1.Fonction exponentielle est une fonction de la forme y(x) =a x, dépendant de l'exposant x, avec une valeur constante de la base du degré a, où a > 0, a ≠ 0, xϵR (R est l'ensemble des nombres réels) .
Envisager graphique de la fonction si la base ne vérifie pas la condition : a>0
un) un< 0
Si un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
un = -2
Si a = 0 - la fonction y = est définie et a une valeur constante 0
c) un \u003d 1
Si a = 1 - la fonction y = est définie et a une valeur constante de 1
Domaine fonctionnel (OOF) Zone de valeurs de fonction autorisées (ODZ) 3. Zéros de la fonction (y = 0) 4. Points d'intersection avec l'axe y (x = 0) 5. Fonction croissante, décroissante Si , alors la fonction f(x) augmente 6. Fonctions paires et impaires La fonction y = n'est pas symétrique par rapport à l'axe 0y et par rapport à l'origine, donc elle n'est ni paire ni impaire. (fonction générale) 7. La fonction y \u003d n'a pas d'extremums 8. Propriétés d'un degré avec un exposant réel : Soit a > 0 ; a≠1 Alors pour xϵR; yϵR : Propriétés de monotonicité du degré : si donc Si a> 0, alors . 9. Emplacement relatif de la fonction Plus la base a est grande, plus elle est proche des axes x et y un > 1, un = 20 Exemple 1 Nous introduisons d'abord la définition d'une fonction exponentielle. La fonction exponentielle $f\left(x\right)=a^x$, où $a >1$. Introduisons les propriétés de la fonction exponentielle, pour $a >1$. \ \[pas de racine\] \ Intersection avec axes de coordonnées. La fonction ne coupe pas l'axe $Ox$, mais coupe l'axe $Oy$ au point $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[pas de racine\] \ Graphique (Fig. 1). Figure 1. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=a^x,\ for \ a >1$. Introduisons les propriétés de la fonction exponentielle, pour $0 Le domaine de définition est tous les nombres réels. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- la fonction n'est ni paire ni impaire. $f(x)$ est continue sur tout le domaine de définition. La plage de valeurs est l'intervalle $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \[pas de racine\] \ \[pas de racine\] \ La fonction est convexe sur tout le domaine de définition. Comportement aux extrémités de la portée : \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Graphique (Fig. 2). Explorez et tracez la fonction $y=2^x+3$. La solution. Faisons une étude sur l'exemple du schéma ci-dessus: Le domaine de définition est tous les nombres réels. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- la fonction n'est ni paire ni impaire. $f(x)$ est continue sur tout le domaine de définition. La plage de valeurs est l'intervalle $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ La fonction croît sur tout le domaine de définition. $f(x)\ge 0$ sur tout le domaine de définition. Intersection avec axes de coordonnées. La fonction ne coupe pas l'axe $Ox$, mais coupe l'axe $Oy$ au point ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ La fonction est convexe sur tout le domaine de définition. Comportement aux extrémités de la portée : \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Graphique (Fig. 3). Figure 3. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=2^x+3$
Leçon #2
Sujet : Une fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique. Cible: Vérifier la qualité d'assimilation de la notion de « fonction exponentielle » ; former des compétences à reconnaître une fonction exponentielle, à utiliser ses propriétés et ses graphiques, à apprendre aux étudiants à utiliser les formes analytiques et graphiques d'enregistrement d'une fonction exponentielle; offrir un environnement de travail en classe. Équipement: tableau, affiches Formulaire de leçon: Salle de classe Type de leçon: cours pratique Type de leçon: leçon de formation professionnelle Plan de cours 1. Moment organisationnel 2. Travail indépendant et vérification des devoirs 3. Résolution de problèmes 4. Résumé 5. Devoirs Pendant les cours. 1. Moment organisationnel
: Bonjour. Ouvrez les cahiers, notez la date d'aujourd'hui et le sujet de la leçon "Fonction exponentielle". Aujourd'hui, nous allons continuer à étudier la fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique. 2. Travail indépendant et vérification des devoirs
.
Cible: vérifier la qualité d'assimilation de la notion de "fonction exponentielle" et vérifier la réalisation de la partie théorique du devoir Méthode: tâche de test, enquête frontale Comme devoir, on vous a donné des numéros du cahier de problèmes et un paragraphe du manuel. Nous ne vérifierons pas l'exécution des nombres du manuel maintenant, mais vous remettrez vos cahiers à la fin de la leçon. Maintenant, la théorie va être testée sous la forme d'un petit test. La tâche est la même pour tout le monde : on vous donne une liste de fonctions, vous devez savoir lesquelles d'entre elles sont indicatives (soulignez-les). Et à côté de la fonction exponentielle, vous devez écrire si elle augmente ou diminue.
2. Considérez la fonction exponentielle plus en détail :
0
Si , alors la fonction f(x) décroît
Fonction y= , à 0
Cela découle des propriétés de monotonie d'un degré avec un exposant réel.
b > 0 ; b≠1
Par exemple:
La fonction exponentielle est continue en tout point ϵ R.
Si a0, alors la fonction exponentielle prend une forme proche de y = 0.
Si a1, alors plus loin des axes x et y et le graphique prend la forme proche de la fonction y \u003d 1.
Parcelle y=
La fonction exponentielle $f\left(x\right)=a^x$, où $0
Un exemple de tâche pour construire une fonction exponentielle
Option 1 Réponse B) D) - exponentielle, décroissante | Option 2 Réponse D) - exponentielle, décroissante RÉ) - indicatif, croissant |
Variante 3 Réponse MAIS) - indicatif, croissant B) - exponentielle, décroissante | Variante 4 Réponse MAIS) - exponentielle, décroissante À) - indicatif, croissant |
Rappelons maintenant ensemble quelle fonction est appelée exponentielle ?
Une fonction de la forme , où et , est appelée une fonction exponentielle.
Quelle est la portée de cette fonction ?
Tous les nombres réels.
Quelle est la plage de la fonction exponentielle ?
Tous les nombres réels positifs.
Diminue si la base est supérieure à zéro mais inférieure à un.
Quand une fonction exponentielle décroît-elle sur son domaine ?
Augmente si la base est supérieure à un.
3. Résolution de problèmes
Cible: former des compétences à la reconnaissance d'une fonction exponentielle, à l'utilisation de ses propriétés et de ses graphiques, apprendre aux élèves à utiliser les formes analytiques et graphiques d'enregistrement d'une fonction exponentielle
Méthode: démonstration par l'enseignant de la résolution de problèmes types, travail oral, travail au tableau, travail dans un cahier, conversation de l'enseignant avec les élèves.
Les propriétés de la fonction exponentielle peuvent être utilisées lors de la comparaison de 2 nombres ou plus. Par exemple : N° 000. Comparez les valeurs et si a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, alors c'est un travail assez délicat : il faudrait prendre la racine cubique de 3 et 9, et les comparer. Mais on sait que ça augmente, ça est dans sa propre file d'attente signifie que lorsque l'argument augmente, la valeur de la fonction augmente, c'est-à-dire qu'il nous suffit de comparer les valeurs de l'argument entre elles et, évidemment, que 
(peut être démontré sur une affiche avec une fonction exponentielle croissante). Et toujours lors de la résolution de tels exemples, déterminez d'abord la base de la fonction exponentielle, comparez avec 1, déterminez la monotonie et procédez à la comparaison des arguments. Dans le cas d'une fonction décroissante : à mesure que l'argument augmente, la valeur de la fonction diminue, donc le signe de l'inégalité change lorsque l'on passe de l'inégalité des arguments à l'inégalité des fonctions. Puis on résout oralement : b) 
- 
À) 
- 
G) 
- 
- N° 000. Comparez les chiffres : a) et
La fonction est donc croissante, alors
Pourquoi ?
Augmenter la fonction et 
Donc la fonction est décroissante, alors 
Les deux fonctions augmentent sur tout leur domaine de définition, puisqu'elles sont exponentielles de base supérieure à un.
Quel est le sens de cela?
Nous construisons des graphiques :
Quelle fonction se développe plus rapidement lors de l'effort https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Quelle fonction diminue plus rapidement lors de l'effort https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Sur l'intervalle, laquelle des fonctions a la plus grande valeur en un point particulier ?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Tout d'abord, découvrons la portée de ces fonctions. Est-ce qu'elles coïncider?
Oui, le domaine de ces fonctions est tous les nombres réels.
Nommez la portée de chacune de ces fonctions.
Les plages de ces fonctions coïncident : tous les nombres réels positifs.
Déterminer le type de monotonie de chacune des fonctions.
Les trois fonctions décroissent sur tout leur domaine de définition, puisqu'elles sont exponentielles avec une base inférieure à un et supérieure à zéro.
Quel est le point singulier du graphique d'une fonction exponentielle ?
Quel est le sens de cela?
Quelle que soit la base du degré d'une fonction exponentielle, si l'exposant est 0, alors la valeur de cette fonction est 1.
Nous construisons des graphiques :
Analysons les graphiques. Combien de points d'intersection les graphes de fonctions ont-ils ?
Quelle fonction diminue plus rapidement lors de l'effort ? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Quelle fonction se développe plus rapidement lorsque vous vous efforcez https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Sur l'intervalle, laquelle des fonctions a la plus grande valeur en un point particulier ?
Sur l'intervalle, laquelle des fonctions a la plus grande valeur en un point particulier ?
Pourquoi les fonctions exponentielles de bases différentes n'ont-elles qu'un seul point d'intersection ?
Les fonctions exponentielles sont strictement monotones sur tout leur domaine de définition, elles ne peuvent donc se croiser qu'en un point.
La tâche suivante se concentrera sur l'utilisation de cette propriété. № 000. Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction donnée sur un intervalle donné a). Rappelons qu'une fonction strictement monotone prend ses valeurs minimale et maximale aux extrémités d'un intervalle donné. Et si la fonction est croissante, alors sa plus grande valeur sera à l'extrémité droite du segment, et la plus petite à l'extrémité gauche du segment (démonstration sur l'affiche, en utilisant la fonction exponentielle comme exemple). Si la fonction est décroissante, alors sa plus grande valeur sera à l'extrémité gauche du segment, et la plus petite à l'extrémité droite du segment (démonstration sur l'affiche, en utilisant la fonction exponentielle comme exemple). La fonction augmente, car, par conséquent, la plus petite valeur de la fonction sera au point https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Points b ) 
, dans) 
d) résoudre des cahiers par vous-même, nous le vérifierons oralement.
Les élèves résolvent le problème dans leur cahier
|
Fonction décroissante
|
Fonction décroissante
|
Fonction croissante
|
la plus grande valeur de la fonction sur le segment
la plus petite valeur de la fonction sur le segment
la plus petite valeur de la fonction sur le segment
la plus grande valeur de la fonction sur le segment- № 000. Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction donnée sur un intervalle donné a) 
. Cette tâche est presque la même que la précédente. Mais ici on ne donne pas un segment, mais un rayon. Nous savons que la fonction augmente et qu'elle n'a ni la plus grande ni la plus petite valeur sur toute la droite numérique https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, et tend vers en , c'est-à-dire que sur le rayon, la fonction en tend vers 0, mais n'a pas sa plus petite valeur, mais elle a la plus grande valeur au point 
. b) 
, dans) 
, G) 
Résolvez vos propres cahiers, nous le vérifierons oralement.
Fonction exponentielle est une généralisation du produit de n nombres égal à a :
y (n) = une n = une une une une,
à l'ensemble des nombres réels x :
y (x) = x.
Ici a est un nombre réel fixe, qui s'appelle la base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est aussi appelée exponentielle en base a.
La généralisation s'effectue comme suit.
Pour x naturel = 1, 2, 3,...
, la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. Aux valeurs nulles et négatives des entiers , la fonction exponentielle est déterminée par les formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n de nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour real , la fonction exponentielle est définie comme la limite de la suite :
,
où est une suite arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout , et satisfait les propriétés (1.5-8), ainsi que pour x naturel.
Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et une preuve de ses propriétés sont données à la page "Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle".
Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1)
est définie et continue, pour , pour tout ;
(1.2)
quand un ≠ 1
a plusieurs significations;
(1.3)
augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4)
à ;
à ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Autres formules utiles
.
La formule de conversion en une fonction exponentielle avec une base de puissance différente :
Pour b = e , on obtient l'expression de la fonction exponentielle en fonction de l'exposant :
Valeurs privées
, , , , .
La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
y (x) = x
pour quatre valeurs bases de diplômes:a= 2
, un = 8
, un = 1/2
et un = 1/8
. On voit que pour un > 1
fonction exponentielle est croissante de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus la croissance est forte. À 0
< a < 1
la fonction exponentielle est monotone décroissante. Plus l'exposant a est petit, plus la diminution est forte.
Ascendant descendant
La fonction exponentielle at est strictement monotone, elle n'a donc pas d'extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.
| y = une X , une > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Domaine | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Plage de valeurs | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotone | augmente de façon monotone | diminue de façon monotone |
| Zéros, y= 0 | Non | Non |
| Points d'intersection avec l'axe y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Fonction inverse
L'inverse d'une fonction exponentielle de base de degré a est le logarithme de base a.
Si donc
.
Si donc
.
Différenciation de la fonction exponentielle
Pour dériver une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer le tableau des dérivées et la règle de dérivation d'une fonction complexe.
Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.
Donnons une fonction exponentielle :
.
Nous l'amenons à la base e:
On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe. Pour ce faire, nous introduisons une variable
Alors
D'après le tableau des dérivées, nous avons (remplacer la variable x par z ):
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est
.
Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.
Dérivée de la fonction exponentielle
.
Dérivée du nième ordre :
.
Dérivation de formules > > >
Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle
Trouver la dérivée d'une fonction
y= 35x
La solution
Nous exprimons la base de la fonction exponentielle en fonction du nombre e.
3 = e log 3
Alors
.
Nous introduisons une variable
.
Alors
Du tableau des dérivées, nous trouvons:
.
Parce que le 5ln 3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est :
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe, on a :
.
Réponse
Intégral
Expressions en termes de nombres complexes
Considérez la fonction de nombre complexe z:
F (z) = az
où z = x + iy ; je 2 = - 1
.
Nous exprimons la constante complexe a en fonction du module r et de l'argument φ :
une = r e je φ
Alors
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. En général
φ = φ 0 + 2 pn,
où n est un entier. Par conséquent, la fonction f (z) est également ambigu. Souvent considéré comme son importance principale
.
Extension en série
.
Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.