La décision dont, à première vue, est contraire au bon sens.

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  Le problème est formulé comme une description d'un jeu basé sur le jeu télévisé américain "Let's Make a Deal", et porte le nom de l'hôte de ce programme. La formulation la plus courante de ce problème, publiée en 1990 dans la revue Magazine du défilé, ressemble à ceci :

  Imaginez que vous êtes devenu un participant à un jeu dans lequel vous devez choisir l'une des trois portes. Derrière l'une des portes se trouve une voiture, derrière les deux autres portes se trouvent des chèvres. Vous choisissez l'une des portes, par exemple, le numéro 1, après quoi le chef, qui sait où se trouve la voiture et où sont les chèvres, ouvre l'une des portes restantes, par exemple, le numéro 3, derrière lequel se trouve une chèvre. Après cela, il vous demande - voudriez-vous changer votre choix et choisir la porte numéro 2 ? Vos chances de gagner une voiture augmenteront-elles si vous acceptez l'offre de l'hôte et modifiez votre choix ?

  Après la publication, il est immédiatement devenu clair que le problème était mal formulé: toutes les conditions n'étaient pas stipulées. Par exemple, l'animateur peut suivre la stratégie « infernale Monty » : proposer de changer le choix si et seulement si le joueur a choisi une voiture au premier coup. Évidemment, changer le choix initial conduira à une perte garantie dans une telle situation (voir ci-dessous).

  Le plus populaire est le problème avec une condition supplémentaire - le participant au jeu connaît à l'avance les règles suivantes :

  • la voiture est également susceptible d'être placée derrière l'une des trois portes ;
  • dans tous les cas, l'hôte est obligé d'ouvrir la porte avec la chèvre (mais pas celle que le joueur a choisie) et de proposer au joueur de changer de choix ;
  • si le chef a le choix de laquelle des deux portes ouvrir, il choisit l'une ou l'autre avec la même probabilité.

  Le texte suivant traite du problème de Monty Hall dans cette formulation.

  Analyse

  Pour la stratégie gagnante, ce qui suit est important : si vous changez le choix de la porte après les actions du meneur, alors vous gagnez si vous avez initialement choisi la porte perdante. C'est susceptible d'arriver 2 ⁄ 3 , puisqu'au départ vous pouvez choisir une porte perdante de 2 façons sur 3.

  Mais souvent, lors de la résolution de ce problème, ils argumentent quelque chose comme ceci: l'hôte supprime toujours une porte perdante à la fin, puis les probabilités qu'une voiture apparaisse derrière deux non ouvertes deviennent égales à ½, quel que soit le choix initial. Mais ce n'est pas vrai : bien qu'il y ait bien deux possibilités de choix, ces possibilités (compte tenu du fond) ne sont pas également probables ! Cela est vrai car au départ, toutes les portes avaient une chance égale de gagner, mais avaient ensuite des probabilités différentes d'être éliminées.

  Pour la plupart des gens, cette conclusion contredit la perception intuitive de la situation, et en raison de l'écart qui en résulte entre la conclusion logique et la réponse à laquelle l'opinion intuitive incline, la tâche s'appelle Paradoxe de Monty Hall.

  La situation avec les portes devient encore plus évidente si nous imaginons qu'il n'y a pas 3 portes, mais, disons, 1000, et après le choix du joueur, le présentateur en supprime 998 supplémentaires, laissant 2 portes : celle que le joueur a choisie et un de plus. Il semble plus évident que les probabilités de trouver un prix derrière ces portes sont différentes, et non égales à ½. Une probabilité beaucoup plus élevée de le trouver, à savoir 0,999, se produira lors du changement de décision et du choix d'une porte sélectionnée parmi 999. Dans le cas de 3 portes, la logique est conservée, mais la probabilité de gagner lors du changement de décision est plus faible, à savoir 2 ⁄ 3 .

  Une autre façon de raisonner est de remplacer la condition par une condition équivalente. Imaginons qu'au lieu que le joueur fasse le choix initial (que ce soit toujours la porte #1) puis ouvre la porte avec la chèvre parmi celles qui restent (c'est-à-dire toujours entre #2 et #3), imaginons que le joueur doit deviner la porte au premier essai, mais il est informé à l'avance qu'il peut y avoir une voiture derrière la porte n° 1 avec une probabilité initiale (33 %), et parmi les portes restantes, il est indiqué pour laquelle des portes la la voiture n'est certainement pas derrière (0%). En conséquence, la dernière porte représentera toujours 67% et la stratégie de la choisir est préférable.

  Autre comportement du leader

  La version classique du paradoxe de Monty Hall stipule que l'hôte invitera le joueur à changer de porte, qu'il ait choisi la voiture ou non. Mais un comportement plus complexe de l'hôte est également possible. Ce tableau décrit brièvement plusieurs comportements.

  Comportement possible du chef
  Comportement de l'hôte	Résultat
  "Infernal Monty": L'hôte propose de se changer si la porte est correcte.	Le changement donnera toujours une chèvre.
  "Angelic Monty": L'hôte propose de se changer si la porte est fausse.	Le changement donnera toujours une voiture.
  "Ignorant Monty" ou "Monty Buch": l'hôte tombe par inadvertance, la porte s'ouvre et il s'avère qu'il n'y a pas de voiture derrière. En d'autres termes, l'hôte lui-même ne sait pas ce qu'il y a derrière les portes, ouvre la porte complètement au hasard, et ce n'est que par hasard qu'il n'y avait pas de voiture derrière.	Un changement donne gain de cause dans la moitié des cas. C'est ainsi que l'émission américaine «Deal or No Deal» est organisée - cependant, le joueur lui-même ouvre une porte au hasard, et s'il n'y a pas de voiture derrière, le présentateur propose de la changer.
  L'hôte choisit l'une des chèvres et l'ouvre si le joueur a choisi une autre porte.	Un changement donne gain de cause dans la moitié des cas.
  L'hôte ouvre toujours la chèvre. Si une voiture est sélectionnée, la chèvre gauche est ouverte avec probabilité p et juste avec probabilité q=1−p.	Si le leader a ouvert la porte de gauche, le décalage donne une victoire avec probabilité 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Si le droit 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Cependant, le sujet ne peut pas influencer la probabilité que la bonne porte soit ouverte - quel que soit son choix, cela se produira avec une probabilité 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
  Même, p=q= ½ (cas classique).	Un changement donne une victoire avec une probabilité 2 ⁄ 3 .
  Même, p=1, q=0 ("Monty impuissant" - le présentateur fatigué se tient à la porte de gauche et ouvre la chèvre la plus proche).	Si le chef a ouvert la bonne porte, le quart de travail donne victoire garantie. Si à gauche - probabilité ½.
  L'hôte ouvre toujours la chèvre si une voiture est choisie, et avec probabilité ½ sinon.	Le changement donne une victoire avec une probabilité de ½.
  Cas général : le jeu se répète plusieurs fois, la probabilité de cacher la voiture derrière telle ou telle porte, ainsi que d'ouvrir telle ou telle porte est arbitraire, mais l'hôte sait où se trouve la voiture et propose toujours un changement en ouvrant l'une des les chèvres.	Équilibre de Nash : c'est le paradoxe de Monty Hall dans sa forme classique qui est le plus bénéfique pour l'hôte (la probabilité de gagner 2 ⁄ 3 ). La voiture se cache derrière l'une des portes avec probabilité ⅓ ; s'il y a un choix, ouvrez n'importe quelle chèvre au hasard.
  La même chose, mais l'hôte peut ne pas ouvrir la porte du tout.	Équilibre de Nash : il est avantageux pour l'hôte de ne pas ouvrir la porte, la probabilité de gagner est de ⅓.

  voir également

  Remarques

  1. Tierney, John (21 juillet 1991), "Derrière les portes de Monty Hall : Puzzle, Débat et réponse ? ", Le New York Times, . Récupéré le 18 janvier 2008.

  Le paradoxe de Monty Hall est l'un des problèmes bien connus de la théorie des probabilités, dont la solution, à première vue, contredit le bon sens. Le problème est formulé comme une description d'un jeu hypothétique basé sur l'émission télévisée américaine Let's Make a Deal et porte le nom de l'hôte de cette émission. La formulation la plus courante de ce problème, publiée en 1990 dans Parade Magazine, est la suivante :
  Imaginez que vous êtes devenu un participant à un jeu dans lequel vous devez choisir l'une des trois portes. Derrière l'une des portes se trouve une voiture, derrière les deux autres portes se trouvent des chèvres. Vous choisissez l'une des portes, par exemple, le numéro 1, après quoi le chef, qui sait où se trouve la voiture et où sont les chèvres, ouvre l'une des portes restantes, par exemple, le numéro 3, derrière lequel se trouve une chèvre. Après cela, il vous demande si vous souhaitez modifier votre choix et choisir la porte numéro 2. Vos chances de gagner la voiture augmenteront-elles si vous acceptez l'offre de l'hôte et modifiez votre choix ? Bien que cette formulation du problème soit la plus connue, elle est quelque peu problématique car elle laisse conditions importantes les tâches sont incertaines. Ce qui suit est une déclaration plus complète.
  Lors de la résolution de ce problème, ils raisonnent généralement quelque chose comme ceci : après que l'hôte a ouvert la porte derrière laquelle se trouve la chèvre, la voiture ne peut être que derrière l'une des deux portes restantes. Étant donné que le joueur ne peut recevoir aucun Informations Complémentairesà propos de la porte derrière laquelle se trouve la voiture, alors la probabilité de trouver une voiture derrière chacune des portes est la même, et changer le choix initial de la porte ne donne aucun avantage au joueur. Cependant, ce raisonnement est incorrect. Si l'hôte sait toujours quelle porte se trouve derrière, ouvre toujours la porte restante qui contient une chèvre et invite toujours le joueur à modifier son choix, alors la probabilité que la voiture se trouve derrière la porte choisie par le joueur est de 1/3, et , en conséquence, la probabilité que la voiture se trouve derrière la porte restante est de 2/3. Ainsi, changer le choix initial double les chances du joueur de gagner la voiture. Cette conclusion contredit la perception intuitive de la situation par la plupart des gens, c'est pourquoi le problème décrit s'appelle le paradoxe de Monty Hall.
  
  décision verbale
  La bonne réponse à ce problème est la suivante : oui, les chances de gagner une voiture sont doublées si le joueur suit les conseils de l'hôte et change son choix initial.
  L'explication la plus simple de cette réponse est la considération suivante. Pour gagner une voiture sans changer de choix, le joueur doit immédiatement deviner la porte derrière laquelle se trouve la voiture. La probabilité est de 1/3. Si le joueur frappe initialement la porte avec une chèvre derrière (et la probabilité de cet événement est de 2/3, puisqu'il y a deux chèvres et une seule voiture), alors il peut définitivement gagner la voiture en changeant d'avis, puisque la voiture et une chèvre reste, et l'hôte a déjà ouvert la porte avec la chèvre.
  Ainsi, sans changer de choix, le joueur reste avec sa probabilité initiale de gagner 1/3, et en changeant de choix initial, le joueur tourne à son avantage deux fois la probabilité restante qu'il n'a pas deviné correctement au départ.
  De plus, une explication intuitive peut être faite en échangeant les deux événements. Le premier événement est la décision du joueur de changer la porte, le deuxième événement est l'ouverture d'une porte supplémentaire. Ceci est acceptable, puisque l'ouverture d'une porte supplémentaire ne donne au joueur aucun nouvelle information(document voir dans cet article).
  Le problème peut alors être réduit à la formulation suivante. Au premier moment, le joueur divise les portes en deux groupes : dans le premier groupe, il y a une porte (celle qu'il a choisie), dans le deuxième groupe, il reste deux portes. Au moment suivant, le joueur fait un choix entre les groupes. Il est évident que pour le premier groupe la probabilité de gagner est de 1/3, pour le second groupe de 2/3. Le joueur choisit le deuxième groupe. Dans le deuxième groupe, il peut ouvrir les deux portes. L'un est ouvert par l'hôte et le second par le joueur lui-même.
  Essayons de donner l'explication "la plus compréhensible". Reformulons le problème : un meneur honnête annonce au joueur qu'il y a une voiture derrière l'une des trois portes, et l'invite à pointer d'abord l'une des portes, puis à choisir l'une des deux actions suivantes : ouvrir la porte spécifiée (en l'ancienne formulation, cela s'appelle « ne changez pas votre choix ») ou ouvrez les deux autres (dans l'ancienne formulation, ce serait simplement « changez le choix ». Pensez-y, c'est la clé pour comprendre !). Il est clair que le joueur choisira la seconde des deux actions, puisque la probabilité d'obtenir une voiture dans ce cas est deux fois plus élevée. Et la petite chose que le chef "a montré une chèvre" avant même de choisir l'action n'aide pas et n'interfère pas avec le choix, car derrière l'une des deux portes il y a toujours une chèvre et le chef la montrera certainement dans n'importe quel cours du jeu, afin que le joueur puisse sur cette chèvre et ne regarde pas. L'affaire du joueur, s'il a choisi la deuxième action, est de dire "merci" à l'hôte de lui avoir épargné la peine d'ouvrir lui-même l'une des deux portes, et d'ouvrir l'autre. Eh bien, ou même plus facile. Imaginons cette situation du point de vue de l'hôte, qui fait une procédure similaire avec des dizaines de joueurs. Puisqu'il sait parfaitement ce qu'il y a derrière les portes, alors, en moyenne, dans deux cas sur trois, il voit d'avance que le joueur a choisi la « mauvaise » porte. Par conséquent, pour lui, il n'y a certainement aucun paradoxe que la bonne stratégie soit de changer de choix après avoir ouvert la première porte : après tout, dans les deux mêmes cas sur trois, le joueur quittera le studio dans une nouvelle voiture.
  Enfin, la preuve la plus "naïve". Que celui qui s'en tient à son choix soit appelé "Têtu", et celui qui suit les instructions du chef, soit appelé "Attentif". Ensuite, l'obstiné gagne s'il a d'abord deviné la voiture (1/3), et l'attentif - s'il a d'abord raté et heurté la chèvre (2/3). Après tout, ce n'est que dans ce cas qu'il indiquera alors la porte avec la voiture.
  Clés pour comprendre
  Malgré la simplicité d'explication de ce phénomène, beaucoup de gens croient intuitivement que la probabilité de gagner ne change pas lorsque le joueur change son choix. Habituellement, l'impossibilité de changer la probabilité de gagner est motivée par le fait que lors du calcul de la probabilité, les événements survenus dans le passé n'ont pas d'importance, comme cela se produit, par exemple, lors du lancement d'une pièce de monnaie - la probabilité d'obtenir pile ou face compte ne dépend pas du nombre de fois où pile ou face est tombé auparavant. Par conséquent, beaucoup pensent qu'au moment où le joueur choisit une porte sur deux, peu importe que dans le passé il y ait eu le choix d'une porte sur trois, et la probabilité de gagner une voiture est la même en changeant le choix , et en laissant le choix d'origine.
  Cependant, bien que de telles considérations soient vraies dans le cas d'un tirage au sort, elles ne sont pas vraies pour tous les jeux. À ce cas l'ouverture de la porte par le capitaine doit être ignorée. Le joueur choisit essentiellement entre la porte qu'il a choisie en premier et les deux autres - l'ouverture de l'une d'entre elles ne sert qu'à détourner l'attention du joueur. On sait qu'il y a une voiture et deux chèvres. Le choix initial d'une des portes par le joueur divise les résultats possibles du jeu en deux groupes : soit la voiture est derrière la porte choisie par le joueur (la probabilité de celle-ci est de 1/3), soit derrière l'une des deux autres (la probabilité de ceci est 2/3). En même temps, on sait déjà que de toute façon il y a une chèvre derrière l'une des deux portes restantes, et en ouvrant cette porte, l'hôte ne donne au joueur aucune information supplémentaire sur ce qu'il y a derrière la porte choisie par le joueur. Ainsi, l'ouverture de la porte avec la chèvre par le meneur ne change pas la probabilité (2/3) que la voiture se trouve derrière une des portes restantes. Et puisque le joueur ne choisit pas une porte déjà ouverte, alors toute cette probabilité est concentrée dans le cas où la voiture se trouve derrière la porte fermée restante.
  Raisonnement plus intuitif : laissez le joueur agir sur la stratégie "changer de choix". Ensuite, il ne perdra que s'il choisit initialement une voiture. Et la probabilité de cela est d'un tiers. Par conséquent, la probabilité de gagner : 1-1/3=2/3. Si le joueur agit selon la stratégie "ne changez pas de choix", alors il gagnera si et seulement s'il a initialement choisi la voiture. Et la probabilité de cela est d'un tiers.
  Imaginons cette situation du point de vue de l'hôte, qui fait une procédure similaire avec des dizaines de joueurs. Puisqu'il sait parfaitement ce qu'il y a derrière les portes, alors, en moyenne, dans deux cas sur trois, il voit d'avance que le joueur a choisi la « mauvaise » porte. Par conséquent, pour lui, il n'y a certainement aucun paradoxe que la bonne stratégie soit de changer de choix après avoir ouvert la première porte : après tout, dans les deux mêmes cas sur trois, le joueur quittera le studio dans une nouvelle voiture.
  Autre cause commune La difficulté de comprendre la solution à ce problème réside dans le fait que souvent les gens imaginent un jeu légèrement différent - alors qu'on ne sait pas à l'avance si l'hôte ouvrira la porte avec une chèvre et proposera au joueur de changer son choix. Dans ce cas, le joueur ne connaît pas la tactique du leader (c'est-à-dire, en fait, ne connaît pas toutes les règles du jeu) et ne peut pas faire le choix optimal. Par exemple, si l'animateur propose un changement d'option uniquement dans le cas où le joueur a initialement choisi la porte avec la voiture, alors évidemment le joueur doit toujours laisser la décision initiale inchangée. C'est pourquoi il est important de garder à l'esprit la formulation exacte du problème de Monty Hall. (avec cette option, le leader avec des stratégies différentes peut atteindre n'importe quelle probabilité entre les portes, dans le cas général (moyen) ce sera 1/2 par 1/2).
  Augmentation du nombre de portes
  Afin de faciliter la compréhension de l'essence de ce qui se passe, on peut considérer le cas où le joueur ne voit pas trois portes devant lui, mais, par exemple, une centaine. En même temps, il y a une voiture derrière une des portes, et des chèvres derrière les 99 autres. Le joueur choisit l'une des portes, alors que dans 99% des cas, il choisira la porte avec une chèvre, et les chances de choisir immédiatement la porte avec une voiture sont très faibles - elles sont de 1%. Après cela, l'hôte ouvre 98 portes avec des chèvres et demande au joueur de choisir la porte restante. Dans ce cas, dans 99% des cas, la voiture sera derrière cette porte restante, car les chances que le joueur choisisse immédiatement la bonne porte sont très faibles. Il est clair que dans cette situation, un joueur rationnel devrait toujours accepter la proposition du leader.
  Lorsque l'on considère l'augmentation du nombre de portes, la question se pose souvent : si dans le problème initial, le leader ouvre une porte sur trois (c'est-à-dire 1/3 du nombre total de portes), alors pourquoi devrions-nous supposer que dans le cas de 100 portes, le chef ouvrira 98 portes avec des boucs, et non 33 ? Cette considération est généralement l'une des raisons importantes pour lesquelles le paradoxe de Monty Hall entre en conflit avec la perception intuitive de la situation. Il serait correct de supposer l'ouverture de 98 portes, car la condition essentielle du problème est qu'il n'y a qu'un seul choix alternatif pour le joueur, qui est proposé par l'hôte. Par conséquent, pour que les tâches soient similaires, dans le cas de 4 portes, le chef doit ouvrir 2 portes, dans le cas de 5 portes - 3, et ainsi de suite, de sorte qu'il y ait toujours une porte non ouverte autre que celle que le joueur a initialement choisi. Si l'animateur ouvre moins de portes, la tâche ne sera plus similaire à la tâche originale de Monty Hall.
  Il convient de noter que dans le cas de plusieurs portes, même si l'hôte ne laisse pas une porte fermée, mais plusieurs, et propose au joueur d'en choisir une, alors lors du changement du choix initial, les chances du joueur de gagner la voiture seront encore augmenter, mais pas tellement. Par exemple, considérons une situation où un joueur choisit une porte sur cent, puis l'animateur n'ouvre qu'une seule des portes restantes, invitant le joueur à changer son choix. Dans le même temps, les chances que la voiture se trouve derrière la porte initialement choisie par le joueur restent les mêmes - 1/100, et pour les portes restantes, les chances changent : la probabilité totale que la voiture se trouve derrière l'une des portes restantes ( 99/100) se répartit désormais non plus sur 99 portes, mais sur 98. Par conséquent, la probabilité de trouver une voiture derrière chacune de ces portes ne sera pas de 1/100, mais de 99/9800. L'augmentation de la probabilité sera d'environ 0,01 %.
  arbre de décision
  
  
  Bois solutions possibles joueur et hôte, montrant la probabilité de chaque résultat
  Plus formellement, un scénario de jeu peut être décrit à l'aide d'un arbre de décision.
  Dans les deux premiers cas, lorsque le joueur a d'abord choisi la porte derrière laquelle se trouve la chèvre, changer de choix entraîne une victoire. Dans les deux derniers cas, lorsque le joueur a choisi pour la première fois la porte avec la voiture, le changement de choix entraîne une perte.
  La probabilité totale qu'un changement de choix mène à une victoire est équivalente à la somme des probabilités des deux premiers résultats, c'est-à-dire
  
  En conséquence, la probabilité que le refus de changer le choix mène à une victoire est égale à
  
  Mener une expérience similaire
  Il existe un moyen simple de s'assurer que la modification du choix d'origine se traduit par une victoire deux fois sur trois en moyenne. Pour ce faire, vous pouvez simuler le jeu décrit dans le problème de Monty Hall en utilisant des cartes à jouer. Une personne (distribuant des cartes) dans ce cas joue le rôle du leader Monty Hall, et la seconde - le rôle du joueur. Trois cartes sont prises pour le jeu, dont une représente une porte avec une voiture (par exemple, un as de pique), et deux autres, identiques (par exemple, deux égalités rouges) - des portes avec des chèvres.
  L'hôte étale trois cartes face cachée, invitant le joueur à prendre l'une des cartes. Une fois que le joueur a choisi une carte, le chef regarde les deux cartes restantes et révèle le diable rouge. Après cela, les cartes laissées par le joueur et le meneur sont ouvertes, et si la carte choisie par le joueur est l'as de pique, alors un point est enregistré en faveur de l'option lorsque le joueur ne change pas son choix, et si le joueur a un diable rouge et le chef a un as de pique, puis un point est marqué en faveur de l'option lorsque le joueur change son choix. Si nous jouons plusieurs de ces tours du jeu, alors le rapport entre les points en faveur des deux options reflète assez bien le rapport des probabilités de ces options. Dans ce cas, il s'avère que le nombre de points en faveur du changement de choix initial est environ le double.
  Une telle expérience garantit non seulement que la probabilité de gagner lors du changement de choix est deux fois plus élevée, mais illustre également bien pourquoi cela se produit. Au moment où le joueur a choisi une carte pour lui-même, il est déjà déterminé si l'as de pique est dans sa main ou non. Une ouverture supplémentaire par le chef de l'une de ses cartes ne change pas la situation - le joueur tient déjà la carte dans sa main et elle y reste quelles que soient les actions du chef. La probabilité pour le joueur de choisir l'as de pique parmi trois cartes est évidemment de 1/3, et donc la probabilité de ne pas le choisir (et donc le joueur gagnera s'il change le choix initial) est de 2/3.
  Mention
  Dans le film Twenty-one, l'enseignante, Miki Rosa, défie le personnage principal, Ben, de résoudre une énigme : il y a deux scooters et une voiture derrière trois portes, et vous devez deviner la porte pour gagner la voiture. Après le premier choix, Miki propose de changer de choix. Ben accepte et justifie mathématiquement sa décision. Il réussit donc involontairement le test pour l'équipe de Miki.
  Dans le roman "Nedotepa" de Sergei Lukyanenko, les personnages principaux, utilisant cette technique, gagnent une voiture et la possibilité de continuer leur voyage.
  Dans la série télévisée 4isla (épisode 13 de la saison 1 "Man Hunt"), l'un des personnages principaux, Charlie Epps, dans une conférence populaire sur les mathématiques, explique le paradoxe de Monty Hall, en l'illustrant clairement à l'aide de marqueurs, sur versos qui sont des chèvres peintes et une voiture. Charlie trouve la voiture en modifiant la sélection. Cependant, il convient de noter qu'il n'exécute qu'une seule expérience, alors que l'avantage de la stratégie de changement est statistique, et une série d'expériences doit être exécutée pour illustrer correctement.

  Nous connaissons tous la situation où nous nous sommes appuyés sur notre intuition au lieu d'un calcul sobre. Après tout, il faut bien admettre qu'il est loin d'être toujours possible de tout calculer avant de faire son choix. Et peu importe à quel point les gens sont rusés, habitués à ne faire leur choix qu'après une analyse approfondie, ils n'ont pas eu à le faire une seule fois sur le principe du "probablement". L'une des raisons d'une telle action peut être le manque banal du temps nécessaire pour évaluer la situation.

  Dans le même temps, le choix attend la situation actuelle en ce moment et ne vous permet pas de vous éloigner de la réponse ou de l'action. Mais des situations encore plus délicates pour nous, qui provoquent littéralement un spasme cérébral, sont la destruction de la confiance dans l'exactitude du choix ou dans sa supériorité probable sur d'autres options basées sur des conclusions logiques. Tous les paradoxes existants sont basés là-dessus.

  Paradoxe dans le jeu de l'émission télévisée "Faisons un marché"

  L'un des paradoxes qui provoque un débat houleux parmi les amateurs de puzzles s'appelle le paradoxe de Monty Hall. Il porte le nom de la principale émission de télévision aux États-Unis intitulée "Let's Make a Deal". Dans l'émission télévisée, l'animateur propose d'ouvrir l'une des trois portes, où le prix est une voiture, tandis que derrière les deux autres, il y a une chèvre.

  Le participant au jeu fait son choix, mais l'hôte, sachant où se trouve la voiture, n'ouvre pas la porte indiquée par le joueur, mais l'autre, dans laquelle se trouve la chèvre et propose de modifier le choix initial du joueur. Pour une analyse plus approfondie, nous acceptons ce comportement particulier du leader, bien qu'en fait il puisse changer périodiquement. Nous énumérerons simplement d'autres options pour le scénario de développement ci-dessous dans l'article.

  Quelle est l'essence du paradoxe?

  Encore une fois, point par point, nous allons désigner les conditions et changer les objets du jeu pour un changement des nôtres.

  Le participant au jeu se trouve dans une pièce avec trois cellules bancaires. Dans l'une des trois cellules, il y a un lingot d'or, dans les deux autres, une pièce d'une valeur nominale de 1 kopeck de l'URSS.

  Ainsi, le participant avant le choix et les conditions du jeu sont les suivantes :

  1. Le participant ne peut choisir qu'une seule des trois cellules.
  2. Le banquier connaît d'abord l'emplacement du lingot.
  3. Le banquier ouvre toujours une pile de pièces autre que celle choisie par le joueur et invite le joueur à modifier son choix.
  4. Le joueur peut à son tour modifier son choix ou conserver celui d'origine.

  Que dit l'intuition ?

  Le paradoxe est que pour la plupart des gens qui ont l'habitude de penser logiquement, les chances de gagner s'ils changent leur choix initial sont de 50 à 50. Après tout, après que le banquier ouvre une autre cellule avec une pièce différente du choix initial du joueur, 2 cellules restent , dans l'un desquels il y a un lingot d'or, et dans l'autre une pièce de monnaie. Le joueur gagne un lingot s'il accepte l'offre du banquier de changer de cellule, à condition qu'il n'y ait pas de lingot dans la cellule initialement sélectionnée par le joueur. Et vice versa, sous cette condition, il perd s'il refuse d'accepter l'offre.

  

  Comme nous le suggérons le bon sens, la probabilité de choisir un lingot et de gagner dans ce cas est de 1/2. Mais en fait la situation est différente ! "Mais comment ça se fait, tout est évident ici?" - tu demandes. Disons que vous avez choisi la cellule numéro 1. Intuitivement, oui, peu importe le choix que vous aviez au départ, au final vous avez en fait une pièce et un lingot avant de choisir. Et si au départ vous aviez une probabilité de recevoir un prix de 1/3, alors au final, lorsque vous ouvrez une cellule par un banquier, vous obtenez une probabilité de 1/2. La probabilité semble être passée de 1/3 à 1/2. Après une analyse minutieuse du jeu, il s'avère que lorsque la décision est modifiée, la probabilité augmente à 2/3 au lieu de l'intuitif 1/2. Voyons pourquoi cela se produit.

  Contrairement au niveau intuitif, où notre conscience considère l'événement après le changement de cellule comme quelque chose de séparé et oublie le choix initial, les mathématiques ne cassent pas ces deux événements, mais préservent plutôt la chaîne des événements du début à la fin. Ainsi, comme nous l'avons dit plus tôt, les chances de gagner en frappant immédiatement un lingot sont de 1/3, et la probabilité que nous choisissions une cellule avec une pièce est de 2/3 (puisque nous avons un lingot et deux pièces).

  1. Nous sélectionnons initialement une cellule bancaire avec un lingot - la probabilité est de 1/3.
     • Si le joueur change son choix en acceptant l'offre du banquier, il perd.
     • Si le joueur ne change pas son choix sans accepter l'offre du banquier, il gagne.
  2. Nous choisissons dès la première fois une cellule bancaire avec une pièce de monnaie - la probabilité est de 2/3.
     • Si le joueur change son choix, il gagne.
     • Si le joueur ne change pas le choix - perdu.

  Ainsi, pour que le joueur quitte la banque avec un lingot d'or en poche, il doit choisir une position initialement perdante avec une pièce (probabilité 1/3), puis accepter l'offre du banquier de changer de cellule.

  Afin de comprendre ce paradoxe et de sortir du carcan du schéma de sélection initial et des cellules restantes, imaginons le comportement du joueur exactement à l'opposé. Avant que le banquier n'offre une cellule de sélection, le joueur est déterminé mentalement avec précision qu'il change son choix, et seulement après cela, l'événement d'ouverture d'une porte supplémentaire s'ensuit pour lui. Pourquoi pas? Après tout, la porte ouverte ne lui donne pas plus d'informations dans un ordre aussi logique. Au premier stade de temps, le joueur divise les cellules en deux différentes régions: le premier est la zone avec une cellule avec sa sélection d'origine, le second avec les deux cellules restantes. Ensuite, le joueur doit faire un choix entre deux zones. La probabilité d'obtenir un lingot d'or de la cellule de la première zone est de 1/3, de la seconde 2/3. Le choix suit la deuxième zone dans laquelle il peut ouvrir deux cellules, la première sera ouverte par le banquier, la seconde par lui-même.

  Il y a une explication encore meilleure pour le paradoxe de Monty Hall. Pour ce faire, vous devez modifier le libellé de la tâche. Le banquier précise que l'une des trois cellules de la banque contient un lingot d'or. Dans le premier cas, il propose d'ouvrir l'une des trois cellules, et dans le second - deux en même temps. Que choisira le joueur ? Eh bien, bien sûr, deux à la fois, en doublant la probabilité. Et le moment où le banquier a ouvert la cellule avec une pièce, cela n'aide en rien le joueur et n'empêche pas le choix, car le banquier montrera de toute façon cette cellule avec une pièce, donc le joueur peut simplement ignorer cette action . De la part du joueur, on ne peut que remercier le banquier de lui avoir facilité la vie, et au lieu de deux, il a dû ouvrir une cellule. Eh bien, vous pouvez enfin vous débarrasser du syndrome du paradoxe si vous vous mettez à la place d'un banquier qui sait au départ que le joueur pointe la mauvaise porte dans deux cas sur trois. Pour le banquier, il n'y a pas de paradoxe en tant que tel, car il est sûr dans une telle inversion des événements qu'en cas de changement des événements, le joueur prend le lingot d'or.

  

  Le paradoxe de Monty Hall ne permet clairement pas aux conservateurs de gagner, qui sont à toute épreuve dans leur choix initial et perdent leur chance d'augmenter la probabilité. Pour les conservateurs, il restera 1/3. Pour les personnes vigilantes et raisonnables, ça pousse au dessus des 2/3.

  Toutes les mentions ci-dessus ne sont pertinentes que dans le respect des conditions initialement stipulées.

  Et si on augmentait le nombre de cellules ?

  Et si on augmentait le nombre de cellules ? Disons qu'au lieu de trois d'entre eux, il y en aura 50. Le lingot d'or se trouvera dans une seule cellule et dans les 49 pièces restantes - les pièces. Ainsi, contrairement au cas classique, la probabilité de toucher la cible en mouvement est de 1/50 soit 2% au lieu de 1/3, tandis que la probabilité de choisir une case avec une pièce est de 98%. De plus, la situation évolue, comme dans le cas précédent. Le banquier propose d'ouvrir l'une des 50 cellules, le participant choisit. Disons que le joueur ouvre une cellule avec les numéros de série 49. Le banquier, à son tour, comme dans la version classique, n'est pas pressé de répondre au désir du joueur et ouvre d'autres 48 cellules avec des pièces et propose de changer son choix pour le reste au numéro 50.

  Il est important de comprendre ici que le banquier ouvre exactement 48 cellules, et non 30, et en laisse en même temps 2, dont celle choisie par le joueur. C'est ce choix qui permet au paradoxe d'aller à l'encontre de l'intuition. Comme dans le cas de version classique, l'ouverture de 48 cellules par le banquier ne laisse qu'une seule option alternative à choisir. Le cas d'une variante d'une plus petite ouverture des alvéoles ne permet pas de mettre le problème sur le même pied que les classiques et d'en ressentir le paradoxe.

  Mais puisque nous avons déjà abordé cette option, supposons que le banquier n'en laisse pas une, à l'exception de celle choisie par le joueur, mais plusieurs cellules. Présenté, comme précédemment, 50 cellules. Le banquier, après le choix du joueur, n'ouvre qu'une case, tout en laissant fermées 48 cases, dont celle choisie par le joueur. La probabilité de choisir un lingot du premier coup est de 1/50. En somme, la probabilité de trouver un lingot dans les cellules restantes est de 49/50, ce qui, à son tour, ne se propage pas dans 49, mais dans 48 cellules. Il n'est pas difficile de calculer que la probabilité de trouver un lingot dans ce cas est (49/50)/48=49/2900 . La probabilité, bien que faible, est toujours supérieure à 1/50 d'environ 1 %.

  Comme nous l'avons mentionné au tout début, l'hôte Monty Hall dans le scénario classique du jeu avec des portes, des chèvres et une voiture de prix peut changer les conditions du jeu et avec lui la probabilité de gagner.

  

  Les mathématiques du paradoxe

  Peuvent-ils formules mathématiques prouver l'augmentation de la probabilité lors du changement de choix ?
  Imaginons la chaîne d'événements comme un ensemble divisé en deux parties, la première partie sera considérée comme X - c'est le choix du joueur lors de la première étape de la cellule de sécurité ; et le deuxième ensemble Y - les deux cellules restantes restantes. La probabilité (B) de gagner pour les cellules 2 et 3 peut être exprimée à l'aide de formules.

  B(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
  B(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

  Où 1/2 est la probabilité avec laquelle le banquier ouvrira les cellules 2 et 3, à condition que le joueur ait initialement sélectionné une cellule sans lingot.
  De plus, la probabilité conditionnelle 1/2 lorsque le banquier ouvre la cellule avec la pièce passe à 1 et 0. Les formules prennent alors la forme suivante :

  B(2) = 0 * 2/3 = 0
  B(3) = 1 * 2/3 = 1

  Ici, nous voyons clairement que la probabilité de choisir un lingot dans la cellule 3 est de 2/3, soit un peu plus de 60 %.
  Un programmeur de niveau très débutant peut facilement tester ce paradoxe en écrivant un programme qui calcule la probabilité lors du changement de choix, ou vice versa, et vérifie les résultats.

  Explication du paradoxe dans le film 21 (Twenty-one)

  Une explication visuelle du paradoxe de Monty Paul est donnée dans le film "21" (Twenty-one), réalisé par Robert Luketic. Le professeur Mickey Rosa dans une conférence donne un exemple de l'émission Let's Make a Deal et interroge l'étudiant Ben Campbell (acteur et chanteur James Anthony) sur la distribution de probabilité, qui donne le bon alignement et surprend ainsi l'enseignant.

  Étude indépendante du paradoxe

  Pour les personnes qui souhaitent vérifier le résultat par elles-mêmes dans la pratique, mais qui n'ont pas de base mathématique, nous vous suggérons de simuler indépendamment un jeu dans lequel vous serez le leader et quelqu'un sera le joueur. Vous pouvez impliquer les enfants dans ce jeu, qui leur choisiront des bonbons ou des emballages de bonbons dans des boîtes en carton pré-préparées. Avec chaque choix, assurez-vous d'enregistrer le résultat pour un calcul ultérieur.

  Formulation

  Le plus populaire est le problème avec la condition supplémentaire n ° 6 du tableau - le participant au jeu connaît à l'avance les règles suivantes:

  • la voiture est également placée derrière l'une des 3 portes ;
  • l'hôte est dans tous les cas obligé d'ouvrir la porte avec la chèvre et de proposer au joueur de changer le choix, mais pas la porte que le joueur a choisie ;
  • si le meneur a le choix entre les 2 portes à ouvrir, il choisit n'importe laquelle d'entre elles avec la même probabilité.

  Le texte suivant traite du problème de Monty Hall dans cette formulation.

  Analyse

  Lors de la résolution de ce problème, on argumente généralement quelque chose comme ceci : l'hôte supprime toujours une porte perdante à la fin, puis les probabilités qu'une voiture apparaisse derrière deux portes non ouvertes deviennent 1/2, quel que soit le choix initial.

  Le tout est qu'avec son choix initial, le participant divise les portes : le choix UN et deux autres - B et C. La probabilité que la voiture soit derrière la porte sélectionnée = 1/3, celle derrière les autres = 2/3.

  Pour chacune des portes restantes, la situation actuelle est décrite comme suit :

  P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

  P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

  Où 1/2 est la probabilité conditionnelle que la voiture soit derrière la porte donnée, à condition que la voiture ne soit pas derrière la porte choisie par le joueur.

  L'hôte, ouvrant l'une des portes restantes, qui perd toujours, informe ainsi le joueur exactement 1 bit d'information et change probabilités conditionnelles pour B et C respectivement à "1" et "0".

  Par conséquent, les expressions prennent la forme :

  P(B) = 2/3*1 = 2/3

  Ainsi, le participant doit modifier son choix initial - dans ce cas, la probabilité de son gain sera égale à 2/3.

  L'une des explications les plus simples est la suivante : si vous changez de porte après les actions du MJ, alors vous gagnez si vous avez initialement choisi la porte perdante (alors le MJ en ouvrira une deuxième perdante et vous devrez changer votre choix pour gagner). Et dans un premier temps, vous pouvez choisir une porte perdante de 2 manières (probabilité 2/3), c'est-à-dire si vous changez de porte, vous gagnez avec une probabilité de 2/3.

  Cette conclusion contredit la perception intuitive de la situation par la plupart des gens, c'est pourquoi la tâche décrite est appelée Paradoxe de Monty Hall, c'est à dire. un paradoxe au sens quotidien.

  Et la perception intuitive est la suivante: en ouvrant la porte avec une chèvre, l'hôte définit une nouvelle tâche pour le joueur, qui n'a rien à voir avec le choix précédent - après tout, la chèvre est derrière porte ouverte apparaîtra indépendamment du fait que le joueur ait précédemment choisi une chèvre ou une voiture. Une fois la troisième porte ouverte, le joueur doit refaire un choix - et choisir soit la même porte que celle qu'il a choisie auparavant, soit une autre. C'est-à-dire, alors qu'il ne change pas son choix précédent, mais en fait un nouveau. La solution mathématique considère deux tâches successives du leader comme liées l'une à l'autre.

  Cependant, il faut prendre en compte le facteur de la condition que l'hôte ouvre la porte avec la chèvre des deux autres, et non la porte choisie par le joueur. Par conséquent, la porte restante a une meilleure chance d'être une voiture, car elle n'a pas été choisie comme maître. Si l'on considère le cas où le meneur, sachant qu'il y a une chèvre derrière la porte choisie par le joueur, ouvre néanmoins cette porte, ce faisant il réduit délibérément les chances du joueur de choisir la bonne porte, car. la probabilité d'un choix correct sera déjà de 1/2. Mais ce genre de jeu aura des règles différentes.

  Donnons une autre explication. Supposons que vous jouez selon le système décrit ci-dessus, c'est-à-dire des deux portes restantes, vous choisissez toujours une porte différente de votre choix initial. Dans quel cas allez-vous perdre ? La perte viendra quand, et alors seulement, quand dès le début vous aurez choisi la porte derrière laquelle se trouve la voiture, car par la suite vous changerez inévitablement d'avis en faveur de la porte avec une chèvre, dans tous les autres cas vous gagner, c'est-à-dire si dès le début Mauvais choix de porte. Mais la probabilité de choisir la porte avec la chèvre dès le début est de 2/3, il s'avère donc que pour gagner, vous avez besoin d'une erreur, dont la probabilité est le double du bon choix.

  Mentions

  • Dans le film Twenty-one, l'institutrice, Miki Rosa, propose au personnage principal, Ben, de résoudre un problème : il y a deux scooters et une voiture derrière trois portes, il faut deviner la porte avec une voiture. Après le premier choix, Miki propose de changer de choix. Ben accepte et justifie mathématiquement sa décision. Il réussit donc involontairement le test pour l'équipe de Miki.
  • Dans le roman "Kluttyopa" de Sergei Lukyanenko, les personnages principaux, grâce à cette technique, gagnent une voiture et la possibilité de poursuivre leur voyage.
  • Dans la série télévisée "4isla" (Episode 13 de la saison 1 "Man Hunt"), l'un des personnages principaux, Charlie Epps, lors d'une conférence populaire sur les mathématiques, explique le paradoxe de Monty Hall, en l'illustrant clairement à l'aide de marqueurs , sur les revers desquels sont dessinés des chèvres et une voiture. Charlie trouve la voiture en modifiant la sélection. Cependant, il convient de noter qu'il n'exécute qu'une seule expérience, alors que l'avantage de la stratégie de changement est statistique, et une série d'expériences doit être exécutée pour illustrer correctement.
  • Le paradoxe de Monty Hall est discuté dans le journal du héros de l'histoire de Mark Haddon, The Curious Incident of the Dog in the Night.
  • Le paradoxe de Monty Hall testé par les MythBusters

  voir également

  • Le paradoxe de Bertrand

  Liens

  	Le paradoxe de Monty Hall sur Wikilivres
  	Le paradoxe de Monty Hall sur Wikimedia Commons

  • Prototype interactif : pour ceux qui veulent s'amuser (la génération se produit après le premier choix)
  • Prototype interactif : un véritable prototype du jeu (les cartes sont générées avant sélection, le travail du prototype est transparent)
  • Vidéo explicative sur Smart Videos.ru
  • Weisstein, Eric W. The Monty Hall Paradox (anglais) sur le site Wolfram MathWorld.
  • The Monty Hall Paradox sur le site de l'émission Let's Make a Deal
  • Un extrait du livre de S. Lukyanenko, qui utilise le paradoxe de Monty Hall
  • Une autre solution bayésienne Une autre solution bayésienne au Forum de l'Université d'État de Novossibirsk

  Littérature

  • Gmurman V.E. Théorie des probabilités et statistique mathématique, - M. : Enseignement supérieur. 2005
  • Gnedin, Sasha "Le jeu Mondee Gills." magazine L'intelligence mathématique, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
  • Magazine du défilé en date du 17 février.
  • vos Savant, Marilyn. Chronique de Ask Marilyn, magazine Magazine du défilé en date du 26 février.
  • Bapeswara Rao, V.V. et Rao, M. Bhaskara. "Un jeu télévisé à trois portes et certaines de ses variantes". Magazine Le savant mathématicien, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Comprendre les probabilités et les règles du hasard dans la vie quotidienne. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

  Remarques

  
  

  Fondation Wikimédia. 2010 .

  Voyez ce qu'est le "paradoxe de Monty Hall" dans d'autres dictionnaires :

  A la recherche d'une voiture, le joueur choisit la porte 1. Puis l'hôte ouvre la 3e porte, derrière laquelle se trouve une chèvre, et invite le joueur à changer son choix pour la porte 2. Doit-il faire cela ? Le paradoxe de Monty Hall est l'un des problèmes bien connus de la théorie ... ... Wikipedia

  - (Le paradoxe du lien) est un paradoxe bien connu similaire au problème des deux enveloppes, qui démontre également les caractéristiques de la perception subjective de la théorie des probabilités. L'essence du paradoxe: deux hommes se donnent pour Noël des cravates achetées par eux ... ... Wikipedia