Sur le Cette leçon Avec la grenouille, vous vous familiariserez avec les concepts mathématiques : « égalité » et « inégalité », ainsi qu'avec les signes de comparaison. Avec des exemples amusants et intéressants, apprenez à comparer des groupes de formes à l'aide d'appariements et à comparer des nombres à l'aide d'une droite numérique.

Sujet:Introduction aux concepts de base en mathématiques

Leçon : Égalité et inégalité

Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec les concepts mathématiques : "égalité" et "inégalité".

Essayez de répondre à la question :

Il y a des baignoires contre le mur,

Chacun a exactement une grenouille.

S'il y avait cinq cuves,

Combien de grenouilles auraient-ils ? (Fig. 1)

Riz. une

Le poème dit qu'il y avait 5 bacs, chaque bac avait 1 grenouille, personne n'a été laissé sans paire, ce qui signifie que le nombre de grenouilles est égal au nombre de bacs.

Désignons les bacs par la lettre K et les grenouilles par la lettre L.

Notons l'égalité : K = L. (Fig. 2)

Riz. 2

Comparez les nombres des deux groupes de figures. Il y a beaucoup de figurines, elles sont de tailles différentes, disposées sans ordre. (Fig. 3)

Riz. 3

Faisons des paires de ces figures. Connectez chaque carré à un triangle. (Fig. 4)

Riz. quatre

Deux carrés ont été laissés sans paire. Donc le nombre de carrés n'est pas égal au nombre de triangles. On note les carrés par la lettre K et les triangles par la lettre T.

Notons l'inégalité : K ≠ T. (Fig. 5)

Riz. 5

Conclusion: Vous pouvez comparer le nombre d'éléments dans deux groupes en faisant des paires. S'il y a suffisamment de paires pour tous les éléments, alors les nombres correspondants égal, dans ce cas on met entre chiffres ou lettres =. Cette entrée s'appelle égalité. (Fig. 6)

Riz. 6

S'il n'y a pas assez de paires, c'est-à-dire qu'il reste des éléments supplémentaires, ces chiffres inégal. Mettre entre des chiffres ou des lettres signe inégal. Cette entrée s'appelle inégalité.(Fig. 7)

Riz. sept

Les éléments laissés sans paire indiquent lequel des deux nombres est le plus grand et de combien. (Fig. 8)

Riz. huit

La méthode de comparaison de groupes de figures par appariement n'est pas toujours pratique et prend beaucoup de temps. Vous pouvez comparer des nombres à l'aide d'un rayon numérique. (Fig. 9)

Riz. 9

Comparez ces nombres à l'aide d'un rayon numérique et placez un signe de comparaison.

Nous devons comparer les nombres 2 et 5. Regardons la droite numérique. Le nombre 2 est plus proche de 0 que le nombre 5, ou on dit que le nombre 2 sur la droite numérique est à gauche du nombre 5. Donc 2 n'est pas égal à 5. C'est une inégalité.

Le signe "≠" (non égal) fixe uniquement l'inégalité des nombres, mais n'indique pas lequel d'entre eux est le plus grand et lequel est le plus petit.

Des deux nombres sur la droite numérique, le plus petit est situé à gauche et le plus grand à droite. (Fig. 10)

Riz. Dix

Cette inégalité peut être écrite d'une autre manière, en utilisant moins de signe "< » ou supérieur au signe ">" :

Sur la droite numérique, le chiffre 7 est à droite du chiffre 4, donc :

7 ≠ 4 et 7 > 4

Les nombres 9 et 9 sont égaux, donc on met le signe =, c'est l'égalité :

Comparez le nombre de points et le nombre et mettez le signe correspondant. (Fig. 11)

Riz. Onze

Dans la première figure, nous devons mettre le signe = ou ≠.

Nous comparons deux points et le nombre 2, mettons le signe = entre eux. C'est l'égalité.

On compare un point et le chiffre 3, sur le faisceau numérique le chiffre 1 est plus à gauche que le chiffre 3, mettre le signe ≠.

Nous comparons quatre points et 4. Entre eux, nous mettons le signe =. C'est l'égalité.

On compare trois points et le nombre 4. Trois points est le nombre 3. Sur la droite numérique c'est à gauche, on met le signe ≠. C'est une inégalité. (Fig. 12)

Riz. 12

Dans la deuxième figure, entre les points et les nombres, vous devez mettre des signes =,<, >.

Comparons cinq points et le nombre 5. Entre eux, nous mettons le signe =. C'est l'égalité.

Comparons trois points et le nombre 3. Ici aussi, vous pouvez mettre le signe =.

Comparons cinq points et le nombre 6. Sur la droite numérique, le nombre 5 est plus à gauche que le nombre 6. Nous mettons le signe<. Это неравенство.

Comparons deux points et un, le chiffre 2 est plus à droite sur la droite numérique que le chiffre 1. On met le signe >. C'est une inégalité. (Fig. 13)

Riz. 13

Insérez un nombre dans la case pour que l'égalité et l'inégalité résultantes deviennent vraies.

C'est une inégalité. Regardons la droite numérique. Puisque nous recherchons un nombre inférieur au nombre 7, alors il doit être à gauche du nombre 7 sur la droite numérique. (Fig. 14)

Riz. Quatorze

Plusieurs numéros peuvent être entrés dans la case. Les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 conviennent ici. N'importe lequel d'entre eux peut être remplacé dans la fenêtre et obtenir plusieurs inégalités correctes. Par exemple, 5< 7 или 2 < 7

Sur le faisceau numérique, nous trouvons des nombres qui seront inférieurs à 5. (Fig. 15)

Riz. quinze

Ce sont les nombres 4, 3, 2, 1, 0. Par conséquent, n'importe lequel de ces nombres peut être substitué dans la boîte, nous obtiendrons plusieurs vraies inégalités. Par exemple, 5 > 4, 5 > 3

Un seul numéro 8 peut être remplacé.

Dans cette leçon, nous nous sommes familiarisés avec les concepts mathématiques: "égalité" et "inégalité", appris à placer correctement les signes de comparaison, pratiqué la comparaison de groupes de chiffres en utilisant l'appariement et en comparant les nombres à l'aide d'un faisceau de nombres, ce qui aidera à approfondir l'étude des mathématiques .

Bibliographie

1. Aleksandrova L.A., Mordkovich A.G. Mathématiques 1ère année. - M : Mnémosyne, 2012.
2. Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Mathématiques. 1 classe. - M : Astrel, 2012.
3. Bedenko M.V. Mathématiques. 1 classe. - M7 : mot russe, 2012.

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3. Iqsha.ru ().

Devoirs

1. Quels signes de comparaison connaissez-vous, dans quels cas sont-ils utilisés ? Notez les signes de comparaison des nombres.

2. Comparez le nombre d'éléments dans l'image et mettez le signe "<», «>" ou "=".

3. Comparez les nombres en mettant le signe "<», «>" ou "=".

"L'égalité" est un sujet que les élèves abordent dès école primaire. Elle accompagne également ses "Inégalités". Ces deux notions sont étroitement liées. De plus, des termes tels que des équations, des identités leur sont associés. Qu'est-ce donc que l'égalité ?

Le concept d'égalité

Ce terme s'entend comme des déclarations, dans l'enregistrement desquelles il y a un signe "=". L'égalité est divisée en vrai et en faux. Si dans l'entrée au lieu de = se tient<, >, alors nous parlons sur les inégalités. Soit dit en passant, le premier signe d'égalité indique que les deux parties de l'expression sont identiques dans leur résultat ou leur enregistrement.

En plus du concept d'égalité, le thème "Egalité numérique" est également étudié à l'école. Cette déclaration est comprise comme deux expressions numériques qui se tiennent des deux côtés du signe =. Par exemple, 2*5+7=17. Les deux parties de l'enregistrement sont égales l'une à l'autre.

Dans les expressions numériques de ce type, des parenthèses peuvent être utilisées, affectant l'ordre des opérations. Il y a donc 4 règles à prendre en compte lors du calcul des résultats des expressions numériques.

1. S'il n'y a pas de parenthèses dans l'entrée, les actions sont exécutées à partir du niveau le plus élevé : III→II→I. S'il y a plusieurs actions de la même catégorie, elles sont exécutées de gauche à droite.
2. S'il y a des parenthèses dans l'entrée, l'action est effectuée entre parenthèses, puis en tenant compte des étapes. Peut-être y aura-t-il plusieurs actions entre parenthèses.
3. Si l'expression est exprimée sous forme de fraction, vous devez d'abord calculer le numérateur, puis le dénominateur, puis le numérateur est divisé par le dénominateur.
4. Si l'entrée contient des parenthèses imbriquées, l'expression entre parenthèses intérieures est évaluée en premier.

Donc, maintenant, il est clair ce qu'est l'égalité. À l'avenir, les concepts d'équations, d'identités et de méthodes pour les calculer seront considérés.

Propriétés des égalités numériques

Qu'est-ce que l'égalité ? L'étude de ce concept nécessite la connaissance des propriétés des identités numériques. Les formules de texte suivantes vous permettent de mieux étudier ce sujet. Bien sûr, ces propriétés sont plus adaptées à l'étude des mathématiques au lycée.

1. L'égalité numérique ne sera pas violée si le même nombre est ajouté à l'expression existante dans ses deux parties.

A = B↔ UNE + 5 = B + 5

2. L'équation ne sera pas violée si les deux parties de celle-ci sont multipliées ou divisées par le même nombre ou une expression différente de zéro.

P = O↔ R ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ R : 5 = O : 5

3. En ajoutant aux deux parties de l'identité la même fonction, ce qui a du sens pour toutes les valeurs admissibles de la variable, nous obtenons une nouvelle égalité équivalente à celle d'origine.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Tout terme ou expression peut être transféré de l'autre côté du signe égal, tandis que vous devez changer les signes en sens inverse.

X + 5 = Y - 20 ↔ X \u003d Oui - 20 - 5 ↔ X \u003d Y - 25

5. En multipliant ou en divisant les deux côtés de l'équation par la même fonction non nulle qui a du sens pour chaque valeur de X de l'ODZ, nous obtenons une nouvelle équation équivalente à celle d'origine.

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(X)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)

Les règles ci-dessus renvoient explicitement au principe d'égalité, qui existe sous certaines conditions.

La notion de proportion

En mathématiques, il existe une chose telle que l'égalité des relations. Dans ce cas, la définition de la proportion est implicite. Si vous divisez A par B, le résultat sera le rapport du nombre A au nombre B. La proportion est l'égalité de deux rapports :

Parfois la proportion s'écrit de la manière suivante: UN:B=C :RÉ. De là découle la propriété principale de la proportion : UN*D=RÉ*C, où A et D sont les membres extrêmes de la proportion, et B et C sont ceux du milieu.

Identités

Une identité est une égalité qui sera vraie pour toutes les valeurs valides de ces variables incluses dans la tâche. Les identités peuvent être représentées comme des égalités littérales ou numériques.

Également égaux sont appelés des expressions qui contiennent une variable inconnue dans les deux parties de l'égalité, qui est capable d'assimiler deux parties d'un tout.

Si nous remplaçons une expression par une autre, qui lui sera égale, alors nous parlons d'une transformation identique. Dans ce cas, vous pouvez utiliser les formules de multiplication abrégée, les lois de l'arithmétique et d'autres identités.

Pour réduire la fraction, vous devez effectuer des transformations identiques. Par exemple, étant donné une fraction. Pour obtenir le résultat, vous devez utiliser les formules de multiplication abrégée, de factorisation, de simplification d'expressions et de réduction de fractions.

A noter que cette expression sera identique lorsque le dénominateur n'est pas égal à 3.

5 façons de prouver son identité

Pour prouver que l'égalité est identique, il faut transformer les expressions.

je chemin

Il faut effectuer des transformations équivalentes sur le côté gauche. En conséquence, le membre de droite est obtenu, et nous pouvons dire que l'identité est prouvée.

Méthode II

Toutes les actions de transformation de l'expression se produisent sur le côté droit. Le résultat des manipulations effectuées est le côté gauche. Si les deux parties sont identiques, alors l'identité est prouvée.

Méthode III

Des "transformations" se produisent dans les deux parties de l'expression. Si le résultat est deux parties identiques, l'identité est prouvée.

Méthode IV

Le côté droit est soustrait du côté gauche. À la suite de transformations équivalentes, zéro devrait être obtenu. On peut alors parler de l'identité de l'expression.

5ème voie

Le côté gauche est soustrait du côté droit. Toutes les transformations équivalentes se réduisent au fait que la réponse est zéro. Ce n'est que dans ce cas que l'on peut parler d'identité d'égalité.

Propriétés de base des identités

En mathématiques, les propriétés des égalités sont souvent utilisées pour accélérer le processus de calcul. En raison des identités algébriques de base, le processus de calcul de certaines expressions prendra quelques minutes au lieu de longues heures.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) \u003d X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) \u003d X + Y - C
• X - (Y + C) \u003d X - Y - C
• X - (Y - C) \u003d X - Y + C
• X ∙ Oui = Oui ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, où X ≠ 0

Formules de multiplication abrégées

À la base, les formules de multiplication abrégées sont des égalités. Ils aident à résoudre de nombreux problèmes en mathématiques en raison de leur simplicité et de leur facilité d'utilisation.

• (A + B) 2 \u003d A 2 + 2 ∙ A ∙ B + B 2 - le carré de la somme d'une paire de nombres;

• (A - B) 2 \u003d A 2 - 2 ∙ A ∙ B + B 2 - le carré de la différence entre une paire de nombres;

• (C + B) ∙ (C - B) \u003d C 2 - B 2 - différence de carrés;

• (A + B) 3 \u003d A 3 + 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 + B 3 - le cube de la somme;

• (A - B) 3 \u003d A 3 - 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 - B 3 - cube de différence;

• (P + B) ∙ (P 2 - P ∙ B + B 2) \u003d P 3 + B 3 - la somme des cubes;

• (P - B) ∙ (P 2 + P ∙ B + B 2) \u003d P 3 - B 3 - la différence des cubes.

Les formules de multiplication abrégées sont souvent utilisées s'il est nécessaire de ramener le polynôme à sa forme habituelle, en le simplifiant de toutes les manières possibles. Les formules présentées se prouvent simplement : il suffit d'ouvrir les parenthèses et d'amener des termes semblables.

Équations

Après avoir étudié la question de savoir ce qu'est l'égalité, vous pouvez passer au point suivant : Une équation est comprise comme une égalité dans laquelle il y a des quantités inconnues. La solution de l'équation est la découverte de toutes les valeurs de la variable, dans laquelle les deux parties de l'expression entière seront égales. Il y a aussi des tâches dans lesquelles il est impossible de trouver des solutions à l'équation. Dans ce cas, on dit qu'il n'y a pas de racines.

En règle générale, les égalités avec des inconnues donnent des nombres entiers comme solutions. Cependant, il existe des cas où la racine est un vecteur, une fonction et d'autres objets.

Une équation est l'un des concepts les plus importants en mathématiques. La plupart des problèmes scientifiques et pratiques ne permettent pas de mesurer ou de calculer une quelconque valeur. Par conséquent, il est nécessaire d'établir un ratio qui satisfera à toutes les conditions de la tâche. Dans le processus de compilation d'une telle relation, une équation ou un système d'équations apparaît.

Habituellement, résoudre une égalité à inconnue revient à transformer une équation complexe et à la réduire à formes simples. Il faut se rappeler que les transformations doivent être effectuées par rapport aux deux parties, sinon la sortie sera un résultat incorrect.

4 façons de résoudre une équation

Par résolution d'une équation, on entend le remplacement d'une égalité donnée par une autre, équivalente à la première. Une telle substitution est connue sous le nom de transformation à l'identique. Pour résoudre l'équation, vous devez utiliser l'une des méthodes.

1. Une expression est remplacée par une autre, qui sera nécessairement identique à la première. Exemple : (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Cette expression peut être convertie en 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10.

2. Transférer les termes d'égalité avec l'inconnu d'un côté à l'autre. Dans ce cas, il est nécessaire de changer les signes correctement. La moindre erreur ruinera tout le travail effectué. Prenons l'"échantillon" précédent comme exemple.

9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Multiplier les deux côtés de l'égalité par un nombre égal ou une expression différente de 0. Cependant, il convient de rappeler que si la nouvelle équation n'est pas équivalente à l'égalité avant les transformations, le nombre de racines peut changer de manière significative.

4. Mettre au carré les deux côtés de l'équation. Cette méthode est tout simplement merveilleuse, surtout lorsqu'il y a des expressions irrationnelles dans l'égalité, c'est-à-dire l'expression en dessous. Il y a une mise en garde : si vous élevez l'équation à une puissance paire, des racines étrangères peuvent apparaître et déformer l'essence de la tâche. Et s'il est faux d'extraire la racine, le sens de la question dans le problème ne sera pas clair. Exemple : │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 et 2) - 7∙х = 35 → l'équation sera résolue correctement.

Ainsi, dans cet article, des termes tels que les équations et les identités sont mentionnés. Tous viennent du concept d'« égalité ». Grâce à divers types d'expressions équivalentes, la résolution de certains problèmes est grandement facilitée.