Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article sous le titre LCM - plus petit commun multiple, définition, exemples, relation entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), et Attention particulière Jetons un coup d'œil aux exemples. Montrons d'abord comment le LCM de deux nombres est calculé en fonction du PGCD de ces nombres. Ensuite, envisagez de trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.
Navigation dans les pages.
Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via pgcd
Une façon de trouver le plus petit multiple commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La relation existante entre LCM et GCD vous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via le plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante a la forme PPCM(a, b)=a b : PGCD(a, b) . Considérons des exemples de recherche du LCM selon la formule ci-dessus.
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple des deux nombres 126 et 70.
La solution.
Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la relation entre LCM et GCD exprimée par la formule PPCM(a, b)=a b : PGCD(a, b). Autrement dit, nous devons d'abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres selon la formule écrite.
Trouvez pgcd(126, 70) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , donc pgcd(126, 70)=14 .
Maintenant, nous trouvons le plus petit multiple commun requis : PPCM(126, 70)=126 70 : PGCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Réponse:
PPCM(126, 70)=630 .
Exemple.
Qu'est-ce que LCM(68, 34) ?
La solution.
Car 68 est divisible par 34 , alors pgcd(68, 34)=34 . Calculons maintenant le plus petit commun multiple : PPCM(68, 34)=68 34 : PPCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Réponse:
LCM(68, 34)=68 .
Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b , alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a .
Trouver le LCM en factorisant des nombres en facteurs premiers
Une autre façon de trouver le multiple le plus commun est basée sur la factorisation des nombres en facteurs premiers. Si nous faisons un produit de tous les facteurs premiers de ces nombres, après quoi nous excluons de ce produit tous les facteurs premiers communs qui sont présents dans les développements de ces nombres, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple de ces nombres.
La règle annoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité PPCM(a, b)=a b : PGCD(a, b). En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans les développements des nombres a et b. À son tour, pgcd(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers qui sont simultanément présents dans les développements des nombres a et b (ce qui est décrit dans la section sur la recherche du pgcd en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers ).
Prenons un exemple. Sachons que 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Composez le produit de tous les facteurs de ces expansions : 2 3 3 5 5 5 7 . Maintenant, nous excluons de ce produit tous les facteurs qui sont présents à la fois dans l'expansion du nombre 75 et dans l'expansion du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2 3 5 5 7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple des nombres 75 et 210, c'est-à-dire LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Exemple.
Après avoir factorisé les nombres 441 et 700 en facteurs premiers, trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.
La solution.
Décomposons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers :
Nous obtenons 441=3 3 7 7 et 700=2 2 5 5 7 .
Faisons maintenant un produit de tous les facteurs impliqués dans les expansions de ces nombres : 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y en a qu'un seul - c'est le nombre 7) : 2 2 3 3 5 5 7 7 . De cette façon, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Réponse:
LCM(441, 700)= 44 100 .
La règle pour trouver le LCM en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si nous ajoutons les facteurs manquants de l'expansion du nombre b aux facteurs de l'expansion du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b.
Par exemple, prenons tous les mêmes nombres 75 et 210, leurs développements en facteurs premiers sont les suivants : 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Aux facteurs 3, 5 et 5 issus de la décomposition du nombre 75, on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 issus de la décomposition du nombre 210, on obtient le produit 2 3 5 5 7 , dont la valeur est LCM(75 , 210) .
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.
La solution.
On obtient d'abord la décomposition des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2 2 3 7 et 648=2 2 2 3 3 3 3 . Aux facteurs 2 , 2 , 3 et 7 issus de la décomposition du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2 , 3 , 3 et 3 issus de la décomposition du nombre 648 , on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 , qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit multiple commun souhaité des nombres 84 et 648 est 4 536.
Réponse:
LCM(84, 648)=4 536 .
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant successivement le PPCM de deux nombres. Rappelez-vous le théorème correspondant, qui donne un moyen de trouver le LCM de trois nombres ou plus.
Théorème.
Soient donnés des entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k , le plus petit commun multiple m k de ces nombres se trouve dans le calcul séquentiel m 2 = PPCM (a 1 , a 2) , m 3 = PPCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Considérons l'application de ce théorème sur l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.
Exemple.
Trouvez le LCM des quatre nombres 140 , 9 , 54 et 250 .
La solution.
Dans cet exemple a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
On trouve d'abord m 2 \u003d LCM (un 1, un 2) \u003d LCM (140, 9). Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine pgcd(140, 9) , on a 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , donc pgcd( 140, 9)=1 , d'où PPCM(140, 9)=140 9 : PPCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Autrement dit, m 2 =1 260 .
Maintenant, nous trouvons m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calculons-le par pgcd(1 260, 54) , qui est également déterminé par l'algorithme d'Euclide : 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Alors pgcd(1 260, 54)=18 , d'où LCM(1 260, 54)= 1 260 54:pgcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Soit m 3 \u003d 3 780.
Reste à trouver m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pour ce faire, on trouve PGCD(3 780, 250) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Donc, pgcd(3 780, 250)=10 , d'où pgcd(3 780, 250)= 3 780 250:pgcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Soit m 4 \u003d 94 500.
Ainsi, le plus petit multiple commun des quatre nombres originaux est 94 500.
Réponse:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Dans de nombreux cas, le plus petit multiple commun de trois nombres ou plus est facilement trouvé en utilisant des factorisations premières de nombres donnés. Dans ce cas, la règle suivante doit être suivie. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre sont ajoutés à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement de le troisième nombre est ajouté aux facteurs obtenus, et ainsi de suite.
Considérons un exemple de recherche du plus petit commun multiple en utilisant la décomposition de nombres en facteurs premiers.
Exemple.
Trouvez le plus petit commun multiple de cinq nombres 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
La solution.
Premièrement, on obtient les développements de ces nombres en facteurs premiers : 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 facteurs premiers) et 143=11 13 .
Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2 , 2 , 3 et 7 ) vous devez ajouter les facteurs manquants de l'expansion du deuxième nombre 6 . Le développement du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque 2 et 3 sont déjà présents dans le développement du premier nombre 84 . En plus des facteurs 2 , 2 , 3 et 7 , nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 du développement du troisième nombre 48 , nous obtenons un ensemble de facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 . Il n'est pas nécessaire d'ajouter des facteurs à cet ensemble à l'étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 du développement du nombre 143 . On obtient le produit 2 2 2 2 3 7 11 13 , qui est égal à 48 048 .
Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisibles sans reste est appelé plus grand diviseur commun ces chiffres. Notons PGCD(a, b).
Envisagez de trouver le PGCD en utilisant l'exemple de deux nombres naturels 18 et 60 :
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 et 432
Décomposons les nombres en facteurs premiers :
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Supprimez du premier nombre, dont les facteurs ne sont pas dans les deuxième et troisième nombres, nous obtenons:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
À la suite de GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Trouver GCD avec l'algorithme d'Euclide
La deuxième façon de trouver le plus grand diviseur commun en utilisant Algorithme d'Euclide. L'algorithme d'Euclide est le plus façon efficace découverte PGCD, en l'utilisant, vous devez constamment trouver le reste de la division des nombres et appliquer formule récurrente.
Formule récurrente pour GCD, pgcd(a, b)=pgcd(b, a mod b), où a mod b est le reste de la division de a par b.
Algorithme d'Euclide
Exemple Trouver le plus grand commun diviseur de nombres 7920 et 594
Trouvons GCD( 7920 , 594 ) en utilisant l'algorithme d'Euclide, nous calculerons le reste de la division à l'aide d'une calculatrice.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
En conséquence, nous obtenons PGCD( 7920 , 594 ) = 198
Multiple moins commun
Afin de trouver un dénominateur commun lors de l'addition et de la soustraction de fractions avec des dénominateurs différents, vous devez connaître et être capable de calculer multiple moins commun(CNO).
Un multiple du nombre « a » est un nombre lui-même divisible par le nombre « a » sans reste.
Les nombres multiples de 8 (c'est-à-dire que ces nombres seront divisés par 8 sans reste) : ce sont les nombres 16, 24, 32...
Multiples de 9 : 18, 27, 36, 45…
Il existe une infinité de multiples d'un nombre a donné, contrairement aux diviseurs d'un même nombre. Diviseurs - un nombre fini.
Un multiple commun de deux nombres naturels est un nombre qui est également divisible par ces deux nombres..
Multiple moins commun(LCM) de deux ou plusieurs nombres naturels est le plus petit nombre naturel qui est lui-même divisible par chacun de ces nombres.
Comment trouver le CNO
LCM peut être trouvé et écrit de deux manières.
La première façon de trouver le LCM
Cette méthode est généralement utilisée pour les petits nombres.
- Nous écrivons les multiples de chacun des nombres sur une ligne jusqu'à ce qu'il y ait un multiple identique pour les deux nombres.
- Un multiple du nombre « a » est désigné par une lettre majuscule « K ».
Exemple. Trouvez LCM 6 et 8.
La deuxième façon de trouver le LCM
Cette méthode est pratique à utiliser pour trouver le LCM pour trois nombres ou plus.
Le nombre de facteurs identiques dans les développements de nombres peut être différent.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Réponse : LCM (24, 60) = 120
Vous pouvez également vérifier comment trouver le plus petit commun multiple (LCM) de la manière suivante. Trouvons le LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Comme nous pouvons le voir à partir de l'expansion des nombres, tous les facteurs de 12 sont inclus dans l'expansion de 24 (le plus grand des nombres), nous n'ajoutons donc qu'un seul 2 de l'expansion du nombre 16 au LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Réponse : LCM (12, 16, 24) = 48
Cas particuliers de recherche de CNO
Par exemple, PPCM(60, 15) = 60
Puisque les nombres premiers entre eux n'ont pas de diviseurs premiers communs, leur plus petit multiple commun est égal au produit de ces nombres.
Sur notre site, vous pouvez également utiliser une calculatrice spéciale pour trouver le plus petit commun multiple en ligne afin de vérifier vos calculs.
Si un nombre naturel n'est divisible que par 1 et lui-même, alors il est dit premier.
Tout nombre naturel est toujours divisible par 1 et lui-même.
Le nombre 2 est le plus petit nombre premier. C'est le seul nombre premier pair, les autres nombres premiers sont impairs.
Il existe de nombreux nombres premiers et le premier d'entre eux est le nombre 2. Cependant, il n'y a pas de dernier nombre premier. Dans la rubrique "A étudier", vous pouvez télécharger un tableau des nombres premiers jusqu'à 997.
Mais de nombreux nombres naturels sont divisibles de manière égale par d'autres nombres naturels.
- le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
- 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
- décomposer les diviseurs de nombres en facteurs premiers ;
Les nombres par lesquels le nombre est divisible de manière égale (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés les diviseurs du nombre.
Le diviseur d'un nombre naturel a est un nombre naturel qui divise le nombre donné "a" sans reste.
Un nombre naturel qui a plus de deux facteurs est appelé un nombre composé.
Notez que les nombres 12 et 36 ont des diviseurs communs. Ce sont des nombres : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12.
Le diviseur commun de deux nombres donnés "a" et "b" est le nombre par lequel les deux nombres donnés "a" et "b" sont divisés sans reste.
Plus grand diviseur commun(GCD) de deux nombres donnés "a" et "b" est le plus grand nombre par lequel les deux nombres "a" et "b" sont divisibles sans reste.
Brièvement, le plus grand diviseur commun des nombres "a" et "b" s'écrit comme suit:
Exemple : pgcd (12 ; 36) = 12 .
Les diviseurs de nombres dans l'enregistrement de solution sont désignés par une lettre majuscule "D".
Les nombres 7 et 9 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces numéros sont appelés nombres premiers.
Nombres premiers sont des nombres naturels qui n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Leur PGCD est 1.
Comment trouver le plus grand diviseur commun
Pour trouver le pgcd de deux nombres naturels ou plus, vous avez besoin de :
Les calculs sont facilement écrits à l'aide d'une barre verticale. À gauche de la ligne, écrivez d'abord le dividende, à droite - le diviseur. Plus loin dans la colonne de gauche, nous écrivons les valeurs de private.
Expliquons tout de suite avec un exemple. Factorisons les nombres 28 et 64 en facteurs premiers.
- Soulignez les mêmes facteurs premiers dans les deux nombres.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Nous trouvons le produit de facteurs premiers identiques et écrivons la réponse;
PGCD (28 ; 64) = 2 2 = 4
Réponse : PGCD (28 ; 64) = 4
Vous pouvez organiser l'emplacement du GCD de deux manières : dans une colonne (comme cela a été fait ci-dessus) ou "dans une ligne".
La première façon d'écrire GCD
Trouver PGCD 48 et 36.
PGCD (48 ; 36) = 2 2 3 = 12
La deuxième façon d'écrire GCD
Écrivons maintenant la solution de recherche GCD sur une ligne. Trouvez PGCD 10 et 15.
Sur notre site d'information, vous pouvez également trouver le plus grand commun diviseur en ligne en utilisant le programme d'aide pour vérifier vos calculs.
Trouver le plus petit multiple commun, méthodes, exemples de trouver le LCM.
Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article sous le titre LCM - Least Common Multiple, définition, exemples, relation entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), et accordez une attention particulière à la résolution d'exemples. Montrons d'abord comment le LCM de deux nombres est calculé en fonction du PGCD de ces nombres. Ensuite, envisagez de trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.
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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via pgcd
Une façon de trouver le plus petit multiple commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La relation existante entre LCM et GCD vous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via le plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante a la forme PPCM(a, b)=a b : PGCD(a, b). Considérons des exemples de recherche du LCM selon la formule ci-dessus.
Trouvez le plus petit commun multiple des deux nombres 126 et 70.
Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons le lien de LCM avec GCD, qui s'exprime par la formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Autrement dit, nous devons d'abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres selon la formule écrite.
Trouvez pgcd(126, 70) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , donc pgcd(126, 70)=14 .
Maintenant, nous trouvons le plus petit commun multiple requis : LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Qu'est-ce que LCM(68, 34) ?
Puisque 68 est divisible par 34 , alors pgcd(68, 34)=34 . Calculons maintenant le plus petit commun multiple : LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b , alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a .
Trouver le LCM en factorisant des nombres en facteurs premiers
Une autre façon de trouver le multiple le plus commun est basée sur la factorisation des nombres en facteurs premiers. Si nous faisons un produit de tous les facteurs premiers de ces nombres, après quoi nous excluons de ce produit tous les facteurs premiers communs qui sont présents dans les développements de ces nombres, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple de ces nombres.
La règle annoncée pour trouver le PPCM découle de l'égalité PPCM(a, b)=a b : PGCD(a, b) . En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans les développements des nombres a et b. À son tour, pgcd(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers qui sont simultanément présents dans les développements des nombres a et b (ce qui est décrit dans la section sur la recherche du pgcd en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers ).
Prenons un exemple. Sachons que 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Composez le produit de tous les facteurs de ces expansions : 2 3 3 5 5 5 7 . Maintenant, nous excluons de ce produit tous les facteurs qui sont présents à la fois dans l'expansion du nombre 75 et dans l'expansion du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2 3 5 5 7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple de 75 et 210 , soit PPCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Après avoir factorisé les nombres 441 et 700 en facteurs premiers, trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.
Décomposons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers : 
Nous obtenons 441=3 3 7 7 et 700=2 2 5 5 7 .
Faisons maintenant un produit de tous les facteurs impliqués dans les expansions de ces nombres : 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y en a qu'un seul - c'est le nombre 7) : 2 2 3 3 5 5 7 7 . Donc LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
La règle pour trouver le LCM en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si nous ajoutons les facteurs manquants de l'expansion du nombre b aux facteurs de l'expansion du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b.
Par exemple, prenons tous les mêmes nombres 75 et 210, leurs développements en facteurs premiers sont les suivants : 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Aux facteurs 3, 5 et 5 du développement du nombre 75, on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 du développement du nombre 210, on obtient le produit 2 3 5 5 7 , dont la valeur est LCM(75 , 210) .
Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.
On obtient d'abord la décomposition des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2 2 3 7 et 648=2 2 2 3 3 3 3 . Aux facteurs 2 , 2 , 3 et 7 du développement du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2 , 3 , 3 et 3 du développement du nombre 648 , on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 , qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit multiple commun souhaité des nombres 84 et 648 est 4 536.
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant successivement le PPCM de deux nombres. Rappelez-vous le théorème correspondant, qui donne un moyen de trouver le LCM de trois nombres ou plus.
Soient donnés des entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k , le plus petit commun multiple m k de ces nombres se trouve dans le calcul séquentiel m 2 = PPCM (a 1 , a 2) , m 3 = PPCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Considérons l'application de ce théorème sur l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.
Trouvez le LCM des quatre nombres 140 , 9 , 54 et 250 .
On trouve d'abord m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine pgcd(140, 9) , on a 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , donc pgcd( 140, 9)=1 , d'où LCM(140, 9)=140 9 : PGCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Autrement dit, m 2 =1 260 .
Nous trouvons maintenant m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Calculons-le par pgcd(1 260, 54) , qui est également déterminé par l'algorithme d'Euclide : 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Alors pgcd(1 260, 54)=18 , d'où LCM(1 260, 54)= 1 260 54:pgcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Soit m 3 \u003d 3 780.
Il reste à trouver m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Pour ce faire, on trouve PGCD(3 780, 250) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Par conséquent, pgcd(3 780, 250)=10 , donc LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Soit m 4 \u003d 94 500.
Ainsi, le plus petit multiple commun des quatre nombres originaux est 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Dans de nombreux cas, le plus petit multiple commun de trois nombres ou plus est facilement trouvé en utilisant des factorisations premières de nombres donnés. Dans ce cas, la règle suivante doit être suivie. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre sont ajoutés à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement de le troisième nombre est ajouté aux facteurs obtenus, et ainsi de suite.
Considérons un exemple de recherche du plus petit commun multiple en utilisant la décomposition de nombres en facteurs premiers.
Trouvez le plus petit commun multiple de cinq nombres 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
On obtient d'abord des décompositions de ces nombres en facteurs premiers : 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 est un nombre premier, il coïncide avec sa décomposition en facteurs premiers) et 143=11 13 .
Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2 , 2 , 3 et 7) vous devez ajouter les facteurs manquants de l'expansion du deuxième nombre 6 . Le développement du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque 2 et 3 sont déjà présents dans le développement du premier nombre 84 . En plus des facteurs 2 , 2 , 3 et 7 , nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 du développement du troisième nombre 48 , nous obtenons un ensemble de facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 . Il n'est pas nécessaire d'ajouter des facteurs à cet ensemble à l'étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 du développement du nombre 143 . On obtient le produit 2 2 2 2 3 7 11 13 , qui est égal à 48 048 .
Par conséquent, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs
Parfois, il y a des tâches dans lesquelles vous devez trouver le plus petit multiple commun de nombres, parmi lesquels un, plusieurs ou tous les nombres sont négatifs. Dans ces cas, tous les nombres négatifs doivent être remplacés par leurs nombres opposés, après quoi le LCM des nombres positifs doit être trouvé. C'est le moyen de trouver le PPCM des nombres négatifs. Par exemple, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) et LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Nous pouvons le faire parce que l'ensemble des multiples de a est le même que l'ensemble des multiples de −a (a et −a sont des nombres opposés). En effet, soit b un multiple de a , alors b est divisible par a , et la notion de divisibilité affirme l'existence d'un entier q tel que b=a q . Mais l'égalité b=(−a)·(−q) sera également vraie, ce qui, en vertu du même concept de divisibilité, signifie que b est divisible par −a , c'est-à-dire que b est un multiple de −a . L'énoncé inverse est également vrai : si b est un multiple de −a , alors b est aussi un multiple de a .
Trouvez le plus petit commun multiple des nombres négatifs -145 et -45.
Remplaçons les nombres négatifs −145 et −45 par leurs nombres opposés 145 et 45 . On a LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Après avoir déterminé pgcd(145, 45)=5 (par exemple, en utilisant l'algorithme d'Euclide), on calcule LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Ainsi, le plus petit commun multiple des entiers négatifs −145 et −45 est 1 305 .
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Nous continuons à étudier la division. À Cette leçon Nous considérerons des concepts tels que PGCD et CNO.
PGCD est le plus grand diviseur commun.
CNO est le plus petit multiple commun.
Le sujet est plutôt ennuyeux, mais il faut le comprendre. Sans comprendre ce sujet, vous ne pourrez pas travailler efficacement avec les fractions, qui sont un véritable obstacle en mathématiques.
Plus grand diviseur commun
Définition. Plus grand commun diviseur de nombres un et b un et b divisé sans reste.
Afin de bien comprendre cette définition, nous substituons à la place des variables un et b deux nombres quelconques, par exemple, au lieu d'une variable un remplacer le nombre 12, et au lieu de la variable b numéro 9. Essayons maintenant de lire cette définition :
Plus grand commun diviseur de nombres 12 et 9 est le plus grand nombre par lequel 12 et 9 divisé sans reste.
Il ressort clairement de la définition que nous parlons d'un diviseur commun des nombres 12 et 9, et ce diviseur est le plus grand de tous les diviseurs existants. Ce plus grand diviseur commun (pgcd) doit être trouvé.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, trois méthodes sont utilisées. La première méthode prend beaucoup de temps, mais elle vous permet de bien comprendre l'essence du sujet et de ressentir tout son sens.
Les deuxième et troisième méthodes sont assez simples et permettent de trouver rapidement le PGCD. Nous allons considérer les trois méthodes. Et ce qu'il faut appliquer dans la pratique - vous choisissez.
La première consiste à trouver tous les diviseurs possibles de deux nombres et à choisir le plus grand d'entre eux. Considérons cette méthode dans l'exemple suivant : trouver le plus grand commun diviseur des nombres 12 et 9.
Premièrement, nous trouvons tous les diviseurs possibles du nombre 12. Pour ce faire, nous divisons 12 en tous les diviseurs compris entre 1 et 12. Si le diviseur nous permet de diviser 12 sans reste, nous le mettrons en surbrillance en bleu et donner une explication appropriée entre parenthèses.
12: 1 = 12
(12 divisé par 1 sans reste, donc 1 est un diviseur de 12)
12: 2 = 6
(12 divisé par 2 sans reste, donc 2 est un diviseur de 12)
12: 3 = 4
(12 divisé par 3 sans reste, donc 3 est un diviseur de 12)
12: 4 = 3
(12 divisé par 4 sans reste, donc 4 est un diviseur de 12)
12:5 = 2 (reste 2)
(12 n'est pas divisé par 5 sans reste, donc 5 n'est pas un diviseur de 12)
12: 6 = 2
(12 divisé par 6 sans reste, donc 6 est un diviseur de 12)
12 : 7 = 1 (reste 5)
(12 n'est pas divisé par 7 sans reste, donc 7 n'est pas un diviseur de 12)
12 : 8 = 1 (reste 4)
(12 n'est pas divisé par 8 sans reste, donc 8 n'est pas un diviseur de 12)
12:9 = 1 (reste 3)
(12 n'est pas divisé par 9 sans reste, donc 9 n'est pas un diviseur de 12)
12 : 10 = 1 (reste 2)
(12 n'est pas divisé par 10 sans reste, donc 10 n'est pas un diviseur de 12)
12:11 = 1 (il reste 1)
(12 n'est pas divisé par 11 sans reste, donc 11 n'est pas un diviseur de 12)
12: 12 = 1
(12 divisé par 12 sans reste, donc 12 est un diviseur de 12)
Cherchons maintenant les diviseurs du nombre 9. Pour cela, cochez tous les diviseurs de 1 à 9
9: 1 = 9
(9 divisé par 1 sans reste, donc 1 est un diviseur de 9)
9 : 2 = 4 (il reste 1)
(9 n'est pas divisé par 2 sans reste, donc 2 n'est pas un diviseur de 9)
9: 3 = 3
(9 divisé par 3 sans reste, donc 3 est un diviseur de 9)
9 : 4 = 2 (il reste 1)
(9 n'est pas divisé par 4 sans reste, donc 4 n'est pas un diviseur de 9)
9:5 = 1 (reste 4)
(9 n'est pas divisé par 5 sans reste, donc 5 n'est pas un diviseur de 9)
9 : 6 = 1 (reste 3)
(9 n'a pas été divisé par 6 sans reste, donc 6 n'est pas un diviseur de 9)
9:7 = 1 (reste 2)
(9 n'est pas divisé par 7 sans reste, donc 7 n'est pas un diviseur de 9)
9:8 = 1 (il reste 1)
(9 n'est pas divisé par 8 sans reste, donc 8 n'est pas un diviseur de 9)
9: 9 = 1
(9 divisé par 9 sans reste, donc 9 est un diviseur de 9)
Maintenant, écrivez les diviseurs des deux nombres. Les nombres surlignés en bleu sont les diviseurs. Écrivons-les :
Après avoir écrit les diviseurs, vous pouvez immédiatement déterminer lequel est le plus grand et le plus courant.
Par définition, le plus grand diviseur commun de 12 et 9 est le nombre par lequel 12 et 9 sont divisibles de manière égale. Le plus grand diviseur commun des nombres 12 et 9 est le nombre 3
Le nombre 12 et le nombre 9 sont divisibles par 3 sans reste :
Donc pgcd (12 et 9) = 3
La deuxième façon de trouver GCD
Considérons maintenant la deuxième façon de trouver le plus grand diviseur commun. L'essence de cette méthode est de décomposer les deux nombres en facteurs premiers et de multiplier les communs.
Exemple 1. Trouver le PGCD des nombres 24 et 18
Tout d'abord, factorisons les deux nombres en facteurs premiers :
Nous multiplions maintenant leurs facteurs communs. Afin de ne pas se tromper, les facteurs communs peuvent être soulignés.
Regardons la décomposition du nombre 24. Son premier facteur est 2. Nous cherchons le même facteur dans la décomposition du nombre 18 et voyons qu'il y est aussi. Nous soulignons les deux :
Nous regardons à nouveau la décomposition du nombre 24. Son deuxième facteur est également 2. Nous recherchons le même facteur dans la décomposition du nombre 18 et voyons qu'il n'est pas là pour la deuxième fois. Ensuite, nous ne mettons rien en évidence.
Les deux suivants dans l'expansion du nombre 24 manquent également dans l'expansion du nombre 18.
On passe au dernier facteur dans la décomposition du nombre 24. C'est le facteur 3. On cherche le même facteur dans la décomposition du nombre 18 et on voit qu'il y est aussi. Nous insistons sur les deux :
Ainsi, les diviseurs communs des nombres 24 et 18 sont les diviseurs 2 et 3. Pour obtenir le PGCD, ces diviseurs doivent être multipliés :
Donc pgcd (24 et 18) = 6
La troisième façon de trouver GCD
Considérons maintenant la troisième façon de trouver le plus grand diviseur commun. L'essence de cette méthode réside dans le fait que les nombres à rechercher pour le plus grand diviseur commun sont décomposés en facteurs premiers. Ensuite, à partir de la décomposition du premier nombre, les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre sont supprimés. Les nombres restants dans la première extension sont multipliés et obtiennent GCD.
Par exemple, trouvons le PGCD pour les nombres 28 et 16 de cette manière. Tout d'abord, nous décomposons ces nombres en facteurs premiers :
Nous avons deux extensions : et
Maintenant, à partir du développement du premier nombre, nous supprimons les facteurs qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre n'inclut pas sept. Nous le supprimerons de la première extension :
Maintenant, nous multiplions les facteurs restants et obtenons le PGCD :
Le nombre 4 est le plus grand commun diviseur des nombres 28 et 16. Ces deux nombres sont divisibles par 4 sans reste :
Exemple 2 Trouver le PGCD des nombres 100 et 40
Factoriser le nombre 100
Factoriser le nombre 40
Nous avons deux extensions :
Maintenant, à partir du développement du premier nombre, nous supprimons les facteurs qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre n'inclut pas un cinq (il n'y a qu'un cinq). On le supprime de la première décomposition
Multipliez les nombres restants :
Nous avons obtenu la réponse 20. Le nombre 20 est donc le plus grand commun diviseur des nombres 100 et 40. Ces deux nombres sont divisibles par 20 sans reste :
PGCD (100 et 40) = 20.
Exemple 3 Trouver le pgcd des nombres 72 et 128
Factoriser le nombre 72
Factoriser le nombre 128
2×2×2×2×2×2×2
Maintenant, à partir du développement du premier nombre, nous supprimons les facteurs qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre ne comprend pas deux triplets (il n'y en a pas du tout). On les supprime de la première décomposition :
Nous avons obtenu la réponse 8. Le nombre 8 est donc le plus grand commun diviseur des nombres 72 et 128. Ces deux nombres sont divisibles par 8 sans reste :
PGCD (72 et 128) = 8
Recherche de PGCD pour plusieurs nombres
Le plus grand diviseur commun peut être trouvé pour plusieurs nombres, et pas seulement pour deux. Pour cela, on décompose les nombres à rechercher du plus grand diviseur commun en facteurs premiers, puis on trouve le produit des facteurs premiers communs de ces nombres.
Par exemple, trouvons le PGCD pour les nombres 18, 24 et 36
Factoriser le nombre 18
Factoriser le nombre 24
Factoriser le nombre 36
Nous avons trois extensions :
Maintenant, nous sélectionnons et soulignons les facteurs communs à ces nombres. Les facteurs communs doivent être inclus dans les trois nombres :
On voit que les facteurs communs aux nombres 18, 24 et 36 sont les facteurs 2 et 3. En multipliant ces facteurs, on obtient le PGCD recherché :
Nous avons obtenu la réponse 6. Le nombre 6 est donc le plus grand commun diviseur des nombres 18, 24 et 36. Ces trois nombres sont divisibles par 6 sans reste :
PGCD (18, 24 et 36) = 6
Exemple 2 Trouver pgcd pour les nombres 12, 24, 36 et 42
Factorisons chaque nombre. Ensuite, nous trouvons le produit des diviseurs communs de ces nombres.
Factoriser le nombre 12
Factoriser le nombre 42
Nous avons quatre extensions :
Maintenant, nous sélectionnons et soulignons les facteurs communs à ces nombres. Les facteurs communs doivent être inclus dans les quatre nombres :
On voit que les facteurs communs aux nombres 12, 24, 36 et 42 sont les facteurs 2 et 3. En multipliant ces facteurs, on obtient le PGCD recherché :
Nous avons obtenu la réponse 6. Le nombre 6 est donc le plus grand commun diviseur des nombres 12, 24, 36 et 42. Ces nombres sont divisibles par 6 sans reste :
pgcd(12, 24, 36 et 42) = 6
De la leçon précédente, nous savons que si un nombre est divisé par un autre sans reste, cela s'appelle un multiple de ce nombre.
Il s'avère qu'un multiple peut être commun à plusieurs nombres. Et maintenant on va s'intéresser à un multiple de deux nombres, alors qu'il doit être le plus petit possible.
Définition. Plus petit commun multiple (LCM) de nombres un et b- un et b un et numéro b.
La définition contient deux variables un et b. Remplaçons deux nombres quelconques pour ces variables. Par exemple, au lieu d'une variable un remplacer le nombre 9, et au lieu de la variable b remplaçons le nombre 12. Essayons maintenant de lire la définition :
Plus petit commun multiple (LCM) de nombres 9 et 12 - est le plus petit nombre multiple de 9 et 12 . En d'autres termes, c'est un si petit nombre qui est divisible sans reste par le nombre 9 et sur le nombre 12 .
Il ressort clairement de la définition que le LCM est le plus petit nombre divisible sans reste par 9 et 12. Ce LCM doit être trouvé.
Il existe deux façons de trouver le plus petit commun multiple (LCM). La première consiste à écrire les premiers multiples de deux nombres, puis à choisir parmi ces multiples un tel nombre qui sera commun aux deux nombres et petit. Appliquons cette méthode.
Tout d'abord, trouvons les premiers multiples du nombre 9. Pour trouver les multiples de 9, vous devez multiplier ce neuf par les nombres de 1 à 9. Les réponses que vous obtiendrez seront des multiples du nombre 9. Donc, commençons. Les multiples seront surlignés en rouge :
Maintenant, nous trouvons des multiples pour le nombre 12. Pour ce faire, nous multiplions 12 par tous les nombres de 1 à 12 à tour de rôle.
Comment trouver LCM (plus petit commun multiple)
Le commun multiple de deux entiers est l'entier qui est divisible par les deux nombres donnés sans reste.Le plus petit commun multiple de deux entiers est le plus petit de tous les entiers qui est divisible de manière égale et sans reste par les deux nombres donnés.
Méthode 1. Vous pouvez trouver le LCM, à son tour, pour chacun des nombres donnés, en écrivant dans l'ordre croissant tous les nombres obtenus en les multipliant par 1, 2, 3, 4, etc.
Exemple pour les numéros 6 et 9.
Nous multiplions le nombre 6, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 6, 12, 18
, 24, 30
Nous multiplions le nombre 9, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 9, 18
, 27, 36, 45
Comme vous pouvez le voir, le LCM pour les numéros 6 et 9 sera de 18.
Cette méthode est pratique lorsque les deux nombres sont petits et qu'il est facile de les multiplier par une suite d'entiers. Cependant, il existe des cas où vous devez trouver le LCM pour des nombres à deux ou trois chiffres, et également lorsqu'il y a trois nombres initiaux ou même plus.
Méthode 2. Vous pouvez trouver le LCM en décomposant les nombres originaux en facteurs premiers.
Après décomposition, il est nécessaire de rayer les mêmes nombres de la série résultante de facteurs premiers. Les nombres restants du premier nombre seront le facteur du second, et les nombres restants du second nombre seront le facteur du premier.
Exemple pour le nombre 75 et 60.
Le plus petit multiple commun des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres à la suite. Pour ce faire, on décompose 75 et 60 en facteurs premiers :
75 = 3
* 5
* 5, et
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Comme vous pouvez le voir, les facteurs 3 et 5 se produisent dans les deux lignes. Mentalement, nous les "rayons".
Écrivons les facteurs restants inclus dans l'expansion de chacun de ces nombres. Lors de la décomposition du nombre 75, nous avons laissé le nombre 5, et lors de la décomposition du nombre 60, nous avons laissé 2 * 2
Ainsi, pour déterminer le LCM pour les nombres 75 et 60, nous devons multiplier les nombres restants de l'expansion de 75 (c'est 5) par 60, et les nombres restants de l'expansion du nombre 60 (c'est 2 * 2 ) multipliez par 75. Autrement dit, pour faciliter la compréhension, nous disons que nous multiplions "en croix".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
C'est ainsi que nous avons trouvé le LCM pour les nombres 60 et 75. C'est le nombre 300.
Exemple. Déterminer LCM pour les nombres 12, 16, 24
À ce cas, nos actions seront un peu plus compliquées. Mais, d'abord, comme toujours, nous décomposons tous les nombres en facteurs premiers
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pour déterminer correctement le LCM, on sélectionne le plus petit de tous les nombres (c'est le nombre 12) et on parcourt successivement ses facteurs en les barrant si au moins une des autres lignes de nombres a le même multiplicateur qui n'a pas encore été franchi dehors.
Étape 1 . Nous voyons que 2 * 2 apparaît dans toutes les séries de nombres. Nous les barrons.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Étape 2. Dans les facteurs premiers du nombre 12, il ne reste que le nombre 3. Mais il est présent dans les facteurs premiers du nombre 24. Nous barrons le nombre 3 des deux lignes, alors qu'aucune action n'est attendue pour le nombre 16 .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Comme vous pouvez le voir, lors de la décomposition du nombre 12, nous avons "barré" tous les chiffres. La constatation du NOC est donc terminée. Il ne reste plus qu'à calculer sa valeur.
Pour le nombre 12, on prend les facteurs restants du nombre 16 (le plus proche par ordre croissant)
12 * 2 * 2 = 48
C'est le CNO
Comme vous pouvez le voir, dans ce cas, trouver le LCM était un peu plus difficile, mais lorsque vous devez le trouver pour trois numéros ou plus, cette méthode vous permet de le faire plus rapidement. Cependant, les deux façons de trouver le LCM sont correctes.
Plus grand diviseur commun
Définition 2
Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$, et le nombre $a$ est appelé un multiple de $b$.
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé diviseur commun pour $a$ et $b$.
L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisque aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y a le plus grand, qui est appelé le plus grand commun diviseur des nombres $a$ et $b$, et la notation est utilisée pour le noter :
$gcd \ (a;b) \ ou \ D \ (a;b)$
Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres :
- Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.
Exemple 1
Trouver le pgcd des nombres $121$ et $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Choisissez les numéros qui sont inclus dans l'expansion de ces numéros
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.
$gcd=2\cdot 11=22$
Exemple 2
Trouvez le PGCD des monômes $63$ et $81$.
Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça:
Décomposons les nombres en facteurs premiers
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.
$gcd=3\cdot 3=9$
Vous pouvez trouver le PGCD de deux nombres d'une autre manière, en utilisant l'ensemble des diviseurs de nombres.
Exemple 3
Trouvez le pgcd des nombres $48$ et $60$.
La solution:
Trouver l'ensemble des diviseurs de $48$ : $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs de $60$ :$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. Le plus grand élément de cet ensemble sera le nombre $12$. Ainsi, le plus grand diviseur commun de 48 $ et 60 $ est de 12 $.
Définition de CNP
Définition 3
multiple commun de nombres naturels$a$ et $b$ est un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.
Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par l'original sans reste. Par exemple, pour les nombres $25$ et $50$, les multiples communs seront les nombres $50,100,150,200$, etc.
Le plus petit commun multiple sera appelé le plus petit commun multiple et noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$
Pour trouver le LCM de deux nombres, vous avez besoin de :
- Décomposer les nombres en facteurs premiers
- Écrivez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne vont pas au premier
Exemple 4
Trouvez le LCM des nombres $99$ et $77$.
Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça
Décomposer les nombres en facteurs premiers
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Notez les facteurs inclus dans le premier
ajoutez-leur des facteurs qui font partie de la seconde et ne vont pas à la première
Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compiler des listes de diviseurs de nombres prend souvent beaucoup de temps. Il existe un moyen de trouver GCD appelé l'algorithme d'Euclide.
Déclarations sur lesquelles l'algorithme d'Euclide est basé :
Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels, et $a\vpoints b$, alors $D(a;b)=b$
Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b
En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut décroître successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Alors le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun désiré pour les nombres $a$ et $b$.
Propriétés de GCD et LCM
- Tout multiple commun de $a$ et $b$ est divisible par K$(a;b)$
- Si $a\vdots b$ , alors K$(a;b)=a$
Si K$(a;b)=k$ et $m$-nombre naturel, alors K$(am;bm)=km$
Si $d$ est un diviseur commun pour $a$ et $b$, alors K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Si $a\vdots c$ et $b\vdots c$ , alors $\frac(ab)(c)$ est un multiple commun de $a$ et $b$
Pour tous les nombres naturels $a$ et $b$ l'égalité
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Tout diviseur commun de $a$ et $b$ est un diviseur de $D(a;b)$
Lancinova Aisa
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Légendes des diapositives :
Tâches pour GCD et LCM de nombres Le travail d'un élève de 6e année du MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Superviseur Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, professeur de mathématiques p. Kamychovo, 2013
Un exemple pour trouver le PGCD des nombres 50, 75 et 325. 1) Décomposons les nombres 50, 75 et 325 en facteurs premiers. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 diviser sans reste les nombres a et b sont appelés le plus grand commun diviseur de ces nombres.
Un exemple pour trouver le LCM des nombres 72, 99 et 117. 1) Factorisons les nombres 72, 99 et 117. Écris les facteurs inclus dans l'expansion de l'un des nombres 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 et ajoutez-y les facteurs manquants des nombres restants. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Trouvez le produit des facteurs résultants. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Réponse : PPCM (72, 99 et 117) = 10296 Le plus petit commun multiple des nombres naturels a et b est le plus petit nombre naturel multiple de a et B.
Une feuille de carton a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 48 cm et la largeur de 40 cm Cette feuille doit être découpée sans déchets en carrés égaux. Quels sont les plus grands carrés que l'on peut obtenir à partir de cette feuille et combien ? Solution : 1) S = a ∙ b est l'aire du rectangle. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². est la surface du carton. 2) a - le côté du carré 48 : a - le nombre de carrés pouvant être posés sur la longueur du carton. 40 : a - le nombre de carrés pouvant être posés sur la largeur du carton. 3) GCD (40 et 48) \u003d 8 (cm) - le côté du carré. 4) S \u003d a² - l'aire du carré osseux. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - l'aire du carré osseux. 5) 1960 : 64 = 30 (nombre de cases). Réponse : 30 carrés de 8 cm de côté chacun. Tâches pour GCD
La cheminée de la pièce doit être aménagée avec des carreaux de finition en forme de carré. Combien de tuiles seront nécessaires pour une cheminée de 195 ͯ 156 cm et quelles sont plus grandes dimensions carrelage? Solution : 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S de la surface du foyer. 2) GCD (195 et 156) = 39 (cm) - côté de la tuile. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - surface de 1 carreau. 4) 30420 : = 20 (pièces). Réponse : 20 tuiles mesurant 39 ͯ 39 (cm). Tâches pour GCD
Une parcelle de jardin mesurant 54 ͯ 48 m de périmètre doit être clôturée, pour cela, des piliers en béton doivent être placés à intervalles réguliers. Combien de poteaux doivent être apportés pour le site, et à quelle distance maximale les uns des autres se tiendront-ils ? Solution : 1) P = 2(a + b) – périmètre du site. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 et 48) \u003d 6 (m) - la distance entre les piliers. 3) 204 : 6 = 34 (piliers). Réponse : 34 piliers, à une distance de 6 m. Tâches pour GCD
Sur 210 roses bordeaux, 126 blanches, 294 roses rouges, des bouquets ont été collectés, et dans chaque bouquet le nombre de roses de la même couleur est égal. Quel est le plus grand nombre de bouquets fabriqués à partir de ces roses et combien de roses de chaque couleur y a-t-il dans un bouquet ? Solution : 1) PGCD (210, 126 et 294) = 42 (bouquets). 2) 210 : 42 = 5 (roses bordeaux). 3) 126 : 42 = 3 (roses blanches). 4) 294 : 42 = 7 (roses rouges). Réponse : 42 bouquets : 5 roses bordeaux, 3 blanches, 7 roses rouges dans chaque bouquet. Tâches pour GCD
Tanya et Masha ont acheté le même nombre de boîtes aux lettres. Tanya a payé 90 roubles et Masha a payé 5 roubles. Suite. Combien coûte un ensemble ? Combien d'ensembles chacun a-t-il acheté ? Solution : 1) Masha a payé 90 + 5 = 95 (roubles). 2) GCD (90 et 95) = 5 (roubles) - le prix d'un jeu. 3) 980 : 5 = 18 (jeux) - acheté par Tanya. 4) 95 : 5 = 19 (sets) - Masha a acheté. Réponse : 5 roubles, 18 sets, 19 sets. Tâches pour GCD
Trois excursions en bateau touristique commencent dans la ville portuaire, dont la première dure 15 jours, la seconde - 20 et la troisième - 12 jours. De retour au port, les navires repartent le même jour en voyage. Les navires à moteur ont quitté le port sur les trois routes aujourd'hui. Dans combien de jours navigueront-ils ensemble pour la première fois ? Combien de voyages chaque navire effectuera-t-il ? Solution : 1) NOC (15.20 et 12) = 60 (jours) - temps de réunion. 2) 60 : 15 = 4 (voyages) - 1 navire. 3) 60 : 20 = 3 (voyages) - 2 bateaux à moteur. 4) 60 : 12 = 5 (voyages) - 3 bateaux à moteur. Réponse : 60 jours, 4 vols, 3 vols, 5 vols. Tâches pour le CNO
Masha a acheté des œufs pour l'ours dans le magasin. Sur le chemin de la forêt, elle s'est rendu compte que le nombre d'œufs est divisible par 2, 3, 5, 10 et 15. Combien d'œufs Masha a-t-elle achetés ? Solution : LCM (2;3;5;10;15) = 30 (œufs) Réponse : Macha a acheté 30 œufs. Tâches pour le CNO
Il est nécessaire de fabriquer une boîte à fond carré pour empiler des boîtes mesurant 16 ͯ 20 cm. Quel doit être le côté le plus court du fond carré pour bien emboîter les boîtes dans la boîte ? Solution : 1) CNP (16 et 20) = 80 (cases). 2) S = a ∙ b est l'aire de 1 case. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - la surface du fond de 1 boîte. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - zone inférieure carrée. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - les dimensions de la boîte. Réponse : 160 cm est le côté du fond carré. Tâches pour le CNO
Le long de la route à partir du point K, il y a des poteaux électriques tous les 45 m.Il a été décidé de remplacer ces poteaux par d'autres en les plaçant à une distance de 60 m les uns des autres. Combien y avait-il de poteaux et combien en tiendront-ils ? Solution : 1) NOK (45 et 60) = 180. 2) 180 : 45 = 4 - il y avait des piliers. 3) 180 : 60 = 3 - il y avait des piliers. Réponse : 4 piliers, 3 piliers. Tâches pour le CNO
Combien de soldats défilent sur le terrain de parade s'ils défilent en formation de 12 personnes en ligne et se transforment en une colonne de 18 personnes en ligne ? Solution : 1) CNP (12 et 18) = 36 (personnes) - marche. Réponse : 36 personnes. Tâches pour le CNO