Na ta lekcja Wraz z żabą zapoznasz się z pojęciami matematycznymi: „równość” i „nierówność”, a także ze znakami porównania. Dzięki zabawnym i interesującym przykładom naucz się porównywać grupy kształtów za pomocą parowania i porównywać liczby za pomocą osi liczbowej.

Temat:Wprowadzenie do podstawowych pojęć w matematyce

Lekcja: Równość i nierówność

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciami matematycznymi: "równość" oraz "nierówność".

Spróbuj odpowiedzieć na pytanie:

Pod ścianą są wanny,

Każdy ma dokładnie jedną żabę.

Gdyby było pięć wanien,

Ile mieliby żab? (rys. 1)

Ryż. jeden

Wiersz mówi, że było 5 wanien, w każdej wannie była 1 żaba, nikt nie został bez pary, co oznacza, że ​​liczba żabek jest równa liczbie wanien.

Oznaczmy wanny literą K, a żaby literą L.

Zapiszmy równość: K = L. (ryc. 2)

Ryż. 2

Porównaj liczby w dwóch grupach figur. Figur jest wiele, są różnej wielkości, ułożone bez zamówienia. (rys. 3)

Ryż. 3

Zróbmy pary tych figurek. Połącz każdy kwadrat z trójkątem. (rys. 4)

Ryż. cztery

Dwa kwadraty pozostały bez pary. Tak więc liczba kwadratów nie jest równa liczbie trójkątów. Kwadraty oznaczamy literą K, a trójkąty literą T.

Zapiszmy nierówność: K ≠ T. (rys. 5)

Ryż. 5

Wniosek: Możesz porównać liczbę elementów w dwóch grupach, tworząc pary. Jeśli jest wystarczająca liczba par dla wszystkich elementów, to odpowiadające im liczby równy, w tym przypadku stawiamy między cyframi lub literami =. Ten wpis nazywa się równość. (rys. 6)

Ryż. 6

Jeśli nie ma wystarczającej liczby par, czyli pozostały dodatkowe przedmioty, to te liczby nie równe. Umieść między cyframi lub literami znak nierówny. Ten wpis nazywa się nierówność.(rys. 7)

Ryż. 7

Pozostałe elementy bez pary pokazują, która z dwóch liczb jest większa io ile. (rys. 8)

Ryż. osiem

Metoda porównywania grup figur za pomocą parowania nie zawsze jest wygodna i zajmuje dużo czasu. Liczby można porównywać za pomocą promienia liczbowego. (rys. 9)

Ryż. 9

Porównaj te liczby za pomocą promienia liczbowego i umieść znak porównania.

Musimy porównać liczby 2 i 5. Spójrzmy na oś liczbową. Liczba 2 jest bliższa 0 niż 5, albo mówią, że liczba 2 na osi liczbowej jest na lewo od liczby 5. Czyli 2 nie jest równe 5. To jest nierówność.

Znak „≠” (nie równy) tylko ustala nierówność liczb, ale nie wskazuje, która z nich jest większa, a która mniejsza.

Z dwóch liczb na osi liczbowej mniejsza znajduje się po lewej stronie, a większa po prawej stronie. (rys. 10)

Ryż. dziesięć

Tę nierówność można zapisać w inny sposób, używając mniej znaku "< » lub większe niż znak ">" :

Na osi liczbowej cyfra 7 znajduje się na prawo niż cyfra 4, dlatego:

7 ≠ 4 i 7 > 4

Liczby 9 i 9 są równe, więc stawiamy znak =, to jest równość:

Porównaj liczbę kropek z liczbą i umieść odpowiedni znak. (rys. 11)

Ryż. jedenaście

Na pierwszym rysunku musimy umieścić znak = lub ≠.

Porównujemy dwa punkty i liczbę 2, umieszczając między nimi znak =. To jest równość.

Porównujemy jeden punkt i liczbę 3, na belce numerycznej liczba 1 jest na lewo od liczby 3, stawiamy znak ≠.

Porównujemy cztery punkty i 4. Pomiędzy nimi umieszczamy znak =. To jest równość.

Porównujemy trzy punkty i liczbę 4. Trzy punkty to liczba 3. Na osi liczbowej po lewej stronie stawiamy znak ≠. To jest nierówność. (Rys. 12)

Ryż. 12

Na drugim rysunku, między punktami a liczbami, musisz umieścić znaki =,<, >.

Porównajmy pięć punktów i liczbę 5. Pomiędzy nimi umieszczamy znak =. To jest równość.

Porównajmy trzy punkty i liczbę 3. Tutaj również możesz umieścić znak =.

Porównajmy pięć punktów i liczbę 6. Na osi liczbowej liczba 5 jest bardziej na lewo niż liczba 6. Stawiamy znak<. Это неравенство.

Porównajmy dwa punkty i jeden, liczba 2 jest bardziej na prawo na osi liczbowej niż liczba 1. Wstawiamy znak >. To jest nierówność. (Rys. 13)

Ryż. 13

Wstaw liczbę do pola, aby wynikająca z tego równość i nierówność stały się prawdziwe.

To jest nierówność. Spójrzmy na oś liczbową. Ponieważ szukamy liczby mniejszej niż 7, to musi ona znajdować się na lewo od liczby 7 na osi liczbowej. (rys. 14)

Ryż. czternaście

W polu można wpisać wiele numerów. Pasują tu liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dowolną z nich można podstawić do okna i uzyskać kilka poprawnych nierówności. Na przykład 5< 7 или 2 < 7

Na belce numerycznej znajdziemy liczby, które będą mniejsze niż 5. (ryc. 15)

Ryż. piętnaście

Są to liczby 4, 3, 2, 1, 0. Dlatego każdą z tych liczb można podstawić do pudełka, otrzymamy kilka prawdziwych nierówności. Na przykład 5 >4, 5 >3

Tylko jedna cyfra 8 może być podstawiona.

W tej lekcji zapoznaliśmy się z pojęciami matematycznymi: „równość” i „nierówność”, nauczyliśmy się prawidłowo umieszczać znaki porównania, przećwiczyliśmy porównywanie grup figur za pomocą parowania i porównywanie liczb za pomocą wiązki liczb, co pomoże w dalszym badaniu matematyka.

Bibliografia

1. Aleksandrova L.A., Mordkovich A.G. Matematyka I klasa. - M: Mnemosyne, 2012.
2. Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Matematyka. 1 klasa. - M: Astrel, 2012.
3. Bedenko M.V. Matematyka. 1 klasa. - M7: rosyjskie słowo, 2012.

1. gra.pro().
2. slideshare.net().
3. Iqsha.ru ().

Praca domowa

1. Jakie znasz znaki porównania, w jakich przypadkach są używane? Zapisz znaki porównania liczb.

2. Porównaj liczbę elementów na obrazku i umieść znak „<», «>” lub „=”.

3. Porównaj liczby, umieszczając znak „<», «>” lub „=”.

„Równość” to temat, przez który uczniowie przechodzą już Szkoła Podstawowa. Akompaniuje także swoim „Nierównościom”. Te dwie koncepcje są ze sobą ściśle powiązane. Ponadto są z nimi powiązane takie terminy jak równania, tożsamości. Czym więc jest równość?

Pojęcie równości

Pod tym pojęciem rozumie się wypowiedzi, w zapisie których znajduje się znak „=”. Równość dzieli się na prawdę i fałsz. Jeśli we wpisie zamiast = oznacza<, >, następnie rozmawiamy o nierównościach. Nawiasem mówiąc, pierwszy znak równości wskazuje, że obie części wyrażenia są identyczne w swoim wyniku lub zapisie.

Oprócz pojęcia równości w szkole uczy się również tematu „Równość liczbowa”. To stwierdzenie jest rozumiane jako dwa wyrażenia liczbowe, które znajdują się po obu stronach znaku =. Na przykład 2*5+7=17. Obie części płyty są sobie równe.

W tego typu wyrażeniach numerycznych można używać nawiasów, które wpływają na kolejność operacji. Tak więc istnieją 4 zasady, które należy wziąć pod uwagę przy obliczaniu wyników wyrażeń liczbowych.

1. Jeżeli we wpisie nie ma nawiasów, to czynności wykonywane są z najwyższego poziomu: III→II→I. Jeśli istnieje wiele akcji tej samej kategorii, są one wykonywane od lewej do prawej.
2. Jeśli we wpisie znajdują się nawiasy, akcja jest wykonywana w nawiasach, a następnie z uwzględnieniem kroków. Być może będzie kilka akcji w nawiasach.
3. Jeśli wyrażenie jest wyrażone jako ułamek, musisz najpierw obliczyć licznik, następnie mianownik, a następnie licznik jest dzielony przez mianownik.
4. Jeśli wpis zawiera nawiasy zagnieżdżone, wyrażenie w nawiasach wewnętrznych jest oceniane jako pierwsze.

Więc teraz jest jasne, czym jest równość. W przyszłości rozważane będą koncepcje równań, tożsamości i metody ich obliczania.

Własności równości liczbowych

Czym jest równość? Badanie tego pojęcia wymaga znajomości właściwości tożsamości liczbowych. Poniższe formuły tekstowe pozwalają lepiej przestudiować ten temat. Oczywiście te właściwości są bardziej odpowiednie do nauki matematyki w liceum.

1. Równość liczbowa nie zostanie naruszona, jeśli do istniejącego wyrażenia w obu jego częściach zostanie dodana ta sama liczba.

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Równanie nie zostanie naruszone, jeśli obie jego części zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę lub wyrażenie różne od zera.

P = O↔ R ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ R: 5 = O: 5

3. Dodając do obu części tożsamości tę samą funkcję, która ma sens dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennej, otrzymujemy nową równość równoważną pierwotnej.

F(X) =(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Dowolny termin lub wyrażenie można przenieść na drugą stronę znaku równości, podczas gdy trzeba zmienić znaki na przeciwne.

X + 5 = Y - 20 ↔ X \u003d Y - 20 - 5 ↔ X \u003d Y - 25

5. Mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez tę samą niezerową funkcję, która ma sens dla każdej wartości X z ODZ, otrzymujemy nowe równanie, które jest równoważne pierwotnemu.

F(X) = (x)↔ F(X)R(X) = (X)R(x)

F(X) =(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)

Powyższe zasady wprost wskazują na zasadę równości, która istnieje pod pewnymi warunkami.

Pojęcie proporcji

W matematyce istnieje coś takiego jak równość relacji. W tym przypadku dorozumiana jest definicja proporcji. Jeśli podzielisz A przez B, to wynikiem będzie stosunek liczby A do liczby B. Proporcja to równość dwóch stosunków:

Czasami proporcja jest zapisywana w następujący sposób: A:B=C:D. Z tego wynika główna właściwość proporcji: A*D=D*C, gdzie A i D to skrajne elementy proporcji, a B i C to środkowe.

Tożsamości

Tożsamość to równość, która będzie prawdziwa dla wszystkich poprawnych wartości tych zmiennych, które są zawarte w zadaniu. Tożsamości mogą być reprezentowane jako równości dosłowne lub liczbowe.

Równie równe są nazywane wyrażeniami, które zawierają nieznaną zmienną w obu częściach równości, która jest w stanie zrównać dwie części jednej całości.

Jeśli zastąpimy jedno wyrażenie innym, które będzie mu równe, to mówimy o identycznej transformacji. W takim przypadku możesz użyć wzorów na skrócone mnożenie, praw arytmetyki i innych tożsamości.

Aby zmniejszyć ułamek, musisz przeprowadzić identyczne przekształcenia. Na przykład podany ułamek. Aby uzyskać wynik, należy użyć wzorów na mnożenie skrócone, faktoryzację, uproszczenie wyrażeń i zmniejszenie ułamków.

Należy zauważyć, że wyrażenie to będzie identyczne, gdy mianownik nie będzie równy 3.

5 sposobów na udowodnienie tożsamości

Aby udowodnić, że równość jest identyczna, konieczne jest przekształcenie wyrażeń.

ja sposób

Konieczne jest wykonanie przekształceń równoważnych po lewej stronie. W efekcie uzyskuje się prawą stronę i możemy powiedzieć, że tożsamość jest udowodniona.

II metoda

Wszystkie działania mające na celu przekształcenie wyrażenia występują po prawej stronie. Rezultatem przeprowadzonych manipulacji jest lewa strona. Jeżeli obie części są identyczne, to potwierdza się tożsamość.

III sposób

„Transformacje” występują w obu częściach wyrażenia. Jeśli wynikiem są dwie identyczne części, tożsamość jest udowodniona.

IV metoda

Prawa strona jest odejmowana od lewej strony. W wyniku przekształceń równoważnych należy otrzymać zero. Wtedy możemy mówić o tożsamości wyrażenia.

Piąta droga

Lewa strona jest odejmowana od prawej strony. Wszystkie równoważne przekształcenia sprowadzają się do tego, że odpowiedź wynosi zero. Tylko w tym przypadku możemy mówić o tożsamości równości.

Podstawowe właściwości tożsamości

W matematyce właściwości równości są często wykorzystywane do przyspieszenia procesu obliczeniowego. Ze względu na podstawowe tożsamości algebraiczne proces obliczania niektórych wyrażeń zajmie kilka minut zamiast długich godzin.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) \u003d X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) \u003d X + Y - C
• X - (Y + C) \u003d X - Y - C
• X - (Y - C) \u003d X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, gdzie X ≠ 0

Skrócone wzory mnożenia

U ich podstaw skrócone wzory mnożenia to równości. Dzięki swojej prostocie i łatwości obsługi pomagają rozwiązać wiele problemów matematycznych.

• (A + B) 2 \u003d A 2 + 2 ∙ A ∙ B + B 2 - kwadrat sumy pary liczb;

• (A - B) 2 \u003d A 2 - 2 ∙ A ∙ B + B 2 - kwadrat różnicy między parą liczb;

• (C + B) ∙ (C - B) \u003d C 2 - B 2 - różnica kwadratów;

• (A + B) 3 \u003d A 3 + 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 + B 3 - sześcian sumy;

• (A - B) 3 \u003d A 3 - 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 - B 3 - sześcian różnicy;

• (P + B) ∙ (P 2 - P ∙ B + B 2) \u003d P 3 + B 3 - suma kostek;

• (P - B) ∙ (P 2 + P ∙ B + B 2) \u003d P 3 - B 3 - różnica sześcianów.

Skrócone wzory mnożenia są często używane, jeśli konieczne jest doprowadzenie wielomianu do jego zwykłej postaci, upraszczając go na wszystkie możliwe sposoby. Przedstawione formuły udowadniają w prosty sposób: wystarczy otworzyć nawiasy i przywołać podobne terminy.

Równania

Po przestudiowaniu pytania, czym jest równość, możesz przejść do następnego punktu: Równanie jest rozumiane jako równość, w której istnieją nieznane wielkości. Rozwiązaniem równania jest znalezienie wszystkich wartości zmiennej, w których obie części całego wyrażenia będą równe. Są też zadania, w których znalezienie rozwiązania równania jest niemożliwe. W tym przypadku mówimy, że nie ma korzeni.

Z reguły równości z niewiadomymi dają jako rozwiązania liczby całkowite. Zdarzają się jednak przypadki, gdy korzeń jest wektorem, funkcją i innymi obiektami.

Równanie jest jednym z najważniejszych pojęć w matematyce. Większość problemów naukowych i praktycznych nie pozwala zmierzyć ani obliczyć żadnej wartości. Dlatego konieczne jest sporządzenie wskaźnika, który spełni wszystkie warunki zadania. W procesie kompilacji takiej zależności pojawia się równanie lub układ równań.

Zwykle rozwiązanie równości z niewiadomą sprowadza się do przekształcenia złożonego równania i zredukowania go do proste formy. Należy pamiętać, że przekształcenia należy przeprowadzić w odniesieniu do obu części, w przeciwnym razie wynik będzie błędny.

4 sposoby rozwiązania równania

Rozwiązując równanie, rozumiemy zastąpienie danej równości przez inną, która jest równoważna pierwszej. Taka substytucja nazywana jest transformacją identyczną. Aby rozwiązać równanie, musisz użyć jednej z metod.

1. Jedno wyrażenie zostaje zastąpione innym, które z konieczności będzie identyczne z pierwszym. Przykład: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Wyrażenie to można przekonwertować na 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10.

2. Przenoszenie warunków równości z nieznanym z jednej strony na drugą. W takim przypadku konieczna jest poprawna zmiana znaków. Najmniejszy błąd zrujnuje całą wykonaną pracę. Weźmy jako przykład poprzednią „próbkę”.

9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Mnożenie obu stron równości przez równą liczbę lub wyrażenie nierówne 0. Warto jednak przypomnieć, że jeśli nowe równanie nie jest równoznaczne z równością przed przekształceniami, to liczba pierwiastków może się znacząco zmienić.

4. Podniesienie do kwadratu obu stron równania. Ta metoda jest po prostu cudowna, zwłaszcza gdy w równości występują wyrażenia irracjonalne, to znaczy wyrażenie pod nią. Jest jedno zastrzeżenie: jeśli podniesiesz równanie do równej potęgi, mogą pojawić się obce pierwiastki, które zniekształcą istotę zadania. A jeśli wyodrębnienie korzenia jest błędne, znaczenie pytania w problemie będzie niejasne. Przykład: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 i 2) - 7∙х = 35 → równanie zostanie rozwiązane poprawnie.

Dlatego w tym artykule wymieniono takie terminy, jak równania i tożsamości. Wszystkie z nich wywodzą się z koncepcji „równości”. Dzięki różnego rodzaju wyrażeniom równoważnym rozwiązanie niektórych problemów jest znacznie ułatwione.