A imate li ovisnost o kalkulatoru? Ili mislite da je, osim s kalkulatorom ili pomoću tablice kvadrata, vrlo teško izračunati npr.

Događa se da su školarci vezani za kalkulator i čak množe 0,7 sa 0,5 pritiskom na drage gumbe. Kažu, dobro, još znam računati, ali sad ću uštedjeti vrijeme ... Bit će ispit ... onda ću se napeti ...

Dakle, činjenica je da će “napetih trenutaka” na ispitu ionako biti dosta... Kako kažu, voda kamen briše. Dakle, na ispitu vas sitnice, ako ih je puno, mogu oboriti...

Smanjimo broj mogućih problema.

Vađenje kvadratnog korijena velikog broja

Sada ćemo govoriti samo o slučaju kada je rezultat vađenja kvadratnog korijena cijeli broj.

Slučaj 1

Dakle, neka svakako (na primjer, kada računamo diskriminant) trebamo izračunati kvadratni korijen od 86436.

Rastavit ćemo broj 86436 na proste faktore. Podijelimo s 2, dobijemo 43218; opet dijelimo s 2, - dobivamo 21609. Broj nije djeljiv s 2 više. Ali kako je zbroj znamenki djeljiv s 3, onda je i sam broj djeljiv s 3 (općenito govoreći, vidi se da je djeljiv i s 9). . Još jednom dijelimo s 3, dobivamo 2401. 2401 nije potpuno djeljivo s 3. Nije djeljivo s pet (ne završava s 0 ili 5).

Sumnjamo na djeljivost sa 7. Doista, a ,

Dakle, pun red!

Slučaj 2

Trebamo izračunati. Nezgodno je postupati na isti način kao što je gore opisano. Pokušavam faktorizirati...

Broj 1849 nije potpuno djeljiv sa 2 (nije paran) ...

Nije potpuno djeljiv s 3 (zbroj znamenki nije višekratnik broja 3) ...

Nije potpuno djeljiv s 5 (zadnja znamenka nije 5 ili 0) ...

Nije potpuno djeljiv sa 7, nije djeljiv s 11, nije djeljiv s 13... Pa, koliko će nam trebati da ovako prođemo kroz sve proste brojeve?

Raspravljajmo malo drugačije.

Razumijemo to

Suzili smo pretragu. Sada sortiramo brojeve od 41 do 49. Štoviše, jasno je da, budući da je posljednja znamenka broja 9, vrijedi se zaustaviti na opcijama 43 ili 47 - samo će ti brojevi, kada su na kvadrat, dati posljednju znamenku 9.

Pa već ovdje, naravno, stajemo na 43. Dapače,

p.s. Kako ćemo, dovraga, pomnožiti 0,7 sa 0,5?

Trebali biste pomnožiti 5 sa 7, zanemarujući nule i znakove, a zatim odvojiti, idući s desna na lijevo, dvije decimale. Dobivamo 0,35.

U predgovoru svom prvom izdanju, In the Realm of Ingenuity (1908), E. I. Ignatiev piše: Rezultati su pouzdani samo kada se uvođenje u područje matematičkih znanja provodi na lak i ugodan način, na predmetima i primjerima iz svakodnevnih i svakodnevnih situacija, odabranih s pravom duhovitošću i razonodom.

U predgovoru izdanja iz 1911. “Uloga pamćenja u matematici”, E.I. Ignatiev piše "...u matematici se ne treba sjećati formula, već procesa razmišljanja."

Za izvlačenje kvadratnog korijena postoje tablice kvadrata za dvoznamenkaste brojeve, možete rastaviti broj na proste faktore i iz umnoška izvući kvadratni korijen. Tablica kvadrata nije dovoljna, vađenje korijena faktoringom je dugotrajan posao, koji također ne dovodi uvijek do željenog rezultata. Pokušajte izvući kvadratni korijen broja 209764? Rastavljanje na proste faktore daje umnožak 2 * 2 * 52441. Pokušaj i pogreška, odabir - to se, naravno, može učiniti ako ste sigurni da je to cijeli broj. Način koji želim predložiti omogućuje vam vađenje kvadratnog korijena u svakom slučaju.

Jednom u institutu (Državni pedagoški institut u Permu) upoznali smo se s ovom metodom, o kojoj sada želim govoriti. Nikada nisam razmišljao o tome ima li ova metoda dokaz, pa sam sada morao sam izvući neke dokaze.

Osnova ove metode je sastav broja =.

=&, tj. &2=596334.

1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64)

2. Izvlačimo kvadratni korijen prve grupe lijevo ( - broj 2). Tako dobivamo prvu znamenku broja &.

3. Pronađite kvadrat prve znamenke (2 2 \u003d 4).

4. Nađite razliku između prve skupine i kvadrata prve znamenke (5-4=1).

5. Rušimo sljedeće dvije znamenke (dobili smo broj 196).

6. Udvostručimo prvu pronađenu cifru, zapišemo je lijevo iza crte (2*2=4).

7. Sada trebate pronaći drugu znamenku broja &: udvostručena prva znamenka koju smo pronašli postaje znamenka desetica broja, kada se pomnoži s brojem jedinica, trebate dobiti broj manji od 196 ( ovo je broj 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 je druga znamenka od &.

8. Pronađite razliku (196-176=20).

9. Rušimo sljedeću grupu (dobivamo broj 2033).

10. Udvostručimo broj 24, dobivamo 48.

11,48 desetica u broju, kada se pomnoži s brojem jedinica, trebali bismo dobiti broj manji od 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Znamenka jedinica koju smo pronašli (4) je treća znamenka broja &.

Dokaz sam dao za slučajeve:

1. Vađenje kvadratnog korijena troznamenkastog broja;

2. Vađenje kvadratnog korijena četveroznamenkastog broja.

Približne metode vađenja kvadratnog korijena (bez korištenja kalkulatora).

1. Drevni Babilonci koristili su se sljedećom metodom kako bi pronašli približnu vrijednost kvadratnog korijena svog x broja. Predstavili su broj x kao zbroj a 2 + b, gdje je a 2 najbliži xu točan kvadrat prirodnog broja a (a 2 ? x), i koristili formulu . (1)

Koristeći formulu (1), izvlačimo kvadratni korijen, na primjer, iz broja 28:

Rezultat vađenja korijena od 28 pomoću MK 5.2915026.

Kao što vidite, babilonska metoda daje dobru aproksimaciju točne vrijednosti korijena.

2. Isaac Newton razvio je metodu kvadratnog korijena koja datira još od Herona iz Aleksandrije (c. 100. AD). Ova metoda (poznata kao Newtonova metoda) je sljedeća.

Neka a 1- prva aproksimacija broja (kao 1 možete uzeti vrijednosti kvadratnog korijena prirodnog broja - točan kvadrat koji ne prelazi X) .

Sljedeća, točnija aproksimacija a 2 brojevima nalazi se formulom .

Prvo poglavlje.

Vađenje najvećeg kvadratnog korijena cijelog broja iz danog cijelog broja.

170. Prethodne napomene.

a) Budući da ćemo govoriti o vađenju samo kvadratnog korijena, zbog kratkoće u ovom poglavlju, umjesto "kvadratni" korijen, jednostavno ćemo reći "korijen".

b) Ako kvadriramo brojeve prirodnog niza: 1,2,3,4,5. . . , tada dobivamo sljedeću tablicu kvadrata: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Očito, postoji mnogo cijelih brojeva koji nisu u ovoj tablici; iz takvih je brojeva, naravno, nemoguće izvući cijeli korijen. Stoga, ako želite uzeti korijen nekog cijelog broja, npr. potrebno je pronaći √4082, tada ćemo se složiti da ovaj zahtjev shvatimo na sljedeći način: izdvojite cijeli korijen iz 4082, ako je moguće; ako ne, onda moramo pronaći najveći cijeli broj čiji je kvadrat 4082 (takav broj je 63, budući da je 63 2 = 3969, a 64 2 = 4090).

u) Ako je taj broj manji od 100, tada je njegov korijen u tablici množenja; tako da bi √60 bilo 7, jer je sem 7 jednako 49, što je manje od 60, a 8 je jednako 64, što je veće od 60.

171. Vađenje korijena broja manjeg od 10 000, ali većeg od 100. Neka je potrebno pronaći √4082 . Budući da je ovaj broj manji od 10 000, tada je njegov korijen manji od √l0 000 = 100. S druge strane, ovaj broj je veći od 100; pa je njegov korijen veći od (ili jednak 10) . (Kada bi se, na primjer, tražilo pronaći √ 120 , onda iako je broj 120 > 100, međutim √ 120 je jednako 10 jer 11 2 = 121.) Ali svaki broj koji je veći od 10, ali manji od 100 ima 2 znamenke; pa je željeni korijen zbroj:

desetice + jedinice,

pa stoga njegov kvadrat mora biti jednak zbroju:

Ovaj zbroj trebao bi biti najveći kvadrat koji se sastoji od 4082.

Uzmimo najveći od njih, 36, i pretpostavimo da će kvadrat desetica korijena biti jednak ovom najvećem kvadratu. Tada broj desetica u korijenu mora biti 6. Provjerimo sada da to uvijek mora biti tako, tj. da je broj desetica korijena uvijek jednak najvećem cijelom korijenu od stotica korijenskog broja.

Doista, u našem primjeru, broj desetica korijena ne može biti veći od 6, budući da je (7 dec.) 2 = 49 stotina, što prelazi 4082. Ali ne može biti manji od 6, jer 5 dec. (s jedinicama) je manje od 6 dess, a u međuvremenu (6 dess.) 2 = 36 stotina, što je manje od 4082. A budući da tražimo najveći cijeli korijen, ne bismo trebali uzeti 5 dess za korijen, kada 6 desetica nije puno.

Dakle, pronašli smo broj desetica korijena, točnije 6. Ovaj broj pišemo desno od znaka =, imajući na umu da to znači desetice korijena. Podižući to na kvadrat, dobivamo 36 stotica. Tih 36 stotica oduzimamo od 40 stotica korijenskog broja i uništavamo druge dvije znamenke ovog broja. Ostatak 482 mora sadržavati 2 (6 dek.) (jedinice) + (jedinice) 2. Umnožak od (6 dek.) (jedinica) treba biti desetica; dakle dvostruki umnožak desetica s jedinicama treba tražiti u deseticama ostatka tj. u 48 (njihov broj ćemo dobiti odvajanjem jedne znamenke s desne strane u ostatku 48"2). koji još nisu poznati) , tada bismo trebali dobiti broj sadržan u 48. Stoga ćemo 48 podijeliti s 12.

Da bismo to učinili, nacrtamo okomitu crtu lijevo od ostatka i iza nje (odlazeći od crte jedno mjesto ulijevo za cilj koji će se sada pronaći) upišemo udvostručenu prvu znamenku korijena, tj. 12, i na to podijelimo 48. U kvocijentu dobijemo 4.

Međutim, ne može se unaprijed jamčiti da se broj 4 može uzeti kao jedinica korijena, budući da smo sada podijelili s 12 cijeli broj desetica ostatka, dok neke od njih možda ne pripadaju dvostrukom umnošku desetica po jedinicama, ali su dio kvadrata jedinica. Stoga broj 4 može biti velik. Morate je testirati. Očito je prikladan ako zbroj od 2 (6 dek.) 4 + 4 2 ne bude veći od ostatka od 482.

Kao rezultat, odmah dobivamo zbroj oba. Ispostavilo se da je dobiveni proizvod 496, što je više od ostatka od 482; Dakle, 4 je veliko. Zatim ćemo na isti način testirati sljedeći manji broj 3.

Primjeri.

U 4. primjeru, kada 47 desetica ostatka dijelimo s 4, u kvocijentu dobivamo 11. Ali budući da znamenka jedinice korijena ne može biti dvoznamenkasti broj 11 ili 10, moramo izravno testirati broj 9.

U 5. primjeru, nakon oduzimanja 8 od prve strane kvadrata, ostatak je 0, a sljedeća strana također se sastoji od nula. To pokazuje da se željeni korijen sastoji od samo 8 desetica, pa se stoga umjesto jedinica mora staviti nula.

172. Vađenje korijena broja većeg od 10000. Neka se traži pronaći √35782 . Budući da je radikalni broj veći od 10 000, tada je njegov korijen veći od √10000 = 100 i stoga se sastoji od 3 znamenke ili više. Bez obzira od koliko znamenki se sastoji, uvijek ga možemo smatrati zbrojem samo desetica i jedinica. Ako je, na primjer, korijen ispao 482, onda ga možemo smatrati zbrojem 48 dess. + 2 jedinice Tada će se kvadrat korijena sastojati od 3 člana:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (un.) + (un.) 2 .

Sada možemo razmišljati na potpuno isti način kao kada smo pronašli √4082 (u prethodnom odlomku). Jedina će razlika biti u tome što smo, kako bismo pronašli desetice korijena od 4082, morali izvući korijen od 40, a to se može učiniti pomoću tablice množenja; sada, da bismo dobili desetice√35782, morat ćemo izvaditi korijen iz 357, što se ne može učiniti pomoću tablice množenja. Ali možemo pronaći √357 pomoću trika opisanog u prethodnom paragrafu, budući da je broj 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Dalje postupamo kao kod nalaženja √4082, naime: lijevo od ostatka od 3382 povučemo okomitu crtu i iza nje upišemo (odstupajući od crte za jedno mjesto) dva puta broj pronađenih korijena desetica, tj. 36 (dva puta 18). U ostatku odvojimo jednu znamenku s desne strane i broj desetica ostatka, tj. 338, podijelimo s 36. U kvocijentu dobijemo 9. Taj broj testiramo, za što ga pripišemo 36 s desne strane i pomnožite ga s njim. Ispostavilo se da je proizvod 3321, što je manje od ostatka. Dakle, broj 9 je dobar, pišemo ga u korijenu.

Općenito, da bi se izvadio kvadratni korijen bilo kojeg cijelog broja, prvo se mora izvaditi korijen njegovih stotina; ako je taj broj veći od 100, tada ćete morati tražiti korijen iz broja stotina ovih stotina, odnosno iz desetaka tisuća danog broja; ako je taj broj veći od 100, morat ćete izvaditi korijen iz broja stotina desetaka tisuća, odnosno iz milijuna danog broja itd.

Primjeri.

U posljednjem primjeru, pronalaženjem prve znamenke i oduzimanjem njenog kvadrata, u ostatku dobivamo 0. Sljedeće 2 znamenke rušimo 51. Odvajajući desetice, dobivamo 5 dec, dok je dva puta pronađena korijenska znamenka 6. Dakle, dijeljenjem 5 sa 6 dobivamo 0 Stavljamo 0 u korijen na drugo mjesto i rušimo sljedeće 2 znamenke na ostatak; dobijemo 5110. Zatim nastavljamo kao i obično.

U ovom primjeru, željeni korijen sastoji se od samo 9 stotina, pa se stoga umjesto desetica i jedinica moraju staviti nule.

Pravilo. Da biste izvadili kvadratni korijen zadanog cijelog broja, podijelite ga od desna ruka lijevo, na rubu, po 2 znamenke, osim posljednje, koja može sadržavati jednu znamenku.
Da biste pronašli prvu znamenku korijena, izvadite kvadratni korijen prve strane.
Da biste pronašli drugu znamenku, kvadrat prve znamenke korijena oduzima se od prve plohe, druga ploha se ruši na ostatak, a broj desetica dobivenog broja dijeli se s dvostrukom prvom znamenkom korijena. ; dobiveni cijeli broj se testira.
Ovaj test se izvodi na sljedeći način: iza okomite crte (lijevo od ostatka) upišu dva puta prethodno pronađeni broj korijena i na njega, s desna strana, pripišite testnu brojku, dobiveni broj, nakon ovog dodavanja, broj se množi s testnom brojkom. Ako se nakon množenja dobije broj koji je veći od ostatka, tada testna brojka nije dobra i mora se testirati sljedeći manji broj.
Sljedeći brojevi korijena nalaze se istom metodom.
Ako se nakon rušenja lica broj desetica dobivenog broja pokaže manjim od djelitelja, tj. manjim od dvostrukog pronađenog dijela korijena, tada u korijen stavljaju 0, ruše sljedeće lice i nastavljaju akcija dalje.

173. Broj znamenki korijena. Iz razmatranja procesa nalaženja korijena proizlazi da u korijenu ima onoliko znamenki koliko ima stranica od po 2 znamenke u korijenu broja (s lijeve strane može biti jedna znamenka).

Drugo poglavlje.

Vađenje približnog kvadratnog korijena iz cijelih i razlomljenih brojeva .

Vađenje kvadratnog korijena polinoma, vidi dodatke 2. dijela § 399 i dalje.

174. Predznaci točnog kvadratnog korijena. Točan kvadratni korijen zadanog broja je broj čiji je kvadrat točno jednak zadanom broju. Naznačimo neke znakove po kojima se može prosuditi je li iz određenog broja izvučen točan korijen ili ne:

a) Ako se iz zadanog cijelog broja ne izvuče točan korijen cijelog broja (dobiva se izdvajanjem ostatka), tada se iz takvog broja ne može pronaći točan korijen razlomka, jer svaki razlomak koji nije jednak cijelom broju, kada se pomnoži sam sa sobom , također daje razlomak u umnošku, a ne cijeli broj.

b) Budući da je korijen razlomka jednak korijenu brojnika podijeljenom s korijenom nazivnika, točan korijen nesvodivog razlomka ne može se pronaći ako se ne može izdvojiti iz brojnika ili nazivnika. Na primjer, iz razlomaka 4/5, 8/9 i 11/15 ne može se izvući točan korijen, jer se u prvom razlomku ne može izvući iz nazivnika, u drugom iz brojnika, a u trećem ni iz brojnika niti iz nazivnika.

Iz takvih brojeva, iz kojih je nemoguće izvući točan korijen, mogu se izvući samo približni korijeni.

175. Približan korijen do 1. Približan kvadratni korijen do 1 zadanog broja (cijeli broj ili razlomak - nije bitno) je cijeli broj koji zadovoljava sljedeća dva zahtjeva:

1) kvadrat tog broja nije veći od zadanog broja; 2) ali je kvadrat tog broja uvećan za 1 veći od zadanog broja. Drugim riječima, približni kvadratni korijen do 1 najveći je cijeli kvadratni korijen danog broja, odnosno korijen koji smo naučili pronaći u prethodnom poglavlju. Taj se korijen naziva približnim do 1, jer da bi se dobio točan korijen, ovom približnom korijenu treba dodati neki razlomak manji od 1, pa ako umjesto nepoznatog točnog korijena uzmemo ovaj približni, napravit ćemo greška manja od 1.

Pravilo. Da biste izvukli približan kvadratni korijen s točnošću do 1, trebate izvući najveći cijeli korijen iz cijelog dijela zadanog broja.

Broj pronađen u skladu s ovim pravilom je približan korijen s nedostatkom, budući da mu nedostaje dio (manje od 1) do točnog korijena. Ako taj korijen povećamo za 1, tada dobivamo drugi broj u kojem postoji neki višak nad točnim korijenom, a taj je višak manji od 1. Ovaj korijen uvećan za 1 također se može nazvati približnim korijenom do 1, ali s višak. (Nazivi: "s nedostatkom" ili "s viškom" u nekim matematičkim knjigama zamijenjeni su drugim ekvivalentima: "s nedostatkom" ili "s viškom".)

176. Približan korijen s točnošću od 1/10. Neka se traži pronaći √2,35104 do 1/10. To znači da takve trebamo pronaći decimal, koji bi se sastojao od cijelih jedinica i desetina i koji bi zadovoljio sljedeća dva zahtjeva:

1) kvadrat ovog razlomka ne prelazi 2,35104, ali 2) ako ga povećamo za 1/10, tada kvadrat ovog povećanog razlomka prelazi 2,35104.

Da bismo pronašli takav razlomak, prvo nađemo približan korijen do 1, odnosno izvučemo korijen samo iz cijelog broja 2. Dobijemo 1 (a ostatak je 1). U korijenu pišemo broj 1 i iza njega stavljamo zarez. Sada ćemo potražiti broj desetina. Da bismo to učinili, znamenke 35 spustimo do ostatka 1, desno od zareza, i nastavimo vađenje kao da vadimo korijen iz cijelog broja 235. Dobiveni broj 5 upišemo u korijen na mjestu od desetina. Ne trebaju nam preostale znamenke korijenskog broja (104). Da će dobiveni broj 1,5 doista biti približan korijen do 1/10 vidljivo je iz sljedećeg. Ako bismo pronašli najveći cijeli korijen od 235 s točnošću od 1, tada bismo dobili 15. Dakle:

15 2 < 235, ali 16 2 >235.

Podijelimo li sve te brojeve sa 100, dobivamo:

To znači da je broj 1,5 onaj decimalni razlomak, koji smo nazvali približnim korijenom s točnošću 1/10.

Ovom metodom također nalazimo sljedeće približne korijene s točnošću od 0,1:

177. Približan kvadratni korijen s točnošću od 1/100 do 1/1000, itd.

Neka se traži pronaći približan √248 s točnošću od 1/100. To znači: pronaći takav decimalni razlomak koji bi se sastojao od cijelih brojeva, desetih i stotih dijelova i koji bi zadovoljio dva zahtjeva:

1) njegov kvadrat ne prelazi 248, ali 2) ako taj razlomak povećamo za 1/100, tada kvadrat tog povećanog razlomka prelazi 248.

Takav razlomak ćemo pronaći u sljedećem nizu: prvo ćemo pronaći cijeli broj, zatim desetinke, pa stotinke. Kvadratni korijen cijelog broja bit će 15 cijelih brojeva. Da bismo dobili broj desetina, kao što smo vidjeli, potrebno je ostatku 23 smanjiti još 2 znamenke desno od decimalne točke. U našem primjeru ti brojevi uopće ne postoje, umjesto njih smo stavili nule. Pridružujući ih ostatku i nastavljajući radnju kao da nalazimo korijen cijelog broja 24 800, pronaći ćemo desetinku 7. Ostalo je pronaći stotinke. Da bismo to učinili, dodamo još 2 nule ostatku 151 i nastavimo s izvlačenjem, kao da nalazimo korijen cijelog broja 2 480 000. Dobivamo 15,74. Da je ovaj broj doista približan korijen od 248 unutar 1/100 vidljivo je iz sljedećeg. Kad bismo pronašli najveći cijeli broj kvadratni korijen iz cijelog broja 2.480.000, dobili bismo 1574; sredstva:

1574 2 < 2 480 000 ali 1575 2 > 2 480 000.

Podijelimo li sve brojeve s 10 000 (= 100 2), dobivamo:

Dakle, 15,74 je taj decimalni razlomak koji smo nazvali približnim korijenom s točnošću od 1/100 od 248.

Primjenom ove tehnike za pronalaženje približnog korijena s točnošću od 1/1000 do 1/10000, itd., nalazimo sljedeće.

Pravilo. Izvući iz ovoga cijeli broj ili iz zadanog decimalnog razlomka, približan korijen s točnošću od 1/10 do 1/100 do 1/100, itd., prvo pronađite približan korijen s točnošću od 1, izvlačeći korijen iz cijelog broja (ako postoji ništa, pisati o korijenu 0 cijelih brojeva).

Zatim pronađite broj desetina. Da biste to učinili, ostatak se ruši, 2 znamenke radikalnog broja desno od decimalne točke (ako nisu, dvije nule se pripisuju ostatku), a ekstrakcija se nastavlja na isti način kao što se radi kada vađenje korijena iz cijelog broja. Dobivena brojka je napisana u korijenu umjesto desetina.

Zatim pronađite broj stotinki. Da biste to učinili, dva broja se ponovno ruše do ostatka, desno od onih koji su upravo srušeni, itd.

Dakle, kada izvlačimo korijen iz cijelog broja s decimalnim razlomkom, potrebno je podijeliti sa po 2 znamenke, počevši od zareza, i lijevo (u cijelom dijelu broja) i desno (u razlomku). dio).

Primjeri.

1) Pronađite do 1/100 korijena: a) √2; b) √0,3;

U posljednjem smo primjeru pretvorili 3/7 u decimalu izračunavanjem 8 decimalnih mjesta kako bismo formirali 4 lica potrebna za pronalaženje 4 decimalna mjesta korijena.

178. Opis tablice kvadratnih korijena. Na kraju ove knjige nalazi se tablica kvadratnih korijena izračunatih s četiri znamenke. Pomoću ove tablice možete brzo pronaći kvadratni korijen cijelog broja (ili decimalnog razlomka), koji je izražen s najviše četiri znamenke. Prije nego objasnimo kako je ova tablica uređena, napominjemo da prvu značajnu znamenku željenog korijena uvijek možemo pronaći bez pomoći tablica jednim pogledom na broj korijena; također možemo lako odrediti koje decimalno mjesto znači prvu znamenku korijena i, prema tome, gdje u korijenu, kada pronađemo njegove znamenke, moramo staviti zarez. Evo nekoliko primjera:

1) √5"27,3 . Prva znamenka će biti 2, budući da je lijeva strana korijenskog broja 5; a korijen od 5 je 2. Osim toga, budući da postoji samo 2 u cijelom dijelu radikalnog broja svih lica, tada cijeli broj željenog korijena mora imati 2 znamenke i, prema tome, njegova prva znamenka 2 mora značiti desetice.

2) √9.041. Očito je da će u ovom korijenu prva znamenka biti 3 jednostavne jedinice.

3) √0,00"83"4 . Prva značajna znamenka je 9, budući da je lice iz kojeg bi trebalo izvući korijen da bi se dobila prva značajna znamenka 83, a korijen broja 83 je 9. Budući da u željenom broju neće biti ni cijelih ni desetih dijelova, prva znamenka 9 mora značiti stotinke.

4) √0.73 "85. Prva značajna brojka je 8 desetina.

5) √0.00 "00" 35 "7. Prva značajna brojka bit će 5 tisućinki.

Napravimo još jednu napomenu. Pretpostavimo da je potrebno izvući korijen iz takvog broja, koji je, nakon odbacivanja zauzetog u njemu, prikazan nizom takvih brojeva: 5681. Taj korijen može biti jedan od sljedećih:

Ako uzmemo korijene koje smo podvukli jednom crtom, tada će svi biti izraženi istim nizom brojeva, upravo onim brojevima koji se dobiju izvlačenjem korijena iz 5681 (to će biti brojevi 7, 5, 3, 7). ). Razlog tome je što će lica na koja treba podijeliti radikalni broj pri pronalaženju znamenki korijena biti ista u svim ovim primjerima, dakle znamenke za svaki korijen bit će iste (samo položaj zareza će, naravno, biti drugačiji). Na isti način, u svim korijenima, koje smo podvukli s dvije crte, trebali bi se dobiti isti brojevi, upravo oni koji izražavaju √568.1 (ti će brojevi biti 2, 3, 8, 3), i to iz istog razloga. Dakle, znamenke korijena iz brojeva prikazanih (odbacivanjem zareza) istim nizom znamenki 5681 bit će dvostruke (i samo dvostruke) vrste: ili je to niz od 7, 5, 3, 7, ili niz od 2, 3, 8, 3. Isto se, očito, može reći za bilo koji drugi niz brojeva. Stoga, kao što ćemo sada vidjeti, u tablici svaki red znamenki radikalnog broja odgovara 2 reda znamenki za korijene.

Sada možemo objasniti strukturu tablice i kako je koristiti. Radi jasnoće objašnjenja, ovdje smo prikazali početak prve stranice tablice.

Ova tablica se proteže na nekoliko stranica. Na svakom od njih, u prvom stupcu s lijeve strane, nalaze se brojevi 10, 11, 12 ... (do 99). Ovi brojevi izražavaju prve 2 znamenke broja iz kojeg se traži kvadratni korijen. U gornjoj vodoravnoj liniji (kao iu donjoj) nalaze se brojevi: 0, 1, 2, 3 ... 9, koji su 3. znamenka ovog broja, a dalje desno su brojevi 1, 2. , 3. . . 9, što predstavlja 4. znamenku ovog broja. U svim ostalim vodoravnim crtama nalaze se 2 četveroznamenkasta broja koji izražavaju kvadratne korijene odgovarajućih brojeva.

Neka se traži iznalaženje kvadratnog korijena nekog broja, cijelog broja ili izraženog decimalnim razlomkom. Prije svega, bez pomoći tablica nalazimo prvu znamenku korijena i njegovu kategoriju. Zatim odbacujemo zarez u zadanom broju, ako ga ima. Pretpostavimo prvo da nakon odbacivanja zareza ostanu samo 3 znamenke, na primjer. 114. U tablicama u krajnjem lijevom stupcu nalazimo prve 2 znamenke, tj. 11, i krećemo se od njih udesno po vodoravnoj crti dok ne dođemo do okomitog stupca na čijem je vrhu (i dnu) 3. znamenka broja , tj. 4. Na ovom mjestu nalazimo dva četveroznamenkasta broja: 1068 i 3376. Koji od ova dva broja treba uzeti i gdje staviti zarez, to određuje prva znamenka korijena i njegovo pražnjenje, koje smo ranije pronašli. Dakle, ako trebate pronaći √0,11 "4, tada je prva znamenka korijena 3 desetine, i stoga moramo uzeti 0,3376 za korijen. Ako je potrebno pronaći √1,14, tada bi prva znamenka korijena biti 1, a mi bismo tada uzeli 1,068.

Tako lako možemo pronaći:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, itd.

Pretpostavimo sada da je potrebno pronaći korijen broja izraženog (odbacivanjem zareza) s 4 znamenke, na primjer √7 "45.6. Uočivši da je prva znamenka korijena 2 desetice, nalazimo za broj 745, kao što je sada objašnjeno, brojevi 2729 (taj broj uočavamo samo prstom, ali ga ne zapisujemo) Zatim se pomičemo dalje od tog broja udesno do desne strane stola (iza zadnja podebljana linija) susrećemo okomiti stupac koji je označen iznad (i ispod) 4. znamenke ovog broja, tj. broja 6, i tamo nalazimo broj 1. To će biti ispravak koji se mora primijeniti (u umu ) na prethodno pronađeni broj 2729, dobivamo 2730. Taj broj napišemo i na odgovarajuće mjesto stavimo zarez: 27.30.

Na taj način nalazimo npr.

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 \u003d 0,2107, itd.

Ako je radikalni broj izražen samo s jednom ili dvije znamenke, tada možemo pretpostaviti da iza tih znamenki postoje jedna ili dvije nule, a zatim postupiti kao što je objašnjeno za troznamenkasti broj. Na primjer √2,7 = √2,70 =1,643; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606, itd..

Konačno, ako je korijenski broj izražen s više od 4 znamenke, tada ćemo uzeti samo prve 4 od njih, a ostale odbaciti, a da smanjimo pogrešku, ako je prva od odbačenih znamenki 5 ili više od 5, tada ćemo četvrtu od zadržanih znamenki povećati za l . Tako:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; itd.

Komentar. Tablice pokazuju približan kvadratni korijen, ponekad s manjkom, ponekad s viškom, odnosno jedan od tih približnih korijena koji je bliži točnom korijenu.

179. Vađenje kvadratnih korijena iz običnih razlomaka. Točan kvadratni korijen nesvodivog razlomka može se izvući samo ako su oba člana razlomka točni kvadrati. U ovom slučaju dovoljno je odvojeno izdvojiti korijen iz brojnika i nazivnika, na primjer:

Približan kvadratni korijen običnog razlomka s određenom decimalnom preciznošću može se najlakše pronaći ako obični razlomak najprije pretvorimo u decimalni, računajući u tom razlomku broj decimalnih mjesta iza decimalne točke, što bi bilo dvostruko više od broja decimala mjesta u željenom korijenu.

Međutim, možete učiniti drugačije. Objasnimo to na sljedećem primjeru:

Pronađite približno √ 5 / 24

Neka nazivnik bude točan kvadrat. Da biste to učinili, bilo bi dovoljno pomnožiti oba člana razlomka s nazivnikom 24; ali u ovom primjeru možete učiniti drugačije. Rastavljamo 24 na proste faktore: 24 \u003d 2 2 2 3. Iz ovog rastavljanja se može vidjeti da ako se 24 pomnoži s 2, a drugi s 3, tada će se u umnošku svaki prosti faktor ponoviti paran broj puta, i stoga će nazivnik postati kvadrat:

Ostaje izračunati √30 s određenom točnošću i podijeliti rezultat s 12. U ovom slučaju, mora se imati na umu da će se razlomak koji pokazuje stupanj točnosti također smanjiti od dijeljenja s 12. Dakle, ako pronađemo √30 s točnošću od 1/10 i podijelimo rezultat s 12, tada ćemo dobiti približan korijen razlomka 5/24 s točnošću od 1/120 (tj. 54/120 i 55/120)

Treće poglavlje.

Grafikon funkcijex = √ y .

180. Inverzna funkcija. Neka postoji jednadžba koja definira na kao funkcija x , na primjer, ovo: y = x 2 . Možemo reći da određuje ne samo na kao funkcija x , ali i, obrnuto, određuje x kao funkcija na , iako na implicitan način. Da bi ova funkcija bila eksplicitna, moramo riješiti ovu jednadžbu za x , uzimanje na za poznati broj; Dakle, iz jednadžbe koju smo uzeli nalazimo: y = x 2 .

Algebarski izraz dobiven za x nakon rješavanja jednadžbe koja definira y kao funkciju od x naziva se inverznom funkcijom one koja definira y.

Dakle funkcija x = √ y funkcija inverzna y = x 2 . Ako je, kao što je uobičajeno, nezavisna varijabla označena x , i ovisan na , onda možemo izraziti sada dobivenu inverznu funkciju na sljedeći način: y = √x . Dakle, da bi se dobila funkcija inverzna zadanoj (izravnoj), potrebno je izvesti iz jednadžbe koja definira tu zadanu funkciju, x ovisno o g i u rezultirajućem izrazu zamijenite g na x , a x na g .

181. Graf funkcije y = √x . Ova funkcija nije moguća s negativnom vrijednošću x , ali se može izračunati (s bilo kojom točnošću) za bilo koju pozitivnu vrijednost x , a za svaku takvu vrijednost, funkcija prima dvije različite vrijednosti s istom apsolutnom vrijednošću, ali sa suprotnim predznacima. Ako je poznato √ označavamo samo aritmetičku vrijednost kvadratnog korijena, tada se ove dvije vrijednosti funkcije mogu izraziti na sljedeći način: y= ± √ x Da biste iscrtali ovu funkciju, prvo morate izraditi tablicu njezinih vrijednosti. Najlakši način za sastavljanje ove tablice je iz tablice izravnih funkcijskih vrijednosti:

y = x 2 .

x

g

ako vrijednosti na uzeti kao vrijednosti x , i obrnuto:

y= ± √ x

Stavljajući sve ove vrijednosti na crtež, dobivamo sljedeći grafikon.

Na istom crtežu smo prikazali (isprekidana linija) i graf izravne funkcije y = x 2 . Usporedimo ove dvije karte.

182. Korelacija između grafova izravne i inverzne funkcije. Za sastavljanje tablice vrijednosti inverzna funkcija y= ± √ x uzeli smo za x oni brojevi koji se nalaze u tablici izravne funkcije y = x 2 služili kao vrijednosti za na , i za na uzeo te brojeve; koje su u ovoj tablici bile vrijednosti za x . Iz ovoga slijedi da su oba grafa ista, samo je graf izravne funkcije tako smješten u odnosu na os na - kako se nalazi graf inverzne funkcije u odnosu na os x - ov. Kao rezultat toga, ako presavijemo crtež oko ravne crte OA raspolovljavanje pravog kuta xOy , tako da dio crteža koji sadrži poluos OU , pao je na dio koji sadrži poluos Oh , onda OU kompatibilan sa Oh , sve divizije OU podudaraju s podjelama Oh , i točke parabole y = x 2 poklapaju s odgovarajućim točkama na grafikonu y= ± √ x . Na primjer, točkice M i N , čija je ordinata 4 , i apscisa 2 i - 2 , podudaraju se s točkama M" i N" , čija je apscisa 4 , i ordinate 2 i - 2 . Ako se te točke podudaraju, to znači da su pravci MM" i NN" okomito na OA i podijelite ovu ravnu liniju na pola. Isto se može reći i za sve druge relevantne točke na oba grafikona.

Dakle, graf inverzne funkcije trebao bi biti isti kao graf izravne funkcije, ali ti su grafovi različito smješteni, naime, simetrično jedan s drugim u odnosu na simetralu kuta hej . Možemo reći da je graf inverzne funkcije odraz (kao u zrcalu) grafa direktne funkcije u odnosu na simetralu kuta hej .

Vrijeme je za rastavljanje metode vađenja korijena. Oni se temelje na svojstvima korijena, posebno na jednakosti, koja vrijedi za svaki nenegativan broj b.

U nastavku ćemo redom razmotriti glavne metode vađenja korijena.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - vađenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.

Ako su tablice kvadrata, kocke itd. nije pri ruci, onda je logično koristiti metodu izvlačenja korijena, koja uključuje rastavljanje korijenskog broja na jednostavne faktore.

Zasebno, vrijedi se zadržati, što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.

Konačno, razmotrite metodu koja vam omogućuje sekvencijalno pronalaženje znamenki vrijednosti korijena.

Započnimo.

Korištenje tablice kvadrata, tablice kocki itd.

U najjednostavnijim slučajevima, tablice kvadrata, kocke itd. omogućuju vađenje korijena. Kakvi su ovo stolovi?

Tablica kvadrata cijelih brojeva od 0 do uključivo 99 (prikazana dolje) sastoji se od dvije zone. Prva zona tablice nalazi se na sivoj pozadini, odabirom određenog retka i određenog stupca omogućuje vam da napravite broj od 0 do 99. Na primjer, odaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo popravili broj 83. Druga zona zauzima ostatak stola. Svaka njegova ćelija nalazi se na sjecištu određenog retka i određenog stupca, a sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99 . Na sjecištu našeg odabranog retka od 8 desetica i stupca 3 od jedinice nalazi se ćelija s brojem 6889, što je kvadrat broja 83.

Tablice kocki, tablice četvrtih potencija brojeva od 0 do 99 i tako dalje slične su tablici kvadrata, samo što sadrže kocke, četvrte potencije itd. u drugoj zoni. odgovarajući brojevi.

Tablice kvadrata, kocke, četvrte potencije itd. omogućuju vam izvlačenje kvadratnih korijena, kubnih korijena, četvrtih korijena itd. odnosno iz brojeva u ovim tablicama. Objasnimo princip njihove primjene u vađenju korijena.

Recimo da trebamo izvući n-ti korijen broja a, dok se broj a nalazi u tablici n-tih stupnjeva. Prema ovoj tablici nalazimo broj b takav da je a=b n . Zatim , stoga će broj b biti željeni korijen n-tog stupnja.

Kao primjer, pokažimo kako se izvlači kubni korijen iz 19683 pomoću kockaste tablice. Broj 19 683 nalazimo u tablici kocki, iz nje nalazimo da je taj broj kocka broja 27, dakle, .

Jasno je da su tablice n-tog stupnja vrlo prikladne pri vađenju korijena. Međutim, oni često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štoviše, često je potrebno izvući korijene iz brojeva koji se ne nalaze u odgovarajućim tablicama. U tim se slučajevima mora pribjeći drugim metodama vađenja korijena.

Rastavljanje korijenskog broja na proste faktore

Prilično zgodan način za izdvajanje korijena iz prirodnog broja (ako je, naravno, korijen izvučen) je rastavljanje korijenskog broja na proste faktore. Njegovo suština je sljedeća: nakon što ga je prilično lako predstaviti kao stupanj sa željenim pokazateljem, što vam omogućuje da dobijete vrijednost korijena. Objasnimo ovu točku.

Neka je korijen n-tog stupnja izvučen iz prirodnog broja a, a njegova vrijednost jednaka je b. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b n. Broj b kao bilo koji prirodni broj može se prikazati kao umnožak svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , …, p m u obliku p 1 p 2 … p m , a korijen broja a u ovom slučaju predstavlja se kao (p 1 p 2 ... p m) n . Budući da je rastavljanje broja na proste faktore jedinstveno, rastavljanje korijena broja a na proste faktore izgledat će kao (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , što omogućuje izračunavanje vrijednosti korijena kao .

Imajte na umu da ako se faktorizacija korijena broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tada korijen n-tog stupnja iz takvog broja a nije u potpunosti ekstrahiran.

Pozabavimo se time pri rješavanju primjera.

Primjer.

Izvadite kvadratni korijen od 144.

Riješenje.

Ako pogledamo tablicu kvadrata danu u prethodnom paragrafu, jasno se vidi da je 144=12 2 , iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 12 .

Ali u svjetlu ove točke, zanima nas kako se korijen izdvaja rastavljanjem korijena broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.

Idemo se razgraditi 144 na proste faktore:

Odnosno, 144=2 2 2 2 3 3 . Na temelju dobivene dekompozicije mogu se provesti sljedeće transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Posljedično, .

Koristeći svojstva stupnja i svojstva korijena, rješenje bi se moglo malo drugačije formulirati: .

Odgovor:

Da biste učvrstili gradivo, razmotrite rješenja još dva primjera.

Primjer.

Izračunajte vrijednost korijena.

Riješenje.

Rastavljanje na proste faktore korijena broja 243 je 243=3 5 . Na ovaj način, .

Odgovor:

Primjer.

Je li vrijednost korijena cijeli broj?

Riješenje.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, rastavimo korijenski broj na proste faktore i vidimo može li se predstaviti kao kub cijelog broja.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Rezultirajuća dekompozicija nije predstavljena kao kub cijelog broja, budući da stupanj primarnog faktora 7 nije višekratnik tri. Stoga, kubni korijen od 285,768 nije uzet u potpunosti.

Odgovor:

Ne.

Vađenje korijena iz razlomaka

Vrijeme je da shvatimo kako se korijen izvlači iz razlomka. Neka se razlomački korijenski broj zapiše kao p/q. Prema svojstvu korijena kvocijenta vrijedi sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je kvocijentu dijeljenja korijena brojnika s korijenom nazivnika.

Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.

Primjer.

Koliki je kvadratni korijen iz običnog razlomka 25/169.

Riješenje.

Prema tablici kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen brojnika izvornog razlomka 5, a kvadratni korijen nazivnika 13. Zatim . Time je vađenje korijena iz obične frakcije 25/169 završeno.

Odgovor:

Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja izdvaja se nakon zamjene korijenskih brojeva običnim razlomcima.

Primjer.

Izvadite kubni korijen decimalnog broja 474,552.

Riješenje.

Predstavimo izvornu decimalu kao obični razlomak: 474.552=474552/1000 . Zatim . Ostaje izvući kubne korijene koji su u brojniku i nazivniku rezultirajuće frakcije. Jer 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , tada i . Ostaje samo dovršiti izračune .

Odgovor:

.

Vađenje korijena negativnog broja

Zasebno, vrijedi se zadržati na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Kada smo proučavali korijene, rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, tada pod znakom korijena može biti negativan broj. Takvim oznakama dali smo sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparan eksponent korijena 2 n−1, imamo . Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izvukli korijen negativnog broja, potrebno je izvući korijen suprotnog pozitivnog broja, a ispred rezultata staviti znak minus.

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite korijensku vrijednost.

Riješenje.

Transformirajmo izvorni izraz tako da se ispod znaka korijena pojavi pozitivan broj: . Sada zamijenimo mješoviti broj običnim razlomkom: . Primjenjujemo pravilo vađenja korijena iz običnog razlomka: . Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku dobivenog razlomka: .

Donesimo kratka bilješka rješenja: .

Odgovor:

.

Pronalaženje korijenske vrijednosti po bitovima

U općem slučaju, pod korijenom je broj koji se, korištenjem gore razmotrenih tehnika, ne može predstaviti kao n-ta potencija bilo kojeg broja. Ali u isto vrijeme, postoji potreba da se zna vrijednost danog korijena, barem do određenog predznaka. U ovom slučaju, za izdvajanje korijena, možete koristiti algoritam koji vam omogućuje da dosljedno dobijete dovoljan broj vrijednosti znamenki željenog broja.

Prvi korak ovog algoritma je pronaći koji je najvažniji bit korijenske vrijednosti. Da biste to učinili, brojevi 0, 10, 100, ... uzastopno se podižu na potenciju n dok se ne dobije broj veći od korijenskog broja. Tada će broj koji smo podigli na potenciju n u prethodnom koraku ukazivati ​​na odgovarajući viši red.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma kada vadite kvadratni korijen iz pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i kvadriramo ih dok ne dobijemo broj veći od 5 . Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , što znači da će najznačajnija znamenka biti znamenka jedinica. Vrijednost ovog bita, kao i onih nižih, pronaći će se u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma usmjereni su na sukcesivno prečišćavanje vrijednosti korijena zbog činjenice da se pronađu vrijednosti sljedećih znamenki željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se do najniže . Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku je 2, u drugom - 2,2, u trećem - 2,23, i tako dalje 2,236067977 ... . Opišimo kako se pronalaze vrijednosti bitova.

Pronalaženje bitova provodi se nabrajanjem njihovih mogućih vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9 . U tom se slučaju paralelno izračunavaju n-te potencije odgovarajućih brojeva i uspoređuju se s korijenskim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premaši radikalni broj, tada se smatra da je pronađena vrijednost znamenke koja odgovara prethodnoj vrijednosti i prelazi se na sljedeći korak algoritma za ekstrakciju korijena, ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove znamenke 9 .

Objasnimo sve ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena iz pet.

Prvo pronađite vrijednost znamenke jedinice. Iterirati ćemo preko vrijednosti 0, 1, 2, …, 9, računajući redom 0 2 , 1 2 , …, 9 2 dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5 . Svi ovi izračuni prikladno su prikazani u obliku tablice:

Dakle, vrijednost znamenke jedinice je 2 (jer 2 2<5 , а 2 3 >5). Prijeđimo na pronalaženje vrijednosti desetog mjesta. U ovom slučaju ćemo kvadratirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, uspoređujući dobivene vrijednosti s korijenskim brojem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tada je vrijednost desetog mjesta 2 . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti stotinke:

Tako pronađeno sljedeća vrijednost korijen iz pet, jednako je 2,23. I tako možete nastaviti pronalaziti vrijednosti dalje: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotinki koristeći razmatrani algoritam.

Prvo definiramo stariju znamenku. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100 itd. dok ne dobijemo broj veći od 2.151.186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , pa je najznačajnija znamenka desetica.

Definirajmo njegovu vrijednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, tada je vrijednost znamenke desetica 1. Prijeđimo na jedinice.

Dakle, vrijednost mjesta jedinica je 2 . Prijeđimo na deset.

Budući da je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186, vrijednost desetog mjesta je 9. Ostaje izvršiti posljednji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena s potrebnom točnošću.

U ovoj fazi se vrijednost korijena nalazi do stotinki: .

U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoje mnogi drugi načini za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo proučavali gore.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Vađenje korijena je obratna operacija od potenciranja. Odnosno, izvlačenjem korijena broja X dobivamo broj koji će na kvadrat dati isti broj X.

Izdvajanje korijena prilično je jednostavna operacija. Tablica s kvadratima može olakšati izvlačenje. Jer nemoguće je zapamtiti sve kvadrate i korijene napamet, a brojevi mogu biti veliki.

Vađenje korijena iz broja

Vađenje kvadratnog korijena broja je jednostavno. Štoviše, to se ne može učiniti odmah, već postupno. Na primjer, uzmite izraz √256. U početku je nepoznatoj osobi teško dati odgovor odmah. Onda ćemo poduzeti korake. Prvo dijelimo samo s brojem 4, iz kojega vadimo odabrani kvadrat kao korijen.

Izvlačenje: √(64 4), tada će to biti ekvivalentno 2√64. I kao što znate, prema tablici množenja 64 = 8 8. Odgovor će biti 2*8=16.

Prijavite se za tečaj "Ubrzajte mentalno brojanje, NE mentalnu aritmetiku" kako biste naučili kako brzo i ispravno zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i vaditi korijen. U 30 dana naučit ćete kako pomoću jednostavnih trikova pojednostaviti aritmetičke operacije. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Složeno vađenje korijena

Kvadratni korijen se ne može izračunati iz negativnih brojeva, jer je svaki broj na kvadrat pozitivan broj!

Kompleksni broj je broj i koji je na kvadrat jednak -1. To je i2=-1.

U matematici postoji broj koji se dobije vađenjem korijena iz broja -1.

Odnosno, moguće je izračunati korijen negativnog broja, ali to se već odnosi na višu matematiku, a ne na školu.

Razmotrimo primjer takvog vađenja korijena: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Mrežni kalkulator korijena

Uz pomoć našeg kalkulatora možete izračunati izvlačenje broja iz kvadratnog korijena:

Pretvaranje izraza koji sadrže operaciju izdvajanja korijena

Bit transformacije radikalnih izraza je rastavljanje radikalnog broja na jednostavnije, iz kojih se može izvući korijen. Kao što su 4, 9, 25 i tako dalje.

Uzmimo primjer, √625. Radikalni izraz podijelimo s brojem 5. Dobijemo √(125 5), ponavljamo operaciju √(25 25), ali znamo da je 25 52. Dakle, odgovor je 5*5=25.

Ali postoje brojevi kojima se korijen ne može izračunati ovom metodom i samo trebate znati odgovor ili imati pri ruci tablicu kvadrata.

√289=√(17*17)=17

Ishod

Razmotrili smo samo vrh ledenog brijega, kako biste bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš tečaj: Ubrzajte mentalnu aritmetiku - NE mentalnu aritmetiku.

Na tečaju nećete samo naučiti desetke trikova za jednostavno i brzo množenje, zbrajanje, množenje, dijeljenje, izračunavanje postotaka, već ćete ih i razraditi u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalno brojanje također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koje se aktivno vježbaju u rješavanju zanimljivih problema.