Primjer

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni omjer proporcionalnih veličina naziva se koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.

Izravna proporcionalnost

Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj neka veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju Proporcionalno, u jednakim udjelima, odnosno ako se argument dvaput promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.

Matematički, izravna proporcionalnost se zapisuje kao formula:

f(x) = ax,a = const

Obrnuta proporcionalnost

Inverzni omjer- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se zapisuje kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem promjena jedne od njih povlači promjenu druge za isti iznos.

Proporcionalnost je izravna i inverzna. NA ovu lekciju pogledat ćemo svaki od njih.

Sadržaj lekcije

Izravna proporcionalnost

Pretpostavimo da se automobil kreće brzinom od 50 km/h. Sjećamo se da je brzina put koji se prijeđe u jedinici vremena (1 sat, 1 minuta ili 1 sekunda). U našem primjeru, automobil se kreće brzinom od 50 km / h, odnosno za jedan sat će prijeći udaljenost jednaku pedeset kilometara.

Nacrtajmo udaljenost koju automobil prijeđe za 1 sat.

Neka auto vozi još sat vremena istom brzinom od pedeset kilometara na sat. Tada se ispostavlja da će automobil prijeći 100 km

Kao što se vidi iz primjera, udvostručenje vremena dovelo je do povećanja prijeđene udaljenosti za isti iznos, odnosno dva puta.

Za veličine kao što su vrijeme i udaljenost kaže se da su izravno proporcionalne. Odnos između tih veličina naziva se izravna proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem povećanje jedne od njih povlači povećanje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se i druga smanji za isti iznos.

Pretpostavimo da je prvotno bilo planirano da automobil odveze 100 km za 2 sata, no nakon vožnje od 50 km vozač je odlučio napraviti pauzu. Tada se ispostavlja da će se smanjenjem udaljenosti za polovicu vrijeme smanjiti za isti iznos. Drugim riječima, smanjenje prijeđene udaljenosti dovest će do smanjenja vremena za isti faktor.

Zanimljiva značajka izravno proporcionalnih veličina je da je njihov omjer uvijek konstantan. Odnosno, kada se mijenjaju vrijednosti izravno proporcionalnih veličina, njihov omjer ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost je isprva bila jednaka 50 km, a vrijeme je bilo jedan sat. Omjer udaljenosti i vremena je broj 50.

Ali povećali smo vrijeme kretanja za 2 puta, što ga čini jednakim dva sata. Kao rezultat toga, prijeđena udaljenost povećala se za isti iznos, odnosno postala je jednaka 100 km. Omjer sto kilometara i dva sata opet je broj 50

Zove se broj 50 koeficijent izravne proporcionalnosti. Pokazuje kolika je udaljenost po satu kretanja. NA ovaj slučaj koeficijent igra ulogu brzine kretanja, budući da je brzina omjer prijeđene udaljenosti i vremena.

Proporcije se mogu napraviti iz izravno proporcionalnih veličina. Na primjer, omjeri i čine omjer:

Pedeset kilometara se odnosi na jedan sat kao sto kilometara na dva sata.

Primjer 2. Trošak i količina kupljene robe izravno su proporcionalni. Ako 1 kg slatkiša košta 30 rubalja, tada će 2 kg istih slatkiša koštati 60 rubalja, 3 kg - 90 rubalja. S povećanjem cijene kupljene robe, njezina količina raste za isti iznos.

Budući da su vrijednost robe i njezina količina izravno proporcionalne, njihov je omjer uvijek stalan.

Zapišimo omjer od trideset rubalja do jednog kilograma

Sada zapišimo koliko je jednak omjer od šezdeset rubalja do dva kilograma. Ovaj će omjer opet biti jednak trideset:

Ovdje je koeficijent izravne proporcionalnosti broj 30. Ovaj koeficijent pokazuje koliko je rubalja po kilogramu slatkiša. U ovom primjeru koeficijent igra ulogu cijene jednog kilograma robe, budući da je cijena omjer cijene robe i njezine količine.

Obrnuta proporcionalnost

Razmotrimo sljedeći primjer. Udaljenost između dva grada je 80 km. Motociklist je napustio prvi grad, a brzinom od 20 km/h stigao do drugog grada za 4 sata.

Ako je brzina motociklista bila 20 km/h, to znači da je svaki sat prešao udaljenost jednaku dvadeset kilometara. Opišimo na slici udaljenost koju je prešao motociklist i vrijeme njegovog kretanja:

U povratku je brzina motociklista bila 40 km/h, a na istom putu proveo je 2 sata.

Lako je vidjeti da se pri promjeni brzine i vrijeme kretanja promijenilo za isti iznos. I promijenilo se obrnuta strana- odnosno brzina se povećala, a vrijeme se, naprotiv, smanjilo.

Veličine kao što su brzina i vrijeme nazivaju se obrnuto proporcionalne. Odnos između tih veličina naziva se inverzna proporcionalnost.

Inverzna proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem povećanje jedne od njih povlači smanjenje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se i druga povećava za isti iznos.

Na primjer, ako je na povratku brzina motociklista bila 10 km / h, tada bi prešao istih 80 km za 8 sati:

Kao što se može vidjeti iz primjera, smanjenje brzine dovelo je do povećanja vremena putovanja za isti faktor.

Posebnost obrnuto proporcionalnih veličina je u tome što je njihov umnožak uvijek stalan. Odnosno, kada se mijenjaju vrijednosti obrnuto proporcionalnih veličina, njihov proizvod ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost između gradova bila je 80 km. Pri promjeni brzine i vremena motociklista ta je udaljenost uvijek ostala nepromijenjena.

Motociklist bi ovu udaljenost brzinom od 20 km/h mogao prijeći za 4 sata, a brzinom od 40 km/h za 2 sata, a brzinom od 10 km/h za 8 sati. U svim slučajevima umnožak brzine i vremena bio je jednak 80 km

Svidjela ti se lekcija?
Pridružite nam se nova grupa Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Primjer

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni omjer proporcionalnih veličina naziva se koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.

Izravna proporcionalnost

Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj neka veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju Proporcionalno, u jednakim udjelima, odnosno ako se argument dvaput promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.

Matematički, izravna proporcionalnost se zapisuje kao formula:

f(x) = ax,a = const

Obrnuta proporcionalnost

Inverzni omjer- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se zapisuje kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Zaklada Wikimedia. 2010 .

• Drugi Newtonov zakon
• Coulomb barijera

Pogledajte što je "Izravna proporcionalnost" u drugim rječnicima:

izravna proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Engleski ruski energetski rječnik. 2006] Teme energija općenito EN izravni omjer … Priručnik tehničkog prevoditelja

izravna proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. izravna proporcionalnost vok. direkte Proportionalitat, f rus. izravna proporcionalnost, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCIONALNOST- (od lat. proportionalis proporcionalan, razmjeran). Proporcionalnost. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIJALNOST otlat. proportionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000…… Rječnik stranih riječi ruskog jezika

PROPORCIONALNOST- RAZMIRNOST, razmjernost, pl. ne, žensko (knjiga). 1. odvraćanje pažnje imenica do proporcionalne. Proporcionalnost dijelova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između veličina kada su proporcionalne (vidi proporcionalni ... Rječnik Ushakov

Proporcionalnost- Dvije međusobno zavisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako omjer njihovih vrijednosti ostane nepromijenjen .. Sadržaj 1 Primjer 2 Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia

PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, i, supruge. 1. vidi proporcionalan. 2. U matematici: takav odnos između veličina, kada povećanje jedne od njih povlači promjenu druge za isti iznos. Izravni p. (kada se reže s povećanjem za jednu vrijednost ... ... Objašnjavajući rječnik Ozhegova

proporcionalnost- i; dobro. 1. do proporcionalno (1 znamenka); proporcionalnost. P. dijelovi. P. tjelesne građe. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Matematika. Ovisnost između veličina koje se proporcionalno mijenjaju. Faktor proporcionalnosti. Izravni p. (u kojem s ... ... enciklopedijski rječnik

Koncept izravne proporcionalnosti

Zamislite da razmišljate o kupovini svog omiljenog slatkiša (ili onoga što vam se baš sviđa). Slatkiši u trgovini imaju svoju cijenu. Pretpostavimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, to više novca platiti. To jest, ako želite 2 kilograma - platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma - dajte 900 rubalja. Čini se da je s ovim sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno što je izravna proporcionalnost – ovo je koncept koji opisuje omjer dviju veličina koje ovise jedna o drugoj. A omjer tih količina ostaje nepromijenjen i stalan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova druga se proporcionalno povećava ili smanjuje.

Izravna proporcionalnost se može opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru bombona, cijena je konstanta, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, koliko god slatkiša odlučili kupiti. Nezavisna varijabla (argument) x je koliko kilograma slatkiša namjeravate kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko novca na kraju platite za svoju kupnju. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formuli i dobiti: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Međuzaključak je sljedeći: ako se argument povećava, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Izravno proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearna funkcija. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, tada za izravnu proporcionalnost izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva faktor proporcionalnosti, a to je uvijek broj koji nije nula. Izračunavanje k je jednostavno – nalazi se kao kvocijent funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bude jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od točke A do točke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina kretanja ostaje konstantna, onda se može uzeti kao konstanta. A onda zapisujemo uvjete u obliku: S \u003d 60 * t, a ova formula je slična funkciji izravne proporcionalnosti y \u003d k * x. Povučemo paralelu dalje: ako je k \u003d y / x, tada se može izračunati brzina automobila, znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na cesti: V \u003d S / t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o izravnoj proporcionalnosti, vratimo se njezinoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegov podskup);

funkcija je neparna;

promjena varijabli izravno je proporcionalna cijeloj duljini brojevnog pravca.

Izravna proporcionalnost i njezin graf

Graf izravne proporcionalne funkcije je ravna crta koja siječe početnu točku. Za njegovu izgradnju dovoljno je označiti još samo jednu točku. I spojite ga i podrijetlo linije.

U slučaju grafa, k je nagib. Ako je nagib manji od nule (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf i os x tvore oštar kut, a funkcija raste.

I još jedno svojstvo grafa funkcije izravne proporcionalnosti izravno je povezano s nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, sukladno tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni na koordinatnoj osi. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Primjeri zadataka

Odlučimo par problemi izravne proporcionalnosti

Počnimo jednostavno.

Zadatak 1: Zamislite da 5 kokoši snese 5 jaja u 5 dana. A ako ima 20 kokoši, koliko će jaja snijeti za 20 dana?

Rješenje: Nepoznato označimo sa x. A mi ćemo raspravljati na sljedeći način: koliko je puta više pilića postalo? Podijelite 20 sa 5 i saznajte to 4 puta. A koliko će puta više jaja snijeti 20 kokoši u istih 5 dana? Također 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaja snijet će 20 kokoši za 20 dana.

Sada je primjer malo kompliciraniji, preformulirajmo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Zadatak 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige u 8 dana. Da ima pomoćnike, koliko bi ljudi trebalo da napiše 420 stranica u 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisci + asistenti) povećava s povećanjem količine posla ako se mora obaviti u istom vremenu. Ali koliko puta? Dijelimo 420 s 14, saznajemo da se povećava 30 puta. Ali budući da se, prema uvjetu zadatka, daje više vremena za rad, broj pomoćnika se ne povećava za 30 puta, već na ovaj način: x \u003d 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 (dani). Transformirajmo i saznajmo da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica u 12 dana.

Riješimo još jedan problem sličan onima koje smo imali u primjerima.

Zadatak 3: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom od 70 km/h i prešao je istu udaljenost za 2 sata kao drugi za 7 sati. Pronađite brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, put je određen brzinom i vremenom - S = V *t. Budući da su oba automobila putovala na isti način, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Gdje nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još nekoliko primjera zadataka s funkcijama izravne proporcionalnosti. Ponekad je u zadacima potrebno pronaći koeficijent k.

Zadatak 4: S obzirom na funkcije y \u003d - x / 16 i y \u003d 5x / 2, odredite njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. Dakle, za prvu funkciju koeficijent je -1/16, a za drugu k = 5/2.

A možda ćete naići i na zadatak kao što je zadatak 5: Zapišite formulu izravne proporcionalnosti. Njegov graf i graf funkcije y \u003d -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je dana u uvjetu je linearna. Znamo da je izravna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. A također znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni. To znači da je sve što je potrebno izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti izravnu proporcionalnost koristeći nam poznatu formulu: y \u003d k * x. Koeficijent k \u003d -5, izravna proporcionalnost: y \u003d -5 * x.

Zaključak

Sada ste naučili (ili se sjetili, ako ste već obrađivali ovu temu prije), što se zove izravna proporcionalnost, i razmotrio to primjeri. Također smo razgovarali o funkciji izravne proporcionalnosti i njezinom grafu, riješili nekoliko problema na primjer.

Ako je ovaj članak bio koristan i pomogao razumjeti temu, recite nam o tome u komentarima. Tako da znamo možemo li vam koristiti.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Trikhleb Daniil, učenik 7. razreda

upoznavanje s izravnom proporcionalnošću i koeficijentom izravne proporcionalnosti (uvođenje pojma kutnog koeficijenta");

izgradnja grafa izravne proporcionalnosti;

razmatranje međusobnog rasporeda grafova direktne proporcionalnosti i linearne funkcije s istim nagibom.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Izravna proporcionalnost i njezin graf

Što je argument i vrijednost funkcije? Koja se varijabla naziva neovisnom, ovisnom? Što je funkcija? PREGLED Koji je opseg funkcije?

Načini postavljanja funkcije. Analitički (pomoću formule) Grafički (pomoću grafikona) Tablični (pomoću tablice)

Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. FUNKCIJA RASPOREDA

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

IZVRŠITE ZADATAK Grafikonirajte funkciju y = 2 x +1, gdje je 0 ≤ x ≤ 4 . Napravite stol. Na grafikonu pronađite vrijednost funkcije na x \u003d 2,5. Pri kojoj je vrijednosti argumenta vrijednost funkcije jednaka 8?

Definicija Izravna proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti formulom oblika y \u003d k x, gdje je x nezavisna varijabla, k je broj koji nije nula. (k- koeficijent izravne proporcionalnosti) Izravna proporcionalna ovisnost

8 Graf izravne proporcionalnosti - ravna crta koja prolazi kroz ishodište (točka O(0,0)) I i III koordinatne četvrti. Za k

Grafovi funkcija izravne proporcionalnosti y x k>0 k>0 k

Zadatak Odrediti koji od grafova prikazuje funkciju izravne proporcionalnosti.

Zadatak Odredi graf čija je funkcija prikazana na slici. Odaberite formulu od tri predložene.

usmeni rad. Može li se graf funkcije zadana formulom y \u003d k x, gdje je k

Odredite koje od točaka A(6,-2), B(-2,-10),C(1,-1),E(0,0) pripadaju grafu izravne proporcionalnosti danom formulom y = 5x 1 ) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - netočno. Točka A ne pripada grafu funkcije y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 je točno. Točka B pripada grafu funkcije y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - netočno Točka C ne pripada grafu funkcije y=5x. 4) E (0; 0) 0 = 5  0 0 = 0 - istina. Točka E pripada grafu funkcije y=5x

TEST 1 opcija 2 opcija broj 1. Koje su funkcije zadane formulom izravno proporcionalne? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

broj 2. Zapišite brojeve redaka y = kx , gdje je k > 0 1 opcija k

broj 3. Odredite koja od točaka pripada t grafu izravne proporcionalnosti danom formulom Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opcija C (1, -1), E (0,0 ) Opcija 2

y =5x y =10x III A VI i IV E 1 2 3 1 2 3 Ne Točan odgovor Točan odgovor Ne.

Dovršite zadatak: Šematski pokažite kako se nalazi graf funkcije zadana formulom: y = 1,7 x y = -3,1 x y = 0,9 x y = -2,3 x

ZADATAK Od sljedećih grafova odaberite samo izravno proporcionalne grafove.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funkcije y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4. y \u003d - 1,5x 5. y \u003d - 5 / x 6. y \u003d 5x 7. y - 5 8. y \u003d - 0,3x 9. y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 Odaberite funkcije oblika y = k x (izravna proporcionalnost) i zapišite ih

Funkcije izravne proporcionalnosti Y \u003d 2x Y \u003d -1,5x Y \u003d 5x Y \u003d -0,3x y x

y Linearne funkcije koje nisu izravno proporcionalne 1) y = 2x + 3 2) y = 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y \ u003d 2x - 5

Domaća zadaća: 15 str. 65-67, broj 307; broj 308.

Ponovimo to još jednom. Što ste novo naučili? Što ste naučili? Što vam je bilo posebno teško?

Lekcija mi se svidjela i tema je shvaćena: Lekcija mi se svidjela, ali još uvijek nije sve jasno: nije mi se svidjela lekcija i tema nije jasna.