo o samych metodach, ani o ich istnieniu.