Na ovu lekciju Zajedno sa žabom ćete se upoznati s matematičkim pojmovima: "jednakost" i "nejednakost", kao i sa znakovima za usporedbu. Uz zabavne i zanimljive primjere naučite kako uspoređivati ​​grupe oblika pomoću uparivanja i usporediti brojeve pomoću brojevne linije.

Tema:Uvod u osnovne pojmove u matematici

Lekcija: Jednakost i nejednakost

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s matematičkim pojmovima: "jednakost" i "nejednakost".

Pokušajte odgovoriti na pitanje:

Uza zid su kade,

Svaka ima točno jednu žabu.

Da je bilo pet kada,

Koliko bi žaba imali? (Sl. 1)

Riža. jedan

Pjesma kaže da je bilo 5 kaca, svaka kaca imala je 1 žabu, nitko nije ostao bez para, što znači da je broj žaba jednak broju kaca.

Označimo kade slovom K, a žabe slovom L.

Zapišimo jednakost: K = L. (slika 2)

Riža. 2

Usporedite brojeve dviju skupina likova. Ima mnogo figura, različitih su veličina, poredane bez reda. (slika 3)

Riža. 3

Napravimo parove ovih figura. Spojite svaki kvadrat u trokut. (slika 4)

Riža. četiri

Dva kvadrata ostala su bez para. Dakle, broj kvadrata nije jednak broju trokuta. Kvadratove označavamo slovom K, a trokute slovom T.

Zapišimo nejednakost: K ≠ T. (slika 5)

Riža. 5

Zaključak: Broj elemenata u dvije grupe možete usporediti tako što ćete napraviti parove. Ako ima dovoljno parova za sve elemente, onda odgovarajući brojevi jednak, u ovom slučaju stavljamo između brojeva ili slova =. Ovaj unos se zove jednakost. (slika 6)

Riža. 6

Ako nema dovoljno para, odnosno ostaju dodatni predmeti, onda su ovi brojevi nejednak. Stavite između brojeva ili slova znak nejednak. Ovaj unos se zove nejednakost.(slika 7)

Riža. 7

Elementi koji su ostali bez para pokazuju koji je od dva broja veći i za koliko. (slika 8)

Riža. osam

Metoda uspoređivanja skupina figura pomoću uparivanja nije uvijek prikladna i oduzima puno vremena. Brojeve možete usporediti pomoću brojevne zrake. (slika 9)

Riža. 9

Usporedite te brojeve pomoću brojevne zrake i stavite znak za usporedbu.

Trebamo usporediti brojeve 2 i 5. Pogledajmo brojevnu liniju. Broj 2 je bliži 0 od broja 5, ili kažu da je broj 2 na brojevnoj liniji lijevo od broja 5. Dakle, 2 nije jednako 5. Ovo je nejednakost.

Znak "≠" (nije jednako) samo popravlja nejednakost brojeva, ali ne označava koji je od njih veći, a koji manji.

Od dva broja na brojevnoj liniji, manji se nalazi lijevo, a veći desno. (slika 10)

Riža. deset

Ova se nejednakost može zapisati i na drugi način, koristeći znak manje"< » ili veći od znaka ">" :

Na brojevnoj liniji broj 7 je desno od broja 4, dakle:

7 ≠ 4 i 7 > 4

Brojevi 9 i 9 su jednaki, pa stavljamo znak =, ovo je jednakost:

Usporedi broj točaka i broj i stavi odgovarajući znak. (slika 11)

Riža. jedanaest

Na prvu sliku trebamo staviti znak = ili ≠.

Uspoređujemo dvije točke i broj 2, između njih stavljamo znak =. Ovo je jednakost.

Uspoređujemo jednu točku i broj 3, na brojčanoj gredi broj 1 je lijevo od broja 3, stavljamo znak ≠.

Uspoređujemo četiri točke i 4. Između njih stavljamo znak =. Ovo je jednakost.

Uspoređujemo tri točke i broj 4. Tri točke su broj 3. Na brojevnoj liniji je lijevo, stavljamo znak ≠. Ovo je nejednakost. (slika 12)

Riža. 12

Na drugoj slici, između točaka i brojeva, trebate staviti znakove =,<, >.

Usporedimo pet točaka i broj 5. Između njih stavljamo znak =. Ovo je jednakost.

Usporedimo tri točke i broj 3. I ovdje možete staviti znak =.

Usporedimo pet točaka i broj 6. Na brojevnoj pravoj broj 5 je više lijevo od broja 6. Stavili smo znak<. Это неравенство.

Usporedimo dvije točke i jednu, broj 2 je više desno na brojevnoj liniji od broja 1. Stavimo znak >. Ovo je nejednakost. (slika 13)

Riža. 13

Unesite broj u okvir tako da rezultirajuća jednakost i nejednakost postanu istiniti.

Ovo je nejednakost. Pogledajmo brojevnu liniju. Budući da tražimo broj manji od broja 7, onda on mora biti lijevo od broja 7 na brojevnoj liniji. (Sl. 14)

Riža. četrnaest

U polje se može unijeti više brojeva. Ovdje se uklapaju brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bilo koji od njih se može zamijeniti u prozor i dobiti nekoliko točnih nejednakosti. Na primjer, 5< 7 или 2 < 7

Na numeričkoj gredi nalazimo brojeve koji će biti manji od 5. (slika 15.)

Riža. petnaest

To su brojevi 4, 3, 2, 1, 0. Dakle, bilo koji od ovih brojeva možemo zamijeniti u okvir, dobit ćemo nekoliko pravih nejednakosti. Na primjer, 5 >4, 5 >3

Može se zamijeniti samo jedan broj 8.

U ovoj lekciji upoznali smo se s matematičkim pojmovima: "jednakost" i "nejednakost", naučili kako pravilno postaviti znakove za usporedbu, vježbali uspoređivanje skupina likova pomoću uparivanja i usporedbe brojeva pomoću brojevne grede, što će pomoći u daljnjem proučavanju matematike .

Bibliografija

1. Aleksandrova L.A., Mordkovich A.G. Matematika 1. razred. - M: Mnemosyne, 2012.
2. Bašmakov M.I., Nefedova M.G. Matematika. 1 razred. - M: Astrel, 2012.
3. Bedenko M.V. Matematika. 1 razred. - M7: ruska riječ, 2012.

1. igra.pro().
2. slideshare.net().
3. Iqsha.ru ().

Domaća zadaća

1. Koje znakove za usporedbu poznajete, u kojim slučajevima se koriste? Zapišite znakove za usporedbu brojeva.

2. Usporedite broj predmeta na slici i stavite znak "<», «>" ili "=".

3. Usporedite brojeve stavljajući znak "<», «>" ili "=".

„Jednakost“ je tema kroz koju učenici prolaze već odranije osnovna škola. Ona također prati svoje "Nejednakosti". Ova dva koncepta su usko povezana. Osim toga, s njima su povezani pojmovi kao što su jednadžbe, identiteti. Dakle, što je jednakost?

Koncept jednakosti

Pod ovim pojmom podrazumijevaju se iskazi u čijem zapisu se nalazi znak "=". Jednakost se dijeli na istinitu i lažnu. Ako u unosu umjesto = stoji<, >, onda pričamo o nejednakostima. Inače, prvi znak jednakosti označava da su oba dijela izraza identična u svom rezultatu ili zapisu.

Uz pojam jednakosti, u školi se izučava i tema „Brojčana jednakost“. Ova izjava se shvaća kao dva brojčana izraza koji stoje s obje strane znaka =. Na primjer, 2*5+7=17. Oba dijela zapisa su međusobno jednaka.

U brojčanim izrazima ove vrste mogu se koristiti zagrade koje utječu na redoslijed operacija. Dakle, postoje 4 pravila koja treba uzeti u obzir pri izračunu rezultata brojčanih izraza.

1. Ako u unosu nema zagrada, tada se radnje izvode s najviše razine: III→II→I. Ako postoji više radnji iste kategorije, one se izvršavaju s lijeva na desno.
2. Ako u unosu postoje zagrade, tada se radnja izvodi u zagradama, a zatim uzimajući u obzir korake. Možda će biti nekoliko radnji u zagradama.
3. Ako je izraz izražen kao razlomak, tada morate prvo izračunati brojnik, zatim nazivnik, a zatim se brojnik podijeli sa nazivnikom.
4. Ako unos sadrži ugniježđene zagrade, tada se najprije procjenjuje izraz u unutarnjim zagradama.

Dakle, sada je jasno što je jednakost. U budućnosti će se razmatrati koncepti jednadžbi, identiteta i metoda za njihovo izračunavanje.

Svojstva brojevnih jednakosti

Što je jednakost? Proučavanje ovog koncepta zahtijeva poznavanje svojstava numeričkih identiteta. Sljedeće tekstualne formule omogućuju vam da bolje proučite ovu temu. Naravno, ova svojstva su prikladnija za studiranje matematike u srednjoj školi.

1. Brojčana jednakost neće biti narušena ako se postojećem izrazu u oba njegova dijela doda isti broj.

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Jednadžba neće biti narušena ako se oba njezina dijela pomnože ili podijele s istim brojem ili izrazom koji je različit od nule.

P = O↔ R ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ R: 5 = O: 5

3. Dodavanjem na oba dijela identiteta istu funkciju, koja ima smisla za sve dopuštene vrijednosti varijable, dobivamo novu jednakost koja je ekvivalentna izvornoj.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Bilo koji pojam ili izraz može se prenijeti na drugu stranu znaka jednakosti, dok znakove trebate promijeniti u suprotne.

X + 5 = Y - 20 ↔ X \u003d Y - 20 - 5 ↔ X \u003d Y - 25

5. Množenjem ili dijeljenjem obje strane jednadžbe istom funkcijom različitom od nule koja ima smisla za svaku vrijednost X iz ODZ-a, dobivamo novu jednadžbu koja je ekvivalentna izvornoj.

F(X) = Ψ(x)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(x)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)

Navedena pravila eksplicitno upućuju na načelo jednakosti koje postoji pod određenim uvjetima.

Koncept proporcije

U matematici postoji takva stvar kao što je jednakost odnosa. U ovom slučaju podrazumijeva se definicija proporcije. Ako A podijelite s B, rezultat će biti omjer broja A i broja B. Proporcija je jednakost dvaju omjera:

Ponekad je napisan omjer na sljedeći način: O:B=C:D. Iz ovoga slijedi glavno svojstvo proporcije: A*D=D*C, gdje su A i D ekstremni članovi proporcije, a B i C srednji.

Identiteti

Identitet je jednakost koja će vrijediti za sve važeće vrijednosti onih varijabli koje su uključene u zadatak. Identiteti se mogu predstaviti kao doslovne ili brojčane jednakosti.

Jednako jednaki nazivaju se izrazi koji u oba dijela jednakosti sadrže nepoznatu varijablu, koja je sposobna izjednačiti dva dijela jedne cjeline.

Ako jedan izraz zamijenimo drugim, koji će mu biti jednak, onda govorimo o identičnoj transformaciji. U tom slučaju možete koristiti formule za skraćeno množenje, zakone aritmetike i druge identitete.

Da biste smanjili udio, morate provesti identične transformacije. Na primjer, zadan razlomak. Da biste dobili rezultat, trebali biste koristiti formule za skraćeno množenje, faktoring, pojednostavljivanje izraza i smanjenje razlomaka.

Treba napomenuti da će ovaj izraz biti identičan kada nazivnik nije jednak 3.

5 načina za dokazivanje identiteta

Da bismo dokazali da je jednakost identična, potrebno je transformirati izraze.

ja način

Na lijevoj strani potrebno je izvršiti ekvivalentne transformacije. Kao rezultat, dobiva se desna strana i možemo reći da je identitet dokazan.

II metoda

Sve radnje za transformaciju izraza odvijaju se na desnoj strani. Rezultat izvedenih manipulacija je lijeva strana. Ako su oba dijela identična, onda je identitet dokazan.

III metoda

"Transformacije" se javljaju u oba dijela izraza. Ako su rezultat dva identična dijela, identitet je dokazan.

IV način

Desna strana se oduzima od lijeve strane. Kao rezultat ekvivalentnih transformacija, trebala bi se dobiti nula. Tada možemo govoriti o identitetu izraza.

5. način

Lijeva strana se oduzima od desne strane. Sve ekvivalentne transformacije svode se na činjenicu da je odgovor nula. Samo u ovom slučaju možemo govoriti o identitetu jednakosti.

Osnovna svojstva identiteta

U matematici se svojstva jednakosti često koriste za ubrzavanje procesa izračuna. Zbog osnovnih algebarskih identiteta, proces izračunavanja nekih izraza trajat će nekoliko minuta umjesto dugih sati.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) \u003d X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) \u003d X + Y - C
• X - (Y + C) \u003d X - Y - C
• X - (Y - C) \u003d X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, gdje je X ≠ 0

Skraćene formule za množenje

U svojoj srži, skraćene formule za množenje su jednakosti. Pomažu u rješavanju mnogih matematičkih problema zbog svoje jednostavnosti i lakoće korištenja.

• (A + B) 2 \u003d A 2 + 2 ∙ A ∙ B + B 2 - kvadrat zbroja para brojeva;

• (A - B) 2 \u003d A 2 - 2 ∙ A ∙ B + B 2 - kvadrat razlike između para brojeva;

• (C + B) ∙ (C - B) \u003d C 2 - B 2 - razlika kvadrata;

• (A + B) 3 \u003d A 3 + 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 + B 3 - kocka zbroja;

• (A - B) 3 \u003d A 3 - 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 - B 3 - kocka razlike;

• (P + B) ∙ (P 2 - P ∙ B + B 2) \u003d P 3 + B 3 - zbroj kocki;

• (P - B) ∙ (P 2 + P ∙ B + B 2) \u003d P 3 - B 3 - razlika kocki.

Često se koriste skraćene formule za množenje ako je potrebno polinom dovesti u uobičajeni oblik, pojednostavljujući ga na sve moguće načine. Prikazane formule su jednostavno dokazane: dovoljno je otvoriti zagrade i donijeti slične pojmove.

Jednadžbe

Nakon proučavanja pitanja što je jednakost, možete prijeći na sljedeću točku: Jednadžba se shvaća kao jednakost u kojoj postoje nepoznate veličine. Rješenje jednadžbe je nalaz svih vrijednosti varijable, u kojima će oba dijela cijelog izraza biti jednaka. Postoje i zadaci u kojima je pronalaženje rješenja jednadžbe nemoguće. U ovom slučaju kažemo da nema korijena.

U pravilu, jednakosti s nepoznanicama kao rješenja daju cijele brojeve. Međutim, postoje slučajevi kada je korijen vektor, funkcija i drugi objekti.

Jednadžba je jedan od najvažnijih pojmova u matematici. Većina znanstvenih i praktičnih problema ne dopušta mjerenje ili izračunavanje bilo koje količine. Stoga je potrebno sastaviti omjer koji će zadovoljiti sve uvjete zadatka. U procesu sastavljanja takvog odnosa pojavljuje se jednadžba ili sustav jednadžbi.

Obično se rješavanje jednakosti s nepoznanicom svodi na transformaciju složene jednadžbe i njeno svođenje na jednostavni oblici. Treba imati na umu da se transformacije moraju provesti u odnosu na oba dijela, inače će rezultat biti netočan.

4 načina rješavanja jednadžbe

Rješavanjem jednadžbe razumije se zamjena dane jednakosti drugom, koja je ekvivalentna prvoj. Takva je zamjena poznata kao identična transformacija. Da biste riješili jednadžbu, morate koristiti jednu od metoda.

1. Jedan izraz zamjenjuje se drugim, koji će nužno biti identičan prvom. Primjer: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Ovaj izraz se može pretvoriti u 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10.

2. Prenošenje uvjeta jednakosti s nepoznatim s jedne strane na drugu. U tom slučaju potrebno je ispravno promijeniti znakove. Najmanja pogreška uništit će sav obavljeni posao. Uzmimo prethodni "uzorak" kao primjer.

9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Množenje obje strane jednakosti s jednakim brojem ili izrazom koji nije jednak 0. Međutim, vrijedi podsjetiti da ako nova jednadžba nije ekvivalentna jednakosti prije transformacija, tada se broj korijena može značajno promijeniti.

4. Kvadratiranje obje strane jednadžbe. Ova metoda je jednostavno prekrasna, pogotovo kada se u jednakosti, odnosno izrazu ispod nje nalaze iracionalni izrazi. Postoji jedno upozorenje: ako povisite jednadžbu na paran stepen, tada se mogu pojaviti strani korijeni koji će iskriviti bit zadatka. A ako je pogrešno izdvojiti korijen, onda će značenje pitanja u problemu biti nejasno. Primjer: │7∙h│=35 → 1) 7∙h = 35 i 2) - 7∙h = 35 → jednadžba će biti točno riješena.

Dakle, u ovom članku spominju se pojmovi kao što su jednadžbe i identiteti. Svi oni proizlaze iz koncepta "jednakosti". Zahvaljujući raznim vrstama ekvivalentnih izraza, rješavanje nekih problema uvelike je olakšano.