Kontynuujemy badanie tematu rozwiązywanie równań”. Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi, a teraz zapoznamy się z równania kwadratowe.

Najpierw omówimy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, szczegółowo przeanalizujemy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe. Następnie przechodzimy do rozwiązania kompletnych równań, otrzymujemy wzór na pierwiastki, zapoznajemy się z wyróżnikiem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania charakterystyczne przykłady. Na koniec śledzimy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie mówienia o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także definicji z nim związanych. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także kompletne i niepełne równania.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a , b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Zabrzmiała definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a , b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a c jest wolnym członkiem.

Na przykład weźmy równanie kwadratowe postaci 5 x 2 −2 x−3=0 , tutaj współczynnik wiodący wynosi 5 , drugi współczynnik to −2 , a wyraz wolny −3 . Zauważ, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wtedy skrócona forma pisanie równania kwadratowego postaci 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie równania kwadratowego, co wynika ze specyfiki zapisu takiego . Na przykład, w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0, wiodący współczynnik wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości wiodącego współczynnika rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Wywoływane jest równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Według ta definicja, równania kwadratowe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - zredukowany, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. Oraz 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1 .

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez wiodący współczynnik, można przejść do zredukowanego. To działanie jest przekształceniem równoważnym, tzn. uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak ono, nie ma pierwiastków.

Weźmy przykład, jak przebiega przejście z równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Wystarczy, że dokonamy podziału obu części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on niezerowy, więc możemy wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , czyli to samo co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Więc otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiadać:

Zupełne i niepełne równania kwadratowe

W definicji równania kwadratowego występuje warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 +b x+c=0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a=0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym postaci b x+c=0 .

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zeru, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Wywołujemy równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli co najmniej jeden ze współczynników b , c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe to równanie, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Te imiona nie są nadane przypadkowo. Stanie się to jasne z poniższej dyskusji.

Jeżeli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 +0 x+c=0 , i jest równoważne równaniu a x 2 +c=0 . Jeśli c=0 , czyli równanie kwadratowe ma postać a x 2 +b x+0=0 , to można je przepisać jako x 2 +b x=0 . A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Otrzymane równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Czyli równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami kompletnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0,5 x 2 +3 =0 , -x 2 -5 x=0 są niekompletnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że ​​istnieje: trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 = 0 , odpowiadają mu współczynniki b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
• oraz ax2+bx=0, gdy c=0 .

Przeanalizujmy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe każdego z tych typów.

x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału przez podzielenie jego obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co zostało wyjaśnione, rzeczywiście, dla każdej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 >0, co implikuje, że dla p≠0 równość p 2 =0 nigdy nie jest osiągana.

Tak więc niekompletne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

W takim przypadku można wydać krótkie rozwiązanie w następujący sposób:
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Rozważmy teraz, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b jest równy zero, a c≠0, czyli równania postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku, a także podział obu stron równania przez liczbę niezerową daje równoważne równanie. W związku z tym można przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

• przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
• i dzielimy obie jego części przez a , otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c, wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2 , to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6 , to ) nie jest równe zero , ponieważ z warunku c≠0 . Osobno przeanalizujemy przypadki i .

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. Stwierdzenie to wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli sobie przypomnimy, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo się domyślić, że liczba jest również pierwiastkiem równania , rzeczywiście . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać np. przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy właśnie dźwięczne pierwiastki równania jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma inny pierwiastek x 2 różny od wskazanych pierwiastków x 1 i −x 1 . Wiadomo, że podstawienie do równania zamiast x jego pierwiastków zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Własności równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawdziwych równości liczbowych, więc odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 − x 2 2 =0. Własności operacji na liczbach pozwalają nam przepisać wynikową równość jako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zeru. Zatem z otrzymanej równości wynika, że ​​x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0 , czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 = −x 1 . Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1 . To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niepełne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu , które

• nie ma korzeni, jeśli ,
• ma dwa pierwiastki i jeśli .

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0 .

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0 . Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9·x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9 , otrzymujemy . Ponieważ po prawej stronie otrzymujemy liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 +7=0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy jeszcze jedno niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przenosimy dziewięć na prawą stronę: -x 2 \u003d -9. Teraz dzielimy obie części przez −1, otrzymujemy x 2 =9. Prawa strona zawiera liczbę dodatnią, z której wnioskujemy, że lub . Po zapisaniu odpowiedzi końcowej: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

a x 2 +b x=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niepełne równania kwadratowe postaci a x 2 +b x=0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdujący się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wziąć dzielnik wspólny x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x·(a·x+b)=0 . A to równanie jest równoważne układowi dwóch równań x=0 i a x+b=0 , z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a .

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Wyciągamy x z nawiasów, to daje równanie. Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , a po podzieleniu liczby mieszanej przez zwykły ułamek znajdujemy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko pisać:

Odpowiadać:

x=0 , .

Dyskryminant, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy wzór pierwiastków równania kwadratowego: , gdzie D=b 2 −4 a c- tak zwana dyskryminator równania kwadratowego. Notacja zasadniczo oznacza, że ​​.

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór pierwiastka i jak go stosuje się do znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zajmijmy się tym.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Rozwiążmy równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0 . Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

• Możemy podzielić obie części tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe.
• Ale już wybierz pełny kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
• Na tym etapie możliwe jest wykonanie przeniesienia dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem mamy .
• Przekształćmy też wyrażenie po prawej stronie: .

W rezultacie otrzymujemy równanie , które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0 .

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy analizowaliśmy . Pozwala to na wyciągnięcie następujących wniosków dotyczących pierwiastków równania:

• jeśli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
• jeśli , to równanie ma postać , a zatem , z którego widoczny jest jedyny pierwiastek;
• if , then lub , czyli to samo co lub , czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Tak więc obecność lub brak pierwiastków równania, a więc oryginalnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 -4 a c . To wyrażenie b 2 -4 a c nazywa się dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd istota wyróżnika jest jasna - po jego wartości i znaku wnioskuje się, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracamy do równania , przepisujemy je używając notacji dyskryminatora: . I konkludujemy:

• jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
• w końcu, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub , które można przepisać w postaci lub , a po rozwinięciu i skróceniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy .

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, wyglądają one tak , gdzie dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D=b 2 -4 a c .

Z ich pomocą, z dodatnim wyróżnikiem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, obie formuły dają tę samą wartość pierwiastka odpowiadającą jedynemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A z ujemnym wyróżnikiem, gdy próbujemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co prowadzi nas poza i program nauczania. Z ujemnym wyróżnikiem równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych formuł, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce, rozwiązując równanie kwadratowe, można od razu użyć wzoru pierwiastka, za pomocą którego oblicza się ich wartości. Ale chodzi bardziej o znalezienie złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle: rozmawiamy nie o złożoności, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest nieujemny (w przeciwnym razie możemy wywnioskować, że równanie nie ma prawdziwych pierwiastków), a następnie obliczyć wartości korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

• korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 -4 a c oblicz jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków, jeśli dyskryminator jest ujemny;
• obliczyć jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru, jeśli D=0 ;
• znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, używając wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj zauważamy tylko, że jeśli dyskryminator jest równy zero, można również użyć wzoru, da on taką samą wartość jak .

Możesz przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Zajmując się ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 +2 x−6=0 .

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1 , b=2 i c=−6 . Zgodnie z algorytmem najpierw musisz obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru na dyskryminację, mamy D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je ze wzoru na pierwiastki , otrzymujemy , tutaj możemy uprościć wyrażenia otrzymane przez wykonanie wyciąganie znaku korzenia następnie redukcja frakcji:

Odpowiadać:

Przejdźmy do kolejnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe -4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia wyróżnika: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , czyli

Odpowiadać:

x=3,5.

Pozostaje do rozważenia rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym wyróżnikiem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5 , b=6 ic=2 . Podstawiając te wartości do formuły dyskryminacyjnej, mamy D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

Jeśli chcesz określić złożone pierwiastki, używamy dobrze znanego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiadać:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to szkoła zwykle od razu zapisuje odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych pierwiastków i nie znajdują złożonych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego , gdzie D=b 2 -4 a c pozwala na uzyskanie bardziej zwartego wzoru, który pozwala rozwiązywać równania kwadratowe z parzystym współczynnikiem przy x (lub po prostu ze współczynnikiem wyglądającym jak 2 n na przykład, lub 14 ln5=27 ln5). Zabierzmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanej nam formuły. Aby to zrobić, obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a następnie używamy formuły root:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −a c jako D 1 (czasami oznacza się je jako D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 =n 2 −a c .

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , lub D 1 =D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią wyróżnika. Jasne jest, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

• Oblicz D 1 =n 2 −a·c ;
• Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jeśli D 1 = 0, oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
• Jeśli D 1 > 0, to za pomocą wzoru znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozważ rozwiązanie przykładu za pomocą wzoru pierwiastka otrzymanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 -6 x−32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . To znaczy, możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tutaj a=5 , n=−3 i c=−32 , i obliczyć czwartą część wyróżnik: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdujemy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Zauważ, że można było użyć zwykłego wzoru dla pierwiastków równania kwadratowego, ale w tym przypadku trzeba by wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiadać:

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą formuł nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć formę tego równania”? Zgadzam się, że pod względem obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x −6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego stron przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100 x 2 -400 x -600=0 dzieląc obie strony przez 100 .

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie części równania są zwykle dzielone przez bezwzględne wartości jego współczynników. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dzieląc obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 , otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 -7 x+8=0 .

A mnożenie obu części równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się na mianownikach jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego pomnożymy przez LCM(6, 3, 1)=6 , to przyjmie prostszą postać x 2 +4 x−18=0 .

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 przechodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników. Na podstawie wzoru pierwiastków można uzyskać inne relacje między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie formuły z twierdzenia Vieta o postaci i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem swobodnym. Na przykład za pomocą postaci równania kwadratowego 3 x 2-7 x+22=0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22/3.

Korzystając z już napisanych formuł, można uzyskać szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego w postaci jego współczynników: .

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 8 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkovich. - 11 ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dyskryminator pozwala rozwiązywać dowolne równania kwadratowe za pomocą ogólnego wzoru, który ma następującą postać:

Wzór na dyskryminację zależy od stopnia wielomianu. Powyższy wzór nadaje się do rozwiązywania równań kwadratowych o następującej postaci:

Wyróżnik ma następujące właściwości, które musisz znać:

* „D” wynosi 0, gdy wielomian ma wiele pierwiastków (równe pierwiastki);

* „D” jest wielomianem symetrycznym w odniesieniu do pierwiastków wielomianu, a zatem jest wielomianem w swoich współczynnikach; co więcej, współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, niezależnie od rozszerzenia, w którym bierze się pierwiastki.

Załóżmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe o następującej postaci:

1 równanie

Zgodnie ze wzorem mamy:

Ponieważ \, to równanie ma 2 pierwiastki. Zdefiniujmy je:

Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą dyskryminującego solvera online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz też obejrzeć film instruktażowy i dowiedzieć się, jak rozwiązywać równanie na naszej stronie internetowej, a jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Wybierz rubrykę Książki Matematyka Fizyka Kontrola i kontrola dostępu Bezpieczeństwo pożarowe Przydatne Dostawcy sprzętu Przyrządy pomiarowe (KIP) Pomiar wilgotności - dostawcy w Federacji Rosyjskiej. Pomiar ciśnienia. Pomiar kosztów. Przepływomierze. Pomiar temperatury Pomiar poziomu. Wskaźniki poziomu. Technologie bezwykopowe Systemy kanalizacyjne. Dostawcy pomp w Federacji Rosyjskiej. Naprawa pompy. Akcesoria do rurociągów. Zawory motylkowe (zawory talerzowe). Sprawdź zawory. Armatura kontrolna. Filtry siatkowe, odmulacze, filtry magnetomechaniczne. Zawory kulowe. Rury i elementy rurociągów. Uszczelki do gwintów, kołnierzy itp. Silniki elektryczne, napędy elektryczne… Podręcznik Alfabety, nazwy, jednostki, kody… Alfabety, w tym. Grecki i łaciński. Symbolika. Kody. Alfa, beta, gamma, delta, epsilon… Nazwy sieci elektrycznych. Konwersja jednostek Decybel. Śnić. Tło. Jednostki czego? Jednostki miary ciśnienia i podciśnienia. Konwersja jednostek ciśnieniowych i próżniowych. Jednostki długości. Tłumaczenie jednostek długości (rozmiar liniowy, odległości). Jednostki objętości. Konwersja jednostek objętości. Jednostki gęstości. Konwersja jednostek gęstości. Jednostki powierzchni. Konwersja jednostek powierzchni. Jednostki miary twardości. Przeliczanie jednostek twardości. Jednostki temperatury. Konwersja jednostek temperatury w jednostkach miary kątów Kelvin / Celsius / Fahrenheit / Rankine / Delisle / Newton / Reamure ("wymiary kątowe"). Przeliczaj jednostki prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego. Standardowe błędy pomiarowe Gazy różnią się jako media robocze. Azot N2 (czynnik chłodniczy R728) Amoniak (czynnik chłodniczy R717). Płyn przeciw zamarzaniu. Wodór H^2 (czynnik chłodniczy R702) Para wodna. Powietrze (atmosfera) Gaz ziemny - gaz ziemny. Biogaz to gaz ściekowy. Gaz płynny. NGL. LNG. Propan-butan. Tlen O2 (czynnik chłodniczy R732) Oleje i smary Metan CH4 (czynnik chłodniczy R50) Właściwości wody. Tlenek węgla CO. tlenek węgla. Dwutlenek węgla CO2. (czynnik chłodniczy R744). Chlor Cl2 Chlorowodór HCl, znany również jako kwas solny. Czynniki chłodnicze (czynniki chłodnicze). Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R11 - Fluorotrichlorometan (CFCI3) Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R12 - Difluorodichlorometan (CF2CCl2) Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R125 - Pentafluoroetan (CF2HCF3). Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R134a - 1,1,1,2-Tetrafluoroetan (CF3CFH2). Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R22 - Difluorochlorometan (CF2ClH) Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R32 - Difluorometan (CH2F2). Czynnik chłodniczy (czynnik chłodniczy) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Procent masy. inne Materiały - właściwości termiczne Materiały ścierne - ziarno, miałkość, urządzenia szlifierskie. Gleba, ziemia, piasek i inne skały. Wskaźniki rozluźnienia, skurczu i gęstości gleb i skał. Skurcz i rozluźnienie, obciążenia. Kąty nachylenia. Wysokości półek, wysypiska. Drewno. Graty. Drewno. Dzienniki. Drewno opałowe… Ceramika. Kleje i spoiny klejowe Lód i śnieg (lód wodny) Metale Aluminium i stopy aluminium Miedź, brąz i mosiądz Brąz Mosiądz Miedź (i klasyfikacja stopów miedzi) Nikiel i stopy Zgodność z gatunkami stopów Stale i stopy Tabele referencyjne mas wyrobów walcowanych i Rury. +/-5% waga rury. metalowa waga. Własności mechaniczne stali. Minerały żeliwne. Azbest. Produkty spożywcze i surowce spożywcze. Właściwości itp. Link do innej sekcji projektu. Kauczuki, tworzywa sztuczne, elastomery, polimery. Szczegółowy opis Elastomery PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE/ P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (modyfikowany PTFE), Wytrzymałość materiałów. Sopromat. Materiały budowlane. Właściwości fizyczne, mechaniczne i termiczne. Beton. Konkretne rozwiązanie. Rozwiązanie. Okucia budowlane. Stal i inne. Tabele stosowalności materiałów. Odporność chemiczna. Możliwość zastosowania temperatury. Odporność na korozję. Materiały uszczelniające - uszczelniacze spoin. PTFE (fluoroplast-4) i materiały pochodne. Taśma FUM. Kleje anaerobowe Nieschnące (nietwardniejące) uszczelniacze. Uszczelniacze silikonowe (krzemoorganiczne). Grafit, azbest, paronity i materiały pochodne Paronit. Grafit ekspandowany termicznie (TRG, TMG), kompozycje. Nieruchomości. Aplikacja. Produkcja. Len sanitarny Uszczelki z gumowych elastomerów Izolatory i materiały termoizolacyjne. (link do sekcji projektu) Techniki i koncepcje inżynierskie Ochrona przeciwwybuchowa. Ochrona przed uderzeniami środowisko. Korozja. Zmiany klimatyczne (Tabele Kompatybilności Materiałowej) Klasy ciśnienia, temperatura, szczelność Spadek (spadek) ciśnienia. — Koncepcja inżynierska. Ochrona przeciwpożarowa. Pożary. Teoria automatycznego sterowania (regulacji). Podręcznik matematyczny TAU Arytmetyka, progresje geometryczne i sumy niektórych szeregów liczbowych. Figury geometryczne. Właściwości, wzory: obwody, pola, objętości, długości. Trójkąty, prostokąty itp. Stopnie na radiany. płaskie figury. Właściwości, boki, kąty, znaki, obwody, równości, podobieństwa, akordy, sektory, obszary itp. Obszary figur nieregularnych, objętości ciał nieregularnych. Średnia wartość sygnału. Wzory i metody obliczania powierzchni. Wykresy. Budowa wykresów. Czytanie wykresów. Rachunek całkowy i różniczkowy. Pochodne i całki tabelaryczne. Tabela pochodna. Tabela całek. Tabela prymitywów. Znajdź pochodną. Znajdź całkę. Dyfuzja. Liczby zespolone. wyimaginowana jednostka. Algebra liniowa. (Wektory, macierze) Matematyka dla najmłodszych. Przedszkole - 7 klasa. Logika matematyczna. Rozwiązywanie równań. Równania kwadratowe i dwukwadratowe. Formuły. Metody. Rozwiązywanie równań różniczkowych Przykłady rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych rzędu wyższego niż pierwszy. Przykłady rozwiązań najprostszych = analitycznie rozwiązywalnych równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Układy współrzędnych. Prostokątny kartezjański, biegunowy, cylindryczny i sferyczny. Dwuwymiarowy i trójwymiarowy. Systemy liczbowe. Liczby i cyfry (rzeczywiste, złożone, ....). Tablice systemów liczbowych. Szeregi potęgowe Taylora, Maclaurina (=McLarena) i okresowe szeregi Fouriera. Rozkład funkcji na szeregi. Tablice logarytmów i podstawowe wzory Tablice wartości liczbowych Tablice Bradysa. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka Funkcje trygonometryczne, wzory i wykresy. sin, cos, tg, ctg….Wartości funkcji trygonometrycznych. Wzory redukcji funkcji trygonometrycznych. Tożsamości trygonometryczne. Metody numeryczne Sprzęt - normy, wymiary Sprzęt AGD, wyposażenie domu. Systemy odwadniające i odwadniające. Pojemności, zbiorniki, zbiorniki, zbiorniki. Oprzyrządowanie i sterowanie Oprzyrządowanie i automatyka. Pomiar temperatury. Przenośniki, przenośniki taśmowe. Kontenery (link) Sprzęt laboratoryjny. Pompy i przepompownie Pompy do cieczy i pulp. Inżynierski żargon. Słownik. Ekranizacja. Filtrowanie. Separacja cząstek przez siatki i sita. Orientacyjna wytrzymałość lin, kabli, linek, lin wykonanych z różnych tworzyw sztucznych. Wyroby gumowe. Stawy i załączniki. Średnice warunkowe, nominalne, Du, DN, NPS i NB. Średnice metryczne i calowe. SDR. Klucze i rowki wpustowe. Standardy komunikacji. Sygnały w systemach automatyki (AKPiA) Analogowe sygnały wejściowe i wyjściowe przyrządów, czujników, przepływomierzy i urządzeń automatyki. interfejsy połączeń. Protokoły komunikacyjne (komunikacja) Telefonia. Akcesoria do rurociągów. Dźwigi, zawory, zasuwy…. Długości budynków. Kołnierze i gwinty. Normy. Wymiary łączące. wątki. Oznaczenia, rozmiary, zastosowanie, typy… (link referencyjny) Połączenia („higieniczne”, „aseptyczne”) rurociągów w przemyśle spożywczym, mleczarskim i farmaceutycznym. Rury, rurociągi. Średnice rur i inne cechy. Wybór średnicy rurociągu. Natężenia przepływu. Wydatki. Wytrzymałość. Tabele doboru, spadek ciśnienia. Miedziane rury. Średnice rur i inne cechy. Rury z polichlorku winylu (PVC). Średnice rur i inne cechy. Rury są z polietylenu. Średnice rur i inne cechy. Rury polietylenowe PND. Średnice rur i inne cechy. Rury stalowe (w tym ze stali nierdzewnej). Średnice rur i inne cechy. Rura jest stalowa. Rura jest nierdzewna. Rury ze stali nierdzewnej. Średnice rur i inne cechy. Rura jest nierdzewna. Rury ze stali węglowej. Średnice rur i inne cechy. Rura jest stalowa. Dopasowywanie. Kołnierze zgodne z GOST, DIN (EN 1092-1) i ANSI (ASME). Połączenie kołnierzowe. Połączenia kołnierzowe. Połączenie kołnierzowe. Elementy rurociągów. Lampy elektryczne Złącza elektryczne i przewody (kable) Silniki elektryczne. Silniki elektryczne. Elektryczne urządzenia przełączające. (Link do sekcji) Standardy życia osobistego inżynierów Geografia dla inżynierów. Odległości, trasy, mapy… Inżynierowie w życiu codziennym. Rodzina, dzieci, rekreacja, odzież i mieszkanie. Dzieci inżynierów. Inżynierowie w biurach. Inżynierowie i inne osoby. Socjalizacja inżynierów. Ciekawostki. Inżynierowie odpoczynku. To nas zszokowało. Inżynierowie i żywność. Przepisy, użyteczność. Sztuczki dla restauracji. Handel międzynarodowy dla inżynierów. Uczymy się myśleć w sposób huksterski. Transport i podróże. Prywatne samochody, rowery…. Fizyka i chemia człowieka. Ekonomia dla inżynierów. Finansiści Bormotologii - ludzki język. Koncepcje technologiczne i rysunki Pisanie, rysunek, papier biurowy i koperty. Standardowe rozmiary zdjęcia. Wentylacja i klimatyzacja. Zaopatrzenie w wodę i kanalizacja Zaopatrzenie w ciepłą wodę (CWU). Zaopatrzenie w wodę pitną Ścieki. Zaopatrzenie w zimną wodę Przemysł galwaniczny Chłodnictwo Linie / systemy parowe. Linie / systemy kondensatu. Linie parowe. Rurociągi kondensatu. Przemysł spożywczy Dostawa gazu ziemnego Spawanie metali Symbole i oznaczenia urządzeń na rysunkach i schematach. Warunkowy obrazy graficzne w projektach ogrzewania, wentylacji, klimatyzacji oraz zaopatrzenia w ciepło i chłód wg ANSI/ASHRAE Standard 134-2005. Sterylizacja urządzeń i materiałów Zaopatrzenie w ciepło Przemysł elektroniczny Zaopatrzenie w energię Odniesienie fizyczne Alfabety. Przyjęte oznaczenia. Podstawowe stałe fizyczne. Wilgotność jest absolutna, względna i specyficzna. Wilgotność powietrza. Tabele psychrometryczne. Diagramy Ramzina. Lepkość w czasie, liczba Reynoldsa (Re). Jednostki lepkości. Gazy. Właściwości gazów. Indywidualne stałe gazowe. Ciśnienie i podciśnienie Podciśnienie Długość, odległość, wymiar liniowy Dźwięk. Ultradźwięk. Współczynniki pochłaniania dźwięku (link do innej sekcji) Klimat. dane klimatyczne. dane naturalne. SNiP 23-01-99. Klimatologia budowlana. (Statystyki danych klimatycznych) SNIP 23-01-99 Tabela 3 - Średnia miesięczna i roczna temperatura powietrza, ° С. Były ZSRR. SNIP 23-01-99 Tabela 1. Parametry klimatyczne zimnego okresu roku. RF. SNIP 23-01-99 Tabela 2. Parametry klimatyczne w ciepłym sezonie. Były ZSRR. SNIP 23-01-99 Tabela 2. Parametry klimatyczne w ciepłym sezonie. RF. SNIP 23-01-99 Tabela 3. Średnia miesięczna i roczna temperatura powietrza, °C. RF. SNiP 23-01-99. Tabela 5a* - Średnie miesięczne i roczne ciśnienie cząstkowe pary wodnej, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Tabela 1. Parametry klimatyczne zimnej pory roku. Były ZSRR. Gęstość. Waga. Środek ciężkości. Gęstość nasypowa. Napięcie powierzchniowe. Rozpuszczalność. Rozpuszczalność gazów i ciał stałych. Światło i kolor. Współczynniki odbicia, absorpcji i załamania Alfabet kolorów:) - Oznaczenia (kody) koloru (kolory). Właściwości materiałów i mediów kriogenicznych. Tabele. Współczynniki tarcia dla różnych materiałów. Wielkości termiczne, w tym wrzenie, topienie, płomień itp…… Dodatkowe informacje patrz: Współczynniki (wskaźniki) adiabatu. Konwekcja i pełna wymiana ciepła. Współczynniki termicznej rozszerzalności liniowej, termicznej rozszerzalności objętościowej. Temperatury, wrzenie, topnienie, inne… Konwersja jednostek temperatury. Palność. temperatura mięknienia. Temperatury wrzenia Temperatury topnienia Przewodność cieplna. Współczynniki przewodzenia ciepła. Termodynamika. Ciepło właściwe parowanie (kondensacja). Entalpia parowania. Ciepło właściwe spalania (wartość opałowa). Zapotrzebowanie na tlen. Wielkości elektryczne i magnetyczne Elektryczne momenty dipolowe. Stała dielektryczna. Stała elektryczna. Długości fal elektromagnetycznych (Katalog innej sekcji) Natężenia pole magnetyczne Pojęcia i wzory na elektryczność i magnetyzm. Elektrostatyka. Moduły piezoelektryczne. Wytrzymałość elektryczna materiałów Prąd elektryczny Opór elektryczny i przewodność. Potencjały elektroniczne Informator chemiczny "Alfabet chemiczny (słownik)" - nazwy, skróty, przedrostki, oznaczenia substancji i związków. Roztwory i mieszaniny wodne do obróbki metali. Roztwory wodne do nakładania i usuwania powłok metalowych Roztwory wodne do czyszczenia z osadów węglowych (osady smoły, osady węglowe z silników spalinowych...) Roztwory wodne do pasywacji. Wodne roztwory do trawienia - usuwanie tlenków z powierzchni Wodne roztwory do fosforanowania Wodne roztwory i mieszaniny do chemicznego utleniania i barwienia metali. Roztwory wodne i mieszaniny do chemicznego polerowania Odtłuszczanie roztworów wodnych i rozpuszczalników organicznych pH. Tabele pH. Spalanie i wybuchy. Utlenianie i redukcja. Klasy, kategorie, oznaczenia niebezpieczeństwa (toksyczności) substancji chemicznych Układ okresowy pierwiastków chemicznych DI Mendelejewa. Układ okresowy pierwiastków. Gęstość rozpuszczalników organicznych (g/cm3) w zależności od temperatury. 0-100 °С. Właściwości rozwiązań. Stałe dysocjacji, kwasowość, zasadowość. Rozpuszczalność. Mieszanki. Stałe cieplne substancji. Entalpia. entropia. Energia Gibbsa… (link do książki chemicznej projektu) Elektrotechnika Regulatory Systemy zasilania bezprzerwowego. Systemy dyspozytorskie i sterujące Systemy okablowania strukturalnego Centra danych

W nowoczesne społeczeństwo umiejętność operowania równaniami zawierającymi zmienną kwadratową może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w rozwoju naukowym i technicznym. Świadczyć o tym może konstrukcja statków morskich i rzecznych, samolotów i pocisków. Za pomocą takich obliczeń trajektorie ruchu najbardziej różne ciała, w tym obiektów kosmicznych. Przykłady z rozwiązywaniem równań kwadratowych znajdują zastosowanie nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, projektowaniu i budowie budynków, ale także w najzwyklejszych warunkach życia codziennego. Mogą być potrzebne na kempingach, na imprezach sportowych, w sklepach podczas zakupów oraz w innych bardzo powszechnych sytuacjach.

Podzielmy wyrażenie na czynniki składowe

Stopień równania jest określony przez maksymalną wartość stopnia zmiennej, którą zawiera dane wyrażenie. Jeśli jest równy 2, to takie równanie nazywa się równaniem kwadratowym.

Jeśli mówimy językiem formuł, to wyrażenia te, bez względu na to, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do formy, gdy lewa strona wyrażenia składa się z trzech wyrazów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna do kwadratu ze swoim współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze swoim współczynnikiem) i c (składowa dowolna, czyli liczba zwykła). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze swoich członów składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywa się to niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady z rozwiązaniem takich problemów, w których wartości zmiennych nie są trudne do znalezienia.

Jeśli wyrażenie wygląda tak, jakby miało dwa wyrazy po prawej stronie wyrażenia, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiej jest znaleźć x, umieszczając zmienną w nawias. Teraz nasze równanie będzie wyglądać tak: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Zasada mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich wynosi zero.

Przykład

x=0 lub 8x - 3 = 0

W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.

Tego rodzaju równania mogą opisywać ruch ciał pod wpływem grawitacji, które zaczęły się poruszać od pewnego punktu, przyjętego jako początek. Tutaj zapis matematyczny przyjmuje następującą postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Podstawiając niezbędne wartości, zrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz poznać czas, jaki upłynął od momentu wzniesienia się ciała do momentu upadku, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.

Faktoring wyrażenia

Opisana powyżej zasada umożliwia rozwiązanie tych problemów i nie tylko trudne przypadki. Rozważ przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych tego typu.

X2 - 33x + 200 = 0

Ten trójmian kwadratowy jest kompletny. Najpierw przekształcamy wyrażenie i rozkładamy je na czynniki. Są dwa z nich: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.

Przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, są trzy z nich, czyli (x + 1), (x-3) i (x + 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że równanie to ma trzy pierwiastki: -3; -jeden; 3.

Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego

Innym przypadkiem niepełnego równania drugiego rzędu jest wyrażenie napisane w języku liter w taki sposób, że prawa strona jest zbudowana ze składowych ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, wolny termin jest przenoszony do prawa strona, a następnie z obu części równości, Pierwiastek kwadratowy. Należy zauważyć, że w ta sprawa Zwykle są dwa pierwiastki równania. Jedynymi wyjątkami są równości, które w ogóle nie zawierają wyrazu c, gdzie zmienna jest równa zero, oraz warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku nie ma w ogóle rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać z korzeniami. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W tym przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.

Obliczanie powierzchni ziemi

Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w starożytności, gdyż rozwój matematyki w tamtych odległych czasach wynikał w dużej mierze z konieczności jak najdokładniejszego wyznaczania powierzchni i obwodów działek.

Powinniśmy również rozważyć przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych opracowanych na podstawie tego rodzaju problemów.

Załóżmy więc, że istnieje prostokątny kawałek ziemi, którego długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód terenu, jeśli wiadomo, że jego powierzchnia wynosi 612 m2.

Przechodząc do biznesu, najpierw zrobimy niezbędne równanie. Oznaczmy szerokość przekroju jako x, wtedy jego długość będzie wynosić (x + 16). Z tego, co napisano, wynika, że ​​obszar jest określony przez wyrażenie x (x + 16), które zgodnie ze stanem naszego problemu wynosi 612. Oznacza to, że x (x + 16) \u003d 612.

Rozwiązanie kompletnych równań kwadratowych, a to wyrażenie jest właśnie takie, nie może być wykonane w ten sam sposób. Czemu? Chociaż jego lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, więc stosuje się tutaj inne metody.

Dyskryminujący

Przede wszystkim dokonujemy niezbędnych przekształceń, potem wygląd zewnętrzny wyrażenie to będzie wyglądało tak: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej określonemu standardowi, gdzie a=1, b=16, c=-612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przez dyskryminator. Tutaj niezbędne obliczenia produkowane według schematu: D = b 2 - 4ac. Ta wartość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie pożądanych wartości w równaniu drugiego rzędu, ale określa liczbę możliwych opcji. W przypadku D>0, są dwa z nich; dla D=0 jest jeden pierwiastek. W przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku wyróżnikiem jest: 256 - 4(-612) = 2704. Oznacza to, że nasz problem ma odpowiedź. Jeśli wiesz, to, rozwiązywanie równań kwadratowych musi być kontynuowane przy użyciu poniższego wzoru. Pozwala obliczyć korzenie.

Oznacza to, że w prezentowanym przypadku: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wielkości działki nie można mierzyć w wartościach ujemnych, co oznacza, że ​​x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18+16=34, a obwód 2(34+18) = 104 (m2).

Przykłady i zadania

Kontynuujemy badanie równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązanie kilku z nich zostaną podane poniżej.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Przenieśmy wszystko na lewą stronę równości, zróbmy transformację, czyli otrzymamy postać równania, które zwykle nazywa się standardowym i przyrównamy je do zera.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Po dodaniu podobnych określamy dyskryminator: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Więc nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczamy je według powyższego wzoru, co oznacza, że ​​pierwszy z nich będzie równy 4/3, a drugi 1.

2) Teraz ujawnimy zagadki innego rodzaju.

Dowiedzmy się, czy w ogóle są tu pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, doprowadzamy wielomian do odpowiedniej znanej postaci i obliczamy wyróżnik. W tym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, ponieważ istota problemu wcale nie jest w tym. W tym przypadku D \u003d 16-20 \u003d -4, co oznacza, że ​​tak naprawdę nie ma korzeni.

Twierdzenie Viety

Wygodnie jest rozwiązywać równania kwadratowe za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniany z wartości tego ostatniego. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów na uzyskanie wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Viety. Jego nazwa pochodzi od człowieka, który mieszkał w XVI-wiecznej Francji i dzięki swemu matematycznemu talentowi i znajomościom na dworze miał wspaniałą karierę. Jego portret można zobaczyć w artykule.

Wzór, który zauważył słynny Francuz, wyglądał następująco. Udowodnił, że suma pierwiastków równania jest równa -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.

Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.

3x2 + 21x - 54 = 0

Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korzystając z twierdzenia Vieta, otrzymamy to, co następuje: suma pierwiastków to -7, a ich iloczyn to -18. Stąd wynika, że ​​pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych naprawdę pasują do wyrażenia.

Wykres i równanie paraboli

Koncepcje funkcji kwadratowej i równania kwadratowe są ze sobą ściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz nieco bardziej szczegółowo niektórym zagadkom matematycznym. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w formie wykresu, nazywana jest parabolą. Poszczególne jego rodzaje pokazano na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą w górę do nieskończoności, a kiedy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym równania kwadratowe. Ta metoda nazywa się grafiką. A wartością zmiennej x jest współrzędna odciętej w punktach, w których linia wykresu przecina 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć za pomocą właśnie podanego wzoru x 0 = -b / 2a. I podstawiając wynikową wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli należącego do osi y.

Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych

Istnieje wiele przykładów rozwiązywania równań kwadratowych, ale są też ogólne wzorce. Rozważmy je. Oczywiste jest, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy y 0 przyjmuje wartości ujemne. I dla<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. W przeciwnym razie D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z wykresu paraboli możesz również określić pierwiastki. Odwrotna sytuacja również jest prawdziwa. Oznacza to, że jeśli nie jest łatwo uzyskać wizualną reprezentację funkcji kwadratowej, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać otrzymane równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej wykreślić.

Z historii

Za pomocą równań zawierających zmienną kwadratową w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i określano obszar kształtów geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w dziedzinie fizyki i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.

Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu byli jednymi z pierwszych, którzy rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed nadejściem naszej ery. Oczywiście ich obliczenia zasadniczo różniły się od obecnie akceptowanych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład matematycy mezopotamscy nie mieli pojęcia o istnieniu liczb ujemnych. Nie znali również innych subtelności znanych każdemu uczniowi naszych czasów.

Być może nawet wcześniej niż naukowcy z Babilonu, indyjski mędrzec Baudhayama zajął się rozwiązywaniem równań kwadratowych. Stało się to około ośmiu wieków przed nadejściem ery Chrystusa. To prawda, równania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się również chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później wykorzystali je w swojej pracy tak wielcy naukowcy jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.