Izravna i obrnuta proporcionalnost

Ako je t vrijeme u kojem se pješak kreće (u satima), s prijeđeni put (u kilometrima), a giba se ravnomjerno brzinom od 4 km/h, tada se odnos ovih veličina može izraziti formulom s = 4t. Budući da svaka vrijednost t odgovara jedinstvenoj vrijednosti s, možemo reći da je funkcija dana pomoću formule s = 4t. Zove se izravna proporcionalnost i definira se na sljedeći način.

Definicija. Izravna proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti pomoću formule y \u003d kx, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv funkcije y \u003d k x je zbog činjenice da u formuli y \u003d kx postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti veličina. A ako je omjer dviju vrijednosti jednak nekom broju različitom od nule, oni se nazivaju izravno proporcionalan . U našem slučaju = k (k≠0). Ovaj broj se zove faktor proporcionalnosti.

Funkcija y \u003d k x je matematički model mnogih stvarnih situacija koje se razmatraju već u početnom tečaju matematike. Jedan od njih je gore opisan. Drugi primjer: ako se u jednom pakiranju nalazi 2 kg brašna, a x se kupi takva pakiranja, tada se cijela masa kupljenog brašna (označavamo je s y) može predstaviti formulom y = 2x, t.j. odnos između broja pakiranja i ukupne mase kupljenog brašna izravno je proporcionalan koeficijentu k=2.

Prisjetimo se nekih svojstava izravne proporcionalnosti koja se proučavaju u školskom kolegiju matematike.

1. Domena funkcije y \u003d k x i domena njezinih vrijednosti je skup realnih brojeva.

2. Graf izravne proporcionalnosti je ravna crta koja prolazi kroz ishodište. Stoga je za konstruiranje grafa izravne proporcionalnosti dovoljno pronaći samo jednu točku koja joj pripada i koja se ne podudara s ishodištem, a zatim povući ravnu liniju kroz ovu točku i ishodište.

Na primjer, za crtanje funkcije y = 2x dovoljno je imati točku s koordinatama (1, 2), a zatim kroz nju povući ravnu crtu i ishodište (slika 7).

3. Za k > 0, funkcija y = kx raste u cijeloj domeni definicije; za k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ako je funkcija f izravna proporcionalnost i (x 1, y 1), (x 2, y 2) - parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, a x 2 ≠ 0 tada.

Doista, ako je funkcija f izravna proporcionalnost, tada se može dati formulom y \u003d kx, a zatim y 1 \u003d kx 1, y 2 = kx 2. Budući da je kod x 2 ≠0 i k≠0, tada je y 2 ≠0. Tako i znači .

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se dokazano svojstvo izravne proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y raste (smanjuje) za isti iznos.

Ovo svojstvo svojstveno je samo izravnoj proporcionalnosti i može se koristiti u rješavanju riječnih zadataka u kojima se razmatraju izravno proporcionalne veličine.

Zadatak 1. Za 8 sati tokar je napravio 16 dijelova. Koliko će sati tokaru trebati da napravi 48 dijelova ako radi istom produktivnošću?

Odluka. U problemu se razmatraju količine - radno vrijeme tokara, broj dijelova koje je izradio i produktivnost (tj. broj dijelova koje je tokar izradio za 1 sat), pri čemu je potonja vrijednost konstantna, a druga dva imaju različite vrijednosti. Osim toga, broj izrađenih dijelova i vrijeme rada su izravno proporcionalni, budući da je njihov omjer jednak određenom broju koji nije jednak nuli, odnosno broju dijelova koje tokar izradi za 1 sat. Ako je broj izrađenih dijelova označava se slovom y, vrijeme rada je x, a učinak - k, tada dobivamo da je = k ili y = kx, t.j. matematički model situacije prikazane u problemu je izravna proporcionalnost.

Problem se može riješiti na dva aritmetička načina:

1 način: 2 način:

1) 16:8 = 2 (djeca) 1) 48:16 = 3 (puta)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Rješavajući problem na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, jednak je 2, a zatim, znajući da je y = 2x, pronašli smo vrijednost x, pod uvjetom da je y = 48.

Prilikom rješavanja problema na drugi način koristili smo svojstvo izravne proporcionalnosti: koliko se puta poveća broj dijelova koje je napravio tokar, za isti se iznos povećava i vrijeme za njihovu izradu.

Prijeđimo sada na razmatranje funkcije koja se naziva inverzna proporcionalnost.

Ako je t vrijeme kretanja pješaka (u satima), v njegova brzina (u km/h) i prešao je 12 km, tada se odnos između ovih vrijednosti može izraziti formulom v∙t = 20 ili v = .

Budući da svaka vrijednost t (t ≠ 0) odgovara jednoj vrijednosti brzine v, možemo reći da je funkcija dana pomoću formule v = . Zove se inverzna proporcionalnost i definira se na sljedeći način.

Definicija. Inverzna proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti pomoću formule y \u003d, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv ove funkcije dolazi iz činjenice da y= postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti veličina. A ako je umnožak dviju veličina jednak nekom broju koji nije nula, onda se one nazivaju obrnuto proporcionalnim. U našem slučaju, xy = k(k ≠ 0). Taj broj k naziva se koeficijent proporcionalnosti.

Funkcija y= je matematički model mnogih stvarnih situacija razmatranih već u početnom tečaju matematike. Jedan od njih je opisan prije definicije inverzne proporcionalnosti. Drugi primjer: ako ste kupili 12 kg brašna i stavili ga u l: limenke od y kg svaka, tada se odnos između ovih količina može predstaviti kao x-y= 12, tj. obrnuto je proporcionalan koeficijentu k=12.

Prisjetimo se nekih svojstava obrnute proporcionalnosti, poznatih iz školskog tečaja matematike.

1. Opseg funkcije y= a njegov raspon x je skup realnih brojeva koji nisu nula.

2. Graf inverzne proporcionalnosti je hiperbola.

3. Za k > 0, grane hiperbole nalaze se u 1. i 3. kvadrantu i funkcija y= se smanjuje na cijeloj domeni x (slika 8).

Riža. 8 sl.9

Kada je k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= raste u cijeloj domeni x (slika 9).

4. Ako je funkcija f obrnuto proporcionalna i (x 1, y 1), (x 2, y 2) su parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, tada.

Doista, ako je funkcija f obrnuto proporcionalna, tada se može dati formulom y= ,i onda . Kako je x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0, tada

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se ovo svojstvo inverzne proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y se smanjuje (povećava) za isti iznos.

Ovo svojstvo svojstveno je samo inverznoj proporcionalnosti i može se koristiti u rješavanju riječnih zadataka u kojima se razmatraju obrnuto proporcionalne veličine.

Zadatak 2. Biciklist je, krećući se brzinom od 10 km/h, prešao put od A do B za 6 sati.

Odluka. Zadatak razmatra sljedeće veličine: brzinu biciklista, vrijeme kretanja i udaljenost od A do B, pri čemu je potonja vrijednost konstantna, a druge dvije imaju različite vrijednosti. Osim toga, brzina i vrijeme kretanja su obrnuto proporcionalni, budući da je njihov umnožak jednak određenom broju, odnosno prijeđenom putu. Ako je vrijeme kretanja biciklista označeno slovom y, brzina je x, a udaljenost AB je k, tada dobivamo da je xy = k ili y =, t.j. matematički model situacije prikazane u problemu je inverzna proporcionalnost.

Problem možete riješiti na dva načina:

1 način: 2 način:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (puta)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Rješavajući problem na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, jednak je 60, a zatim, znajući da je y = , pronašli smo vrijednost y, pod uvjetom da je x = 20.

Prilikom rješavanja zadatka na drugi način koristili smo svojstvo obrnute proporcionalnosti: koliko puta se povećava brzina kretanja, za isti se iznos smanjuje vrijeme putovanja iste udaljenosti.

Imajte na umu da se pri rješavanju specifičnih problema s obrnuto proporcionalnim ili izravno proporcionalnim veličinama nameću neka ograničenja na x i y, posebice se mogu uzeti u obzir ne na cijeli skup realnih brojeva, već na njegove podskupove.

Problem 3. Lena je kupila x olovaka, a Katya je kupila 2 puta više. Označite broj olovaka koje je Katya kupila kao y, izrazite y u terminima x i nacrtajte utvrđeni graf korespondencije, pod uvjetom da je x ≤ 5. Je li ovo podudaranje s funkcijom? Koja je njegova domena definicije i raspon vrijednosti?

Odluka. Katya je kupila u = 2 olovke. Prilikom crtanja funkcije y=2x mora se uzeti u obzir da varijabla x označava broj olovaka i x≤5, što znači da može poprimiti samo vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ovo će biti domena ove funkcije. Da biste dobili raspon ove funkcije, trebate svaku vrijednost x iz domene definicije pomnožiti s 2, tj. to će biti skup (0, 2, 4, 6, 8, 10). Stoga će graf funkcije y \u003d 2x s domenom definicije (0, 1, 2, 3, 4, 5) biti skup točaka prikazanih na slici 10. Sve ove točke pripadaju liniji y \u003d 2x.

Osnovni ciljevi:

• uvesti pojam izravnog i inverznog proporcionalna ovisnost količine;
• naučiti kako riješiti probleme koristeći ove ovisnosti;
• promicati razvoj vještina rješavanja problema;
• učvrstiti vještinu rješavanja jednadžbi korištenjem proporcija;
• ponovite korake s običnim i decimale;
• razviti logično mišljenje studentima.

TIJEKOM NASTAVE

ja Samoopredjeljenje za aktivnost(Organiziranje vremena)

- Dečki! Danas ćemo se na satu upoznati s problemima koji se rješavaju pomoću proporcija.

II. Ažuriranje znanja i popravljanje poteškoća u aktivnostima

2.1. usmeni rad (3 min)

- Pronađite značenje izraza i saznajte riječ šifriranu u odgovorima.

14 - s; 0,1 - i; 7 - l; 0,2 - a; 17 - u; 25 - do

- Izašla je riječ - snaga. Dobro napravljeno!
- Moto naše današnje lekcije: Moć je u znanju! Gledam - pa učim!
- Napravite omjer dobivenih brojeva. (14:7=0,2:0,1 itd.)

2.2. Razmotrimo odnos između poznatih veličina (7 min)

- put koji je automobil prošao konstantnom brzinom, i vrijeme njegova kretanja: S = v t( s povećanjem brzine (vrijeme), put se povećava);
- brzina automobila i vrijeme provedeno na cesti: v=S:t(s povećanjem vremena za putovanje stazom, brzina se smanjuje);
– trošak robe kupljene po jednoj cijeni i njezina količina: C \u003d a n (s povećanjem (smanjenjem) cijene, trošak kupnje se povećava (smanjuje);
- cijena proizvoda i njegova količina: a \u003d C: n (s povećanjem količine, cijena se smanjuje)
- površina pravokutnika i njegova duljina (širina): S = a b (s povećanjem duljine (širine), površina se povećava;
- duljina pravokutnika i širina: a = S: b (s povećanjem duljine širina se smanjuje;
- broj radnika koji obavljaju neki posao s istom produktivnošću rada i vrijeme potrebno za dovršetak ovog posla: t \u003d A: n (s povećanjem broja radnika, vrijeme utrošeno na rad se smanjuje), itd.

Dobili smo ovisnosti u kojima se, s povećanjem jedne vrijednosti za nekoliko puta, druga odmah povećava za isti iznos (prikazano strelicama za primjer) i ovisnosti u kojima se, s povećanjem jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost smanjuje za isti broj puta.
Takvi odnosi nazivaju se izravnim i inverznim omjerima.
Izravno proporcionalna ovisnost- ovisnost u kojoj se s povećanjem (smanjenjem) jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost povećava (smanjuje) za isti iznos.
Obrnuti proporcionalni odnos- ovisnost u kojoj se s povećanjem (smanjenjem) jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost smanjuje (povećava) za isti iznos.

III. Iskaz zadatka učenja

Koji je problem s kojim se suočavamo? (Naučite razlikovati izravne i inverzne odnose)
- Ovo je - cilj naša lekcija. Sada formulirajte tema lekcija. (Izravna i inverzna proporcionalnost).
- Dobro napravljeno! Zapišite temu lekcije u svoje bilježnice. (Učitelj zapisuje temu na ploču.)

IV. „Otkriće“ novih znanja(10 minuta)

Analizirajmo probleme broj 199.

1. Pisač ispisuje 27 stranica za 4,5 minute. Koliko će vremena trebati za ispis 300 stranica?

27 stranica - 4,5 min.
300 str. - x?

2. U kutiji je 48 pakiranja čaja po 250 g. Koliko će pakiranja od 150g izaći iz ovog čaja?

48 pakiranja - 250 g.
X? - 150 g.

3. Automobil je prešao 310 km, potrošivši 25 litara benzina. Koliko daleko automobil može prijeći s punim spremnikom od 40 litara?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Jedan od zupčanika spojke ima 32 zuba, a drugi 40. Koliko će okretaja napraviti drugi zupčanik dok će prvi napraviti 215 okretaja?

32 zuba - 315 o/min
40 zuba - x?

Za izradu omjera potreban je jedan smjer strelica, za to se, u obrnutom omjeru, jedan omjer zamjenjuje obrnutim.

Na ploči učenici pronalaze vrijednost veličina, na terenu učenici rješavaju jedan zadatak po svom izboru.

– Formulirajte pravilo za rješavanje zadataka s izravnom i obrnutom proporcionalnošću.

Na ploči se pojavljuje tablica:

v. Primarno pričvršćivanje u vanjskom govoru(10 minuta)

Zadaci na listovima:

1. Od 21 kg sjemena pamuka dobiveno je 5,1 kg ulja. Koliko će se ulja dobiti iz 7 kg sjemena pamuka?
2. Za izgradnju stadiona 5 buldožera je očistilo teren za 210 minuta. Koliko bi trebalo 7 buldožera da raščiste ovo područje?

VI. Samostalan rad sa samotestiranjem prema standardu(5 minuta)

Dva učenika samostalno rješavaju zadatke broj 225 na skrivenim pločama, a ostali u bilježnicama. Zatim provjeravaju rad prema algoritmu i uspoređuju ga s rješenjem na ploči. Pogreške se ispravljaju, razjašnjavaju se njihovi uzroci. Ako je zadatak dovršen, desno, onda pored učenika stavite znak "+" za sebe.
Studenti koji griješe u samostalnom radu mogu koristiti konzultante.

VII. Uključivanje u sustav znanja i ponavljanje№ 271, № 270.

Za pločom radi šest osoba. Nakon 3–4 minute učenici koji su radili na ploči iznose svoja rješenja, a ostali provjeravaju zadatke i sudjeluju u raspravi.

VIII. Odraz aktivnosti (rezultat lekcije)

- Što ste novo naučili na satu?
- Što si ponovio?
Koji je algoritam za rješavanje problema s proporcijama?
Jesmo li postigli svoj cilj?
- Kako ocjenjujete svoj rad?

Vrste ovisnosti

Razmislite o punjenju baterije. Kao prvu vrijednost, uzmimo vrijeme potrebno za punjenje. Druga vrijednost je vrijeme koje će raditi nakon punjenja. Što se baterija dulje puni, dulje će trajati. Proces će se nastaviti sve dok se baterija potpuno ne napuni.

Ovisnost trajanja baterije o vremenu punjenja

Napomena 1

Ova ovisnost se zove ravno:

Kako se jedna vrijednost povećava, povećava se i druga. Kako se jedna vrijednost smanjuje, smanjuje se i druga vrijednost.

Razmotrimo još jedan primjer.

Što više knjiga učenik pročita, to će manje pogriješiti u diktatu. Ili što se više penjete na planine, to će biti niži atmosferski tlak.

Napomena 2

Ova ovisnost se zove obrnuto:

Kako se jedna vrijednost povećava, druga se smanjuje. Kako se jedna vrijednost smanjuje, druga vrijednost se povećava.

Dakle, u slučaju izravna ovisnost obje se količine mijenjaju na isti način (obje se ili povećavaju ili smanjuju), a u slučaju inverzni odnos- suprotno (jedno se povećava, a drugo smanjuje ili obrnuto).

Određivanje ovisnosti između veličina

Primjer 1

Vrijeme potrebno za posjetu prijatelju je 20$ minuta. S povećanjem brzine (prve vrijednosti) za 2$ puta, otkrit ćemo kako će se promijeniti vrijeme (druga vrijednost) koje će se potrošiti na putu do prijatelja.

Očito, vrijeme će se smanjiti za 2$ puta.

Napomena 3

Ova ovisnost se zove proporcionalan:

Koliko se puta mijenja jedna vrijednost, koliko puta će se promijeniti druga.

Primjer 2

Za kruh od 2 dolara u trgovini morate platiti 80 rubalja. Ako trebate kupiti kruh od 4$ (količina kruha se povećava 2$ puta), koliko ćete još morati platiti?

Očito, trošak će se također povećati za 2$ puta. Imamo primjer proporcionalne ovisnosti.

U oba su primjera razmatrane proporcionalne ovisnosti. Ali u primjeru s kruhom, vrijednosti se mijenjaju u jednom smjeru, dakle, ovisnost je ravno. A u primjeru s putovanjem do prijatelja odnos brzine i vremena je obrnuto. Dakle, postoji izravno proporcionalni odnos i obrnuto proporcionalni odnos.

Izravna proporcionalnost

Uzmite u obzir proporcionalne količine od 2$: broj kruhova i njihovu cijenu. Neka kruh od 2$ košta 80$ rubalja. Uz povećanje broja role za 4$ puta ($8$ role), njihov ukupni trošak bit će 320$ rubalja.

Omjer broja valjaka: $\frac(8)(2)=4$.

Omjer cijene role: $\frac(320)(80)=4$.

Kao što vidite, ovi omjeri su međusobno jednaki:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicija 1

Jednakost dvaju odnosa naziva se proporcija.

S izravno proporcionalnim odnosom, omjer se dobiva kada je promjena prve i druge vrijednosti jednaka:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicija 2

Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalan ako se pri promjeni (povećanju ili smanjenju) jedne od njih druga vrijednost promijeni (shodno tome povećava ili smanjuje) za isti iznos.

Primjer 3

Auto je prešao 180$ km za 2$ sata. Pronađite vrijeme koje mu je potrebno da pređe 2$ puta udaljenost s istom brzinom.

Odluka.

Vrijeme je izravno proporcionalno udaljenosti:

$t=\frac(S)(v)$.

Koliko puta će se udaljenost povećati, pri konstantnoj brzini, vrijeme će se povećati za isti iznos:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Automobil je prešao 180$ km - u vremenu od 2$ sata

Auto prijeđe 180$ \cdot 2=360$ km - u vremenu od $x$ sati

Što auto prijeđe veću udaljenost, to će mu trebati više vremena. Stoga je odnos između veličina izravno proporcionalan.

Napravimo proporciju:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odgovor: Automobilu će trebati 4$ sata.

Obrnuta proporcionalnost

Definicija 3

Odluka.

Vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini:

$t=\frac(S)(v)$.

Koliko se puta povećava brzina, s istom putanjom, vrijeme se smanjuje za isti iznos:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapišimo uvjet problema u obliku tablice:

Automobil je prešao 60$ km - u vremenu od 6$$ sati

Automobil prijeđe 120$ km - u vremenu od $x$ sati

Što je auto brži, to će mu trebati manje vremena. Stoga je odnos između veličina obrnuto proporcionalan.

Napravimo proporciju.

Jer proporcionalnost je inverzna, drugi omjer okrećemo proporcionalno:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odgovor: Automobilu će trebati 3$ sata.

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na satu matematike, već i izvan školskih zidova.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno zavisne.

Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Stoga odnos između veličina opisuje izravnu i obrnutu proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost- to je takav odnos između dvije veličine, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.

Primjerice, što više truda uložite u pripremu za ispite, to će vam biti veće ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, teže je nositi ruksak. Oni. količina truda utrošenog na pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari spakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.

Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta neovisne vrijednosti (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Ilustrirajte jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku obrnuto su povezani. Oni. što više jabuka kupite, manje vam je novca ostalo.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. Pri čemu x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegovo područje definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Raspon su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ni minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodični.
6. Njegov graf ne prelazi koordinatne osi.
7. Nema nule.
8. Ako je a k> 0 (to jest, argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako je a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Obrnuti proporcionalni zadaci

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješenje pomoći će vam vizualizirati što je inverzni omjer i kako vam to znanje može koristiti u svakodnevnom životu.

Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo započeti tako da zapišemo formulu koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, jako nas podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. A pokazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uvjetu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: s brzinom 2 puta većom od izvorne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.

Rješenje ovog problema može se napisati i kao proporcija. Zašto pravimo dijagram ovako:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice označavaju inverzni odnos. I također predlažu da se pri sastavljanju omjera desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 \u003d x / 6. Gdje dobivamo x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 sata.

Zadatak broj 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadanu količinu posla izlaze na kraj za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Uvjete problema zapisujemo u obliku vizualnog dijagrama:

↓ 6 radnika - 4 sata

↓ 3 radnika - x h

Zapišimo ovo kao omjer: 6/3 = x/4. I dobivamo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 sati Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da dovrše sav posao.

Zadatak broj 3. Dvije cijevi vode do bazena. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l / s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Koliko brzo voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak ćemo sve zadane veličine prema stanju zadatka dovesti na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama po minuti: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Budući da iz uvjeta proizlazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina dotoka vode manja. Na licu obrnute proporcije. Izrazimo nam nepoznatu brzinu u terminima x i nacrtajmo sljedeću shemu:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda ćemo napraviti omjer: 120 / x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi, dovedemo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak broj 4. Posjetnice se tiskaju u maloj privatnoj tiskari. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi puno radno vrijeme - 8 sati. Ako je radio brže i tiskao 48 posjetnica na sat, koliko bi prije mogao otići kući?

Idemo na dokazan način i izrađujemo shemu prema stanju problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 posjetnice/h – 8 h

↓ 48 posjetnica/h – xh

Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica po satu ispiše zaposlenik tiskare, toliko će mu vremena trebati da završi isti posao. Znajući to, možemo postaviti omjer:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.

Tako bi, nakon što je posao završio za 7 sati, djelatnik tiskare mogao ići kući sat vremena ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ti problemi inverzne proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina zaista vam može biti korisno više puta.

Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada idete na put, ići u kupovinu, odlučite zaraditi za vrijeme praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverzne i izravne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak društvene mreže tako da se i vaši prijatelji i kolege mogu igrati.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

>>Matematika: Izravna proporcionalnost i njezin graf

Izravna proporcionalnost i njezin graf

Među linearnim funkcijama y = kx + m istaknut je slučaj kada je m = 0; u ovom slučaju ima oblik y = kx i naziva se izravna proporcionalnost. Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da se dvije veličine y i x nazivaju izravno proporcionalnim ako je njihov omjer jednak određenom
broj koji nije nula. Ovdje se ovaj broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.

Mnoge stvarne situacije modeliraju se korištenjem izravne proporcionalnosti.

Na primjer, put s i vrijeme t pri konstantnoj brzini, 20 km/h, povezani su ovisnošću s = 20t; ovo je izravna proporcionalnost, s k = 20.

Još jedan primjer:

trošak y i broj x kruha po cijeni od 5 rubalja. po štruci su povezane ovisnošću y = 5x; ovo je izravna proporcionalnost, gdje je k = 5.

Dokaz. Učinimo to u dvije faze.
1. y \u003d kx - poseban slučaj linearna funkcija, a graf linearne funkcije je ravna crta; označimo ga sa I.
2. Par x \u003d 0, y \u003d 0 zadovoljava jednadžbu y - kx, pa stoga točka (0; 0) pripada grafu jednadžbe y = kx, odnosno liniji I.

Prema tome, pravac I prolazi kroz ishodište. Teorem je dokazan.

Mora se moći prijeći ne samo s analitičkog modela y = kx na geometrijski (graf izravne proporcionalnosti), već i s geometrijskog modeli na analitičke. Razmotrimo, na primjer, ravnu liniju na koordinatnoj ravnini xOy prikazanu na slici 50. To je graf izravne proporcionalnosti, samo trebate pronaći vrijednost koeficijenta k. Budući da je y, dovoljno je uzeti bilo koju točku na pravoj i pronaći omjer ordinate te točke i njezine apscise. Ravna crta prolazi kroz točku P (3; 6), a za ovu točku imamo: Dakle, k = 2, pa stoga data ravna linija služi kao graf izravne proporcionalnosti y \u003d 2x.

Kao rezultat toga, koeficijent k u zapisu linearne funkcije y \u003d kx + m također se naziva nagib. Ako je k>0, tada pravac y \u003d kx + m tvori oštar kut s pozitivnim smjerom osi x (slika 49, a), a ako je k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7.-11. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća rasprava pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čips za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni pojmovnik ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije