Pojem logaritmickej funkcie
Najprv si pripomeňme, čo to vlastne logaritmus je.
Definícia 1
Logaritmus čísla $b\in R$ k základu $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) je číslo $c$, na ktoré je potrebné zvýšiť číslo $a$, aby sme získali číslo $b$.
Uvažujme exponenciálnu funkciu $f\left(x\right)=a^x$, kde $a >1$. Táto funkcia je rastúca, spojitá a mapuje skutočnú os na interval $(0,+\infty)$. Potom podľa vety o existencii inverznej spojitej funkcie v množine $Y=(0,+\infty)$ existuje inverzná funkcia $x=f^(-1)(y)$, ktorá je tiež spojité a rastúce v $Y $ a mapuje interval $(0,+\infty)$ na celú reálnu os. Táto inverzná funkcia sa nazýva logaritmická funkcia k základu $a\ (a >1)$ a označuje sa ako $y=((log)_a x\ )$.
Teraz zvážte exponenciálnu funkciu $f\left(x\right)=a^x$, kde $0
Takto sme definovali logaritmickú funkciu pre všetky možné hodnoty základu $a$. Pozrime sa ďalej na tieto dva prípady oddelene.
1%24"> Funkcia $y=((log)_a x\ ),\ a >1$
Uvažujme vlastnosti túto funkciu.
Neexistujú žiadne priesečníky s osou $Oy$.
Funkcia je kladná pre $x\in (1,+\infty)$ a záporná pre $x\in (0,1)$
$y"=\frac(1)(xlna)$;
Minimálny a maximálny počet bodov:
Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície;
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
\[-\frac(1)(x^2lna)Funkcia je konvexná v celej oblasti definície;
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;
Graf funkcií (obr. 1).
Obrázok 1. Graf funkcie $y=((log)_a x\ ),\ a >1$
Funkcia $y=((log)_a x\ ), \ 0
Pozrime sa na vlastnosti tejto funkcie.
Domena -- interval $(0,+\infty)$;
Rozsah: všetky reálne čísla;
Funkcia nie je párna ani nepárna.
Priesečníky so súradnicovými osami:
Neexistujú žiadne priesečníky s osou $Oy$.
Pre $y=0$, $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ Priesečník s osou $Ox$: (1,0).
Funkcia je kladná pre $x\in (0,1)$ a záporná pre $x\in (1,+\infty)$
$y"=\frac(1)(xlna)$;
Minimálny a maximálny počet bodov:
\[\frac(1)(xlna)=0-roots\ no\]
Neexistujú žiadne maximálne a minimálne body.
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
Intervaly konvexnosti a konkávnosti:
\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]
Graf funkcií (obr. 2).
Príklady výskumu a konštrukcie logaritmických funkcií
Príklad 1
Preskúmajte a nakreslite funkciu $y=2-((log)_2 x\ )$
Domena -- interval $(0,+\infty)$;
Rozsah: všetky reálne čísla;
Funkcia nie je párna ani nepárna.
Priesečníky so súradnicovými osami:
Neexistujú žiadne priesečníky s osou $Oy$.
Keď $y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ Priesečník s osou $Ox$: (4,0).
Funkcia je kladná pre $x\in (0,4)$ a záporná pre $x\in (4,+\infty)$
$y"=-\frac(1)(xln2)$;
Minimálny a maximálny počet bodov:
\[-\frac(1)(xln2)=0-roots\ no\]
Neexistujú žiadne maximálne a minimálne body.
Funkcia klesá v celej oblasti definície;
$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;
Intervaly konvexnosti a konkávnosti:
\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]
Funkcia je konkávna v celej svojej doméne definície;
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;
Obrázok 3.
"Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a graf."
Byvalina L.L., učiteľka matematiky, stredná škola MBOU v obci Kiselevka, okres Ulchsky, územie Chabarovsk
Algebra 10. ročník
Téma lekcie: “Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a graf.”
Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.
Ciele lekcie:
tvoriť reprezentáciu logaritmickej funkcie a jej základných vlastností;
rozvíjať schopnosť vykresliť logaritmickú funkciu;
podporovať rozvoj schopností identifikovať vlastnosti logaritmickej funkcie z grafu;
rozvoj zručností pri práci s textom, schopnosť analyzovať informácie, schopnosť systematizovať, vyhodnocovať a používať;
rozvoj zručností pre prácu vo dvojiciach a mikroskupinách (komunikačné zručnosti, dialóg, spoločné rozhodovanie)
Použité techniky: true, false statement, INSERT, cluster, syncwine
Vybavenie: Prezentácia v Powerpointe, interaktívna tabuľa, letáky (karty, textový materiál, tabuľky), listy papiera v klietke,
Počas tried:
Fáza hovoru:
Predstavenie učiteľa. Pracujeme na zvládnutí témy „Logaritmy“. Čo je na tento moment vieme a vieme?
Študent odpovedá.
Vieme: definícia, vlastnosti logaritmu, základná logaritmická identita, vzorce prechodu na novú bázu, oblasti použitia logaritmov.
Môžeme: počítať logaritmy, riešiť jednoduché logaritmické rovnice, prevádzať logaritmy.
Aký pojem úzko súvisí s pojmom logaritmus? (s konceptom stupňa, pretože logaritmus je exponent)
Študentská úloha. Pomocou konceptu logaritmu vyplňte ľubovoľné dve tabuľky pomocou
a > 1 a pri 0 a (Príloha č. 1)
X
1
2
4
8
16
X
1
2
4
8
16
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
| X | | | 1 | 3 | 9 | X | | | 1 | 3 | 9 |
|
| | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Kontrola práce skupín.
Čo predstavujú prezentované výrazy? (exponenciálne rovnice, exponenciálne funkcie)
Študentská úloha. Riešte exponenciálne rovnice pomocou výrazu premennej X cez premennú pri.
V dôsledku tejto práce sa získajú nasledujúce vzorce:
Vymeňme si miesta vo výsledných výrazoch X A pri. čo sme dostali?
Ako by ste nazvali tieto funkcie? (logaritmické, pretože premenná je pod logaritmickým znakom). Ako napísať túto funkciu vo všeobecnej forme? .
Témou našej lekcie je „Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a graf“.
Logaritmická funkcia je funkciou tvaru kde A- dané číslo, a>0, a≠1.
Našou úlohou je naučiť sa zostavovať a študovať grafy logaritmických funkcií a aplikovať ich vlastnosti.
Na stoloch máte karty s otázkami. Všetky začínajú slovami „Veríš, že...“
Odpoveď na otázku môže byť iba „áno“ alebo „nie“. Ak „áno“, napravo od otázky v prvom stĺpci uveďte znamienko „+“, ak „nie“, potom znamienko „-“. Ak máte pochybnosti, vložte znak „?“.
Pracovať v pároch. Doba prevádzky 3 minúty. (Príloha č. 2)
| № p/p | otázky: | A | B | IN |
| Veríte, že... |
||||
| 1. | Os Oy je vertikálna asymptota grafu logaritmickej funkcie. | + |
||
| 2. | Exponenciálne a logaritmické funkcie sú vzájomne prepojené inverzné funkcie | + |
||
| 3. | Grafy exponenciálnych y=ax a logaritmických funkcií sú symetrické vzhľadom na priamku y=x. | + |
||
| 4. | Definičnou oblasťou logaritmickej funkcie je celý číselný rad X (-∞, +∞) | - |
||
| 5. | Rozsah hodnôt logaritmickej funkcie je interval pri (0, +∞) | - |
||
| 6. | Monotónnosť logaritmickej funkcie závisí od základne logaritmu | + |
||
| 7. | Nie každý graf logaritmickej funkcie prechádza bodom so súradnicami (1; 0). | - |
||
| 8. | Logaritmická krivka je tá istá exponenciálna krivka, len inak umiestnená v rovine súradníc. | + |
||
| 9. | Konvexnosť logaritmickej funkcie nezávisí od základne logaritmu. | - |
||
| 10. | Logaritmická funkcia nie je párna ani nepárna. | + |
||
| 11. | Logaritmická funkcia má najvyššia hodnota a nemá najnižšia hodnota pri a > 1 a naopak kedy 0 a | - |
||
Po vypočutí odpovedí žiakov sa vyplní prvý stĺpec súhrnnej tabuľky na tabuli.
Fáza porozumenia obsahu(10 min).
Zhrnutím práce s otázkami v tabuľke učiteľ pripravuje žiakov na myšlienku, že pri odpovedaní na otázky ešte nevieme, či máme pravdu alebo nie.
Skupinová úloha. Odpovede na otázky nájdete v texte §4, str. 240-242. Navrhujem však nielen čítať text, ale vybrať si jednu zo štyroch predtým získaných funkcií: , , , , zostaviť jej graf a identifikovať vlastnosti logaritmickej funkcie z grafu. Každý člen skupiny to robí v poznámkovom bloku. A potom sa na veľkom hárku papiera v štvorci vytvorí graf funkcie. Po dokončení práce vystúpi zástupca každej skupiny na obhajobu svojej práce.
Skupinová úloha. Zovšeobecniť vlastnosti funkcie pre a > 1 A 0 a (Príloha č. 3)
Vlastnosti funkcie y = log a X pri a > 1.
Vlastnosti funkcie y = log a X, pri 0 .
Os OU je vertikálna asymptota grafu logaritmickej funkcie a v prípade, keď a>1, a v prípade, keď 0
Graf funkcie y = log a X prechádza bodom so súradnicami (1;0)
Skupinová úloha. Dokážte, že exponenciálne a logaritmické funkcie sú vzájomne inverzné.
Žiaci nakreslia logaritmický graf exponenciálna funkcia
Uvažujme súčasne o dvoch funkciách: exponenciálnu y = a X a logaritmické y = log a X.
Obrázok 2 schematicky znázorňuje grafy funkcií y = a X A y = log a X v prípade a>1.
Obrázok 3 schematicky znázorňuje grafy funkcií y = a X A y = log a X v prípade 0
Obr.3.
Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé.
Graf funkcie y = log a X je symetrická ku grafu funkcie y = a x vzhľadom na priamku y = x.
Nastavená hodnota funkcie y = a X je súprava y>0 a doménou definície funkcie y = log a X je súprava x>0.
Os Oh je horizontálna asymptota grafu funkcie y = a X a os OU je vertikálna asymptota grafu funkcie y = log a X.
Funkcia y = a X zvyšuje s a>1 a funkciu y = log a X zvyšuje sa aj s a>1. Funkcia y = a X klesá pri 0у = log a X tiež klesá pri 0
Preto orientačne y = a X a logaritmické y = log a X funkcie sú vzájomne inverzné.
Graf funkcie y = log a X logaritmická krivka, hoci v skutočnosti nebolo možné vymyslieť nový názov. Koniec koncov, toto je ten istý exponent, ktorý slúži ako graf exponenciálnej funkcie, len je inak umiestnený v rovine súradníc.
Fáza odrazu. Predbežné zhrnutie.
Vráťme sa k otázkam diskutovaným na začiatku hodiny a diskutujme o získaných výsledkoch. Uvidíme, možno sa náš názor po práci zmenil.
Žiaci v skupinách porovnávajú svoje predpoklady s informáciami získanými prácou s učebnicou, zostrojovaním grafov funkcií a popisom ich vlastností, robia zmeny v tabuľke, zdieľajú svoje myšlienky s triedou a diskutujú o odpovediach na jednotlivé otázky.
Fáza hovoru. V akých prípadoch si myslíte, že pri vykonávaní akých úloh možno uplatniť vlastnosti logaritmickej funkcie?
Očakávané reakcie študentov: riešenie logaritmických rovníc, nerovníc, porovnávanie numerických výrazov obsahujúcich logaritmy, konštruovanie, transformácia a skúmanie zložitejších logaritmických funkcií.
Fáza porozumenia obsahu.
Job o rozpoznávaní grafov logaritmických funkcií, hľadaní definičného oboru, určovaní monotónnosti funkcií. (Príloha č. 4)
1. Nájdite doménu funkcie:
1)pri= log 0,3 X 2) pri= log 2 (x-1) 3) pri= log 3 (3)
(0; +∞) b) (1;+∞) c) (-∞; 3) d) (0;1]
A) x≠0 b) x>0 V)
.
1
2
3
4
5
6
7
1)a, 2)b, 3)c
1)a, 2)b, 3)a
a, c
V
B, C
A)
A)
Na rozšírenie vedomostí o skúmanej problematike je študentom ponúknutý text „Aplikácia logaritmickej funkcie v prírode a technike“. (Príloha č. 5) Používame Technologická metóda "Cluster" udržať záujem o danú tému.
„Nachádza táto funkcia uplatnenie vo svete okolo nás?“, na túto otázku odpovieme po práci na texte o logaritmickej špirále.
Kompilácia klastra „Aplikácia logaritmickej funkcie“. Žiaci pracujú v skupinách a vytvárajú zhluky. Potom sú klastre chránené a diskutované.
Príklad klastra.
Použitie logaritmickej funkcie
Príroda
Reflexia
O čom ste pred dnešnou lekciou netušili a čo sa vám teraz vyjasnilo?
Čo ste sa naučili o logaritmickej funkcii a jej aplikáciách?
S akými ťažkosťami ste sa stretli pri plnení úloh?
Zvýraznite otázku, ktorá vám bola menej jasná.
Aké informácie vás zaujali?
Zostavte logaritmickú funkciu syncwine
Vyhodnoťte prácu svojej skupiny (Príloha č. 6 „Hárok hodnotenia výkonnosti skupiny“)
Domáca úloha:§ 4 str. 240-243, č. 69-75 (párne)
Literatúra:
Azevič A.I. Dvadsať lekcií harmónie: Kurz humanitných vied a matematiky. - M.: Shkola-Press, 1998.-160 s.: ill. (Knižnica časopisu „Matematika v škole“. Číslo 7.)
Zaire.Bek S.I. Rozvoj kritického myslenia v triede: príručka pre učiteľov všeobecnovzdelávacích predmetov. inštitúcií. – M. Vzdelávanie, 2011. – 223 s.
Kolyagin Yu.M. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základná a profilová úroveň. – M.: Vzdelávanie, 2010.
Korčagin V.V. Jednotná štátna skúška 2009. Matematika. Tematické výcvikové úlohy. – M.: Eksmo, 2009.
Jednotná štátna skúška 2008. Matematika. Tematické tréningové úlohy/ Koreshkova T.A. a ďalšie - M.: Eksmo, 2008
Ministerstvo školstva a politiky mládeže Čuvašskej republiky
Štátny autonómny profesionál
vzdelávacia inštitúciaČuvašská republika
"Cheboksary vysoká škola dopravy a stavebných technológií"
(GAPOU "Cheboksary Technical School TransStroyTech"
Ministerstvo školstva Čuvašska)
ODP. 01 Matematika
„Logaritmická funkcia. Vlastnosti a harmonogram"
Čeboksary - 2016
Vysvetľujúca poznámka ............................................................................ ........................................................................................... 3
Teoretické zdôvodnenie a metodická implementácia………………………..................................4-10
Záver………………………………………………………………………………………………………. ........................................ jedenásť
Prihlášky……………………………………………………………………………………………………… ....................................................... 13
Vysvetľujúca poznámka
Metodický vývoj modulu vyučovacej hodiny v disciplíne „Matematika“ na tému „Logaritmická funkcia. Vlastnosti a graf“ z časti „Odmocniny, mocniny a logaritmy“ je zostavený na základe Pracovného programu z matematiky a kalendárovo-tematického plánu. Témy vyučovacej hodiny sú navzájom prepojené obsahom a hlavnými ustanoveniami.
Účelom štúdia tejto témy je naučiť sa pojem logaritmická funkcia, študovať jej základné vlastnosti, naučiť sa zostaviť graf logaritmickej funkcie a naučiť sa vidieť logaritmickú špirálu vo svete okolo nás.
Programový materiál pre túto hodinu je založený na znalostiach matematiky. Metodický vývoj modulu lekcie bol zostavený na vedenie teoretických hodín na tému: „Logaritmická funkcia. Vlastnosti a harmonogram" -1 hodina. Prebieha praktická lekciaštudenti si upevňujú nadobudnuté vedomosti: definície funkcií, ich vlastnosti a grafy, transformácie grafov, spojité a periodické funkcie, inverzné funkcie a ich grafy, logaritmické funkcie.
Metodický vývoj má poskytnúť metodickú pomoc študentom pri štúdiu modulu lekcie na tému „Logaritmická funkcia. Vlastnosti a harmonogram“. V rámci mimoškolskej samostatnej práce si študenti môžu s pomocou doplnkových zdrojov pripraviť posolstvo na tému „Logaritmy a ich aplikácia v prírode a technike“, krížovky a rébusy. Vzdelávacie vedomosti a odborné kompetencie získané štúdiom témy „Logaritmické funkcie, ich vlastnosti a grafy“ uplatní pri štúdiu častí „Rovnice a nerovnice“ a „Princípy matematickej analýzy“.
Didaktická štruktúra lekcie:
Predmet:« Logaritmická funkcia. Vlastnosti a graf »
Typ činnosti: Kombinované.
Ciele lekcie:
Vzdelávacie- formovanie vedomostí v osvojovaní si pojmu logaritmická funkcia, vlastnosti logaritmickej funkcie; použiť grafy na riešenie problémov.
Vývojový- rozvoj duševných operácií prostredníctvom konkretizácie, rozvoj zrakovej pamäte, potreba sebavzdelávania, podporovať rozvoj kognitívnych procesov.
Vzdelávacie- podporovať kognitívnu aktivitu, zmysel pre zodpovednosť, rešpekt jeden k druhému, vzájomné porozumenie, sebadôveru; podporovať kultúru komunikácie; podporovať vedomý prístup a záujem o učenie.
Prostriedky vzdelávania:
Metodický vývoj na danú tému;
Osobný počítač;
Učebnica od Sh.A Alimova „Algebra a začiatky analýzy“ ročníky 10-11. Vydavateľstvo "Prosveshcheniye".
Vnútropredmetové spojenia: exponenciálna funkcia a logaritmická funkcia.
Interdisciplinárne prepojenia: algebra a matematická analýza.
Študentmusí vedieť:
definícia logaritmickej funkcie;
vlastnosti logaritmickej funkcie;
graf logaritmickej funkcie.
Študentmal by byť schopný:
vykonávať transformácie výrazov obsahujúcich logaritmy;
nájsť logaritmus čísla, použiť vlastnosti logaritmu pri logaritmoch;
určiť polohu bodu na grafe jeho súradnicami a naopak;
aplikovať vlastnosti logaritmickej funkcie pri konštrukcii grafov;
Vykonajte transformácie grafov.
Plán lekcie
1. Organizovanie času(1 minúta).
2. Stanovenie cieľov a zámerov vyučovacej hodiny. Motivácia vzdelávacie aktivityštudenti (1 min).
3. Etapa aktualizácie základných vedomostí a zručností (3 min).
4. Skontrolujte domáca úloha(2 minúty).
5. Etapa asimilácie nových poznatkov (10 min).
6. Etapa upevňovania nových vedomostí (15 min).
7. Monitorovanie učiva na vyučovacej hodine (10 min).
8. Zhrnutie (2 min).
9. Etapa informovania žiakov o domácich úlohách (1 min).
Počas tried:
1. Organizačný moment.
Zahŕňa pozdrav učiteľa s triedou, prípravu miestnosti na hodinu a kontrolu neprítomných.
2. Stanovenie cieľov a cieľov lekcie.
Dnes budeme hovoriť o koncepte logaritmickej funkcie, nakreslíme graf funkcie a budeme študovať jej vlastnosti.
3. Etapa aktualizácie základných vedomostí a zručností.
Uskutočňuje sa formou frontálnej práce s triedou.
Akú funkciu sme naposledy študovali? Nakreslite schematicky na tabuľu.
Uveďte definíciu exponenciálnej funkcie.
Čo je koreňom exponenciálnej rovnice?
Definovať logaritmus?
Aké sú vlastnosti logaritmov?
Aká je hlavná logaritmická identita?
4. Kontrola domácich úloh.
Žiaci si otvoria zošity a ukážu vyriešené úlohy. Pýtajte sa otázky, ktoré vznikli pri robení domácich úloh.
5. Etapa asimilácie nových poznatkov.
Učiteľ: Otvorte si zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému lekcie „Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a graf“.
Definícia: Logaritmická funkcia je funkciou formulára
Kde je dané číslo, .
Pozrime sa na zostrojenie grafu tejto funkcie na konkrétnom príklade.
Zostavme si grafy funkcií a .
| |
|
| |
|
Poznámka 1: Logaritmická funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii, kde 
. Preto sú ich grafy symetrické vzhľadom na os súradnicových uhlov I a III (obr. 1).
Na základe definície logaritmu a typu grafov identifikujeme vlastnosti logaritmickej funkcie:
1) Rozsah definície: , pretože podľa definície logaritmu x>0.
2) Rozsah funkcií: .
3) Logaritmus jednotky sa rovná nule, logaritmus základu sa rovná jednej: , .
4) Funkcia , zvyšuje sa v intervale (obr. 1).
5) Funkcia , pokles v intervale (obr. 1).
6) Intervaly stálosti znakov:
Ak , potom o ; v ;
Ak , potom o pri ;
Poznámka 2: Graf ľubovoľnej logaritmickej funkcie vždy prechádza bodom (1; 0).
Veta: Ak 
, kde teda .
6. Etapa upevňovania nových poznatkov.
Učiteľ: Riešime úlohy č. 318 - č. 322 (nepárne) (§18 Alimov Sh.A. „Algebra a začiatky analýzy“ 10-11 ročník).
1) 
pretože funkcia sa zvyšuje.
3), pretože funkcia klesá.
1), pretože a .
3), pretože a .
1), pretože , , potom .
3), pretože 10> 1, potom .
1) klesá
3) zvyšuje.
7. Zhrnutie.
- Dnes sme v triede odviedli dobrú prácu! Čo nové ste sa dnes na hodine naučili?
(Nový druh funkcie - logaritmická funkcia)
Uveďte definíciu logaritmickej funkcie.
(Funkcia y = logax, (a > 0, a ≠ 1) sa nazýva logaritmická funkcia)
Výborne! Správny! Vymenujte vlastnosti logaritmickej funkcie.
(doména definície funkcie, množina funkčných hodnôt, monotónnosť, stálosť znamienka)
8. Kontrola učiva na vyučovacej hodine.
Učiteľ: Poďme zistiť, ako dobre ste zvládli tému „Logaritmická funkcia. Vlastnosti a harmonogram“. K tomu napíšeme testovaciu prácu (príloha 1). Práca pozostáva zo štyroch úloh, ktoré je potrebné vyriešiť pomocou vlastností logaritmickej funkcie. Na vyplnenie testu máte 10 minút.
9. Fáza informovania žiakov o domácich úlohách.
Písanie na tabuľu a do denníkov: Alimov Sh.A. „Algebra a začiatky analýzy“ 10.-11. ročník. §18 č. 318 - č. 322 (párne)
Záver
V priebehu používania metodického vývoja sme dosiahli všetky naše ciele a zámery. V tomto metodologickom vývoji boli zohľadnené všetky vlastnosti logaritmickej funkcie, vďaka čomu sa študenti naučili transformovať výrazy obsahujúce logaritmy a zostavovať grafy logaritmických funkcií. Plnenie praktických úloh pomáha upevniť naštudovanú látku a sledovanie testovania vedomostí a zručností pomôže učiteľom a žiakom zistiť, aká efektívna bola ich práca na hodine. Metodický rozvoj umožňuje študentom získať zaujímavé a vzdelávacie informácie k danej téme, zovšeobecňovať a systematizovať poznatky, aplikovať vlastnosti logaritmov a logaritmických funkcií pri riešení rôznych logaritmických rovníc a nerovníc.
Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V., Fedorova N. E., Shabunin M. I. pod vedeckým vedením akademika Tichonova A. N. Algebra a začiatky matematickej analýzy 10 - 11 ročníkov. - M. Vzdelávanie, 2011.
Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. a kol. Algebra a začiatky matematickej analýzy (základné a profilové úrovne). 10 tried - M., 2006.
Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. a ďalší, vyd. Žižčenko A.B. Algebra a začiatky matematickej analýzy (základná a špecializovaná úroveň). 10 tried - M., 2005.
Lisichkin V. T. Matematika v úlohách s riešeniami: učebnica / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - 3. vyd., vymazané. - St. Petersburg. [a ďalšie]: Lan, 2011 (Arkhangelsk). - 464 s.
Internetové zdroje:
http://school-collection.edu.ru - Elektronická učebnica„Matematika v
škola, XXI. storočie."
http://fcior.edu.ru - informačné, školiace a kontrolné materiály.
www.school-collection.edu.ru - Jednotná zbierka digitálnych vzdelávacích zdrojov.
Aplikácie
Možnosť 1.
Možnosť 2.
Kritériá hodnotenia:
Za akékoľvek 2 správne vyplnené príklady sa udeľuje známka „3“ (uspokojivá).
Známka „4“ (dobrá) sa pridelí, ak sú niektoré 3 príklady vyplnené správne.
Známka „5“ (výborne) sa udeľuje za všetky 4 správne vyplnené príklady.
Skutočný logaritmus
Logaritmus reálnych čísel a b dáva zmysel s src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Najpoužívanejšie typy logaritmov sú:
Ak logaritmické číslo považujeme za premennú, dostaneme logaritmická funkcia, Napríklad: . Táto funkcia je definovaná na pravej strane číselného radu: X> 0, je tam spojitá a diferencovateľná (pozri obr. 1).
Vlastnosti
Prirodzené logaritmy
Keď platí rovnosť
| (1) |
najmä
Tento rad konverguje rýchlejšie a navyše ľavá strana vzorca teraz môže vyjadrovať logaritmus akéhokoľvek kladného čísla.
Vzťah k desiatkovému logaritmu: .
Desatinné logaritmy
Ryža. 2. Logaritmická stupnica
Logaritmy na základ 10 (symbol: lg a) pred vynálezom kalkulačiek boli široko používané na výpočty. Nerovnomerná stupnica desiatkových logaritmov je zvyčajne vyznačená aj na logaritmických pravidlách. Podobná stupnica sa široko používa v rôznych oblastiach vedy, napríklad:
- Chémia - aktivita vodíkových iónov ().
- Hudobná teória - stupnica nôt, vo vzťahu k frekvenciám hudobných nôt.
Logaritmická škála je tiež široko používaná na identifikáciu exponentu v mocninných vzťahoch a koeficientu v exponente. V tomto prípade má graf zostrojený na logaritmickej mierke pozdĺž jednej alebo dvoch osí formu priamky, ktorá sa ľahšie študuje.
Komplexný logaritmus
Viachodnotová funkcia
Riemannov povrch
Komplexná logaritmická funkcia je príkladom Riemannovej plochy; jeho pomyselnú časť (obr. 3) tvorí nekonečné množstvo vetiev, stočených ako špirála. Tento povrch je jednoducho spojený; jeho jediná nula (prvého rádu) sa získa pri z= 1, singulárne body: z= 0 a (vetvové body nekonečného rádu).
Riemannova plocha logaritmu je univerzálnym pokrytím komplexnej roviny bez bodu 0.
Historický náčrt
Skutočný logaritmus
Potreba zložitých výpočtov rýchlo rástla v 16. storočí a veľa ťažkostí sa týkalo násobenia a delenia viacciferných čísel. Koncom storočia prišli viacerí matematici takmer súčasne s myšlienkou: nahradiť prácne násobenie jednoduchým sčítaním, pomocou špeciálnych tabuliek porovnávať geometrický a aritmetický postup, pričom geometrický je pôvodný. Potom je delenie automaticky nahradené nemerateľne jednoduchším a spoľahlivejším odčítaním. Ako prvý publikoval túto myšlienku vo svojej knihe „ Aritmetická integra„Michael Stiefel, ktorý sa však vážnejšie nesnažil realizovať svoj nápad.
V 20. rokoch 17. storočia Edmund Wingate a William Oughtred vynašli prvé logaritmické pravítko, ešte pred príchodom vreckových kalkulačiek – nepostrádateľného inžinierskeho nástroja.
Logaritmácia blízka modernému chápaniu – ako inverzná operácia zvyšovania moci – sa prvýkrát objavila u Wallisa a Johanna Bernoulliho a nakoniec ju legitimizoval Euler v 18. storočí. V knihe „Úvod do analýzy nekonečna“ () Euler poskytol moderné definície exponenciálnych aj logaritmických funkcií, rozšíril ich do mocninných radov a osobitne si všimol úlohu prirodzeného logaritmu.
Eulerovi sa pripisuje aj rozšírenie logaritmickej funkcie na komplexnú oblasť.
Komplexný logaritmus
Prvé pokusy rozšíriť logaritmy na komplexné čísla urobili na prelome 17.-18. storočia Leibniz a Johann Bernoulli, ale nepodarilo sa im vytvoriť holistickú teóriu, a to predovšetkým preto, že samotný pojem logaritmu ešte nebol jasne definovaný. Diskusia o tejto otázke sa uskutočnila najskôr medzi Leibnizom a Bernoullim a v polovici 18. storočia medzi d'Alembertom a Eulerom. Bernoulli a d'Alembert verili, že by sa to malo určiť log(-x) = log(x). Kompletnú teóriu logaritmov záporných a komplexných čísel publikoval Euler v rokoch 1747-1751 a v podstate sa nelíši od modernej.
Hoci spor pokračoval (D'Alembert obhajoval svoj názor a podrobne ho argumentoval v článku vo svojej Encyklopédii a v iných dielach), Eulerov názor rýchlo získal všeobecné uznanie.
Logaritmické tabuľky
Logaritmické tabuľky
Z vlastností logaritmu vyplýva, že namiesto prácneho násobenia viacciferných čísel stačí nájsť (z tabuliek) a sčítať ich logaritmy a potom pomocou tých istých tabuliek vykonať potenciáciu, teda nájsť hodnotu výsledku z jeho logaritmu. Delenie sa líši len tým, že logaritmy sa odčítajú. Laplace povedal, že vynález logaritmov „predĺžil život astronómov“ tým, že výrazne urýchlil proces výpočtov.
Pri presúvaní desatinnej čiarky v čísle na nčíslic, hodnota dekadického logaritmu tohto čísla sa zmení na n. Napríklad log8314,63 = log8,31463 + 3. Z toho vyplýva, že stačí zostaviť tabuľku desiatkových logaritmov pre čísla v rozsahu od 1 do 10.
Prvé tabuľky logaritmov publikoval John Napier ( ), a obsahovali iba logaritmy goniometrických funkcií a s chybami. Nezávisle od neho Joost Bürgi, priateľ Keplera (), zverejnil jeho tabuľky. V roku 1617 publikoval oxfordský profesor matematiky Henry Briggs tabuľky, ktoré už obsahovali desiatkové logaritmy samotných čísel, od 1 do 1000, s 8 (neskôr 14) číslicami. Chyby však boli aj v Briggsových tabuľkách. Prvé bezchybné vydanie založené na tabuľkách Vega () sa objavilo až v roku 1857 v Berlíne (Bremiwerove tabuľky).
V Rusku boli prvé tabuľky logaritmov publikované v roku 1703 za účasti L. F. Magnitského. V ZSSR bolo vydaných niekoľko zbierok logaritmických tabuliek.
- Bradis V.M.Štvormiestne matematické tabuľky. 44. vydanie, M., 1973.
Zaberá časť o logaritmoch veľkú hodnotu v školskom kurze „Matematická analýza“. Úlohy pre logaritmické funkcie sú založené na iných princípoch ako úlohy pre nerovnice a rovnice. Znalosť definícií a základných vlastností pojmov logaritmus a logaritmická funkcia zabezpečí úspešné riešenie typických problémov USE.
Predtým, ako začneme vysvetľovať, čo je logaritmická funkcia, stojí za to pozrieť sa na definíciu logaritmu.
Poďme to vyriešiť konkrétny príklad: a log a x = x, kde a › 0, a ≠ 1.
Hlavné vlastnosti logaritmov možno uviesť v niekoľkých bodoch:
Logaritmus
Logaritmácia je matematická operácia, ktorá umožňuje pomocou vlastností konceptu nájsť logaritmus čísla alebo výrazu.
Príklady:
Logaritmická funkcia a jej vlastnosti
Logaritmická funkcia má tvar
Okamžite si všimnime, že graf funkcie môže byť rastúci, keď je a › 1 a klesajúci, keď je 0 ‹ a ‹ 1. V závislosti od toho bude mať krivka funkcie jeden alebo druhý tvar.
Tu sú vlastnosti a metóda vykresľovania logaritmov:
- definičný obor f(x) je množina všetkých kladných čísel, t.j. x môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z intervalu (0; + ∞);
- Funkcia ODZ je množina všetkých reálnych čísel, t.j. y sa môže rovnať ľubovoľnému číslu z intervalu (— ∞; +∞);
- ak základ logaritmu a › 1, potom f(x) rastie v celej oblasti definície;
- ak je základ logaritmu 0 ‹ a ‹ 1, potom F je klesajúce;
- logaritmická funkcia nie je ani párna, ani nepárna;
- krivka grafu vždy prechádza bodom so súradnicami (1;0).
Je veľmi jednoduché vytvoriť oba typy grafov; pozrime sa na proces na príklade
Najprv si musíte zapamätať vlastnosti jednoduchého logaritmu a jeho funkcie. S ich pomocou musíte zostaviť tabuľku pre konkrétne hodnoty x a y. Potom by ste mali označiť výsledné body na osi súradníc a spojiť ich hladkou čiarou. Táto krivka bude požadovaným grafom.
Logaritmická funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii danej y= a x. Na overenie stačí nakresliť obe krivky na rovnakej súradnicovej osi.
Je zrejmé, že obe línie sú navzájom zrkadlovými obrazmi. Zostrojením priamky y = x môžete vidieť os symetrie.
Aby ste rýchlo našli odpoveď na problém, musíte vypočítať hodnoty bodov pre y = log 2 x a potom jednoducho posunúť počiatok súradnicového bodu o tri dieliky nadol pozdĺž osi OY a o 2 dieliky. doľava pozdĺž osi OX.
Ako dôkaz zostavme výpočtovú tabuľku pre body grafu y = log 2 (x+2)-3 a porovnajme získané hodnoty s obrázkom.
Ako vidíte, súradnice z tabuľky a body na grafe sa zhodujú, preto bol prenos pozdĺž osí vykonaný správne.
Príklady riešenia typických problémov jednotnej štátnej skúšky
Väčšinu testovacích problémov je možné rozdeliť do dvoch častí: hľadanie definičnej oblasti, označenie typu funkcie na základe nákresu grafu, určenie, či funkcia rastie/klesá.
Pre rýchle zodpovedanie úloh je potrebné jasne pochopiť, že f(x) rastie, ak je logaritmický exponent a › 1, a klesá, ak je 0 ‹ a ‹ 1. Avšak nielen základ, ale aj argument môže výrazne ovplyvniť tvar funkčnej krivky.
F(x) označené značkou sú správne odpovede. Pochybnosti o v tomto prípade volanie príkladov 2 a 3. Znamienko „-“ pred logom sa mení zväčšujúce sa na klesajúce a naopak.
Preto sa graf y=-log 3 x zmenšuje v celej oblasti definície a y= -log (1/3) x sa zvyšuje, napriek skutočnosti, že základ 0‹ a ‹ 1.
Odpoveď: 3,4,5.
Odpoveď: 4.
Tieto typy úloh sa považujú za ľahké a sú hodnotené 1-2 bodmi.
Úloha 3.
Určte, či je funkcia klesajúca alebo rastúca a označte definičný obor.
Y = log 0,7 (0,1x-5)
Pretože základ logaritmu je menší ako jedna, ale väčší ako nula, funkcia x je klesajúca. Podľa vlastností logaritmu musí byť argument tiež väčší ako nula. Poďme vyriešiť nerovnosť:
Odpoveď: doména definície D(x) – interval (50; + ∞).
Odpoveď: 3, 1, os OX, pravá.
Takéto úlohy sú klasifikované ako priemerné a sú hodnotené 3 - 4 bodmi.
Úloha 5. Nájdite rozsah hodnôt funkcie:
Z vlastností logaritmu je známe, že argument môže byť iba kladný. Preto vypočítame rozsah prijateľných hodnôt funkcie. Na to budete musieť vyriešiť systém dvoch nerovností.