Odluka o kojoj je, na prvi pogled, suprotna zdravom razumu.

Enciklopedijski YouTube

• 1 / 5

  Problem je formuliran kao opis igre bazirane na američkoj televizijskoj igrici "Let's Make a Deal", a nazvan je po voditelju ovog programa. Najčešća formulacija ovog problema, objavljena 1990. godine u žurnalu Časopis Parada, zvuči ovako:

  Zamislite da ste postali sudionik igre u kojoj morate izabrati jedna od troja vrata. Iza jednih vrata je auto, iza druga dvoja vrata su koze. Odaberete jedna od vrata, npr. broj 1, nakon toga domaćin, koji zna gdje su kola, a gdje su koze, otvori jedna od preostalih vrata, npr. broj 3, iza kojih je koza. Nakon toga vas pita - želite li promijeniti izbor i odabrati vrata broj 2? Hoće li vam se šanse za osvajanje automobila povećati ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite izbor?

  Nakon objave odmah je postalo jasno da je problem pogrešno formuliran: nisu navedeni svi uvjeti. Na primjer, voditelj može slijediti strategiju "paklenog Montyja": ponuditi promjenu izbora ako i samo ako je igrač odabrao automobil u prvom potezu. Očito će promjena početnog izbora dovesti do zajamčenog gubitka u takvoj situaciji (vidi dolje).

  Najpopularniji je problem s dodatnim uvjetom - sudionik igre unaprijed zna sljedeća pravila:

  • automobil će jednako vjerojatno biti smješten iza bilo kojih od troja vrata;
  • u svakom slučaju domaćin je dužan otvoriti vrata s kozom (ali ne onom koju je igrač izabrao) i ponuditi igraču da promijeni izbor;
  • ako vođa ima izbor koja će od dvoja vrata otvoriti, on bira bilo koja od njih s istom vjerojatnošću.

  Sljedeći tekst govori o Monty Hallovom problemu u ovoj formulaciji.

  Raščlanjivanje

  Za pobjedničku strategiju važno je sljedeće: ako promijenite izbor vrata nakon akcije vođe, tada ste pobijedili ako ste inicijalno odabrali gubitnička vrata. Vjerojatno će se dogoditi 2 ⁄ 3 , budući da u početku možete odabrati gubitnička vrata na 2 od 3 načina.

  Ali često, kada rješavaju ovaj problem, raspravljaju otprilike ovako: domaćin uvijek na kraju uklanja jedna izgubljena vrata, a tada vjerojatnost da se automobil pojavi iza dva neotvorena postaju jednake ½, bez obzira na početni izbor. Ali to nije točno: iako doista postoje dvije mogućnosti izbora, te mogućnosti (uzimajući u obzir pozadinu) nisu jednako vjerojatne! To je točno jer su u početku sva vrata imala jednaku šansu za pobjedu, ali su zatim imala različite šanse da budu eliminirana.

  Za većinu ljudi ovaj zaključak je u suprotnosti s intuitivnom percepcijom situacije, a zbog rezultirajućeg neslaganja između logičnog zaključka i odgovora kojem intuitivno mišljenje naginje, zadatak se naziva Monty Hall paradoks.

  Situacija s vratima postaje još očitija ako zamislimo da nema 3 vrata, već, recimo, 1000, a nakon odabira igrača, voditelj uklanja 998 dodatnih, ostavljajući 2 vrata: ona koja je igrač izabrao i još jedan. Čini se očiglednijim da su vjerojatnosti pronalaska nagrade iza ovih vrata različite, a ne jednake ½. Puno veća vjerojatnost pronalaska, točnije 0,999, dogodit će se kod promjene odluke i odabira vrata odabranih od 999. U slučaju 3 vrata, logika je sačuvana, ali je vjerojatnost dobitka kod promjene odluke manja, tj. 2 ⁄ 3 .

  Drugi način zaključivanja je zamjena uvjeta s ekvivalentnim. Zamislimo da umjesto da igrač napravi početni izbor (neka to uvijek budu vrata #1) i zatim otvori vrata s kozom među preostalima (to jest, uvijek između #2 i #3), zamislimo da igrač treba pogoditi vrata iz prvog pokušaja, ali je unaprijed obaviješten da iza vrata broj 1 može biti automobil s početnom vjerojatnošću (33%), a među preostalim vratima naznačeno je za koja od vrata auto definitivno ne zaostaje (0%). Sukladno tome, zadnja vrata uvijek će činiti 67%, a strategija njihovog odabira je poželjnija.

  Drugo ponašanje vođe

  Klasična verzija Monty Hall paradoksa kaže da će domaćin potaknuti igrača da promijeni vrata, bez obzira je li odabrao automobil ili ne. Ali moguće je i složenije ponašanje domaćina. Ova tablica ukratko opisuje nekoliko ponašanja.

  Moguće ponašanje vođe
  Ponašanje domaćina	Proizlaziti
  "Infernal Monty": Domaćin nudi promjenu ako su vrata ispravna.	Promjena će uvijek dati kozu.
  "Angelic Monty": Domaćin nudi promjenu ako su vrata pogrešna.	Promjena će uvijek dati auto.
  "Neznalica Monty" ili "Monty Buch": domaćin nenamjerno pada, vrata se otvaraju i ispostavlja se da iza njih nema automobila. Drugim riječima, sam domaćin ne zna što se nalazi iza vrata, otvara vrata potpuno nasumce, a samo slučajno iza njih nije bilo automobila.	Promjena donosi pobjedu u ½ slučajeva. Ovako je uređena američka emisija "Deal or No Deal" - međutim, igrač sam otvara nasumična vrata, a ako iza njih nema automobila, voditelj nudi da ga promijeni.
  Domaćin bira jednu od koza i otvara je ako je igrač odabrao druga vrata.	Promjena donosi pobjedu u ½ slučajeva.
  Domaćin uvijek otvara kozu. Ako je odabran automobil, s vjerojatnošću se otvara lijeva koza str a pravo s vjerojatnošću q=1−str.	Ako je vođa otvorio lijeva vrata, pomak daje pobjedu s vjerojatnošću 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Ako je pravo 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Međutim, ispitanik ne može utjecati na vjerojatnost da će se otvoriti prava vrata - bez obzira na njegov izbor, to će se dogoditi s vjerojatnošću 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
  Isti, str=q= ½ (klasičan slučaj).	Promjena daje dobitak s vjerojatnošću 2 ⁄ 3 .
  Isti, str=1, q=0 ("nemoćni Monty" - umorni voditelj stoji na lijevim vratima i otvara kozu koja je bliža).	Ako je vođa otvorio prava vrata, pomak daje zajamčena pobjeda. Ako lijevo - vjerojatnost ½.
  Domaćin uvijek otvara kozu ako se izabere auto, au protivnom uz vjerojatnost ½.	Promjena daje dobitak s vjerojatnošću ½.
  Opći slučaj: igra se ponavlja mnogo puta, vjerojatnost skrivanja automobila iza jednih ili drugih vrata, kao i otvaranje ovih ili onih vrata je proizvoljna, ali domaćin zna gdje je automobil i uvijek nudi promjenu otvaranjem jednog od koze.	Nashova ravnoteža: Paradoks Montyja Halla u njegovom klasičnom obliku je najkorisniji za domaćina (vjerojatnost pobjede 2 ⁄ 3 ). Auto se skriva iza bilo kojih vrata s vjerojatnošću ⅓; ako postoji izbor, otvorite bilo koju kozu nasumce.
  Isto, ali domaćin možda uopće neće otvoriti vrata.	Nashova ravnoteža: domaćinu je korisno da ne otvara vrata, vjerojatnost dobitka je ⅓.

  vidi također

  Bilješke

  1. Tierney, John (21. srpnja 1991.), "Iza vrata Monty Halla: zagonetka, rasprava i odgovor?" ", The New York Times, . Preuzeto 18. siječnja 2008.

  Monty Hallov paradoks je jedan od poznatih problema teorije vjerojatnosti, čije je rješenje, na prvi pogled, u suprotnosti sa zdravim razumom. Problem je formuliran kao opis hipotetske igre temeljene na američkoj TV emisiji Let's Make A Deal i nazvan je po voditelju ove emisije. Najčešća formulacija ovog problema, objavljena 1990. u časopisu Parade, je sljedeća:
  Zamislite da ste postali sudionik igre u kojoj morate izabrati jedna od troja vrata. Iza jednih vrata je auto, iza druga dvoja vrata su koze. Odaberete jedna od vrata, npr. broj 1, nakon toga domaćin, koji zna gdje su kola, a gdje su koze, otvori jedna od preostalih vrata, npr. broj 3, iza kojih je koza. Nakon toga vas pita želite li promijeniti izbor i odabrati vrata broj 2. Hoće li vam se povećati šanse za osvajanje automobila ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite izbor? Iako je ova formulacija problema najpoznatija, donekle je problematična jer ostavlja neke važni uvjeti zadaci su neizvjesni. Slijedi potpunija izjava.
  Prilikom rješavanja ovog problema obično rezoniraju ovako: nakon što je domaćin otvorio vrata iza kojih se nalazi koza, auto može biti samo iza jednih od dvoja preostala vrata. Budući da igrač ne može primiti nijedan dodatne informacije o tome iza kojih se vrata automobil nalazi, tada je vjerojatnost pronalaska automobila iza svakih vrata ista, a promjena početnog izbora vrata ne daje igraču nikakvu prednost. Međutim, ovo razmišljanje je netočno. Ako domaćin uvijek zna iza kojih se vrata nalazi, uvijek otvara preostala vrata koja sadrže kozu i uvijek traži od igrača da promijeni svoj izbor, tada je vjerojatnost da je automobil iza vrata koje je odabrao igrač 1/3, a , prema tome, vjerojatnost da je automobil iza preostalih vrata je 2/3. Dakle, promjena početnog izbora udvostručuje šanse igrača da osvoji automobil. Ovaj zaključak je u suprotnosti s intuitivnom percepcijom situacije kod većine ljudi, zbog čega se opisani problem naziva Monty Hallovim paradoksom.
  
  usmena odluka
  Točan odgovor na ovaj problem je sljedeći: da, šanse za osvajanje auta su udvostručene ako igrač posluša savjet domaćina i promijeni svoj početni izbor.
  Najjednostavnije objašnjenje za ovaj odgovor je sljedeće. Kako bi osvojio automobil bez promjene izbora, igrač mora odmah pogoditi vrata iza kojih automobil stoji. Vjerojatnost za to je 1/3. Ako igrač prvo udari u vrata s kozom iza njih (a vjerojatnost tog događaja je 2/3, budući da postoje dvije koze i samo jedan automobil), tada sigurno može osvojiti automobil ako se predomisli, budući da je automobil i ostane jedna koza, a domaćin je već otvorio vrata s kozom.
  Dakle, bez promjene izbora igrač ostaje pri svojoj početnoj vjerojatnosti dobitka 1/3, a kod promjene početnog izbora igrač okreće u svoju korist dvostruku preostalu vjerojatnost koju nije točno pogodio na početku.
  Također, intuitivno objašnjenje može se dati zamjenom ta dva događaja. Prvi događaj je odluka igrača da promijeni vrata, drugi događaj je otvaranje dodatnih vrata. To je prihvatljivo jer otvaranje dodatnih vrata ne daje igraču ništa nove informacije(dokument vidi u ovom članku).
  Tada se problem može svesti na sljedeću formulaciju. U prvom trenutku igrač dijeli vrata u dvije grupe: u prvoj grupi su jedna vrata (ona koja je on odabrao), u drugoj grupi su preostala dvoja vrata. U sljedećem trenutku igrač bira između grupa. Očito je da je za prvu skupinu vjerojatnost dobitka 1/3, za drugu skupinu 2/3. Igrač bira drugu grupu. U drugoj skupini može otvoriti oba vrata. Jednu otvara domaćin, a drugu sam igrač.
  Pokušajmo dati "najrazumljivije" objašnjenje. Preformulirajmo problem: Pošteni vođa najavljuje igraču da se iza jednih od tri vrata nalazi automobil i poziva ga da prvo pokaže na jedna od vrata, a zatim odabere jednu od dvije akcije: otvori navedena vrata (u stari izraz, ovo se zove "ne mijenjaj svoj izbor ") ili otvorite druga dva (u starom izrazu, ovo bi bilo samo "promijenite izbor". Razmislite o tome, ovo je ključ za razumijevanje!). Jasno je da će igrač izabrati drugu od dvije akcije, budući da je vjerojatnost dobivanja automobila u ovom slučaju dvostruko veća. I sitnica da je domaćin i prije odabira radnje “pokazao kozu” ne pomaže i ne ometa izbor, jer iza jednih od dvoja vrata uvijek stoji koza i domaćin će je svakako pokazati u svakom trenutku. tijekom igre, tako da igrač može na ovu kozu i ne gledati. Posao igrača, ako je odabrao drugu akciju, je reći "hvala" domaćinu što ga je poštedio muke da sam otvori jedna od dvoja vrata i otvori druga. Pa, ili još lakše. Zamislimo ovu situaciju iz kuta domaćina koji sličan postupak radi s desecima igrača. Budući da savršeno dobro zna što je iza vrata, tada u prosjeku u dva od tri slučaja unaprijed vidi da je igrač odabrao "kriva" vrata. Stoga za njega definitivno nema paradoksa da je ispravna strategija promijeniti izbor nakon otvaranja prvih vrata: nakon svega, u ista dva slučaja od tri, igrač će napustiti studio u novom automobilu.
  Za kraj, "najnaivniji" dokaz. Onaj koji stoji iza svog izbora neka se zove "Tvrdoglav", a onaj koji slijedi upute vođe neka se zove "Pažljiv". Zatim pobjeđuje Tvrdoglavi ako je prvo pogodio auto (1/3), a Pažljivi - ako je prvi promašio i pogodio jarca (2/3). Uostalom, samo u ovom slučaju će onda pokazati na vrata s automobilom.
  Ključevi za razumijevanje
  Unatoč jednostavnosti objašnjenja ovog fenomena, mnogi ljudi intuitivno vjeruju da se vjerojatnost dobitka ne mijenja kada igrač promijeni svoj izbor. Obično je nemogućnost promjene vjerojatnosti dobitka motivirana činjenicom da pri izračunavanju vjerojatnosti događaji koji su se dogodili u prošlosti nisu važni, kao što se događa, na primjer, prilikom bacanja novčića - vjerojatnost dobivanja glave ili repa ne ovisi o tome koliko su puta ranije ispale glave ili repovi. Stoga mnogi vjeruju da u trenutku kada igrač izabere jedna od dvoja vrata, više nije važno što je u prošlosti postojao izbor jednih vrata od troja, a vjerojatnost osvajanja auta je ista pri promjeni izbora , i ostavljajući izvorni izbor.
  Međutim, dok su takva razmatranja istinita u slučaju bacanja novčića, nisu istinita za sve igre. NA ovaj slučaj otvaranje vrata od strane majstora treba zanemariti. Igrač u biti bira između jednih vrata koja su prva odabrali i druga dva - otvaranje jednih od njih služi samo za preusmjeravanje igračeve pozornosti. Zna se da je jedan auto i dvije koze. Igračev početni odabir jednih vrata dijeli moguće ishode igre u dvije skupine: ili je automobil iza vrata koje je odabrao igrač (vjerojatnost za to je 1/3), ili iza jednog od druga dva (vjerojatnost od ovoga je 2/3). Pritom je već poznato da se u svakom slučaju iza jednih od dvoja preostala vrata nalazi koza, a otvaranjem tih vrata voditelj ne daje igraču nikakve dodatne informacije o tome što se nalazi iza vrata koje je izabrao igrač. Dakle, otvaranje vrata s kozom od strane vođe ne mijenja vjerojatnost (2/3) da je automobil iza jednih od preostalih vrata. A budući da igrač ne bira već otvorena vrata, tada je sva ta vjerojatnost koncentrirana u slučaju da je automobil iza preostalih zatvorenih vrata.
  Intuitivnije razmišljanje: Neka igrač djeluje prema strategiji "promijeni izbor". Tada će izgubiti samo ako u početku odabere auto. A vjerojatnost za to je jedna trećina. Stoga je vjerojatnost dobitka: 1-1/3=2/3. Ako se igrač ponaša prema strategiji "ne mijenjaj izbor", tada će pobijediti ako i samo ako je inicijalno odabrao automobil. A vjerojatnost za to je jedna trećina.
  Zamislimo ovu situaciju iz kuta domaćina koji sličan postupak radi s desecima igrača. Budući da savršeno dobro zna što je iza vrata, tada u prosjeku u dva od tri slučaja unaprijed vidi da je igrač odabrao "kriva" vrata. Stoga za njega definitivno nema paradoksa da je ispravna strategija promijeniti izbor nakon otvaranja prvih vrata: nakon svega, u ista dva slučaja od tri, igrač će napustiti studio u novom automobilu.
  ostalo zajednički uzrok Poteškoća u razumijevanju rješenja ovog problema leži u tome što ljudi često zamišljaju malo drugačiju igru ​​– kada se unaprijed ne zna hoće li domaćin otvoriti vrata s jarcem i ponuditi igraču da promijeni izbor. U ovom slučaju igrač ne poznaje taktiku vođe (odnosno, zapravo, ne poznaje sva pravila igre) i ne može napraviti optimalan izbor. Na primjer, ako će voditelj ponuditi promjenu opcije samo ako je igrač prvotno odabrao vrata s automobilom, tada očito igrač uvijek treba ostaviti izvornu odluku nepromijenjenom. Zato je važno imati na umu točnu formulaciju problema Monty Halla. (s ovom opcijom, lider s različitim strategijama može postići bilo koju vjerojatnost između vrata, u općem (prosječnom) slučaju to će biti 1/2 puta 1/2).
  Povećanje broja vrata
  Kako bismo lakše razumjeli bit onoga što se događa, možemo razmotriti slučaj kada igrač ispred sebe ne vidi troja vrata, već, na primjer, stotinu. U isto vrijeme, iza jednih vrata je auto, a iza ostalih 99 koza. Igrač bira jedna od vrata, dok će u 99% slučajeva izabrati vrata s kozom, a šanse da odmah odabere vrata s automobilom vrlo su male – iznose 1%. Nakon toga domaćin otvara 98 vrata s kozama i traži od igrača da izabere preostala vrata. U ovom slučaju, u 99% slučajeva, automobil će biti iza ovih preostalih vrata, jer su šanse da je igrač odmah izabrao prava vrata vrlo male. Jasno je da bi u ovoj situaciji igrač koji racionalno razmišlja uvijek trebao prihvatiti prijedlog lidera.
  Pri razmatranju povećanog broja vrata često se postavlja pitanje: ako u izvornom problemu vođa otvara jedna od tri vrata (odnosno 1/3 ukupnog broja vrata), zašto bismo onda pretpostavili da u slučaju od 100 vrata voditelj će otvoriti 98 vrata s kozama, a ne 33? Ovo je razmatranje obično jedan od značajnih razloga zašto je paradoks Montyja Halla u sukobu s intuitivnom percepcijom situacije. Ispravno bi bilo pretpostaviti otvaranje 98 vrata, jer je bitan uvjet problema da postoji samo jedan alternativni izbor za igrača, koji nudi domaćin. Dakle, da bi zadaci bili slični, u slučaju 4 vrata vođa mora otvoriti 2 vrata, u slučaju 5 vrata - 3 i tako dalje, tako da uvijek postoje još jedna neotvorena vrata osim onih koju je igrač prvotno odabrao. Ako voditelj otvori manje vrata, zadatak više neće biti sličan izvornom Monty Hallovom zadatku.
  Treba napomenuti da u slučaju mnogo vrata, čak i ako domaćin ne ostavi zatvorena jedna vrata, već nekoliko, i ponudi igraču da odabere jedno od njih, tada kada promijeni početni izbor, šanse igrača da osvoji automobil će biti veće i dalje raste, iako ne tako značajno. Na primjer, razmotrite situaciju u kojoj igrač odabere jedna vrata od stotinu, a zatim voditelj otvori samo jedna od preostalih vrata, pozivajući igrača da promijeni svoj izbor. U isto vrijeme, šanse da je automobil iza vrata koje je igrač izvorno odabrao ostaju iste - 1/100, a za preostala vrata šanse se mijenjaju: ukupna vjerojatnost da je automobil iza jednih od preostalih vrata ( 99/100) sada nije raspoređen na 99 vrata, već na 98. Stoga vjerojatnost pronalaska automobila iza svakih od ovih vrata neće biti 1/100, već 99/9800. Povećanje vjerojatnosti bit će približno 0,01%.
  stablo odlučivanja
  
  
  Drvo moguća rješenja igrača i domaćina, pokazujući vjerojatnost svakog ishoda
  Formalnije, scenarij igre može se opisati pomoću stabla odlučivanja.
  U prva dva slučaja, kada je igrač prvi odabrao vrata iza kojih se nalazi koza, promjena izbora rezultira dobitkom. U zadnja dva slučaja, kada je igrač prvi put izabrao vrata s automobilom, promjena izbora rezultira gubitkom.
  Ukupna vjerojatnost da će promjena izbora dovesti do pobjede jednaka je zbroju vjerojatnosti prva dva ishoda, tj.
  
  Sukladno tome, vjerojatnost da će odbijanje promjene izbora dovesti do pobjede jednaka je
  
  Provođenje sličnog eksperimenta
  Postoji jednostavan način da se uvjerite da promjena izvornog izbora rezultira pobjedom u prosjeku dva od tri puta. Da biste to učinili, možete simulirati igru ​​opisanu u Monty Hall problemu koristeći igraće karte. Jedna osoba (distribucija karata) u ovom slučaju igra ulogu vodećeg Monty Halla, a druga - ulogu igrača. Za igru ​​se uzimaju tri karte, od kojih jedna prikazuje vrata s kolima (na primjer, as pik), a dvije druge, identične (na primjer, dvije crvene dvojke) - vrata s kozama.
  Domaćin postavlja tri karte licem prema dolje, pozivajući igrača da uzme jednu od karata. Nakon što igrač odabere kartu, vođa gleda dvije preostale karte i otkriva crvenu dvojku. Nakon toga otvaraju se karte koje je ostavio igrač i voditelj, a ako je karta koju je igrač izabrao as pik, tada se bilježi bod u korist opcije kada igrač ne mijenja svoj izbor, a ako igrač ima crvenu dvojku, a vodeći ima asa pik, tada se bod boduje u korist opcije kada igrač promijeni izbor. Ako igramo mnogo takvih rundi igre, tada omjer između bodova u korist dviju opcija prilično dobro odražava omjer vjerojatnosti tih opcija. U ovom slučaju ispada da je broj bodova u korist promjene početnog izbora približno dvostruko veći.
  Takav eksperiment ne samo da osigurava dvostruko veću vjerojatnost dobitka pri promjeni izbora, već i dobro ilustrira zašto se to događa. U trenutku kada je igrač izabrao kartu za sebe, već je određeno je li as pik u njegovoj ruci ili ne. Daljnje otvaranje jedne od njegovih karata od strane vođe ne mijenja situaciju - igrač već drži kartu u ruci i ona ostaje tu bez obzira na radnje vođe. Vjerojatnost da igrač odabere asa pik od tri karte očito je 1/3, a time i vjerojatnost da ga ne odabere (i tada će igrač pobijediti ako promijeni početni izbor) je 2/3.
  Spomenuti
  U filmu Dvadeset jedan, učiteljica, Miki Rosa, izaziva glavnog lika, Bena, da riješi zagonetku: iza troja vrata su dva skutera i jedan auto; morate pogoditi vrata da biste osvojili auto. Nakon prvog izbora, Miki nudi promjenu izbora. Ben se slaže i matematički obrazlaže svoju odluku. Tako nehotice prolazi test za Mikijev tim.
  U romanu Sergeja Lukjanenka "Nedotepa" glavni likovi ovom tehnikom osvajaju kočiju i mogućnost da nastave putovanje.
  U televizijskoj seriji 4isla (13. epizoda prve sezone "Man Hunt"), jedan od glavnih likova, Charlie Epps, u popularnom predavanju o matematici, objašnjava Monty Hallov paradoks, jasno ga ilustrirajući pomoću ploča za označavanje, na poleđine koje su naslikane koze i auto. Charlie ipak pronalazi auto promjenom odabira. Međutim, treba napomenuti da on izvodi samo jedan eksperiment, dok je korist od strategije prijelaza statistička, te treba provesti niz eksperimenata da bi se ispravno ilustrirao.

  Svi znamo situaciju kada smo se oslanjali na svoju intuiciju umjesto na trezveni proračun. Uostalom, moramo priznati da nije uvijek moguće sve izračunati prije nego što se odlučite. I koliko god lukavi bili ljudi, koji su navikli svoj izbor donositi tek nakon temeljite analize, nisu jednom morali to učiniti na temelju načela "vjerojatno tako". Jedan od razloga za takav postupak može biti banalni nedostatak potrebnog vremena za procjenu situacije.

  U isto vrijeme, izbor čeka trenutnu situaciju upravo sada i ne dopušta vam da pobjegnete od odgovora ili akcije. Ali još škakljivija situacija za nas, koja doslovno izaziva grč u mozgu, je uništenje povjerenja u ispravnost izbora ili u njegovu vjerojatnu superiornost nad drugim opcijama temeljenim na logičnim zaključcima. Na tome se temelje svi postojeći paradoksi.

  Paradoks u igri TV emisije "Hajde da se dogovorimo"

  Jedan od paradoksa koji izaziva žestoke rasprave među ljubiteljima zagonetki zove se Monty Hallov paradoks. Ime je dobila po vodećoj TV emisiji u SAD-u pod nazivom "Let's Make A Deal". U TV emisiji voditelj nudi da otvori jedna od troja vrata, gdje je nagrada automobil, dok iza druga dvoja stoji jedna koza.

  Sudionik u igri bira, ali domaćin, znajući gdje je automobil, ne otvara vrata koja je igrač pokazao, već ona druga, u kojima se nalazi koza i nudi da promijeni početni izbor igrača. Za daljnju analizu prihvaćamo ovo posebno ponašanje hosta, iako se zapravo može povremeno promijeniti. Ostale opcije za razvojni scenarij jednostavno ćemo navesti u nastavku članka.

  Što je bit paradoksa?

  Još jednom, točku po točku, odredit ćemo uvjete i promijeniti objekte igre za promjenu prema našima.

  Sudionik igre nalazi se u sobi s tri bankovne ćelije. U jednoj od tri ćelije nalazi se zlatni ingot zlata, u druge dvije, jedan novčić nominalne vrijednosti 1 kopejke SSSR-a.

  Dakle, sudionik prije izbora i uvjeti igre su sljedeći:

  1. Sudionik može odabrati samo jednu od tri ćelije.
  2. Bankar u početku zna mjesto ingota.
  3. Bankar uvijek otvara željenu ćeliju koja nije po izboru igrača i traži od igrača da promijeni izbor.
  4. Igrač može promijeniti svoj izbor ili zadržati izvorni.

  Što kaže intuicija?

  Paradoks je da su za većinu ljudi koji su navikli razmišljati logično šanse za dobitak ako promijene svoj početni izbor 50 prema 50. Uostalom, nakon što bankar otvori drugu ćeliju s novčićem drugačijim od igračevog početnog izbora, 2 ćelije ostatak , od kojih je u jednom poluga zlata, a u drugom novčić. Igrač osvaja ingot ako prihvati bankarovu ponudu da promijeni ćeliju, pod uvjetom da nije bilo ingota u ćeliji koju je igrač izvorno odabrao. I obrnuto, pod ovim uvjetom gubi ako odbije prihvatiti ponudu.

  

  Kao što predlažemo zdravom razumu, vjerojatnost odabira ingota i dobitka u ovom slučaju je 1/2. Ali zapravo je situacija drugačija! “Ali kako je, ovdje je sve očito?” - pitaš. Recimo da ste odabrali ćeliju broj 1. Intuitivno, da, bez obzira koji ste izbor imali u početku, na kraju zapravo imate novčić i polugu prije odabira. I ako ste u početku imali vjerojatnost da ćete dobiti nagradu 1/3, onda na kraju, kada bankar otvori jednu ćeliju, dobit ćete vjerojatnost 1/2. Činilo se da je vjerojatnost porasla s 1/3 na 1/2. Pažljivom analizom igre ispada da kada se odluka promijeni, vjerojatnost se povećava na 2/3 umjesto intuitivnih 1/2. Pogledajmo zašto se to događa.

  Za razliku od intuitivne razine, gdje naša svijest promatra događaj nakon promjene stanice kao nešto zasebno i zaboravlja na početni izbor, matematika ne prekida ta dva događaja, već čuva lanac događaja od početka do kraja. Dakle, kao što smo ranije rekli, šanse za dobitak kada odmah pogodimo ingot su 1/3, a vjerojatnost da ćemo odabrati ćeliju s novčićem je 2/3 (budući da imamo jedan ingot i dva novčića).

  1. U početku odabiremo bankovnu ćeliju s ingotom - vjerojatnost je 1/3.
     • Ako igrač promijeni svoj izbor prihvaćanjem bankarove ponude, gubi.
     • Ako igrač ne promijeni svoj izbor bez prihvaćanja bankarove ponude, pobjeđuje.
  2. Od prvog puta biramo bankovnu ćeliju s novčićem - vjerojatnost je 2/3.
     • Ako igrač promijeni svoj izbor, pobjeđuje.
     • Ako igrač ne promijeni izbor - izgubljen.

  Dakle, da bi igrač napustio banku sa zlatnom polugom u džepu, mora izabrati početni gubitnički položaj s novčićem (vjerojatnost 1/3), a zatim prihvatiti ponudu bankara da promijeni ćeliju.

  Kako bismo razumjeli ovaj paradoks i izvukli se iz okova početnog obrasca selekcije i preostalih ćelija, zamislimo ponašanje igrača na upravo suprotan način. Prije nego što bankar ponudi ćeliju na odabir, igrač je mentalno precizno određen da promijeni svoj izbor, a tek nakon toga slijedi događaj otvaranja dodatnih vrata za njega. Zašto ne? Uostalom, otvorena vrata mu ne daju više informacija u tako logičnom slijedu. U prvoj vremenskoj fazi igrač dijeli ćelije na dvije različitim područjima: prvo je područje s jednom ćelijom s njegovim izvornim odabirom, drugo je s dvije preostale ćelije. Zatim, igrač mora napraviti izbor između dva područja. Vjerojatnost da dobijete zlatni ingot iz ćelije iz prvog područja je 1/3, iz drugog 2/3. Izbor slijedi drugo područje u kojem može otvoriti dvije ćelije, prvu će otvoriti bankar, drugu sam.

  Postoji još bolje objašnjenje za Monty Hallov paradoks. Da biste to učinili, morate promijeniti tekst zadatka. Bankar jasno daje do znanja da jedna od tri bankovne ćelije sadrži zlatnu polugu. U prvom slučaju nudi otvaranje jedne od tri ćelije, au drugom - dvije u isto vrijeme. Što će igrač izabrati? Pa naravno dva odjednom, udvostručenjem vjerojatnosti. A trenutak kada je bankar otvorio ćeliju s novčićem, to zapravo ne pomaže igraču ni na koji način i ne ometa izbor, jer će bankar ionako pokazati ovu ćeliju s novčićem, tako da igrač to jednostavno može zanemariti akcijski. Sa strane igrača može se samo zahvaliti bankaru što mu je olakšao život, a umjesto dvije, morao je otvoriti jednu ćeliju. Pa, sindroma paradoksa konačno se možete riješiti ako se stavite na mjesto bankara koji u startu zna da igrač pokazuje na kriva vrata u dva od tri slučaja. Za bankara nema paradoksa kao takvog, jer je on siguran u takvu inverziju događaja da u slučaju promjene događaja igrač uzima zlatnu polugu.

  

  Paradoks Montyja Halla očito ne dopušta pobjedu konzervativcima, koji su čvrsti u svom izvornom izboru i gube priliku za povećanjem vjerojatnosti. Za konzervativce će ostati 1/3. Za budne i razumne ljude raste na gornje 2/3.

  Sve gore navedene tvrdnje relevantne su samo u skladu s inicijalno navedenim uvjetima.

  Što ako povećamo broj stanica?

  Što ako povećamo broj stanica? Recimo, umjesto tri od njih bit će 50. Zlatni ingot će ležati u samo jednoj ćeliji, au preostalih 49 - novčići. Sukladno tome, za razliku od klasičnog slučaja, vjerojatnost pogađanja cilja u pokretu je 1/50 ili 2% umjesto 1/3, dok je vjerojatnost odabira ćelije s novčićem 98%. Nadalje, situacija se razvija, kao u prethodnom slučaju. Bankar nudi otvaranje bilo koje od 50 ćelija, sudionik bira. Recimo da igrač otvori ćeliju s rednim brojem 49. Bankar, pak, kao iu klasičnoj verziji, ne žuri ispuniti želju igrača i otvara drugih 48 ćelija s novčićima i nudi da promijeni svoj izbor na preostalu na broju 50.

  Ovdje je važno razumjeti da bankar otvara točno 48 ćelija, a ne 30, au isto vrijeme ostavlja 2, uključujući i onu koju odabere igrač. Upravo taj izbor omogućuje da paradoks bude u suprotnosti s intuicijom. Kao u slučaju sa klasična verzija, otvaranje 48 ćelija od strane bankara ostavlja samo jednu jedinu alternativu za odabir. Slučaj varijante manjeg otvora stanica ne dopušta da se problem stavi u rang s klasičnim i osjeti paradoks.

  Ali budući da smo već dotakli ovu opciju, pretpostavimo da bankar ne ostavlja jednu, osim one koju je odabrao igrač, već nekoliko ćelija. Predstavljeno, kao i prije, 50 stanica. Bankar, po izboru igrača, otvara samo jednu ćeliju, dok 48 ćelija ostavlja zatvorenima, uključujući i onu po izboru igrača. Vjerojatnost odabira ingota u prvom pokušaju je 1/50. Ukratko, vjerojatnost pronalaska ingota u preostalim ćelijama je 49/50, što se pak ne širi na 49, već na 48 ćelija. Nije teško izračunati da je vjerojatnost pronalaska ingota u ovom slučaju (49/50)/48=49/2900 . Vjerojatnost, iako ne velika, ipak je veća od 1/50 za otprilike 1%.

  Kao što smo spomenuli na samom početku, domaćin Monty Hall u klasičnom scenariju igre s vratima, kozama i nagradnim kolima može promijeniti uvjete igre, a time i vjerojatnost dobitka.

  

  Matematika paradoksa

  Mogu li oni matematičke formule dokazati povećanje vjerojatnosti pri promjeni izbora?
  Zamislimo lanac događaja kao skup podijeljen u dva dijela, prvi dio će biti uzet kao X - to je izbor igrača u prvoj fazi sigurne ćelije; a drugi skup Y - preostale dvije preostale ćelije. Vjerojatnost (B) dobitka za ćelije 2 i 3 može se izraziti pomoću formula.

  B(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
  B(3) = 1/2 * 2/3 = 1/3

  Gdje je 1/2 vjerojatnost s kojom će bankar otvoriti ćeliju 2 i 3, pod uvjetom da je igrač prvotno odabrao ćeliju bez ingota.
  Nadalje, uvjetna vjerojatnost 1/2 kada bankar otvori ćeliju s novčićem mijenja se u 1 i 0. Tada formule poprimaju sljedeći oblik:

  B(2) = 0 * 2/3 = 0
  B(3) = 1 * 2/3 = 1

  Ovdje jasno vidimo da je vjerojatnost odabira ingota u ćeliji 3 2/3, što je nešto više od 60 posto.
  Programer početničke razine može lako testirati ovaj paradoks tako da napiše program koji izračunava vjerojatnost pri promjeni izbora ili obrnuto i provjeri rezultate.

  Objašnjenje paradoksa u filmu 21 (dvadeset jedan)

  Vizualno objašnjenje paradoksa Montyja Paula dano je u filmu "21" (Dvadeset i jedan) redatelja Roberta Luketića. Profesor Mickey Rosa na predavanju daje primjer iz emisije Let's Make a Deal i pita studenta Bena Campbella (glumac i pjevač James Anthony) o distribuciji vjerojatnosti, koji daje točan raspored i time iznenadi nastavnika.

  Samostalno proučavanje paradoksa

  Za osobe koje žele sami provjeriti rezultat u praksi, a nemaju matematičku podlogu, predlažemo da samostalno simulirate igru ​​u kojoj ćete vi biti voditelj, a netko igrač. U ovu igru ​​možete uključiti djecu koja će od njih birati slatkiše ili omote slatkiša u unaprijed pripremljenim kartonskim kutijama. Uz svaki izbor obavezno zabilježite rezultat za daljnji izračun.

  Izbor riječi

  Najpopularniji je zadatak s dodatnim uvjetom br. 6 iz tablice - sudionik igre unaprijed zna sljedeća pravila:

  • auto je jednako vjerojatno postavljen iza bilo kojih od 3 vrata;
  • domaćin je u svakom slučaju dužan otvoriti vrata s jarcem i ponuditi igraču da promijeni izbor, ali ne vrata koja je igrač odabrao;
  • ako vođa ima izbor koja će od 2 vrata otvoriti, on bira bilo koja od njih s istom vjerojatnošću.

  Sljedeći tekst govori o Monty Hallovom problemu u ovoj formulaciji.

  Raščlanjivanje

  Prilikom rješavanja ovog problema obično se argumentira otprilike ovako: domaćin uvijek na kraju ukloni jedna izgubljena vrata, a tada vjerojatnost da se automobil pojavi iza dvoja neotvorena vrata postane 1/2, bez obzira na početni izbor.

  Cijela stvar je u tome da svojim početnim izborom sudionik dijeli vrata: odabrani A i još dvoje - B i C. Vjerojatnost da je automobil iza odabranih vrata = 1/3, da je iza ostalih = 2/3.

  Za svaka od preostalih vrata, trenutna situacija je opisana kako slijedi:

  P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

  P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

  Gdje je 1/2 uvjetna vjerojatnost da je automobil iza zadanih vrata, pod uvjetom da automobil nije iza vrata koje je odabrao igrač.

  Domaćin, otvarajući jedna od preostalih vrata, koja uvijek gubi, priopćava igraču točno 1 bit informacija i promjena uvjetne vjerojatnosti za B i C redom na "1" i "0".

  Kao rezultat toga, izrazi imaju oblik:

  P(B) = 2/3*1 = 2/3

  Dakle, sudionik treba promijeniti svoj početni izbor - u ovom slučaju, vjerojatnost njegovog dobitka bit će jednaka 2/3.

  Jedno od najjednostavnijih objašnjenja je sljedeće: ako promijenite vrata nakon što je domaćin djelovao, tada ste pobijedili ako ste prvotno odabrali gubitnička vrata (tada će domaćin otvoriti druga gubitnička vrata i vi ćete morati promijeniti svoj izbor da biste pobijedili) . I u početku možete odabrati gubitnička vrata na 2 načina (vjerojatnost 2/3), tj. ako promijenite vrata, dobit ćete s vjerojatnošću 2/3.

  Ovaj zaključak proturječi intuitivnoj percepciji situacije od strane većine ljudi, stoga se opisani zadatak naziva Monty Hall paradoks, tj. paradoks u svakodnevnom smislu.

  A intuitivna percepcija je sljedeća: otvarajući vrata s kozom, domaćin postavlja novi zadatak igraču, koji nema nikakve veze s prethodnim izborom - na kraju krajeva, koza je iza otvorena vrata pojavit će se bez obzira je li igrač prethodno odabrao kozu ili auto. Nakon što se otvore treća vrata, igrač mora ponovno napraviti izbor - i odabrati ista vrata koja je izabrao prije ili neka druga. Odnosno, dok ne mijenja svoj prethodni izbor, već donosi novi. Matematičko rješenje razmatra dva uzastopna zadatka voditelja međusobno povezana.

  No, treba uzeti u obzir faktor iz uvjeta da će domaćin otvoriti vrata jarcem s preostala dva, a ne vrata po izboru igrača. Dakle, preostala vrata imaju veće šanse za automobil, jer nisu izabrana za majstora. Ako uzmemo u obzir slučaj kada vođa, znajući da se iza vrata koje je odabrao igrač nalazi koza, ipak otvori ta vrata, time namjerno smanjuje šanse igrača da izabere točna vrata, jer. vjerojatnost ispravnog izbora bit će već 1/2. Ali ova vrsta igre će imati drugačija pravila.

  Dajmo još jedno objašnjenje. Pretpostavimo da igrate prema gore opisanom sustavu, tj. od dvoja preostala vrata uvijek birate drugačija vrata od vašeg prvobitnog izbora. U kojem ćete slučaju izgubiti? Gubitak će doći kada, i samo tada, kada ste od samog početka odabrali vrata iza kojih se auto nalazi, jer ćete se naknadno neizbježno predomisliti u korist vrata s kozom, u svim drugim slučajevima ćete pobijediti, tj. ako od samog početka Pogrešan izbor vrata. Ali vjerojatnost odabira vrata s kozom od samog početka je 2/3, pa ispada da je za pobjedu potrebna pogreška čija je vjerojatnost duplo veća od točnog izbora.

  Spominjanja

  • U filmu Dvadeset i jedan učiteljica Miki Rosa nudi glavnom liku Benu da riješi problem: iza troja vrata stoje dva skutera i jedan automobil, morate pogoditi vrata s automobilom. Nakon prvog izbora, Miki nudi promjenu izbora. Ben se slaže i matematički obrazlaže svoju odluku. Tako nehotice prolazi test za Mikijev tim.
  • U romanu Sergeja Lukjanenka "Kluttyopa" glavni likovi uz pomoć ove tehnike osvajaju kočiju i mogućnost da nastave putovanje.
  • U televizijskoj seriji "4isla" (13. epizoda 1. sezone "Man Hunt"), jedan od glavnih likova, Charlie Epps, na popularnom predavanju iz matematike objašnjava paradoks Monty Halla, jasno ga ilustrirajući uz pomoć marker ploča. , na čijoj su poleđini nacrtane koze i auto. Charlie ipak pronalazi auto promjenom odabira. Međutim, treba napomenuti da on izvodi samo jedan eksperiment, dok je korist od strategije prijelaza statistička, te treba provesti niz eksperimenata da bi se ispravno ilustrirao.
  • O paradoksu Montyja Halla govori se u dnevniku junaka priče Marka Haddona The Curious Incident of the Dog in the Night.
  • Paradoks Montyja Halla testirali su Razotkrivači mitova

  vidi također

  • Bertrandov paradoks

  Linkovi

  	Paradoks Montyja Halla na Wikiknjigama
  	Paradoks Montyja Halla na Wikimedia Commons

  • Interaktivni prototip: za one koji se žele zezati (generacija se događa nakon prvog izbora)
  • Interaktivni prototip: pravi prototip igre (karte se generiraju prije odabira, rad prototipa je transparentan)
  • Video s objašnjenjem na Smart Videos.ru
  • Weisstein, Eric W. Paradoks Monty Halla (engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.
  • Paradoks Monty Halla na web stranici TV emisije Dogovorimo se
  • Ulomak iz knjige S. Lukyanenko, koji koristi Monty Hallov paradoks
  • Još jedno Bayesovo rješenje Još jedno Bayesovo rješenje na Forumu državnog sveučilišta Novosibirsk

  Književnost

  • Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika, - M .: Visoko obrazovanje. 2005. godine
  • Gnedin, Sasha "Igra Mondee Gills." časopis Matematički Inteligencija, 2011. http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
  • Časopis Parada od 17. veljače.
  • vas Savant, Marilyn. Pitaj Marilyn kolumna, časopis Časopis Parada od 26. veljače.
  • Bapeswara Rao, V. V. i Rao, M. Bhaskara. "Igrokaz s troja vrata i neke njegove varijante". Časopis Matematičar, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Razumijevanje pravila vjerojatnosti, slučajnosti u svakodnevnom životu. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

  Bilješke

  
  

  Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

  Pogledajte što je "Monty Hall Paradox" u drugim rječnicima:

  U potrazi za automobilom, igrač bira vrata 1. Zatim domaćin otvara 3. vrata, iza kojih se nalazi koza, i poziva igrača da promijeni svoj izbor na vrata 2. Treba li to učiniti? Monty Hallov paradoks jedan je od dobro poznatih problema teorije ... ... Wikipedije

  - (Paradoks kravate) poznati je paradoks sličan problemu dviju ovojnica, koji također pokazuje značajke subjektivne percepcije teorije vjerojatnosti. Suština paradoksa: dva muškarca poklanjaju jedan drugome za Božić kravate koje su kupili ... ... Wikipedia