1. लगातार विकास बल
असतत नाममात्र दर का उपयोग करते समय, संचित राशि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
निरंतर प्रतिशत पर स्विच करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
ब्याज के निरंतर पूंजीकरण के लिए प्रोद्भवन गुणक।
के माध्यम से वृद्धि की शक्ति को निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इसलिये असतत और निरंतर दरें एक दूसरे से कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं, तो हम संचय के गुणकों की समानता लिख सकते हैं
500 हजार रूबल की प्रारंभिक पूंजी के लिए। अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज - 4 वर्षों के लिए 8% प्रति वर्ष। संचित राशि का निर्धारण करें यदि ब्याज लगातार अर्जित किया जाता है।
निरंतर के आधार पर छूट ब्याज दर
सूत्र (4.21) में कोई आधुनिक मूल्य निर्धारित कर सकता है
डिस्काउंटिंग में उपयोग की जाने वाली निरंतर ब्याज दर को डिस्काउंट पावर कहा जाता है। यह विकास की ताकत के बराबर है, यानी। छूट बल को छूट देने के लिए उपयोग किया जाता है या विकास बल एक ही परिणाम की ओर ले जाता है।
भुगतान का वर्तमान मूल्य निर्धारित करें, यह मानते हुए कि छूट 12% की वृद्धि दर पर और समान आकार की असतत चक्रवृद्धि छूट दर पर की जाती है।
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निरंतर ब्याज सैद्धांतिक अर्थशास्त्र में एक शब्द है जिसका अर्थ है ब्याज की निरंतर, व्यवस्थित गणना। यदि आप आर्थिक सिद्धांत की नींव में तल्लीन करते हैं, तो निरंतर ब्याज की गणना अंतराल पर की जाती है जो कि सबसे छोटी संख्या में होती है। यानी लगातार ब्याज मिलता रहता है, लेकिन गणना की सुविधा के लिए उद्यमियों या अर्थशास्त्रियों का कहना है कि यह या वह राशि प्रति सेकंड, घंटे या दिन के हिसाब से ली जाती है। उदाहरण के लिए, बिल गेट्स की आय को निरंतर ब्याज के रूप में आय कहा जा सकता है। सिद्धांतकारों ने गणना की है कि बिल गेट्स, दुनिया के सबसे अमीर व्यक्तियों में से एक, हर मिनट लगभग $ 6,600 कमाते हैं, जो कि वह राशि है जो उनके व्यवसाय और निवेश से निरंतर ब्याज में परिवर्तित हो जाती है।
सैद्धांतिक और व्यावहारिक अर्थशास्त्र में निरंतर रुचि का महत्व
निरंतर ब्याज के महत्व के बारे में बोलते हुए, सबसे पहले यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे निष्क्रिय आय का एक प्रमुख रूप हैं। वास्तव में, निष्क्रिय आय में दो सैद्धांतिक घटक होते हैं: एक संपत्ति जो उद्यमी के हस्तक्षेप के बिना काम करती है, और वह निरंतर ब्याज जो इसमें निवेश की गई राशि पर देता है। उदाहरण के लिए, मैंने 10,000,000 रूबल के लिए एक अपार्टमेंट खरीदा और इसे प्रति माह 40,000 रूबल की कीमत पर किराए पर लिया - यह निष्क्रिय आय है। वार्षिक आय 480,000 रूबल होगी, दस मिलियन में से यह 4.8 प्रतिशत है। यह पता चला है कि उद्यमी को लगातार निवेश की गई राशि का 4.8 प्रतिशत प्रति वर्ष प्राप्त होता है, यह उसका वार्षिक ब्याज है।
दूसरा मूल्य - निरंतर प्रतिशत कंपनी के विकास में एक स्थिर स्थिति का संकेत देते हैं। अगर यह लगातार रुचि लाता है, तो यह ठीक काम करता है। यदि ब्याज की प्राप्ति को निलंबित कर दिया जाता है, तो कोई कंपनी के काम में समस्याओं की घटना का न्याय कर सकता है। यदि ब्याज दरें या तो बढ़ती हैं या गिरती हैं, तो यह भी इंगित करता है आंतरिक समस्याएंउद्यम। इसलिए, आर्थिक विश्लेषण के सिद्धांत में, निरंतर रुचि बहुत महत्वपूर्ण है।
तीसरा मूल्य जिस पर हम ध्यान देंगे, वह है निवेश पर प्रतिफल। लगातार आने वाले ब्याज का योग अंततः इस तथ्य की ओर ले जाएगा कि निवेश या व्यवसाय में एक सौ प्रतिशत का भुगतान होगा, अर्थात, उद्यमी को निवेशित धन वापस प्राप्त होगा और उसे केवल प्राप्त करना होगा। आर्थिक जीवन के विभिन्न कारकों (मुद्रास्फीति दर और इसी तरह) का विश्लेषण करने और निरंतर प्रतिशत के साथ परिणामों की तुलना करने के लिए अर्थशास्त्र सिद्धांत में कई कॉल हैं। यह पता चल सकता है कि कंपनी की आय, प्रतिशत के रूप में व्यक्त की गई, पैसे के मूल्यह्रास और इसी तरह के प्रतिशत से कम होगी। यदि, उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति को बैंक में जमा राशि से सालाना पांच प्रतिशत प्राप्त होता है, और आठ प्रतिशत के बराबर होता है, तो अंत में जमाकर्ता अपनी पूंजी का तीन प्रतिशत खो देता है। अधिकांश लोग इस पर ध्यान नहीं देते हैं, जो कि सबसे खराब आर्थिक गलती है और कई दिवालिया होने का कारण है। यह आर्थिक पुनर्गठन और प्रलय की अवधि के दौरान विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।
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शिक्षा और विज्ञान के लिए संघीय एजेंसी
राज्य शैक्षिक संस्थाउच्चतर
व्यावसायिक शिक्षा
तांबोव राज्य विश्वविद्यालयजीआर के नाम पर डेरझाविन
विषय पर: "निरंतर रुचि के साथ कार्य"
प्रदर्शन किया
5वें वर्ष के छात्र 502 समूह
पूर्णकालिक शिक्षा Geghamyan एम.ए.
तंबोव 2013
1. लगातार विकास बल
2. परिवर्तनीय विकास बल
6. संदर्भ
1. लगातार विकास बल
असतत नाममात्र दर का उपयोग करते समय, संचित राशि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
निरंतर प्रतिशत पर स्विच करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
ब्याज के निरंतर पूंजीकरण के लिए प्रोद्भवन गुणक।
के माध्यम से वृद्धि की शक्ति को निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इसलिये असतत और निरंतर दरें एक दूसरे से कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं, तो हम संचय के गुणकों की समानता लिख सकते हैं
उदाहरण
प्रारंभिक के लिएपूंजी 500 हजार रूबल। अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज - 4 वर्षों के लिए 8% प्रति वर्ष। संचित राशि का निर्धारण करें यदि ब्याज लगातार अर्जित किया जाता है।
निरंतर ब्याज दरों के आधार पर छूट
सूत्र (4.21) में कोई आधुनिक मूल्य निर्धारित कर सकता है
डिस्काउंटिंग में उपयोग की जाने वाली निरंतर ब्याज दर को डिस्काउंट पावर कहा जाता है। यह विकास की ताकत के बराबर है, यानी। छूट बल को छूट देने के लिए उपयोग किया जाता है या विकास बल एक ही परिणाम की ओर ले जाता है।
उदाहरण
परिभाषित करेंभुगतान का वर्तमान मूल्य, यह मानते हुए कि छूट 12% की वृद्धि दर पर और समान आकार की असतत चक्रवृद्धि छूट दर पर की जाती है।
2. परिवर्तनीय विकास बल
इस विशेषता का उपयोग करते हुए, बदलती ब्याज दर के साथ धन की मात्रा बढ़ाने की प्रक्रियाओं का मॉडल तैयार किया जाता है। यदि वृद्धि के बल को समय के किसी निरंतर कार्य द्वारा वर्णित किया जाता है, तो सूत्र मान्य होते हैं।
संचित राशि के लिए:
आधुनिक मूल्य:
1) विकास बल को विवेकपूर्ण रूप से बदलने दें और निम्नलिखित मान लें: समय अंतराल में, फिर ऋण अवधि के अंत में, संचित राशि होगी:
यदि संचय अवधि n है, और औसत वृद्धि मान है: , तो
उदाहरण
5 वर्षों के लिए निरंतर ब्याज प्रोद्भवन के लिए प्रोद्भवन गुणक निर्धारित करें। यदि विकास की ताकत अलग-अलग बदलती है और इससे मेल खाती है: 1 वर्ष - 7%, 2 और 3 - 8%, पिछले 2 वर्ष - 10%।
2) विकास बल समय के साथ निरंतर बदलता रहता है और समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:
विकास की प्रारंभिक शक्ति कहाँ है (पर)
ए - वार्षिक वृद्धि या कमी।
वृद्धि के गुणक की डिग्री की गणना करें:
उदाहरण
आरंभिक मूल्य 8% की वृद्धि बल, ब्याज दर निरंतर और रैखिक है।
वर्ष के लिए वृद्धि -2%, संचय अवधि - 5 वर्ष। वृद्धि कारक ज्ञात कीजिए।
3) विकास की ताकत तेजी से बदलती है, फिर
बढ़ते गुणक:
उदाहरण
गुणक का निर्धारण करें 5 वर्षों के लिए निरंतर ब्याज के साथ, यदि प्रारंभिक विकास बल -10% है, और ब्याज दर सालाना 3% बढ़ जाती है।
ऋण अवधि सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:
स्थिर दर पर अर्जित होने पर
जब एक बदलती दर पर जमा होता है, जब यह तेजी से बदलता है
उदाहरण
के लिए आवश्यक समय निर्धारित करेंनिरंतर ब्याज की दर से अर्जित होने पर मूल में 3 गुना वृद्धि जो निरंतर विकास दर के साथ बदलती है, यदि प्रारंभिक दर- 15%, और इसकी वार्षिक वृद्धि दर -1.05 . है
3. ब्याज दरों की समानता
वित्तीय परिणामों की समानता सुनिश्चित करने वाली दरें समतुल्य या सापेक्ष कहलाती हैं।
संचय गुणक समान होने पर वित्तीय परिणामों की समानता सुनिश्चित की जा सकती है।
अगर भावों में
1) साधारण ब्याज दर
2) छूट दर पर संचित राशि
यदि, तो वृद्धि कारक समान हैं
यदि ऋण अवधि एक साल से कम, तो तुल्यता को समान समय आधारों और भिन्न समय आधारों के दो मामलों के लिए परिभाषित किया गया है।
यदि समय आधार समान हैं (), तो सूत्र इस प्रकार दिखाई देंगे:
यदि दर पर ब्याज का प्रोद्भवन आधार 365 पर किया जाता है, और दर d पर आधार 360 पर किया जाता है, तो यह सत्य है:
उदाहरण
बिल बैंक में पंजीकृत हैइसके प्रचलन की समाप्ति के दिन 8% की छूट दर = 200 (k=360)। साधारण ब्याज की दर से इस ऑपरेशन की लाभप्रदता निर्धारित करें (k=365)।
साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज दरों की समानता
वर्ष में एक बार ब्याज अर्जित करते समय, यह सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
साधारण दर:
कंपाउंड बेट:
उदाहरण
वित्तीय परिणामों को बदले बिना कौन सी जटिल वार्षिक दर 18% (k=365) की साधारण दर को प्रतिस्थापित कर सकती है। ऑपरेशन की अवधि 580 दिन है।
साधारण ब्याज दर और चक्रवृद्धि दर की समानता।
वर्ष में एम बार जमा करते समय, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
उदाहरण
अनुबंध की शर्तों को विकसित करते समयपार्टियों ने सहमति व्यक्त की कि ऋण पर उपज 24% होनी चाहिए। मासिक, त्रैमासिक ब्याज की गणना करते समय नाममात्र दर का आकार क्या होना चाहिए।
साधारण छूट दर और चक्रवृद्धि ब्याज दर की तुल्यता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
नाममात्र चक्रवृद्धि ब्याज दर की तुल्यता जब ब्याज की गणना वर्ष में m बार की जाती है और साधारण छूट दर सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:
जटिल दरों की तुल्यता सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:
चक्रवृद्धि छूट दर और नाममात्र चक्रवृद्धि ब्याज दर की तुल्यता जब ब्याज m बार एक वर्ष में अर्जित होता है, सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
निरंतर और असतत दरों की समानता:
विकास बल और नाममात्र दर की समानता:
बल में एक असतत और रैखिक परिवर्तन के साथ, विकास, साथ ही अगर यह एक स्थिर दर पर बदलता है, तो चक्रवृद्धि ब्याज दरों के साथ समान निर्भरता को सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:
निरंतर छूट दर के लिए विकास बल और छूट दरों की समानता सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:
एक मिश्रित छूट दर के लिए:
टिप्पणी। असतत और निरंतर दरों की तुल्यता के लिए सूत्रों का उपयोग करते हुए, आम तौर पर स्वीकृत विशेषताओं के रूप में निरंतर ब्याज लगाने के परिणाम प्रस्तुत करना संभव है।
4. वित्तीय गणना में औसत मूल्य
कई ब्याज दरों के लिए, उनका औसत मूल्य एक समान मूल्य है। यदि प्राप्त ऋणों की मात्रा समान है, तो साधारण ब्याज के लिए औसत ब्याज दर की गणना भारित औसत सूत्र के अनुसार उस समय अवधि के बराबर भार के साथ की जाती है, जिसके दौरान यह दर प्रभावी थी।
टिप्पणी। दरों के सभी औसत मूल्यों को औसत ब्याज दर से बदलने से प्रोद्भवन या छूट के परिणाम नहीं बदलते हैं:
उदाहरण
उद्यम को वर्ष के दौरान समान आकार के 500 हजार रूबल के 2 ऋण प्राप्त हुए। हर एक। 10% प्रति वर्ष की दर से 3 महीने के लिए 1 ऋण। 2 ऋण - 9 महीने के लिए 16% प्रतिवर्ष की दर से। औसत ब्याज दर निर्धारित करें, संचित राशियों की गणना करके परिणाम की जांच करें।
विभिन्न ब्याज दरों पर जारी किए गए विभिन्न आकारों के ऋण प्राप्त करते समय सामान्य दरप्राप्त ऋणों की मात्रा और उन्हें जारी की गई शर्तों के उत्पादों के बराबर भार के साथ भारित औसत सूत्र के अनुसार भी गणना की जाती है।
छूट दर की औसत साधारण छूट दर की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
के लिए औसत दर चक्रवृद्धि ब्याजसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
क्रेडिट संस्थानों के काम का विश्लेषण करते समय, संकेतकों की गणना की जाती है: औसत ऋण आकार, इसकी औसत अवधि, ऋण टर्नओवर की औसत संख्या और अन्य संकेतक।
प्रति वर्ष टर्नओवर की संख्या को छोड़कर, एक ऋण के औसत आकार की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
सूत्र के अनुसार प्रति वर्ष टर्नओवर की संख्या को ध्यान में रखते हुए:
घुमावों की संख्या कहाँ है,
अवधि
K ऋण प्राप्त करने वाले ग्राहकों की संख्या है।
सभी ऋणों का औसत आकार, प्रति वर्ष टर्नओवर की संख्या को ध्यान में रखते हुए, वर्ष के लिए सभी ऋणों पर ऋण की शेष राशि को दर्शाता है। यह एक ऋण के औसत आकार के बराबर है, वर्ष के लिए टर्नओवर को ध्यान में रखते हुए, ऋण प्राप्त करने वाले ग्राहकों की संख्या से गुणा किया जाता है:
कुल कारोबार कहां है, यानी। अवधि के दौरान चुकाए गए ऋणों की राशि।
प्रति वर्ष टर्नओवर की संख्या को ध्यान में रखते हुए सभी ऋणों का औसत संतुलन, क्रेडिट संस्थान की मासिक बैलेंस शीट के अनुसार औसत कालानुक्रमिक क्षण श्रृंखला के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो सूत्र के अनुसार ऋण जारी करता है:
जारी किए गए ऋणों की मासिक शेष राशि कहां है।
व्यक्तिगत ऋणों के टर्नओवर की संख्या, अध्ययन की अवधि के लिए उनके निरंतर कारोबार के अधीन, अवधि की अवधि को ऋण की अवधि से विभाजित करने के भागफल के रूप में निर्धारित की जाती है।
अवधि के लिए सभी ऋणों के टर्नओवर की औसत संख्या, बशर्ते कि उनका निरंतर कारोबार होता है, डेटा की उपलब्धता के आधार पर सूत्र द्वारा गणना की जाती है।
व्यक्तिगत ऋण या सामान्य रूप से सभी ऋणों की औसत ऋण अवधि की गणना विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके की जाती है
तुल्यता रूपांतरण छूट दर
5. देनदारियों की वित्तीय समानता और भुगतान का रूपांतरण
एक मौद्रिक दायित्व को दूसरे के साथ बदलना या कई भुगतानों को एक में जोड़ना दायित्वों की वित्तीय तुल्यता के सिद्धांत पर आधारित है।
समतुल्य भुगतान वे होते हैं जो समय में एक ही बिंदु तक कम होने पर समान हो जाते हैं। यह प्रोद्भवन और छूट फ़ार्मुलों से अनुसरण करता है। दो राशियाँ और समान मानी जाती हैं यदि उनके वर्तमान मूल्य एक समय में समान हों; ब्याज दर में वृद्धि के साथ, वर्तमान मूल्यों का आकार घट जाता है। वह दर जिस पर क्रिटिकल या बैरियर कहा जाता है। यह समानता से बाहर आता है।
चक्रवृद्धि ब्याज दर के मामले में, सूत्र का उपयोग करके बाधा दर की गणना की जाती है:
मौद्रिक राशियों के भुगतान की शर्तों में विभिन्न परिवर्तनों के मामले में वित्तीय तुल्यता का सिद्धांत लागू होता है। ऐसी समस्याओं को हल करने का एक सामान्य तरीका एक तुल्यता समीकरण विकसित करना है जिसमें प्रतिस्थापन भुगतान की राशि एक निश्चित बिंदु तक कम हो जाती है, उसी तिथि तक कम किए गए नए दायित्व पर भुगतान की राशि के बराबर होती है। अल्पकालिक दायित्वों के लिए, एक साधारण का उपयोग किया जाता है, मध्यम और दीर्घकालिक दायित्वों के लिए, एक जटिल का उपयोग किया जाता है।
अनुबंधों की शर्तों को बदलने के सबसे आम मामलों में से एक समेकन है, अर्थात। भुगतान का समेकन। 2 समस्या सेटिंग्स हैं:
1) अवधि निर्धारित है और भुगतान की राशि का पता लगाना आवश्यक है;
2) समेकित भुगतान की राशि दी गई है, इसकी अवधि निर्धारित करना आवश्यक है।
कई भुगतानों को एक में समेकित करते समय, बशर्ते कि नए भुगतान की अवधि पहले से स्थापित अवधि से अधिक हो, तुल्यता समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:
समेकित भुगतान की संचित राशि कहाँ है,
समेकन के अधीन भुगतान,
और के बीच का समय अंतराल:
सामान्य तौर पर, समेकित भुगतान का मूल्य इस तरह दिखेगा:
संयुक्त भुगतान की राशि, जिसकी परिपक्वता पहली अवधि से कम है; - नए कार्यकाल से अधिक की शर्तों के साथ संयुक्त भुगतान की राशि।
बिलों को समेकित करते समय, छूट दर को ध्यान में रखा जाता है और समेकित भुगतान की राशि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
चक्रवृद्धि ब्याज दर का उपयोग करके भुगतानों को समेकित करते समय, समेकित राशि की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:
यदि समेकित भुगतान की राशि ज्ञात है और तुल्यता के सिद्धांत को बनाए रखते हुए, इसके समेकन की अवधि निर्धारित करना आवश्यक है:
आधुनिक भुगतान का समेकित मूल्य कहां है। यदि साझेदार भुगतान की कुल राशि को बदले बिना भुगतान को समेकित करने के लिए सहमत हैं, तो समेकित भुगतान की अवधि:
समेकित भुगतान के भुगतान के लिए देय तिथि की गणना के लिए छूट दरों का उपयोग किया जा सकता है, फिर गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
चक्रवृद्धि ब्याज का उपयोग करने के मामले में, सूत्र इस तरह दिखते हैं:
ग्रन्थसूची
1. कोचोविच ई. वित्तीय गणित: वित्तीय बैंकिंग बस्तियों का सिद्धांत और व्यवहार। - एम.: वित्त और सांख्यिकी, 2004
2. कसीना एफ.ए. वित्तीय गणना- वित्तीय गणना: ट्यूटोरियल/ एफ.ए. कसीना। - टॉम्स्क: एल कंटेंट, 2011।
3. सेलेज़नेवा एन.एन., आयनोवा ए.एफ. वित्तीय प्रबंधन। कार्य, परिस्थितियाँ, परीक्षण, योजनाएँ: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए भत्ता। - एम .: यूनिटी-दाना, 2004. - 176 पी।
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असतत और निरंतर ब्याज दरें एक कार्यात्मक संबंध में हैं, जिसके लिए निरंतर से असतत ब्याज की गणना से संक्रमण करना संभव है और इसके विपरीत। एक दर से दूसरी दर में समतुल्य संक्रमण का सूत्र संगत संचय गुणकों की बराबरी करके प्राप्त किया जा सकता है
(1+i)एन=ईएसएन।
उदाहरण 13
वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर 15% है, जो कि समान वृद्धि दर है,
समाधान।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं (50)
q=N(1+^=N(1+0.15)=0.t76,
वे। बराबर विकास बल 13.976% है।
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कई व्यावहारिक कार्यों में, प्रारंभिक (आर) और अंतिम (बी) राशियां अनुबंध द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं, और यह या तो भुगतान अवधि या ब्याज दर निर्धारित करने के लिए आवश्यक है, जिसमें, इस मामले मेंबाजार संकेतकों के साथ तुलना और लेनदार के लिए संचालन की लाभप्रदता की एक विशेषता के रूप में कार्य कर सकता है। इन मानों को मूल अभिवृद्धि या छूट फ़ार्मुलों से खोजना आसान है। तथ्य की बात के रूप में, दोनों ही मामलों में उलटा समस्या एक निश्चित अर्थ में हल हो जाती है।
ऋण की अवधि
समझौते के मापदंडों को विकसित करते समय और वांछित परिणाम प्राप्त करने के समय का आकलन करते समय, लेन-देन के शेष मापदंडों के माध्यम से संचालन की अवधि (ऋण की अवधि) निर्धारित करना आवश्यक है। आइए इस प्रश्न पर अधिक विस्तार से विचार करें।
ए) एक चक्रवृद्धि वार्षिक दर पर निर्माण करते समय i. मूल विकास सूत्र से
5=पी(1+i)एन
उसका अनुसरण करता है
एन \u003d 1o (बी / आर) (52)
पहला(1+1)'
जहाँ लघुगणक को किसी भी आधार में लिया जा सकता है, क्योंकि यह अंश और हर दोनों में मौजूद होता है।
5=पी(1+जे/एम) एमएन
हमें मिला
एन =
टी आईओएस (1 + वाई आई टी)
सी) जब एक चक्रवृद्धि वार्षिक छूट दर पर छूट दी जाती है डी। सूत्र से
पी = एस (1 डी) एन
हमारे पास n = 1o (पी 15) है। (54)
पहला(1 - ^
डी) जब मामूली छूट दर पर छूट दी जाती है तो साल में कई बार। से
पी = एस (1 एफ / एम) एमएन
हम सूत्र पर पहुंचते हैं
n \u003d 1o8 (पी 15)। (55)
टी 1o§(1 - /1 टी)
विकास के निरंतर बल पर निर्माण करते समय। आधारित
बी = आरवी 3 पी
हमें मिला
आईपी (बी / पी) = बीपी।
ब्याज दर गणना
ऊपर के समान प्रारंभिक सूत्रों से, हम ब्याज दरों के लिए भाव प्राप्त करते हैं।
ए) एक जटिल वार्षिक दर पर निर्माण करते समय I. मूल संचय सूत्र से
बी=पी(1+1)एन
उसका अनुसरण करता है
""मैं।"1
बी) निर्माण करते समय नाममात्र दरप्रतिशत टी साल में एक बार सूत्र से
बी = पी (1+] / एम) एम
सी) जब एक चक्रवृद्धि वार्षिक छूट दर पर छूट दी जाती है डी। सूत्र से
पी \u003d बी (पहला) पी
हमारे पास ई = 1 - (§) है। (59)
डी) जब साल में एक बार मामूली छूट दर टी पर छूट दी जाती है। से
पी = बी (1// टी) टीपी
हम सूत्र पर पहुंचते हैं
1 /(टीपी)
ई) विकास के निरंतर बल पर निर्माण करते समय। आधारित
हमें मिला
ब्याज और मुद्रास्फीति
मुद्रास्फीति का परिणाम पैसे की क्रय शक्ति में गिरावट है, जो कि अवधि के लिए पी सूचकांक जे द्वारा विशेषता है। क्रय शक्ति सूचकांक मूल्य सूचकांक जेपी के पारस्परिक के बराबर है, अर्थात।
जं 1/जपा
मूल्य सूचकांक दर्शाता है कि एक निर्दिष्ट अवधि में कीमतों में कितनी बार वृद्धि हुई है।
साधारण ब्याज का उपार्जन
यदि n वर्षों में संचित धन की राशि S है, और मूल्य सूचकांक Jp के बराबर है, तो उनकी क्रय शक्ति को ध्यान में रखते हुए वास्तव में संचित धन की राशि के बराबर है
सी = एस / जेपी।
अनुमानित औसत वार्षिक मुद्रास्फीति दर (प्रति वर्ष कीमतों में वृद्धि की विशेषता) को बी के बराबर होने दें। तब वार्षिक मूल्य सूचकांक (1 + b.) होगा।
यदि संचय P वर्षों के लिए एक साधारण दर से किया जाता है, तो मुद्रास्फीति दर b पर वास्तविक संचयन होगा
सी \u003d पी (1 + डब्ल्यू)
सामान्य तौर पर कहाँ
पी
जेपी \u003d पी (1 + के),
आर = 1
और, विशेष रूप से, स्थिर मूल्य वृद्धि दर h पर,
जेपी = (1 + एच) एन। (66)
साधारण ब्याज की गणना करने पर मुद्रास्फीति की क्षतिपूर्ति करने वाली ब्याज दर है
71
मैं = पी1. (67)
पी
पैसे के मूल्यह्रास की भरपाई करने का एक तरीका तथाकथित मुद्रास्फीति प्रीमियम की राशि से ब्याज दर में वृद्धि करना है। इस प्रकार समायोजित की गई दर को सकल दर कहते हैं। सकल दर, जिसे हम प्रतीक जी द्वारा निरूपित करेंगे, वास्तविक ब्याज दर पर मुद्रास्फीति-समायोजित सकल दर प्रोद्भवन गुणक से प्रोद्भवन गुणक की समानता से पाई जाती है।
1+pg = 1 + nі, (68)
-आर
कहाँ पे
आर = (1 + ती)पी 1. (69)
पी
चक्रवृद्धि ब्याज अभिवृद्धि
ऋण अवधि के अंत तक चक्रवृद्धि ब्याज द्वारा अर्जित राशि, पैसे की क्रय शक्ति में गिरावट (यानी निरंतर रूबल में) को ध्यान में रखते हुए होगी
सी \u003d पी (1 + 01, (70)
जहां मुद्रास्फीति दर की परिवर्तनशीलता या स्थिरता के आधार पर मूल्य सूचकांक अभिव्यक्ति (65) या (66) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
इस मामले में, पैसे की क्रय शक्ति में गिरावट की भरपाई i=h दर से की जाती है, जो समानता C=P सुनिश्चित करती है।
चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करते समय पैसे की क्रय शक्ति में कमी से होने वाले नुकसान की भरपाई के दो तरीके हैं।
ए) ब्याज दर का समायोजन जिस पर मुद्रास्फीति प्रीमियम की राशि से संचय किया जाता है। मुद्रास्फीति प्रीमियम से बढ़ी हुई ब्याज दर को सकल दर कहा जाता है। हम इसे प्रतीक r द्वारा निरूपित करेंगे। यह मानते हुए कि वार्षिक मुद्रास्फीति दर b के बराबर है, हम संबंधित संचय कारकों की समानता लिख सकते हैं
- = 1 + /, (71)
1 + और
जहां मैं वास्तविक दर है।
यहाँ से हम फिशर सूत्र प्राप्त करते हैं
आर = मैं + एच + आईएच। (72)
यानी मुद्रास्फीति प्रीमियम h+ih के बराबर है।
बी) प्रारंभिक राशि पी का सूचकांक। इस मामले में, राशि पी को पूर्व निर्धारित सूचकांक की गति के अनुसार समायोजित किया जाता है। फिर
एस=पीजेपी(1+i)एन। (73)
यह देखना आसान है कि दोनों मामलों में ए) और बी के मामले में) हम एक ही विकास सूत्र (73) के साथ समाप्त होते हैं। इसमें, दाईं ओर के पहले दो कारक प्रारंभिक राशि के सूचकांक को दर्शाते हैं, और अंतिम दो - ब्याज दर का समायोजन।
माप वास्तविक दरप्रतिशत
व्यवहार में, उलटा समस्या को हल करना भी आवश्यक है - मुद्रास्फीति के संदर्भ में वास्तविक ब्याज दर का पता लगाना। संचय गुणकों के बीच समान अनुपात से, किसी दिए गए (या घोषित) सकल दर r के लिए वास्तविक दर i निर्धारित करने वाले सूत्रों को प्राप्त करना मुश्किल नहीं है।
साधारण ब्याज की गणना करते समय, वार्षिक वास्तविक ब्याज दर बराबर होती है
(एल \
1 + पीजी
1
आर
चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करते समय, वास्तविक ब्याज दर निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है
1 + Y Y - I / YYYH
मैं = 1 =। (75)
1+मैं 1+मैं
सिद्धांत के व्यावहारिक अनुप्रयोग
आइए हम उस सिद्धांत के कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर विचार करें जिन पर हमने विचार किया है। हम दिखाएंगे कि कुछ वित्तीय लेनदेन की दक्षता की गणना की वास्तविक समस्याओं को हल करने में ऊपर प्राप्त सूत्र कैसे लागू होते हैं, और विभिन्न गणना विधियों की तुलना करते हैं।
मुद्रा रूपांतरण और ब्याज गणना
मुद्रा रूपांतरण (विनिमय) और साधारण ब्याज के संचय के संयोजन पर विचार करें, जमा में उपलब्ध धन के प्रत्यक्ष स्थान से या किसी अन्य मुद्रा के लिए प्रारंभिक विनिमय के बाद परिणामों की तुलना करें। कुल मिलाकर, ब्याज अर्जित करने के लिए 4 विकल्प हैं:
1. कोई रूपांतरण नहीं। विदेशी मुद्रा निधियों को विदेशी मुद्रा जमा के रूप में रखा जाता है, प्रारंभिक राशि को सीधे साधारण ब्याज सूत्र को लागू करके विदेशी विनिमय दर पर बढ़ाया जाता है।
2. रूपांतरण के साथ। प्रारंभिक मुद्रा निधि को रूबल में परिवर्तित किया जाता है, संचय रूबल दर पर होता है, ऑपरेशन के अंत में रूबल राशि को मूल मुद्रा में वापस बदल दिया जाता है।
3. कोई रूपांतरण नहीं। रूबल राशि को रूबल जमा के रूप में रखा जाता है, जिस पर साधारण ब्याज सूत्र के अनुसार रूबल की दर से ब्याज अर्जित किया जाता है।
4. रूपांतरण के साथ। रूबल राशि को एक विशिष्ट मुद्रा में परिवर्तित किया जाता है, जिसे विदेशी मुद्रा जमा में निवेश किया जाता है। विदेशी विनिमय दर पर ब्याज लगाया जाता है। ऑपरेशन के अंत में संचित राशि को वापस रूबल में बदल दिया जाता है।
रूपांतरण के बिना संचालन मुश्किल नहीं है। दोहरे रूपांतरण प्रोद्भवन संचालन में आय के दो स्रोत हैं: ब्याज उपार्जन और विनिमय दर परिवर्तन। इसके अलावा, ब्याज की गणना एक बिना शर्त स्रोत है (दर तय है, मुद्रास्फीति पर अभी विचार नहीं किया गया है)। विनिमय दर में परिवर्तन या तो एक या दूसरी दिशा में हो सकता है, और यह अतिरिक्त आय का स्रोत हो सकता है और नुकसान का कारण बन सकता है। इसके बाद, हम विशेष रूप से दो विकल्पों (2 और 4) पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जो दोहरा रूपांतरण प्रदान करते हैं।
आइए पहले निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
पीवी - विदेशी मुद्रा में जमा राशि,
पीआर रूबल में जमा राशि है,
Sv - मुद्रा में संचित राशि,
सीन - रूबल में संचित राशि,
^ - लेन-देन की शुरुआत में विनिमय दर (रूबल में विनिमय दर)
^ - ऑपरेशन के अंत में विनिमय दर, पी - जमा की अवधि,
- रूबल राशियों के लिए प्रोद्भवन दर (दशमलव अंश के रूप में),
j एक विशिष्ट मुद्रा के लिए प्रोद्भवन दर है।
विकल्प: मुद्रा रूबल के लिए ^ रूबल ^ मुद्रा ऑपरेशन में तीन चरण होते हैं: रूबल के लिए मुद्रा का आदान-प्रदान, रूबल राशि का संचय, मूल मुद्रा में रूबल राशि का रिवर्स रूपांतरण। विदेशी मुद्रा में लेनदेन के अंत में प्राप्त अर्जित राशि होगी
= RuK- (1 + pi)!.
k1
जैसा कि आप देख सकते हैं, ऑपरेशन के तीन चरण इस सूत्र में तीन कारकों के रूप में परिलक्षित होते हैं।
दोहरे रूपांतरण को ध्यान में रखते हुए वृद्धि का गुणक बराबर है
K0 , h 1 + pі 1 + pі,
प्रति
के ओ
जहां k=Kl/ko ऑपरेशन की अवधि के लिए विनिमय दर की वृद्धि दर है।
हम देखते हैं कि वृद्धि कारक m किससे संबंधित है? रैखिक निर्भरतादर I के साथ और ऑपरेशन K के अंत में विनिमय दर के साथ उलटा (या विनिमय दर k की वृद्धि दर के साथ)।
आइए हम सैद्धांतिक रूप से योजना के अनुसार दोहरे रूपांतरण ऑपरेशन की कुल लाभप्रदता की निर्भरता का अध्ययन करें मुद्रा ^ रूबल ^ रूबल ^ मुद्रा अंतिम और प्रारंभिक विनिमय दरों के अनुपात पर k।
साधारण वार्षिक ब्याज दर, जो समग्र रूप से संचालन की लाभप्रदता की विशेषता है, के बराबर है
/ = ^पी,.
*,") टीएमटीएम
* आरपी
इस सूत्र में Bu . के लिए पहले से लिखे गए व्यंजक को प्रतिस्थापित कीजिए
-(1 + मी)1
K1 1 (1 + मी) 1?
निष्कर्ष 1: यदि k या K1 के अपेक्षित मान उनके महत्वपूर्ण मूल्यों से अधिक हैं, तो ऑपरेशन स्पष्ट रूप से लाभहीन है
Ceff अब चलो ऑपरेशन Ki के अंत में विनिमय दर का अधिकतम स्वीकार्य मूल्य निर्धारित करते हैं, जिस पर दक्षता मुद्रा में जमा पर मौजूदा दर के बराबर होगी, और दोहरे रूपांतरण का उपयोग कोई अतिरिक्त लाभ प्रदान नहीं करता है। ऐसा करने के लिए, हम दो वैकल्पिक परिचालनों के लिए वृद्धि कारकों की बराबरी करते हैं
प्रति
1 + एनजे = मिमी (1 + नी)
K1
लिखित समानता से यह इस प्रकार है कि
करने के लिए 1 + ni
अधिकतम K1 = K0
1 + एनजे
या
कश्मीर, 1 + नि
अधिकतम कश्मीर = -एल =
के ओ 1 + एनजे
निष्कर्ष 2: रूबल में रूपांतरण के माध्यम से एक मुद्रा जमा विदेशी मुद्रा जमा की तुलना में अधिक लाभदायक है यदि ऑपरेशन के अंत में विनिमय दर अधिकतम K1 से कम होने की उम्मीद है।
विकल्प: रूबल ^ मुद्रा ^ मुद्रा ^ रूबल
आइए अब दोहरे रूपांतरण वाले विकल्प पर विचार करें, जब रूबल में प्रारंभिक राशि हो। इस मामले में, ऑपरेशन के तीन चरण संचित राशि के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति के तीन कारकों के अनुरूप हैं
पी के
एस = के(1 + एनजे)के 1= पीआर (1 + एनजे)एल
K0 K0
यहां भी, प्रोद्भवन गुणक दर पर रैखिक रूप से निर्भर करता है, लेकिन अब मुद्रा ब्याज दर पर। यह अंतिम विनिमय दर पर भी रैखिक रूप से निर्भर करता है।
आइए दोहरे रूपांतरण के साथ इस ऑपरेशन की प्रभावशीलता का सैद्धांतिक विश्लेषण करें और महत्वपूर्ण बिंदुओं का निर्धारण करें।
संपूर्ण रूप से ऑपरेशन की लाभप्रदता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है
«¦ =.
1 "टीएमजीएम"
ई आरजीपी
इसलिए, Sr के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
प्रति
(1 + एन])1. \u003d को " \u003d * (1 + n]) 1
"ई11
पी
k पर दक्षता संकेतक ieff की निर्भरता रैखिक है, इसे अंजीर में दिखाया गया है। 3
k=1 के लिए =/", k>1 >;" के लिए, к के लिए आइए अब k* का क्रांतिक मान ज्ञात करें, जिस पर bff=0. यह बराबर हो जाता है
के* =^^ या के*1 = के^~।
1 + n 1 + n
निष्कर्ष 3: यदि अपेक्षित मान k या ^ उनके महत्वपूर्ण मूल्यों से कम हैं, तो ऑपरेशन स्पष्ट रूप से लाभहीन है
(ІЗФФ न्यूनतम स्वीकार्य मूल्य k (संचालन की पूरी अवधि के लिए विनिमय दर की वृद्धि दर), रूबल में प्रत्यक्ष जमा के समान लाभप्रदता प्रदान करता है, द्वारा निर्धारित किया जाता है
वैकल्पिक संचालन के लिए गुणक और वेतन वृद्धि की बराबरी करने के विषय (या समानता ieff=i से)
प्रति
- एल(1 + एनजे) = 1 + नी,
K0
1 + नी 1 + नी जहां से मिमी k = या मिमी k = K
1 + एनजे 1 0 1 + एनजे
निष्कर्ष 4: मुद्रा रूपांतरण के माध्यम से रूबल राशि जमा करना रूबल जमा की तुलना में अधिक लाभदायक है यदि लेनदेन के अंत में विनिमय दर न्यूनतम K1 से अधिक होने की उम्मीद है।
अब मुद्रा रूपांतरण और चक्रवृद्धि ब्याज के संचय के संयोजन पर विचार करें। हम खुद को एक विकल्प तक सीमित रखेंगे।
विकल्प: मुद्रा ^ रूबल ^ रूबल ^ मुद्रा
संचित राशि के लिए ऑपरेशन के तीन चरण एक सूत्र में लिखे गए हैं
एसवी = पीवीके 0(1+i) एनके"
किओ
जहां मैं चक्रवृद्धि ब्याज दर है।
संचय गुणक
एनकेओ _ (1 + आई) एन
K1k
7 के
जहाँ k = - परिचालन अवधि के लिए विनिमय दर की वृद्धि दर है। कश्मीर 0
आइए हम वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर के रूप में परिचालन की लाभप्रदता को समग्र रूप से निर्धारित करें।
चक्रवृद्धि ब्याज प्रोद्भवन सूत्र से
एस=पी(1+i)एन
उसका अनुसरण करता है
में
]पीवी
इस सूत्र में BU का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है
पी(1 + ओपीजीजी,।
बी = जी, ^1 = 1+11।
इस अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है कि विकास दर k में वृद्धि के साथ, दक्षता कम हो जाती है। यह अंजीर में ग्राफ में दिखाया गया है। 4.
चावल। 4.
विश्लेषण से पता चलता है कि k = 1 1e = I के लिए, k > 1 1e I के लिए।
k का क्रांतिक मान, जिस पर संक्रिया की दक्षता शून्य है, अर्थात्। बी = 0,
k* = (1 + 1)p के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि विनिमय दर की वृद्धि की औसत वार्षिक दर रूबल दर पर विकास की वार्षिक दर के बराबर है: Vk = 1 + r।
निष्कर्ष 5: यदि k या K के अपेक्षित मान उनके महत्वपूर्ण मूल्यों से अधिक हैं, तो दोहरे रूपांतरण के साथ विचाराधीन लेनदेन स्पष्ट रूप से लाभहीन है (b। 4) संबंधित विकास कारकों की समानता से पाया जाता है
(1 +1) मैं
(1 + एल)एन =
केटी?
कहाँ पे
पी
1 +1
या अधिकतम के = के
1 एल (
1 + वाई, 1 "VI + वाई,
निष्कर्ष 6: रूबल में रूपांतरण के माध्यम से एक मुद्रा जमा विदेशी मुद्रा जमा की तुलना में अधिक लाभदायक है यदि लेनदेन के अंत में विनिमय दर अधिकतम से कम होने की उम्मीद है
किश्तों में ऋण चुकौती वित्तीय लेनदेन की रूपरेखा
वित्तीय या क्रेडिट संचालन में निवेश और वापसी का संतुलन शामिल है। संतुलन की अवधारणा को ग्राफ पर समझाया जा सकता है। लेकिन)
में
मैं,।
टी
बी)
चावल। पांच।
बीओ की राशि में एक ऋण अवधि टी के लिए जारी किया जाता है। इस अवधि के दौरान, दो अंतरिम भुगतान K और Kr ऋण का भुगतान करने के लिए किए जाते हैं, और अवधि के अंत में ऋण K3 के शेष का भुगतान किया जाता है, संक्षेप में ऑपरेशन का संतुलन।
समय अंतराल वें पर, ऋण इस समय Bb B के मान तक बढ़ जाता है और ऋण K1 = B1K1, आदि के मान तक कम हो जाता है। ऋण Kz की शेष राशि के लेनदार द्वारा रसीद के साथ ऑपरेशन समाप्त होता है। इस बिंदु पर, ऋण पूरी तरह से चुकाया जाता है।
आइए एक प्रकार के शेड्यूल को कॉल करें b) एक वित्तीय लेनदेन की रूपरेखा। एक संतुलित ऑपरेशन में आवश्यक रूप से एक बंद लूप होता है, अर्थात। अंतिम भुगतान पूरी तरह से ऋण की शेष राशि को कवर करता है। लेन-देन की रूपरेखा आमतौर पर आंशिक मील के पत्थर के भुगतान के साथ ऋण का भुगतान करते समय लागू होती है।
क्रमिक आंशिक भुगतानों की सहायता से, अल्पकालिक दायित्वों को कभी-कभी चुकाया जाता है। इस मामले में, ब्याज की गणना और ऋण की शेष राशि का निर्धारण करने के लिए दो तरीके हैं। पहले को बीमांकिक कहा जाता है और इसका उपयोग मुख्य रूप से एक वर्ष से अधिक की अवधि के लेनदेन में किया जाता है। दूसरी विधि को व्यापारी का नियम कहा जाता है। यह आमतौर पर वाणिज्यिक फर्मों द्वारा एक वर्ष से अधिक की अवधि के लेनदेन में उपयोग किया जाता है।
नोट: ब्याज की गणना करते समय, एक नियम के रूप में, साधारण ब्याज का उपयोग लगभग दिनों की समयावधि के साथ किया जाता है।
बीमांकिक विधि
बीमांकिक पद्धति में ऋण की वास्तविक राशि पर ब्याज की क्रमिक गणना शामिल है। आंशिक भुगतान मुख्य रूप से भुगतान की तारीख पर अर्जित ब्याज को चुकाने के लिए जाता है। यदि भुगतान की राशि अर्जित ब्याज की राशि से अधिक है, तो अंतर ऋण की मूल राशि को चुकाने के लिए जाता है। ऋण का बकाया शेष अगली अवधि आदि के लिए ब्याज की गणना के आधार के रूप में कार्य करता है। यदि आंशिक भुगतान अर्जित राशि से कम है
प्रतिशत, तो ऋण की राशि में कोई ऑफसेट नहीं किया जाता है। यह आय अगले भुगतान में जोड़ दी जाती है।
अंजीर में दिखाए गए मामले के लिए। 5 बी), हम ऋण के संतुलन को निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गणना सूत्र प्राप्त करते हैं:
के1=बो(1+बी1)के1; K2=Kb(1+b21)K2; K2(1+bz1)Kz=0,
जहां समय अवधि bb, b2, bz वर्षों में दी गई है, और ब्याज दर I वार्षिक है।
व्यापारी का नियम
किश्तों की गणना के लिए व्यापारी नियम एक और तरीका है। यहां दो स्थितियां संभव हैं।
1) यदि ऋण की अवधि अधिक नहीं होती है, तो पूरी अवधि के लिए अर्जित ब्याज के साथ ऋण की राशि पूर्ण चुकौती तक अपरिवर्तित रहती है। उसी समय, अवधि के अंत तक उन पर अर्जित ब्याज के साथ आंशिक भुगतान का संचय होता है।
2) उस स्थिति में जब अवधि एक वर्ष से अधिक हो जाती है, उपरोक्त गणना ऋण की वार्षिक अवधि के लिए की जाती है। वर्ष के अंत में, संचित आंशिक भुगतान की संचित राशि को ऋण की राशि से काट लिया जाता है। बाकी का भुगतान अगले साल किया जाता है।
कुल ऋण अवधि टी एम . के साथ
एस \u003d डी - के \u003d पी (एल + एल) -? आरजे (1 + टीजेआई),
]=1
जहां ई अवधि के अंत में ऋण का संतुलन है,
बी - ऋण की संचित राशि,
के - भुगतान की संचित राशि,
यू - आंशिक भुगतान की राशि,
बी) - भुगतान के क्षण से अवधि के अंत तक का समय अंतराल, टी - आंशिक (अंतरिम) भुगतानों की संख्या।
परिवर्तनीय चालान राशि और ब्याज गणना
उस स्थिति पर विचार करें जब बैंक में एक बचत खाता खोला जाता है, और खाते की राशि भंडारण अवधि के दौरान बदल जाती है: धन वापस ले लिया जाता है, अतिरिक्त योगदान किया जाता है। फिर बैंकिंग अभ्यास में, ब्याज की गणना करते समय, वे अक्सर तथाकथित प्रतिशत संख्याओं की गणना के साथ गणना पद्धति का उपयोग करते हैं। हर बार खाते की शेष राशि में परिवर्तन होता है, पिछली अवधि में प्रतिशत Cj की गणना की जाती है, जिसके दौरान सूत्र का उपयोग करके खाता शेष अपरिवर्तित रहता है
से। = आर.,
100 . पर
जहां ^ दिनों में ]वें अवधि की अवधि है।
संपूर्ण अवधि के लिए अर्जित ब्याज की राशि का निर्धारण करने के लिए, सभी ब्याज संख्याओं को जोड़ा जाता है और उनकी राशि को एक स्थिर भाजक D से विभाजित किया जाता है:
बी = के,
जहां K समय का आधार है (एक वर्ष में दिनों की संख्या, यानी 360 या 365 या 366), i वार्षिक साधारण ब्याज दर (% में) है।
खाता बंद करते समय, मालिक को खाते की राशि के अंतिम मूल्य और ब्याज की राशि के बराबर राशि प्राप्त होगी।
उदाहरण 14
मान लीजिए कि 20 फरवरी को P1 = 3000 रूबल की राशि में एक मांग खाता खोला गया था, जमा पर ब्याज दर r = 20% प्रति वर्ष के बराबर थी। खाते में अतिरिक्त योगदान की राशि Rl=2000 रूबल थी। और 15 अगस्त को बनाया गया था। खाते से R2=4000 रूबल की राशि में निकासी। 1 अक्टूबर को रिकॉर्ड किया गया और 21 नवंबर को खाता बंद कर दिया गया। खाता बंद करने पर जमाकर्ता द्वारा प्राप्त ब्याज की राशि और कुल राशि का निर्धारण करना आवश्यक है।
समाधान।
गणना योजना (360/360) के अनुसार की जाएगी। ऐसी तीन अवधियाँ हैं जिनके दौरान खाते में राशि अपरिवर्तित रही: 20 फरवरी से 15 अगस्त तक
^1 = 3000, यू = 10 + 5*30 + 15 = 175),?
15 अगस्त से 1 अक्टूबर तक
(P2 = P1 + R1 = 3000 + 2000 = 5000 रूबल, b = 15 + 30 + 1 = 46), 1 अक्टूबर से 21 नवंबर तक
(Pz = P2 + R2 = 5000 - 4000 = 1000 रूबल, bz = 29 + 21 = 50)। प्रतिशत खोजें
आर * डी 3000 सी। \u003d -k \u003d \u003d 5250,
1 1एलएल 1एल
=2300,
स्थिर भाजक
बी=के/1=360/20=18।
ब्याज की राशि है
मैं \u003d (सी, + सी 2 + सी 3) / बी \u003d 5250 + 2300 + 500 \u003d 447 रूबल। 22 कोप.
18
खाता बंद करने पर भुगतान की गई राशि बराबर है
आरजेड + आई \u003d 1000 + 447.22 \u003d 1447 रूबल। 22 कोप.
अब हम इस तकनीक का साधारण ब्याज सूत्र के साथ संबंध दिखाएंगे। उपरोक्त उदाहरण को बीजीय रूप में लें।
खाता बंद करने पर भुगतान की गई राशि, हम इस प्रकार पाते हैं
आरएल, + (पी + ओ वी 2 + (पी + पी। + 02 ^ 3 /
P3 +1 \u003d P + R1 + P2 + ^-^ 1 "2 V 1 1 ^3 _
100 के
t1 +2 +13 I 1, o (, 2 +13 I 1, o (l, t3 I .)
= P.1 1 +1 2 ^ 1 + O 1 + ^ ^ 1 + P2| 1 +31 ^ के 100) ^ के 100) ^ के100
इस प्रकार, हमने एक व्यंजक प्राप्त किया है जिससे यह इस प्रकार है कि प्रत्येक राशि के लिए जोड़ा या हटाया गया
खाते से, उस समय से ब्याज अर्जित किया जाता है, जब तक खाता बंद होने तक संबंधित संचालन किया जाता है। यह योजना धारा 6.2 में चर्चा किए गए व्यापारी के नियम का पालन करती है।
अनुबंध की शर्तों में बदलाव
व्यवहार में, अनुबंध की शर्तों को बदलना अक्सर आवश्यक हो जाता है: उदाहरण के लिए, देनदार ऋण की परिपक्वता में देरी के लिए कह सकता है या इसके विपरीत, कुछ मामलों में इसे समय से पहले चुकाने की इच्छा व्यक्त कर सकता है। कई ऋण दायित्वों को एक में संयोजित (समेकित) करने की आवश्यकता हो सकती है, आदि। इन सभी मामलों में, पुराने (प्रतिस्थापित) और नए (प्रतिस्थापन) दायित्वों की वित्तीय तुल्यता का सिद्धांत लागू होता है। अनुबंध की शर्तों को बदलने की समस्याओं को हल करने के लिए, एक तथाकथित तुल्यता समीकरण विकसित किया जाता है, जिसमें प्रतिस्थापन भुगतान की राशि, किसी एक समय में कम हो जाती है, एक नए दायित्व के लिए भुगतान की राशि के बराबर होती है, कम हो जाती है उसी तारीख को। अल्पकालिक अनुबंधों के लिए, साधारण ब्याज दरें लागू होती हैं, जबकि मध्यम और लंबी अवधि के अनुबंधों के लिए, चक्रवृद्धि दरें लागू होती हैं।
निरंतर ब्याज के लिए, ब्याज दर और छूट दर के बीच कोई अंतर नहीं है, क्योंकि विकास की ताकत एक सार्वभौमिक संकेतक है। हालांकि, निरंतर विकास बल के साथ, एक परिवर्तनीय ब्याज दर का उपयोग किया जा सकता है, जिसका मूल्य किसी दिए गए कानून (गणितीय कार्य) के अनुसार बदलता है।
निरंतर ब्याज गणना का उपयोग जटिल वित्तीय समस्याओं के विश्लेषण में किया जाता है, जैसे कि निवेश निर्णयों का औचित्य और चयन। एक वित्तीय संस्थान के कार्य का मूल्यांकन करते समय जहां एक अवधि के लिए भुगतान बार-बार प्राप्त होता है, यह मान लेना उचित है कि संचित राशि समय के साथ लगातार बदल रही है और लागू होती है निरंतर उपार्जनप्रतिशत।
अब तक हमने जिन सभी स्थितियों पर विचार किया है, वे असतत ब्याज हैं, क्योंकि उनकी गणना निश्चित अवधि (वर्ष, तिमाही, महीना, दिन, घंटा) पर की जाती है। हालाँकि, व्यवहार में, अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब ब्याज लगातार अर्जित होता है, मनमाने ढंग से कम समय के लिए। यदि ब्याज प्रतिदिन अर्जित किया जाता है, तो संचय का वार्षिक गुणांक (गुणक) इस तरह दिखेगा:
कश्मीर नहीं = (1 + जे / एम)एम = (1 + जे / 365) 365
लेकिन चूंकि ब्याज लगातार अर्जित किया जाता है, तब एमअनंत तक जाता है, और संचय गुणांक (गुणक) की ओर जाता है ईजे:
कहाँ पे इ? 2.718281 को यूलर संख्या कहा जाता है और यह गणितीय विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण स्थिरांकों में से एक है।
यहाँ से, हम संचित राशि के लिए सूत्र लिख सकते हैं एनवर्षों:
एफवी = पीवी * ई जे * एन = पी * ई क्यू * एन
सतत ब्याज दर कहलाती है ब्याज की शक्तिऔर प्रतीक हैं डी, असतत ब्याज दर के विपरीत ( जे).
उदाहरण। 100 हजार डॉलर की राशि में 3 साल की अवधि के लिए 8% प्रति वर्ष की दर से ऋण प्राप्त हुआ था। ऋण अवधि के अंत में चुकाई जाने वाली राशि का निर्धारण करें, यदि ब्याज अर्जित होगा:
ए) वर्ष में एक बार;
बी) दैनिक;
ग) लगातार।
हम असतत और निरंतर प्रतिशत के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:
साल में एक बार प्रोद्भवन
एफवी\u003d 100 "000 * (1 + 0.08) 3 \u003d 125" 971.2 डॉलर;
दैनिक ब्याज गणना
एफवी= 100 "000 * (1 + 0.08/365) 365 * 3 = 127" $121.6
निरंतर रुचि
एफवी\u003d 100 "000 * ई 0.08 * 3 \u003d 127" $124.9।
14. ऋण अवधि। वर्षों और दिनों में ऋण की अवधि की गणना करने के लिए आवश्यक सूत्र
वर्षों में कार्यकाल
दिनों में अवधि (याद रखें कि एन = टी/के,कहाँ पे क- अस्थायी आधार)
.
ब्याज दर का मूल्य।लेन-देन की वित्तीय दक्षता का निर्धारण करते समय ब्याज दर की गणना करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है और जब ब्याज दरों को स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया जाता है, तो उनकी उपज से अनुबंधों की तुलना करते हैं। के संबंध में व्यंजकों (1.1) और (1.8) को हल करना मैंया डी, हमें मिला
भुगतान अवधी।यहाँ गणना सूत्र हैं पीब्याज और छूट की विभिन्न शर्तों के लिए। एक चक्रवृद्धि वार्षिक दर पर अर्जित होने पर मैंऔर नाममात्र की दर पर जेतदनुसार हमें मिलता है:
. (2.23) (2.24)
जब एक चक्रवृद्धि वार्षिक छूट दर पर छूट दी जाती है डीऔर मामूली छूट दर पर एफ
. (2.25) (2.26)
निरंतर वृद्धि बल में वृद्धि के साथ और विकास बल में स्थिर दर के साथ बदल रहा है
.
ब्याज दर का मूल्य। यहाँ दरों की गणना के लिए सूत्र दिए गए हैं मैं, जे, डी, एफ,ब्याज और छूट की विभिन्न शर्तों के लिए। वे निर्धारित करने वाले समीकरणों को हल करके प्राप्त किए जाते हैं एसऔर आर,वांछित दरों के बारे में।
चक्रवृद्धि वार्षिक ब्याज दर और मामूली ब्याज दर पर अर्जित होने पर टीसाल में एक बार हम पाते हैं
. (2.29) (2.30)
जब एक मिश्रित छूट दर पर और मामूली छूट दर पर छूट दी जाती है
. (2.31) (2.32)
वृद्धि के निरंतर बल में वृद्धि के साथ
. (2.33)
विकास की शक्ति में वृद्धि के साथ एक स्थिर दर के साथ बदल रहा है
.
15. मुद्रास्फीति के संदर्भ में साधारण ब्याज की गणना . आइए हम पैसे के मूल्यह्रास की समस्या पर लौटते हैं जब यह बढ़ता है। सामान्य तौर पर, अब हम लिख सकते हैं:
यदि वृद्धि साधारण दर से की जाती है, तो हमारे पास है:
(2.43)
जैसा कि आप देख सकते हैं, संचित राशि में वृद्धि, धन की क्रय शक्ति के संरक्षण को ध्यान में रखते हुए, तभी होती है जब 1 + नी > जे पी।
उदाहरण। मान लें कि 1.5 मिलियन रूबल की राशि के लिए। तीन महीने के भीतर, 50% प्रति वर्ष की दर से साधारण ब्याज अर्जित किया जाता है ( क= 360)। संचित राशि 1.6875 मिलियन रूबल है। यदि मासिक मुद्रास्फीति को उदाहरण 2.22, बी में दी गई दरों की विशेषता है, तो मूल्यह्रास को ध्यान में रखते हुए, संचित राशि केवल 1.6875/1.77 = 0.9534 मिलियन रूबल होगी।
16. मुद्रास्फीति के संदर्भ में चक्रवृद्धि ब्याज। आइए अब हम चक्रवृद्धि ब्याज की ओर मुड़ें। सूत्र (2.42) में मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एसऔर जे पी,पाना
(2.44)
से गुणा की जाने वाली मात्राएँ आरसूत्रों में (2.43) और (2.44) मुद्रास्फीति के गुणक हैं। उदाहरण। आइए शर्तों के लिए वास्तविक चक्रवृद्धि ब्याज दर खोजें: वार्षिक मुद्रास्फीति 120%, सकल दर 150%:
\u003d 0.1364, या 13.68% (सरलीकृत सूत्र के अनुसार 30%)।
मुद्रास्फीति की क्षतिपूर्ति का एक अन्य तरीका प्रारंभिक भुगतान राशि को अनुक्रमित करना है। आर।इस मामले में, यह राशि समय-समय पर पूर्व निर्धारित सूचकांक का उपयोग करके समायोजित की जाती है। यह यूके में स्वीकृत तरीका है। परिभाषा से
सी = पीजेपी(1 + मैं)एन.
17. मुद्रास्फीति के संदर्भ में वास्तविक ब्याज दर की गणना। आइए अब व्युत्क्रम समस्या के समाधान की ओर मुड़ें - माप की ओर वास्तविक ब्याज दर,वे। मुद्रास्फीति-समायोजित रिटर्न - परिभाषा मैंसकल दर के निर्दिष्ट मूल्य के अनुसार। अगर आर-वापसी की घोषित दर (सकल दर), फिर वार्षिक ब्याज दर के रूप में वापसी की वांछित दर मैं(2.43) के आधार पर साधारण ब्याज की गणना में परिभाषित किया जा सकता है:
. (2.48)
वास्तविक उपज, जैसा कि हम देखते हैं, यहां यह ब्याज के उपार्जन की अवधि पर निर्भर करता है। याद रखें कि इस फॉर्मूले में शामिल मूल्य सूचकांक पूरी ब्याज अवधि को कवर करता है।
सामग्री में एक समान संकेतक, लेकिन चक्रवृद्धि ब्याज में वृद्धि के साथ, हम सूत्र (2.44) के आधार पर पाएंगे।