Jak wkleić wzory matematyczne na stronie?

Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić tak, jak opisano w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które Wolfram Alpha generuje automatycznie. Oprócz prostoty to uniwersalny sposób pomoże poprawić widoczność strony w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać zawsze), ale jest moralnie przestarzała.

Jeśli z drugiej strony stale używasz formuł matematycznych w swojej witrynie, polecam skorzystać z MathJax, specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby na rozpoczęcie korzystania z MathJax: (1) używając prostego kodu, możesz szybko podłączyć skrypt MathJax do swojej witryny, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera we właściwym czasie (lista serwerów); (2) prześlij skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i połącz go ze wszystkimi stronami swojej witryny. Druga metoda jest bardziej złożona i czasochłonna i pozwoli Ci przyspieszyć ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli nadrzędny serwer MathJax z jakiegoś powodu stanie się tymczasowo niedostępny, nie wpłynie to w żaden sposób na Twoją własną witrynę. Mimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a w ciągu 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnego serwera za pomocą dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu strony internetowej, najlepiej między tagami oraz lub zaraz po tagu . Zgodnie z pierwszą opcją, MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie śledzi i ładuje najnowsze wersje MathJaxa. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on musiał być okresowo aktualizowany. Jeśli wkleisz drugi kod, strony będą ładowały się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJaxa.

Najprostszym sposobem na połączenie MathJax jest Blogger lub WordPress: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu ładowania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej do początku szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz osadzić formuły matematyczne na swoich stronach internetowych.

Każdy fraktal budowany jest według pewnej zasady, która jest konsekwentnie stosowana nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki czas nazywamy iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jeden centralny sześcian i 6 sąsiadujących z nim sześcianów wzdłuż ścian. Okazuje się, że zestaw składa się z 20 pozostałych mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymujemy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.

Zaczynamy rozważać rzeczywisty proces obliczania całki podwójnej i zapoznajemy się z jej znaczeniem geometrycznym.

Całka podwójna numerycznie równa powierzchni figura płaska (regiony integracji). Jest to najprostsza postać całki podwójnej, gdy funkcja dwóch zmiennych jest równa jeden: .

Rozważmy najpierw problem w kategoriach ogólnych. Teraz zdziwisz się, jakie to naprawdę proste! Oblicz powierzchnię płaskiej figury, ograniczone liniami. Dla jednoznaczności zakładamy, że na przedziale . Powierzchnia tej figury jest liczbowo równa:

Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy pierwszy sposób na ominięcie obszaru:

W ten sposób:

I od razu ważna sztuczka techniczna: całki iterowane można rozpatrywać oddzielnie. Najpierw całka wewnętrzna, potem całka zewnętrzna. Ta metoda jest wysoce zalecana dla początkujących w temacie czajników.

1) Oblicz całkę wewnętrzną, podczas gdy całkowanie odbywa się po zmiennej „y”:

Całka nieoznaczona jest tu najprostsza, a następnie stosuje się banalną formułę Newtona-Leibniza, z tą tylko różnicą, że granicami integracji nie są liczby, ale funkcje. Najpierw wstawiliśmy górną granicę do „y” (funkcja antypochodna), a następnie dolną granicę

2) Wynik uzyskany w akapicie pierwszym należy zastąpić całką zewnętrzną:

Bardziej zwarta notacja dla całego rozwiązania wygląda tak:

Otrzymana formuła - jest to dokładnie działająca formuła obliczania powierzchni figury płaskiej za pomocą „zwykłej” całki oznaczonej! Zobacz lekcję Obliczanie pola za pomocą całki oznaczonej, tam jest na każdym kroku!

To znaczy, problem obliczania pola za pomocą całki podwójnej trochę inaczej z problemu znalezienia pola za pomocą całki oznaczonej! W rzeczywistości są jednym i tym samym!

W związku z tym nie powinny pojawić się żadne trudności! Nie będę rozważał zbyt wielu przykładów, ponieważ w rzeczywistości wielokrotnie napotykałeś ten problem.

Przykład 9

Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przemierzania regionu:

Tutaj i poniżej nie będę omawiał sposobu przemierzania obszaru, ponieważ pierwszy akapit był bardzo szczegółowy.

W ten sposób:

Jak już zauważyłem, dla początkujących lepiej jest obliczać całki iterowane osobno, będę stosował tę samą metodę:

1) Najpierw, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza, mamy do czynienia z całką wewnętrzną:

2) Wynik uzyskany w pierwszym kroku jest podstawiony do całki zewnętrznej:

Punkt 2 to właściwie znalezienie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej.

Odpowiadać:

Oto takie głupie i naiwne zadanie.

Ciekawy przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Korzystając z całki podwójnej oblicz powierzchnię figury płaskiej ograniczonej liniami , ,

Przykład ostatecznego rozwiązania na koniec lekcji.

W przykładach 9-10 o wiele bardziej opłaca się zastosować pierwszą metodę omijania obszaru, nawiasem mówiąc, ciekawi czytelnicy mogą zmienić kolejność omijania i obliczyć obszary w drugi sposób. Jeśli nie popełnisz błędu, to oczywiście uzyskasz te same wartości obszaru.

Ale w niektórych przypadkach drugi sposób na ominięcie obszaru jest bardziej skuteczny, a na zakończenie przebiegu młodego frajera rozważymy jeszcze kilka przykładów na ten temat:

Przykład 11

Korzystając z całki podwójnej, oblicz powierzchnię figury płaskiej ograniczonej liniami.

Rozwiązanie: czekamy na dwie parabole z wiatrem, które leżą po ich stronie. Nie trzeba się uśmiechać, często spotyka się podobne rzeczy w całkach wielokrotnych.

Jaki jest najłatwiejszy sposób na wykonanie rysunku?

Przedstawmy parabolę jako dwie funkcje:
- gałąź górna i - gałąź dolna.

Podobnie wyobraź sobie parabolę jako górną i dolną gałęzie.

Następnie, kreślenie punkt po punkcie prowadzi do tak dziwacznej liczby:

Powierzchnia figury jest obliczana za pomocą całki podwójnej według wzoru:

Co się stanie, jeśli wybierzemy pierwszą drogę ominięcia terenu? Najpierw trzeba będzie podzielić ten obszar na dwie części. Po drugie, zaobserwujemy ten smutny obraz: . Całki oczywiście nie są na poziomie superzłożonym, ale… jest stare matematyczne powiedzenie: kto zaprzyjaźnia się z pierwiastkami, nie potrzebuje kompensacji.

Dlatego z nieporozumienia podanego w warunku wyrażamy funkcje odwrotne:

Funkcje odwrotne w tym przykładzie mają tę zaletę, że natychmiast ustawiają całą parabolę bez liści, żołędzi, gałęzi i korzeni.

Zgodnie z drugą metodą przemierzanie obszaru będzie wyglądać następująco:

W ten sposób:

Jak mówią, poczuj różnicę.

1) Zajmujemy się całką wewnętrzną:

Wynik podstawiamy do całki zewnętrznej:

Całkowanie nad zmienną "y" nie powinno być krępujące, gdyby pojawiła się litera "zyu" - fajnie byłoby całkować nad nią. Chociaż kto czyta drugi akapit lekcji? Jak obliczyć objętość ciała obrotowego, nie odczuwa już najmniejszego zakłopotania z integracją nad „y”.

Zwróć także uwagę na pierwszy krok: całka jest parzysta, a segment całkowania jest symetryczny wokół zera. Dlatego segment można zmniejszyć o połowę, a wynik można podwoić. Ta technika jest szczegółowo omówiona w lekcji. Skuteczne metody obliczanie całki oznaczonej.

Co dodać…. Wszystko!

Odpowiadać:

Aby przetestować swoją technikę integracji, możesz spróbować obliczyć . Odpowiedź powinna być dokładnie taka sama.

Przykład 12

Korzystając z całki podwójnej, oblicz powierzchnię figury płaskiej ograniczonej liniami

To jest przykład zrób to sam. Warto zauważyć, że jeśli spróbujesz użyć pierwszego sposobu ominięcia obszaru, postać nie będzie już podzielona na dwie, ale na trzy części! I odpowiednio otrzymujemy trzy pary iterowanych całek. Czasami tak bywa.

Klasa mistrzowska dobiegła końca i czas przejść na poziom arcymistrzowski - Jak obliczyć całkę podwójną? Przykłady rozwiązań. Postaram się nie być tak maniakiem w drugim artykule =)

Życzę Ci sukcesów!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2:Rozwiązanie: Narysuj obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przemierzania regionu:

W ten sposób:
Przejdźmy do funkcji odwrotnych:


W ten sposób:
Odpowiadać:

Przykład 4:Rozwiązanie: Przejdźmy do funkcji bezpośrednich:


Wykonajmy rysunek:

Zmieńmy kolejność przemierzania obszaru:

Odpowiadać:

W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, dużo więcej aktualny problem będzie twoja wiedza i umiejętności rysowania. W związku z tym warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych i przynajmniej móc zbudować linię prostą i hiperbolę.

Nazywa się trapez krzywoliniowy płaska figura, ograniczony osią , liniami prostymi oraz wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:

Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Pod względem geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA.

To znaczy, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną . Całka określa krzywą na płaszczyźnie, która znajduje się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

To jest typowa instrukcja zadania. Pierwszy i Kluczowy punkt rozwiązania - budowanie rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWO.

Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Tworzenie wykresów funkcji jest bardziej opłacalne punktowo.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie definiuje oś):

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, dlatego:

Odpowiadać:

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W ta sprawa„Na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do danej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej podaną oś), to jej pole można obliczyć wzorem:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, to obszar jest zawsze dodatni! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz uzupełnić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .

Jeśli to możliwe, najlepiej nie używać tej metody..

O wiele bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywa się „samo z siebie”. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli na przykład wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic integracji (mogą być ułamkowe lub nieracjonalne). I rozważymy również taki przykład.

Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działająca formuła: Jeśli w interwale jest jakaś ciągła funkcja większe lub równe jakaś funkcja ciągła, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i prostą linią od dołu.
Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiadać:

Przykład 4

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:

a)

Rozwiązanie.

Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest budowa rysunku.

Zróbmy rysunek:

Równanie y=0 ustawia oś x;

- x=-2 oraz x=1 - proste, równoległe do osi jednostka organizacyjna;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, której gałęzie skierowane są do góry, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).

Komentarz. Aby skonstruować parabolę wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, czyli kładzenie x=0 znajdź przecięcie z osią OU i decydując o odpowiednim równanie kwadratowe, znajdź przecięcie z osią Oh .

Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:

Możesz rysować linie i punkt po punkcie.

Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 usytuowany nad osią Wół , dlatego:

Odpowiadać: S \u003d 9 jednostek kwadratowych

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku "na oko" liczymy ilość komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisane około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do danej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią Oh?

b) Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie.

Zróbmy rysunek.

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią Oh , wtedy jego obszar można znaleźć według wzoru:

Odpowiadać: S=(e-1) kw. jednostka" 1,72 kw. jednostka

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, to obszar jest zawsze dodatni! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.

Z) Znajdź obszar figury samolotu ograniczony liniami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Rozwiązanie.

Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli i bezpośredni Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny.

Rozwiązujemy równanie:

Czyli dolna granica integracji a=0 , górna granica integracji b=3 .

Budujemy podane linie: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Linia prosta - dwusieczna kątów 2 i 4 współrzędnych. A teraz Uwaga! Jeśli na segmencie [ a;b] jakaś funkcja ciągła f(x) większa lub równa pewnej funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru: . I nie ma znaczenia, gdzie figura się znajduje - nad osią czy pod osią, ale ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Linie można konstruować punkt po punkcie, a granice całkowania odkrywane są jakby "same z siebie". Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli na przykład wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic integracji (mogą być ułamkowe lub nieracjonalne).

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i prostą linią od dołu.

Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiadać: S \u003d 4,5 jednostek kwadratowych

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczony liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy spotykamy się z sformułowaniem takiego problemu w liceum, kiedy badanie pewnych całek zostało właśnie zakończone i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

A więc, co jest wymagane, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność prawidłowego rysowania rysunków;
• Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym lub innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) lub osi y (OY)?
• No cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać inne rodzaje całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania powierzchni figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów jest wykonywany wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną użyte. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub irracjonalne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są jednoznacznie ustalone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od lokalizacji wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania pola figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru trapezu krzywoliniowego. Czym jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y=0), proste x = a, x = b oraz dowolna krzywa ciągła na odcinku od a zanim b. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemna, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są pozytywne. Następnie podane proste linie x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi OU, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowy rysunek jest zacieniony, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz od razu zacząć rozwiązywać problem. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, w którym warunki problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowej formuły Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, który pochodzi spod osi OH, proste x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 oraz x = -1 są to granice, w których zostanie obliczona całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a wszystko jest również ciągłe w przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy „pozytywny”? Jak widać na rysunku, figura leżąca w obrębie danego x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, które musimy zobaczyć i zapamiętać podczas rozwiązywania problemu. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.