कैलकुलेटर के आगमन से पहले, छात्रों और शिक्षकों ने हाथ से वर्गमूल की गणना की। किसी संख्या के वर्गमूल की मैन्युअल रूप से गणना करने के कई तरीके हैं। उनमें से कुछ केवल अनुमानित समाधान प्रदान करते हैं, अन्य सटीक उत्तर देते हैं।

कदम

मुख्य दलाली

मूल संख्या को उन गुणनखंडों में विभाजित करें जो वर्ग संख्याएँ हैं।मूल संख्या के आधार पर, आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ - वे संख्याएँ जिनसे आप एक पूर्णांक निकाल सकते हैं वर्गमूल. गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, क्योंकि 2 x 4 = 8, संख्याएँ 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, क्योंकि 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. वर्ग गुणनखंड हैं। गुणनखंड हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। सबसे पहले, मूल संख्या को वर्ग गुणनखंडों में गुणनखंडित करने का प्रयास करें।

• उदाहरण के लिए, 400 (मैन्युअल रूप से) के वर्गमूल की गणना करें। पहले 400 को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, जो 25 से विभाज्य है - यह एक वर्ग संख्या है। 400 को 25 से भाग देने पर आपको 16 प्राप्त होता है। 16 संख्या भी एक वर्ग संख्या होती है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400.
• आप इसे लिख सकते हैं इस अनुसार: √400 = (25 x 16)।

1. कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात (a x b) = a x b। इस नियम का प्रयोग करें और प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लें और उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का वर्गमूल लें।
     • (25 x 16)
     • √25 x 16
     • 5 x 4 = 20

2. यदि मूल संख्या दो वर्ग गुणनखंडों में कारक नहीं है (और यह ज्यादातर मामलों में होता है), तो आप पूर्णांक के रूप में सटीक उत्तर नहीं खोज पाएंगे। लेकिन आप मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक ऐसी संख्या जिससे पूरा वर्गमूल नहीं लिया जा सकता) में विघटित करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेंगे और आप साधारण गुणनखंड का मूल लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3. समस्या को निम्नानुसार हल करें:
     • = (49 x 3)
     • = 49 x 3
     • = 7√3

3. यदि आवश्यक हो, जड़ के मूल्य का मूल्यांकन करें।अब आप मूल संख्या के निकटतम (संख्या रेखा के दोनों ओर) वर्ग संख्याओं की जड़ों के मानों के साथ तुलना करके मूल के मान (अनुमानित मान का पता लगाएं) का मूल्यांकन कर सकते हैं। आपको मूल का मान दशमलव भिन्न के रूप में मिलेगा, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

   • आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मूल संख्या 3 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (√1 = 1) और 4 (√4 = 2) हैं। इस प्रकार, 3 का मान 1 और 2 के बीच है। चूँकि 3 का मान संभवतः 1 के बजाय 2 के अधिक निकट है, हमारा अनुमान है: 3 = 1.7। हम इस मान को मूल चिह्न पर संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 \u003d 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणना करते हैं, तो आपको 12.13 मिलता है, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।
     • यह विधि बड़ी संख्या के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, 35 पर विचार करें। मूल संख्या 35 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 25 (√25 = 5) और 36 (√36 = 6) हैं। इस प्रकार, 35 का मान 5 और 6 के बीच होता है। चूँकि 35 का मान 5 की तुलना में 6 के अधिक निकट है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), हम कह सकते हैं कि 35 इससे थोड़ा कम है। 6. कैलकुलेटर से जाँच करने पर हमें उत्तर मिलता है 5.92 - हम सही थे।

4. दूसरा तरीका यह है कि मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाए।अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। अभाज्य गुणनखंडों को एक पंक्ति में लिखिए और समान गुणनखंडों के युग्म ज्ञात कीजिए। ऐसे कारकों को जड़ के चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करते हैं: 45 \u003d 9 x 5, और 9 \u003d 3 x 3. इस प्रकार, 45 \u003d √ (3 x 3 x 5)। 3 को मूल चिह्न से निकाला जा सकता है: 45 = 3√5। अब हम 5 का अनुमान लगा सकते हैं।
   • एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 88।
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11)। आपको तीन गुणक 2s मिले हैं; उनमें से कुछ ले लो और उन्हें जड़ के चिन्ह से बाहर निकालो।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x 11। अब हम √2 और 11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और अनुमानित उत्तर ढूंढ सकते हैं।

   मैन्युअल रूप से वर्गमूल की गणना

   स्तंभ विभाजन का उपयोग करना

   1. इस पद्धति में लंबे विभाजन के समान एक प्रक्रिया शामिल है और एक सटीक उत्तर देती है।सबसे पहले, शीट को दो हिस्सों में विभाजित करने वाली एक लंबवत रेखा खींचें, और फिर एक क्षैतिज रेखा को दाईं ओर और शीट के शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे लंबवत रेखा तक खींचें। अब मूल संख्या को दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग से शुरू करते हुए संख्याओं के जोड़े में विभाजित करें। तो, संख्या 79520789182.47897 को "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" के रूप में लिखा जाता है।

      • उदाहरण के लिए, आइए संख्या 780.14 के वर्गमूल की गणना करें। दो रेखाएँ खींचिए (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और ऊपर बाईं ओर संख्या को "7 80, 14" के रूप में लिखें। यह सामान्य है कि बाईं ओर से पहला अंक एक अयुग्मित अंक है। उत्तर (दिए गए नंबर का मूल) ऊपर दाईं ओर लिखा होगा।

   2. बाईं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एक संख्या) को देखते हुए, सबसे बड़ा पूर्णांक n ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग प्रश्न में संख्याओं के युग्म (या एक संख्या) से कम या उसके बराबर है। दूसरे शब्दों में, वह वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो बाईं ओर से संख्याओं की पहली जोड़ी (या एकल संख्या) के सबसे निकट, लेकिन उससे कम है, और उस वर्ग संख्या का वर्गमूल लें; आपको नंबर n मिलेगा। ऊपर दाईं ओर पाया गया n लिखें, और नीचे दाईं ओर वर्ग n लिखें।

      • हमारे मामले में, बाईं ओर पहला नंबर 7 नंबर होगा। अगला, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. संख्या n का वर्ग घटाएं जो आपको बाईं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एक संख्या) से मिला है।सबट्रेंड (संख्या n का वर्ग) के तहत गणना का परिणाम लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 7 में से 4 घटाकर 3 प्राप्त करें।

   4. संख्याओं के दूसरे जोड़े को नीचे ले जाकर पिछले चरण में प्राप्त मान के आगे लिख दें।फिर ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर परिणाम को "_×_=" संलग्न करके लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, संख्याओं की दूसरी जोड़ी "80" है। 3 के बाद "80" लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर से संख्या को दोगुना करने पर 4 मिलता है। नीचे दाईं ओर से "4_×_=" लिखें।

   5. दाईं ओर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

      • हमारे मामले में, यदि डैश के बजाय हम संख्या 8 डालते हैं, तो 48 x 8 \u003d 384, जो 380 से अधिक है। इसलिए, 8 बहुत बड़ी संख्या है, लेकिन 7 ठीक है। डैश के बजाय 7 लिखें और प्राप्त करें: 47 x 7 \u003d 329। ऊपर दाईं ओर से 7 लिखें - यह संख्या 780.14 के वांछित वर्गमूल में दूसरा अंक है।

   6. परिणामी संख्या को बाईं ओर वर्तमान संख्या से घटाएं।पिछले चरण के परिणाम को वर्तमान संख्या के नीचे बाईं ओर लिखें, अंतर ज्ञात करें और घटाए गए के नीचे लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 329 को 380 से घटाएँ, जो 51 के बराबर है।

   7. चरण 4 दोहराएं।यदि संख्याओं का ध्वस्त युग्म मूल संख्या का भिन्नात्मक भाग है, तो पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक (अल्पविराम) को ऊपर दाईं ओर से वांछित वर्गमूल में रखें। बाईं ओर, संख्याओं के अगले जोड़े को नीचे ले जाएं। ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर परिणाम को "_×_=" संलग्न करके लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, ध्वस्त की जाने वाली संख्याओं की अगली जोड़ी संख्या 780.14 का भिन्नात्मक भाग होगी, इसलिए पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक को ऊपर दाईं ओर से वांछित वर्गमूल में रखें। 14 को ध्वस्त करें और नीचे बाईं ओर लिखें। ऊपर दाईं ओर डबल (27) 54 है, इसलिए नीचे दाईं ओर "54_×_=" लिखें।

   8. चरण 5 और 6 दोहराएं।दाईं ओर डैश के स्थान पर सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें (डैश के बजाय आपको उसी संख्या को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है) ताकि गुणन परिणाम बाईं ओर वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो।

      • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या (5114) से कम है। ऊपर दाईं ओर 9 लिखें और बाईं ओर वर्तमान संख्या से गुणा का परिणाम घटाएं: 5114 - 4941 = 173।

   9. यदि आपको वर्गमूल के लिए अधिक दशमलव स्थान खोजने की आवश्यकता है, तो बाईं ओर वर्तमान संख्या के आगे शून्य की एक जोड़ी लिखें और चरण 4, 5 और 6 दोहराएं। जब तक आपको अपने उत्तर की सटीकता प्राप्त न हो जाए तब तक चरणों को दोहराएं (संख्या दशमलव स्थानों)।

   प्रक्रिया को समझना

   इस विधि में महारत हासिल करने के लिए, उस संख्या की कल्पना करें जिसका वर्गमूल आपको वर्ग S के क्षेत्रफल के रूप में खोजने की आवश्यकता है। इस मामले में, आप ऐसे वर्ग की भुजा L की लंबाई की तलाश करेंगे। L का मान परिकलित करें जिसके लिए L² = S।

   अपने उत्तर में प्रत्येक अंक के लिए एक अक्षर दर्ज करें।एल (इच्छित वर्गमूल) के मान में पहला अंक ए द्वारा निरूपित करें। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा और इसी तरह।

   प्रमुख अंकों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक अक्षर निर्दिष्ट करें। S a द्वारा मान S में अंकों की पहली जोड़ी, S b द्वारा अंकों की दूसरी जोड़ी, और इसी तरह से निरूपित करें।

   इस विधि का दीर्घ विभाजन से संबंध स्पष्ट कीजिए।जैसा कि डिवीज़न ऑपरेशन में होता है, जहां हर बार हम केवल विभाज्य संख्या के अगले अंक में रुचि रखते हैं, वर्गमूल की गणना करते समय, हम अंकों की एक जोड़ी के साथ क्रम में काम करते हैं (वर्गमूल मान में अगला एक अंक प्राप्त करने के लिए) .

   1. संख्या S (हमारे उदाहरण में Sa = 7) के अंक Sa के पहले जोड़े पर विचार करें और इसका वर्गमूल ज्ञात करें।इस मामले में, वर्गमूल के मांगे गए मान का पहला अंक ए ऐसा अंक होगा, जिसका वर्ग एस ए से कम या बराबर है (अर्थात, हम ऐसे ए की तलाश कर रहे हैं जो असमानता ए को संतुष्ट करता है। सा< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • मान लें कि हमें 88962 को 7 से भाग देना है; यहां पहला चरण समान होगा: हम विभाज्य संख्या 88962 (8) के पहले अंक पर विचार करते हैं और सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं, जिसे 7 से गुणा करने पर 8 से कम या उसके बराबर का मान मिलता है। यानी, हम खोज रहे हैं एक संख्या d जिसके लिए असमानता सत्य है: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. मानसिक रूप से उस वर्ग की कल्पना करें जिसका क्षेत्रफल आपको गणना करने की आवश्यकता है।आप L की तलाश कर रहे हैं, यानी एक वर्ग की भुजा की लंबाई जिसका क्षेत्रफल S है। A, B, C संख्या L में संख्याएँ हैं। आप इसे अलग तरह से लिख सकते हैं: 10A + B \u003d L (एक दो के लिए) -डिजिट नंबर) या 100A + 10B + C \u003d L (तीन अंकों की संख्या के लिए) और इसी तरह।

      • रहने दो (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². याद रखें कि 10A+B एक ऐसी संख्या है जिसका B का अर्थ इकाई और A का अर्थ दहाई है। उदाहरण के लिए, यदि A=1 और B=2, तो 10A+B संख्या 12 के बराबर है। (10ए+बी)²पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है, 100एबड़े आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, बछोटे आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, 10ए × बीदो आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल है। वर्णित आकृतियों के क्षेत्रफलों को जोड़ने पर आपको मूल वर्ग का क्षेत्रफल मिलेगा।

वर्गमूल की गणना (या निष्कर्षण) कई तरीकों से की जा सकती है, लेकिन वे सभी बहुत सरल नहीं हैं। बेशक, कैलकुलेटर की मदद का सहारा लेना आसान है। लेकिन अगर यह संभव नहीं है (या आप वर्गमूल के सार को समझना चाहते हैं), तो मैं आपको निम्नलिखित तरीके से जाने की सलाह दे सकता हूं, इसका एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

यदि आपके पास इतनी लंबी गणना के लिए ताकत, इच्छा या धैर्य नहीं है, तो आप किसी न किसी चयन का सहारा ले सकते हैं, इसका प्लस यह है कि यह अविश्वसनीय रूप से तेज़ है और उचित सरलता के साथ सटीक है। उदाहरण:

जब मैं स्कूल में था (60 के दशक की शुरुआत में), हमें किसी भी संख्या का वर्गमूल लेना सिखाया जाता था। तकनीक सरल है, बाह्य रूप से column Division के समान है, लेकिन इसे यहां बताने के लिए, इसमें आधे घंटे का समय और पाठ के 4-5 हजार वर्ण लगेंगे। लेकिन आपको इसकी आवश्यकता क्यों है? क्या आपके पास फोन या अन्य गैजेट है, एनएम में एक कैलकुलेटर है। हर कंप्यूटर में एक कैलकुलेटर होता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं एक्सेल में इस तरह की गणना करना पसंद करता हूं।

अक्सर स्कूल में वर्गमूल निकालने की आवश्यकता होती है अलग संख्या. लेकिन अगर हम इसके लिए हर समय कैलकुलेटर का उपयोग करने के आदी हैं, तो परीक्षा में ऐसा कोई अवसर नहीं होगा, इसलिए आपको कैलकुलेटर की मदद के बिना रूट की तलाश करना सीखना होगा। और ऐसा करना सैद्धांतिक रूप से संभव है।

एल्गोरिथ्म है:

सबसे पहले अपने नंबर के आखिरी अंक को देखें:

उदाहरण के लिए,

अब आपको सबसे बाएं समूह से रूट के लिए लगभग मूल्य निर्धारित करने की आवश्यकता है

मामले में जब संख्या में दो से अधिक समूह होते हैं, तो आपको इस तरह की जड़ खोजने की आवश्यकता होती है:

लेकिन अगली संख्या बिल्कुल सबसे बड़ी होनी चाहिए, आपको इसे इस तरह से चुनना होगा:

अब हमें ऊपर प्राप्त शेष, अगले समूह में जोड़कर एक नई संख्या A बनाने की आवश्यकता है।

हमारे उदाहरणों में:

नजना का एक कॉलम, और जब पंद्रह से अधिक वर्णों की आवश्यकता होती है, तो कैलकुलेटर वाले कंप्यूटर और फोन सबसे अधिक बार आराम करते हैं। यह जांचना बाकी है कि क्या कार्यप्रणाली के विवरण में 4-5 हजार वर्ण लगेंगे।

किसी भी संख्या को बरम करें, अल्पविराम से हम अंकों के जोड़े को दाएं और बाएं गिनते हैं

उदाहरण के लिए, 1234567890.098765432100

अंकों की एक जोड़ी दो अंकों की संख्या की तरह होती है। दो अंकों की जड़ एक-से-एक है। हम एक एकल-मूल्यवान का चयन करते हैं, जिसका वर्ग अंकों की पहली जोड़ी से कम है। हमारे मामले में यह 3 है।

जैसे किसी कॉलम से विभाजित करते समय, पहली जोड़ी के नीचे हम इस वर्ग को लिखते हैं और पहली जोड़ी से घटाते हैं। परिणाम रेखांकित किया गया है। 12 - 9 = 3. इस अंतर में अंकों की दूसरी जोड़ी जोड़ें (यह 334 होगा)। बरम की संख्या के बाईं ओर, परिणाम के उस हिस्से का दोगुना मूल्य जो पहले ही मिल चुका है, एक अंक के साथ पूरक है (हमारे पास 2 * 6 = 6) है, जैसे कि जब प्राप्त संख्या से गुणा नहीं किया जाता है, तो यह होता है अंकों की दूसरी जोड़ी के साथ संख्या से अधिक नहीं। हम पाते हैं कि पाया गया आंकड़ा पांच है। फिर से हम अंतर (9) पाते हैं, अंकों की अगली जोड़ी को ध्वस्त करते हैं, 956 प्राप्त करते हैं, परिणाम (70) के दोगुने हिस्से को फिर से लिखते हैं, फिर से आवश्यक अंक जोड़ते हैं और इसी तरह जब तक यह बंद नहीं हो जाता। या गणना की आवश्यक सटीकता के लिए।

सबसे पहले, वर्गमूल की गणना करने के लिए, आपको गुणन तालिका को अच्छी तरह से जानना होगा। ज़्यादातर सरल उदाहरण 25 है (5 बटा 5 = 25) इत्यादि। यदि हम संख्याओं को अधिक जटिल लेते हैं, तो हम इस तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ इकाइयाँ क्षैतिज और दहाई लंबवत हैं।



वहाँ है अच्छा रास्ताकैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, आपको एक शासक और एक कम्पास की आवश्यकता होगी। लब्बोलुआब यह है कि आप रूलर पर वह मान पाते हैं जो आपके पास रूट के नीचे है। उदाहरण के लिए, 9 के पास एक चिह्न लगाएं। आपका कार्य इस संख्या को समान खंडों में विभाजित करना है, अर्थात प्रत्येक 4.5 सेमी की दो पंक्तियों में, और एक सम खंड में। यह अनुमान लगाना आसान है कि अंत में आपको 3 सेंटीमीटर के 3 खंड मिलेंगे।

विधि आसान नहीं है और बड़ी संख्या में काम नहीं करेगी, लेकिन इसे कैलकुलेटर के बिना माना जाता है।

कैलकुलेटर की मदद के बिना वर्गमूल निकालने की विधि सिखाई गई थी सोवियत काल 8 वीं कक्षा में स्कूल में।

ऐसा करने के लिए, आपको एक बहु-अंकीय संख्या को दाएं से बाएं ओर 2 अंकों के फलकों में तोड़ना होगा :

मूल का पहला अंक बाईं ओर का पूरा मूल है, in इस मामले में, 5.

31 में से 5 वर्ग घटाएं, 31-25=6 और अगले चेहरे को छह में जोड़ें, हमारे पास 678 है।

अगले अंक x को पांच को दोगुना करने के लिए चुना जाता है ताकि

10x*x अधिकतम था, लेकिन 678 से कम था।

x=6 क्योंकि 106*6=636,

अब हम 678 - 636 = 42 की गणना करते हैं और अगला फलक 92 जोड़ते हैं, हमारे पास 4292 है।

फिर से हम अधिकतम x की तलाश कर रहे हैं, जैसे कि 112x*x lt; 4292.

उत्तर: जड़ 563 . है

इसलिए आप जब तक चाहें तब तक जारी रख सकते हैं।

कुछ मामलों में, आप मूल संख्या को दो या अधिक वर्ग कारकों में विस्तारित करने का प्रयास कर सकते हैं।

तालिका (या कम से कम इसका कुछ हिस्सा) को याद रखना भी उपयोगी है - प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग 10 से 99 तक।



मैं एक स्तंभ में वर्गमूल निकालने का एक प्रकार प्रस्तावित करता हूं जिसका मैंने आविष्कार किया था। यह संख्याओं के चयन को छोड़कर, प्रसिद्ध से अलग है। लेकिन जैसा कि मुझे बाद में पता चला, यह तरीका मेरे जन्म से कई साल पहले से ही मौजूद था। महान आइजैक न्यूटन ने अपनी पुस्तक जनरल अरिथमेटिक या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण पर एक पुस्तक में इसका वर्णन किया है। इसलिए यहां मैं न्यूटन विधि के एल्गोरिदम के लिए अपना दृष्टिकोण और तर्क प्रस्तुत करता हूं। आपको एल्गोरिथम याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यदि आवश्यक हो तो आप केवल चित्र में चित्र का उपयोग दृश्य सहायता के रूप में कर सकते हैं।







तालिकाओं की सहायता से, आप केवल उन संख्याओं से वर्गमूल की गणना नहीं कर सकते हैं, लेकिन पाते हैं, जो तालिकाओं में हैं। क्रमिक सन्निकटन की विधि द्वारा जड़ों की गणना करने का सबसे आसान तरीका न केवल वर्ग है, बल्कि अन्य डिग्री भी है। उदाहरण के लिए, हम 10739 के वर्गमूल की गणना करते हैं, अंतिम तीन अंकों को शून्य से बदलते हैं और 10000 की जड़ निकालते हैं, हमें नुकसान के साथ 100 मिलते हैं, इसलिए हम संख्या 102 लेते हैं और इसे वर्ग करते हैं, हमें 10404 मिलते हैं, जो कि भी कम है निर्दिष्ट एक की तुलना में, हम 103 * 103 = 10609 फिर से एक नुकसान के साथ लेते हैं, हम 103.5 * 103.5 \u003d 10712.25 लेते हैं, हम और भी अधिक 103.6 * 103.6 \u003d 10732 लेते हैं, हम 103.7 * 103.7 \u003d 10753.69 लेते हैं, जो पहले से ही है अधिक। आप 10739 के वर्गमूल को लगभग 103.6 के बराबर मान सकते हैं। अधिक सटीक रूप से 10739=103.629...। . इसी प्रकार हम घनमूल की गणना करते हैं, पहले 10000 से हमें लगभग 25*25*25=15625 प्राप्त होता है, जो अधिक है, हम 22*22*22=10.648 लेते हैं, हम 22.06*22.06 से थोड़ा अधिक लेते हैं * 22.06 = 10735, जो दिए गए के बहुत करीब है।

अनुदेश

एक मूलांक ऐसे गुणनखंड को चुनिए, जिसे नीचे से हटा दिया जाए जड़वैध अभिव्यक्ति - अन्यथा ऑपरेशन खो जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि संकेत के तहत जड़तीन (घनमूल) के बराबर एक घातांक के साथ लायक है संख्या 128, फिर संकेत के नीचे से निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्या 5. उसी समय, जड़ संख्या 128 को 5 घनों से विभाजित करना होगा: 128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024। यदि चिह्न के नीचे भिन्नात्मक संख्या की उपस्थिति हो जड़समस्या की स्थितियों का खंडन नहीं करता है, यह इस रूप में संभव है। यदि आपको एक सरल विकल्प की आवश्यकता है, तो पहले मूल अभिव्यक्ति को ऐसे पूर्णांक कारकों में विभाजित करें, जिनमें से एक का घनमूल एक पूर्णांक होगा संख्यामी। उदाहरण के लिए: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2।

यदि आपके दिमाग में संख्या की डिग्री की गणना करना संभव नहीं है, तो मूल संख्या के कारकों का चयन करने के लिए उपयोग करें। यह विशेष रूप से सच है जड़मी दो से अधिक घातांक के साथ। यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है, तो आप Google और निगमा सर्च इंजन में निर्मित कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको सबसे बड़ा पूर्णांक कारक खोजने की आवश्यकता है जिसे घन के चिह्न से निकाला जा सकता है जड़ 250 नंबर के लिए, फिर Google वेबसाइट पर जाएं और यह जांचने के लिए "6 ^ 3" क्वेरी दर्ज करें कि क्या साइन के नीचे से निकालना संभव है जड़छह। खोज इंजन 216 के बराबर परिणाम दिखाएगा। काश, 250 को इस से शेष के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है संख्या. फिर क्वेरी 5^3 दर्ज करें। परिणाम 125 होगा, और यह आपको 250 को 125 और 2 के गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देता है, जिसका अर्थ है कि इसे चिह्न से बाहर निकालना जड़ संख्या 5 वहाँ से निकल रहा है संख्या 2.

स्रोत:

• इसे जड़ के नीचे से कैसे निकालें
• उत्पाद का वर्गमूल

नीचे से निकाल लें जड़उन स्थितियों में कारकों में से एक आवश्यक है जहां आपको गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। ऐसे मामले हैं जब कैलकुलेटर का उपयोग करके आवश्यक गणना करना असंभव है। उदाहरण के लिए, यदि संख्याओं के बजाय संख्याओं का उपयोग किया जाता है पत्र पदनामचर।

अनुदेश

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल कारकों में विघटित करें। देखें कि कौन से कारक समान संख्या में बार-बार दोहराए जाते हैं, संकेतकों में दर्शाया गया है जड़, या अधिक। उदाहरण के लिए, आपको संख्या a के मूल को चौथी घात तक ले जाने की आवश्यकता है। इस मामले में, संख्या को a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूचक जड़इस मामले में के अनुरूप होगा कारकए3. इसे साइन से बाहर ले जाना चाहिए।

जहां संभव हो, परिणामी मूलकों की जड़ को अलग से निकालें। निष्कर्षण जड़घातांक के विपरीत बीजगणितीय संक्रिया है। निष्कर्षण जड़एक संख्या से एक मनमाना शक्ति, एक संख्या का पता लगाएं, जब इस मनमानी शक्ति को बढ़ाया जाता है, तो एक दी गई संख्या में परिणाम होगा। अगर निष्कर्षण जड़उत्पन्न नहीं किया जा सकता है, मूल अभिव्यक्ति को चिह्न के नीचे छोड़ दें जड़जिस तरह से यह है। उपरोक्त कार्रवाइयों के परिणामस्वरूप, आप नीचे से हटा देंगे संकेत जड़.

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टिप्पणी

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को कारकों के रूप में लिखते समय सावधान रहें - इस स्तर पर एक त्रुटि गलत परिणाम देगी।

मददगार सलाह

जड़ों को निकालते समय, लॉगरिदमिक जड़ों की विशेष तालिकाओं या तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है - इससे सही समाधान खोजने में लगने वाला समय काफी कम हो जाएगा।

स्रोत:

• 2019 में जड़ निष्कर्षण संकेत

गणित के कई क्षेत्रों में बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण आवश्यक है, जिसमें उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान, विभेदन और एकीकरण शामिल है। यह गुणनखंडन सहित कई विधियों का उपयोग करता है। इस पद्धति को लागू करने के लिए, आपको एक सामान्य खोजने और निकालने की आवश्यकता है कारकपीछे कोष्टक.

अनुदेश

के लिए सामान्य कारक निकालना कोष्टक- सबसे आम अपघटन विधियों में से एक। इस तकनीक का प्रयोग दीर्घ बीजीय व्यंजकों की संरचना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, अर्थात्। बहुपद सामान्य एक संख्या, एकपदी या द्विपद हो सकता है, और इसे खोजने के लिए, गुणन के वितरण गुण का उपयोग किया जाता है।

संख्या। प्रत्येक बहुपद के गुणांकों को ध्यान से देखें कि क्या उन्हें उसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 12 z³ + 16 z² - 4 में, स्पष्ट is . है कारक 4. रूपांतरण के बाद, आपको 4 (3 z³ + 4 z² - 1) मिलते हैं। दूसरे शब्दों में, यह संख्या सभी गुणांकों का सबसे छोटा सामान्य पूर्णांक भाजक है।

मोनोनोमियल। निर्धारित करें कि क्या एक ही चर बहुपद के प्रत्येक पदों में है। आइए मान लें कि यह मामला है, अब गुणांक देखें, जैसा कि पिछले मामले में था। उदाहरण: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z।

इस बहुपद के प्रत्येक अवयव में चर z है। इसके अलावा, सभी गुणांक 3 के गुणज हैं। इसलिए, सामान्य कारक एकपदी 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) होगा।

द्विपद कोष्टकआम कारकदो का, एक चर और एक संख्या, जो एक सामान्य बहुपद है। इसलिए, यदि कारक-द्विपद स्पष्ट नहीं है, तो आपको कम से कम एक मूल खोजने की आवश्यकता है। बहुपद के मुक्त पद को हाइलाइट करें, यह एक चर के बिना गुणांक है। अब प्रतिस्थापन विधि को मुक्त पद के सभी पूर्णांक भाजक के उभयनिष्ठ व्यंजक में लागू करें।

विचार करें: z^4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. जाँच करें कि क्या 4 z^4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 का कोई पूर्णांक भाजक है। सरल प्रतिस्थापन = 1 और z2 द्वारा z1 खोजें। = 2, तो कोष्टकद्विपद (z - 1) और (z - 2) निकाले जा सकते हैं। शेष व्यंजक खोजने के लिए, एक कॉलम में अनुक्रमिक विभाजन का उपयोग करें।

क्या आपके पास है कैलकुलेटर पर निर्भरता? या क्या आपको लगता है कि कैलकुलेटर या वर्गों की तालिका का उपयोग करने के अलावा, गणना करना बहुत मुश्किल है, उदाहरण के लिए,।

ऐसा होता है कि स्कूली बच्चे एक कैलकुलेटर से बंधे होते हैं और यहां तक ​​\u200b\u200bकि पोषित बटन दबाकर 0.7 को 0.5 से गुणा करते हैं। वे कहते हैं, ठीक है, मैं अभी भी गणना करना जानता हूं, लेकिन अब मैं समय बचाऊंगा ... एक परीक्षा होगी ... फिर मैं परेशान हो जाऊंगा ...

तो तथ्य यह है कि परीक्षा में वैसे भी बहुत सारे "तनावपूर्ण क्षण" होंगे ... जैसा कि वे कहते हैं, पानी एक पत्थर को दूर कर देता है। तो परीक्षा में, छोटी चीजें, यदि उनमें से बहुत सारी हैं, तो आपको नीचे गिरा सकती हैं ...

आइए संभावित परेशानियों की संख्या को कम करें।

बड़ी संख्या का वर्गमूल लेना

अब हम केवल उस स्थिति के बारे में बात करेंगे जब वर्गमूल निकालने का परिणाम एक पूर्णांक हो।

मामला एक

तो, आइए हम हर तरह से (उदाहरण के लिए, विवेचक की गणना करते समय) 86436 के वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता है।

हम संख्या 86436 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करेंगे। हम 2 से भाग देते हैं, हमें 43218 मिलते हैं; फिर से हम 2 से विभाजित करते हैं, - हमें 21609 मिलता है। संख्या 2 और से विभाज्य नहीं है। लेकिन चूंकि अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य होती है (सामान्यतया, यह देखा जा सकता है कि यह 9 से भी विभाज्य है)। . एक बार फिर हम 3 से विभाजित करते हैं, तो हमें 2401 मिलता है। 2401 3 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है। पाँच से विभाज्य नहीं (0 या 5 पर समाप्त नहीं होता)।

हमें 7 से विभाज्यता का संदेह है। वास्तव में, a ,

तो, पूर्ण आदेश!

केस 2

आइए गणना करने की आवश्यकता है। जैसा कि ऊपर वर्णित है उसी तरह कार्य करना असुविधाजनक है। कारक बनाने की कोशिश कर रहा है ...

संख्या 1849 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (यह सम नहीं है)...

यह 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है) ...

यह 5 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 5 या 0 नहीं है)...

यह 7 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, यह 11 से विभाज्य नहीं है, यह 13 से विभाज्य नहीं है ... खैर, इस तरह से सभी अभाज्य संख्याओं को देखने में हमें कितना समय लगेगा?

आइए थोड़ा अलग बहस करें।

हम समझते हैं कि

हमने खोज को छोटा कर दिया। अब हम संख्याओं को 41 से 49 तक क्रमबद्ध करते हैं। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि चूंकि संख्या का अंतिम अंक 9 है, तो यह विकल्प 43 या 47 पर रुकने लायक है - केवल ये संख्याएँ, जब चुकता, अंतिम अंक देंगी 9.

खैर, यहाँ पहले से ही, निश्चित रूप से, हम 43 पर रुकते हैं। वास्तव में,

पी.एस.हम 0.7 को 0.5 से कैसे गुणा करते हैं?

आपको शून्य और चिह्नों को नज़रअंदाज़ करते हुए 5 से 7 गुणा करना चाहिए, और फिर दाएँ से बाएँ, दो दशमलव स्थानों को अलग करना चाहिए। हमें 0.35 मिलता है।