2.2.3. Zmienna stopa procentowa

Należy zauważyć, że podstawowa formuła oprocentowania składanego obejmuje stały oprocentowanie przez cały okres odsetkowy. Jednak udzielając pożyczki długoterminowej, często stosują zmienne w czasie, ale z góry ustalone stawki dla każdego okresu. procent składany. W przypadku użycia zmienne stopy procentowe, wzór memoriałowy wygląda następująco:

gdzie ik– kolejne wartości stóp procentowych w czasie;

nk– długość okresów, w których stosowane są odpowiednie stawki.

Przykład. Firma otrzymała pożyczkę z banku w wysokości 100 000 zł na okres 5 lat Oprocentowanie pożyczki ustalone na 1 rok 10%, na 2 rok dopłata do oprocentowania 1,5%, na kolejne lata 1% Ustalenie kwoty zadłużenia należnego na koniec okresu kredytowania.

Rozwiązanie:

Stosujemy wzór na zmienne stopy procentowe:

FV=PV (1 + i 1)n 1 (1 + i 2)n 2 … (1 + ik)nk =

100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =

174” 632,51 $

Zatem kwota należna na koniec okresu pożyczki wyniesie 174 632,51 USD, z czego 100 000 USD jest bezpośrednio należne, a 74 632,51 USD to odsetki od długu.

2.2.4. Ciągłe naliczanie odsetek

Wszystkie sytuacje, które rozważaliśmy do tej pory, były oprocentowaniem dyskretnym, ponieważ obliczane są w ustalonych okresach czasu (rok, kwartał, miesiąc, dzień, godzina). Jednak w praktyce często zdarzają się przypadki, gdy odsetki narastają nieprzerwanie, przez dowolnie krótki okres czasu. Gdyby odsetki naliczane były codziennie, to roczny współczynnik (mnożnik) akumulacji wyglądałby tak:

kn = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Ale ponieważ odsetki są naliczane w sposób ciągły, to m dąży do nieskończoności, a współczynnik akumulacji (mnożnik) dąży do mij:

gdzie mi≈ 2,718281 nazywana jest liczbą Eulera i jest jedną z najważniejszych stałych w analizie matematycznej.

Stąd możemy napisać wzór na skumulowaną kwotę dla n lata:

FV = PV mi j n = P mi δ n

Stała stopa procentowa nazywa się siła zainteresowania i są symbolizowane δ , w przeciwieństwie do dyskretnej stopy procentowej ( j).

Przykład. Otrzymano pożyczkę w wysokości 100 tys. dolarów na okres 3 lat w wysokości 8% w skali roku. Określ kwotę do spłaty na koniec okresu kredytowania, jeśli odsetki będą naliczane:

a) raz w roku;

b) codziennie;

c) w sposób ciągły.

Rozwiązanie:

Używamy wzorów na procenty dyskretne i ciągłe:

naliczanie raz w roku

FV\u003d 100 „000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125” 971,2 dolarów;

dzienne naliczanie odsetek

FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 $

ciągłe zainteresowanie

FV\u003d 100 „000 e 0,08 3 \u003d 127” 124,9 dolarów.

Graficznie zmiana naliczonej kwoty w zależności od częstotliwości naliczania ma następującą postać:

Przy dyskretnym naliczaniu każdy „krok” charakteryzuje wzrost kwoty głównej zadłużenia w wyniku kolejnego naliczenia odsetek. Należy pamiętać, że wysokość „kroków” cały czas rośnie.

W ciągu jednego roku jeden „krok” na wykresie lewym odpowiada dwóm „krokom” na wykresie środkowym o mniejszym rozmiarze, ale w sumie przekraczają one wysokość „kroku” pojedynczego naliczenia. Jeszcze szybsza jest akumulacja z ciągłym obliczaniem odsetek, jak pokazuje wykres po prawej stronie.

Tak więc, w zależności od częstotliwości naliczania odsetek, akumulacja kwoty początkowej odbywa się według różnych stawek, a maksymalna możliwa akumulacja odbywa się z nieskończonym podziałem rocznego przedziału.

Ciągłe naliczanie odsetek jest wykorzystywane w analizie złożonych problemów finansowych, takich jak uzasadnienie i wybór decyzji inwestycyjnych. Oceniając pracę instytucji finansowej, w której płatności za dany okres są otrzymywane wielokrotnie, zaleca się założenie, że narosła kwota zmienia się w sposób ciągły w czasie i stosowanie ciągłego obliczania odsetek.

2.2.5. Określanie okresu kredytowania i oprocentowania

Podobnie jak w przypadku oprocentowania prostego, w przypadku oprocentowania składanego niezbędne są formuły pozwalające określić brakujące parametry transakcji finansowej:

termin pożyczki:

n = / = / ;

składana stopa procentowa:

Zatem trzykrotny wzrost depozytu w ciągu trzech lat jest równoznaczny z rocznym oprocentowaniem 44,3%, więc lokowanie pieniędzy na poziomie 46% w skali roku będzie bardziej opłacalne.

2.3. Równoważność stawek i zastępowanie płatności

2.3.1. Równoważność stóp procentowych

Dość często w praktyce dochodzi do sytuacji, gdy konieczne jest porównanie warunków różnych transakcji finansowych i handlowych pod kątem rentowności. Warunki transakcji finansowych i handlowych mogą być bardzo zróżnicowane i wprost nieporównywalne. Dla porównania wariantów alternatywnych stawki stosowane w warunkach umów są doprowadzone do jednolitej stawki.

Równowartość oprocentowanie - jest to kurs, który dla danej transakcji finansowej da dokładnie taki sam wynik pieniężny (skumulowaną kwotę), jak kurs użyty w tej transakcji.

Klasycznym przykładem równoważności jest nominalna i efektywna stawka procent:

i = (1 + j / m)m - 1.

j = m[(1 + i) 1 / m - 1].

Stopa efektywna mierzy względny dochód, jaki można uzyskać w ciągu całego roku, tj. jest zupełnie obojętne, czy zastosować stawkę j przy obliczaniu odsetek m raz w roku lub stawka roczna i, – obie stawki są równoważne finansowo.

Dlatego nie ma znaczenia, która z podanych stawek jest wskazana w kategoriach finansowych, ponieważ ich zastosowanie daje taką samą naliczoną kwotę. W Stanach Zjednoczonych w praktycznych obliczeniach używa się stopy nominalnej, podczas gdy w krajach europejskich preferuje się efektywną stopę procentową.

Jeśli dwa stawki nominalne określają tę samą efektywną stopę procentową, nazywane są ekwiwalentnymi.

Przykład. Jakie byłyby równoważne nominalne stopy procentowe z odsetkami półrocznymi i miesięcznymi, gdyby odpowiednia stopa efektywna była równa 25%?

Rozwiązanie:

Obliczamy stopę nominalną do półrocznej kalkulacji odsetek:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.

Obliczamy stawkę nominalną do naliczania miesięcznych odsetek:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.

Tak więc stawki nominalne 23,61% przy oprocentowaniu półrocznym i 22,52% przy oprocentowaniu miesięcznym są równoważne.

Wyprowadzając równości łączące stawki równoważne, mnożniki akumulacji są ze sobą przyrównywane, co umożliwia wykorzystanie wzorów na równoważność stawek prostych i złożonych:

proste oprocentowanie:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n;

składana stopa procentowa:

Przykład. Zakłada się lokowanie kapitału na 4 lata albo według oprocentowania składanego 20% w skali roku z odsetkami półrocznymi, albo oprocentowania prostego w wysokości 26% w skali roku. Znajdź najlepszą opcję.

Rozwiązanie:

Znajdź równoważną stopę prostą dla składanej stopy procentowej:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.

Zatem prosta stopa procentowa odpowiadająca stopie złożonej w ramach pierwszej opcji wynosi 28,59% rocznie, czyli jest wyższa niż proponowana prosta stopa 26% rocznie w ramach drugiej opcji; w wysokości 20% rocznie z półrocznymi odsetkami.

Dyskretna stopa procentowa to stopa, według której naliczane są odsetki za z góry określone lub określone okresy. Jeśli skrócisz okres naliczania odsetek do nieskończenie małej wartości (okres, za który będą naliczane odsetki, dąży do zera, a liczba naliczanych odsetek dąży do nieskończoności), odsetki będą naliczane w sposób ciągły. W tym przypadku stopa procentowa nazywa się ciągłe tempo lub siła wzrostu .

W badaniach teoretycznych oraz w praktyce, gdy płatności dokonywane są wielokrotnie, wygodnie jest stosować ciągłą metodę naliczania odsetek. Przejście do limitu można przeprowadzić w taki sam sposób, jak w paragrafie 2.2 przy wyprowadzaniu wzoru (2.12) lub w następujący sposób.

Stawka ciągła może być stała lub zmienna. Rozważmy przypadek, w którym ciągła stopa procentowa jest różna w różnych momentach.

Niech а(t) będzie funkcją opisującą zależność szybkości ciągłej (siły wzrostu) od czasu t. Przyrost kapitału S(t) w chwili t dla przedziału czasu Δt jest równy:

S(t + Δt) – S(t) = a(t) Δt S(t)

Następnie mamy:

Gdy Δt →0 otrzymujemy, że tempo zmian kapitału jest proporcjonalne do kapitału. Wówczas kwota płatności (kapitał) S(t) spełnia liniowe jednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu:

, (2.28)

– stopa zmiany płatności (stopa zmiany kapitału);

S(t) - kwota wpłaty (kapitał);

a(t) - ciągły procent narastania lub siła wzrostu.

W innej postaci równanie zostanie zapisane:

dS = a(t) S dt, (2,29)

tj. przyrost płatności jest proporcjonalny do samej płatności S i przyrostu czasu dt. Współczynnik proporcjonalności a(t) to siła wzrostu lub procent przyrostu.

Istnieje inny sposób zapisania równania różniczkowego:

, (2.30)

tj. względny przyrost kwoty płatności dS/S jest proporcjonalny do przyrostu czasu dt. Ponadto, tak jak poprzednio, a(t) jest określane przez procent naliczeń iw ogólnym przypadku może zależeć od czasu. Wszystkie trzy równania kapitałowe (2.28), (2.29), (2.30) są równoważne.

Rozważ niektóre z najprostszych własności kapitału, opisane równaniem różniczkowym (2.28)-(2.30). Jeżeli funkcja a(t)>0 jest dodatnia, to przy dodatnim kapitale S>0 pochodna kapitału dS/dt >0 również jest dodatnia iw konsekwencji kapitał S(t) rośnie. W tym przypadku a(t) nazywa się ciągłe zainteresowanie narastanie lub siła wzrostu .

W przeciwnym razie, jeśli funkcja a(t)<0 отрицательна, то при положительном капитале S>0 kapitałowy instrument pochodny dS/dt<0 отрицательна и, следовательно, капитал S(t) убывает. В этом случае абсолютная величина |a(t)| называется ciągły rabat .

Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jest dobrze znane. Rzeczywiście, równanie (2.30) jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi i może być całkowane:

Obliczając całkę, otrzymujemy:

,

gdzie - całka nieoznaczona z w),

C 1 jest dowolną stałą.

Stąd mamy:

Wreszcie ogólne rozwiązanie równania różniczkowego można zapisać jako:

, (2.31)

gdzie jest nowa arbitralna stała.

Aby zdefiniować dowolną stałą Z stolicę trzeba znać przynajmniej w pewnym momencie. Jeżeli wiadomo, że w czasie t=t 0 kapitał jest równy S = S 0 (tj. S(t 0)=S 0), to dowolna stała Z można łatwo określić z (2.31):

,

Podstawiając otrzymany wynik do (2.31), otrzymujemy:

.

Stosując klasyczny wzór na połączenie całki oznaczonej i nieoznaczonej (wzór Newtona-Leibniza):

,

otrzymujemy rozwiązanie równania różniczkowego z warunkami początkowymi S(t 0)=S 0 w postaci:

Często czas można mierzyć od momentu początkowego, wtedy t 0 =0 i rozwiązanie równania różniczkowego liniowego zapisujemy jako:

, (2.32)

S(0) to kwota początkowa w czasie 0;

S(t) to kwota płatności w czasie t.

Oczywiście powyższe wzory dla a(t)>0 odpowiadają kalkulacji kredytu, a dla a(t)<0 – расчету дисконтирования.

Jeżeli siła wzrostu jest stała w całym rozpatrywanym przedziale czasu, tj. a(t)= r, to dla płatności końcowej w czasie t mamy:

. (2.33)

Oczywiście ta formuła pokrywa się z formułą (2.12) uzyskaną wcześniej poprzez przejście do granicy.

Rozważmy kilka przykładów użycia tych formuł.

Przykład 28.

Pożyczka 200 tysięcy rubli. przyznawane przez 2,5 roku w wysokości 20% rocznie z kwartalną naliczaniem. Znajdź kwotę ostatniej płatności. Obliczenia należy dokonać na procentach dyskretnych i ciągłych.

Rozwiązanie.

Kwota płatności końcowej spełnia równanie różniczkowe , gdzie r=20%=0,2 zgodnie z procentem rocznego rozliczenia, a czas t mierzony jest w latach. Znane jest rozwiązanie równania liniowego:

.

Wtedy płatność końcowa wynosi:

Tysiąc pocierać.

Obliczenie dla przypadku dyskretnego za pomocą wzorów (2.11) daje:

Tysiąc pocierać.

Widać, że przy wielokrotnych naliczeniach niewielkich odsetek wyniki obliczania kwot płatności końcowej są zbliżone.

Rozważmy teraz przykład obliczania dyskontowania w przypadku ciągłym.

Przykład 29.

Weksel na 3 miliony rubli. z roczną stopą dyskontową 10% i dyskontowaną dwa razy w roku wydawane na 2 lata. Znajdź pierwotną kwotę do pożyczenia na poczet tego rachunku. Obliczenia należy dokonać na procentach dyskretnych i ciągłych.

Rozwiązanie.

Kwota pożyczki pożyczona na weksel spełnia liniowe równanie różniczkowe, którego rozwiązanie jest znane:

.

Obliczenie kwoty pożyczonej na rachunek za pomocą dyskretnych formuł (2.24) daje podobne wyniki:

mln pocierać.

Zatem obliczenia teoretyczne i praktyczne przy użyciu formuł ciągłych dają wyniki zbliżone do wyników obliczeń przy użyciu formuł dyskretnych, jeśli liczba naliczeń jest duża, a procent naliczeń jest mały.

W operacjach praktycznie finansowych i kredytowych ciągły wzrost, tj. nagromadzenie w nieskończenie małych okresach czasu jest stosowane niezwykle rzadko. Ciągła akumulacja ma znacznie większe znaczenie w analizie złożonych problemów finansowych, np. w uzasadnianiu i selekcji decyzji inwestycyjnych, w projektowaniu finansowym.

Przy ciągłym wzroście oprocentowania stosuje się specjalny rodzaj oprocentowania - siłę wzrostu.

Siła Wzrostu charakteryzuje względny wzrost skumulowanej ilości w nieskończenie krótkim okresie czasu. Może być stały lub zmieniać się w czasie.

Aby odróżnić tempo ciągłe od tempa dyskretnego, oznaczamy tempo wzrostu jako δ . Wówczas skumulowana kwota według stawki ciągłej będzie wynosić:

Dyskretne i ciągłe stawki naliczania są funkcjonalnie zależne. Z równości mnożników wzrostu

następuje: ,

.

Przykład: Kwota, od której naliczane są ciągłe odsetki, wynosi 2 miliony rubli, stopa wzrostu wynosi 10%, termin wynosi 5 lat. Określ skumulowaną kwotę.

Ciągły wzrost o stopie = 10% jest równoważny wzrostowi w tym samym okresie dyskretnych odsetek składanych według rocznej stopy:

W rezultacie otrzymujemy:

Formuła rabatu:

.

Czynnikiem dyskontowym jest .

Przykład: Określ aktualną wartość płatności, jeśli naliczona wartość wynosi 5000 tysięcy rubli. podlega dyskontowaniu siłą wzrostu 12%. Termin płatności wynosi 5 lat.

W przypadku stosowania dyskretnej stawki nominalnej skumulowaną kwotę określa wzór:

Przełączając się na ciągłe wartości procentowe, otrzymujemy:

Mnożnik memoriałowy dla ciągłej kapitalizacji odsetek.

Oznaczając siłę wzrostu poprzez, otrzymujemy:

dlatego stawki dyskretne i ciągłe są ze sobą funkcjonalnie powiązane, wtedy możemy zapisać równość mnożników akumulacji

Na początek kapitał 500 tysięcy rubli. naliczone odsetki składane - 8% rocznie przez 4 lata. Określ skumulowaną kwotę, jeśli odsetki są naliczane w sposób ciągły.

Dyskontowanie na podstawie ciągłych stóp procentowych

We wzorze (4.21) można wyznaczyć współczesną wartość

Ciągła stopa procentowa stosowana w dyskontowaniu nazywana jest mocą dyskontową. Jest równy sile wzrostu, tj. stosowane do dyskontowania siły dyskontowej lub siły wzrostu prowadzą do tego samego wyniku.

Definiować wartość bieżąca płatności, przy założeniu, że dyskontowanie odbywa się przy stopie wzrostu 12% i dyskretnej złożonej stopie dyskontowej tej samej wielkości.

Zmienna siła wzrostu

Wykorzystując tę ​​charakterystykę modelowane są procesy zwiększania kwot pieniężnych przy zmieniającej się stopie procentowej. Jeżeli siłę wzrostu opisuje jakaś ciągła funkcja czasu, to wzory są ważne.

Za skumulowaną kwotę:

Nowoczesna wartość:

1) Niech siła wzrostu zmieni się dyskretnie i przyjmie następujące wartości: w odstępach czasu, to na koniec okresu kredytowania skumulowana kwota będzie wynosić:

Jeżeli okres akumulacji wynosi n, a średnia wartość przyrostu wynosi: , to

Określ mnożnik naliczania odsetek dla ciągłego naliczania odsetek przez 5 lat. Jeśli siła wzrostu zmienia się dyskretnie i odpowiada: 1 rok - 7%, 2 i 3 - 8%, ostatnie 2 lata - 10%.

2) Siła wzrostu stale się zmienia w czasie i jest opisana równaniem:

gdzie jest początkowa siła wzrostu (w)

a - roczny wzrost lub spadek.

Oblicz stopień mnożnika przyrostu:

Wartość początkowa siła wzrostu 8%, stopa procentowa jest ciągła i liniowa.

Wzrost za rok -2%, okres akumulacji - 5 lat. Znajdź czynnik wzrostu.

3) Siła wzrostu zmienia się zatem wykładniczo

W praktycznych operacjach finansowych i kredytowych ciągły wzrost, tj. nagromadzenie w nieskończenie małych okresach czasu jest stosowane niezwykle rzadko. Dużo większe znaczenie ma ciągła kumulacja w analizie złożonych problemów finansowych, np. w uzasadnianiu i selekcji decyzji inwestycyjnych.

Narosła kwota z odsetkami dyskretnymi jest określona wzorem

S=P(1+j/m) mni ,

gdzie j to nominalna stopa procentowa, oraz m to liczba okresów odsetkowych w roku.

Więcej m, tym krótsze są odstępy czasu pomiędzy momentami naliczania odsetek. Zwiększenie częstotliwości naliczania odsetek ( m) przy stałej wartości nominalnej stopy procentowej j prowadzi do wzrostu mnożnika memoriału, który przy ciągłym naliczaniu odsetek ( m) osiąga wartość graniczną

Wiadomo, że

gdzie mi jest podstawą logarytmów naturalnych.

Używając tego limitu w wyrażeniu (2,5), w końcu otrzymujemy, że naliczona kwota po kursie j jest równe

S=Pe jn .

Stała stopa procentowa nazywana jest siłą wzrostu i jest oznaczona symbolem  . Następnie

S=Pe  n . (2.6)

Siła Wzrostu to nominalna stopa procentowa przy m.

Prawo memoriałowe dla ciągłego naliczania odsetek (2.6) pokrywa się w formie z (2.2) z tą różnicą, że w (2.2) czas zmienia się dyskretnie o krok 1/ m, aw (2.6) jest ciągły.

Łatwo wykazać, że dyskretne i ciągłe stawki naliczania są w zależności funkcjonalnej. Z równości mnożników memoriałowych możemy otrzymać wzór na równoważne przejście od jednej stawki do drugiej:

(1+i) n =mi  n ,

skąd wynika:

=ln(1+ i), i=mi  -1.

Przykład 20 . Kwota, od której naliczane są ciągłe odsetki przez 5 lat, wynosi 2000 den. jednostki, siła wzrostu 10%. Skumulowana kwota będzie S=2000 mi 0,1 5 \u003d 2000 1,6487 \u003d 3297,44 den. jednostki

Ciągły wzrost w tempie 10% jest równoważny wzrostowi w tym samym okresie składanych dyskretnych odsetek według rocznej stopy i. Znaleźliśmy:

i=mi 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

W rezultacie otrzymujemy S\u003d 2000 (1 + 0,10517) 5 \u003d 3297,44 den. jednostki

Dyskontowanie na podstawie siły wzrostu odbywa się według wzoru

P=Se -  n

Przykład 21. Wyznaczmy wartość bieżącą płatności z przykładu 17, pod warunkiem, że dyskontowanie jest oparte na stopie wzrostu 15%.

Rozwiązanie. Kwota otrzymana za dług (wartość współczesna) jest równa

P=5000 mi-0,15 5 \u003d 5000 0,472366 \u003d 2361,83 den. jednostki

Stosując dyskretną złożoną stopę dyskontową o tej samej wielkości uzyskaliśmy wartość (patrz przykład 17) P=2218,53 den. jednostki

2.5. Obliczanie okresu kredytowania i oprocentowania

W szeregu zadań praktycznych kwota początkowa (P) i końcowa (S) są określone w umowie i wymagane jest określenie albo terminu płatności, albo stopy procentowej, która w tym przypadku może służyć jako miara porównawcza ze wskaźnikami rynkowymi i charakterystyką opłacalności operacji dla pożyczkodawcy. Wartości te są łatwe do znalezienia z oryginalnych formuł memoriałowych i dyskontowych (dla zwykłego zainteresowania problemy te omówiono w paragrafie 1.8.).

Termin pożyczki. Rozważ problem obliczeniowy n dla różnych warunków naliczania odsetek i dyskontowania.

i z oryginalnej formuły wzrostu (2.1) wynika, że

,

gdzie logarytm można przyjąć w dowolnej podstawie, ponieważ występuje on zarówno w liczniku, jak i mianowniku.

j m

.

d f m

;

.

Wraz ze wzrostem stałej siły wzrostu, na podstawie wzoru (2.6), otrzymujemy:

.

Przykład 22. Za jaki okres w latach jest to kwota równa 75 tys. den. sztuk, osiągnie 200 tys. den. jednostki przy naliczaniu odsetek według stawki złożonej 12% raz w roku i kwartalnie?

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorami obliczania terminu przy naliczaniu według złożonych stawek naliczania, otrzymujemy:

n=(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 lat;

n=(log(200/75)/(4 log(1+0,12/4))=3,429 lat;

Obliczanie stóp procentowych. Z tych samych początkowych formuł co powyżej otrzymujemy formuły do ​​obliczania stóp w różnych warunkach naliczania odsetek i dyskontowania.

Przy naliczaniu według złożonej rocznej stawki i z oryginalnej formuły wzrostu (2.1) wynika, że

i=(S/P) 1/ n –1=
.

Przy naliczaniu według nominalnej stopy procentowej m raz w roku ze wzoru (2.2) otrzymujemy:

j=m((S/P) 1/ mni –1)=
.

W przypadku zdyskontowania według złożonej rocznej stopy dyskontowej d i przy nominalnej stopie dyskontowej f m raz w roku z odpowiednio wzorów (2.3) i (2.4) otrzymujemy:

d =1– (P/S) 1/ n =
;

f = m(1– (P/S) 1/ mni =
.

Wraz ze wzrostem stałej siły wzrostu, na podstawie wzoru (2.6), otrzymujemy:

.

Przykład 23. Certyfikat oszczędności kupiony za 100 tys. den. sztuk, kwota wykupu wynosi 160 tys. den. jednostki, okres 2,5 roku. Jaka jest stopa zwrotu z inwestycji w postaci rocznej składanej stopy procentowej?

Rozwiązanie. Korzystając z otrzymanego wzoru na stawkę roczną i, otrzymujemy: i=(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, tj. 20,684%.

Przykład 24. Zapadalność weksla wynosi 2 lata. Rabat w jego rozliczeniu wyniósł 30%. Jakiej złożonej rocznej stopie dyskontowej odpowiada ten rabat?

Rozwiązanie. Zgodnie z zadaniem P/S=0,7. Następnie d=1–
=0,16334, tj. 16,334%.