Rozhodnutie, ktoré je na prvý pohľad v rozpore so zdravým rozumom.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Problém je formulovaný ako opis hry podľa americkej televíznej hry „Let's Make a Deal“ a je pomenovaný podľa hostiteľa tohto programu. Najbežnejšia formulácia tohto problému, publikovaná v roku 1990 v časopise Parade Magazine, znie takto:

  Predstavte si, že ste sa stali účastníkom hry, v ktorej si musíte vybrať jedny z troch dverí. Za jednými dverami je auto, za ďalšími dvoma dverami sú kozy. Vyberiete si jedny z dverí, napríklad číslo 1, potom hostiteľ, ktorý vie, kde je auto a kde sú kozy, otvorí jedny zo zostávajúcich dverí, napríklad číslo 3, za ktorými je koza. Potom sa vás opýta - chceli by ste zmeniť svoj výber a zvoliť dvere číslo 2? Zvýšia sa vaše šance na výhru auta, ak prijmete ponuku hostiteľa a zmeníte svoj výber?

  Po zverejnení sa okamžite ukázalo, že problém bol formulovaný nesprávne: neboli stanovené všetky podmienky. Facilitátor sa môže napríklad riadiť stratégiou „pekelný Monty“: ponúknuť zmenu výberu vtedy a len vtedy, ak si hráč vybral auto pri prvom ťahu. Je zrejmé, že zmena počiatočnej voľby povedie v takejto situácii k zaručenej strate (pozri nižšie).

  Najpopulárnejší je problém s dodatočnou podmienkou - účastník hry vopred pozná nasledujúce pravidlá:

  • je rovnako pravdepodobné, že vozidlo bude umiestnené za niektorými z troch dverí;
  • v každom prípade je hostiteľ povinný otvoriť dvere s kozou (nie však tou, ktorú si hráč vybral) a ponúknuť hráčovi zmenu voľby;
  • ak má vodca na výber, ktoré z dvoch dverí otvorí, vyberie si s rovnakou pravdepodobnosťou ktorékoľvek z nich.

  Nasledujúci text rozoberá Monty Hallov problém v tejto formulácii.

  Analýza

  Pre víťaznú stratégiu je dôležité nasledovné: ak zmeníte výber dverí po vodcovom konaní, vyhrávate, ak ste si na začiatku vybrali prehrávajúce dvere. Je pravdepodobné, že sa to stane 2 ⁄ 3 , pretože na začiatku si môžete vybrať prehrávajúce dvere 2 z 3 spôsobov.

  Pri riešení tohto problému sa však často hádajú asi takto: hostiteľ nakoniec vždy odstráni jedny stratené dvere a potom sa pravdepodobnosť, že sa auto objaví za dvoma neotvorenými, rovná ½, bez ohľadu na počiatočnú voľbu. Ale to nie je pravda: hoci skutočne existujú dve možnosti výberu, tieto možnosti (berúc do úvahy pozadie) nie sú rovnako pravdepodobné! To je pravda, pretože spočiatku mali všetky dvere rovnakú šancu na výhru, ale potom mali rôzne šance na vyradenie.

  U väčšiny ľudí je tento záver v rozpore s intuitívnym vnímaním situácie a vzhľadom na výsledný nesúlad medzi logickým záverom a odpoveďou, ku ktorej sa intuitívny názor prikláňa, je úloha tzv. Monty Hall paradox.

  Situácia s dverami je ešte zrejmejšia, ak si predstavíme, že nie sú 3 dvere, ale povedzme 1 000, a po výbere hráča moderátor odstráni 998 ďalších a ponechajú 2 dvere: tie, ktoré si hráč vybral. a ešte jeden. Zdá sa zrejmejšie, že pravdepodobnosť nájdenia ceny za týmito dverami je rôzna a nerovná sa ½. Oveľa vyššia pravdepodobnosť nájdenia, konkrétne 0,999, prebehne pri zmene rozhodnutia a výbere dverí vybraných z 999. V prípade 3 dverí je logika zachovaná, ale pravdepodobnosť výhry pri zmene rozhodnutia je nižšia, menovite 2 ⁄ 3 .

  Ďalším spôsobom uvažovania je nahradiť podmienku ekvivalentnou podmienkou. Predstavme si, že namiesto toho, aby hráč urobil počiatočnú voľbu (nech sú to vždy dvere č. 1) a potom otvoril dvere s kozou medzi zvyšnými (teda vždy medzi #2 a #3), predstavme si, že hráč potrebuje uhádnuť dvere na prvý pokus, ale je vopred informovaný, že za dverami č. 1 môže byť s počiatočnou pravdepodobnosťou (33 %) auto a medzi zvyšnými dverami je uvedené, pre ktoré z dverí auto rozhodne nezaostáva (0%). V súlade s tým budú posledné dvere vždy predstavovať 67% a stratégia ich výberu je vhodnejšia.

  Iné správanie vodcu

  Klasická verzia Monty Hall paradoxu uvádza, že hostiteľ vyzve hráča, aby vymenil dvere, bez ohľadu na to, či si vybral auto alebo nie. Ale je možné aj zložitejšie správanie hostiteľa. Táto tabuľka stručne popisuje niekoľko spôsobov správania.

  Možné správanie vodcu
  Správanie hostiteľa	Výsledok
  "Infernal Monty": Hostiteľ ponúka zmenu, ak sú dvere správne.	Zmena vždy dá kozu.
  "Angelic Monty": Hostiteľ ponúka zmenu, ak sú dvere nesprávne.	Zmena vždy dá auto.
  "Ignorant Monty" alebo "Monty Buch": hostiteľ neúmyselne spadne, dvere sa otvoria a ukáže sa, že za nimi nie je auto. Inými slovami, sám hostiteľ nevie, čo je za dverami, otvára dvere úplne náhodne a len náhodou za nimi nebolo žiadne auto.	Zmena dáva výhru v ½ prípadov. Takto je usporiadaná americká show „Deal or No Deal“ - hráč však sám otvorí náhodné dvere, a ak za nimi nie je žiadne auto, moderátor ponúkne, že to zmení.
  Hostiteľ si vyberie jednu z kôz a otvorí ju, ak si hráč vybral iné dvere.	Zmena dáva výhru v ½ prípadov.
  Hostiteľ vždy otvorí kozu. Ak sa vyberie auto, s pravdepodobnosťou sa otvorí ľavá koza p a s pravdepodobnosťou správne q=1−p.	Ak vedúci otvoril ľavé dvere, posun dáva výhru s pravdepodobnosťou 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Ak právo 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Pravdepodobnosť, že sa otvoria správne dvere, však subjekt ovplyvniť nemôže – bez ohľadu na jeho výber sa tak s pravdepodobnosťou stane 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
  rovnaké, p=q= ½ (klasický prípad).	Zmena dáva výhru s pravdepodobnosťou 2 ⁄ 3 .
  rovnaké, p=1, q=0 ("bezmocný Monty" - unavená moderátorka stojí pri ľavých dverách a otvára kozu, ktorá je bližšie).	Ak vedúci otvoril správne dvere, posun dáva zaručená výhra. Ak zostane - pravdepodobnosť ½.
  Hostiteľ vždy otvorí kozu, ak sa vyberie auto, inak s pravdepodobnosťou ½.	Zmena dáva výhru s pravdepodobnosťou ½.
  Všeobecný prípad: hra sa mnohokrát opakuje, pravdepodobnosť schovania auta za jedny alebo druhé dvere, ako aj otvorenie tých či oných dverí je ľubovoľná, ale hostiteľ vie, kde sa auto nachádza a vždy ponúkne zmenu otvorením jedného z kozy.	Nashova rovnováha: je to Monty Hallov paradox vo svojej klasickej podobe, ktorý je pre hostiteľa najprospešnejší (pravdepodobnosť výhry 2 ⁄ 3 ). Auto sa skrýva za niektorými dverami s pravdepodobnosťou ⅓; ak je na výber, otvorte ľubovoľnú kozu náhodne.
  To isté, ale hostiteľ nemusí vôbec otvárať dvere.	Nashova rovnováha: pre hostiteľa je výhodné neotvárať dvere, pravdepodobnosť výhry je ⅓.

  pozri tiež

  Poznámky

  1. Tierney, John (21. júla 1991), „Za dverami Montyho Halla: Hádanka, debata a odpoved? ", The New York Times, . Získané 18. januára 2008.

  Monty Hallov paradox je jedným zo známych problémov teórie pravdepodobnosti, ktorého riešenie na prvý pohľad odporuje zdravému rozumu. Problém je formulovaný ako opis hypotetickej hry na motívy americkej televíznej relácie Let's Make a Deal a je pomenovaný po moderátorovi tejto relácie. Najbežnejšia formulácia tohto problému, publikovaná v roku 1990 v časopise Parade, je nasledovná:
  Predstavte si, že ste sa stali účastníkom hry, v ktorej si musíte vybrať jedny z troch dverí. Za jednými dverami je auto, za ďalšími dvoma dverami sú kozy. Vyberiete si jedny z dverí, napríklad číslo 1, potom hostiteľ, ktorý vie, kde je auto a kde sú kozy, otvorí jedny zo zostávajúcich dverí, napríklad číslo 3, za ktorými je koza. Potom sa vás opýta, či by ste chceli zmeniť svoj výber a zvoliť dvere číslo 2. Zvýšia sa vaše šance na výhru auta, ak prijmete ponuku hostiteľa a zmeníte svoj výber? Aj keď je táto formulácia problému najznámejšia, je do istej miery problematická, pretože nejaké ponecháva dôležité podmienkyúlohy sú neisté. Nasleduje úplnejšie vyhlásenie.
  Pri riešení tohto problému zvyčajne zdôvodňujú niečo také: po tom, čo hostiteľ otvorí dvere, za ktorými sa nachádza koza, môže byť auto iba za jednými z dvoch zostávajúcich dverí. Keďže hráč nemôže prijať žiadne Ďalšie informácie o tom, za ktorými dverami je auto, potom je pravdepodobnosť nájdenia auta za každým z dverí rovnaká a zmena počiatočného výberu dverí nedáva hráčovi žiadnu výhodu. Tento spôsob uvažovania je však nesprávny. Ak hostiteľ vždy vie, aké dvere sú za dverami, vždy otvorí zostávajúce dvere, ktoré obsahujú kozu, a vždy vyzve hráča, aby zmenil svoj výber, potom je pravdepodobnosť, že auto je za dverami, ktoré si hráč vybral, 1/3 a , teda pravdepodobnosť, že auto je za zvyšnými dverami, je 2/3. Zmenou počiatočnej voľby sa teda zdvojnásobia hráčove šance na výhru auta. Tento záver je v rozpore s intuitívnym vnímaním situácie väčšinou ľudí, preto sa opísaný problém nazýva Monty Hallov paradox.
  
  ústne rozhodnutie
  Správna odpoveď na tento problém je nasledovná: áno, šance na výhru auta sa zdvojnásobia, ak sa hráč riadi radou hostiteľa a zmení svoju pôvodnú voľbu.
  Najjednoduchším vysvetlením tejto odpovede je nasledujúca úvaha. Aby hráč vyhral auto bez zmeny výberu, musí okamžite uhádnuť dvere, za ktorými auto stojí. Pravdepodobnosť je 1/3. Ak hráč na začiatku narazí do dverí s kozou za chrbtom (a pravdepodobnosť tejto udalosti je 2/3, keďže sú dve kozy a iba jedno auto), potom môže auto definitívne vyhrať tak, že si to rozmyslí, keďže auto a jedna koza zostáva a hostiteľ už otvoril dvere s kozou.
  Hráč teda bez zmeny voľby zostáva so svojou počiatočnou pravdepodobnosťou výhry 1/3 a pri zmene počiatočnej voľby hráč premieňa vo svoj prospech dvojnásobok zostávajúcej pravdepodobnosti, ktorú na začiatku neuhádol správne.
  Intuitívne vysvetlenie sa dá urobiť aj zámenou týchto dvoch udalostí. Prvou udalosťou je rozhodnutie hráča zmeniť dvere, druhou udalosťou je otvorenie ďalších dverí. To je prijateľné, pretože otvorenie ďalších dverí hráčovi žiadne neprinesie nové informácie(dokument nájdete v tomto článku).
  Potom je možné problém zredukovať na nasledujúcu formuláciu. V prvom momente hráč rozdelí dvere do dvoch skupín: v prvej skupine sú jedny dvere (tie, ktoré si vybral), v druhej skupine zostávajú dve dvere. V ďalšom okamihu si hráč vyberie medzi skupinami. Je zrejmé, že pre prvú skupinu je pravdepodobnosť výhry 1/3, pre druhú skupinu 2/3. Hráč si vyberie druhú skupinu. V druhej skupine vie otvárať oboje dvere. Jeden otvára hostiteľ a druhý samotný hráč.
  Skúsme podať „najzrozumiteľnejšie“ vysvetlenie. Preformulujme problém: Čestný vodca oznámi hráčovi, že za jednými z troch dverí je auto, a vyzve ho, aby najprv ukázal na jedny z dverí a potom si vybral jednu z dvoch akcií: otvorenie určených dverí (v staré znenie sa nazýva „nemeňte svoj výber“) alebo otvorte ďalšie dva (v starom znení by to bolo len „zmeniť výber“. Zamyslite sa nad tým, toto je kľúč k pochopeniu!). Je jasné, že hráč si vyberie druhú z dvoch akcií, keďže pravdepodobnosť získania auta je v tomto prípade dvojnásobne vyššia. A maličkosť, že vodca ešte pred výberom akcie „ukázal kozu“ nepomáha a neprekáža pri výbere, pretože za jednými z dvoch dverí je vždy koza a vodca ju určite kedykoľvek ukáže. počas hry, tak hráč môže na túto kozu a nepozerá. Úlohou hráča, ak si vybral druhú akciu, je povedať „ďakujem“ hostiteľovi za to, že mu ušetril problémy s otvorením jedných z dvoch dverí sám, a otvoriť druhé. No, alebo ešte jednoduchšie. Predstavme si túto situáciu z pohľadu hostiteľa, ktorý robí podobný postup s desiatkami hráčov. Keďže veľmi dobre vie, čo je za dverami, v priemere v dvoch prípadoch z troch vopred vidí, že hráč si vybral „nesprávne“ dvere. Preto pre neho rozhodne nie je paradoxom, že správnou stratégiou je zmeniť voľbu po otvorení prvých dverí: veď v rovnakých dvoch prípadoch z troch hráč opustí štúdio v novom aute.
  Na záver ten „najnaivnejší“ dôkaz. Ten, kto stojí za svojou voľbou, nech sa nazýva „Tvrdohlavý“ a ten, kto sa riadi pokynmi vodcu, nech sa nazýva „Pozorný“. Potom vyhráva Tvrdohlavý, ak pôvodne uhádol auto (1/3), a Pozorný, ak najprv minul a trafil kozu (2/3). Veď len v tomto prípade potom ukáže na dvere s autom.
  Kľúče k pochopeniu
  Napriek jednoduchosti vysvetlenia tohto javu mnohí ľudia intuitívne veria, že pravdepodobnosť výhry sa nemení, keď hráč zmení svoju voľbu. Nemožnosť zmeny pravdepodobnosti výhry je zvyčajne motivovaná tým, že pri výpočte pravdepodobnosti nezáleží na udalostiach, ktoré sa udiali v minulosti, ako sa to stáva napríklad pri hádzaní mincou - pravdepodobnosť získania hláv alebo chvostov áno. nezávisí od toho, koľkokrát predtým vypadli hlavy alebo chvosty. Preto sa mnohí domnievajú, že v momente, keď si hráč vyberie jedny dvere z dvoch, už nezáleží na tom, že v minulosti bol výber jedných dverí z troch a pravdepodobnosť výhry auta je pri zmene výberu rovnaká. a ponechanie pôvodného výberu.
  Aj keď sú takéto úvahy pravdivé v prípade hodu mincou, nie sú pravdivé pre všetky hry. AT tento prípad otvorenie dverí majstrom by sa malo ignorovať. Hráč si v podstate vyberá medzi jednymi dverami, ktoré si vybral ako prvými, a ďalšími dvoma – otvorenie jedných slúži len na odvrátenie hráčovej pozornosti. Je známe, že je tu jedno auto a dve kozy. Hráčova počiatočná voľba jedných dverí rozdeľuje možné výsledky hry do dvoch skupín: buď je auto za dverami, ktoré si hráč vybral (pravdepodobnosť je 1/3), alebo za jednými z ďalších dvoch (pravdepodobnosť z toho sú 2/3). Zároveň je už známe, že v každom prípade je za jednými z dvoch zostávajúcich dverí koza a otvorením týchto dverí hostiteľ nedáva hráčovi žiadnu dodatočnú informáciu o tom, čo je za dverami, ktoré si vybral. hráč. Otvorenie dverí s kozou vodcom teda nemení pravdepodobnosť (2/3), že auto je za niektorými zo zostávajúcich dverí. A keďže si hráč nevyberie už otvorené dvere, tak sa všetka táto pravdepodobnosť sústreďuje v prípade, že je auto za zvyšnými zatvorenými dverami.
  Intuitívnejšie uvažovanie: Nechajte hráča konať podľa stratégie „zmeny voľby“. Potom prehrá iba vtedy, ak si na začiatku vyberie auto. A pravdepodobnosť je tretinová. Preto pravdepodobnosť výhry: 1-1/3=2/3. Ak hráč koná v súlade so stratégiou „nezmeniť voľbu“, potom vyhrá vtedy a len vtedy, ak si pôvodne vybral auto. A pravdepodobnosť je tretinová.
  Predstavme si túto situáciu z pohľadu hostiteľa, ktorý robí podobný postup s desiatkami hráčov. Keďže veľmi dobre vie, čo je za dverami, v priemere v dvoch prípadoch z troch vopred vidí, že hráč si vybral „nesprávne“ dvere. Preto pre neho rozhodne nie je žiadnym paradoxom, že správnou stratégiou je zmeniť voľbu po otvorení prvých dverí: veď v rovnakých dvoch prípadoch z troch hráč opustí štúdio v novom aute.
  Iné spoločná príčinaŤažkosti s pochopením riešenia tohto problému spočívajú v tom, že si ľudia často predstavujú trochu inú hru – keď sa vopred nevie, či hostiteľ otvorí dvere s kozou a ponúkne hráčovi, aby zmenil svoj výber. V tomto prípade hráč nepozná taktiku vodcu (čiže v skutočnosti nepozná všetky pravidlá hry) a nemôže urobiť optimálnu voľbu. Napríklad, ak facilitátor ponúkne zmenu možnosti len vtedy, ak si hráč pôvodne vybral dvere s autom, potom by mal hráč samozrejme vždy ponechať pôvodné rozhodnutie nezmenené. Preto je dôležité mať na pamäti presnú formuláciu Monty Hallovho problému. (pri tejto možnosti môže vedúci s rôznymi stratégiami dosiahnuť medzi dverami akúkoľvek pravdepodobnosť, vo všeobecnom (priemernom) prípade to bude 1/2 na 1/2).
  Zvýšenie počtu dverí
  Aby sme uľahčili pochopenie podstaty toho, čo sa deje, môžeme zvážiť prípad, keď hráč pred sebou nevidí tri dvere, ale napríklad sto. Zároveň je za jednými dverami auto a za druhými 99 kozy. Hráč si vyberie jedny z dverí, pričom v 99% prípadov si vyberie dvere s kozou a šanca, že si hneď vyberie dvere s autom je veľmi malá - je 1%. Potom hostiteľ otvorí 98 dverí s kozami a požiada hráča, aby si vybral zostávajúce dvere. V tomto prípade bude v 99% prípadov auto za týmito zostávajúcimi dverami, pretože šanca, že hráč okamžite vyberie správne dvere, je veľmi malá. Je jasné, že v tejto situácii by mal racionálne uvažujúci hráč vždy akceptovať návrh lídra.
  Pri zvažovaní zvýšeného počtu dverí často vyvstáva otázka: ak v pôvodnom probléme vedúci otvorí jedny dvere z troch (teda 1/3 z celkového počtu dverí), tak prečo by sme mali predpokladať, že v príp. zo 100 dverí vedúci otvorí 98 dverí s kozami a nie 33? Táto úvaha je zvyčajne jedným z významných dôvodov, prečo je Monty Hallov paradox v rozpore s intuitívnym vnímaním situácie. Bolo by správne predpokladať otvorenie 98 dverí, pretože základnou podmienkou problému je, že pre hráča existuje iba jedna alternatívna voľba, ktorú ponúka hostiteľ. Preto, aby boli úlohy podobné, v prípade 4 dverí musí vedúci otvoriť 2 dvere, v prípade 5 dverí - 3 atď., aby boli vždy jedny neotvorené dvere iné ako tie. ktoré si hráč pôvodne vybral. Ak facilitátor otvorí menej dverí, úloha už nebude podobná pôvodnej úlohe Monty Hall.
  Treba poznamenať, že v prípade mnohých dverí, aj keď hostiteľ nenechá zatvorené jedny dvere, ale niekoľko, a ponúkne hráčovi, aby si vybral jedny z nich, potom pri zmene pôvodného výberu sa šance hráča na výhru auta znížia. stále narastajú, aj keď nie tak výrazne. Uvažujme napríklad o situácii, keď si hráč vyberie jedny dvere zo sto a potom facilitátor otvorí iba jedny zo zostávajúcich dverí a vyzve hráča, aby svoj výber zmenil. Zároveň šanca, že auto je za dverami, ktoré si hráč pôvodne vybral, zostáva rovnaká - 1/100 a pre zostávajúce dvere sa šance menia: celková pravdepodobnosť, že auto je za niektorými zo zostávajúcich dverí ( 99/100) je teraz distribuovaný nie na 99 dverách, ale 98. Pravdepodobnosť nájdenia auta za každým z týchto dverí teda nebude 1/100, ale 99/9800. Nárast pravdepodobnosti bude približne 0,01 %.
  rozhodovací strom
  
  
  Drevo možné riešenia hráča a hostiteľa, pričom ukazuje pravdepodobnosť každého výsledku
  Formálnejšie možno herný scenár opísať pomocou rozhodovacieho stromu.
  V prvých dvoch prípadoch, keď si hráč ako prvý vybral dvere, za ktorými je koza, zmena voľby vedie k výhre. V posledných dvoch prípadoch, keď si hráč ako prvý vybral dvere s autom, má zmena voľby za následok stratu.
  Celková pravdepodobnosť, že zmena vo výbere povedie k výhre, sa rovná súčtu pravdepodobností prvých dvoch výsledkov, tj.
  
  Pravdepodobnosť, že odmietnutie zmeny voľby povedie k výhre, je teda rovnaká
  
  Uskutočnenie podobného experimentu
  Existuje jednoduchý spôsob, ako zabezpečiť, aby zmena pôvodnej voľby viedla k výhre v priemere dvakrát z troch. Ak to chcete urobiť, môžete pomocou hracích kariet simulovať hru opísanú v úlohe Monty Hall. Jedna osoba (rozdáva karty) v tomto prípade hrá úlohu vedúceho Monty Hall a druhá - úlohu hráča. Na hru sa berú tri karty, z ktorých jedna zobrazuje dvere s autom (napríklad pikové eso) a dve ďalšie, rovnaké (napríklad dve červené dvojky) - dvere s kozami.
  Hostiteľ vyloží tri karty lícom nadol a vyzve hráča, aby si vzal jednu z kariet. Keď si hráč vyberie kartu, vodca sa pozrie na dve zvyšné karty a odhalí červenú dvojku. Potom sa karty zanechané hráčom a vodcom otvoria a ak je karta, ktorú si hráč vybral, pikové eso, zaznamená sa bod v prospech možnosti, keď hráč nezmení svoj výber, a ak hráč má červenú dvojku a vodca má pikové eso, potom sa bod v prospech možnosti získa, keď hráč zmení svoju voľbu. Ak hráme veľa takýchto kôl hry, tak pomer medzi bodmi v prospech dvoch možností celkom dobre odráža pomer pravdepodobnosti týchto možností. V tomto prípade sa ukazuje, že počet bodov v prospech zmeny počiatočnej voľby je približne dvojnásobný.
  Takýto experiment sa nielen postará o to, aby pravdepodobnosť výhry pri zmene výberu bola dvojnásobná, ale aj dobre ilustruje, prečo sa tak deje. V momente, keď si hráč vyberie kartu pre seba, je už rozhodnuté, či má pikové eso na ruke alebo nie. Ďalšie otvorenie jednej zo svojich kariet vodcom nemení situáciu - hráč už kartu drží v ruke a zostáva tam bez ohľadu na konanie vodcu. Pravdepodobnosť, že si hráč vyberie pikové eso z troch kariet, je samozrejme 1/3, a teda pravdepodobnosť, že si ho nevyberie (a potom hráč vyhrá, ak zmení počiatočnú voľbu) je 2/3.
  Spomenúť
  Vo filme Dvadsaťjeden učiteľ Miki Rosa vyzýva hlavného hrdinu Bena, aby vyriešil hádanku: za tromi dverami sú dva skútre a jedno auto; musíte uhádnuť dvere, aby ste vyhrali auto. Po prvej voľbe Miki ponúkne zmenu výberu. Ben súhlasí a svoje rozhodnutie matematicky zdôvodní. Tak nedobrovoľne absolvuje skúšku za Mikiho tím.
  V románe Sergeja Lukjanenka „Nedotepa“ hlavní hrdinovia pomocou tejto techniky vyhrávajú kočiar a možnosť pokračovať v ceste.
  V televíznom seriáli 4isla (13. epizóda sezóny 1 „Man Hunt“), jedna z hlavných postáv, Charlie Epps, v populárnej prednáške o matematike vysvetľuje Monty Hallov paradox a názorne ho ilustruje pomocou fixačných tabúľ na rubové strany ktorými sú maľované kozy a auto. Charlie nájde auto zmenou výberu. Treba však poznamenať, že vykonáva iba jeden experiment, zatiaľ čo prínos stratégie prechodu na euro je štatistický a na správnu ilustráciu by sa mala spustiť séria experimentov.

  Všetci poznáme situáciu, keď sme sa namiesto triezvej kalkulácie spoliehali na svoju intuíciu. Koniec koncov, musíme priznať, že nie vždy je možné pred výberom všetko vypočítať. A bez ohľadu na to, akí prefíkaní sú ľudia, ktorí sú zvyknutí si vybrať až po dôkladnej analýze, ani raz to nemuseli robiť na princípe „asi áno“. Jedným z dôvodov takéhoto konania môže byť banálny nedostatok potrebného času na posúdenie situácie.

  Voľba zároveň čaká na aktuálnu situáciu práve teraz a nedovoľuje vám utiecť od odpovede alebo akcie. No ešte ošemetnejšími situáciami, ktoré spôsobujú doslova kŕč mozgu, je pre nás deštrukcia dôvery v správnosť voľby či v jej pravdepodobnú prevahu nad ostatnými možnosťami na základe logických záverov. Na tom sú založené všetky existujúce paradoxy.

  Paradox v hre televíznej show "Poďme uzavrieť dohodu"

  Jeden z paradoxov, ktorý vyvoláva búrlivé diskusie medzi milovníkmi hádaniek, sa nazýva Monty Hall paradox. Je pomenovaná po poprednej televíznej šou v USA s názvom „Let's Make a Deal“. V televíznej relácii moderátor ponúka otvorenie jedných z troch dverí, kde je cenou auto, zatiaľ čo za ďalšími dvoma je jedna koza.

  Účastník hry si vyberie, ale hostiteľ, ktorý vie, kde je auto, neotvorí dvere, ktoré hráč označil, ale druhé, v ktorých sa nachádza koza, a ponúkne zmenu počiatočnej voľby hráča. Pre ďalšiu analýzu akceptujeme toto konkrétne správanie hostiteľa, hoci v skutočnosti sa môže pravidelne meniť. Ďalšie možnosti scenára vývoja jednoducho vymenujeme nižšie v článku.

  Čo je podstatou paradoxu?

  Opäť bod po bode určíme podmienky a zmeníme objekty hry pre zmenu za svoje.

  Účastník hry je v miestnosti s tromi bankovými bunkami. V jednej z troch cel je zlatý zliatok zlata, v ďalších dvoch jedna minca v nominálnej hodnote 1 kopejka ZSSR.

  Takže účastník pred výberom a podmienky hry sú nasledovné:

  1. Účastník si môže vybrať len jednu z troch buniek.
  2. Bankár najprv pozná umiestnenie ingotu.
  3. Bankár vždy otvorí inú mincovú bunku, než akú si hráč vybral, a vyzve hráča, aby zmenil výber.
  4. Hráč môže svoju voľbu obratom zmeniť alebo si ponechať pôvodnú.

  Čo hovorí intuícia?

  Paradoxom je, že pre väčšinu ľudí, ktorí sú zvyknutí uvažovať logicky, je šanca na výhru, ak zmenia svoj počiatočný výber, 50 na 50. Koniec koncov, po tom, čo bankár otvorí ďalšiu bunku s mincou odlišnou od počiatočnej voľby hráča, 2 bunky zostávajú, v jednom z nich je zliatok zlata a v druhom minca. Hráč vyhráva zliatok, ak prijme bankárovu ponuku na výmenu bunky, za predpokladu, že v bunke, ktorú si hráč pôvodne vybral, nebol žiadny ingot. A naopak, za tejto podmienky prehráva, ak ponuku odmietne prijať.

  

  Ako navrhujeme zdravý rozum, pravdepodobnosť výberu zliatku a výhry je v tomto prípade 1/2. Ale v skutočnosti je situácia iná! "Ale ako to, tu je všetko zrejmé?" - pýtaš sa. Povedzme, že ste si vybrali bunku číslo 1. Intuitívne áno, bez ohľadu na to, akú možnosť ste mali pôvodne, nakoniec máte pred výberom mincu a ingot. A ak ste pôvodne mali pravdepodobnosť získania ceny 1/3, potom na konci, keď bankár otvoríte jednu bunku, získate pravdepodobnosť 1/2. Zdalo sa, že pravdepodobnosť sa zvýšila z 1/3 na 1/2. Po dôkladnej analýze hry sa ukáže, že pri zmene rozhodnutia sa pravdepodobnosť zvýši na 2/3 namiesto intuitívnej 1/2. Poďme sa pozrieť na to, prečo sa to deje.

  Na rozdiel od intuitívnej úrovne, kde naše vedomie považuje udalosť po zmene bunky za niečo oddelené a zabúda na počiatočnú voľbu, matematika tieto dve udalosti nerozbíja, ale zachováva reťaz udalostí od začiatku do konca. Takže, ako sme už povedali, šanca na výhru pri okamžitom zásahu do zliatku je 1/3 a pravdepodobnosť, že si vyberieme bunku s mincou, je 2/3 (keďže máme jeden zliatok a dve mince).

  1. Na začiatku vyberieme bankovú bunku s ingotom - pravdepodobnosť je 1/3.
     • Ak hráč zmení svoju voľbu prijatím ponuky bankára, prehráva.
     • Ak hráč nezmení svoju voľbu bez toho, aby prijal bankárovu ponuku, vyhráva.
  2. Vyberáme z prvého razu bankovú bunku s mincou - pravdepodobnosť je 2/3.
     • Ak hráč zmení svoju voľbu, vyhráva.
     • Ak hráč nezmení výber - prehral.

  Aby teda hráč mohol opustiť banku so zlatou tehličkou vo vrecku, musí si vybrať pôvodne stratovú pozíciu s mincou (pravdepodobnosť 1/3) a potom prijať bankárovu ponuku na výmenu bunky.

  Aby sme pochopili tento paradox a vymanili sa z okov počiatočného výberového vzorca a zvyšných buniek, predstavme si správanie hráča presne opačne. Predtým, ako bankár ponúkne bunku na výber, je hráč mentálne presne rozhodnutý, že svoj výber zmení a až potom pre neho nasleduje udalosť otvorenia dverí navyše. Prečo nie? Otvorené dvere mu totiž v takom logickom slede viac informácií nedajú. V prvej fáze hráč rozdelí bunky na dve rôznych oblastiach: prvá je oblasť s jednou bunkou s jeho pôvodným výberom, druhá je s dvoma zostávajúcimi bunkami. Ďalej si hráč musí vybrať medzi dvoma oblasťami. Pravdepodobnosť získania zlatého zliatku z bunky z prvej oblasti je 1/3, z druhej 2/3. Voľba nasleduje po druhej oblasti, v ktorej môže otvoriť dve cely, prvú otvorí bankár, druhú sám.

  Pre Monty Hallov paradox existuje ešte lepšie vysvetlenie. Ak to chcete urobiť, musíte zmeniť znenie úlohy. Bankár objasní, že jedna z troch bankových buniek obsahuje zlatú tehličku. V prvom prípade ponúka otvorenie jednej z troch buniek av druhom - dvoch súčasne. Čo si hráč vyberie? No, samozrejme, dva naraz, zdvojnásobením pravdepodobnosti. A moment, keď bankár otvoril bunku s mincou, to vlastne hráčovi nijako nepomôže a neprekáža pri výbere, pretože bankár túto bunku aj tak ukáže s mincou, takže hráč to môže jednoducho ignorovať akcie. Zo strany hráča možno len poďakovať bankárovi, že mu uľahčil život a namiesto dvoch musel otvoriť jednu celu. Syndrómu paradoxu sa konečne môžete zbaviť, ak sa postavíte na miesto bankára, ktorý spočiatku vie, že hráč v dvoch z troch prípadov ukáže na nesprávne dvere. Pre bankára to nie je paradox ako taký, pretože si je istý v takom prevrátení udalostí, že v prípade zmeny udalostí hráč berie zlatú tehličku.

  

  Monty Hallov paradox zjavne neumožňuje vyhrať konzervatívcom, ktorí sú železní vo svojej pôvodnej voľbe a strácajú šancu zvýšiť pravdepodobnosť. Pre konzervatívcov zostane 1/3. U ostražitých a rozumných ľudí dorastá do vyššie uvedených 2/3.

  Všetky vyššie uvedené vyhlásenia sú relevantné len pri dodržaní pôvodne stanovených podmienok.

  Čo ak zvýšime počet buniek?

  Čo ak zvýšime počet buniek? Povedzme, že namiesto troch z nich bude 50. Zlatý ingot bude ležať iba v jednej bunke a vo zvyšných 49 - minciach. Na rozdiel od klasického prípadu je teda pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa v pohybe 1/50 alebo 2 % namiesto 1/3, zatiaľ čo pravdepodobnosť výberu bunky s mincou je 98 %. Ďalej sa situácia vyvíja ako v predchádzajúcom prípade. Bankár ponúkne otvorenie ktorejkoľvek z 50 buniek, ktorú si účastník vyberie. Povedzme, že hráč otvorí bunku s poradovým číslom 49. Bankár sa na oplátku, ako v klasickej verzii, neponáhľa splniť hráčovu túžbu a otvorí ďalších 48 buniek s mincami a ponúkne, že svoju voľbu zmení na zostávajúcu. na čísle 50.

  Tu je dôležité pochopiť, že bankár otvorí presne 48 buniek, nie 30, a zároveň nechá 2, vrátane tej, ktorú si vybral hráč. Práve táto voľba umožňuje, aby sa paradox dostal do rozporu s intuíciou. Rovnako ako v prípade s klasická verzia, otvorením 48 ciel bankárom zostáva na výber len jedna jediná alternatíva. Prípad variantu menšieho otvoru buniek neumožňuje postaviť problém na roveň klasike a cítiť paradox.

  Ale keďže sme sa už dotkli tejto možnosti, predpokladajme, že bankár neopustí jednu, okrem tej, ktorú si vyberie hráč, ale niekoľko buniek. Prezentovaných, ako predtým, 50 buniek. Bankár po voľbe hráča otvorí len jednu bunku, pričom 48 buniek nechá zatvorených vrátane tej, ktorú si hráč vybral. Pravdepodobnosť výberu zliatku na prvý pokus je 1/50. Celkovo je pravdepodobnosť nájdenia ingotu v zostávajúcich bunkách 49/50, čo sa zase rozšíri nie na 49, ale na 48 buniek. Nie je ťažké vypočítať, že pravdepodobnosť nájdenia ingotu je v tomto prípade (49/50)/48=49/2900 . Pravdepodobnosť, aj keď nie o veľa, je stále vyššia ako 1/50 približne o 1 %.

  Ako sme spomenuli na samom začiatku, hostiteľ Monty Hall v klasickom scenári hry s dverami, kozami a výherným autom môže zmeniť podmienky hry a s tým aj pravdepodobnosť výhry.

  

  Matematika paradoxov

  Môžu matematické vzorce dokázať zvýšenie pravdepodobnosti pri zmene výberu?
  Predstavme si reťazec udalostí ako súbor rozdelený na dve časti, prvá časť bude braná ako X - to je voľba hráča v prvej fáze bezpečnej bunky; a druhá sada Y - zostávajúce dve zostávajúce bunky. Pravdepodobnosť (B) výhry pre bunky 2 a 3 možno vyjadriť pomocou vzorcov.

  B(2) = 1/2 x 2/3 = 1/3
  B(3) = 1/2 x 2/3 = 1/3

  Kde 1/2 je pravdepodobnosť, s ktorou bankár otvorí bunky 2 a 3, za predpokladu, že hráč pôvodne vybral bunku bez ingotu.
  Ďalej sa podmienená pravdepodobnosť 1/2, keď bankár otvorí bunku s mincou, zmení na 1 a 0. Potom majú vzorce nasledujúci tvar:

  B(2) = 0 x 2/3 = 0
  B(3) = 1 x 2/3 = 1

  Tu jasne vidíme, že pravdepodobnosť výberu zliatku v bunke 3 je 2/3, čo je niečo vyše 60 percent.
  Programátor na úplnej úrovni začiatočník môže tento paradox ľahko otestovať napísaním programu, ktorý vypočíta pravdepodobnosť pri zmene volieb alebo naopak a skontroluje výsledky.

  Vysvetlenie paradoxu vo filme 21 (21)

  Vizuálne vysvetlenie Monty Paulovho paradoxu poskytuje film „21“ (21), ktorý režíroval Robert Luketic. Profesor Mickey Rosa na prednáške uvádza príklad z relácie Let's Make a Deal a pýta sa študenta Bena Campbella (herca a speváka Jamesa Anthonyho) na rozdelenie pravdepodobnosti, ktorý dá správne zarovnanie a tým prekvapí učiteľa.

  Nezávislá štúdia paradoxu

  Pre ľudí, ktorí si chcú výsledok overiť na vlastnej koži v praxi, no nemajú matematický základ, odporúčame, aby si samostatne nasimulovali hru, v ktorej vy budete lídrom a niekto bude hráčom. Do tejto hry môžete zapojiť deti, ktoré si z nich do vopred pripravených kartónových škatúľ vyberú sladkosti alebo obaly od cukríkov. Pri každej voľbe nezabudnite zaznamenať výsledok pre ďalší výpočet.

  Znenie

  Najpopulárnejší je problém s dodatočnou podmienkou č.6 z tabuľky - účastník hry vopred pozná nasledujúce pravidlá:

  • auto je rovnako pravdepodobne umiestnené za niektorými z 3 dverí;
  • hostiteľ je v každom prípade povinný otvoriť dvere s kozou a ponúknuť hráčovi zmenu výberu, ale nie dvere, ktoré si hráč vybral;
  • ak má vedúci na výber, ktoré z 2 dverí otvorí, vyberie si s rovnakou pravdepodobnosťou ktorékoľvek z nich.

  Nasledujúci text rozoberá Monty Hallov problém v tejto formulácii.

  Analýza

  Pri riešení tohto problému sa zvyčajne argumentuje asi takto: hostiteľ na konci vždy odstráni jedny stratené dvere a potom sa pravdepodobnosť, že sa auto objaví za dvomi neotvorenými dverami, stane 1/2, bez ohľadu na počiatočnú voľbu.

  Ide o to, že svojou počiatočnou voľbou účastník rozdeľuje dvere: vyvolený A a dvaja ďalší - B a C. Pravdepodobnosť, že auto je za vybranými dverami = 1/3, že za ostatnými = 2/3.

  Pre každé zo zostávajúcich dverí je aktuálna situácia opísaná takto:

  P(B) = 2/3 x 1/2 = 1/3

  P(C) = 2/3 x 1/2 = 1/3

  Kde 1/2 je podmienená pravdepodobnosť, že auto je za danými dverami, za predpokladu, že auto nie je za dverami zvolenými hráčom.

  Hostiteľ tým, že otvorí jedny zo zostávajúcich dverí, ktoré vždy strácajú, informuje hráča presne o 1 bite informácií a zmien podmienené pravdepodobnosti pre B a C na "1" a "0".

  V dôsledku toho majú výrazy tvar:

  P(B) = 2/3 x 1 = 2/3

  Účastník by teda mal zmeniť svoju počiatočnú voľbu - v tomto prípade sa pravdepodobnosť jeho výhry bude rovnať 2/3.

  Jedno z najjednoduchších vysvetlení je toto: ak zmeníte dvere po akciách GM, vyhrávate, ak ste si pôvodne vybrali prehrávajúce dvere (potom GM otvorí druhé prehraté a vy budete musieť zmeniť svoju voľbu, aby ste vyhrali). A spočiatku si môžete vybrať stratové dvere 2 spôsobmi (pravdepodobnosť 2/3), t.j. ak vymeníte dvere, vyhrávate s pravdepodobnosťou 2/3.

  Tento záver odporuje intuitívnemu vnímaniu situácie väčšinou ľudí, preto je opísaná úloha tzv Monty Hall paradox, t.j. paradox v každodennom zmysle.

  A intuitívne vnímanie je nasledovné: otvorením dverí kozou hostiteľ zadá hráčovi novú úlohu, ktorá nemá nič spoločné s predchádzajúcou voľbou – koza je predsa za otvorené dvere sa objaví bez ohľadu na to, či si hráč predtým vybral kozu alebo auto. Po otvorení tretích dverí si hráč musí opäť vybrať - a vybrať si buď tie isté dvere, ktoré si vybral predtým, alebo iné. To znamená, že svoju predchádzajúcu voľbu nemení, ale robí novú. Matematické riešenie považuje dve po sebe nasledujúce úlohy vedúceho za navzájom súvisiace.

  Treba však brať do úvahy faktor z podmienky, že hostiteľ otvorí dvere s kozou zo zvyšných dvoch, a nie dvere, ktoré si vyberie hráč. Zvyšné dvere majú preto väčšiu šancu na auto, keďže neboli zvolené ako pánske. Ak vezmeme do úvahy prípad, keď vodca s vedomím, že za dverami zvolenými hráčom je koza, tieto dvere napriek tomu otvorí, zámerne tým znižuje šance hráča vybrať si správne dvere, pretože. pravdepodobnosť správneho výberu bude už 1/2. Ale tento druh hry bude mať iné pravidlá.

  Dajme ešte jedno vysvetlenie. Predpokladajme, že hráte podľa vyššie popísaného systému, t.j. z dvoch zostávajúcich dverí si vždy vyberiete dvere odlišné od vášho pôvodného výberu. V akom prípade prehráte? Strata príde vtedy a až vtedy, keď si od začiatku vyberiete dvere, za ktorými sa auto nachádza, pretože následne nevyhnutne zmeníte názor v prospech dverí s kozou, vo všetkých ostatných prípadoch budete vyhrať, t.j., ak hneď od začiatku Nesprávny výber dverí. Pravdepodobnosť výberu dverí s kozou od samého začiatku je ale 2/3, takže sa ukazuje, že na výhru potrebujete chybu, ktorej pravdepodobnosť je dvakrát väčšia ako správna voľba.

  zmienky

  • Vo filme Dvadsaťjeden učiteľ Miki Rosa ponúkne hlavnému hrdinovi Benovi, aby vyriešil problém: za tromi dverami sú dva skútre a jedno auto, musíte uhádnuť dvere s autom. Po prvej voľbe Miki ponúkne zmenu výberu. Ben súhlasí a svoje rozhodnutie matematicky zdôvodní. Tak nedobrovoľne absolvuje skúšku za Mikiho tím.
  • V románe Sergeja Lukjanenka "Kluttyopa" hlavní hrdinovia s pomocou tejto techniky vyhrávajú kočiar a možnosť pokračovať v ceste.
  • V televíznom seriáli "4isla" (epizóda 1 sezóny 1 "Man Hunt"), jedna z hlavných postáv, Charlie Epps, na populárnej prednáške o matematike, vysvetľuje Monty Hall paradox a názorne ho ilustruje pomocou fixiek. , na ktorých rubových stranách sú nakreslené kozy a voz. Charlie nájde auto zmenou výberu. Treba však poznamenať, že vykonáva iba jeden experiment, zatiaľ čo prínos stratégie prechodu na euro je štatistický a na správnu ilustráciu by sa mala spustiť séria experimentov.
  • O Monty Hallovom paradoxe hovorí denník hrdinu príbehu Marka Haddona Podivuhodný incident so psom v noci.
  • Monty Hallov paradox testovaný Bořičmi mýtov

  pozri tiež

  • Bertrandov paradox

  Odkazy

  	Paradox Monty Hall vo Wikiknihách
  	Paradox Monty Hall na Wikimedia Commons

  • Interaktívny prototyp: pre tých, ktorí sa chcú poblázniť (generácia nastane po prvej voľbe)
  • Interaktívny prototyp: skutočný prototyp hry (karty sa vygenerujú pred výberom, práca prototypu je transparentná)
  • Vysvetľujúce video na Smart Videos.ru
  • Weisstein, Eric W. The Monty Hall Paradox (anglicky) na webovej stránke Wolfram MathWorld.
  • Paradox Monty Hall na webe televíznej relácie Let's Make a Deal
  • Úryvok z knihy S. Lukjanenka, ktorá využíva Monty Hallov paradox
  • Ďalšie bayesovské riešenie Ďalšie bayesovské riešenie na fóre Štátnej univerzity v Novosibirsku

  Literatúra

  • Gmurman V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika, - M .: Vysokoškolské vzdelanie. 2005
  • Gnedin, Sasha "Hra Mondee Gills." časopis Matematický spravodajca, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
  • Parade Magazine zo dňa 17. februára.
  • vos Savant, Marilyn. Opýtajte sa v časopise Marilyn Parade Magazine zo dňa 26. februára.
  • Bapeswara Rao, V. V. a Rao, M. Bhaskara. „Trojdverová herná show a niektoré jej varianty“. Časopis Matematický vedec, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Pochopenie pravdepodobnosti, náhodných pravidiel v každodennom živote. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

  Poznámky

  
  

  Nadácia Wikimedia. 2010.

  Pozrite sa, čo je "Monty Hall Paradox" v iných slovníkoch:

  Pri hľadaní auta si hráč vyberie dvere 1. Potom hostiteľ otvorí 3. dvere, za ktorými je koza, a vyzve hráča, aby zmenil svoj výber na dvere 2. Mal by to urobiť? Monty Hallov paradox je jedným zo známych problémov teórie ... ... Wikipedia

  - (The tie paradox) je známy paradox podobný problému dvoch obálok, ktorý tiež demonštruje znaky subjektívneho vnímania teórie pravdepodobnosti. Podstata paradoxu: dvaja muži sa darujú za nimi kúpené vianočné kravaty ... ... Wikipedia