1.Exponenciálna funkcia je funkciou tvaru y(x) =ax, v závislosti od exponentu x, s konštantnou hodnotou základne stupňa a, kde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množina reálnych čísel) .
Zvážte graf funkcie, ak základ nespĺňa podmienku: a>0
a) a< 0
Ak< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Ak a = 0 - funkcia y = je definovaná a má konštantnú hodnotu 0
c) a \u003d 1
Ak a = 1 - funkcia y = je definovaná a má konštantnú hodnotu 1
Funkčná doména (OOF) Oblasť povolených funkčných hodnôt (ODZ) 3. Nuly funkcie (y = 0) 4. Priesečníky s osou y (x = 0) 5. Zvyšujúca sa, klesajúca funkcia Ak , potom funkcia f(x) rastie 6. Párne, nepárne funkcie Funkcia y = nie je symetrická okolo osi 0y a okolo pôvodu, preto nie je ani párna, ani nepárna. (všeobecná funkcia) 7. Funkcia y \u003d nemá žiadne extrémy 8. Vlastnosti stupňa so skutočným exponentom: Nech a > 0; a≠1 Potom pre xϵR; yϵR: Vlastnosti stupňa monotónnosti: Ak potom Ak a> 0, potom . 9. Relatívne umiestnenie funkcie Čím väčšia je základňa a, tým bližšie k osám x a y a > 1, a = 20 Príklad 1 Najprv predstavíme definíciu exponenciálnej funkcie. Exponenciálna funkcia $f\left(x\right)=a^x$, kde $a >1$. Predstavme si vlastnosti exponenciálnej funkcie pre $a >1$. \ \[bez koreňov\] \ Priesečník so súradnicovými osami. Funkcia nepretína os $Ox$, ale pretína os $Oy$ v bode $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[bez koreňov\] \ Graf (obr. 1). Obrázok 1. Graf funkcie $f\left(x\right)=a^x,\ pre \ a >1$. Predstavme si vlastnosti exponenciálnej funkcie pre $0 Oblasťou definície sú všetky reálne čísla. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkcia nie je ani párna, ani nepárna. $f(x)$ je spojité na celej doméne definície. Rozsah hodnôt je interval $(0,+\infty)$. $f"(x)=\vľavo(a^x\vpravo)"=a^xlna$ \ \[bez koreňov\] \ \[bez koreňov\] \ Funkcia je konvexná v celej oblasti definície. Správanie na konci rozsahu: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Graf (obr. 2). Preskúmajte a nakreslite funkciu $y=2^x+3$. Riešenie. Urobme štúdiu na príklade vyššie uvedenej schémy: Oblasťou definície sú všetky reálne čísla. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funkcia nie je ani párna, ani nepárna. $f(x)$ je spojité na celej doméne definície. Rozsah hodnôt je interval $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície. $f(x)\ge 0$ cez celú doménu definície. Priesečník so súradnicovými osami. Funkcia nepretína os $Ox$, ale pretína os $Oy$ v bode ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ Funkcia je konvexná v celej oblasti definície. Správanie na konci rozsahu: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Graf (obr. 3). Obrázok 3. Graf funkcie $f\left(x\right)=2^x+3$
lekcia č.2
Téma: Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf. Cieľ: Skontrolujte kvalitu asimilácie konceptu „exponenciálnej funkcie“; rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie; poskytnúť pracovné prostredie v triede. Vybavenie: tabuľka, plagáty Formulár lekcie: učebňa Typ lekcie: praktická lekcia Typ lekcie: lekcia nácviku zručností Plán lekcie 1. Organizačný moment 2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh 3. Riešenie problémov 4. Zhrnutie 5. Domáce úlohy Počas vyučovania. 1. Organizačný moment
: Ahoj. Otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny „Exponenciálna funkcia“. Dnes budeme pokračovať v štúdiu exponenciálnej funkcie, jej vlastností a grafu. 2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh
.
Cieľ: skontrolovať kvalitu asimilácie pojmu „exponenciálna funkcia“ a skontrolovať splnenie teoretickej časti domácej úlohy metóda: testovacia úloha, frontálny prieskum Ako domácu úlohu ste dostali čísla z učebnice úloh a odsek z učebnice. Vykonávanie čísel z učebnice teraz nebudeme kontrolovať, ale zošity odovzdáte na konci hodiny. Teraz bude teória testovaná formou malého testu. Úloha je pre všetkých rovnaká: dostanete zoznam funkcií, musíte zistiť, ktoré z nich sú orientačné (podčiarknite ich). A k exponenciálnej funkcii treba napísať, či je rastúca alebo klesajúca.
2. Zvážte exponenciálnu funkciu podrobnejšie:
0
Ak , potom funkcia f(x) klesá
Funkcia y= , pri 0
Vyplýva to z monotónnych vlastností stupňa so skutočným exponentom.
b > 0; b≠1
Napríklad:
Exponenciálna funkcia je spojitá v akomkoľvek bode ϵ R.
Ak a0, potom má exponenciálna funkcia tvar blízky y = 0.
Ak a1, potom ďalej od osí x a y a graf má tvar blízky funkcii y \u003d 1.
Zápletka y=
Exponenciálna funkcia $f\left(x\right)=a^x$, kde $0
Príklad úlohy na zostrojenie exponenciálnej funkcie
možnosť 1 Odpoveď b) D) - exponenciálny, klesajúci | Možnosť 2 Odpoveď D) - exponenciálny, klesajúci D) - orientačný, zvyšujúci sa |
Možnosť 3 Odpoveď ALE) - orientačný, zvyšujúci sa b) - exponenciálny, klesajúci | Možnosť 4 Odpoveď ALE) - exponenciálny, klesajúci IN) - orientačný, zvyšujúci sa |
Teraz si spoločne pripomeňme, aká funkcia sa nazýva exponenciálna?
Funkcia tvaru , kde a , sa nazýva exponenciálna funkcia.
Aký je rozsah tejto funkcie?
Všetky reálne čísla.
Aký je rozsah exponenciálnej funkcie?
Všetky kladné reálne čísla.
Znižuje sa, ak je základ väčší ako nula, ale menší ako jedna.
Kedy klesá exponenciálna funkcia na svojom doméne?
Zvyšuje sa, ak je základňa väčšia ako jedna.
3. Riešenie problémov
Cieľ: rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie
Metóda: ukážka riešenia typických úloh učiteľom, ústna práca, práca pri tabuli, práca v zošite, rozhovor učiteľa so žiakmi.
Vlastnosti exponenciálnej funkcie možno využiť pri porovnávaní 2 a viacerých čísel. Napríklad: č. 000. Porovnajte hodnoty a ak a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, potom je to dosť zložitá úloha: museli by sme vziať odmocninu z 3 a 9 a porovnať ich. Vieme však, že sa to zvyšuje. je vo vlastnom rade znamená, že keď sa argument zvýši, hodnota funkcie sa zvýši, to znamená, že nám stačí porovnať hodnoty argumentu medzi sebou a samozrejme, že 
(možno demonštrovať na plagáte so zvyšujúcou sa exponenciálnou funkciou). A vždy pri riešení takýchto príkladov najskôr určte základ exponenciálnej funkcie, porovnajte s 1, určte monotónnosť a pristúpte k porovnávaniu argumentov. V prípade klesajúcej funkcie: ako argument rastie, hodnota funkcie klesá, preto sa pri prechode z nerovnosti argumentov na nerovnosť funkcií zmení znamienko nerovnosti. Potom riešime ústne: b) 
- 
IN) 
- 
G) 
- 
- č. 000. Porovnajte čísla: a) a
Preto sa funkcia zvyšuje
prečo?
Zvýšenie funkcie a 
Preto funkcia klesá 
Obe funkcie sa zvyšujú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom väčším ako jedna.
aký to má zmysel?
Vytvárame grafy:
Ktorá funkcia rastie rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Ktorá funkcia klesá rýchlejšie, keď sa snažíte https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprv zistime rozsah týchto funkcií. zhodovať sa?
Áno, doménou týchto funkcií sú všetky reálne čísla.
Pomenujte rozsah každej z týchto funkcií.
Rozsahy týchto funkcií sa zhodujú: všetky kladné reálne čísla.
Určte typ monotónnosti každej z funkcií.
Všetky tri funkcie klesajú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom menším ako jedna a väčším ako nula.
Aký je singulárny bod grafu exponenciálnej funkcie?
aký to má zmysel?
Bez ohľadu na základ stupňa exponenciálnej funkcie, ak je exponent 0, potom je hodnota tejto funkcie 1.
Vytvárame grafy:
Poďme analyzovať grafy. Koľko priesečníkov majú grafy funkcií?
Ktorá funkcia sa pri úsilí znižuje rýchlejšie? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Ktorá funkcia rastie rýchlejšie, keď sa snažíte? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?
Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?
Prečo majú exponenciálne funkcie s rôznymi základňami iba jeden priesečník?
Exponenciálne funkcie sú prísne monotónne v celej svojej doméne definície, takže sa môžu pretínať iba v jednom bode.
Ďalšia úloha sa zameria na využitie tejto vlastnosti. № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a). Pripomeňme, že striktne monotónna funkcia má svoje minimálne a maximálne hodnoty na konci daného intervalu. A ak sa funkcia zvyšuje, jej najväčšia hodnota bude na pravom konci segmentu a najmenšia na ľavom konci segmentu (demonštrácia na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Ak je funkcia klesajúca, jej najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu a najmenšia na pravom konci segmentu (demonštrácia na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Funkcia sa zvyšuje, pretože preto najmenšia hodnota funkcie bude v bode https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) 
, v) 
d) riešte zošity svojpomocne, skontrolujeme ústne.
Žiaci riešia úlohu vo svojom zošite
|
Funkcia klesania
|
Funkcia klesania
|
Zvyšujúca sa funkcia
|
najväčšia hodnota funkcie na intervale
najmenšia hodnota funkcie na segmente
najmenšia hodnota funkcie na segmente
najväčšia hodnota funkcie na intervale- № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) 
. Táto úloha je takmer rovnaká ako predchádzajúca. Ale tu nie je daný segment, ale lúč. Vieme, že funkcia sa zvyšuje a nemá ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu na celom číselnom rade https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenciu k , tj na lúči má funkcia at tendenciu k 0, ale nemá svoju najmenšiu hodnotu, ale má najväčšiu hodnotu v bode 
. Body b) 
, v) 
, G) 
Vyriešte si vlastné zošity, skontrolujeme to ústne.
Exponenciálna funkcia je zovšeobecnenie súčinu n čísel rovných a:
r (n) = a n = a a a a,
na množinu reálnych čísel x :
r (x) = x.
Tu a je pevné reálne číslo, ktoré sa nazýva základ exponenciálnej funkcie.
Nazýva sa aj exponenciálna funkcia so základom a exponenciálny k základu a.
Zovšeobecnenie sa uskutočňuje nasledovne.
Pre prirodzené x = 1, 2, 3,...
, exponenciálna funkcia je súčinom x faktorov:
.
Okrem toho má vlastnosti (1,5-8) (), ktoré vyplývajú z pravidiel pre násobenie čísel. Pri nulových a záporných hodnotách celých čísel je exponenciálna funkcia určená vzorcami (1,9-10). Pre zlomkové hodnoty x = m/n racionálnych čísel, sa určuje podľa vzorca (1.11). V skutočnosti je exponenciálna funkcia definovaná ako limit postupnosti:
,
kde je ľubovoľná postupnosť racionálnych čísel konvergujúcich k x : .
Pomocou tejto definície je exponenciálna funkcia definovaná pre všetky a spĺňa vlastnosti (1.5-8), ako aj pre prirodzené x .
Dôkladná matematická formulácia definície exponenciálnej funkcie a dôkaz jej vlastností je uvedený na stránke "Definícia a dôkaz vlastností exponenciálnej funkcie".
Vlastnosti exponenciálnej funkcie
Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel () nasledujúce vlastnosti:
(1.1)
je definovaný a spojitý, pre , pre všetkých ;
(1.2)
keď a ≠ 1
má veľa významov;
(1.3)
prísne sa zvyšuje o , striktne klesá o ,
je konštantná pri ;
(1.4)
v ;
v ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Ďalšie užitočné vzorce
.
Vzorec na prevod na exponenciálnu funkciu s inou mocninou:
Pre b = e dostaneme vyjadrenie exponenciálnej funkcie z hľadiska exponentu:
Súkromné hodnoty
, , , , .
Na obrázku sú znázornené grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = x
pre štyri hodnoty stupňa základov:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
a = 1/8
. Je vidieť, že pre > 1
exponenciálna funkcia monotónne rastie. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým silnejší je rast. o 0
< a < 1
exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.
Stúpajúci klesajúci
Exponenciálna funkcia at je prísne monotónna, takže nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.
| y = a x, a > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| doména | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rozsah hodnôt | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotónne | zvyšuje monotónne | klesá monotónne |
| Nuly, y= 0 | nie | nie |
| Priesečníky s osou y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Inverzná funkcia
Prevrátená hodnota exponenciálnej funkcie so základom stupňa a je logaritmus k základu a.
Ak potom
.
Ak potom
.
Diferenciácia exponenciálnej funkcie
Na diferenciáciu exponenciálnej funkcie je potrebné zredukovať jej základ na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo pre derivovanie komplexnej funkcie.
Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.
Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:
Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie. Na tento účel zavedieme premennú
Potom
Z tabuľky derivátov máme (nahradiť premennú x za z ):
.
Keďže je konštanta, derivácia z vzhľadom na x je
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Derivácia exponenciálnej funkcie
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >
Príklad diferenciácie exponenciálnej funkcie
Nájdite deriváciu funkcie
y= 35 x
Riešenie
Základ exponenciálnej funkcie vyjadrujeme číslom e.
3 = e log 3
Potom
.
Zavádzame premennú
.
Potom
Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Pokiaľ ide o 5ln 3 je konštanta, potom derivácia z vzhľadom na x je:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.
Odpoveď
Integrálne
Výrazy v komplexných číslach
Zvážte funkciu komplexných čísel z:
f (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1
.
Komplexnú konštantu a vyjadríme pomocou modulu r a argumentu φ :
a = r e i φ
Potom
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Všeobecne
φ = φ 0 + 2 pn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) je tiež nejednoznačný. Často sa považuje za jeho hlavný význam
.
Rozšírenie v sérii
.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.