Obszar płaskiej figury ograniczony liniami. Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczony liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy spotykamy się z sformułowaniem takiego problemu w liceum, kiedy badanie pewnych całek zostało właśnie zakończone i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

A więc, co jest wymagane, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność prawidłowego rysowania rysunków;
Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym lub innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) lub osi y (OY)?
No cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać inne rodzaje całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania powierzchni figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów jest wykonywany wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną użyte. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub irracjonalne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są jednoznacznie ustalone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pasuje do analitycznego.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od lokalizacji wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania pola figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru trapezu krzywoliniowego. Czym jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y=0), proste x = a, x = b oraz dowolna krzywa ciągła na odcinku od a zanim b. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemna, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są pozytywne. Następnie podane proste linie x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi OU, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowy rysunek jest zacieniony, jak widać na rysunku po lewej stronie. W ta sprawa, możesz natychmiast rozpocząć rozwiązywanie problemu. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, w którym warunki problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowej formuły Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, który pochodzi spod osi OH, proste x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 oraz x = -1 są to granice, w których zostanie obliczona całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia i jest również ciągła na przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy „pozytywny”? Jak widać z rysunku, figura leżąca w obrębie danego x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, które musimy zobaczyć i zapamiętać podczas rozwiązywania problemu. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.

Zaczynamy rozważać rzeczywisty proces obliczania całki podwójnej i zapoznajemy się z jej znaczeniem geometrycznym.

Całka podwójna numerycznie równa powierzchni płaska figura(dziedziny integracji). Jest to najprostsza postać całki podwójnej, gdy funkcja dwóch zmiennych jest równa jeden: .

Rozważmy najpierw problem w kategoriach ogólnych. Teraz zdziwisz się, jakie to naprawdę proste! Obliczmy powierzchnię płaskiej figury ograniczonej liniami. Dla jednoznaczności zakładamy, że na przedziale . Powierzchnia tej figury jest liczbowo równa:

Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy pierwszy sposób na ominięcie obszaru:

W ten sposób:

I od razu ważna sztuczka techniczna: całki iterowane można rozpatrywać oddzielnie. Najpierw całka wewnętrzna, potem całka zewnętrzna. Ta metoda jest wysoce zalecana dla początkujących w temacie czajników.

1) Oblicz całkę wewnętrzną, podczas gdy całkowanie odbywa się po zmiennej „y”:

Całka nieoznaczona jest tu najprostsza, a następnie stosuje się banalną formułę Newtona-Leibniza, z tą tylko różnicą, że granicami integracji nie są liczby, ale funkcje. Najpierw wstawiliśmy górną granicę do „y” (funkcja antypochodna), a następnie dolną granicę

2) Wynik uzyskany w akapicie pierwszym należy zastąpić całką zewnętrzną:

Bardziej zwarta notacja dla całego rozwiązania wygląda tak:

Wynikowa formuła - jest to dokładnie działająca formuła obliczania powierzchni figury płaskiej za pomocą „zwykłej” całki oznaczonej! Zobacz lekcję Obliczanie powierzchni za pomocą określona całka , tam jest na każdym kroku!

To znaczy, problem obliczania pola za pomocą całki podwójnej trochę inaczej z problemu znalezienia pola za pomocą całki oznaczonej! W rzeczywistości są jednym i tym samym!

W związku z tym nie powinny pojawić się żadne trudności! Nie będę rozważał zbyt wielu przykładów, ponieważ w rzeczywistości wielokrotnie napotykałeś ten problem.

Przykład 9

Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przemierzania regionu:

Tutaj i poniżej nie będę omawiał sposobu przemierzania obszaru, ponieważ pierwszy akapit był bardzo szczegółowy.

W ten sposób:

Jak już zauważyłem, dla początkujących lepiej jest obliczać całki iterowane osobno, będę stosować tę samą metodę:

1) Najpierw, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza, mamy do czynienia z całką wewnętrzną:

2) Wynik uzyskany w pierwszym kroku jest podstawiony do całki zewnętrznej:

Punkt 2 to właściwie znalezienie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej.

Odpowiadać:

Oto takie głupie i naiwne zadanie.

Ciekawy przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Korzystając z całki podwójnej oblicz powierzchnię figury płaskiej ograniczonej liniami , ,

Przykład ostatecznego rozwiązania na koniec lekcji.

W przykładach 9-10 o wiele bardziej opłaca się użyć pierwszego sposobu na ominięcie obszaru, przy okazji ciekawi czytelnicy mogą zmienić kolejność omijania i obliczyć obszary w drugi sposób. Jeśli nie popełnisz błędu, to oczywiście uzyskasz te same wartości obszaru.

Ale w niektórych przypadkach drugi sposób na ominięcie obszaru jest bardziej skuteczny, a na zakończenie kursu młodego nerda spójrzmy na jeszcze kilka przykładów na ten temat:

Przykład 11

Korzystając z całki podwójnej, oblicz powierzchnię figury płaskiej ograniczonej liniami.

Rozwiązanie: czekamy na dwie parabole z wiatrem, które leżą po ich stronie. Nie trzeba się uśmiechać, często spotyka się podobne rzeczy w całkach wielokrotnych.

Jaki jest najłatwiejszy sposób na wykonanie rysunku?

Przedstawmy parabolę jako dwie funkcje:
- gałąź górna i - gałąź dolna.

Podobnie wyobraź sobie parabolę jako górną i dolną gałęzie.

Następnie, kreślenie punkt po punkcie prowadzi do tak dziwacznej liczby:

Powierzchnia figury jest obliczana za pomocą całki podwójnej według wzoru:

Co się stanie, jeśli wybierzemy pierwszą drogę ominięcia terenu? Najpierw trzeba będzie podzielić ten obszar na dwie części. Po drugie, zaobserwujemy ten smutny obraz: . Całki oczywiście nie są na poziomie super złożonym, ale… jest stare matematyczne powiedzenie: kto przyjaźni się z korzeniami, nie potrzebuje potrącenia.

Dlatego z nieporozumienia podanego w warunku wyrażamy funkcje odwrotne:

Funkcje odwrotne w tym przykładzie mają tę zaletę, że natychmiast ustawiają całą parabolę bez liści, żołędzi, gałęzi i korzeni.

Zgodnie z drugą metodą przemierzanie obszaru będzie wyglądać następująco:

W ten sposób:

Jak mówią, poczuj różnicę.

1) Zajmujemy się całką wewnętrzną:

Wynik podstawiamy do całki zewnętrznej:

Całkowanie nad zmienną "y" nie powinno być krępujące, gdyby pojawiła się litera "zyu" - fajnie byłoby całkować nad nią. Chociaż kto czyta drugi akapit lekcji? Jak obliczyć objętość ciała obrotowego, nie odczuwa już najmniejszego zakłopotania z integracją nad „y”.

Zwróć także uwagę na pierwszy krok: całka jest parzysta, a segment całkowania jest symetryczny wokół zera. Dlatego segment można zmniejszyć o połowę, a wynik można podwoić. Ta technika jest szczegółowo omówiona w lekcji. Skuteczne metody obliczanie całki oznaczonej.

Co dodać…. Wszystko!

Odpowiadać:

Aby przetestować swoją technikę integracji, możesz spróbować obliczyć . Odpowiedź powinna być dokładnie taka sama.

Przykład 12

Korzystając z całki podwójnej, oblicz powierzchnię figury płaskiej ograniczonej liniami

To jest przykład zrób to sam. Warto zauważyć, że jeśli spróbujesz użyć pierwszego sposobu na ominięcie obszaru, postać nie będzie już podzielona na dwie, ale na trzy części! I odpowiednio otrzymujemy trzy pary iterowanych całek. Czasami tak bywa.

Klasa mistrzowska dobiegła końca i czas przejść na poziom arcymistrzowski - Jak obliczyć całkę podwójną? Przykłady rozwiązań. Postaram się nie być tak maniakiem w drugim artykule =)

Życzę Ci sukcesów!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2:Rozwiązanie: Narysuj obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przemierzania regionu:

W ten sposób:
Przejdźmy do funkcji odwrotnych:

W ten sposób:
Odpowiadać:

Przykład 4:Rozwiązanie: Przejdźmy do funkcji bezpośrednich:

Wykonajmy rysunek:

Zmieńmy kolejność przemierzania obszaru:

Odpowiadać:

W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, dużo więcej aktualny problem będzie twoja wiedza i umiejętności rysowania. W związku z tym warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych i przynajmniej móc zbudować linię prostą i hiperbolę.

Trapez krzywoliniowy to płaska figura ograniczona osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym odcinku. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:

Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Pod względem geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA.

To znaczy, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną . Całka określa krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

To jest typowa instrukcja zadania. Pierwszy i Kluczowy punkt rozwiązania - budowanie rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWO.

Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Tworzenie wykresów funkcji jest bardziej opłacalne punktowo.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie definiuje oś):

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, dlatego:

Odpowiadać:

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku "na oko" liczymy ilość komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisane około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej podaną oś), to jej pole można obliczyć wzorem:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, to obszar jest zawsze dodatni! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz uzupełnić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .

Jeśli to możliwe, najlepiej nie używać tej metody..

O wiele bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywa się „samo z siebie”. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli na przykład wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic integracji (mogą być ułamkowe lub irracjonalne). I rozważymy również taki przykład.

Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działająca formuła: Jeśli w interwale jest jakaś ciągła funkcja większe lub równe jakaś funkcja ciągła, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i prostą linią od dołu.
Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiadać:

Przykład 4

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:

A więc, co jest wymagane, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność prawidłowego rysowania rysunków;
Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym lub innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) lub osi y (OY)?
No cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać inne rodzaje całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania powierzchni figury ograniczonej liniami:

2. Jeśli granice całkowania nie są jednoznacznie ustalone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pasuje do analitycznego.

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemna, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są pozytywne. Następnie podane proste linie x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi OU, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowy rysunek jest zacieniony, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz od razu zacząć rozwiązywać problem. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

Przykład 2 . Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Artykuł nie jest ukończony.

Zadanie numer 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

Zastosowanie całki do rozwiązywania problemów aplikacyjnych

Obliczanie powierzchni

Całka oznaczona ciągłej funkcji nieujemnej f(x) jest liczbowo równa obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony krzywą y \u003d f (x), oś O x i linie proste x \u003d a i x \u003d b. W związku z tym formuła powierzchni jest zapisana w następujący sposób:

Rozważ kilka przykładów obliczania powierzchni figur płaskich.

Zadanie numer 1. Oblicz obszar ograniczony liniami y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Rozwiązanie. Zbudujmy figurę, której powierzchnię będziemy musieli obliczyć.

y \u003d x 2 + 1 to parabola, której gałęzie są skierowane w górę, a parabola jest przesunięta w górę o jedną jednostkę względem osi O y (rysunek 1).

Rysunek 1. Wykres funkcji y = x 2 + 1

Zadanie numer 2. Oblicz obszar ograniczony liniami y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 w zakresie od 0 do 1.

Rozwiązanie. Wykresem tej funkcji jest parabola gałęzi, która jest skierowana w górę, a parabola jest przesunięta w dół o jedną jednostkę względem osi O y (rysunek 2).

Rysunek 2. Wykres funkcji y \u003d x 2 - 1

Zadanie numer 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Rozwiązanie. Pierwsza z tych dwóch linii to parabola z gałęziami skierowanymi w dół, ponieważ współczynnik przy x 2 jest ujemny, a druga linia jest linią prostą przecinającą obie osie współrzędnych.

Aby skonstruować parabolę, znajdźmy współrzędne jej wierzchołka: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – odcięte wierzchołki; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 to jej rzędna, N(1;9) to jej wierzchołek.

Teraz znajdujemy punkty przecięcia paraboli i prostej, rozwiązując układ równań:

Zrównanie prawych stron równania, którego lewe strony są równe.

Otrzymujemy 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 lub x 2 - 12 \u003d 0, skąd .

Punkty są więc punktami przecięcia paraboli i linii prostej (rysunek 1).

Rysunek 3 Wykresy funkcji y = 8 + 2x – x 2 oraz y = 2x – 4

Zbudujmy prostą y = 2x - 4. Przechodzi ona przez punkty (0;-4), (2; 0) na osiach współrzędnych.

Aby zbudować parabolę, możesz również mieć jej punkty przecięcia z osią 0x, czyli pierwiastki równania 8 + 2x - x 2 = 0 lub x 2 - 2x - 8 = 0. Według twierdzenia Vieta jest to łatwo znaleźć jego pierwiastki: x 1 = 2, x 2 = cztery.

Rysunek 3 przedstawia figurę (segment paraboliczny M 1 N M 2) ograniczony tymi liniami.

Drugą częścią problemu jest znalezienie obszaru tej figury. Jego pole można znaleźć za pomocą całki oznaczonej za pomocą wzoru .

W odniesieniu do tego warunku otrzymujemy całkę:

2 Obliczanie objętości ciała obrotowego

Objętość ciała uzyskana z obrotu krzywej y \u003d f (x) wokół osi O x jest obliczana według wzoru:

Podczas obracania się wokół osi O y wzór wygląda tak:

Zadanie nr 4. Określ objętość ciała uzyskaną z obrotu krzywoliniowego trapezu ograniczonego liniami prostymi x \u003d 0 x \u003d 3 i krzywą y \u003d wokół osi O x.

Rozwiązanie. Zbudujmy rysunek (rysunek 4).

Rysunek 4. Wykres funkcji y =

Żądana głośność jest równa

Zadanie nr 5. Oblicz objętość ciała uzyskaną z obrotu krzywoliniowego trapezu ograniczonego krzywą y = x 2 oraz liniami prostymi y = 0 i y = 4 wokół osi O y .

Rozwiązanie. Mamy:

Pytania kontrolne

Portal dla kobiet Flero

Zadanie numer 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

POWIĄZANE ARTYKUŁY