Danas ćemo vam reći kako pronaći generatrix stošca, što se često traži u školskim geometrijskim problemima.

Pojam generatrise stošca

Pravi stožac je lik koji nastaje rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od njegovih krakova. Baza stošca tvori krug. Okomiti presjek stošca je trokut, vodoravni presjek je krug. Visina stošca je segment koji spaja vrh stošca sa središtem baze. Generatrisa stošca je isječak koji povezuje vrh stošca s bilo kojom točkom na liniji opsega baze.

Budući da je konus formiran rotacijom pravokutnog trokuta, ispada da je prva noga takvog trokuta visina, druga polumjer kruga koji leži na bazi, a generatrix stošca bit će hipotenuza. Lako je pogoditi da je Pitagorin teorem koristan za izračunavanje duljine generatrixa. A sada više o tome kako pronaći duljinu generatrixa stošca.

Pronalaženje generatrise

Najlakši način da shvatite kako pronaći generatrix je da konkretan primjer. Pretpostavimo da su zadani sljedeći uvjeti zadatka: visina je 9 cm, promjer osnovne kružnice je 18 cm.Potrebno je pronaći generatrisu.

Dakle, visina stošca (9 cm) je jedna od krakova pravokutnog trokuta, uz pomoć koje je ovaj stožac nastao. Drugi krak bit će polumjer kruga baze. Radijus je pola promjera. Tako dani promjer podijelimo na pola i dobijemo duljinu polumjera: 18:2 = 9. Polumjer je 9.

Sada je vrlo lako pronaći generatrisu stošca. Budući da je hipotenuza, kvadrat njezine duljine bit će jednak zbroju kvadrata kateta, odnosno zbroju kvadrata polumjera i visine. Dakle, kvadrat duljine generatrise = 64 (kvadrat duljine polumjera) + 64 (kvadrat duljine visine) = 64x2 = 128. Sada izdvajamo Korijen od 128. Kao rezultat, dobivamo osam korijena od dva. Ovo će biti generatrisa stošca.

Kao što vidite, u ovome nema ništa komplicirano. Na primjer, uzeli smo jednostavni pojmovi zadaci, ali u školskom tečaju mogu biti teži. Zapamtite da za izračunavanje duljine generatrixa morate saznati polumjer kruga i visinu stošca. Poznavajući te podatke, lako je pronaći duljinu generatrise.

Tijela revolucije koja se proučavaju u školi su cilindar, stožac i lopta.

Ako u USE zadatku iz matematike trebate izračunati volumen stošca ili površinu sfere, smatrajte se sretnim.

Primijenite formule za volumen i površinu valjka, stošca i kugle. Svi su oni u našoj tablici. Naučiti napamet. Tu počinje poznavanje stereometrije.

Ponekad je dobro nacrtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

2. Koliko je puta veći volumen stošca opisanog uz pravilnu četverokutnu piramidu od volumena stošca upisanog u tu piramidu?

Sve je jednostavno - crtamo pogled odozdo. Vidimo da je polumjer većeg kruga nekoliko puta veći od polumjera manjeg. Visine oba stošca su jednake. Stoga će volumen većeg stošca biti dvostruko veći.

Još važna točka. Zapamtite da u zadacima dijela B USE opcije u matematici, odgovor se piše kao cijeli ili konačan broj decimalni razlomak. Stoga u svom odgovoru u dijelu B ne biste trebali imati niti jedan. Zamjena približne vrijednosti broja također nije potrebna! Mora se smanjiti! Zbog toga se u nekim zadacima zadatak formulira, na primjer, na sljedeći način: "Nađite područje bočne površine cilindra podijeljeno na".

A gdje se još koriste formule za volumen i površinu tijela revolucije? Naravno, u problemu C2 (16). Također ćemo vam reći o tome.

Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i međusobne odnose. Zauzvrat, također se sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Omogućuje proučavanje svojstava volumetrijskih figura smještenih u prostoru: kocka, piramida, lopta, stožac, cilindar itd.

Stožac je tijelo u euklidskom prostoru koje omeđuje stožastu plohu i ravninu na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Njegov nastanak događa se u procesu rotacije pravokutnog trokuta oko bilo koje njegove noge, stoga pripada tijelima revolucije.

Sastavni dijelovi stošca

Postoje sljedeće vrste čunjeva: kosi (ili nagnuti) i ravni. Kosi je onaj čija se os siječe sa središtem njegove baze ne pod pravim kutom. Iz tog razloga visina u takvom konusu ne podudara se s osi, jer je to segment koji je spušten od vrha tijela do ravnine njegove baze pod kutom od 90 °.

Onaj stožac, čija je os okomita na njegovu osnovicu, zove se pravi stožac. Os i visina u takov geometrijsko tijelo podudaraju zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad središta promjera baze.

Konus se sastoji od sljedećih elemenata:

1. Krug koji je njegova baza.
2. Bočna površina.
3. Točka koja ne leži u ravnini baze naziva se vrhom stošca.
4. Segmenti koji spajaju točke kružnice baze geometrijskog tijela i njegovog vrha.

Svi ti segmenti su generatori stošca. One su nagnute prema osnovici geometrijskog tijela, a kod pravog stošca njihove su projekcije jednake, jer je vrh jednako udaljen od točaka osnovne kružnice. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) stošcu generatori jednaki, odnosno iste su duljine i tvore iste kutove s osi (ili visinom) i bazom.

Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu rotacije vrh pomaknut u odnosu na središte ravnine baze, generatori u takvom tijelu imaju različite duljine i projekcije, budući da je svaki od njih na različitoj udaljenosti od bilo koje dvije točke osnovnog kruga. Osim toga, kutovi između njih i visine stošca također će se razlikovati.

Duljina generatora u pravom stošcu

Kao što je ranije napisano, visina u ravnom geometrijskom tijelu rotacije je okomita na ravninu baze. Dakle, generatrisa, visina i polumjer baze tvore pravokutni trokut u stošcu.

To jest, znajući radijus baze i visinu, koristeći formulu iz Pitagorinog teorema, možete izračunati duljinu generatrixa, koja će biti jednaka zbroju kvadrata polumjera baze i visine:

l 2 \u003d r 2 + h 2 ili l \u003d √r 2 + h 2

gdje je l - generatrisa;

r - radijus;

h - visina.

Generator u kosom stošcu

Na temelju činjenice da u kosom ili kosom konusu generatori nemaju istu duljinu, neće ih moći izračunati bez dodatnih konstrukcija i izračuna.

Prije svega, morate znati visinu, duljinu osi i polumjer baze.

r 1 \u003d √k 2 - h 2

gdje je r 1 dio polumjera između osi i visine;

k - duljina osi;

h - visina.

Kao rezultat zbrajanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između osi i visine (r 1), možete saznati potpunu generatrisu stošca, njegovu visinu i dio promjera:

gdje je R krak trokuta kojeg čine visina, generatrisa i dio promjera baze;

r - radijus baze;

r 1 - dio polumjera između osi i visine.

Koristeći istu formulu iz Pitagorine teoreme, možete pronaći duljinu generatrixa stošca:

l \u003d √h 2 + R 2

ili, bez zasebnog izračunavanja R, kombinirajte dvije formule u jednu:

l = √h 2 + (r + r 1) 2 .

Bez obzira na to je li stožac ravan ili kos i kakav je unos, sve metode za pronalaženje duljine generatrise uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorinog poučka.

Konusni presjek

Aksijalna ravnina je ravnina koja prolazi duž njegove osi ili visine. U pravom stošcu takav presjek je jednakokračni trokut, u kojem je visina trokuta visina tijela, stranice su mu generatori, a baza je promjer baze. Kod jednakostraničnog geometrijskog tijela, osni presjek je jednakostranični trokut, jer su u ovom stošcu promjer baze i generatori jednaki.

Ravnina osnog presjeka pravog stošca je ravnina njegove simetrije. Razlog tome je što se njegov vrh nalazi iznad središta baze, odnosno ravnina aksijalnog presjeka dijeli stožac na dva identična dijela.

Budući da je u kosom voluminozno tijelo visina i os ne odgovaraju, ravnina aksijalnog presjeka možda neće uključivati ​​visinu. Ako je moguće konstruirati skup aksijalnih presjeka u takvom stošcu, budući da se za to mora poštovati samo jedan uvjet - mora prolaziti samo kroz os, onda samo jedan aksijalni presjek ravnine, koji će pripadati visini ovaj stožac, može se nacrtati, jer se broj uvjeta povećava, a, kao što je poznato, dvije ravne (zajedno) mogu pripadati samo jednoj ravnini.

Poprečni presjek područja

Osni presjek stošca spomenutog prije je trokut. Na temelju toga, njegova se površina može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:

S = 1/2 * d * h ili S = 1/2 * 2r * h

gdje je S površina poprečnog presjeka;

d - promjer baze;

r - radijus;

h - visina.

U kosom, odnosno kosom stošcu, presjek po osi je također trokut, pa se površina presjeka u njemu izračunava na sličan način.

Volumen

Jer stožac je voluminozna figura u 3D prostoru, možete izračunati njegov volumen. Volumen stošca je broj koji karakterizira ovo tijelo u jedinici volumena, odnosno u m 3. Izračun ne ovisi o tome je li ravno ili koso (koso), budući da se formule za ove dvije vrste tijela ne razlikuju.

Kao što je ranije rečeno, formiranje pravog stošca nastaje zbog rotacije pravokutnog trokuta duž jedne od njegovih nogu. Nagnuti ili kosi stožac formira se drugačije, jer je njegova visina pomaknuta od središta osnovne ravnine tijela. Ipak, takve razlike u strukturi ne utječu na metodu izračuna njegovog volumena.

Izračun volumena

Svaki stožac izgleda ovako:

V = 1/3 * π * h * r2

gdje je V volumen stošca;

h - visina;

r - radijus;

π je konstanta jednaka 3,14.

Za izračunavanje visine tijela potrebno je znati polumjer baze i duljinu njezine generatrise. Budući da su radijus, visina i generatrix spojeni u pravokutni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorinog poučka (a 2 + b 2 \u003d c 2 ili u našem slučaju h 2 + r 2 \u003d l 2, gdje je l generatrisa). U ovom slučaju, visina će se izračunati izvlačenjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i druge noge:

a \u003d √c 2 - b 2

To jest, visina konusa bit će jednaka vrijednosti dobivenoj nakon izvlačenja kvadratnog korijena iz razlike između kvadrata duljine generatrixa i kvadrata polumjera baze:

h \u003d √l 2 - r 2

Izračunavanjem visine ovom metodom i znajući radijus njegove baze, moguće je izračunati volumen konusa. U ovom slučaju, generatrix igra važnu ulogu, jer služi kao pomoćni element u izračunima.

Slično, ako znate visinu tijela i duljinu njegove generatrise, možete pronaći polumjer njegove baze izvlačenjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata generatrise i kvadrata visine:

r \u003d √l 2 - h 2

Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte volumen stošca.

Volumen nagnutog stošca

Budući da je formula za volumen stošca ista za sve vrste revolucijskih tijela, razlika u njezinom izračunu je traženje visine.

Da bi se saznala visina kosog stošca, ulazni podaci moraju sadržavati duljinu generatrise, polumjer baze i udaljenost između središta baze i sjecišta visine tijela s ravninom. svoje baze. Znajući to, lako možete izračunati onaj dio promjera baze, koji će biti baza pravokutnog trokuta (formiranog visinom, generatrixom i ravninom baze). Zatim, ponovno koristeći Pitagorin poučak, izračunajte visinu stošca, a potom i njegov volumen.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: sat proučavanja novog gradiva s elementima problemske nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

• kognitivni:
  • upoznavanje s novim matematičkim pojmom;
  • formiranje novog ZUN-a;
  • formiranje praktičnih vještina za rješavanje problema.
• razvoj:
  • razvoj samostalnog mišljenja učenika;
  • razvoj vještina ispravan govorŠkolska djeca.
• obrazovni:
  • razvoj vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetska ploča, računalo, platno, multimedijski projektor, model stošca, prezentacija lekcije, materijal.

Ciljevi lekcije (za učenike):

• upoznati novi geometrijski pojam – stožac;
• izvesti formulu za izračunavanje površine stošca;
• naučiti primijeniti stečena znanja u rješavanju praktičnih problema.

Tijekom nastave

I faza. Organizacijski.

Predaja bilježnica s domaćim testom na obrađenu temu.

Učenici se pozivaju da rješavanjem rebusa saznaju temu nadolazeće lekcije (slajd 1):

Slika 1.

Obavijest učenicima o temi i ciljevima lekcije (slajd 2).

II faza. Objašnjenje novog gradiva.

1) Predavanje nastavnika.

Na ploči je tablica sa slikom stošca. novi materijal objašnjeno u popratnom programskom materijalu „Stereometrija“. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika stošca. Nastavnik daje definiciju stošca, govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je stožac tijelo koje nastaje rotacijom pravokutnog trokuta u odnosu na krak. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika razvoja bočne površine stošca. (slajd 6)

2) Praktičan rad.

Aktualizacija referentnog znanja: ponoviti formule za izračunavanje površine kruga, površine sektora, opsega kruga, duljine kružnog luka. (slajdovi 7-10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka skupina dobiva sken bočne plohe stošca izrezanog na papiru (sektor kruga s dodijeljenim brojem). Učenici poduzimaju potrebna mjerenja i izračunavaju površinu dobivenog sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za rad, pitanja - problemi (slajdovi 11-14). Predstavnik svake skupine zapisuje rezultate izračuna u tablicu pripremljenu na ploči. Sudionici svake skupine lijepe model stošca iz razvoja koji imaju. (slajd 15)

3) Izjava i rješenje problema.

Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i duljina generatrixa stošca? (slajd 16)

Svaka skupina vrši potrebna mjerenja i pokušava iz dostupnih podataka izvesti formulu za izračun potrebne površine. Pri izvođenju ovog rada učenici trebaju uočiti da je opseg baze stošca jednak duljini luka isječka – razvijenosti bočne plohe ovog stošca. (slajdovi 17-21) Pomoću potrebnih formula izvodi se željena formula. Obrazloženje učenika trebalo bi izgledati otprilike ovako:

Polumjer sektora - sweep jednak je l, stupanjska mjera luka je φ. Površina sektora izračunava se formulom: duljina luka koji omeđuje ovaj sektor jednaka je polumjeru baze stošca R. Duljina kruga koji leži na bazi stošca je C = 2πR . Imajte na umu da Budući da je površina bočne površine konusa jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se formulom S BOD = πRl.

Nakon izračuna bočne površine modela stošca prema neovisno izvedenoj formuli, predstavnik svake skupine zapisuje rezultat izračuna u tablicu na ploči u skladu s brojevima modela. Rezultati izračuna u svakom redu moraju biti jednaki. Na temelju toga nastavnik utvrđuje ispravnost zaključaka svake skupine. Tablica rezultata trebala bi izgledati ovako:

model br.	I zadatak	II zadatak
	(125/3)π ~ 41,67π
	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parametri modela:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproksimacija izračuna povezana je s pogreškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje ispis formula za površine bočne i pune plohe stošca (slajdovi 22-26) učenici vode bilješke u bilježnicama.

III faza. Konsolidacija proučavanog materijala.

1) Učenicima se nudi zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Odredite površine ukupnih ploha stožaca prikazanih na slikama (slajdovi 27-32).

2) Pitanje: Jesu li površine ploha stožaca nastalih rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Provjera hipoteze provodi se rješavanjem zadataka koje student zapisuje na ploču.

dano:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - tijela revolucije.

Pronaći: S PPC 1 , S PPC 2 .

Slika 5 (slajd 33)

Riješenje:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S glavni 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Ako je S PPC 1 = S PPC 2, tada a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Jer a, b, c pozitivnih brojeva (duljina stranica trokuta), tore-jednakost vrijedi samo ako a =b.

Zaključak: Površine ploha dvaju stožaca jednake su samo ako su kraci trokuta jednaki. (slajd 34)

3) Rješenje zadatka iz udžbenika: br.565.

IV stadij. Sažimanje lekcije.

Domaća zadaća: str.55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)

Objava ocjena.

Zaključci tijekom lekcije, ponavljanje glavnih informacija primljenih u lekciji.

Književnost (slajd 36)

1. Geometrija razredi 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
2. "Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udaltsov, biblioteka "Prvi rujan", serija "MATEMATIKA", broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.