Zadanie 1(w sprawie obliczania powierzchni trapezu krzywoliniowego).

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych xOy podana jest liczba (patrz rysunek), ograniczona osią x, linie proste x \u003d a, x \u003d b (trapez krzywoliniowy. Wymagane jest obliczenie powierzchni \ krzywoliniowy trapez.
Decyzja. Geometria daje nam przepisy na obliczanie pól wielokątów i niektórych części okręgu (sektora, odcinka). Korzystając z rozważań geometrycznych, możemy znaleźć tylko przybliżoną wartość wymaganej powierzchni, argumentując w następujący sposób.

Podzielmy odcinek [a; b] (podstawa trapezu krzywoliniowego) na n równych części; podział ten jest możliwy za pomocą punktów x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Narysujmy przez te punkty linie równoległe do osi y. Wtedy dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Powierzchnia całego trapezu jest równa sumie powierzchni kolumn.

Rozważ osobno k-tą kolumnę, tj. trapez krzywoliniowy, którego podstawą jest segment. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta to \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdzie \(\Delta x_k \) to długość segmentu; naturalne jest uznanie skompilowanego produktu za przybliżoną wartość powierzchni k-tej kolumny.

Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi pozostałymi kolumnami, otrzymamy następujący wynik: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1)\Delta x_(n-1) \)
Tutaj, ze względu na jednolitość notacji, uważamy, że a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - długość segmentu , \(\Delta x_1 \) - długość segmentu itd; podczas gdy, jak ustaliliśmy powyżej, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Tak więc \(S \ok S_n \), a ta przybliżona równość jest tym dokładniejsza, im większe n.
Z definicji uważa się, że pożądany obszar trapezu krzywoliniowego jest równy granicy sekwencji (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Zadanie 2(o przesuwaniu punktu)
Punkt materialny porusza się po linii prostej. Zależność prędkości od czasu wyraża wzór v = v(t). Znajdź przemieszczenie punktu w przedziale czasu [a; b].
Decyzja. Gdyby ruch był jednostajny, to problem zostałby rozwiązany bardzo prosto: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku nierównomiernego ruchu należy użyć tych samych pomysłów, na których opierało się rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważ przedział czasu i załóż, że w tym przedziale czasu prędkość była stała, na przykład w czasie t k . Tak więc zakładamy, że v = v(t k).
3) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia punktu w przedziale czasu , ta przybliżona wartość będzie oznaczona przez s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
\(s \ok S_n \) gdzie
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Podsumujmy. Rozwiązania różnych problemów zostały zredukowane do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi do tego samego modelu w procesie rozwiązywania. Tak więc ten model matematyczny powinien być specjalnie przestudiowany.

Pojęcie całki oznaczonej

Podajmy matematyczny opis modelu, który został skonstruowany w trzech rozważanych problemach dla funkcji y = f(x), która jest ciągła (ale niekoniecznie nieujemna, jak zakładano w rozważanych problemach) na odcinku [ a; b]:
1) podzielić segment [a; b] na n równych części;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

W toku analizy matematycznej udowodniono, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub odcinkowo ciągłej). Nazywa się całka oznaczona funkcji y = f(x) po odcinku [a; b] i są oznaczone w ten sposób:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Liczby a i b nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolnym i górnym).

Wróćmy do omówionych powyżej zadań. Definicję obszaru podaną w zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tutaj S to obszar trapezu krzywoliniowego pokazanego na powyższym rysunku. Co to jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.

Definicję przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b, podaną w Zadaniu 2, można przepisać w następujący sposób:

Wzór Newtona - Leibniza

Na początek odpowiedzmy na pytanie: jaki jest związek między całką oznaczoną a funkcją pierwotną?

Odpowiedź można znaleźć w zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b jest obliczane ze wzoru Formuła
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Z drugiej strony współrzędna poruszającego się punktu jest funkcją pierwotną dla prędkości - oznaczmy ją s(t); stąd przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) - s(a). W rezultacie otrzymujemy:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną dla v(t).

Poniższe twierdzenie zostało udowodnione w toku analizy matematycznej.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na odcinku [a; b], to wzór
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x).

Ta formuła jest zwykle nazywana Wzór Newtona-Leibniza na cześć angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), którzy otrzymali go niezależnie od siebie i prawie jednocześnie.

W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a), używają notacji \(\left. F(x)\right|_a^b \) (czasami nazywa się to podwójna substytucja) i odpowiednio przepisz formułę Newtona-Leibniza w tej postaci:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza można otrzymać dwie własności całki oznaczonej.

Właściwość 1. Całka sumy funkcji jest równa sumie całek:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Właściwość 2. Stały czynnik można wyprowadzić ze znaku całkowego:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Obliczanie pola powierzchni figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Korzystając z całki, można obliczyć powierzchnię nie tylko trapezów krzywoliniowych, ale także figur płaskich więcej niż złożony typ, taki jak pokazany na rysunku. Figura P jest ograniczona liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresami funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność \(g(x) \leq f(x) \). Aby obliczyć powierzchnię S takiej figury, postępujemy następująco:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Czyli pole S figury ograniczonej liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresami funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłej na odcinku i takiej, że dla dowolnego x z segment [a; b] nierówność \(g(x) \leq f(x) \) jest spełniona, obliczana jest ze wzoru
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tablica całek nieoznaczonych (pierwotnych) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Przejdziemy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. obliczanie powierzchni figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszyscy, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć letni domek z podstawowymi funkcjami i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.

Aby skutecznie opanować materiał, musisz:

1) Zrozum całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Na stronie możesz nawiązać ciepłe, przyjacielskie relacje z pewnymi całkami Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, Dlatego aktualny problem będzie również Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe. Trzeba co najmniej umieć zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę.

Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego. Trapez krzywoliniowy to płaska figura, ograniczone wykresem jakiejś funkcji tak = f(x), oś WÓŁ i linie x = a; x = b.

Powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa pewnej całce

Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejną przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA. Tj, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważ całkę oznaczoną

Integrand

definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest numerycznie równa powierzchni odpowiedni trapez krzywoliniowy.

Przykład 1

, , , .

To jest typowa instrukcja zadania. Najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

Podczas tworzenia planu polecam następującą kolejność: najpierw lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punktowej można znaleźć w: materiał referencyjny Wykresy i własności funkcji elementarnych. Można tam również znaleźć materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.

Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie tak= 0 określa oś WÓŁ):

Nie wylęgujemy trapezu krzywoliniowego, tutaj jest oczywiste jaki obszar w pytaniu. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

W przedziale [-2; 1] wykres funkcji tak = x 2 + 2 zlokalizowane nad osiąWÓŁ, Dlatego:

Odpowiedź: .

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza?

,

odsyłam do wykładu Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W ta sprawa„Na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz powierzchnię figury ograniczone liniami xy = 4, x = 2, x= 4 i oś WÓŁ.

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osiąWÓŁ?

Przykład 3

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami tak = były, x= 1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią WÓŁ , to jego obszar można określić wzorem:

W tym przypadku:

.

Uwaga! Nie należy mylić dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie pola figury za pomocą całki oznaczonej, to pole jest zawsze dodatnie! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury samolotu ograniczony liniami tak = 2x – x 2 , tak = -x.

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli tak = 2x – x 2 i proste tak = -x. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

A więc dolna granica integracji a= 0, górna granica całkowania b= 3. Często bardziej opłacalne i szybsze jest konstruowanie linii punkt po punkcie, podczas gdy granice integracji są ustalane tak, jakby „samodzielnie”. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być zastosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub irracjonalne). Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtarzamy, że w konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej odkrywane są „automatycznie”.

A teraz działająca formuła:

Jeśli na segmencie [ a; b] jakaś funkcja ciągła f(x) większe lub równe jakaś ciągła funkcja g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, a więc od 2 x – x 2 należy odjąć - x.

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą tak = 2x – x 2 górne i proste tak = -x od dołu.

Na segmencie 2 x – x 2 ≥ -x. Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź: .

W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej połowie płaszczyzny (patrz przykład nr 3) to szczególny przypadek formuły

.

Od osi WÓŁ jest podane przez równanie tak= 0, a wykres funkcji g(x) znajduje się poniżej osi WÓŁ, następnie

.

A teraz kilka przykładów samodzielnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami

W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale przez nieuwagę ... znalazł obszar niewłaściwej figury.

Przykład 7

Narysujmy najpierw:

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często decydują, że muszą znaleźć obszar sylwetki, który jest zacieniony w zielonym!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku [-1; 1] nad osią WÓŁ wykres jest prosty tak = x+1;

2) Na odcinku nad osią WÓŁ znajduje się wykres hiperboli tak = (2/x).

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:

Odpowiedź:

Przykład 8

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami

Przedstawmy równania w formie „szkolnej”

i narysuj linię:

Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: b = 1.

Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co?

Być może, a=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​rysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się okazać, że? a=(-1/4). A co, jeśli w ogóle nie uzyskaliśmy prawidłowego wykresu?

W takich przypadkach musisz wydać dodatkowy czas i doprecyzuj granice integracji analitycznie.

Znajdź punkty przecięcia wykresów

Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie:

.

Stąd, a=(-1/3).

Dalsze rozwiązanie jest banalne. Najważniejsze, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach. Obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych. Na segmencie

, ,

zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź:

Na zakończenie lekcji rozważymy dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami

Rozwiązanie: narysuj tę figurę na rysunku.

Aby rysować punkt po punkcie, musisz wiedzieć wygląd zewnętrzny sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, warto znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych, a także niektóre wartości sinusa. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (na przykład w tym przypadku) dozwolone jest skonstruowanie schematu, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie wyświetlane.

Tutaj nie ma problemów z granicami integracji, wynikają one bezpośrednio z warunku:

- "x" zmienia się od zera do "pi". Podejmujemy kolejną decyzję:

Na odcinku wykres funkcji tak= grzech 3 x znajduje się nad osią WÓŁ, Dlatego:

(1) W lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są zintegrowane z nieparzystymi potęgami Całki z funkcji trygonometrycznych. Odcinamy jeden sinus.

(2) Używamy podstawowej tożsamości trygonometrycznej w postaci

(3) Zmieńmy zmienną t= cos x, a następnie: znajduje się nad osią , czyli:

.

.

Notatka: zauważ, jak brana jest całka stycznej w sześcianie, tutaj używana jest konsekwencja podstawowej tożsamości trygonometrycznej

.

a)

Decyzja.

Pierwszy i Kluczowy punkt rozwiązania - budowanie rysunku.

Zróbmy rysunek:

Równanie y=0 ustawia oś x;

- x=-2 oraz x=1 - proste, równoległe do osi jednostka organizacyjna;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, której gałęzie są skierowane do góry, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).

Komentarz. Aby skonstruować parabolę wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, czyli kładzenie x=0 znajdź przecięcie z osią OU i decydując o odpowiednim równanie kwadratowe, znajdź przecięcie z osią Oh .

Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:

Możesz rysować linie i punkt po punkcie.

Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 położony nad osią Wół , Dlatego:

Odpowiedź: S \u003d 9 jednostek kwadratowych

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku "na oko" liczymy ilość komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisane około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią Oh?

b) Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.

Decyzja.

Zróbmy rysunek.

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią Oh , wtedy jego obszar można określić wzorem:

Odpowiedź: S=(e-1) jednostka kwadratowa" 1,72 jednostka kwadratowa

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie pola figury za pomocą całki oznaczonej, to pole jest zawsze dodatnie! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.

z) Znajdź obszar figury samolotu ograniczony liniami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Decyzja.

Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli i bezpośredni Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny.

Rozwiązujemy równanie:

A więc dolna granica integracji a=0 , górna granica integracji b=3 .

Budujemy podane linie: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Linia prosta - dwusieczna kątów 2 i 4 współrzędnych. A teraz Uwaga! Jeśli w przedziale [ a;b] jakaś funkcja ciągła f(x) większa lub równa pewnej funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru: . I nie ma znaczenia, gdzie figura się znajduje - nad osią czy pod osią, ale ważne jest, który wykres jest WYŻEJ (w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Linie można konstruować punkt po punkcie, a granice całkowania odkrywane są jakby "same z siebie". Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być zastosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub irracjonalne).

Pożądana figura jest ograniczona parabolą z góry i linią prostą z dołu.

Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź: S \u003d 4,5 jednostek kwadratowych

Określona całka. Jak obliczyć powierzchnię figury

Przejdziemy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. Jak wykorzystać całkę oznaczoną do obliczenia powierzchni figury płaskiej?. Wreszcie ci, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć letni domek z podstawowymi funkcjami i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.

Aby skutecznie opanować materiał, musisz:

1) Zrozum całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Na stronie możesz nawiązać ciepłe, przyjacielskie relacje z pewnymi całkami Określona całka. Przykłady rozwiązań.

W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe będą o wiele bardziej istotne. W związku z tym warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych i przynajmniej móc zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę. Można to zrobić (wiele potrzeb) za pomocą materiał metodologiczny oraz artykuły dotyczące przekształceń geometrycznych grafów.

Właściwie każdy zna problem znajdowania obszaru za pomocą całki oznaczonej od szkoły, a my wyjdziemy trochę do przodu program nauczania. Ten artykuł może w ogóle nie istnieje, ale faktem jest, że problem pojawia się w 99 przypadkach na 100, gdy studenta dręczy znienawidzona wieża z zapałem opanowującym kurs matematyki wyższej.

Materiały z tego warsztatu są przedstawione prosto, szczegółowo i z minimum teorii.

Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego.

Trapez krzywoliniowy nazywana płaską figurą ograniczoną osią , liniami prostymi oraz wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:

Następnie powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań Powiedziałem, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA.

Tj, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną . Całka określa krzywą na płaszczyźnie, która znajduje się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

To jest typowa instrukcja zadania. Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest budowa rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

Podczas tworzenia planu polecam następującą kolejność: najpierw lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Tworzenie wykresów funkcji jest bardziej opłacalne punkt po punkcie, techniką konstrukcji punktowej można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Można tam również znaleźć materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie definiuje oś):

Nie wylęgnę trapezu krzywoliniowego, wiadomo o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza? , odnieś się do wykładu Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , i osią

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią?

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Decyzja: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej podaną oś), to jej pole można obliczyć wzorem:
W tym przypadku:

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie pola figury za pomocą całki oznaczonej, to pole jest zawsze dodatnie! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .

Decyzja: Najpierw musisz uzupełnić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .
Jeśli to możliwe, najlepiej nie używać tej metody..

O wiele bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywa się „samodzielnie”. Technika konstrukcji punkt po punkcie dla różnych wykresów została szczegółowo omówiona w pomocy Wykresy i własności funkcji elementarnych. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być zastosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub irracjonalne). I rozważymy również taki przykład.

Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtarzam, że przy konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej odkrywane są „automatycznie”.

A teraz działająca formuła: Jeśli w interwale jest jakaś ciągła funkcja większe lub równe jakaś funkcja ciągła, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą z góry i linią prostą z dołu.
Na odcinku , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej połowie płaszczyzny (patrz prosty przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem formuły . Ponieważ oś jest określona równaniem , a wykres funkcji znajduje się nie wyżej osie, to

A teraz kilka przykładów samodzielnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami , .

W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale przez nieuwagę... znalazł obszar niewłaściwej figury, tak twój posłuszny sługa kilka razy schrzanił sprawę. Oto prawdziwy przypadek:

Przykład 7

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .

Decyzja: Najpierw zróbmy rysunek:

…Ech, rysunek wyszedł gównianie, ale wszystko wydaje się czytelne.

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku nad osią znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku nad osią znajduje się wykres hiperboli.

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:

Odpowiedź:

Przejdźmy do jeszcze jednego znaczącego zadania.

Przykład 8

Oblicz obszar figury ograniczony liniami,
Przedstawmy równania w formie „szkolnej” i wykonajmy rysunek punkt po punkcie:

Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: .
Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co? Być może ? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​rysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się tak okazać. Albo korzeń. A co, jeśli w ogóle nie uzyskaliśmy prawidłowego wykresu?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie doprecyzować granice integracji.

Znajdźmy punkty przecięcia prostej i paraboli.
Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie:


,

Naprawdę, .

Dalsze rozwiązanie jest banalne, najważniejsze jest, aby nie mylić się w podstawieniach i znakach, obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych.

Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Cóż, na zakończenie lekcji rozważymy dwa zadania trudniejsze.

Przykład 9

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , ,

Decyzja: Narysuj tę figurę na rysunku.

Cholera, zapomniałem podpisać harmonogram i przerobić zdjęcie, przepraszam, nie hotz. Nie rysunek, w skrócie, dzisiaj jest dzień =)

W przypadku konstrukcji punkt po punkcie konieczne jest poznanie wyglądu sinusoidy (i ogólnie warto wiedzieć wykresy wszystkich funkcji elementarnych), a także niektóre wartości sinus, można je znaleźć w: tabela trygonometryczna. W niektórych przypadkach (jak w tym przypadku) dopuszcza się skonstruowanie schematu, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie wyświetlane.

Tutaj nie ma problemów z granicami całkowania, wynikają one bezpośrednio z warunku: - "x" zmienia się od zera do "pi". Podejmujemy kolejną decyzję:

Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, dlatego:

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczony liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy spotykamy się z sformułowaniem takiego problemu w liceum, kiedy badanie pewnych całek zostało właśnie zakończone i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

A więc, co jest wymagane, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność prawidłowego rysowania rysunków;
• Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej przy pomocy znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym lub innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) lub osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać inne rodzaje całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania powierzchni figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów jest wykonywany wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną użyte. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub irracjonalne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są jednoznacznie ustalone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od lokalizacji wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania pola figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru trapezu krzywoliniowego. Czym jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y=0), prosty x = a, x = b oraz dowolna krzywa ciągła na przedziale od a zanim b. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemna, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są pozytywne. Następnie podane proste linie x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi OU, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowy rysunek jest zacieniony, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz od razu zacząć rozwiązywać problem. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, w którym warunki problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowej formuły Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, który wychodzi spod osi OH, prosty x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 oraz x = -1 są to granice, w których zostanie obliczona całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia i wszystko jest również ciągłe w przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy „pozytywny”? Jak widać z rysunku, figura leżąca w obrębie danego x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, które musimy zobaczyć i zapamiętać podczas rozwiązywania problemu. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.